Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
1. Hàm số mũ y = a
x
(với a > 0, a
≠
1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
2. Hàm số logarit
=
log
a
y x
(với a > 0, a
≠
1)
•
Tập xác định: D = (0; +
∞
).
•
Tập giá trị: T = R.
•
Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
•
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
3. Gi
ớ
i h
ạ
n
đặ
c bi
ệ
t c
ủ
a hàm m
ũ
và logarith
•
1
0
1
lim(1 ) lim 1
x
x
x x
x e
x
→ →±∞
+ = + =
•
0 0
ln(1 ) ln(1 )
lim 1 lim 1
→ →
+ +
x u
x u
x u
•
0 0
1 1
lim 1 lim 1
→ →
− −
= → =
x u
x u
e e
x u
•
0 0
sin sin ( )
lim 1 lim 1
( )
x x
x u x
x u x
→ →
= → =
Ví d
ụ
1:
[
Đ
VH].
Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
2
0
1
lim
→
−
x
x
e
x
2)
3
0
1
lim
−
→
−
x
x
e
x
3)
3 2
0
lim
→
−
x x
x
e e
x
4)
0
ln(1 3 )
lim
→
+
x
x
x
5)
0
ln(1 4 )
lim
2
→
+
x
x
x
6)
4
0
1
lim
3
−
→
−
x
x
e
x
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
2 2
0 0
1 1
lim lim .2 2
2
→ →
− −
= =
x x
x x
e e
x x
2)
3 3
0 0
1 1 1 1
lim lim .
3 3
3
− −
→ →
− − −
= = −
−
x x
x x
e e
x
x
3)
(
)
(
)
3 2
3 2 3 2
0 0 0 0
1 1 1 1
lim lim lim lim 3 2 1.
→ → → →
− − −
− − −
= = − = − =
x x
x x x x
x x x x
e e
e e e e
x x x x
4)
0 0
ln(1 3 ) ln(1 3 )
lim lim .3 3
3
→ →
+ +
= =
x x
x x
x x
5)
0 0
ln(1 4 ) ln(1 4 )
lim lim .2 2
2 4
→ →
+ +
= =
x x
x x
x x
6)
4 4
0 0
1 1 4 4
lim lim .
3 4 3 3
− −
→ →
− − −
= = −
−
x x
x x
e e
x x
4.
Đạ
o hàm c
ủ
a hàm m
ũ
và logarith
Hàm m
ũ
:
.ln
. .ln
x x
u u
y a y a a
y a y u a a
′
= → =
′ ′
= → =
03. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Đặc biệt, khi a = e thì ta có
.
x x
u u
y e y e
y e y u e
′
= → =
′ ′
= → =
Hàm logarith:
1
log
.ln
log
.ln
a
a
y x y
x a
u
y u y
u a
′
= → =
′
′
= → =
Đặ
c bi
ệ
t, khi a = e thì ta có
1
ln
ln
y x y
x
u
y u y
u
′
= → =
′
′
= → =
Chú ý: B
ả
ng
đạ
o hàm c
ủ
a m
ộ
t s
ố
hàm c
ơ
b
ả
n th
ườ
ng g
ặ
p:
Hàm sơ cấp Hàm hợp
0
′
= → =
y k y
2
1
1 1
.
1
2
−
′
= → = −
′
= → = ⇒
′
= → =
n n
y y
x x
y x y n x
y x y
x
sin cos
cos sin
′
= → =
′
= → = −
y x y x
y x y x
2
2
1
tan
cos
1
cot sin
′
= → =
−
′
= → =
y x y
x
y x y
x
.
′ ′
= → =
y ku y k u
2
1
1
. .
2
−
′
′
= → = −
′ ′
= → = ⇒
′
′
= → =
n n
u
y y
u u
y u y n u u
u
y u y
u
sin .cos
cos .sin
′ ′
= → =
′ ′
= → = −
y u y u u
y u y u u
2
2
tan
cos
cot sin
′
′
= → =
′
−
′
= → =
u
y u y
u
u
y u y
u
2
.
′ ′
−
′
= → =
′ ′ ′
= → = +
u uv u v
y y
v v
y u v y uv u v
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1) 43
3 2
= − +
y x x
2)
2
3
1
3
− +
=+
x x
yx
43
3 2
= − +
y x x
3)
( )
2
3
sin 2 1
= −
y x
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
( ) ( )( )
1 3
43 3 2 3
4 4
1
3 2 3 2 . 3 3 3 2
4
−
′
= − + = − + → = − − +y x x x x y x x x
2)
1 3
2 2 2 2
3 3
3
1 1 1 1 1
. .
3 3 3 3 3
−
′
− + − + − + − +
′
= = → = =
+ + + +
x x x x x x x x
y y
x x x x
3 3
2 2 2 2
3 3
2 2
1 1 (2 1)( 3) 1 1 1 5 4
. . . .
3 3 3 3
( 3) ( 3)
− −
′
− + − + − + − − + + −
= =
+ +
+ +
x x x x x x x x x x
x x
x x
3)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
33
3 3
2 1 4 1
sin 2 1 sin 2 1 . . sin 2 1 . cos 2 1
3 3
sin 2 1 sin 2 1
′
′
= − = −→ = − = −
− −
y x x y x x
x x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
[ĐVH].
Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
(
)
0
ln 1 4
lim sin
2
x
x
x
→
+
2)
2
2
0
cos
lim
x
x
e x
x
→
−
3)
0
lim
ax bx
x
e e
x
→
−
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
4)
sin2 sin
0
lim
x x
x
e e
x
→
−
5)
lim 1
x
x
x
x
→+∞
+
6)
1
1
lim 1
x
x
xx
+
→+∞
+
7)
2 1
1
lim 2
x
x
x
x
−
→+∞
+
−
8)
1
3
3 4
lim 3 2
x
x
x
x
+
→+∞
−
+
9)
2 1
lim
1
x
x
x
x
→+∞
+
−
Bài 2:
[ĐVH].
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
3
1 1 5
1 2
x
y
x
+ +
=+
2)
11 5
9
9 6
y x
= +
3)
4
4
sin
3
x
y
+
=
4)
(
)
2
4 4
x
y x x e
= − +
5)
(
)
5 2
x
y x x e
−
= −
6)
3
.sin 4
x
y e x
−
=
7)
1
3
.
x
y x e
−
=
8) 2
2
x x
x x
e e
y
e e
+
=
−
9)
sin3 4
x x
y e
−
=
10)
cot
cos .
x
y x e
=
11)
cos
2 .
x x
y e
=
12)
(
)
2
ln 4 sinx
y x x= + −
13)
(
)
cos
.ln cos
x
y e x
=
14)
(
)
2
ln 1
y x x
= + +
15)
(
)
ln 2 1
1
x
y
x
+
=+
16)
(
)
4 2
1
2
log cos
y x x
= − 17)
(
)
ln cot
3 4
x x
yx
−
=−
18)
2
(2 1)ln(3 )
y x x x
= − +
Bài 3:
[ĐVH].
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các hàm s
ố
sau th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c ch
ỉ
ra t
ươ
ng
ứ
ng?
1)
( )
2
2
2
. ' 1
x
y x e xy x y
−
= → = −
2)
(
)
1 . '
x x
y x e y y e
= + → − =
3)
4
2 ''' 13 ' 12 0
x x
y e e y y y
−
= + → − − =
5)
.sin '' 2 ' 2 0
x
y e x y y y
−
= → + + =
6)
sin
'.cos .sin '' 0
x
y e y x y x y
= → − − =
7)
2
1. '' 2 '
2
x x
y x e y y y e
= → − + =
8)
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
1 . 2011 ' 1
1
x x
xy
y x e y e x
x
= + + → = + +
+
9)
1
ln ' 1
1
y
y xy e
x
= → + =
+
10)
( )
1
' .ln 1
1 ln
y xy y y x
x x
= → = −
+ +
11)
( )
( )
2 2 2
1 ln
2 ' 1
1 ln
x
y x y x y
x x
+
= → = +
−
Bài 4:
[ĐVH].
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình và b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau, v
ớ
i các hàm s
ố
cho d
ướ
i
đ
ây?
1)
(
)
2
'( ) 2 ( ); ( ) 3 1
x
f x f x f x e x x
= = + +
2)
3
1
'( ) ( ) 0; ( ) ln
f x f x f x x x
x
+ = =
3)
2 1 1 2
'( ) 0; ( ) 2. 7 5
x x
f x f x e e x
− −
= = + + −
4)
'( ) '( ); ( ) ln( 5); ( ) ln( 1)
f x g x f x x x g x x
> = + − = −
5)
2 1
1
'( ) '( ); ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln5
2
x x
f x g x f x g x x
+
< = = +