intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 1

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

240
lượt xem
73
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TOÁN HỌC CƠ SỞ Các ứng dụng của Lý Thuyết Đàn Hồi đòi hỏi sự hiểu biết về nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Bản thân Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng trên cơ sở ứng dụng nhiều đại lượng biến đổi (các biến) khác nhau, trong đó có các biến vô hướng, các vector, các trường tensor và phải sử dụng nhiều đến các phép tính tensor. Vận dụng các nguyên lý của Cơ Học Các Môi Trường Liên Tục, Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng dưới dạng một tập hợp các phương trình đạo hàm riêng mà lời giải của...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 1

  1. Lý Thuyết Đàn Hồi MỞ ĐẦU Tài liệu được biên soạn nhằm mục đích cung cấp cho học viên những khái niệm cơ sở của lý thuyết phân tích các kết cấu công trình nói chung và kết cấu tàu thủy nói riêng. Trong tài liệu, các nguyên tắc cơ bản sau đây cố gắng thể hiện: Nguyên tắc đầu tiên là bảo đảm tính nhất quán, tính logic trong toàn bộ tài liệu được trình bày, tránh dùng bất cứ một “giả định” mơ hồ nào làm cơ sở cho một phương pháp tính nào đó. Mọi giả thiết có tính gần đúng luôn được đi kèm bởi những lời giải thích về tính phù hợp của chúng. Nguyên tắc thứ hai là chấp nhận việc giải thích thêm khi cần thiết. Nguyên tắc này xuất phát từ đặc điểm của quá trình nhận tcần có sự lặp lại. Tính chất lặp lại là một trong các công cụ quan trọng của quá trình nhận thức. Việc giải thích thêm có mục đích tránh hiểu vấn đề một cách sai lệch, tránh ngộ nhận. Nguyên tắc thứ 3 là các chủ đề chính của các nội dung được trình bày luôn được tóm lược, nhờ đó người đọc có được nhận thức tổng thể với đầy đủ những nội dung chính yếu về những vấn đề đã đọc qua. Lý Thuyết Đàn Hồi giải các bài toán liên quan đến việc xác định ứng suất và biến dạng, xuất hiện trong vật thể đàn hồi, dưới tác dụng của lực ngoài. Đây cũng chính là vấn đề đã giải quyết trong môn học sức bền vật liệu. Tuy nhiên, trong giáo trình sức bền vật liệu, nhiều giả thiết tính toán cụ thể khác nhau đã được sử dụng, nhằm thu được những lời giải gần đúng cho các bài toán riêng biệt và do đó, chỉ áp dụng được cho chính các bài toán này thôi. Lý Thuyết Đàn Hồi đặt ra mục tiêu là tìm những lời giải chính xác, dựa trên các giả thiết chung về tính chất của vật thể khảo sát mà không phụ thuộc gì vào hình dáng vật thể cũng như tính riêng biệt của tải trọng tác dụng lên vật thể. . . Vật thể khảo sát trong Lý Thuyết Đàn Hồi được giả thiết là có tính liên tục, tức, vật thể khảo sát luôn điền đầy không gian mà nó chiếm chỗ, trước cũng như sau khi bị biến dạng. Ta coi là trong mỗi thể tích bất kỳ, dù nhỏ đến đâu, cũng chứa vô số các phân tử và tác dụng của phần vật thể bị cắt bỏ lên phần khảo sát có thể đánh giá bằng trị số trung bình của sự thay đổi lực tương tác giữa các phần vật thể nằm về hai phía của mặt cắt. Các chuyển vị là những hàm liên tục của toạ độ các điểm. Tính chất liên tục cho phép ứng dụng giải tích các đại lượng vô cùng bé vào việc nghiên cứu biến dạng của vật thể đàn hồi. Sai số liên quan đến việc sử dụng tính chất nói trên là có thể bỏ qua trong các bài toán thực tế, vì nó chỉ đáng kể khi xác định ứng suất trên các diện tích với kích thước cỡ của khoảng cách phân tử và khi xác định các chuyển vị của các điểm mà khoảng cách giữa chúng cũng vào cỡ khoảng cách giữa các phân tử. Ngoài ra, cũng còn phải giả thiết rằng, có thể áp dụng các định luật của của tĩnh học và động lực học cho các phân tố nhỏ tuỳ ý, từ vật thể khảo sát. Các vật thể đàn hồi, là đối tượng nghiên cứu của môn học, còn có nhiều tính chất khác mà ta sẽ đề cập đến sau này khi thiết lập các phương trình cơ bản của Lý thuyết đàn hồi. 1
  2. Lý Thuyết Đàn Hồi Chương I TOÁN HỌC CƠ SỞ Các ứng dụng của Lý Thuyết Đàn Hồi đòi hỏi sự hiểu biết về nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Bản thân Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng trên cơ sở ứng dụng nhiều đại lượng biến đổi (các biến) khác nhau, trong đó có các biến vô hướng, các vector, các trường tensor và phải sử dụng nhiều đến các phép tính tensor. Vận dụng các nguyên lý của Cơ Học Các Môi Trường Liên Tục, Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng dưới dạng một tập hợp các phương trình đạo hàm riêng mà lời giải của chúng được tìm trong các miền trùng với không gian mà vật thể khảo sát chiếm chỗ. Để giải các phương trình này, trong nhiều kỹ thuật khác nhau, thường phải dùng đến phương pháp Fourier, các kỹ thuật biến phân, các phép biến đổi tích phân, các biến số phức, lý thuyết thế năng, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phần tử biên,... Vì thế cho nên, để nắm được các cơ sở của Lý Thuyết Đàn Hồi, cần có một căn bản toán học tương xứng. Mục đích của chương này là cung cấp cho người đọc một số chuyên đề toán học thiết yếu, phục vụ cho việc lĩnh hội các cơ sở của Lý Thuyết Đàn Hồi. Các chuyên đề toán học khác sẽ được trình bày tóm lược ở các chương, nơi mà chúng được sử dụng. §1.1 Các định nghĩa về vô hướng, vector, ma trận và tensor. Trong Lý Thuyết Đàn Hồi thường sử dụng nhiều loại biến khác nhau, trong đó có các loại biến có các biến vô hướng. Các biến vô hướng chỉ biểu thị về độ lớn (của một đối tượng nào đó) tại mỗi một điểm riêng biệt trong không gian (mà vật thể khảo sát chiếm chỗ). Các vô hướng thường gặp là: tỉ trọng vật liệu ρ , module đàn hồi E, hệ số Poisson ν , module trượt G. Một loại biến khác cũng được sử dụng nhiều, đó là các đại lượng vector. Các biến vector có thể biểu diễn được theo các thành phần của nó trong các hệ tọa độ 2 hoặc 3 chiều. Ví dụ về các biến vector là: Chuyển vị của một điểm vật chất trong vật thể đàn hồi, góc xoay của một vật thể… Các công thức của Lý thuyết Đàn Hồi còn được diễn đạt với việc sử dụng các biến ma trận. Các biến ma trận thường được dùng khi cần biểu thị một đại lượng với nhiều hơn 3 thành phần. Ma trận ứng suất và ma trận biến dạng là những ví dụ về biến ma trận. Như sẽ thấy trong các chương dưới đây, để biểu thị ứng suất hoặc biến dạng tại một điểm thuộc không gian 3 chiều, đòi hỏi đồng thời 9 thành phần (trong đó có 6 thành phần độc lập nhau). Trong trường hợp này, chỉ cần sử dụng một biến dưới dạng ma trận với 3 hàng và 3 cột là đủ. Tóm lại, trong hệ tọa độ Đề Các 3 chiều, các biến vô hướng, biến vector, biến ma trận có thể được biểu diễn (ví dụ) như sau: Tỉ trọng (vô hướng) = ρ ; Vector chuyển vị = u = e1 + ve 2 + e 3 ; σ x τ xy τ xz    Ma trận ứng suất = σ = [σ ] = τ yx σ y τ yz  ; τ zx τ zy σ z    trong đó, e1 , e 2 , e 3 là 3 vector đơn vị cơ sở trên 3 trục tọa độ. Trong việc biểu đạt các vấn đề của Lý Thuyết Đàn Hồi, với một biến nhiều khi còn đòi hỏi số thành phần nhiều hơn thế nữa. Khi đó phải vận dung đến các phép tính tensor với việc sử dụng các các ký hiệu chỉ số (Index Notation). Điều này cho phép biểu thị tất cả các biến và các phương trình dẫn1 theo một sơ đồ tiêu chuNn hóa duy nhất. Có thể nói một cách đơn giản rằng: các biến vô hướng, biến vector, biến ma trận và các biến khác cấp cao hơn đều có thể biểu diễn bởi các tensor với các cấp khác nhau. §1.2 Ký hiệu chỉ số (Tensor) và các phép tính Ký hiệu chỉ số là sơ đồ gọn nhất mà nhờ đó một tập hợp các số (là các phần tử hay các thành phần) có thể được biểu diễn bởi chỉ một ký hiệu có kèm các chỉ số. Ví dụ như cả 3 số a1, a2 , a3 có thể biểu diễn bởi một ký hiệu chỉ số (tensor) ai trong đó, chỉ số i biến đổi (chạy) trong phạm vi 1, 2, 3. Cũng tương tự, 1 Là các phương trình chủ đạo mà việc giải chúng cho phép tìm được lời giải của một vấn đề (một bài toán) nào đó. 2
  3. Lý Thuyết Đàn Hồi ký hiệu aij biểu thị cho cả tập hợp 9 số: a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33. Phạm vi của các chỉ số i và j đều là 1, 2, 3. Có nhiều cách biểu diễn khác nhau đối với tập hợp các số nói trên, tuy nhiên, cách thông dụng nhất là sử dụng sơ đồ có liên hệ đến các dạng thức vector và dạng thức ma trận như sau:  a1   a11 a12 a13  a i = a 2  ; a ij = a 21 a 22 a 23  (1.1)     a3  a31 a32 a33     Trong dạng thức ma trận, a1i biểu diễn hàng đầu tiên, ai1 biểu diễn cột đầu tiên. Với các hàng và cột khác cũng có thể biểu diễn theo cách tương tự, tức chỉ số đầu tiên thể hiện số thứ tự hàng, chỉ số thứ 2- số thứ tự cột. Một cách tổng quát, aij...k với N chỉ số phân biệt biểu thị được đến 3N số phân biệt. Cần thấy rõ rằng ai và aj cùng biểu thị 3 số như nhau, cũng như aij và akl cùng biểu thị một ma trận. • Các phép tính cộng, trừ, nhân (tích) hay bằng nhau của hai ký hiệu chỉ số cũng được định nghĩa theo cách thông thường. Chẳng hạn như, phép cộng và phép trừ được định nghĩa bởi:  a1 ± b1   a11 ± b11 a12 ± b12 a13 ± b13   a ± b ; a ± a =  a ± b a 22 ± b22 a 23 ± b23  . a i ± bi =  2 (1.2) 2  21  ij kl 21  a3 ± b3   a31 ± b31 a32 ± b32 a33 ± b33      • Nhân với một vô hướng được xác định như sau:  λa1   λa11 λa12 λa13  λ a ; λ a = λ a λa 22 λa 23  λa i =  2  (1.3)  21  ij  λa 3  λa31 λa32 λa33      • Ngoại tích giữa hai ký hiệu với các chỉ số phân biệt trong trường hợp đơn giản được xác định theo khuôn mẫu sau:  a1b1 a1b2 a1b3  a i b j = a 2 b1 a3 b2 a3b3  (1.4)    a3b1 a3b3 a3b3    Các toán tử trên đây tuân thủ luật kết hợp, luật giao hoán và luật phân phối. Các định luật này được minh họa qua các ví dụ sau: a i + bi = bi + a i ; a ij bk = bk a ij ; a i + (bi + c i ) = (a i + bi ) + c i ; (1.5) a i (b jk c l ) = (a i b jk )c l ; a ij (bk + c k ) = a ij bk + a ij c k . • Toán tử “bằng” (biểu thị bởi dấu "=") chỉ có thể đặt giữa hai ký hiệu có các chỉ số phân biệt phù hợp (dồng nhất) với nhau và biểu thị quan hệ bằng nhau của các thành phần tương ứng của hai ký hiệu. Chẳng hạn: ai = bi có nghĩa là: a1 = b1; a2 = b2; a3 = b3 ; còn quan hệ aij = bij có nghĩa tương tự, là: a11 = b11; a12 = b12; a13 = b13....; a33 = b33. Điều đáng chú ý ở đây là bảo đảm sự giống nhau giữa các chỉ số tương ứng ở về hai phía của dấu "=". Chính vì thế, các quan hệ có dạng như: ai = bj hay aij = bkl có nghĩa mơ hồ (không rõ ràng) vì các chỉ số tương ứng không giống nhau. Tóm lại là các chỉ số phân biệt tương ứng ở hai vế trong quan hệ "bằng" phải đồng nhất. 3
  4. Lý Thuyết Đàn Hồi Qui ước chỉ số câm: Để cho tiện lợi trong cách diễn đạt, ta qui ước rằng: nếu như một chỉ số dưới nào đó xuất hiện hai lần trong một số hạng thì nó có nghĩa là tổng lấy theo chỉ số này khi nó chạy từ 1 đến 3, ví dụ: 3 a ii = ∑ aii = a11 + a 22 + a 33 i =1 (1.6) 3 a ij b j = ∑ a i1b1 + a i 2 b2 + a i 3b3 j =1 Cần nhắc lại rằng, theo qui ước trên, a ii = a jj = a mm = .. . nên các chỉ số lặp (tức xuất hiện hai lần) có tên là chỉ số câm. Các chỉ số không được ấn định (tức không phải là một con số cụ thể) và không lặp lại được gọi là chỉ số tự do hoặc chỉ số phân biệt. Qui ước trên đây được gọi là qui ước chỉ số câm hoặc qui ước tổng. Qui ước tổng sẽ không áp dụng nếu như xuất hiện dấu gạch dưới ở một trong hai chỉ số lặp hoặc, đơn giản hơn, nếu có chú thích "không tổng" ở bên cạnh. Việc một chỉ số xuất hiện quá 2 lần trong cùng một số hạng (chẳng hạn: aiii , aijkl bkml clkj) sẽ có ý nghĩa mơ hồ và cần tránh sử dụng. Trong một ký hiệu, tác động của qui ước chỉ số câm đối với hai chỉ số giống nhau gọi là phép co. Chẳng hạn như: aii chính là kết quả của aij khi co hai chỉ số i và j . Phép co được sử dụng khi thực hiện ngoại tích giữa hai ký hiệu chỉ số mà một chỉ số trong mỗi ký hiệu (tensor) trùng với chỉ số của ký hiệu kia, làm nảy sinh toán tử nội tích; chẳng hạn, aij bjk là nội tích thu được từ ngoại tích aij bmk nhờ phép co thực hiện đối với hai chỉ số j và m. Một tensor aij...nm...kl được gọi là đối xứng đối với n và m nếu như thỏa mản aij...m..n..kl = aij..n..m..kl (1.7) còn nếu như thỏa mãn aij...m..n..kl = -aij..n..m..kl (1.8) thì được gọi là đối xứng lệch hoặc phản xứng. Có thể thấy rằng, với hai tensor mà một trong hai là đối xứng đối với hai chỉ số nào đó còn tensor kia lại là phản xứng cũng đối với hai chỉ số này ngoại tích của hai tensor này bằng 0. Tức: nếu aij..m..n..k là đối xứng đối với m và n còn bpq...m..n..l là phản xứng đối với m và n thì aij..m..n..kbpq..m..n..l = 0. (1.9) Ta có thể viết đồng nhất thức thông dụng sau a ij = (a ij + a ji ) + (a ij − a ji ) = a (ij ) + a [ij ] , 1 1 (1.10) 2 2 trong đó, số hạng thứ nhất a (ij ) = (a ij + a ji ) là phần đối xứng còn số hạng thứ hai a [ij ] = (a ij − a ji ) là 1 1 2 2 phần phản xứng. Vậy là: một tensor aij bất kỳ có thể biểu diễn bằng tổng của phần đối xứng và phần phản xứng. Một tensor đối xứng aij chỉ có 6 thành phần độc lập nhau còn nếu aij là phản xứng, các thành phần trên đường chéo aii (không tổng) của nó bằng 0 và như vậy, chỉ có 3 thành phần độc lập. Vì rằng a [ij ] chỉ có 3 thành phần độc lập nên có thể biểu thị nó nhờ ký hiệu với chỉ số đơn, ai , chẳng hạn. §1.3 Delta Kronecker δij và Ký hiệu hoán vị ε ijk Trong lý thuyết tensor, có một ký hiệu chỉ số đặc biệt thông dụng, đó là Delta Kronecker, được định nghĩa bởi 1 0 0 1 khi i = j = 0 1 0  δij =  (1.11)   0 khi i ≠ j 0 0 1    4
  5. Lý Thuyết Đàn Hồi Trong lý thuyết ma trận, ký hiệu trên đây chính là ma trận đơn vị. Delta Kronecker là một tensor đối xứng. Các tính chất làm cho Delta Kronecker được ứng dụng rộng rãi bao gồm: δij = δ ji ; δii = 3; δi i = 1; δij a j = a i ; δij a i = a j ; (1.12) δij a jk = a ik ; δ jk a ik = a ij ; δij a ij = a ii ; δij δij = 3 Bên cạnh Delta Kronecker (còn gọi là ký hiệu Kronecker), có một ký hiệu khác, được gọi là Ký Hiệu Hoán Vị ( ε ijk ), cũng được sử dụng rất rộng rãi. Ký hiệu hoán vị được định nghĩa như sau: 1 khi i, j , k la hoan vi thuan cua 1, 2,3  = - 1 khi i, j , k la hoan vi nghich cua 1, 2 ,3 ε ijk (1.13) 0 truong hop con lai  vì thế cho nên, ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1; ε 321 = ε 312 = ε 132 = −1; ε 221 = ε 322 = 0 . Nhận xét: • Trong tổng số 27 ký hiệu hoán vị khác nhau có 3 ký hiệu nhận giá trị 1, ba ký hiệu nhận giá trị -1, còn lại là 0; • Ký hiệu hoán vị là phản xứng đối với một cặp 2 chỉ số bất kỳ của nó. Ký hiệu đặc biệt này rất tiện lợi trong việc định lượng các định thức và các tích vector. Định thức của mảng aij có thể được viết dưới hai dạng tương đương: a11 a12 a13 [] det a ij = a ij = a 21 a 22 a 23 = ε ijk a 1i a 2j a 3k = ε ijk a i1 a j2 a k 3 (1.14) a31 a32 a33 trong đó, biểu thức đầu tiên theo ký hiệu chỉ số của (1.14) thể hiện khai triển theo hàng trong khi biểu thức thứ hai là khai triển theo cột. Vận dụng tính chất δip δiq δir = δ jp (1.15), ε ijk ε pqr δ jq δ jr δkp δkq δ kr có thể biểu diễn định thức dưới dạng khác [] 1 det a ij = (1.14’) ε ijk ε pqr a ip a jq a kr 6 §1.4 Phép biến đổi tọa độ Trong thực tế, để thuận tiện lợi cho các ứng dụng khác nhau, người ta thường biểu thị các biến đàn hồi, như chuyển vị, ứng suất, biến dạng, …cũng như phải viết các phương trình theo nhiều hệ tọa độ khác nhau. Điều này đòi hỏi phải có các qui tắc biến đổi đặc biệt đối với các biến vô hướng, vector, ma trận, cùng các biến cấp cao hơn khác, tương ứng với việc chuyển đổi hệ tọa độ nói trên. Ý tưởng này gắn liền với định nghĩa cơ sở của biến tensor và qui luật biến đổi các tọa độ có liên quan đối với các tensor. Ta hạn chế chỉ thảo luận về phép chuyển hệ giữa các hệ tọa độ Đề-Các (De Cartre) . Hãy khảo sát hai hệ tọa độ Đề-Các, như biểu diễn trên hình H1.1: 5
  6. Lý Thuyết Đàn Hồi Hệ 1 (nguồn): (x1, x2, x3) và hệ 2 (đích): (x'1, x'2 , x'3), chỉ khác nhau về hướng của các trục tọa độ. Các {} { } vector đơn vị cơ sở của hệ tọa độ nguồn là {e i } = {e1 , e 2 , e3 } và của hệ tọa độ đích: e i, = e1 , e 2 , e 3 . , , , Đưa vào ký hiệu Q ij = cos(x ' i , x j ) . (1.16) Sử dụng ký hiệu này, có thể biểu diễn các vector cơ sở trong hệ tọa độ có dấu phNy (đích) theo các vector cơ sở trong hệ không có dấu phNy (nguồn): e 1 = Q11e1 + Q12 e 2 + Q13 e 3 , e 2 = Q21 e1 + Q22 e 2 + Q23 e 3 (1.17) , e 3 = Q31e1 + Q32 e 2 + Q33 e 3 , Hay, nếu như dùng ký hiệu chỉ số, có thể viết lại (1.17) dưới dạng: e i, = Qij e j (1.18) [] Ma trận Qij gọi là ma trận biến đổi tọa độ, hay gọn hơn, là ma trận xoay (hệ tọa độ). Tương tự, việc chuyển hệ tọa độ ngược lại cũng có thể viết theo cùng một kiểu như trên: e i = Q ji e' j (1.19). Bây giờ, với một vector v bất kỳ, có thể biểu diễn trong cả hai hệ tọa độ như sau: v = v1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 = v i e i (1.20) = v ' 1 e' 1 + v ' 2 e' 2 + v ' 3 e' 3 = v' j e' j Thay (1.19) vào phương trình đầu của (1.20) ta được v = v i Q ji e' j , nhưng từ phương trình thứ 2 của (1.20), v = v' j e' j nên ta lại có v' i = Q ij v j (1.21) Tương tự, thay (1.18) vào phương trình thứ hai của (1.20) ta được v i = Q ji v' j (1.22) Lưu ý rằng trong phép biến đổi trên, bản thân vector là không đổi (tức giữ nguyên độ dài và hướng). Các quan hệ (1.21) và (1.22) tạo nên qui tắc biến đổi các thành phần Đề-Các của một vetor khi hệ tọa độ Đề-Các vuông góc thay đổi hướng. Vì thế cho nên, khi đã biết các thành phần của một vector trong 6
  7. Lý Thuyết Đàn Hồi một hệ tọa độ, nhờ dùng quan hệ (1.21) hoặc (1.22), ta có thể tính được các thành phần của vector này trong hệ tọa độ thứ 2, có hướng xác định so với hệ tọa độ thứ nhất. Vì phép biến đổi nói trên chỉ thực hiện đối với các hệ tọa độ vuông góc nhau nên nó phải chịu một số ràng buộc nhất định, đó là những ràng buộc đối với ma trận cosine chỉ phương Qij. Ta hãy xác lập các ràng buộc này. Trên cơ sở của các quan hệ (1.21) và (1.22), có thể viết v i = Q ji v' j = Q ji Q jk v k (1.23). Từ tính chất (1.12) của Delta Kronecker biểu thức trên có thể được viết như sau: ( ) δik v k = Q ji Q jk v k hay Q ji Q jk − δik v k = 0. Vì phương trình trên đúng với mọi v k nên biểu thức trong dấu ngoặc tròn trong vế bên trái phải bằng 0, tức Q ji Q jk = δik . (1.24) Một cách tương tự, dùng (1.21) và (1.22) để loại trừ v i (chứ không phải v' i ), ta được Q ij Q kj = δik . (1.25) Các quan hệ (1.24) và (1.25) chính là các điều kiện trực giao mà các cosine chỉ phương (1.16) phải thỏa mãn và cũng là các ràng buộc cần tìm. Xác định định thức của một trong hai ma trận trên, ta có [] det Q ij = ±1. Các ma trận thỏa mãn quan hệ trên đây được gọi là ma trận trực giao, còn các phép biến đổi (1.21) và (1.22) thuộc về các phép biến đổi trực giao. §1.5 Tensor Đề-Các Các vô hướng, vector, ma trận cũng như các biến cấp cao hơn khác đều có thể được biểu diễn theo một phương thức tổng quát, đó là theo các ký hiệu chỉ số. Theo quan niệm này, các biến, theo mọi kiểu, đều được coi như các tensor với cấp khác nhau. Các tính chất của phép biến đổi trình bày trên đây cho vector cũng chính là tính chất của phép chuyển đổi tổng quát đối với các tensor này. Ta chỉ hạn chế trong các phép chuyển đổi giữa các hệ tọa độ Đề-các. Khi đó, các quan hệ của phép biến đổi đối với tensor các cấp khác nhau (giữa hai hệ tọa độ Đề-Các) có thể được viết như sau: a ' = a − cap zero (vo huong); a' i = Q ip a p − cap mot (vector); a' ij = Q ip Q jq a pq − cap hai (ma tran); a' ijk = Q ip Q jq Q kr a pqr − cap 3 ; (1.26) a' ijkl = Q ip Q jq Q kr Q ls a pqrs − cap 4; : a' ijk...m = Q ip Q jq Q kr ...Q ms a pqr..s − cap tong quat. Theo các định nghĩa trên, vô hướng là tensor cấp zero, vector là tensor cấp 1, ma trận là tensor cấp 2.. . Như vậy là quan hệ (1.26) xác lập qui tắc biến đổi đối với các thành phần của tensor Đề-Các cấp bất kỳ dưới tác động của phép xoay Qij. Lý thuyết chuyển đổi trên đây tỏ ra rất hữu ích trong việc xác định các ứng suất, biến dạng và chuyển vị theo các hệ tọa độ khác hướng nhau. Một số tensor có đặc điểm là các thành phần của nó luôn không đổi dưới tác động của bất kỳ phép chuyển (xoay) tọa độ nào. Các tensor này được ghép chung vào một loại, gọi là tensor đẳng hướng. Dễ thấy rằng, Delta Cronecker δij có tính chất nói trên và vì vậy, nó là tensor đẳng hướng cấp 2. Ký hiệu hoán vị ε ijk cũng là tensor đẳng hướng, cấp 3. 7
  8. Lý Thuyết Đàn Hồi Cần phân biệt rõ giữa các thành phần của một tensor với bản thân các tensor này. Trở lại với công thức biểu diễn vector v (tensor cấp 1): v = v1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 (1.27) = v1e' 1 + v 2 e' 2 + v 3 e' 3 Cũng tương tự như trên, tensor cấp 2 - A có thể biểu diễn bởi rr rr rr A = A 11 e 1 e 1 + A 12 e 1 e 2 + A 13 e 1 e 3 rr rr rr + A 21 e 1 e 1 + A 22 e 1 e 2 + A 23 e 1 e 3 rr rr rr (1.28) + A 31 e 1 e 1 + A 32 e 1 e 2 + A 33 e 1 e 3 = Aij e i e j = A'ij e'i e'j Dạng tương tự cũng có thể dùng để biểu diễn tensor cấp cao hơn. Dạng biểu diễn (1.28) của tensor có tên là dạng dyadic (dyadic notation). Nhiều khi dạng dyadic còn được biểu diễn thông qua tích tensor: ei ⊗ e j . Các quan hệ (1.27) và (1.28) cho thấy, một tensor bất kỳ có thể biểu diễn theo các thành phần của nó trong một hệ tọa độ bất kỳ. Các thành phần của tensor thay đổi theo từng hệ tọa độ (còn bản thân tensor thì không đổi). Có thể chọn tensor ứng suất, mà chương tiếp theo ta sẽ nghiên cứu chi tiết, làm ví dụ. Các thành phần ứng suất là các thành phần của một tensor cấp 2, biểu thị trạng thái ứng suất tại một điểm. Các thành phần này thay đổi theo (định hướng của) hệ tọa độ được chọn để thể hiện trạng thái ứng suất còn chính bản thân tensor ứng suất thì không đổi (vẫn là tensor đặc trưng cho trạng thái ứng suất khảo sát). Ví dụ 1.1: Cho biết các thành phần của các tensor cấp một và cấp hai như sau: 1 0 3  1  a i = 4; a ij = 0 2 3   2 3 2 4    Hãy xác định các thành phần của các tensor này đối với hệ tọa độ đích, xác định bằng cách xoay hệ tọa độ nguồn một góc 600 quanh trục x3 theo hướng ngược chiều quay của kim đồng hồ khi nhìn ngược với trục x3 (tức khi nhìn từ trên xuống). Hình vẽ H1.2 biểu thị hệ tọa độ nguồn và hệ đích cùng với góc giữa các trục của hai hệ tọa độ này. Ma trận xoay trong trường hợp đang xét sẽ là 8
  9. Lý Thuyết Đàn Hồi cos 90 0   1 / 2 3 2 0  cos 60 0 cos 30 0    Qij = cos 150 0 cos 90 0  = − 3 2 cos 60 0 1 / 2 0 cos 0 0   0 1  cos 90 0 cos 90 0 0    Tác động của phép biến đổi hệ đối với vector xác định nhờ phương trình thứ 2 của (1.26)  1/ 2 3 2 0 1  1 / 2 + 2 3      a i = − 3 2 1 / 2 0.4 =  2 − 3 2  '  0 1 2   0 2      Đối với tensor cấp 2, cần dùng phương trình thứ 3 của (1.26) và thu được kết quả: T  1/ 2 3 2 0   1 0 3  1 / 2 3 2 0     a ij = Q ip Q jq a pq =  − 3 2 1 / 2 0 0 2 3  − 3 2 ' 1 / 2 0   0 1   3 2 4  0 1 0 0      7/4 3/ 2 + 3  3/4   =  3/4 1 − 3 3 / 2 , 5/ 4 3 / 2 + 3 1 − 3 3 / 2  4   trong đó, chỉ số trên "T" chỉ phép chuyển vị đối với các thành phần của ma trận. §1.6 Trị chính và hướng chính của tensor đối xứng cấp 2 Khi xoay hệ tọa độ (Đề-Các), các thành phần của tensor thay đổi theo và tồn tại một hệ tọa độ xác định nào đó mà, với nó, các thành phần của tensor có giá trị cực trị (cực tiểu hoặc cực đại). Điều này có thể nhận thấy bằng trực giác khi khảo sát sự thay đổi giá trị các thành phần của một vector khi xoay hệ tọa độ. Nếu chọn hệ tọa độ đích sao cho trục x' 3 trùng với vector v thì, khi đó, vector này sẽ có các thành phần trong hệ tọa độ đích là: v = {0 0 v }. Trong trường hợp này, 2 trong 3 thành phần có giá trị bằng 0 trong khi thành phần còn lại có giá trị lớn nhất, bằng độ dài của vector. Thuộc tính nêu ra trên đây tỏ ra đặc biệt hữu dụng đối với tensor đối xứng cấp 2, là loại tensor được sử dụng để biểu diễn ứng suất/biến dạng tại một điểm trong vật thể đàn hồi. Nếu tồn tại số λ và vector đơn vị n(n1 , n 2 , n3 ) sao cho a ij n j = λi (1.29), thì hướng của vector n(n1 , n 2 , n3 ) được gọi là hướng chính hay vector riêng a ij còn số λ được gọi là trị chính hay trị riêng của của tensor đối xứng, cấp 2, a ij . Quan hệ (1.29) có thể viết dưới dạng (a ij − λδij )n j = 0 Quan hệ trên đây chính là một hệ gồm 3 phương trình đại số tuyến tính thuần nhất với 3 Nn số n1 , n2 , n3 . Hệ phương trình này sẽ có các nghiệm không tầm thường (không đồng thời bằng 0) nếu như thỏa mãn: [ ] det a ij − λδij = −λ3 + I 1a λ2 − I 2 λ + I 3 = 0 a a (1.30) Trong đó, 9
  10. Lý Thuyết Đàn Hồi I = a ii = a11 + a 22 + a 33 a 1 ( ) a11 a12 a 22 a 23 a11 a13 1 I2 = a ii a jj − a ij a ij = + + a (1.31) a 32 a 33 a 31 a33 a 21 a 22 2 [] I 3a = det a ij Các vô hướng I1a , I 2 , I 3 được gọi, tương ứng, là các bất biến cơ bản thứ nhất, thứ hai và thứ 3 của a a tensor a ij , còn quan hệ (1.30) được gọi là phương trình đặc trưng. Đúng như tên gọi của chúng, các bất biến trên đây không thay đổi giá trị theo phép biến đổi hệ tọa độ. Các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.30) chính là các trị riêng λ và với việc thay ngược mỗi một trong các nghiệm này vào phương trình (1.29), ta tìm được hướng chính n( n1 , n2 , n3 ) . Nếu các phần tử của a ij là thực thì có thể chứng tỏ rằng các nghiệm λ1 , λ2 , λ3 cũng là thực. Ngoài ra, nếu như các nghiệm là phân biệt nhau thì các hướng tương ứng với các trị riêng sẽ vuông góc nhau. Như vậy, có thể kết luận rằng, mỗi một tensor đối xứng cấp 2 có ít nhất 3 hướng chính vuông góc nhau và có nhiều nhất 3 trị chính là nghiệm của phương trình đặc trưng. Với ký hiệu các hướng chính là n (1) , n (2 ) , n (3 ) tương ứng với các trị riêng λ1 , λ2 , λ3 , có thể xảy ra các khả năng sau đây: 1. Cả 3 trị chính phân biệt nhau: khi đó, ba hướng chính tương ứng là duy nhất; 2. Có 2 trị chính bằng nhau (λ1 ≠ λ2 = λ3 ) : hướng chính n (1) là duy nhất; mọi hướng vuông góc với n (1) đều có thể coi là hướng chính tương ứng với λ 2 , λ3 ; 3. Cả ba trị chính bằng nhau: mọi hướng khi đó đều là hướng chính. Tensor là đẳng hướng, như đã đề cập trên đây. Như vậy là với một tensor đối xứng cấp 2 bất kỳ, bao giờ cũng có thể có được một hệ tọa độ Đề-Các thuận sao cho các hướng chính của tensor nằm dọc theo trục của nó. Hệ trục như trên gọi là hệ trục chính của tensor. Trong trường hợp này, các vector đơn vị cơ sở chính là các hướng chính đơn vị n (1) , n (2 ) , n (3 ) , và như vậy, trong hệ tọa độ chính, tensor nói trên thu gọn về dạng đường chéo λ1 0 0  a ij =  0 λ2 0  (1.32)    0 0 λ3    Có thể thấy rằng các bất biến cơ sở định nghĩa bởi (1.31) có thể được biểu diễn theo các trị chính như sau I1a = λ1 + λ2 + λ 2 ; I 2 = λ1λ2 + λ 2 λ3 + λ3 λ1 ; a (1.33) I 3 = λ1λ2 λ3 . a Các trị riêng có tính chất cực trị. Nếu ta sắp xếp các trị riêng theo trật tự λ1 > λ2 > λ3 , thì λ1 sẽ là giá trị lớn nhất trong các phần tử trên đường chéo trong khi λ3 là giá trị nhỏ nhất trong số các phần tử trên đường chéo (trong mọi hệ tọa độ). Tính chất này được vận dụng trong Lý Thuyết Đàn Hồi khi cần tìm giá trị lớn nhất trong các thành phần ứng suất/biến dạng tại các điểm trong vật thể đàn hồi. Ví dụ 1.2: Hãy xác định các bất biến, các trị chính và các hướng chính của tensor đối xứng cấp 2 sau đây: 2 0 0  a ij = 0 3 4    0 4 − 3   10
  11. Lý Thuyết Đàn Hồi Các bất biến xác định theo công thức (1.31): I1a = aii = 2 + 3 − 3 = 2; 2 0 3 4  2 0 I2 = + + = 6 − 25 − 6 = −25; a 0 3 4 − 3 0 − 3   20 0 I 3 = 0 3 4 = 2(− 9 − 16 ) = −50. a 0 4 −3 Phương trình đặc trưng: [ ] det a ij − λδij = −λ3 + 2λ2 + 25λ − 50 = 0; ( ) ⇒ (λ − 2 ) λ2 − 25 = 0; ⇒ λ1 = 5; λ 2 = 2; λ3 = −5, trong trường hợp khảo sát, cả 3 trị riêng là phân biệt nhau. Với nghiệm λ1 = 5 , phương trình (1.29) trở thành hệ phương trình:  − 3n1(1) = 0;  (1) (1) − 2n2 + 4n3 = 0;  4n (1) − 8n (1) = 0  2 3 Hệ này cho nghiệm chuNn hóa sau: n (1 ) = ±(2e 2 + e 3 ) / 5. Một cách tương tự cho hai hướng chính còn lại: n (2 ) = ±e 1 ; n (3 ) = ±(e 2 − 2e 3 ) / 5 Dễ dàng chứng tỏ được rằng, các hướng này vuông góc nhau. Trên hình H1.3 biểu diễn các hướng chính trong hệ tọa độ đã cho ban đầu cùng với hệ tọa độ thuận mới ( x1' , x2 , x3 ). Với hệ tọa độ mới này, ma trận ' ' chuyển hệ, định nghĩa bởi (1.16), sẽ là 0 2 / 5 1/ 5    Qij = 1 0 0 0 1 / 5 − 2 / 5   11
  12. Lý Thuyết Đàn Hồi Điểm cần chú ý ở đây là các hàng của ma trận Q ij cũng chính là các vector riêng của tensor aij . Sử dụng ma trận biến đổi tọa độ này, ta tính được các thành phần của tensor đã cho trong hệ tọa độ mới: 5 0 0  a' ij = 0 2 0    0 0 − 5   Kết quả này phù hợp với lý thuyết biểu thị bởi quan hệ (1.32) đã đề ra trên đây rằng, tensor nói trên trong hệ tọa độ chính phải có dạng đường chéo, với 3 thành phần trên đường chéo chính là các trị riêng. §1.7 Các phép tính đối với vector và ma trận Trong Lý Thuyết Đàn Hồi sử dụng rộng rãi các phép tính đối với các vector, ma trận và tensor. Các phép tính này bao gồm: Nội tích (dot product) và ngoại tích (cross product) giữa các vector cùng nhiều tích ma trận, tensor khác. Tất cả các toán tử trên đều có thể diễn đạt một cách hiệu quả nhờ sử dụng ký hiệu chỉ số tensor hoàn chỉnh. 1. Trước tiên ta hãy xét các tích thực hiện đối với các vector. Cho các vector a và b , với các thành phần Đề-các là ai , bi . • Tích vô hướng (scalar product) hay còn gọi là nội tích, được định nghĩa bởi a.b = a1b1 + a 2 b2 + a3b3 = a i bi (1.33) Vì trong biểu thức trên, các chỉ số lặp lại nên kết qủa phải là một vô hướng, hay là một tensor cấp 0. Khi đó, độ dài của vector có thể được biểu diễn bởi 1 1 a = (a.a ) 2 = (ai ai ) 2 (1.34) • Tích vector, hay còn gọi là tích chéo (cross product) được viết dưới dạng e1 e 2 e 3 aXb = a1 a3 = εijk a j bk ei a2 (1.35) b1 b2 b3 trong đó, e i là các vector đơn vị của hệ tọa độ. Dễ nhận thấy rằng, kết quả của tích vector là một vector với các thành phần là ε ijk a j bk (với i=1, 2, 3). • Một loại tích thông dụng khác là tích tam bội vô hướng (scalar triple product) được định nghĩa bởi a1 a2 a3 abXc = b1 b3 = εijk ai b j ck b2 (1.36) c1 c2 c3 2. Tiếp đến là các tích ma trận thông dụng. Với cách viết thông thường của ma trận và vector, các tích giữa ma trận A = [A] và vector a được viết như sau Aa = [ A]{a} = Aij a j = a j Aij (1.37) a T A = {a}T [ A] = a i Aij = Aij ai trong đó chỉ số trên "T" một vector biểu thị phép chuyển vị đối với vector này. Phép chuyển vị này chỉ đơn giản biến vector cột (3x1) thành vector hàng (1x3) và ngược lại. Chú ý rằng các tích, xác định theo (1.37) trên đây, đều cho kết quả là một vector. Các biểu thức dạng này chứa đựng nhiều nội tích trong các sơ đồ ký hiệu chỉ số. Lưu ý rằng, trình tự được xuất hiện các thành phần của tích không làm thay đổi kết quả cuối cùng. 12
  13. Lý Thuyết Đàn Hồi Giữa hai ma trận A và B tồn tại các tích sau đây: AB = [A][B ] = Aij B jk ; AB T = Aij Bkj ; AT B = A ji B jk ; (1.38) Tr ( AB ) = Aij B ji ; Tr (AB T ) = Tr (AB T ) = Aij Bij , trong đó, AT là chuyển vị còn Tr(A) là vết của A , được định nghĩa bởi Aij = A ji ; T (1.39) Tr (A) = Aii = A11 + A22 + A33 . Cũng như trường hợp tích vevtor, đối với tích ma trận, khi qui tắc tổng theo chỉ số câm có hiệu lực, kết quả sẽ không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê của các số hạng. Điều này không thể được hiểu là AB = BA . Ta đã biết biểu thức này nói chung là không đúng. §1.8 Các phép tính đối với tensor Đề-các Đa số các biến dùng trong Lý Thuyết Đàn Hồi được xác định trong không gian của vật thể khảo sát. Các biến này là hàm của tọa độ các điểm thuộc không gian nói trên. Trong các bài toán có sự phụ thuộc vào thời gian, các biến này còn có thể biến đổi theo thời gian. Vì thế cho nên, các vô hướng, ma trận và biến tensor tổng quát mà ta nghiên cứu cũng là các hàm của các biến không gian ( x1 , x2 , x3 ). Vì các phương trình của Lý Thuyết Đàn Hồi chứa đựng cả các toán tử vi phân và tích phân nên người đọc cần có những hiểu biết nhất định về các phép tính liên quan đối với trường tensor Đề-các. Khái niệm trường đối với các thành phần của tensor có thể biểu thị như sau a = a ( x1 ,x 2 ,x3 ) = a ( x i ) = a ( x ); a i = a i ( x1 ,x 2 ,x3 ) = a i ( x i ) = a i ( x ); a ij = a ij ( x1 ,x 2 ,x )3 = a ij ( x i ) = a ij ( x ). Để cho tiện lợi trong biểu diễn, ta đưa thêm ký hiệu dấu ph y (comma notation) dùng để biểu thị các đạo hàm riêng: ∂ ∂ ∂ a ,i = a, a i , j = a i , a ij ,k = a ij ,... ∂x i ∂x j ∂x k Có thể thấy rằng, nếu như các chỉ số của đạo hàm (riêng) là phân biệt thì cấp của tensor (sau tác động của toán tử đạo hàm riêng) tăng lên 1. Chẳng hạn như, sau tác động toán tử đạo hàm lên vector a i sẽ thu được tensor cấp 2, a i , j , có dạng ma trận sau:  ∂a1 ∂a1 ∂a1     ∂x1 ∂x 2 ∂x3  ∂a ∂a 2 ∂a 2  ai , j =  2  ∂x1 ∂x 2 ∂x3   ∂a   3 ∂a 3 ∂a 3   ∂x1 ∂x 2 ∂x3    Sử dụng các tọa độ Đề-Các ( x, y , z ), ta khảo sát các đạo hàm định hướng của một hàm vô hướng f , theo hướng s: df ∂f dx ∂f dy ∂f dz = + + ds ∂x ds ∂y ds ∂z ds 13
  14. Lý Thuyết Đàn Hồi Vector đơn vị của hướng s được biểu thị bởi: dx dy dz n= e1 + e 2 + e 3 ds ds ds Vì thế cho nên, đạo hàm định hướng có thể biểu diễn qua tích vô hướng như sau: df = n.∇f (1.40) ds trong đó, ∇ f gọi là gradien của hàm vô hướng f , được định nghĩa bởi ∂f ∂f ∂f ∇f = gradf = e1 + e2 + e3 (1.41) ∂x ∂y ∂z còn toán tử vector ∇ được gọi là toán tử del. ∂ ∂ ∂ ∇ = e1 + e2 + e3 (1.42) ∂x ∂y ∂z (nhắc lại: e i là các vector đơn vị của hệ tọa độ). Các toán tử trên đây cùng nhiều toán tử hữu dụng khác sẽ được vận dụng trong trường hợp đối với các tensor Đề-Các. Cho φ là hàm vô hướng còn u là vector, các phép tính toán tử vi phân quen thuộc đều có thể viết dưới dạng ký hiệu chỉ số như sau : Gradient của một vô hướng : ∇ φ = φ , i e i ; ∇u = u i , j e i e j ; Gradient của một vector : Laplacian của một vô hướng : ∇ 2φ = ∇.∇φ = φ, ii (1.43) Divergence của một vector : ∇.u = u i ,i ∇ Xu = ε ijk u k , j e i Curl của một vector : ∇ 2 u = u i , kk e i Laplacian của một vector : Nếu như φ và ψ là các trường vô hướng còn u và v là các trường vector thì tồn tại một loạt các đồng nhất thức như sau: ∇ (φψ ) = (∇φ )ψ + φ (∇ψ ); ∇ 2 (φψ ) = (∇ 2φ ) + φ (∇ 2ψ ) + 2∇φ .∇ψ ; ψ () r ∇.(φu ) = ∇φ .u + φ ∇.u ; ∇X (φu ) = ∇φXu + φ (∇Xu ); ∇.(uXu ) = v .(∇Xu ) − u .(∇Xu ); r v ∇X∇φ = 0; (1.44) ∇.∇φ = ∇ 2φ ; ∇.∇Xu = 0; ∇X (∇Xu ) = ∇ (∇.u ) − ∇ 2 u; uX (∇Xu ) = ∇ (u.u ) − u.∇u. 1 2 Có thể chứng minh tính xác thực của các đồng nhất thức trên đây bằng cách vận dụng các ký hiệu chỉ số theo các định nghĩa (1.43). Phần tiếp theo trình bày một số định lý được sử dụng trong Lý Thuyết Đàn Hồi và là kết quả của các tính toán tích phân đối với các vector và tensor. 1.8.1 Định lý Gauss 14
  15. Lý Thuyết Đàn Hồi Giả sử S là một bề mặt liên tục từng phần, bao quanh không gian V. Nếu như u là một trường vector liên tục và có đạo hàm cấp 1 liên tục trong V, thì ∫∫ u.ndS = ∫∫∫ ∇.udV (1.45) S V trong đó, n là vector pháp tuyến ngoài trên mặt S. Kết quả này cũng đúng cho các tensor cấp bất kỳ, tức: ∫∫ a ij...k n k dS = ∫∫∫ a ij ...k , k dV (1.46) S V 1.8.2 Định lý Stocks Giả sử S là một mặt cong hở (two-sided surface), được bao bởi một đường cong kín, liên tục từng đoạn C. Nếu như n liên tục cùng với đạo hàm cấp 1 của nó trên S thì: ∫ u.dr = ∫∫ (∇Xu) . ndS (1.47) C S trong đó tích phân đường là dương khi miền S nằm bên trái hướng di chuyển dọc theo đường cong C theo hướng của n - vector đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt S. Và một lần nữa, kết quả trên cũng đúng cho các tensor cấp bất kỳ, tức ∫ a ij ...k dx t = ∫∫ ε rst a ij ...k , s n r dS (1.48) C S 1.8.3 Định lý Green phẳng Áp dụng định lý Stockes cho miền S phẳng với trường vector chọn u = fe1 + ge 2 , ta thu được kết quả  ∂g ∂f  ∫∫  ∂x − ∂y dxdy = C ( fdx + gdy ). (1.49) ∫   S  Tiếp tục, chọn một trong hai hàm f = 0 hoặc g = 0 , có kết quả ∂g ∂f ∫∫ ∂x dxdy = C gnx dS; ∫∫ ∂y dxdy = C fn y dS (1.50) ∫ ∫ S S 1.8.4 Định lý giá trị zero Cho f ij ...k là trường tensor cấp bất kỳ, với các thành phần không âm, xác định trong miền V. Nếu như tích phân của f ij ...k trong miền V triệt tiêu thì f ij ...k phải triệt tiêu trong V, tức: ∫∫∫ f ij ...k dV = 0 ⇒ f ij ...k = 0 ∈ V (1.51) V §1.9 Hệ tọa độ cong trực giao 1.9.1 Các công thức tổng quát trong hệ tọa độ cong trực giao Để đặt bài toán và phát triển lời giải của Lý thuyết đàn hồi trong trường hợp mièn khảo sát được giới hạn bởi các bề mặt cong, cần thiết phải sử dụng hệ tọa độ cong. Ta xét trường hợp tổng quát, trong đó, các tọa độ cong của hệ tọa độ trực giao được ký hiệu bởi ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 còn trong hệ tọa độ Đề-Các, vẫn như trước đây, là x1 , x2 , x3 . Trên hình H1.6 biểu diễn các vector đơn vị của hệ tọa độ cong trực giao tổng quát. Ta giả thiết là tồn tại phép biến đổi thuận nghịch ξ m = ξ m ( x1 , x 2 , x3 ); x m = x m (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) . (11.52) Chiều dài phân tố trong không gian có thể được biểu diễn trong hệ tọa độ cong như sau (ds )2 = (h1dξ1 )2 + (h2 dξ 2 )2 + (h3 dξ 3 )2 , (1.53) trong đó, h1 , h2 , h3 là các hệ số tỉ lệ. Nói chung, hệ số tỉ lệ là các hàm không âm của vị trí. Hãy xác định quan hệ giữa các vector đơn vị cơ sở trong hệ tọa độ Đề-các, e 1 , e 2 , e3 , và các vector đơn vị cơ sở trong 15
  16. Lý Thuyết Đàn Hồi ))) hệ tọa độ cong, e 1 , e 2 , e3 . Sử dụng phương pháp tương tự như đã thực hiện trong mục §1.5, kết hợp với (1.53) ta có 1 ∂x k dx ) e1 = k e k = ek ; h1 ∂ξ1 ds1 1 ∂x k dx ) e2 = k ek = (1.54) ek ; h2 ∂ξ 2 ds 2 1 ∂x k dx ) e3 = k e k = ek ; h3 ∂ξ 3 ds 3 )) Trên cơ sở của điều kiện trực giao, e i .e j = δij , từ (1.54) thu được (h1 )2 = ∂xk∂xk ; ∂ξ1 ∂ξ1 (h2 )2 = ∂xk ∂xk ; (1.55) ∂ξ 2 ∂ξ 2 (h3 )2 = ∂xk ∂xk . ∂ξ 3 ∂ξ 3 Quan hệ (1.54) cho thấy, đại lượng 1 ∂xk Qrk = (không tổng theo r). (1.56) hr ∂ξ r biểu thị tensor biến đổi, cho phép xác định vector đơn vị cơ sở của hệ cong theo vector đơn vị cơ sở của hệ Đề-Các. Đại lượng này đóng vai trò tương tự như tensor biến đổi Q ij xác định bởi (1.16) đối với hệ tọa độ Đề-Các. Các thành phần tự nhiên của vector hay tensor trong trường hợp khảo sát cũng đơn giản là các thành phần trong hệ Đề-Các cục bộ, tiếp xúc với hệ tọa độ cong tại từng điểm trong không gian. Vì thế cho nên, một tensor, a, trong hệ tọa độ cong tổng quát có thể được biểu diễn dưới dạng a = Qip Q q ...Qks a pq...s . (1.57) j 16
  17. Lý Thuyết Đàn Hồi trong đó, a pq ...s là các thành phần trong hệ tọa độ Đề-Các xác định còn a là các thành phần trong hệ tọa độ cong. Lưu ý: đến sự có mặt của dấu “” ở chỉ số là dành cho phần tử trong hệ tọa độ cong. Bản thân một tensor bất kỳ có thể biểu diễn được trong cả hai hệ tọa độ: )) ) a = a ij ...k e i e j ...e k = a < ij...k > e i e j ...e k . (1.58) Vì các cơ sở e k của hệ Đề-Các có định hướng cố định nên ∂e k ∂x j = ∂e k ∂ξ j = 0. Để tính đạo hàm riêng ) của các cơ sở của hệ tọa độ cong, có thể sử dụng quan hệ (1.54) với lưu ý rằng e k là hàm của các tọa độ cong ξ r : ) ∂e m 1 ∂ hm ) 1 ∂ hm ) =− en − er ; m ≠ n ≠ r ∂ξ m hn ∂ ξ n hr ∂ ξ r (1.59) ) ∂e m 1 ∂hn ) = e n ; m ≠ n. ∂ ξ n hm ∇ ξ m ) Cho vector biểu diễn theo các thành phần trong hệ tọa độ cong: u = u e m . Tính các đạo hàm bậc nhất của vector u: ) ∂u < m > ) ∂e m ∂ ∂ (u m e m ) = ) u= e m + u< m > . (1.60) ∂ξ n < > ∂ξ n ∂ξ n ∂ξ n Thay (1.59) vào số hạng cuối của (1.60), ta tính được đạo hàm cấp một trên đây. Với các dạo hàm cấp cao hơn cũng tiến hành tính toán theo qui trình tương tự. Cũng bằng kỹ thuật trên đây, xác định được các toán tử Del cùng với các công thức thông dụng như sau: )1∂ )1∂ )1∂ )1∂ ∇ = e1 + e2 + e3 = ∑ ei Toán tử Del: ; (1.61) h1 ∂ξ1 h2 ∂ξ 2 h3 ∂ξ 3 hi ∂ξ i i ) 1 ∂f ) 1 ∂f ) 1 ∂f ) 1 ∂f Gradient của một vô hướng: ∇f = e1 + e2 + e3 = ∑ ei ; (1.62) h1 ∂ξ1 h2 ∂ξ 2 h3 ∂ξ 3 hi ∂ξ i i ∂  h1h2 h3  1 ∇.u =   h u  ; ∑ Divergence của một vector: (1.63)  h1h2 h3 i ∂ξ i   i ∂  h1h2 h3 ∂φ  1  ; Laplacian của một vô hướng : ∇ 2φ = ∑ (1.64) h1h2 h3 i ∂ξ i  (hi )2    ε ijk ∂ (u hk )ei ; ) Xoắn (Curl) của một vector vô hướng: ∇Xu = ∑ ∑ ∑ (1.65) i j k h j hk ∂ξ j ) ) ei  ∂u< j > ) ∂e j  ∇u = ∑ ∑  e j + u< j >  Gradient của một vector: (1.66)  ∂ξi  i j hi  ∂ξi  ) ) ) e k  ∂u < j > ) ∂e j    e i ∂    ∇ u = ∑  i h ∂ξ  ∑ ∑ h  ξ e j + u< j > ∂ξ   . (1.67) 2 Laplacian của một vector: ij  i  k k  i k 1.9.1 Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu Hệ tọa độ cong trực giao ứng dụng khi nghiên cứu áp dụng lý thuyết đàn hồi cho các vật thể có mặt ngoài dạng hình trụ, trụ tròn, hình cầu … . 17
  18. Lý Thuyết Đàn Hồi Hệ tọa độ trụ (H1.5) và hệ tọa độ cầu (H1.6) là những ví dụ về hệ tọa độ cong trực giao. Sau đây, ta xét hai hệ tọa độ thường gặp nhất này trong các ứng dụng thực tế. Vị trí của các vector đơn vị của các hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu trong hệ tọa độ Đề-Các được hiểu thị trên hình H1.5 và H1.6. Mối quan hệ giữa các hệ tọa độ nói trên với hệ tọa độ Đề-Các cho trong bảng dưới đây. Các tọa độ trong hệ tọa độ trụ là r , θ , z , trong hệ tọa độ cầu là R, θ , φ còn trong khi các tọa độ trong hệ Đề-Các là x1 , x2 , x3 . Hệ tọa độ Đề-Các ⇔ Hệ tọa độ trụ Hệ tọa độ Đề-Các ⇔ Hệ tọa độ cầu x1 = R cos θ sin φ ; x1 = r cos sθ ; x2 = R sin φ sin θ ; x2 = r sin θ ; x3 = R cos φ ; x3 = z; R = x12 + x2 + x3 ; r = x12 + x2 ; (1.68) 2 2 2 (1.69) x2 x3 θ = tan −1 φ = cos −1 ; ; x12 + x2 + x3 x1 2 2 z = x3 x2 θ = tan −1 . x1 Ví dụ 1.3: Trong ví dụ 1.3 ta đề cập đến một hệ tọa độ cũng khá thông dụng, đó là hệ tọa độ cực. Hình vẽ H 1.7 biểu thị hệ tọa độ cực trong bài toán hai chiều. Chiều dài phân tố xác định theo quan hệ (1.53): (ds )2 = (dr )2 + (rdθ )2 . Từ đó có h1 = 1, h2 = r . Trên cơ sở công thức (1.54), có thể biểu diễn các cơ sở của hệ tọa độ cực theo cơ sở hệ tọa độ Đề-Các: e r = cos θ e1 + sin θ e 2 ; eθ = − sin θ e1 + cóθ e 2 . Các đạo hàm của cơ sở tọa độ cực theo các tọa độ: 18
  19. Lý Thuyết Đàn Hồi ∂ er ∂ eθ ∂ e r ∂ eθ = eθ ; = −e r ; = = 0. ∂θ ∂θ ∂r ∂r Các công thức (1.61) – (1.67) trong trường hợp tọa độ cực có dạng: )1∂ )1∂ )1∂ ∂ ∂ ∇ = e1 + e2 + e3 = er + eθ ; h1 ∂ξ1 h2 ∂ξ 2 h3 ∂ξ 3 ∂θ ∂r ) 1 ∂φ ) 1 ∂φ ) 1 ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = e1 + e2 + e3 = er + eθ ; h1 ∂ξ1 h2 ∂ξ 2 h3 ∂ξ 3 ∂θ ∂r 1 ∂uθ ∂  1∂  h1h2 h3  h u  = r ∂r (rur ) + r ∂θ ; 1 ∇.u =  ∑  h1h2 h3 i ∂ξ i   i ∂  h1 h2 h3 ∂φ  1 ∂  ∂φ  1 ∂ 2φ 1 ∑ = ∇ 2φ = + r ; h1 h2 h3 i ∂ξ i  (hi )2  r ∂r  ∂r  r 2 ∂θ 2   ε ijk ∂ (u hk )ei =  1 ∂ (ruθ ) − 1 ∂u r e z ; ) ∇Xu = ∑ ∑ ∑   i j k h j hk ∂ξ j r ∂θ   r ∂r ) ) e i  ∂u< j > ) ∂e j  ∂ur ∂u 1  ∂u 1  ∂u   e r e r + θ e r eθ +  r − uθ eθ e r +  θ − ur eθ eθ ; ∇u = ∑ ∑  = e j + u< j >  ∂ξ i  ∂r i j hi  ∂ξ i r  ∂θ r  ∂θ ∂r    ) ) ) e k  ∂u< j > ) ∂e j    2  ei ∂  2 ∂uθ ur  2 ∂u u   − 2 e r +  ∇ 2 uθ + 2 r − θ  ∑ ∑    =  ∇ ur − 2 ∇ u = ∑ e j + u< j > 2 eθ  i h ∂ξ  i j h ∂ξ k    k  ξk r ∂θ r  r ∂θ r 2    i i   trong đó: u = ur e r + uθ eθ , e z = e r Xeθ . Laplacian đối với một vector trong hệ tọa độ cong trực giao không chỉ tác động riêng biệt lên từng thành phần như trong trường hợp hệ Đề-Các, mà phức tạp hơn do xuất hiện thêm các thành phần bổ sung từ sự có mặt của độ cong. 19
  20. Lý Thuyết Đàn Hồi TÓM LƯỢC CHƯƠNG I Ký hiệu chỉ số là sơ đồ gọn nhất mà nhờ đó một tập hợp các số (là các phần tử hay các thành phần) có thể được biểu diễn bởi chỉ một ký hiệu có kèm các chỉ số phân biệt, gọi là tensor. Các vô hướng, vector, ma trận cùng các biến cấp cao hơn khác đều có thể biểu thị theo một phương theo ký hiệu chỉ số (tức tensor). Delta Kronecker δij và Ký hiệu hoán vị ε ijk là những tensor đặc biệt, thông dụng. Các phép tính đối với tensor được định nghĩa thông qua các định nghĩa đã biết của các phép tính đại số đối với các vô hướng. Các thành phần của một tensor nhận các giá trị khác nhau trong các hệ tọa độ khác nhau. Sự thay đổi các thành phần của một tensor khi thay đổi hệ tọa độ được xác định bởi ma trận biến đổi (ma trận xoay) hệ tọa độ, Q ij . Hệ tọa độ Đề-Các mà với nó các thành phần của một tensor nhận giá trị cực trị được gọi là hệ tọa độ chính. Hướng của mỗi một trong các trục tọa độ này gọi là hướng chính. Hướng của vector đơn vị n( n1 , n 2 , n3 ) được gọi là hướng chính còn bản thân vector này được gọi là vector riêng của tensor a ij đối xứng, cấp 2, nếu tồn tại số λ sao cho a ij n j = λi , (1.29) trong đó λ là trị chính hay trị riêng của tensor a ij . Để tìm hướng chính và trị chính của một tensor đối xứng cấp 2, cần thiết lập và giải phương trình đặc trưng. 3 nghiệm của phương trình đặc trưng này là 3 trị chính. Mỗi trị chính cho phép tìm đựơc một hướng chính tương ứng. Ba hướng chính của một tensor đối xứng cấp 2 xác định một hệ trục tọa độ Đề- Các vuông góc mà với hệ này, tensor nói trên thu về dạng đường chéo. Ngoài hệ tọa độ Đề-Các, còn dùng các các hệ tọa độ cong để thiết lập và giải các bài toán. Hai hệ tọa độ cong thường gặp hơn cả là hệ tọa độ trụ và hệ yọa độ cầu. Hệ tọa độ cực là trường hợp riêng của hệ tọa độ trụ. 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2