Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 6

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

207
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

BÀI TOÁN PHẲNG Như đã được nhắc đến, cho tới nay vẫn chưa tìm được lời giải trực tiếp của bài toán đàn hồi cho trường hợp tổng quát, vì thế cho nên, lời giải trong các trường hợp riêng có một giá trị hết sức to lớn. Các lời giải trong các trường hợp này có được nhờ hạn chế bớt, bằng một cách nào đó, tính tổng quát của bài toán được đặt ra. Việc biến đổi gần đúng bài toán ba chiều (3D) về bài toán hai chiều (2D), dẫn đến việc hình thành các bài...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 6

Lý Thuyết Đàn Hồi Chương VI BÀI TOÁN PHẲNG Như đã được nhắc đến, cho tới nay vẫn chưa tìm được lời giải trực tiếp của bài toán đàn hồi cho trường hợp tổng quát, vì thế cho nên, lời giải trong các trường hợp riêng có một giá trị hết sức to lớn. Các lời giải trong các trường hợp này có được nhờ hạn chế bớt, bằng một cách nào đó, tính tổng quát của bài toán được đặt ra. Việc biến đổi gần đúng bài toán ba chiều (3D) về bài toán hai chiều (2D), dẫn đến việc hình thành các bài toán phẳng, là một ví dụ. Đây là một loại bài toán mà lời giải của nó có ứng dụng thực tế rộng rãi. §6.1 Thiết lập bài toán phẳng Bài toán phẳng của Lý thuyết đàn hồi có thể phân thành hai nhóm: các bài toán về biến dạng phẳng và các bài toán về ứng suất phẳng. Trước khi tiến hành giải bài toán, ta hãy xác định các phương trình cơ bản cùng với các công thức thiết yếu của hai bài toán nói trên, cho vật thể trực hướng. 6.1.1 Trạng thái biến dạng phẳng. Khái niệm biến dạng phẳng dùng để chỉ một trạng thái của vật thể, mà theo đó, một trong các chuyển vị bằng 0 còn hai chuyển vị còn lại không phụ thuộc vào toạ độ tương ứng với chuyển vị bằng 0 nói trên. Trục tương ứng với thành phần cv bằng 0, giả sử, là z. Giả thiết thêm rằng, mặt phẳng x-y là mặt phẳng đàn hồi đối xứng. Định nghĩa của trạng thái biến dạng phẳng có thể được biểu diễn như sau: w = 0; u = u ( x, y ); v = v( x, y ) . (6.1) Trên cơ sở của quan hệ biến dạng - chuyển vị (5.2) và định luật Hooke tổng quát (4.31), từ (6.1) có thể suy ra: ε x = ε x ( x, y ); ε y = ε y ( x, y ); γ xy = γ xy ( x, y ); ε z = γ yz = γ zx = 0. . (6.2) Trạng thái biến dạng phẳng xảy ra trong vật thể hình lăng trụ dài, chịu tải trọng tác dụng vuông góc với trục của lăng trụ và không đổi dọc theo trục này (H6.1). Có thể nhận thấy rằng các tiết điện ngang R của 82
Lý Thuyết Đàn Hồi hình lăng trụ trên chuyển vị giống hệt nhau và như vậy, bài toán 3D có thể đưa về 2D, xác lập trong miền R (mặt phẳng x-y). Dựa trên các điều kiện (6.1) và (6.2), có thể thu được các phương trình cơ sở và các công thức chủ yếu của bài toán đàn hồi như sau: 1. Phương trình cân bằng: Phương trình cân bằng (5.1) trong trường hợp khảo sát có thể viết: ∂σ x ∂τ xy ∂τ xy ∂σ y + = 0; + = 0; (6.3) ∂x ∂y ∂x ∂y (Phương trình thứ 3 dẫn đến sự đồng nhất 0 = 0 giữa hai vế; Lực khối được bỏ qua: Fx = Fy = Fz = 0 ) 2. Quan hệ biến dạng-cv (5.2) sẽ có dạng: ∂u ∂v ε x = ; ε y = ; ε z = 0; ∂x ∂y (6.4)  ∂v ∂u  γ xy =  + ; γ yz = γ zx = 0.  ∂x ∂y    3. Phương trình tương thích: Từ (5.3) và (6.2), có: ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy 2 2 + = . (6.5) ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 4. Định luật Hooke: a. Cho vật thể trực hướng: Để có được công thức của định luật Hooke cho vật thể trực hướng trong trường hợp khảo sát, có thể xuất phát từ công thức (4.31), được kết quả: σy  ν zxν yZ  σ ε x = x (1 − ν zxν xz ) − ν yx 1 − ;  ν yx  Ex Ey   σy (1 −ν zyν yz ) − σ x ν xy 1 − ν ν ν xz ;   εy = zy (6.6)   Ey E   x xy 1 γ xy = τ xy ; ε z = γ yz = γ zx = 0. G xy b. Cho vật thể đẳng hướng: Trường hợp vặt thể đẳng hướng, cũng tiến hành như trên, nhưng từ công thức (4.40): 1 −ν 2  ν  εx = σ x − σ y ; 1 −ν E  1 −ν 2  ν  εx = σ x − σ y ; (6.7) 1 −ν E  1 γ xy = τ xy ; ε z = γ yz = γ zx = 0. G Ngoài ra, từ công thức (4.41) ta có quan hệ đảo của (6.7): 83
Lý Thuyết Đàn Hồi  1 −ν ν  1  σ x = 2G εx + ε y ; τ xy = 2G γ xy ;  1 − 2ν 1 − 2ν  2  ν 1 −ν  σ y = 2G εx + ε y ; τ yz = 0; (6.8)  1 − 2ν 1 − 2ν  ν (ε x + ε y ) = λ (ε x + ε y ); τ zx = 0. σ z = 2G 1 − 2ν 5. Qui luật biến đổi các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng khi xoay hệ toạ độ: Trên cơ sở các công thức (2.21) và (3.22) (6.2) có các công thức biến đổi thành phần ứng suất và thành phần biến dạng sẽ như sau (H6.2): (với l1 = cosθ , m1 = sin θ , l 2 = − sin θ , m2 = cosθ ) σ x ' = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + τ xy sin 2θ ; σ y ' = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − τ xy sin 2θ ; (6.9) τ x ' y ' = (σ y − σ x )sin 2θ + τ xy cos 2θ ; 1 2 1 ε x ' = ε x cos 2 θ + ε y sin 2 θ + γ xy sin 2θ ; 2 1 ε y ' = ε x sin 2 θ + ε y cos 2 θ − γ xy sin 2θ ; (6.10) 2 γ x ' y ' = (ε y − ε x )sin 2θ + γ xy cos 2θ . 1 2 6. Công thức thế năng đơn vị cho vật liệu đẳng hướng: 1 −ν 2  2 ( )  2 σ x + σ y + 1 −ν τ xy + νσ xσ y . W= 2 2 (6.11) 2E   7. Các biến dạng chính : ε +ε (ε x − ε y )2 + γ xy ; 1 ε 1, 2 = x y ±  2  (6.12) 2 2  ε 3 = 0,  (trục Oz trùng với một trong các trục chính của biến dạng). 6.1.2 Trạng thái ứng suất phẳng. Trường hợp thứ hai của bài toán đàn hồi được rút gọn về 2D là bài toán về trạng thái ứng suất phẳng. Trạng thái ứng suất được gọi là phẳng khi ứng suất tác dụng trên mặt, vuông góc với một trong các trục toạ độ, bằng 0, đồng thời, các thành phần ứng suất còn lại không phụ thuộc vào toạ độ ứng với trục này. Cũng giả thiết rằng, mặt phẳng x-y là mặt phẳng đàn hồi đối xứng.Trên thực tế, trạng thái ứng suất phẳng xảy ra trong các tấm mỏng (chiều dày 2h), chịu tác dụng của các lực đặt vào vành tấm, theo phương song song với các mặt không chịu lực. Ta chọn mặt phẳng không chịu lực (mặt đá y) làm mặt tọa độ x-y còn trục z tất nhiên là vuông góc với mặt tọa độ này. Từ định nghĩa của bài toán, ta có: σ x = σ x ( x, y ); σ y = σ y ( x, y ); τ xy = τ xy ( x, y ); σ z = τ yz = τ zx = 0. (6.13) Ngoài ra cũng có thể kết luận rằng các thành phần chuyển vị khác 0 cũng không phụ thuộc vào toạ độ z. Để thỏa mãn điều kiện cácthành phần ứng suất và thành phần chuyển vị không phụ thuộc vào tọa độ z cần phải triệt tiêu các thành phần lực khối và lực mặt theo phương z. Cũng có thể cho phép các lực mặt và lực khối này khác 0 khi chúng phân bố đối xứng qua mặt phẳng chia đôi chiều dày vật thể khảo sát. Trường 84
Lý Thuyết Đàn Hồi hợp này, với giả thiết chiều dày, 2h, bé, có thể sử dụng giá trị trung bình (bằng 0) làm cơ sở xác định gần đúng. 1. Phương trình cân bằng: Sử dụng (6.14) và tính chất không phụ thuộc của các thành phần ứng suất còn lại vào toạ độ z, từ phương trình cân bằng (5.1) ta có kết quả: ∂σ x ∂τ xy ∂τ xy ∂σ y + = 0; + = 0; (6.3) ∂x ∂y ∂x ∂y Đây cũng chính là phương trình cân bằng (6.3) của bài toán biến dạng phẳng (với X = Y = Z = 0). 2. Định luật Hooke: a. Trên cơ sở của định luật Hooke cho vật liệu trực hướng (4.31) và các quan hệ (4.24), ta có: (σ x − ν xyσ y ); 1 εx = Ex (σ y − ν yxσ x ); 1 εy = Ey (6.14) ν yz ν  ε z = − xz σ x + σ y ; E  Ey x  1 γ xy = τ xy ; γ yz = γ zx = 0. G xy b. Trên cơ sở của định luật Hooke cho vật liệu đẳng hướng (4.40) và các quan hệ (4.27), ta có: ε x = (σ x − νσ y ); 1 E ε y = (σ y − νσ x ); 1 E (6.15) ν ν ε z = (σ x + σ y ) = − (σ x + σ y ); 1 −ν E 1 γ xy = τ xy ; γ zx = γ yz = 0. G 3. Quan hệ biến dạng - chuyển vị : Cũng với cơ sở trên đây, có kết quả của quan hệ biến dạng - chuyển vị trong trường hợp khảo sát: ∂u ∂v ∂w εx = ; εy = ; εz = ; ∂x ∂y ∂z 1  ∂u ∂v  γ xy =  + ; 2  ∂y ∂x    (6.4) 1  ∂v ∂w  γ yz = +  = 0; 2  ∂z ∂y    1  ∂u ∂w  γ zx =  +  = 0. 2  ∂z ∂x  Quan hệ (6.14) và (6.4) trên đây không hoàn toàn giống với các phương trình (6.6), (6.7) và (6.4) của trường hợp trạng thái biến dạng phẳng. Khác biệt là ở sự có mặt (khác 0) của thành phần biến dạng ε z 85
Lý Thuyết Đàn Hồi trong bài toán trạng thái ứng suất phẳng và để cho bài toán là 2D, cần phải xử lý gần đúng như trình bày trong phần dưới đây. 4. Phương trình tương thích: Sự có mặt không mong muốn của biến dạng εz trong bài toán về trạng thái ứng suất phẳng làm cho các bề mặt không chịu lực bị vênh chút ít. Tuy nhiên, với các tấm mỏmg, độ vênh nói trên là không đáng kể và có thể bỏ qua. Vì thế cho nên khi lấy gần đúng εz = 0, trên cơ sở phương trình tương thích (5.3), ta có phương trình tương thích trong trạng thái ứng suất phẳng trùng với kết quả như trong trường hợp trạng thái biến dạng phẳng, đó là phương trình: ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy 2 2 + = . (6.5) ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 5. Qui luật biến đổi các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng khi xoay hệ toạ độ: Dựa trên các công thức (2.21) và (3.22) ta thu được các công thức biến đổi các thành phần ứng suất, biến dạng cho trạng thí ứng suất phẳng. Các công thức này cũng có dạng giống hệt các công thức tương ưng scủa trường hợp biến dạng phẳng. 6. Thế năng biến dạng đơn vị thể tích (cho vật liệu đẳng hướng): [ ] σ x2 + σ y + 2τ xy + 2ν (τ xy − σ xσ y ) . (6.16) 1 W= 2 2 2 2E 7. Các ứng suất chính trong trạng thái ứng suất phẳng có thể xác định theo các công thức σ x +σ y 1 (σ x − σ y )2 + 4τ xy ; (6.17) σ 1, 2 = ± 2 2 2 σ 3 = 0. (trục Oz trùng với một trong các trục ứng suất chính) 6.1.3 Các điều kiện biên Điều kiện biên của cả hai bài toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng là giống hệt nhau, đó là điều kiện cho trước lực và/hoặc chuyển vị trên biên của hình phẳng (H6.2) a. Trên phần mặt biên cv, Su: cho trước các cv: u = u b ( x, y ); v = vb ( x, y ) . (6.19) b. Trên mặt biên chịu lực, ST (H6.3): Txb = σ x l + τ xy m = σ x cosθ + τ xy sin θ ; (6.20) T yb = τ xy l + σ y m = τ xy cos θ + σ y sin θ . 86
Lý Thuyết Đàn Hồi 6.1.3. Giải bài toán phẳng. Hàm ứng suất. Phương trình điều hòa kép Bây giờ, ta tiến hành biến đổi các phương trình cơ sở chung của trạng thái biến dạng phẳng và trạng thái ứng suất phẳng, đó là các phương trình cân bằng (6.3) và phương trình tương thích (6.5) để có được một phương trình duy nhất cho cả hai trường hợp. Các phương trình cơ sở (6.3) và (6.5) có thể biến đổi về dạng một phương trình cấp 4, nếu như ta đưa vào một hàm mới, có tên là hàm ứng suất (hay hàm Airy) được định nghĩa như sau: Gỉa sử tồn tại hàm φ ( x, y ) của hai biến không gian, sao cho ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ σx = ; σy = 2 ;τx =− . (6.21) ∂x∂y ∂y 2 ∂x Khi đó, các phương trình cân bằng (6.3) sẽ tự thoả mãn. Sử dụng định luật Hooke và sau khi thay biểu thức (6.18) vào phương trình tương thích (6.5), ta thu được phương trình đối với hàm F(x,y) ∂ 4φ ∂ 4φ ∂ 4φ δ 2 4 + 2δ 3 2 2 + δ 1 4 = 0 . (6.22) ∂x ∂x ∂y ∂y Do sự khác nhau của biểu thức quan hệ Hooke trong bài toán biến dạng phẳng và trong bài toán trạng thái ứng suất phẳng nên các hệ số δ1, δ2 và δ3 trong phương trình (6.19) nhận các giá trị khác nhau cho hai loại bài toán này, như sau : • cho trạng thái biến dạng phẳng: 1 − ν zyν yz  ν xy ν zyν yz  1 − ν zxν xz 1 −  ; (6.23) δ1 = ;δ 2 = ; δ3 = + 2G xy  E x Ey  Ex Ey   • cho trạng thái ứng suất phẳng: ν xy 1 1 1 δ1 = ;δ 2 = ; δ3 = − . (6.24) Ex Ey 2G xy E x Đối với vật thể đẳng hướng, việc xác định hàm ứng suất, phương trình tương thích cho cả trạng thái biến dạng phẳng lẫn trạng thái ứng suất phẳng, cùng có dạng điều hoà kép như sau ∂ 4φ ∂ 4φ ∂ 4φ + 2 2 2 + 4 = 0 (6.25) ∂x 4 ∂x ∂y ∂y 6.1.4 Biến đổi các điều kiện biên Các điều kiện biên, mà hàm φ(x,y) phải thoả mãn, có thể tìm được nhờ biến đổi quan hệ (6.20) trên đây. Nếu trên vành bao (đường bao) của tấm khảo sát có tác dụng của tải trọng, mà hình chiếu của nó lên các trục toạ độ là Txn và T yn thì trên cơ sở (6.20) và (6.21) ta thu được ∂ 2φ ∂ 2φ = 2 cos α − sin α ; Txn ∂x∂y ∂y (6.26) ∂ 2φ ∂ 2φ cos α + 2 sin α . T yn = − ∂x∂y ∂x trong đó cos α = cos( x, n ); . sin α = sin ( y , n ) 87
Lý Thuyết Đàn Hồi Ta qui ước di chuyển trên đường bao theo cách sao cho phần diện tích được bao kế cận luôn nằm về bên trái của hướng di chuyển, như minh họa trên hình vẽ (H6.4), và khi đó ∂y ∂x cos α = = ; ∂s ∂n (6.27) ∂x ∂y sin α = − = ∂s ∂n trong đó, s và n - tương ứng, là các hướng tiếp tuyến và pháp tuyến của đường bao. Sử dụng công thức (6.27), có thể viết lại công thức (6.26) dưới dạng ∂ 2φ ∂y ∂ 2φ ∂x ∂  ∂φ  Txn = 2 + =  ;.  ∂y ∂s ∂x∂y ∂s ∂s  ∂y  (6.28) ∂ 2φ ∂y ∂ 2φ ∂x ∂  ∂φ  T yn = − = −  . ∂x∂y ∂s ∂x 2 ∂s ∂s  ∂x  Chọn một điểm A bất kỳ trên đường bao làm gốc toạ độ, và giả sử tại điểm này, giá trị các đạo hàm và giá trị của chính hàm φ là: ∂φ ∂φ |A; φ |A . |A; (6.29) ∂x ∂y ∂φ ∂φ Khi đó, giá trị của các đạo hàm riêng tại điểm B nào đó trên đường bao có thể tính được, trên và ∂x ∂y cơ sở tích phân công thức (6.28), như sau ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ = | A − ∫ T yn ds; = | A + ∫ Txn ds (6.30) ∂x ∂x ∂y ∂y AB AB ∂φ ∂φ Công thức (6.30) cho thấy rằng, gia số của các đạo hàm riêng khi di chuyển từ điểm A đến và ∂y ∂x điểm B, bằng hình chiếu lên các trục y và x, tương ứng, của cường độ lực (lực rải) tác dụng trên cung AB . Từ đó suy ra, nếu như vectơ chính của các lực tác dụng lên đường bao bằng 0, thì tích phân đường trong (6.30) khi di chuyển trọn vòng (kín) theo đường bao, sẽ bằng 0. Nói cách khác, trong trường hợp này, ∂φ ∂φ là các hàm đơn trị trên đường bao. Điều phát biểu trên đây luôn đúng cho vật thể đơn liên. và ∂y ∂x Khi biết các đạo hàm riêng của hàm ứng suất theo các toạ độ x và y, có thể tính các đạo hàm riêng của hàm này theo tiếp tuyến và pháp tuyến của đường bao nhờ các công thức: ∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y = + ; ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s (6.31) ∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y = + ∂n ∂x ∂n ∂y ∂n Từ đó có thể dễ dàng xác định giá trị của bản thân hàm F(x,y) trên đường bao  ∂φ ∂x ∂φ ∂y   ∂φ   ∂φ      yB xB ds = φ | A + | A (xB − xA ) +  | A ( yB − yA ) − ∫  ∫ Tyndsdx+ ∫  ∫ Txndsdy F = φ |A + ∫  + (6.32),  ∂x ∂s ∂y ∂s   ∂y   ∂x  xA AB  yA AB  AB    trong đó: xA , yA , xB, yB - toạ độ các điểm A và B. Lưu ý: các tích phân trong (6.32) chính là momen của các lực tác dụng lên cung AB, lấy đối với điểm B. Tích phân đường trong (6.32) khi di chuyển trọn vòng (kín) theo đường bao, sẽ bằng 0 nếu như momen chính các lực tác dụng trên toàn đường bao bằng 0. Trong trường hợp này, hàm φ(x,y) là đơn trị 88
Lý Thuyết Đàn Hồi trên đường bao. Các công thức (6.30) và (6.32) cho ta khả năng xác định giá trị trên biên của bản thân hàm ứng suất và đạo hàm của nó . ∂φ ∂φ | A ; φ | A không ảnh hưởng đến trạng thái ứng suất trong Cần nhớ rằng giá trị của các hằng số |A; ∂x ∂y trường hợp khảo sát vật thể đơn liên, và do đó, có thể gán cho chúng giá trị bất kỳ, bằng 0 chẳng hạn. Khi vật thể khảo sát là đa liên, các hằng số này không thể lấy bất kỳ trên mỗi đường bao: Trên một đường bao nào đó có thể lấy bằng 0 và trên các đường bao còn lại chúng phải được xác định theo điều kiện đơn trị của của hàm. Từ phương trình (6.25) và các điều kiện biên (6.30), (6.32) suy ra rằng, đối với vật thể đẳng hướng, khi cho trứơc điều kiện biên, hàm ứng suất không phụ thuộc gì vào các hằng số đàn hồi, và như vậy: Nếu các vật thể có cùng hình dáng và chịu tác dụng của tải trọng ngoài như nhau thì hàm ứng suất là giống hệt nhau, cho dù chúng được làm từ các vật liệu khác nhau (định lý M. Lewis) Điều phát biểu trên đây chỉ đúng cho miền đơn liên. Đối với miền đa liên, hàm ứng suất chỉ không phụ thuộc vào các hằng số đàn hồi khi mà vectơ chính và momen chính của các lực tác dụng trên mỗi đường bao đều bằng 0. Các điều kiện biên (6.30) và (6.32) nêu ra trên đây xác định tính chất chung của hàm ứng suất trên biên. Chúng thường được sử dụng để giải các bài toán trong trường hợp các đường biên không phải là các đoạn thẳng song song với các trục toạ độ. Các phương trình vi phân (6.22) và (6.25) thuận tiện cho việc xác định các ứng suất trên các tấm có đường bao hình chữ nhật. Đối với các tấm chữ nhật này, phương trình điều kiện biên (6.26) sẽ rất đơn giản. §6.2 Thiết lập bài toán phẳng trong tọa độ cực Hệ toạ độ cực đã được trình bày trong chương I như là một trường hợp riêng của hệ tọa độ cong (§1.9, ví dụ 1.3) cùng với các quan hệ toán tử vi phân vector cơ bản. Giải bài toán đàn hồi phẳng trong hệ tọa độ cực chính là xác định các thành phần chuyển vị , ứng suất, biến dạng {u r , uθ ; er , eθ , erθ ; σ r , σ θ , τ rθ } trong miền R (H6.4). Quan hệ biến dạng - chuyển vị trong tọa độ cực có thể xác định được trên cơ sở phát triển các công thức trong mục §3.7: bỏ qua biến z trong công thức (3.43), thu được kết quả: ∂u er = r ; ∂r ∂u  1 eθ =  u r + θ ; (6.33) ∂θ  r 1  1 ∂u r ∂uθ uθ  e rθ = + − .  2  r ∂θ ∂r r Kết quả trên cũng có thể thu được nhờ áp dụng qui luật biến đổi các thành phần biến dạng khi thay đổi tọa độ. Dựa trên khái niệm vật thể đàn hồi đẳng hướng, có thể kết luận rằng, dạng của định luật Hooke cho vật thể đàn hồi đẳng hướng không thay đổi khi chuyển sang hệ tọa độ cong trực giao bất kỳ. Do đó, dạng của định luật Hooke trong trường hợp của bài toán ứng suất phẳng và biến dạn phẳng cũng không thay đổi trong hệ tọa độ cực mà chỉ đơn giản đổi các chỉ số x – y sang r - θ, cụ thể như sau: 89
Lý Thuyết Đàn Hồi Biến dạng phẳng Ứng suất phẳng er = (σ r − νσ θ ); 1 E σ r = λ (er + eθ ) + 2Ger ; er = (σ r − νσ θ ); 1 σ θ = λ (er + eθ ) + 2Geθ ; E (6.34) σ z = λ (er + eθ ) = ν (σ r + σ θ ); ν (σ r + σ θ ) = − ν (er + eθ ); er = − 1 −ν τ rθ = 2Gerθ ; τ θz = τ rz = 0. E 1 +ν τ rθ ; eθz = erz = 0. e rθ = E (6.35) Một cách tương tự, từ (2.42) ta có thể viết dạng tương ứng của phương trình cân bằng ∂σ r 1 ∂τ rθ (σ r − σ θ ) + + + Fr = 0; r ∂θ ∂r r (6.36) ∂τ rθ 1 ∂σ θ 2τ rθ + + + Fθ = 0. r ∂θ ∂r r Biểu diễn quan hệ trên đây theo các chuyển vị , ta có dạng tương ứng của phương trình Navier: 1 ∂uθ  ∂  ∂u G∇ 2 u r + (λ + G )  r + r + u  + Fr = 0; r r ∂θ  ∂r  ∂r Biến dạng phẳng → (6.37) 1 ∂  ∂u r u r 1 ∂uθ  G∇ uθ + (λ + G ) ++  + Fθ = 0. 2  r ∂θ  ∂r r r ∂θ  ∂  ∂u r u r 1 ∂uθ  E G∇ 2 u r + ++  + Fr = 0;  2(1 −ν ) ∂r  ∂r r r ∂θ  Ứnsuất phẳng → (6.38) E 1 ∂  ∂u r u r 1 ∂uθ  G∇ uθ + ++  + Fθ = 0, 2  2(1 −ν ) r ∂θ  ∂r r r ∂θ  trong đó, kết quả của ví dụ 1.3 mục §1.9 đã được vận dụng và Laplacian hai chiều được cho bởi: ∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∇2 = 2 + +2 (6.39). r ∂r r ∂θ 2 ∂r Cũng trên cơ sở kết quả nhận được từ (§1.9, ví dụ 1.3), cộng với tính chất: σ x + σ y = σ r + σ θ , các phương trình tương thích có thể biến đổi về dạng tương ứng: 1  ∂Fr Fr 1 ∂Fθ  Biến dạng phẳng → ∇ 2 (σ r + σ θ ) = − + +  ; (6.40) 1 − ν  ∂r r r ∂θ   ∂F F 1 ∂Fθ  Ứng suất phẳng → ∇ 2 (σ r + σ θ ) = −(1 + ν ) r + r +  (6.41) r r ∂θ   ∂r Sử dụng đinh nghĩa của hàm Airy và qui tắc biến đổi cácthành phần ứng suất cho bài toán 2D, ta có quan hệ sau giữa cácthành phần ứng suất trong tọa độc cực và hàm Airy: 90
Lý Thuyết Đàn Hồi 1 ∂φ 1 ∂ φ 2 σr = + ; r ∂r r ∂θ 2 ∂ 2φ σθ = ; (6.42) ∂r 2 ∂  1 ∂φ  τ rθ =  . ∂r  r ∂θ  Có thể thấy rằng với cácthành phần ứng suất xác định theo (6.42), các phương trình cân bằng (6.36) trở thành đồng nhất thức với mọi hàm φ liên tục đến đạo hàm cấp 2 của nó, trong điều kiện vắng mặt lực khối. Khi đó, với (6.42), phương trình tương thích có thể biến đổi về dạng điều hòa kép như sau  ∂2 1 ∂ 1 ∂2  ∇ 4φ =  2 + φ = 0. +2 (6.43)  ∂r r ∂r r ∂θ 2    Như vậy, bài toán đàn hồi 2D trong tọa độ cực đã được thiết lập chỉ với một phương trình dẫn dạng điều hòa kép, theo một hàm ứng suất φ(r, θ), của hai biến số xác định trong miền hai chiều, R (H6.4). Để tìm lời giải cho bài toán, còn cần có điều kiện biên thích hợp. Các điều kiện này sẽ được xác lập khi xét các ứng dụng cụ thể. §6.2 Giải các bài toán phẳng Bài toán phẳng, bao gồm biến dạng phẳng và ứng suất phẳng, đã được thiết lập trong §6.1 và, như đã thấy, việc giải các bài toán này sẽ rất tiện lợi nếu ứng dụng hàm ứng suất Airy. Nhờ ứng dụng hàm Airy, hệ phương trình của bài toán đàn hồi 2D, trong trường hợp không có lực khối, đã đưa được về một phương trình điều hòa kép, xác định trong miền khảo sát. Như vậy, bài toán đàn hồi 2D trong điều kiện không có lực khối dẫn đến bài toán tìm nghiệm của phương trình điều hòa kép trong miền khảo sát. Nghiệm này đương nhiên là phải thỏa mãn điều kiện biên tương ứng của bài toán đàn hồi cụ thể cần giải quyết. Ta hạn chế trình bày cách lời giải cho trường hợp vật liệu đẳng hướng. Có nhiều giải pháp cụ thể cho việc tìm nghiệm nói trên. Hai trong số các giải pháp này là việc ứng dụng chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier sẽ được trình bày dưới đây. 6.2.1 Ứng dụng chuỗi lũy thừa tìm lời giải trong toạ độ Đề-Các Xét bài toán được thiết lập theo tọa độ Đề-Các, khi không có lực khối, với vật liệu đẳng hướng. Bài toán loại này thích hợp hơn cả cho trường hợp biên chữ nhật vì sự đơn giản trong việc mô tả và đáp ứng điều kiện biên. Để giải bài toán, ta cần ấn định trước, căn cứ trên một lập luận nào đó, dạng nghiệm của phương trình điều hòa kép ∂ 4φ ∂ 4φ ∂ 4φ +2 2 2 + 4 =0 (6.25) ∂x 4 ∂x ∂y ∂y và tìm xem bài toán nào thỏa mãn dạng nghiệm tương ứng với hàm ứng suất trên. Đây là cách giải dựa trên quan điểm về lời giải ngược. Hàm ứng suất Airy được cho dưới dạng chuỗi lũy thừa, được Neou giới thiệu đầu tiên, vào năm 1957, ∞ ∞ φ ( x, y ) = ∑ ∑ Amn x m y n , (6.44) m =0 n =9 trong đó, các hệ số Anm là các hằng số cần xác định. Trên cơ sở của biểu thức định nghĩa hàm ứng suất (6.21) và công thức (6.25) có thể thấy rằng: 3 số hạng cấp thấp nhất của chuỗi trên, thỏa mãn điều kiện m + n ≤ 1 không tham gia tạo nên sự khác biệt về ứng suất nên được bỏ qua; • Các số hạng cấp 2 tạo nên trường ứng suất không đổi; • Các số hạng cấp 3 tạo nên trường ứng suất biến đổi tuyết tính và …; 91
Lý Thuyết Đàn Hồi • Các số hạng có lũy thừa m + n ≤ 3 sẽ tự đông thỏa mãn phương trình điều hòa kép với Anm bất kỳ; • Các số hạng có lũy thừa m + n > 3 muốn thỏa mãn phương trình nói trên thì giữa các hệ số Anm phải tồn tại một quan hệ xác định nào đó. Ví dụ: A40 x 4 + A22 x 2 y 2 + A04 y 4 sẽ chỉ thỏa mãn phương trình điều hòa kép với điều kiện 3 A40 + A22 + 3 A04 = 0 và khi đó chỉ còn 2 trong 3 hằng số là đọc lập, cần xác định. Xét trường hợp tổng quát. Sau khi thay (6.44) vào (6.25), thu được ∞ ∞ ∑ ∑ m(m − 1)(m − 2 )(m − 3)Amn x m−4 yn m =0 n = 0 ∞ ∞ + 2 ∑ ∑ m(m − 1)(m − 2 )n(n − 1) Amn x m−2 y n −2 (6.45) m=2 n= 2 ∞ ∞ + ∑ ∑ n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)Amn x m y n− 4 = 0. m = 0 n =0 Đặt thừa số chung theo lũy thừa của x và y, có thể viết lại phương trình trên dưới dạng [ ] ∞ ∞ ∑ ∑ (m + 2)(m + 1)m(m −1)Am+2,n−2 + 2m(m −1)n(n −1)Amn + (n + 2)(n + 1)n(n −1)Am−2 , n+2 x y = 0 . m−2 n−2 (6.46) m=2 n=2 Vì quan hệ trên phải thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y nên biểu thức trong dấu ngoặc vuông phải triệt tiêu, tức (m + 2 )(m + 1)m(m − 1)Am+ 2,n −2 + 2m(m − 1)n(n − 1)Anm + (n + 2 )(n + 1)n(n − 1)Am−2,n+ 2 = 0. (6.47) Với mỗi cặp giá trị của m và m, (6.47) chính là quan hệ tổng quát phải thỏa mãn để cho đa thức tạo thành là điều hòa kép. Đây cũng chính là điều kiện mà ta đã thảo luận bên trên với (m = 2, n = 2). Có thể nhậ xét thấy ngay rằng, vì phương pháp khảo sát dẫn đến phân bố ứng suất dươcí dạng đa thức nên không thể hy vọng rằng điều kiện biên sẽ được thỏa mãn điều kiện biên dưới dạng tổng quát. Tuy nhiên, hạn chế này có thể vượt qua được nhờ việc thay đổi điều kiện biên của bài toán khảo sát trên cơ sở của nguyên lý Saint Venant và do đó, kết quả thu được chỉ chính xác cho vùng xa biên. Phương pháp thảo luận trên đây thường áp dụng cho bài toán coa miền chữ nhật, nhất là các bài toán một chiều như trong tính toán các dầm chẳng hạn. Ta xét một ví dụ loại này. Ví dụ 6.1: Dầm chịu lực cắt tại dầu mút Xét một dầm chịu lực cắt ngang tại dầu mút (mặt biên) như trên hình H6.5, với điều kiện biên xác định như sau: Tại y = ± h : τ xy = σ y = 0; (6.48) h Tại x = 0 : σ x = 0; ∫ τ xy dy = F (6.49) −h Nhận xét trực giác: • Ứng suất pháp theo phương dọc trục sẽ là chủ yếu (trên một tiết diện bất kỳ); • Momen uốn và ứng suất pháp theo phương dọc trục sẽ phụ thuộc vào biến y. Nhận xét trực giác trên là cơ sở cho suy luận rằng ứng suất pháp dọc trục x, σ x , là hàm của hai biến x, y: σ x = σ x ( x, y ) . Từ đó chọn dạng hàm ứng suất thử : φ = A13 xy 3 . (6.50) Các thành phần ứng suất tương ứng: 92
Lý Thuyết Đàn Hồi σ = 6 A xy;  x  13   φ = A13 xy ⇒ σ y = 0; 3  (6.51)  2 τ xy = −3 A12 y .   Với qui luật trên, ứng suất tiếp sẽ là khác 0 tại các biên y = ± h . Cần bổ sung vào hàm ứng suất một số hạng để triệt tiêu giá trị ứng suất không mong muốn này. Tiến hành chọn lại hàm ứng suất: φ ( x, y ) = A13 xy 3 + A11 xy ⇒ τ xy = −3 A13 y 2 − A11 ⇒ A11 = −3 A13 h 2 . ( ) τ xy = 3 A13 h 2 − y 2 . Sử dụng điều kiện biên để xác định hệ số chưa biết A13 : h F ∫ τ xy dy = F ⇒ A13 = . 4h 3 −h Kết quả cuối cùng: (y ) Hàm ứng suất: φ ( x, y ) = Fxy − 3h 2 y . 3 (6.52) 3 4h Các thành phần ứng suất thu được:    σ x = 3Fxy ;    2h 2  σ = 0; . (6.53) y  ( )  3F h 2 − y 2  τ xy =      4h 3 Có thể nhận xét thấy rằng để có các kết quả trên đây, đã không cần sử dụng đến giả thiết tiết diện phẳng quen thuộc trong lý thuyết uốn dầm. Trên cơ sở các thành phần ứng suất trên đây, và định luật Hooke, xác định được các biến dạng tương ứng: ∂u 1 ( ) 3Fxy εx = = σ x − νσ y = ; ∂x E 2 Eh 3 ∂v 1 ( ) 3Fxy εy = = σ y − νσ x = −ν (6.54) ; ∂y E 2 Eh 3 ( ) 1  ∂v ∂u  3F h 2 − y 2 γ xy =  +  = (1 + ν )τ xy = (1 + ν ) 1 . 2  ∂x ∂y  4 Eh 3   2 Tích phân các thành phần biến dạng cho phép thu được các thành phần chuyển vị :   3Fx 2 y + f ( y );  u =   3 4 Eh (6.55)   2 + g ( x ).  3Fxy  v = −ν     3 4 Eh trong đó, f ( y ) và g (x ) là các hàm xác định theo điều kiện biến dạng cắt. Sau khi thay các tcv vào quan hệ biến dạng cắt –cv, được ( ) 1  3Fx 2 3Fy 2 dg  3F h 2 − y 2  = (1 + ν ) df −ν  + + 2  4 EÈh 3 dy 4 Eh 3 dx  4 Eh 3   Biểu thức trên có thể sắp xếp lại như sau 93
Lý Thuyết Đàn Hồi (6.56) Từ đó, có (6.57) Các hằng số A, B, C trong lời giải biểu thị các cv vật rắn:A và B – cv tịnh tiến vật rắn , C – cv xoay vật rắn. Các hàng số này có thể xác định từ các điều kiện biên cải biên theo nguyên lý Saint Venant (điều kiện biên yếu). Với bài toán khảo sát, tồn tại 3 sự lựa chọn điều kiện biên sau đây: ∂u FL3 3FL2 1) u = v = 0 tại x = L và = 0 ⇒ A = 0; B = − ;C= ∂y 2 Eh 3 4 Eh 3 FL3  h2  3FL2  h2  ∂u 1 + 3(1 + ν ) 2 ; C = 1 + 2(1 + ν ) 2  2) u = v = 0 tại x = L và = 0 ⇒ A = 0; B = − ∂y 2 Eh 3  4 Eh 3  L L 3) Điều kiện biên tốt nhât: Từ điều kiện biên thứ 3, có: h h h tại x = L ∫ udy = 0; ∫ vdx = 0; ∫ yudy = 0 ⇒ −h −h −h  (12 + 11 ) h 2   (8 + 9ν ) L2  ν 2 3FL3 FL A = 0; B = − 1+ ;C= 1 +    (6.58) 2 Eh 3 L2  4 Eh 3 h2  5 5   Ví dụ 6.2 Dầm chịu tác dụng của tải trọng ngang rải đều Hình (6.6) biểu thị dầm chịu tải trọng ngang rải đều dọc theo mặt trên của nó. Dây là bài toán phẳng với miền khảo sát là hình chữ nhật cao 2c, rộng 2l. Điều kiện biên chính xác được áp đặt cho mặt trên và mặt đáy, trong khi tại hai đầu mút sử dụng điều kiện biên yếu với momen uốn bằng 0 còn lực cắt chỉ đòi hỏi thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh toàn dầm. Điều kiện biên của bài toán được biểu thị bởi: 94
Lý Thuyết Đàn Hồi τ xy (x,±c ) = 0;  Tại mặt biên trên và biên dưới: σ y (x, c ) = 0; (6.59)  σ y (x,−c ) = − p c  ∫ σ x (± l , y )dy = 0; −c c Tại hai mút (điều kiện biên yếu)  ∫ σ x (± l , y )ydy = 0; (6.60)  −c c  ∫ τ xy (± l , y )dy = m wl. −c Nhận xét trực giác về phân bố ứng suất trên các tiết diện ngang dầm cũng tương tự như trong ví dụ 6.1. Hàm ứng suất thử chọn chọn dạng chứa các số hạng cấp 2 , cấp 3 và cấp 5: A φ (x, y ) = A20 x 2 + A21 x 2 y + A03 y 3 + A23 x 2 y 3 − 23 y 5 . 5 (6.61) Chú ý rằng số hạng cấp 5 đã được chọn thỏa mãn phương trình điều hòa kép. Hàm ứng suất trên tương ứng với các thành phần ứng suất:  2 σ x = 6 A03 y + 6 A23  x 2 y − y 3 ;  3 σ y = 2 A20 + 2 A21 y + 2 A23 y 3 ; (6.62) τ xy = −2 A21 x − 6 A23 xy 2 . Áp dụng 3 điều kiện (6.59) dãn đến 3 phương trình xác định 3 hằng số A20 , A21 và A23 . Sau khi giải hệ phương trình này, được kết quả: p 3p p A20 = − ; A21 = ; A23 = − 3 . (6.63) 4 8c 8c Các kết quả trên còn thỏa mãn cả các điều kiện thứ 4 và thứ 6. Điều kiện biên thứ 5 về momen bằng 0 dẫn đến kết quả 2  p  l2 2  A03 = − A23  l 2 − c 2  =  2 −  . (6.64) 5  8c  c 5    Với 4 hằng số của hàm Airy thử được xác định như trên, cácthành phần ứng suất tương ứng sẽ là 3p  l2 2  3p  2 2 3 σx =  − y −  x y − y ;  c2 5  3 4c  5 4c   p 3p p σy =− + 3 y − 3 y3; (6.65) 2 4c 4c 3p 3p τ xy = − x + 3 xy 2 . 4c 4c Để tiện so sánh kết quả thu được với lời giải trong sức bền vật liêu, ta đưa vào ký hiệu momen quán tính tiết diện ngang I = 2c 3 / 3 và viết lại (6.65) dưới dạng: 95
Lý Thuyết Đàn Hồi ( ) p2 σx = l − x 2 y y; 2I p  y3 2 σ y = −  − c 2 y  + c3 ; (6.66) 3 3 2I   ( ) p τ xy = x c2 − y2 . 2I Kết quả trong sức bền vật liệu như sau: ( ) My p2 σx = = l − x 2 y; I 2I σ y = 0; (6.67) ( ) VQ p τ xy = = − x c2 − y2 , It 2I (c ) ( ) − y2 2 trong đó, men M = l 2 − x 2 / 2; lực cắt V = − px ; momen tĩnh diện tích tiết diện ngang Q = ; 2 chiều dày t lấy bằng đơn vị. So sánh hai kết quả thấy rằng: • Ứng suất tiếp giống hệt nhau; • Các ứng suất pháp khác nhau; • Lý thuyết sơ cấp (sức bền vật liệu) cho kết quả ứng suất σ x thay đổi tuyến tính trong khi lý thuyết đàn hồi cho thấy quan hệ phi tuyến (theo tọa độ y); Sai lệch lớn nhất xuất hiện tại mép ngoài cùng của tiết diện ngang (trên đỉnh và dưới đáy), đạt trị số p / 5 , không phụ thuộc vào kích thước của dầm. Với dầm thông dụng trong thực tế (có chiều dài lớn hơn nhiều so với chiều rông, l >> c ), sự sai khác này trở thành nhỏ (trong ví dụ trên, khi l / c = 4 , sai khác chỉ khoảng 1%). • Sự sai khác về giá trị ứng suất pháp σ y giữa hai lý thuyết là p tại mặt trên của dầm và sai lệch này là nhỏ khi l >> c . Các nhận xét trên về định tính vẫn còn đúng cho các trường hợp tải trọng khác. Có nghĩa là, với dầm có chiều dài lớn hơn chiều cao nhiều, các kết quả từ lý thuyết sơ cấp sức bền vật liệu nói chung là rất gần với kết quả từ lý thuyết đàn hồi. Tiếp đến, xác định các cv bằng cách tương tự như trong ví dụ 6.1: Trước tiên, sử dụng định luật Hooke biểu diễn và quan hệ biến dạng - chuyển vị để biểu diễn cv theo ứng suất. Tiếp đến, thay ứng suất từ (6. 66) và cuối cùng là dùng phép tích phân để xác định các cv. Quá trình trên dẫn đến: p  2 2c 3  x3   2 y 3 2c 2 y   y3  3 − c y + 3  + f ( y );  l x −  y + x  + vx  u= 3− 5 2  2 EI  3        (6.68) ( ) p  y 4 c 2 y 2 c 3 y   y 4 c 2 y 2  y2  12 − 2 + 3  + v l − x 2 + v 6 − 5  + g ( x ).     v=− 2 2 2 EI       Trong đó, f ( y ) và g (x ) là các hàm số tùy ý của tích phân Thay kết quả trên vào quan hệ biến dạng cắt- cv, thu được ( ) ( ) p 2   2c 2  x3  + vx y 2 − c 2  + f ' ( y ) + vxy 2 + g ' ( x ) = − p p2 + x 2 y 2 − l x− c − y2  (6.69)   2 EI   3 5 2 EI 2Gl    Có thể viết lại phương trình trên dưới dạng tách biến số 96
Lý Thuyết Đàn Hồi f ( y ) = q0 y + u 0 ; p  2 8  2 2 (6.70) g (x ) = p x4 − l −  5 + v c  x − q 0 x + v0 .   4 EI  24 EI Chọn điều kiện biên u (0, y ) − v ± l ,0 = 0 , có thể xác định được các hằng số q0 , u0 và v0 như sau: 5 pl 4  12  4 v  c 2  u 0 = q 0 = 0; v0 = 1 +  +  2  (6.71) 5 5 2 l  24 EI  Với kết quả trên, có công thức cuối cùng xác định cv: p  2 2c 3   x3   2 y 3 2c 2 y   y3  l x −  y + x  + vx  u= 3− 5  3 − c y + 3  ; 2  2 EI  3        ( ) p  y 4 c 2 y 2 2c 3 y  y2 y4 c2 y2   v=− − + + v l 2 − x 2 + −  (6.72) 2 EI  12 2 3 2 6 3   x 4  l 2  4 v  2  2  5 pl 4  12  4 v  c 2  +  +  + c  x  + − 1 +  +  2  12  2  5 2    24 EI  5 5 2 l   Độ võng cực đại được xác định theo công thức sau 5 pl 4  12  4 v  c 2  v(0,0 ) = v max = 1 +  +  2  (6.73) 5 5 2 l  24 EI  Kết quả từ sức bền vật liệu là 5 pl 4 v max = (6.74) 24 EI pl 4  4 v  c 2  +  . Đây là thành phần xuất Sai lệch giữa hai lý thuyết xác định được từ (6.72) và (6.73) là 24 EI  5 2  l 2 hiện do sợ có mặt của lực cắt. Với dầm dài : l >> c , độ sai lệch trên là rất bé. Một lần nữa ta chứng tỏ được rằng, với đâm dài, kết quả từ sứ bền vật liệu khác trùng khớp với kết qủa của lý thuyết đàn hồi. Công thức cv (6.72) cho phép rút ra nhận xét: • Trên các tiết diện (ứng với tọa độ x không đổi) chuyển vị không còn là tuyến tính và như vậy tiết diện ngang của dầm không còn là phẳng; d 2 v( x,0 ) • Quan hệ M = EI của lý thuyết Euler-Bernoulli được sử dụng trong sức bền vật liệu không dx 2 không nghiệm đúng lời giải của bài toán đàn hồi đang xét. 6.2.2 Ứng dụng phương pháp Fourier tìm lời giải trong hệ tọa độ Đề-Các Một sơ đồ giải phương trình điều hòa kép tổng quát hơn có thể tìm được nhờ sử dụng phương pháp Fourier. Ứng dụng của phương pháp này xuất hiện từ giữa thể kỷ 20, và được mô tả chi tiết trong các công trình của Pickett (1944), Timoshenko và Goodier (1970) [6]. Theo ppp này, hàm ứng suất đươci tìm dưới dạng tách biến kết hợp với ứng dụng chuối Fourier hoặc tích phân Fourier. Hàm Airy được tìm trong tọa độ đề-Các dưới dạng tách biến sau như sau φ (x, y ) = X (x )Y ( y ) . (6.75) Trên nguyên tắc, các hàm X và Y có thể chọn dưới dạng bất kỳ, tuy nhiên, tiện lợi và thông dụng hơn cả là dạng hàm số mũ X = e α x , Y = e β y . Sau khi thay các dạng này vào phương trình điều hòa kép (6.41), thu được phương trình ( ) α 4 + 2α 2 β 2 + β 4 e α x e β y = 0 . (6.76) 97
Lý Thuyết Đàn Hồi Buộc biểu thức trong ngoặc bằng 0 ta thu được phương trình đặc trưng (α ) 2 +β2 =0 . 2 (6.77) Nghiệm của phương trình đặc trưng trên có dạng kép: α = ± iβ (6.78) Nghiêm tổng quát của bài toán đặt ra được tìm theo pp chồng nghiệm, bao gồm nghiệm zero và nghiệm tổng quát của phương trình điều hòa kép. Với nghiệm zero β = 0 (nghiệm chập 4): φ β =0 = C 0 + C1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 (6.79) trong khi nghiệm zero ứng với α = 0 cho nghiệm bài toán dưới dạng φα =0 = C 4 y + C5 y 2 + C6 y 3 + C7 xy + C8 x 2 y + C9 xy 2 . (6.80) Dễ thấy trên đây chính là nghiệm dưới dạng đa thức của phương trình điều hòa kép. Trong trường hợp tổng quát, nghiệm của phương trình này là [ ] [ ] φ = e iβ x Ae β y + Be − β y Cye β y + Dye − β y + e −iβ x A' e β y + B ' e − β y C ' ye β y + D ' ye − β y (6.81) Các hằng số tùy ý A, B, C, D và A’, B’, C’, D’ được xác định từ các điều kiện biên của bài toán. Nghiệm kết quả của bài toán tìm được bằng pp chồng nghiệm, từ các nghiệm (6.79) , (6.80) và (6.81). Sử dụng dạng lượng giác và dạng hyperbolic của hàm số mũ, có thể viết dạng nghiệm thực của bài toán như sau φ = sin β x[( A + Cβ y )sinh β y + (B + Dβ y ) cosh β y ] + cos βx[( A'+C ' β y )sinh β y + (B '+ D ' βy ) cosh β y ] + sin αy[(E + Gαx ) sinh αx + (F + Hαx ) cosh αx ] (6.82) + sin αy[(E '+G 'αx ) sinh αx + (F '+ H 'αx ) cosh αx ] + φα = 0 + φ β = 0 Dạng nghiệm trên kết hợp với chuỗi Fourier cho phép giải nhiều bài toán với các tải trọng biên phức tạp. Ví dụ 6.3 Tấm chữ nhật chịu tải bất kỳ trên biên (pp Fourier với việc áp dụng chuỗi Fourier ) Xét tấm chữ nhật chịu tải trọng ngoài tác dụng tác dụng lên các biên. Tuy pp tổng quát trên đây cho phép giải quyết bài toán theo điều kiện biên tổng quát với các lực tác dụng lên cả 4 mặt biên, nhưng, trong ví dụ kết hợp áp dụng chuỗi Fourier này, ta xét trường hợp chỉ hai biên trên và dưới chịu lực đối xứng qua trục y như trên hình H6.7. Các cạnh tấm là cùng cỡ (tức không chênh lệch nhau quá nhiều). Áp dụng điều kiện biên chính xác: σ x (± a, y ) = 0; (6.83) τ xy (± a, y ) = 0' (6.84) τ xy ( x,±b ) = 0; (6.85) σ y ( x,±b ) = − p ( x ). (6.86) Trên cơ sở giả thiết tải trọng đối xứng, ứng suất cũng đối xứng (đối với trục y), và hàm Airy có thể chon dưới dạng ∞ φ ( x, y ) = ∑ cos β n x[Bn cosh β n y + C n y sinh β n y ] n =1 (6.87) ∞ + ∑ cos α m y[Fm cosh α m x + Gm x sinh α m x ] + C 0 x .2 m =1 98
Lý Thuyết Đàn Hồi Các ứng suất được tính từ hàm Airy trên đây sẽ là: ∞ σ x = ∑ β n cos β n x[Bn cosh β n y + C n (β n y + 2 cosh β n y )] 2 n =1 ∞ − ∑ α m cos α m y[Fm cosh α m x + G mα m x sinh α m x ]; 2 m =1 ∞ σ x = ∑ β n cos β n x[Bn cosh β n y + C n β n y sinh β n y ] + 2C 0 2 n =1 (6.88) ∞ cos α m y[Fm cosh α m x + G m (α m x sinh α m x + 2 cosh α m x )]; ∑α m − 2 m =1 ∞ τ xy = ∑ β n sinh β n x[Bn sinh β n y + C n (β n y cosh β n y + sinh β n y )] 2 n =1 ∞ + ∑ α m sinh α m y[Fm sinh α m x + C m (α m x cosh α m x + sinh α m x )] 2 n =1 Từ các điều kiện biên (6.83), (6.84), (6.85) ⇒ α m = mπ / b và α n = nπ / a Từ điều kiện biên (6.84) ⇒ Fm = −G m (1 + α m a coth α m a ) , (6.89) Còn điều kiện (6.85) dẫn đến Bn = −C n (1 + β n b coth β n b ) . (6.90) ∞ ∑ β n cos β n a[Bn cosh β n y + C n (β n y + 2 cosh β n y )] 2 n =1 Áp dụng diều kiện biên (6.83) ⇒ . ∞ cos α m y[Fm cosh α m a + G mα m a sinh α m a ] ∑α m = 2 m =1 Kết quả này có thể viết lại dưới dạng ∞ ∞ [Bn cosh β n y + C n β n y sinh β n y + 2 cosh β n y ] ∑ Am cos α m y = ∑ β n (− 1) n +1 2 (6.91) m =1 n =1 trong đó αm2 (α m a + sinh α m a cosh α m a )Gm . Am = (6.92) sinh α m a Áp dụng qui tắc khai triển Fourier, Thực hiện tích phân 2 vế của (6.91), xác định được các hệ số Am theo công thức sau: 2∞ 2 ∑ β n (− 1) ∫ [B.n cosh β n ξ + C n (β n ξ sinh β n ξ + 2 cosh β n ξ )]cos α m ξdξ . b n +1 Am = (6.93) b n =1 0 Thực hiện tích phân và so sánh với (6.91) cho kết quả β 2 (− 1) sinh β n b − 4 sinh α m a mn ∞ Gm = ( ) Cn n ∑ . (6.94) b(α m a + sinh α m a cosh α m a ) n=1 α m + β n2 2 Điều kiện biên cuối cùng (6.86) cho phếp thu được quan hệ ∞ − ∑ β n cos β n x[Bn cosh β n b + C n β n b sinh β n b ] + 2C 0 2 n =1 ∞ + ∑ α m cos α m b[Fm cosh α m x + Gm (α m x sinh α m x + 2 cosh α m x )] = p (x ) 2 m =1 Quan hệ trên có thể được viết lại dưới dạng sau ∞ ∞ [Fm cosh α m x + Gm (α m x sinh α m x + 2 cosh α m x )] ∑ An cos β n x = − p( x ) + ∑ α m (− 1) m +1 * 2 (6.95) n=0 m =1 99
Lý Thuyết Đàn Hồi trong đó, βn2 (β n b + sinh β n b cosh β n b )C n ; = * An sinh β n b (6.96) A0 = 2C 0 . * Một lần nữa, thực hiện khai triển Fourier đối với vế bên phải của (6.95) và so sánh hệ số của các số hạng cùng có các thừa số là các hàm cosine giống nhau ở 2 vế của phương trình kết quả, thu được: α m (−1)m+n sinhα m a − 4 sinhβ nb 2 sinhβ nb 3 ∞ a ∫ p(ξ ) cosβ nξdξ Cn = −2 ∑ Gm ( ) a(β nb + sinhβ nb coshβ nb) m=1 aβ n (β nb + sinhβ nb coshβ nb) 0 2 α2 +β 2 m n (n = 1, 2, 3, ...) (6.97) a ∫ p(ξ )dξ. 1 C0 = − 2a 0 Các phương trình cồng kềnh (6.94) và (6.97) có thể viết lại dưới dạng gọn ghẽ hơn: ∞ G m + ∑ Rmn C n = 0; m =1 (6.98) ∞ C n + ∑ S mn G n = Tn ; m =1 với Rmn , S mn và Tn hoàn toàn xác định. Đây là hệ vô số cặp phương trình với vô số cặp Nn số C n và G n . Trong lời giải gần đúng, có thể cắt hệ trên để được hệ hữu hạn phương trình với hữu hạn Nn số. 100