173
cã thÓ ®Þnh ra nh÷ng chØ dÉn cô thÓ vÒ viÖc chän tèi −u ®é dμi tuyÕn ®o tuyÕt vμ kho¶ng
c¸ch gi÷a c¸c ®iÓm ®o øng víi tõng vïng ®Þa lý c¨n cø vμo nh÷ng dÉn liÖu vÒ cÊu tróc
thèng kª cña ®é cao th¶m tuyÕt ë vïng ®· cho.
Ch−¬ng 8: Khai triÓn qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn vμ tr−êng ngÉu nhiªn
thμnh nh÷ng thμnh phÇn trùc giao tù nhiªn
8.1. ThiÕt lËp bμi to¸n
Trong to¸n häc, ph−¬ng ph¸p khai triÓn c¸c hμm thμnh chuçi theo mét hÖ hμm trùc
giao chuÈn ho¸ nμo ®ã ®−îc sö dông réng r·i. HÖ hμm )(t
1
ϕ, )(t
2
ϕ,..., ... ),(t
n
ϕ ®−îc gäi lμ
trùc giao chuÈn ho¸ (trùc chuÈn) trªn kho¶ng ],[ ba (h÷u h¹n hoÆc v« h¹n), nÕu tho¶ m·n
hÖ thøc
=
≠
=ϕϕ
b
a
ki ki
ki
tdtt .
,
)()( khi 1
khi 0
(8.1.1)
HÖ hμm
{}
)(t
k
ϕ ®−îc gäi lμ ®Çy ®ñ nÕu nh− mét hμm )(tf bÊt kú cho trªn kho¶ng
],[ ba , cã thÓ khai triÓn thμnh chuçi Fourier theo nã
∞
=
ϕ=
1k
kk tatf ).()( (8.1.2)
C¸c h»ng sè k
a gäi lμ c¸c hÖ sè Fourier vμ tõ (8.1.1), (8.1.2) chóng ®−îc x¸c ®Þnh
theo c«ng thøc
ϕ=
b
a
kk dtttfa ,)()( (8.1.3)
Tæng n sè h¹ng ®Çu tiªn cña chuçi (9.1.2)
=
ϕ=
n
k
kkn tatf
1
).()( (8.1.4)
®−îc gäi lμ ®a thøc Fourier cña hμm )(tf . B©y giê, mét c¸ch gÇn ®óng, nÕu ta thay thÕ
hμm )(tf b»ng tæng (8.1.4) th× víi mçi gi¸ trÞ cña ®èi sè t xuÊt hiÖn sai sè )(t
n
δ b»ng
).()()( tftft nn −=δ (8.1.5)
Ng−êi ta gäi ®¹i l−îng n
δ lμ sai sè b×nh ph−¬ng trung b×nh cña phÐp xÊp xØ hμm
)(tf b»ng tæng (8.1.4) trªn kho¶ng ],[ ba
[]
−=δ
b
a
nn dttftf 2
)()( (8.1.6)
Tõ c¸c ®a thøc d¹ng
=
ϕ
n
k
kk tC
1
)( ,
174
®é lÖch b×nh ph−¬ng trung b×nh nhá nhÊt cña hμm )(tf sÏ cho mét ®a thøc Fourier, tøc
mét ®a thøc mμ c¸c hÖ sè k
C lμ c¸c hÖ sè Fourier k
a. Khi ®ã ®¹i l−îng 2
n
δ b»ng
=
−=δ
b
a
n
k
kn adttf
1
222 )( . (8.1.7)
Thùc vËy,
=
ϕ−=δ
=
b
a
n
k
kkn dttCtf
2
1
2)()(

+ϕ−=
=
b
a
b
a
k
n
k
kdtttfCdttf )()()(
1
22
==
=ϕϕ
n
k
n
i
b
a
ikik dtttCC
11
)()(

∞
==
−−=
b
ak
n
k
kkk aaCdttf
11
222 )()( . (8.1.8)
VÕ ph¶i cña (8.1.8) nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng (8.1.7) khi
=
=−
n
k
kk aC
1
20)( , tøc khi
kk aC =.
§¹i l−îng 2
n
δ kh«ng ©m, v× vËy ta cã bÊt ®¼ng thøc
≤
=
b
a
n
k
kdttfa )(
2
1
2. (8.1.9)
Tõ ®ã thÊy r»ng, ®èi víi c¸c hμm kh¶ tÝch víi b×nh ph−¬ng, tøc khi
b
a
dttf )(
2 lμ mét
sè h÷u h¹n, th× chuçi
∞
=1
2
k
k
a héi tô, h¬n n÷a, bÊt ®¼ng thøc sau x¶y ra
≤
∞
=
b
a
k
kdttfa )(
2
1
2 (8.1.10)
vμ nã ®−îc gäi lμ bÊt ®¼ng thøc Bessel.
NÕu hÖ hμm
{}
)(t
k
ϕlμ ®Çy ®ñ th× ®èi víi mét hμm lÊy ®−îc tæng b×nh ph−¬ng bÊt kú
)(tf sÏ cã ®¼ng thøc
=
∞
=
b
a
k
kdttfa )(
2
1
2 (8.1.11)
vμ ®−îc gäi lμ ph−¬ng tr×nh khÐp kÝn.
Ng−êi ta øng dông viÖc khai triÓn c¸c hμm theo nh÷ng hÖ hμm trùc chuÈn kh¸c
nhau: khai triÓn thμnh chuçi Fourier theo hÖ hμm l−îng gi¸c, khai triÓn thμnh chuçi
Fourier−Bessel theo hÖ hμm Bessel, khai triÓn theo c¸c ®a thøc trùc giao − Treb−sev,
Ermit vμ c¸c hÖ hμm kh¸c.
Ph−¬ng ph¸p khai triÓn theo hÖ c¸c hμm trùc chuÈn còng cã thÓ ¸p dông vμo c¸c
hμm ngÉu nhiªn.
Gi¶ sö )(tX lμ mét hμm ngÉu nhiªn x¸c ®Þnh trªn kho¶ng ],[ ba cã kú väng to¸n häc
b»ng kh«ng 0=)(tmx vμ hμm t−¬ng quan cho tr−íc ),( 21 ttRx, 21 ];,[, batt ∈
{}
)(t
k
ϕ lμ hÖ hμm
trùc chuÈn ®Çy ®ñ. Khi ®ã ta biÓu diÔn hμm ngÉu nhiªn )(tX d−íi d¹ng chuçi Fourier
175
∞
=
ϕ=
1k
kk tAtX )()( (8.1.12)
C¸c hÖ sè Fourier k
A ®−îc x¸c ®Þnh d−íi d¹ng
ϕ=
b
a
kk dtttXA )()( (8.1.13)
lμ nh÷ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn.
Ta ký hiÖu
=
ϕ=
n
k
kkn tAtX
1
)()( (8.1.14)
lμ tæng cña n sè h¹ng ®Çu tiªn cña khai triÓn (8.1.12) vμ ta sÏ xÊp xØ hμm ngÉu nhiªn
)(tX b»ng tæng )(tX n. Khi ®ã, sai sè b×nh ph−¬ng trung b×nh cña phÐp xÊp xØ
[]
−=δ
b
a
nn tdtXtx
2
)()( (8.1.15)
sÏ lμ mét ®¹i l−îng ngÉu nhiªn.
§Ó lμm th−íc ®o ®é chÝnh x¸c cña phÐp xÊp xØ ta sö dông kú väng to¸n häc cña b×nh
ph−¬ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn n
δ
[]
22 nn Mδ=σ . (8.1.16)
§¹i l−îng 2
n
σ biÓu thÞ ph−¬ng sai sai sè cña phÐp xÊp xØ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, nã
phô thuéc vμo viÖc chän hÖ hμm
{}
)(t
k
ϕ vμ sè l−îng hμm n cña chóng. Khi ®ã, cã thÓ kh«ng
cho tr−íc hÖ hμm
{}
)(t
k
ϕ mμ x¸c ®Þnh hÖ nμy xuÊt ph¸t tõ yªu cÇu tho¶ m·n mét ®iÒu kiÖn
tù nhiªn nμo ®ã. Ch¼ng h¹n, cã thÓ x¸c ®Þnh mét hÖ nh− vËy tõ mét sè cho tr−íc n hμm
)(),(),( ttt n
ϕϕϕ ..., 21 sao cho ®¹i l−îng 2
n
σ trong (8.1.16) trë thμnh cùc tiÓu. Nh÷ng hμm
)(),(),( ttt n
ϕϕϕ ..., 21 nh− vËy ®−îc gäi lμ nh÷ng hμm trùc giao tù nhiªn. Víi hÖ hμm ®−îc
chän nh− trªn viÖc biÓu diÔn hμm ngÉu nhiªn )(tX d−íi d¹ng tæng n sè h¹ng
)()( tAtX k
n
k
kϕ≈
=1
(8.1.17)
®−îc gäi lμ khai triÓn hμm thμnh tæng c¸c thμnh phÇn trùc giao tù nhiªn.
Nh÷ng vÊn ®Ò lý thuyÕt cña viÖc khai triÓn theo c¸c thμnh phÇn trùc giao tù nhiªn
vμ c¸c tÝnh chÊt cña phÐp khai triÓn nh− vËy ®· ®−îc xÐt trong c¸c c«ng tr×nh cña Kh.
Khoteling [92], A. M. Obukhov [67, 68], N. A. Bagrov [35, 36], V. S. Pugatrev [21].
Tõ ®¼ng thøc (8.1.7), cã thÓ viÕt biÓu thøc (8.1.15) d−íi d¹ng
=
−=δ
n
k
k
b
a
nAtX
1
222 )( . (8.1.18)
Sö dông (8.1.13) ta nhËn ®−îc
=
=
ϕ−=δ
n
k
b
a
k
b
a
ndtttXdttX
1
2
22 )()()(
=
ϕϕ−=
n
k
b
a
b
a
kk
b
a
dtdttttXtXdttX
1
212121
2 )()()()()( . (8.1.19)
ThÕ gi¸ trÞ nμy cña 2
n
δ vμo (8.1.16) ta nhËn ®−îc
176
=
ϕϕ−=σ
n
k
b
a
b
a
kkx
b
a
xn dtdtttttRdttR
1
212121
2 )()(),()( . (8.1.20)
Bμi to¸n quy vÒ t×m c¸c hμm )(),(),( ttt n
ϕϕϕ ..., 21 sao cho biÓu thøc (8.1.20) trë thμnh
cùc tiÓu, hay nãi c¸ch kh¸c, sao cho tæng

=
ϕϕ
n
k
b
a
b
a
kkx dtdtttttR
1
212121 )()(),( (8.1.21)
trë thμnh cùc ®¹i.
8.2. Mét sè kiÕn thøc vÒ lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n
§Ó t×m hÖ hμm trùc chuÈn lμm cho (8.1.21) cùc ®¹i, ta sö dông nh÷ng kÕt qu¶ ®·
biÕt tõ lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi nh©n ®èi xøng mμ chóng ta sÏ liÖt kª d−íi
®©y vμ bá qua viÖc chøng minh. Tr×nh bμy chi tiÕt vÒ lý thuyÕt nμy cã thÓ t×m thÊy, ch¼ng
h¹n, trong [66, 24].
XÐt ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n thuÇn nhÊt
λϕ=ϕ
b
a
xdsssxK )()(),( , (8.2.1)
trong ®ã hμm ),( sxK lμ hμm hai biÕn thùc cho trong h×nh ch÷ nhËt λ≤≤≤≤ ;, bsabxa lμ
mét sè nμo ®ã; )(x
ϕ
lμ hμm cÇn t×m cho trªn kho¶ng ],[ ba .
Ta sÏ xem c¸c hμm ),( sxK vμ )(x
ϕ
giíi néi vμ cã sè mét h÷u h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n, t¹i
®ã tÝch ph©n trong (8.2.1) tån t¹i.
Hμm ),( sxK gäi lμ nh©n cña ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n. NÕu tho¶ m·n hÖ thøc
),(),( *xsKsxK =, (8.2.2)
®èi víi nh©n thùc, ®iÒu nμy t−¬ng ®−¬ng víi ®¼ng thøc
),(),( xsKsxK =, (8.2.3)
th× nh©n ®−îc gäi lμ ®èi xøng.
C¸c gi¸ trÞ cña tham sè
λ
, t¹i ®ã ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n (8.2.1) cã nghiÖm kh«ng
®ång nhÊt b»ng kh«ng, ®−îc gäi lμ gi¸ trÞ riªng cña nh©n ),( sxK hay cña ph−¬ng tr×nh
(8.2.1). NÕu 0
λ=λ lμ gi¸ trÞ riªng cña ph−¬ng tr×nh (8.2.1) vμ )(x
0
ϕ lμ nghiÖm cña
ph−¬ng tr×nh nμy khi 0
λ=λ , tøc
)()(),( xsdssxK
b
a
000 ϕλ=ϕ
, (8.2.4)
th× hμm )(x
0
ϕ ®−îc gäi lμ hμm riªng øng víi gi¸ trÞ riªng 0
λ cña nh©n ),( sxK hay cña
ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n.
Cã thÓ chØ ra r»ng tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng cña nh©n ®èi xøng lμ nh÷ng sè thùc, vμ
tÊt c¶ c¸c hμm riªng còng cã thÓ coi lμ nh÷ng hμm thùc.
C¸c hμm riªng cña nh©n ®èi xøng, øng víi nh÷ng gi¸ trÞ riªng kh¸c nhau, trùc giao
víi nhau. Cã thÓ lμm cho c¸c hμm riªng trë thμnh c¸c hμm chuÈn ho¸.
Ta quy −íc liÖt kª d·y c¸c sè riªng theo thø tù gi¸ trÞ tuyÖt ®èi gi¶m dÇn. Nh− vËy,
nÕu
177
()
... ... ... ..., n2121 ≥λ≥≥λ≥λλλλ ,,, n (8.2.5)
lμ d·y c¸c gi¸ trÞ riªng cña mét nh©n ®èi xøng nμo ®ã, th× t−¬ng øng víi d·y nμy lμ hÖ
trùc giao c¸c hμm riªng
... ..., 21 )(),(),( xxx n
ϕϕϕ (8.2.6)
Trong tr−êng hîp nμy ®Þnh lý Gilbert−Smidth kh¼ng ®Þnh r»ng, cã thÓ biÓu diÔn
hμm )(xf bÊt kú qua nh©n ),( sxK d−íi d¹ng
=
b
a
dsshsxKxf )(),()( , (8.2.7)
trong ®ã )(sh lμ mét hμm giíi néi nμo ®ã cã sè h÷u h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n vμ khai triÓn ®−îc
thμnh chuçi Fourier héi tô tuyÖt ®èi vμ ®Òu theo c¸c hμm riªng cña nh©n. Do ®ã nÕu viÕt
chuçi Fourier cña hμm )(xh theo c¸c hμm riªng (8.2.6) cña nh©n ),( sxK d−íi d¹ng
)(xh ~
∞
=
ϕ
1k
kk xh )( , (8.2.8)
th× hμm )(xf (8.2.7) ®−îc khai triÓn thμnh chuçi
∞
=
ϕλ=
1k
kkk xhxf )()( , (8.2.9)
trong ®ã k
λ lμ gi¸ trÞ riªng, cßn )(x
k
ϕ lμ hμm riªng cña nh©n ),( sxK .
Gi¶ sö )(xp vμ )(xq lμ hai hμm giíi néi cã sè h÷u h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n trªn kho¶ng
],[ ba . LËp tÝch ph©n kÐp

b
a
b
a
dxdssqxpsxK )()(),( (8.2.10)
¸p dông ®Þnh lý Gilbert-Smidth, ta ®−îc
∞
=
ϕλ=
b
ak
kkk xqdssqsxK
1
)()(),( , (8.2.11)
trong ®ã k
q lμ c¸c hÖ sè Fourier cña hμm )(xq khi khai triÓn thμnh chuçi Fourier theo c¸c
hμm riªng (8.2.6), vμ chuçi ë vÕ ph¶i héi tô ®Òu.
Nh©n hai vÕ cña (8.2.11) víi )(xp , lÊy tÝch ph©n theo
x
vμ ký hiÖu k
p lμ nh÷ng hÖ
sè Fourier cña hμm )(xp khi khai triÓn nã thμnh chuçi theo c¸c hμm riªng (8.2.6), ta
nhËn ®−îc biÓu diÔn cña tÝch ph©n (8.2.10) d−íi ®©y:
∞
=
λ=
b
ak
kkk
b
a
qpdxdssqxpsxK
1
)()(),( . (8.2.12)
§Æc biÖt, khi )()( xqxp ≡ ta ®−îc
∞
=
λ=
b
ak
kk
b
a
pdxdsspxpsxK
1
2
)()(),( . (8.2.13)
Ta sÏ xÐt nh÷ng tÝnh chÊt cùc trÞ cña c¸c hμm riªng cña nh©n ®èi xøng. Khi s¾p xÕp
c¸c gi¸ trÞ riªng theo thø tù gi¶m dÇn gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña chóng, theo (8.2.13) ta cã
∞
=
λ≤
b
ak
k
b
a
pdxdssqxpsxK
1
2
1
)()(),( . (8.2.14)
Theo ph−¬ng tr×nh khÐp kÝn (8.1.11),