Ế
Lý THUY T THÔNG TIN
Bài t p ch ậ Bài t p ch ậ
ươ ươ
ng 2: Tín hi u và nhi u ệ ng 2: Tín hi u và nhi u ệ
ễ ễ
: Ngô T Thành Giáo viên : Ngô T Thành ứ ứ
1.Các ki n th c c n ôn l 1.Các ki n th c c n ôn l
ứ ứ
ế ế
ầ ầ
i: ạ i: ạ
1.1 Ph 1.1 Ph ng sai ng sai ươ ươ
1.2 Kì v ngọ 1.2 Kì v ngọ
1.3 Xác su t có đi u ki n ấ 1.3 Xác su t có đi u ki n ấ ề ề ệ ệ
1.4 M t s phân ph i ng u nhiên thông d ng 1.4 M t s phân ph i ng u nhiên thông d ng ộ ố ộ ố ụ ụ ẫ ẫ ố ố
1.5 Hàm t 1.5 Hàm t ng quan ng quan t ự ươ t ự ươ
1.6 Bi n đ i Laplace, chu i Maclaranh 1.6 Bi n đ i Laplace, chu i Maclaranh ế ế ổ ổ ỗ ỗ
1.1 Kì v ngọ 1.1 Kì v ngọ
ị ọ
ượ ượ ẫ ờ
ư ị
Kỳ v ng toán h c( giá tr trung bình) c a đ i ạ ủ ọ c ng ng u nhiênx(t) là hàm th i gian đ l xác đ nh nh sau: -V i bi n liên t c: ế ụ ớ
[ ( )]
( )
x W x t dx . . ( , )
= (cid:242)
= xm t M x t
1
¥
- ¥
-V i bi n r i r c: ế ờ ạ ớ
(
)
[
¥ ¥
(
[
= ] =
] ( ) = ) ( ) txMtm = txMtm x
n x
px px i i i i
n
= 1i = 1i
(cid:229) (cid:229)
1.1Kỳ v ngọ 1.1Kỳ v ngọ
+
=
[
]
[
+ MYXM
]
X ]XMC [ .=
[ CXM
1.2Ph
ng sai
ươ
Tính ch t c a kỳ v ng: ấ ủ ọ ]YM [ ]
c ẫ ượ
Ph ký hi u là D(t) đ ạ ượ c xác đ nh nh sau: ng sai c a đ i l ủ ươ ệ ng ng u nhiên x(t) đ ư ượ ị
+¥
=
-V i bi n liên t c: ụ ế ớ
t M x t m t [{ ( )
= 2 ( )} ]
[{ ( )
x t m t
2 ( )} ].
W x t dx ( , )
D ( ) x
x
1
x
- - (cid:242)
- ¥
-V i bi n r i r c: ế ờ ạ ớ
2
2
}
)
)
]
[
=
{ [
]
=
¥
) ( MtD
( tx
)
x
( tm x
mx i
( ix
p i
n
= 1
i
- - (cid:229)
ể ờ
Ph ị ộ l ch c a các th hi n đ i v i giá tr trung bình m(t) ố ớ ệ ng sai là m t hàm theo th i gian bi u th đ ươ ủ ộ ể ệ ị
1.3 Xác su t có đi u ki n
ề
ệ
ấ
ệ ế ề ế ớ ố
)
)
=
( / BAP
( . BAP ( )BP
c xác đ nh: Xác su t x y ra bi n c A v i đi u ki n bi n c ố ấ ả B đã x y ra đ ị ả ượ
ứ ứ
T công th c trên ta có công th c nhân xác ừ su t:ấ
P(A.B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
ộ ố
ố
1.4 M t s hàm phân ph i xác su t ấ thông d ngụ
ế ố
n
Phân ph i Poison : ố Bi n ng u nhiên x(t) có phân ph i Poision v i ớ ẫ tham s ố λ n u hàm xác su t c a nó có d ng: ấ ủ ế ạ
(
l
t
) !
l t - = e P t ( ) n n
c g i là phân b đ u trên ượ ố ề ọ
Phân ph i đ u: ố ề Bi n ng u nhiên X đ ẫ Đo n (a,b) n u nó có hàm m t đ : ậ ộ ế ạ ế
[
]
x
)
=
(cid:236) (cid:239) ˛
( xf
(cid:237) -
, ba [
]
1 ab 0
, ba
x
1.5 Hàm t
ng quan
t ự ươ
(cid:239) ˇ (cid:238)
ng quan đ c tính t ự ươ ượ
ằ ứ
)
)
]
[
=
D
( tx
2
2
[ { {
) )
)
) }
) (
] } )
=
- - ( tRx 1,
.
2
( tm ( ) tmtm . 1
2
- Theo đ nh nghĩa hàm t ị b ng công th c: ( ( tm txMt 1 2 1 ( ( txtxM 1
(
)
)
=
( = tMxm
const
x
2
)
{
} )
=
ớ
t
,
) .
( )tm
2
( ( txtxM 1
2
- fi V i quá trình có: ( tRx 1
-V i tín hi u liên t c ta có: ệ ụ ớ
)
)
)
)
)
]
=
¥ ¥
,
t
.
;
( tx
( 2 tm
( tR 1 x
2
( ) ( . txtx 1
2
[ ( txp 1
2
dx t
dx t
1
2
- (cid:242) (cid:242)
¥ - ¥ -
n
m
2
]
)
(
)
)
)
-V i tín hi u r i r c ta có: ệ ờ ạ ớ
,
t
.
;
)tm (
= (cid:229)
( tR 1 x
2
( ) . txtx 1 i
j
2
[ ( txp 1 i
( tx j
2
= 1
i
= 1
j
- (cid:229)
)
1, t
2
Hàm t ng quan chu n hoá t ự ươ ẩ
2
)
=
,
t
( tr x 1
2
)
,
t
( trx ( ) tR t , x 1 ) ( , tRt . 1
2
x
2
( tR x 1
D
t
-=t 2
t 1
t = ( )
r x
t ( ) (0)
R x R x
V i quá trình d ng ta có: ừ ớ
Hàm m t đ ph : ổ ậ ộ
ng quan đ c tính theo công th c: Th i gian t ờ ươ ượ ứ
t
=
=
|
|
d |
¥ ¥
k
t t ( ) | d r x
1 2
1 2
t ( ) t (0)
(cid:242) (cid:242)
R x R x
BÀI 2.2
x(t)
1
0
Hình 2.2
- ¥ - ¥
ng quan đ c tính theo công th c: Th i gian t ờ ươ ượ ứ
t
=
=
|
|
d |
¥ ¥
k
t t ( ) | d r x
1 2
1 2
t ( ) t (0)
(cid:242) (cid:242)
R x R x
BÀI 2.2
x(t)
1
0
Hình 2.2
- ¥ - ¥
=
P
(0)
P=
(1)
1 2
2
=
=
+
=
)
m t ( )
P 1. (1) 0. (0) 0.5
P
Ta có:
( x P x i i
1
(cid:229)
=
+ t
Áp d ng công th c hàm t ng quan ta có: ụ ứ ươ
)
t ( )
R
( M x t x t ( ).
2 m t ( )
=
+ t
- Ø ø º ß
)
t ( )
B
( M x t x t ( ).
(
)
)
)
]
t
+
t
+
t
B
( ) ( . txtx
[ ( ) ( txtxP
.
.
= (cid:229)
Ø ø Đ tặ º ß
t+
x t x t ( ), (
)
( )x t t+ x t (
)
00 00
00 11
11 00
11 11
t+
x t x t ( ), (
)tB (
) Thay vào ta có:
=
=
=
=
=
=
B
t ( ) 1.1. (
1;
1)
1;
1)
+ t
+ t
P x t
x t
P x ( t
x t
Ta có b ng tr ng thái c a ạ ủ ả
=
1
+
t
x t
=
=
=
=
=
=
1;
} 1
} P 1 .
t ( )
+
t
(cid:229)
{
}
{ P x t
x t
{ P x t
{ P x t
P n
=
1
x t
=
} 1 . n
2
k
n
n
n
lt
(
( lt
(
tl
=
=
+
e .
tl e
.
lt n ( 1) .
=
=
=
1 2
) !
n
1 2
1 2
) !
n
) !
n
¥ ¥ Ø ø - - - Œ œ (cid:229) (cid:229) (cid:229)
n
2
k
n
0
n
0
Œ œ º ß
n
x
=
e
¥
=
!
0
n
lt
lt
lt
lt
(cid:229) Chú ý :
2
)
x n (
)
)
( t
=
+
=
+
- - -
e
B
e .25,0
e
( 125,0
e
l
fi
2
t
(
)
(
)
)
t
=
t
=
-
R
B
( 2 tm
.25,0 e
- fi
l
V y hàm t ậ t ự ươ ng quan c n tìm là: ầ
2
t
(
)
t
=
R
.25,0 e
-
lt
Hàm t ng quan chu n hoá: t ự ươ ẩ
2
t
lt
-
2
x
(
)
t
=
=
=
e
r x
( (
) )
0
R R
e 25.0 25.0
x
-
t
K
+¥
Th i gian t ng quan: ờ ươ
0
lt
lt
lt
2
2
2
(
)
t
=
t
=
=
+
t d
e
t d
e
t d
e
t d
K
rx
1 2
1 2
1 2
¥ ¥ (cid:246) (cid:230) - - (cid:247) (cid:231) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:247) (cid:231)
0
t
¥ - ¥ - ¥ - ł Ł
K
1= l 2
fi
BÀI 2.3:
)
}
{ ( M x t
¥
= (cid:242)
xW x dx 1( )
- Kỳ v ng:ọ
- ¥
ngượ ng uẫ nhiên có phân bố đ uề
j p
Φ là đ iạ l trong kho ngả (-π,π) nên có hàm phân bố M tậ độ xác su t lấ à:
(
)
1 p 2
=
£ (cid:236) (cid:239)
j ( )W 1
> j p
0
(cid:237)
(
)j
1W
j
p
(cid:239) (cid:238)
p
-
=
Công th c hàm t ứ ươ
t
)
)
)}
{ M x t ( ) 1
2
m t x 1
2
m t ( x
2
R t ( , x 1 =
- - Ø ø ng quan: } x t ( ) { ( º ß
)}
)
M x t x t { ( ) ( 1
2
m t m t ( ) ( 1
2
-
{
)
(
)
}
(
)
}
{
(
)
}
=
+
j
=
+
j
( = txMtm
{ AM
p 2
cos
AM
cos
p 2
tf o
tf o
p
Tr c tiên ta tính m(t) ướ
(
)
(
)
=
+
j
=
+
j
=
A
p 2
cos
A
p 2
cos
.
j .d
0
j .dW. j
¥
tf o
tf o
1 p 2
p
(cid:242) (cid:242)
- ¥ -
)
{
} )
=
;
t
) .
( tR 1
2
( ( txtxM 1
2
(
(
)
)
) ( t+txtxM .
(
)
(
)
}
+
j
+
+
=
{ AM .
t 0
cos {
p 2 (
A . . )
cos (
j )
}
+
j
+
j
=
2 MA .
cos
.
p 2 p 2
cos
p 2 p 2
f
tf 0 p 2 tf 0
tf 0 + tf 0
f t 0
2
2
{
(
)
}
{
(
)
}
+
+
+
=
M .
cos
p 2
f
M
cos
p 4
p 2
f
j 2
t 0
tf 0
t 0
A 2
A 2
fi
2
2
(
)
(
+
+
j
=
+
p 4
cos
p 2
f
) j .2
) ( j dW .
cos
p 2
f
¥
tf 0
t 0
t 0
A 2
A 2
(cid:242)
p
2
2
(
)
(
+
+
j
=
+
.
p 4
cos
p 2
f
) j .2
d .
cos
p 2
f
¥ -
tf 0
t 0
t 0
1 p 2
A 2
A 2
p
(cid:242)
p
2
2
(
)
(
+
+
j
=
+
cos
p 2
f
.
cos
p 4
p 2
f
) j d .2
-
t 0
tf 0
t 0
A 2
A p 4
p
(cid:242)
2
(
=
cos
p 2
f
) 0 +
t 0
A 2
-
V y hàm t ậ ươ ng quan c n tìm là: ầ
2
(
)
(
t
=
)t
R
A
cos
p 2
f
1 2
0
BÀI 2.4
ậ ị
)
-=
ộ ớ ấ
) =+= a
( xP
a
1= Do đó ta có: 2
2
)
)
)
(
]
=
=
=
+
=
Đây là m t quá trình r i r c x(t) nh n các giá tr ờ ạ -a và a v i xác su t nh nhau: ư ( xP
[ ( txM
( tm
a
0
a
px i i
=
1 2
1
2
1 2 )
)
(
(
)
)
(
)
[
]
]
+
t
=
+
t
t
=
- (cid:229)
i ( ) ( txtxM
.
[ ( txtxMtm
.
R
x
n
)
)
}
(
)
+
t
+
t
t
=
- fi
.
{ ( ) ( , txtxp
R
( ) ( . txtx i
i
i
i
x
=
1
i
fi (cid:229)
)t+tt,
ể ( Các tr ng thái có th có c a x tai thoi đi m ủ ể ạ
t+
)
Đ c th hi n b ng sau: ể ệ ơ ả ượ
ii
ix t (
11
22
33
44
ix t ( ) aa -a-a aa -a-a
(
)
)
(
)
)(
)
t
=
+
( -+
( -+
aa aa -a-a -a-a
R
( .. aapaa ,
( . a
, aa
) . paa
( ) , aapa
a
)
(
)
(
)
+
+
- - - - - - fi
)aa ( ) pa , ) )aap ) ( = ,
( ( 2 , aapa
( 2 pa
, aa
, aa
p
- - - - - (*)
ấ ề
ậ ả
ị t c ấ ể t ướ ẵ ầ ả ố
=
Ta th y p(a,a) và p(-a,-a) đ u là xác su t đ x(t) nh n các giá tr cùng d u trong kho ng nên ấ trong kho ng ph i có s ch n l n b ả nh y( n=2k): ả
a
+
t
x t
)
(
)
=
=
=
( , aap
p
, aa
). Pa
( xP t
=
a
(cid:246) (cid:230) - - (cid:247) (cid:231)
x t
n
lt
tl
lt
ł Ł
2
)
=
+
e
( 125,0
e
=
1 = (cid:229) 2
2
n
) ( nk !
- -
t
ng t ự ươ
t
ấ c nh y ị l n b ậ ả ẻ ầ ướ ả
-=
T mu n x(t) nh n các giá tr trái d u (a,-a) ố Trong kho ng thì ph i có l ả (n=2k+1) trong kho ng ả
a
t +
x t
)
(
)
=
=
=
( , aap
p
, aa
) . Pa
( xP t
=
a
(cid:246) (cid:230) - - (cid:247) (cid:231)
x t
n
n
n
ł Ł
(
(
(
lt
lt
lt
lt
lt
(
=
=
e
e
.
) n .1
=
+
=
=
1 2
) n !
1 2
1 2
) n !
) n !
n
2
k
1
n
0
n
0
¥ ¥ ø Ø - - - - œ Œ (cid:229) (cid:229) (cid:229)
lt
lt
lt
lt
ß º
2
(
)
)
=
=
e 25,0
e
e
( 125,0
e
- - - - -
2
2
(
)
)
t
=
Thay vào (*) ta có:
R
( aapa
,
2
)aapa ( ,
2
lt
lt
- -
2
2
2
2
(
)
)
)
t
=
+
R
( a 125,0.2
e
( a 125,0.2
e
lt
2
- - - - fi
(
)
t
=
R
2 - ea
fi
Ta có:
lt
¥ ¥
2
(
)
(
)
(
)
(
)
w
=
t
wt
t
=
wt
G
2
R
cos
d
2
2 ea
cos
t d
-
0
0
(cid:242) (cid:242)
¥
)
)
}
=
-
e st
( tx
dt
{ ( txL
0
(
)
}
w
=
wt
=
M t khác : ặ (cid:242)
G
{ 2 La
2
cos
2 a .2
2
=
l
2
s
l 2 + 2
w
l 4
2
(
)
w
=
fi
G
2
l a 4 l + w 2
4
fi
BÀI 2.6
ng h p riêng c a ph n b ủ ầ ợ
0
ng h p Ph n a chính là tr ầ v i tr ớ ườ ợ ườ w = 0
ể ả ả ầ ổ
Do đó đ đ m b o tính t ng quát ta xét ph n b tr c.ướ
ặ
2
t:ế
- a t
) t = s
.cos
2 .e
R
0
x 2
w t Nh v y yêu c u bài toán đ t ra lúc này là tính ầ ư ậ xG w ) ( khi bi (
¥
wt t t ( ) os
d
G
w (
= (cid:242) ) 2 R c 0
Áp d ng công th c: ụ ứ
(
)
)
w
=
( t
wt
2
G
R
.
cos
t d .
¥
x
x
2
2
0
(cid:242) Ta có:
a
t
¥
2
=
s
w
wt
t
2
e
.
cos
.
cos
d .
-
t o
0
(cid:242)
a
t
¥
2
=
w
wt
t
s 2
e
.
cos
.
cos
d .
-
t o
0
t=
(cid:242)
¥ nên ta có t Vì lúc này ch y tạ ừ 0 fi
Khi đó:
2
s
at
at
(
)
(
(
w
=
w
+
w
) t
t
+
w
w
) t
2
G
e
.
cos
d .
e
.
cos
t d .
x
o
o
2
2
¥ ¥ ø Ø - - - œ Œ (cid:242) (cid:242)
0
0
œ Œ ß º
Ta có phép bi n đ i Laplace: ế ổ
¥
st
}
)
)
w
=
]
=
-
[ ( tfL
( tf
dt
e
{ L
cos
t
2
2
s +
w
s
0
và (cid:242)
Do đó ta có:
a
at
¥
(
(
}
w
+
w
) t
t
=
w
) t
=
+
w
e
.
cos
d .
{ L
cos
-
o
o
2
(
) 2
a
+
w
+
w
o
0
(cid:242)
a
at
¥
(
(
}
w
w
) t
=
w
) t
=
w
e
.
cos
t d .
{ L
cos
o
o
2
(
) 2
w
a
+
w
o
0
- - - (cid:242) -
T đó ta có: ừ
1
1
2
(
)
w
=
as
+
ø Ø
xG
2
2
2
2
2
(
)
(
)
a
+
w
w
a
+
w
+
w
œ Œ
o
o
- œ Œ ß º
)
xG w (
2
4
2
2
4
[
]
w
w
+
w
+
+
a
Xét hình d ng c a ủ ạ
2
w 3
a 2
2
2 o
)
=
as 4
( ' x xG 2
2
2
( a (
) w ] 22
2 o )
w 2 ]22 )
[ a
+
w
+
w
+
[ a
w
4 o ( w
- - -
o
o
(
w
a
>
-
,0
)0
o
‡ V i đi u ki n: ề ệ ớ
Nh n xét: ậ
w
)
0
xG w (
2
2
2
a<
)
fi fi ¥ (1) khi
03w
2
ẽ
xG w ( ệ
ẽ ả ự ạ ơ
)
xG w (
2
2
2
a<
03w
w
0
(2) Khi thì hàm s không có c c đ i hàm s gi m đ n đi u theo s tăng ự c a ủ
2
2
03w
2
2
1 4
a> (
)
a
w
=
w
=
+
w
a
+
w
(3) N u hàm s có c c đ i đi m: ạ ở ể ự ế ẽ
w 2
1
o
2 o
2 o
2
2
-
)
xG w (
2
a>> w
w
(4) N u thì hàm s có c c đ i ạ ự ế ẽ
03w = w đi m:
1
o
0
w = Khi thì 0
» ở ể
(
) t = s
(
)
R
2 .e
t = s .cos
= 2 .e
R
0
x 2
x 1
- a t - a t w t
)
0
xG w (
w = 0
2
2
(
)
w
=
s
xG
1
2
a 2 + 2
a
w
(
)w
1xG
s 22 a
0
w = 0
0
w = 0
0
Thay vào ta có:
BÀI 2.5
ng V i ớ |S(t)| là modun c a tín hi u S(t) v y đ ủ ệ ậ ườ
|S(t)| (2.50) l i có: bao c a tín hi u S(t) là A(t)= ệ ủ ạ
hay S(t).S*(t)= |Sa (t)|2
=
(
) ( A t
)* ( ) S t .S t a
a
V y đ ậ ườ ng bao c a tín hi u có th bi u di n b i: ở ể ể ủ ễ ệ
Nh ng ki n th c c n nh sau bu i h c ầ
ổ ọ :
ữ
ứ
ế
ớ
Các khái ni m và công th c quan tr ng: ph ng sai, ứ ệ ọ ươ
ng quan, hàm m t đ … Kỳ v ng,hàm t ọ ươ ậ ộ
Cách tính hàm t ng quan, hàm m t đ ph … t ự ươ ậ ộ ổ
Các ki n th c đã h c kỳ tr c: xác su t th ng kê, ọ ở ứ ế ướ ấ ố
toán chuyên ngành( bi n đ i Laplace, chu i Maclaranh…) ế ỗ ổ
