Cauchy-Schwarz inequality. 1
kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức
cauchy-schwarz
`
Đầu tiên xin được nhắc lại nội dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Với hai
bộ số thực bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn ta có bất đẳng thức:
(a12+a22+ …+an2)(b12+b22+ …+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j.
Ta hãy nhìn bất đẳng thức trên dưới dạng khác như sau: Với hai bộ số thực
bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn thoả mãn bi dương ta có:
22
22 12
12
1 2 1 2
( ... )
... ...
nn
nn
a a a a
aa
b b b b b b
Đẳng thức cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j. Để sử dụng
thật tốt bất đẳng thức này các bạn phải có cái nhìn hai chiều với bất đẳng
thức trên. Nói chung thì bất đẳng trên ứng dụng giải toán nhiều hơn hay dễ
sử dụng hơn bất đẳng thức dạng chính tắc.
Bây giờ ta đi vào xét các ví dụ để thấy được sức mạnh của bất đẳng thức
cauchy-schwarz.
Cauchy-Schwarz inequality. 2
Ví dụ 1. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức Nettbits ba biến.
a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
3
2
a b c
b c c a a b
Lời giải.
Lời giải bài toán trên rất đơn giản. Sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz ta
được.
2 2 2 2
( ) 3( ) 3
2( ) 2( ) 2
a b c a b c a b c ab bc ca
b c c a a b ab ac bc ab ac bc ab bc ca ab bc ca
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.♠
Ví dụ 2. a, b, c là các số dương tuỳ ý. Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2 4
bc ca ab a b c
b c a c a b a b c

Lời giải.
Ta sử dụng nhận xét sau để giải bài toán trên:
4 1 1 1
. ( ) ( )
2 4 ( ) ( ) 4 4
bc bc bc bc bc
b c a a b a c a b a c a b a c
Từ đánh giá trên ta được
,,
1()
2 2 2 4 4
a b c
bc ca ab ac bc a b c
b c a c a b a b c a b a b

Đây là điều phải chưúng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.♠
Lời giải trên thật thú vị phải không các bạn, điều đáng chú ý trong cách giải
trên là việc phát hiện hằng đẳng thức sau
,,
()
a b c
ab ac abc
a b a b

Cố gắng tạo ra các đẳng thức bằng cách tách nhóm thích hợp ta sẽ có được
những lời giải đẹp. Kĩ thuật này có thể ứng dụng cho các ví dụ tiếp theo sau
đây.
Ví dụ 3. a,b,c là các số dương có tổng bằng 3. Chứng minh bất đẳng thức sau
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
4 4 4 2a b c a b c a b c
Cauchy-Schwarz inequality. 3
Lời giải.
Sử dụng tư tưởng như trên. Ta cố gắng tìm một đẳng thức. Ta chú ý đến
hằng đẳng thức sau
Ta chú ý đến đẳng thức sau 4a2+b2+c2=2a2+(a2+b2)+(a2+c2) và sử dụng bất
đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được phân tích sau
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
9 ( )
4 2 ( ) ( ) 2
a b c a b c
a b c a a b a c a a b a c

Từ phân tích trên ta được
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
19
9 ( )
4 2 2
a b c
a b c a a b a c
Từ đó ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.♠
Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật tách nhóm để sử dụng bất đẳng Cauchy-
Schwarz thật đơn giản nhưng cho được những lời giải đẹp, vừa hay lại vừa
độc đáo. Khi phương pháp tách nhóm để đưa về hằng đẳng thức không còn
hiệu quả nữa thì ta nên sử lí thế nào? Nói chung việc ước lượng thông qua
hằng đẳng thức cũng không quan trọng lắm, miễn là sau khi sử dụng Bất
đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ta vẫn còn có thể ước lượng các bước tiếp
theo. Thay vì cố gắng tìm kiếm hằng đẳng thức ta có thể ước lượng thông
qua các bất đẳng thức.
Ta sẽ xem xét các ví dụ sau để thấy được điều đó.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta đều có bất đẳng
thức:
2 2 2 1
(2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) 3
abc
a b a c b a b c c a c b
Lời giải.
Ta chú ý đến đẳng thức (2a+b)(2a+c)=(2a2+bc)+a(a+b+c)+a(a+b+c)
Từ đó sử dụng Bất đẳng Cauchy-Schwarz ta được
2
22
2
9 1 1 1
(2 )(2 ) 2 ( ) ( )
12
()
(2 )(2 ) 9 2
a b a c a bc a a b c a a b c
a a a
a b a c a bc a b c
Sử dụng ước lượng trên ta được
Cauchy-Schwarz inequality. 4
2 2 2
22
1 2 1
( ) ( 2)
(2 )(2 ) 9 2 9 2
a a a a
a b a c a bc a b c a bc
Cuối cùng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
2 2 2 1
2 2 2
a b c
a bc b ca c ab
(*)
Thật vậy ta có
22
2 2 2
1 1 2 3 1
2 2 2
a a bc
a bc a bc a bc
Nhưng mà theo bất bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
22
2 2 2 2 2
( ) ( ) 1
2 2 ( ) ( ) 2
bc bc ab bc ca
a bc a bc bc ab a bc

 
Ta được điều phải chứng minh.
Bất đẳng thức đã cho được minh hoàn toàn. Có đẳng thức khi và chỉ khi
a=b=c.♠
Ví dụ 5. a,b,c là 3 số thực không âm và có nhiều nhất 1 số bằng không khi
đó ta có
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2
a b c
a b c b a c c a b
Lời giải.
Chú ý là đẳng thức chỉ xảy ra tại điểm (a,b,c)=(t,t,0) (t
R) và các hoán vị.
Ta chú ý đến đẳng thức 3a2+(b+c)2=(2a2+2bc)+(a2+b2+c2)
Từ đó sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz ta được
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 1 1
. ( )
3 ( ) 4 (2 2 ) ( ) 4 2 2
a a a
a b c a bc a b c a bc a b c
Sử dụng ước lượng trên ta được
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
11
( ( ) ( 1)
3 ( ) 4 2 2 4 2
a a a a
a b c a bc a b c a bc
Cuối cùng ta cần chứng minh
2 2 2
2 2 2 1
2 2 2
a b c
a bc b ca c ab
Bất đẳng này chính là bất đẳng thức (*) mà ta đã chứng minh.♠
Nói chung kĩ thuật tách nhóm thường cho được những lời giải rất đẹp và gọn
gàng. Nhưng trong trường hợp ta không tìm đựoc cả hằng đẳng thức lẫn bất
Cauchy-Schwarz inequality. 5
đẳng thức thì ta phải sử lí ra sao? Trong trường hợp này ta phải sử dụng đến
kĩ thuật thêm-bớt. Ta hãy xem xét các ví dụ sau.
Ví dụ 6. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
1
3 3 3
a b c
a b c a b c a b c
Lời giải.
Cả tử số và mẫu số các phân thức của bất đẳng thức đều dương có vẻ như
nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sẽ được nhưng các bạn
thử trực tiếp thì sẽ thấy bất đẳng thức đổi chiều. Bây giờ ta sẽ làm giảm đi tử
số một lượng nhưng vẫn đảm bảo tử số vẫn còn dương (nghĩa là dương càng
nhỏ càng tốt). Với chú ý rằng 4a-(3a-b+c)=a+b-c>0. Từ đó ta thấy bớt đi 1
lượng ¼ là thích hợp. Viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng tương đương.
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
3 4 3 4 3 4 4
1
3 3 3
a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
Đến đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta cần chứng minh
2
( ) ( )(3 )a b c a b c a b c
Nhưng bất đẳng thức này chính là hằng đẳng thức. Ta có điều phải chứng
minh.♠
Hi vọng các bạn sẽ ứng dụng tốt kĩ thuật này và thấy được vẻ đẹp của bất
đẳng thức Cauchy-Schwarz cổ điển. Cuối cùng chúc các bạn thành công.!