MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN RỜI RẠC - CHƯƠNG 7

Chia sẻ: Trương Xuân Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khào dành cho giáo viên, sinh viên chuyên ngành điện, điện tử - CHƯƠNG 7 - MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN RỜI RẠC.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN RỜI RẠC - CHƯƠNG 7

Chöông 7 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 1 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
7.1 Heä Thoáng Ñieàu Khieån Rôøi Raïc 7.1.1 Khaùi nieäm • Heä thoáng rôøi raïc : Tín hieäu ñöôïc löôïng töû hoùa theo thôøi gian coøn bieân ñoä thì lieân tuïc. • Heä thoáng soá : Tín hieäu ñöôïc löôïng töû hoùa theo thôøi gian vaø bieân ñoä cuõng ñöôïc löôïng töû hoùa. • Coù thôøi gian treã do laáy maãu → vieäc oån ñònh cuûa heä thoáng trôû neân phöùc taïp → caàn coù nhöõng kyõ thuaät ñaëc bieät. • Phoå bieán trong caùc heä thoáng ÑK hieän ñaïi Maùy tính soá Sô ñoà khoái heä thoáng ñieàu khieån soá u R (t ), c(t ) : tín hieäu lieân tuïc r ( kT ), u (kT ), cht ( kT ) , : tín hieäu soá • Hieän chöa coù pp moâ taû chính xaùc sai soá löôïng töû bieân ñoä caùc boä A/D, D/A → khaûo saùt heä thoáng rôøi raïc (boû qua sai soá löôïng töû bieân ñoä öùng vôùi ñoä phaân giaûi nhoû. Xöû lyù rôøi raïc Sô ñoà khoái heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc 2 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
7.1.2 Ñaëc ñieåm laáy maãu • Laáy maãu laø bieán ñoåi tín hieäu lieân tuïc theo thôøi gian → tín hieäu rôøi raïc theo thôøi gian • Bieåu thöùc toaùn hoïc moâ taû quaù trình laáy maãu +∞ X ( s ) = ∑ x(kT )e − kTs (7.4) * k =0 • Ñònh lyù Shanon : Ñeå coù theå phuïc hoài döõ lieäu sau khi laáy maãu maø khoâng bò meùo daïng thì taàn soá laáy maãu phaûi thoûa ñieàu kieän : 1 f = ≥ 2 fc T f c : taàn soá caét cuûa tín hieäu caàn laáy maãu • Khaâu A/D töông ñöông khaâu laáy maãu (boû qua sai soá löôïng töû) 7.1.3 Khaâu giöõ döõ lieäu • Chuyeån tín hieäu rôøi raïc → tín hieäu lieân tuïc • Khaâu giöõ baäc 0 ZOH – Zero-Order Hold : giöõ tín hieäu baèng haèng soá trong thôøi gian giöõa 2 laàn laáy maãu • Haøm truyeàn ZOH : 1 − e −Ts (7.6) GZOH ( s ) = s • Khaâu D/A töông ñöông khaâu ZOH 3 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
7.2 Pheùp Bieán Ñoåi Z • Muïc ñích loaïi boû caùc haøm e x 7.2.1 Ñònh nghóa Cho x(k ) laø chuoãi tín hieäu rôøi raïc. Bieán ñoåi Z cuûa x(k ) laø : +∞ ∑ X ( z ) = Z { x(k )} = x(k ) z − k (7.7) k =−∞ Z Vôùi z = eTs , kyù hieäu : x(k ) ↔ X ( z ) +∞ • Neáu x(k ) = 0, ∀k < 0 thì (7.7) trôû thaønh : X ( z ) = Z { x(k )} = ∑ x(k ) z − k k =0 • Mieàn hoäi tuï (Region of Convergence – ROC) ROC : taäp hôïp taát caû caùc giaù trò z sao cho X(z) höõu haïn 1 ∫ X(z)z dz • Pheùp bieán ñoåi Z ngöôïc : x(k ) = k -1 2 jπ C C : ñöôøng cong kín baát kyø naèm trong mieàn hoäi tuï ROC cuûa X(z) vaø bao goác toïa ñoä 7.2.2 Tính chaát cuûa pheùp bieán ñoåi Z 1. Tính tuyeán tính : Z Z Neáu : x1 (k )↔X1 ( z ) , x2 (k )↔X 2 ( z ) Z Thì : a1 x1 (k ) + a2 x2 (k )↔a1 X1 ( z ) + a2 X 2 ( z ) 2. Tính dôøi trong mieàn thôøi gian : Z Neáu : x(k )↔X ( z ) , Z thì : x(k − k0 )↔z − k0 X ( z ) • Löu yù : nhaân z − k0 töông öùng laøm treã tín hieäu k0 chu kyø laáy maãu • z −1 : toaùn töû laøm treã 1 chu kyø 4 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
3. Tính tæ leä : Z Z Neáu : x(k )↔X ( z ) , thì : a x(k )↔X (a −1 z ) k 4. Tính ñaïo haøm : Z Z dX ( z ) Neáu : x(k )↔X ( z ) , thì : kx(k )↔ − z dz 5. Ñònh lyù giaù trò ñaàu : Z Neáu : x(k )↔X ( z ) , thì : x(0) = lim X ( z ) z →∞ 6. Ñònh lyù giaù trò cuoái : Z Neáu : x(k )↔X ( z ) , thì : x(∞) = lim(1 − z −1 ) X ( z ) z →1 7.2.3 Bieán ñoåi Z cuûa caùc haøm cô baûn 1. Haøm dirac : ⎧1 k = 0 δ (k ) = ⎨ ⎩0 k ≠ 0 Z {δ (k )} = 1 2. Haøm naác ñôn vò : ⎧1 k ≥ 0 u (k ) = ⎨ ⎩0 k < 0 1 z Z {u (k )} = (ROC : z > 1 ) = 1 − z −1 z − 1 3. Haøm doác ñôn vò : k ≥0 ⎧kT r (k ) = ⎨ ⎩ 0 k 1 ) = ( z − 1) 2 5 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
4. Haøm muõ: ⎧e − kaT k ≥0 x(k ) = ⎨ ⎩ 0 k
7.3.2 Tính haøm truyeàn heä rôøi raïc töø sô ñoà khoái 1. Hai khaâu noái tieáp caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu C( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) = Z {G1 ( s)}.Z {G2 ( s )} G( z) = R( z ) 1 1 Ví duï 7.6. Cho G1 ( s ) = . Tìm haøm truyeàn töông ñöông : , G2 ( s ) = s+a s+b Giaûi : Tra baûng bieán ñoåi Z : ⎧ 1⎫ z G1 ( z ) = Z ⎨G1 ( s ) = ⎬= s + a ⎭ z − e− aT ⎩ ⎧ 1⎫ z G2 ( z ) = Z ⎨G2 ( s ) = ⎬= s + b ⎭ z − e−bT ⎩ z2 suy ra : G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) = ( z − e − aT )( z − e −bT ) 2. Hai khaâu noái tieáp khoâng caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu C( z ) = G1G2 ( z ) = Z {G1 ( s)G2 ( s )} G( z) = R( z ) 3. Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong keânh sai soá Z {G ( s)} C( z ) G( z) Gk ( z ) = = = R( z ) 1 + GH ( z ) 1 + Z {G ( s ) H ( s)} 7 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
C( z ) G( z) • Neáu H(s) = 1 : Gk ( z ) = = R( z ) 1 + G ( z ) 4. Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong voøng hoài tieáp • Khoâng coù bieåu thöùc haøm truyeàn RG ( z ) • Quan heä vaøo ra : C( z ) = 1 + GH ( z ) RG ( z ) = Z { R( s )G ( s )} ; GH ( z ) = Z {G ( s ) H ( s )} 5. Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä trong nhaùnh thuaän C( z ) G( z) Gk ( z ) = = R( z ) 1 + G ( z ) H ( z ) 6. Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä vaø caùc khaâu noái tieáp ôû nhaùnh thuaän G1 ( z )G2 ( z ) C( z ) Gk ( z ) = = R( z ) 1 + G1 ( z )G2 H ( z ) 8 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
7. Heä thoáng thöôøng gaëp • Haøm truyeàn : Gc ( z )G ( z ) C( z ) Gk ( z ) = = R( z ) 1 + Gc ( z )GH ( z ) Gc ( z ) : Haøm truyeàn cuûa boä ñk tính töø pt sai phaân ⎧ G ( s) ⎫ ⎧ G ( s) H (s) ⎫ G ( z ) = (1 − z −1 ) Z ⎨ −1 ⎬ , GH ( z ) = (1 − z ) Z ⎨ ⎬ ⎩s⎭ ⎩ ⎭ s • Ví duï 1 : Tính haøm truyeàn cuûa heä thoáng Giaûi : Gc ( z )G ( z ) C( z ) G( z) Gk ( z ) = = = R( z ) 1 + Gc ( z )GH ( z ) 1 + G ( z ) ⎧3⎫ ⎧ G(s) ⎫ ⎧A B⎫ G ( z ) = (1 − z −1 ) Z ⎨ = (1 − z −1 ) Z ⎨ −1 ⎬ = (1 − z )3 Z ⎨ + ⎬ ⎬ ⎩ s ( s + 2) ⎭ ⎩ s s + 2⎭ ⎩s⎭ A = 1 / 2, B = −1/ 2 3 ⎧1 1⎫ 3⎛ z ⎞ z G ( z ) = (1 − z −1 ) Z ⎨ − = (1 − z −1 ) ⎜ − ⎬ ⎟ 2 ⎝ z − 1 z − e− aT ⎠ 2 ⎩s s + 2⎭ z (1 − e − aT ) z (1 − e −2 x 0.5 ) −1 3 −1 3 0.948 = (1 − z ) = (1 − z ) = 2 ( z − 1)( z − e − aT ) 2 ( z − 1)( z − e −2 x 0.5 ) z − 0.368 Vaäy : 0.948 = z − 0.368 = G( z) 0.948 Gk ( z ) = 1 + G ( z ) 1 + 0.948 z + 0.580 z − 0.368 9 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
• Ví duï 2 : Tính haøm truyeàn heä thoáng kín 3e − s 1 Cho : G ( s ) = H (s) = s+3 s +1 Giaûi : G( z) • Haøm truyeàn heä thoáng kín : Gk ( z ) = 1 + GH ( z ) ⎧ 3e − s ⎫ z (1 − e −3 x 0.5 ) ⎪ ⎪ ⎧ G (s) ⎫ −1 −1 −1 −2 G ( z ) = (1 − z ) Z ⎨ ⎬ = (1 − z ) Z ⎨ ⎬ = (1 − z ) z ( z − 1)( z − e −3 x 0.5 ) ⎪ s ( s + 3) ⎪ ⎩s⎭ ⎩ ⎭ 0.777 G( z) = z 2 ( z − 0.223) 3e − s ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ G (s) H (s) ⎫ −1 −1 GH ( z ) = (1 − z ) Z ⎨ ⎬ = (1 − z ) Z ⎨ ⎬ ⎩ s ( s + 3)( s + 1) ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ s z ( Az + B ) = 3(1 − z −1 ) z −2 ( z − 1)( z − e−3 x 0.5 )( z − e −1x 0.5 ) (1 − e −3 x 0.5 ) − 3(1 − e−0.5 ) A= = 0.0673 3(1 − 3) 3e−3 x 0.5 (1 − e−0.5 ) − e−0.5 (1 − e−3 x 0.5 ) B= = 0.0346 3(1 − 3) 0.202 z + 0.104 GH ( z ) = 2 z ( z − 0.223)( z − 0.607) 0.777 0.777( z − 0.607) z ( z − 0.223) 2 G( z) Gk ( z ) = = =4 0.202 z + 0.104 1 + GH ( z ) 1 + z − 0.83 z + 0.135 z 2 + 0.202 z + 0.104 3 z 2 ( z − 0.223)( z − 0.607) 10 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
• Ví duï 3 : Tính haøm truyeàn heä kín bieát : 5e −0.2 s G ( s) = H ( s ) = 0.1 s2 Boä ñieàu khieån Gc ( z ) ,coù quan heä vaøo-ra moâ taû bôûi phöông trình : u (k ) = 10e(k ) − 2e(k − 1) Giaûi : Gc ( z )G ( z ) C( z ) Haøm truyeàn heä kín : Gk ( z ) = = R( z ) 1 + Gc ( z )GH ( z ) u (k ) = 10e(k ) − 2e(k − 1) U ( z ) = 10 E ( z ) − 2 z −1E ( z ) U ( z) = 10 − 2 z −1 → Gc ( z ) = E( z) ⎧ 5e −0.2 s ⎫ −1 −1 (0.2) z ( z + 1) ⎪ ⎪ ⎧ G (s) ⎫ 2 −1 −1 G ( z ) = (1 − z ) Z ⎨ ⎬ = (1 − z ) Z ⎨ 3 ⎬ = 5(1 − z ) z 2( z − 1)3 ⎩ s⎭ ⎪s ⎪ ⎩ ⎭ 0.1( z + 1) G( z) = z ( z − 1) 2 ⎧ G ( s ) ⎫ 0.01( z + 1) ⎧ G (s) H (s) ⎫ GH ( z ) = (1 − z −1 ) Z ⎨ −1 ⎬ = 0.1(1 − z ) Z ⎨ ⎬= ⎩ s ⎭ z ( z − 1) 2 ⎩ ⎭ s ⎡10 z − 2 ⎤ ⎡ 0.1( z + 1) ⎤ ⎢ z ⎥ ⎢ z ( z − 1)2 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Gc ( z )G ( z ) Gk ( z ) = = 1 + Gc ( z )GH ( z ) ⎡10 z − 2 ⎤ ⎡ 0.01( z + 1) ⎤ 1+ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ z ⎥ ⎣ z ( z − 1)2 ⎦ ⎦ 11 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
z 2 + 0.8 z − 0.2 =4 z − 2 z 3 + 1.1z 2 + 0.08 z − 0.02 7.4 Moâ Taû Heä Thoáng Rôøi Raïc Baèng Phöông Trình Traïng Thaùi • Khaùi nieäm PTTT cuûa heä thoáng rôøi raïc laø PTSP baäc 1 coù daïng : ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩c ( k ) = C d x ( k ) ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎡b1 ⎤ ⎢ x (k ) ⎥ ⎢a a22 L a2 n ⎥ ⎢b ⎥ x(k ) = ⎢ ⎥ Ad = ⎢ 21 ⎥ Bd = ⎢ 2 ⎥ 2 ⎢M ⎥ ⎢M M⎥ ⎢M ⎥ M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ an 2 L ann ⎦ ⎣ xn (k ) ⎦ ⎣ an1 ⎣bn ⎦ Cd = [ c1 c2 L cn ] 7.4.1 Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi töø phöông trình sai phaân. 1. Veá phaûi cuûa PTSP khoâng chöùa sai phaân cuûa tín hieäu vaøo a0 c( k + n) + a1c( k + n − 1) + ... + an −1c( k + 1) + an c( k ) = b0 r (k ) • Qui taéc ñaët bieán traïng thaùi : x1 (k ) = c(k ) x2 (k ) = x1 (k + 1) x3 (k ) = x2 (k + 1) M xn (k ) = xn −1 (k + 1) • Phöông trình traïng thaùi : ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩c ( k ) = C d x ( k ) ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ L0 1 0 ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎡ x1 (k ) ⎤ L0 0 1 ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ x (k ) ⎥ ⎢M ⎥ ⎢M ⎥ M M M x(k ) = ⎢ 2 ⎥ Ad = ⎢ Bd = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢M ⎥ L1 ⎥ ⎢0 0 0 ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ an a⎥ ⎢ b0 ⎥ ⎣ xn (k ) ⎦ an −1 an − 2 ⎢− − − L − 1⎥ ⎢⎥ ⎣ a0 a0 ⎦ ⎣ a0 ⎦ a0 a0 12 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Cd = [1 0 L 0 0] Ví duï 7.9 : Cho heä thoáng ñk rôøi raïc moâ taû bôûi PTSP 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k + 1) + 4c(k ) = 3r (k ) Giaûi : Vieát laïi PTSP : c(k + 3) + 0.5c(k + 2) + 2.5c(k + 1) + 2c(k ) = 1.5r (k ) AÙp duïng coâng thöùc treân → PTTT : ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩c ( k ) = C d x ( k ) ⎡0 0 ⎤ ⎡0 1 ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ 0⎤ 1 Ad = ⎢0 1 ⎥ = ⎢0 0 Bd = ⎢ 0 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ 1⎥ 0 ⎢ ⎥⎢ ⎢⎥⎢⎥ ⎥ ⎢ − a3 ⎥ ⎢ −2 −2.5 −0.5⎥ ⎢b0 ⎥ ⎢1.5⎥ − a2 − a1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦⎣⎦ ⎣ Cd = [1 0 0] 2. Veá phaûi cuûa phöông trình sai phaân coù chöùa sai phaân cuûa tín hieäu vaøo c(k + n) + a1c(k + n − 1) + ... + an −1c(k + 1) + an c( k ) = b0 r (k + n) + b1r (k + n − 1) + ... + bn −1r (k + 1) + bn r (k ) • Ñaët bieán traïng thaùi : x1 (k ) = c(k ) − β 0 r (k ) x2 (k ) = x1 (k + 1) − β1r (k ) x3 (k ) = x2 (k + 1) − β 2 r (k ) L xn (k ) = xn −1 (k + 1) − β n −1r (k ) • Phöông trình traïng thaùi : ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩c(k ) = Cd x(k ) + Dd r (k ) 13 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
⎡ β1 ⎤ ⎡0 0⎤ L0 1 0 ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎢0 0⎥ ⎢β ⎥ L0 ⎢ x (k ) ⎥ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢2⎥ x(k ) = ⎢ 2 ⎥ Ad = ⎢M M⎥ Bd = ⎢M ⎥ M M M ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ β n −1 ⎥ ⎢ ⎥ L0 ⎢0 0 0 1⎥ ⎢ ⎣ xn (k ) ⎦ ⎢ −an − an −1 − a1 ⎥ ⎢βn ⎥ − an − 2 L − a2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Cd = [1 0 L 0 0] Dd = β 0 β 0 = b0 β1 = b1 − a1β 0 β 2 = b2 − a1β1 − a2 β 0 L β n = bn − a1β n −1 − a2 β n − 2 − a3 β n −3 − ... − an −1β1 − an β 0 7.4.2 Thaønh laäp PTTT töø haøm truyeàn heä rôøi raïc Cho heä thoáng moâ taû bôûi haøm truyeàn : C( z ) b0 z m + b1 z m −1 + ... + bm −1 z + bm G( z) = = R( z ) a0 z n + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an Ñöa veà daïng PTSP : a0 c(k + n) + a1c(k + n − 1) + ... + an −1c (k + 1) + an c(k ) = b0 r (k + m) + b1r (k + m − 1) + ... + bm −1r (k + 1) + bm r (k ) • Ñaët bieán traïng thaùi : x1 laø nghieäm cuûa pt : a a a x1 (k + n) + 1 x1 (k + n − 1) + ... + n −1 x1 (k + 1) + n x1 (k ) = r (k ) a0 a0 a0 x2 (k ) = x1 (k + 1) x3 (k ) = x2 (k + 1) L xn (k ) = xn −1 (k + 1) ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) • Phöông trình traïng thaùi : ⎨ ⎩c ( k ) = C d x ( k ) 14 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
⎡0 ⎤ L0 1 0 ⎡0⎤ ⎢0 L0 ⎥ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎢0⎥ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ x (k ) ⎥ ⎢⎥ ⎢M ⎥ M M M x(k ) = ⎢ 2 ⎥ Ad = ⎢ Bd = ⎢M ⎥ ⎥ ⎢M ⎥ ⎢⎥ L1 ⎥ ⎢0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ an a⎥ ⎣ xn (k ) ⎦ a a − n −1 − n − 2 ⎢1 ⎥ ⎢− L − 1⎥ ⎣⎦ ⎣ a0 a0 ⎦ a0 a0 ⎡b ⎤ bm −1 b Cd = ⎢ m L 0 0 L 0⎥ ⎣ a0 ⎦ a0 a0 • Ví duï 7.12. Cho heä thoáng moâ taû bôûi haøm truyeàn z2 + 3 C( z ) G( z) = = R( z ) 2 z 3 + z 2 + 5 z + 4 Vieát laïi daïng PTSP : 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k + 1) + 4c(k ) = r (k + 2) + 3r (k ) a0 = 2, a1 = 1, a2 = 5, a3 = 4 b0 = 1, b1 = 0, b2 = 3 ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) • Phöông trình traïng thaùi : ⎨ ⎩c ( k ) = C d x ( k ) ⎡ ⎤ ⎢0 0 ⎥ ⎡0 1 0⎤ ⎡0⎤ 1 ⎢ ⎥⎢ 1⎥ Bd = ⎢ 0 ⎥ Ad = ⎢ 0 1 ⎥= 0 0 0 ⎥ ⎢ −2 −2.5 −0.5⎥ ⎢⎥ ⎢a ⎢ − 3 − a2 − a1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎢ a0 a0 ⎥ ⎣ ⎦ a0 ⎡b b0 ⎤ b1 ⎥ = [1.5 0 0.5] Cd = ⎢ 2 ⎣ a0 a0 ⎦ a0 7.4.3 Thaønh laäp PTTT heä rôøi raïc töø PTTT heä lieân tuïc • Chæ aùp duïng cho caùc heä thoáng coù sô ñoà khoái : 15 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
• Caùc böôùc thöïc hieän : Böôùc 1 : Thaønh laäp heä PTTT heä lieân tuïc (voøng hôû) ⎧ x(t ) = Ax(t ) + BeR (t ) & ⎨ ⎩c(t ) = Cx(t ) Böôùc 2 : Tính ma traän quaù ñoä cuûa heä lieân tuïc Φ(t ) = L−1 [ Φ( s )] −1 vôùi : Φ ( s ) = ( sI − A ) Böôùc 3 : Rôøi raïc hoùa PTTT ôû böôùc 1 ⎧ x [ (k + 1)T ] = Ad x(kT ) + Bd eR (kT ) ⎨ ⎩c(kT ) = Cd x(kT ) Vôùi : ⎧ Ad = Φ (T ) ⎪ T ⎪ ⎨ Bd = ∫ Φ (τ ) Bdτ ⎪ 0 ⎪C = C ⎩d Böôùc 4 : Vieát PTTT heä rôøi raïc (kín) caàn tìm vôùi tín hieäu vaøo laø r (kT ) ⎧ x [ (k + 1)T ] = [ Ad − Bd Cd ] x(kT ) + Bd r (kT ) ⎨ ⎩c(kT ) = Cd x(kT ) 16 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Ví duï 7.14 : Thaønh laäp PTTT moâ taû heä thoáng Vôùi : a = 2, T = 0.5, K = 10 Giaûi : Böôùc 1 : Thaønh laäp PTTT moâ taû heä lieân tuïc X 2 (s) X1 (s) = ⇒ sX 1 ( s ) = X 2 ( s ) ⇒ x1 (t ) = x2 (t ) & s E ( s) X 2 ( s) = R ⇒ ( s + 2) X 2 ( s ) = ER ( s ) ⇒ x2 (t ) = −2 x2 (t ) + eR (t ) & s+2 ⎧ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡ 0 ⎤ & ⎥= ⎥+ ⎪⎢ & ⎢ x2 (t ) ⎦ ⎢ 0 −2 ⎥ ⎣ x2 (t ) ⎦ ⎢1 ⎥ R e (t ) ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎪⎣ ⎨ ⎪c(t ) = 10 x (t ) = 10 0 ⎡ x1 (t ) ⎤ [ ] ⎢ x (t ) ⎥ ⎪ 1 ⎣2 ⎦ ⎩ ⎡0 1 ⎤ ⎡0⎤ C = [10 0] A=⎢ B=⎢ ⎥ 0 −2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 1⎦ Böôùc 2 : Tính ma traän quaù ñoä −1 −1 ⎛ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎞ ⎛ ⎡ s −1 ⎤ ⎞ Φ ( s ) = ( sI − A) −1 = ⎜ s ⎢ − = ⎜⎢ ⎟ ⎟ 0 1 ⎥ ⎢ 0 −2 ⎥ ⎠ 0 s + 2⎥ ⎠ ⎝⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝⎣ ⎦ ⎡1 1⎤ 1 ⎡ s + 2 1 ⎤ ⎢ s s ( s + 2) ⎥ =⎢ ⎥ = s ( s + 2) ⎢ 0 s⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 0 ⎢ s+2 ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎤ ⎫ ⎡ −1 ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫⎤ ⎧⎡ 1 L−1 ⎨ ⎢L ⎨ ⎬ ⎬⎥ ⎪⎢ s ( s + 2) ⎥ ⎪ ⎢ s ( s + 2) ⎭⎥ −1 ⎪ s ⎪ ⎩s⎭ ⎩ Φ (t ) = L [ Φ ( s )] = L ⎨ ⎢ −1 ⎥⎬ = ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎢0 −1 ⎧ 1 ⎫ 1 L⎨ ⎢0 ⎬⎥ ⎩⎢ s + 2 ⎥⎭ ⎣ ⎪⎣ ⎦⎪ s + 2⎭ ⎦ ⎩ 17 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
⎡ ⎤ 1 (1 − e −2t ) ⎥ 1 Φ (t ) = ⎢ 2 ⎢ ⎥ 0 e −2t ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Böôùc 3 : Rôøi raïc hoùa caùc PTTT cuûa heä lieân tuïc ⎧ x [ (k + 1)T ] = Ad x(kT ) + Bd eR (kT ) ⎨ ⎩c(kT ) = Cd x(kT ) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 1 (1 − e−2t ) ⎥ (1 − e−2 x 0.5 ) ⎥ ⎡1 0.316 ⎤ 1 1 Ad = Φ (T ) = ⎢ =⎢ = 2 2 ⎥ ⎢0 0.368 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ −2t −2 x 0.5 ⎢0 e ⎥ t =T ⎢0 e ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ T ⎡⎛ τ e −2τ ⎞⎤ ⎢⎜ + 2 T⎡ ⎤ T ⎡1 ⎤ ⎟⎥ 1 (1 − e −2τ ) ⎥ ⎡0 ⎤ (1 − e −2τ ) ⎥ T 1 Bd = ∫ Φ (τ )Bdτ = ∫ ⎢ dτ = ∫ ⎢ 2 dτ = ⎢⎝ ⎠⎥ 22 2 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ −2τ ⎥ ⎣⎦ 0 ⎢ 0 e −2τ 0 ⎢ e −2τ ⎥ ⎥ ⎢− e ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 ⎢2 ⎥0 ⎣ ⎦ ⎡⎛ 0.5 e−2 x 0.5 1 ⎞ ⎤ + − 2 ⎟⎥ ⎢⎜ 2 ⎠ ⎥ ⎡ 0.092 ⎤ 22 = ⎢⎝ 2 = ⎥ ⎢ 0.316 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ −2 x 0.5 e 1 ⎢ ⎥ − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 Cd = C = [10 0] Böôùc 4 : PTTT heä rôøi raïc vôùi tín hieäu vaøo r (kT ) ⎧ x [ (k + 1)T ] = [ Ad − Bd Cd ] x(kT ) + Bd r (kT ) ⎨ ⎩c(kT ) = Cd x(kT ) ⎡1 0.316 ⎤ ⎡ 0.092 ⎤ ⎡ 0.080 0.316 ⎤ [ Ad − Bd Cd ] = ⎢0 0.368⎥ − ⎢0.316⎥ [10 0] = ⎢ −3.160 0.368⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 18 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
7.4.4 Tính Haøm Truyeàn Heä Rôøi Raïc Töø Heä PTTT • PTTT heä rôøi raïc : ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩c ( k ) = C d x ( k ) C( z ) • Haøm truyeàn : G ( z ) = R( z ) Bieán ñoåi Z heä PTTT : ⎧ zX ( z ) = Ad X ( z ) + Bd R( z ) ⎧( zI − Ad ) X ( z ) = Bd R ( z ) →⎨ ⎨ ⎩C( z ) = Cd X ( z ) ⎩C( z ) = Cd X ( z ) ⎧ X ( z ) = [ zI − A ]−1 B R ( z ) ⎪ → C( z ) = Cd [ zI − Ad ] Bd R ( z ) −1 →⎨ d d ⎪C( z ) = Cd X ( z ) ⎩ C( z ) = Cd [ zI − Ad ] Bd −1 Vaäy : G ( z ) = R( z ) 19 C7. Moâ Taû Toaùn Hoïc Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc