Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: (ĐVH)
a) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
Ví dụ 2: (ĐVH)
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
Ví dụ 3: (ĐVH). Cho
{
}
0,1, 2,3, 4,5 .
X=
Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số
đó không chia hết cho 3.
Ví dụ 4: (ĐVH). Cho
{
}
0,1, 2,3, 4,5 .
A=
Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho
tổng hai chữ số đầu nhỏ hơn tổng hai chữ số sau 1 đơn vị.
Ví dụ 5: (ĐVH). Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn
a) gồm có 6 chữ số
b) gồm có 6 chữ số khác nhau
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2
Lời giải:
a) Gọi số đó là
123456
a a a a a a
⇒
Có
6.6.6.6.6.6 46656
=
số
th
ỏ
a mãn
b)
G
ọ
i s
ố
đ
ó là
123456
a a a a a a
⇒
Có
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
c)
G
ọ
i s
ố
đ
ó là
123456
a a a a a a
Ch
ọ
n
6
a
có 3 cách
Ch
ọ
n
1 2 3 4 5
a a a a a
có
5!
cách
⇒
Có
3.5! 360
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
Ví dụ 6: (ĐVH).
V
ớ
i 5 ch
ữ
s
ố
1; 2; 3; 4; 5 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
:
a)
G
ồ
m 2 ch
ữ
s
ố
?
b)
G
ồ
m 2 ch
ữ
s
ố
khác nhau?
c)
S
ố
l
ẻ
g
ồ
m 2 ch
ữ
s
ố
?
d)
S
ố
ch
ẵ
n g
ồ
m 2 ch
ữ
s
ố
khác nhau?
e)
G
ồ
m 5 ch
ữ
s
ố
vi
ế
t không l
ặ
p l
ạ
i?
f)
G
ồ
m 5 ch
ữ
s
ố
vi
ế
t không l
ặ
p l
ạ
i chia h
ế
t cho 5?
Lời giải:
a)
G
ọ
i s
ố
đ
ó là
1 2
a a
⇒
Có
5.5 25
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
b) G
ọ
i s
ố
đ
ó là
1 2
a a
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM CƠ BẢN
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
⇒
Có
2
5
20
A
=
số thỏa mãn
c) Gọi số đó là
1 2
a a
Chọn
2
a
có 3 cách chọn
Chọn
1
a
có 5 cách chọn
⇒
Có
3.5 15
=
số
th
ỏ
a mãn
d)
G
ọ
i s
ố
đ
ó là
1 2
a a
Ch
ọ
n
2
a
có 2 cách ch
ọ
n
Ch
ọ
n
1
a
có 4 cách ch
ọ
n
⇒
Có
2.4 8
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
e)
G
ọ
i s
ố
đ
ó là
12345
a a a a a
⇒
Có
5! 120
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
f)
G
ọ
i s
ố
đ
ó là
12345
a a a a a
Ch
ọ
n
5
a
có 1 cách
Ch
ọ
n
1 2 3 4
a a a a
có
4!
cách
⇒
Có
1.4! 24
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
Ví dụ 7: (ĐVH).
T
ừ
6 s
ố
: 0; 1; 2; 3; 4; 5 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
có 3 ch
ữ
s
ố
:
a)
Khác nhau?
b)
Khác nhau, trong
đ
ó có bao nhiêu s
ố
l
ớ
n h
ơ
n 300?
c)
Khác nhau, trong
đ
ó có bao nhiêu s
ố
chia h
ế
t cho 5?
d)
Khác nhau, trong
đ
ó có bao nhiêu s
ố
ch
ẵ
n?
e)
Khác nhau, trong
đ
ó có bao nhiêu s
ố
l
ẻ
?
Lời giải:
G
ọ
i s
ố
đ
ó là
1 2 3
a a a
a)
Ch
ọ
n
1
a
có 5 cách
Ch
ọ
n
2 3
a a
có
2
5
A
cách
⇒
Có 2
5
5. 100
A
= s
ố
th
ỏ
a mãn
b)
TH1: 1
3
a
=
Ch
ọ
n
2
a
có 5 cách
Ch
ọ
n
3
a
có 4 cách
⇒
Có
5.4 20
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
TH2:
{
}
1
4;5
a∈
Ch
ọ
n
1
a
có 2 cách
Ch
ọ
n
2 3
a a
có
2
5
A
cách
⇒
Có 2
5
2. 40
A=
s
ố
th
ỏ
a mãn
V
ậ
y có
20 40 60
+ =
s
ố
th
ỏ
a mãn
c)
TH1: 3
0
a
=
Ch
ọ
n
1 2
a a
có
2
5
A
cách
⇒
Có 2
5
20
A
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
TH2: 3
5
a
=
Ch
ọ
n
1
a
có 4 cách
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Chọn
2
a
có 4 cách
⇒
Có
4.4 16
=
số
th
ỏ
a mãn
V
ậ
y có
20 16 36
+ =
s
ố
th
ỏ
a mãn
d)
TH1: 3
0
a
=
Ch
ọ
n
1 2
a a
có
2
5
A
cách
⇒
Có 2
5
20
A
=
số thỏa mãn
TH2:
{
}
3
2; 4
a∈
Chọn
3
a
có 2 cách
Chọn
1
a
có 4 cách
Chọn
2
a
có 4 cách
⇒
Có
2.4.4 32
=
số thỏa mãn
Vậy có
20 32 52
+ =
số thỏa mãn
e) Có
100 52 48
− =
số thỏa mãn
Ví dụ 8: (ĐVH). Từ các số: 1; 2; 3; 4; 5;6 ;7; 8.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải:
a) Gọi số lập được là
abcdef
Có 8 cách chọn số ở vị trí a.
Với mỗi cách đó, có 7 cách chọn số ở vị trí b.
Với mỗi cách đó, có 6 cách chọn số ở vị trí c.
Với mỗi cách đó, có 5 cách chọn số ở vị trí d.
Với mỗi cách đó, có 4 cách chọn số ở vị trí e.
Với mỗi cách đó, có 3 cách chọn số ở vị trí f.
Vậy số cách lập là 8.7.6.5.4.3 = 20160.
b) Gọi số lập được là
abcde
Do số đó chia hết cho 5 nên có 1 cách chọn e.
Khi đó có 7 cách chọn a.
Với mỗi cách đó, có 6 cách chọn b.
Với mỗi cách đó, có 5 cách chọn c.
Với mỗi cách đó, có 4 cách chọn d.
Vậy số cách lập là: 1.7.6.5.4 = 840.
Ví dụ 9: (ĐVH). Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ?
Lời giải:
Với 10 chữ số: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
Có 9 cách chọn chữ số đầu.
Từ vị trí thứ 2 đến thứ 6 mỗi vị trí có 10 cách chọn.
Do số chữ số chẵn và số chữ số lẻ bằng nhau nên tương ứng với mỗi cách trên có 5 cách chọn chữ số
cuối. Vậy ta lập được
5
9.10 .5 4500000
= số.
Ví dụ 10: (ĐVH). Cho
{
}
0,1, 2,3, 4,5,6
X=
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một?
b) Có bao nhiêu chữ số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?
c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Lời giải:
a) Gọi số lập được là
abcd
- Số cách lập số có 4 chữ số khác nhau:
Có 6 cách chọn a. Với mỗi cách chọn a có 6 cách chọn b. Với mỗi cách chọn b có 5 cách chọn c. Với mỗi
cách chọn c có 4 cách chọn d.
⇒ Tổng số cách lập số có 4 chữ số khác nhau đôi một là 6.6.5.4 = 720.
- Số cách lập số lẻ có 4 chữ số khác nhau:
Có 3 cách chọn d. Với mỗi cách chọn d có 5 cách chọn a. Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn b. Với mỗi
cách chọn b có 4 cách chọn c.
⇒ Số cách lập số lẻ có 4 chữ số khác nhau đôi một là 3.5.5.4 = 300.
Suy ra số cách lập số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một là 720 – 300 = 420.
b) Gọi số lập được là
abc
Số cách lập số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5:
Có 2 cách chọn c. Với mỗi cách chọn c có 5 cách chọn a.Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn b.
⇒ Suy ra số cách lập số có 3 chữ số chia hết cho 5 là 2.5.5=50.
c) Ta có:
1 2 6 1 3 5 2 3 4 3 0 6 4 0 5
+ + = + + = + + = + + = + +
- Vớ
i m
ỗ
i nhóm:
(
)
1, 2,6
,
(
)
1,3,5
và
(
)
2,3, 4
ta l
ậ
p
đượ
c 6 s
ố
chia h
ế
t cho 9
⇒
T
ổ
ng là 6.3 = 18 s
ố
.
- V
ớ
i nhóm
(
)
3,0,6
ho
ặ
c
(
)
4,0,5
ta l
ậ
p
đượ
c: 4 s
ố
chia h
ế
t cho 9
⇒
T
ổ
ng là 4.2 = 8 s
ố
.
V
ậ
y ta có th
ể
l
ậ
p 18 + 8 = 26 s
ố
chia h
ế
t cho 9.
Ví dụ 11: (ĐVH).
Có bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên có tính ch
ấ
t:
a)
Là s
ố
ch
ẵ
n và có hai ch
ữ
s
ố
(không nh
ấ
t thi
ế
t khác nhau)?
b)
Là s
ố
l
ẻ
và có hai ch
ữ
s
ố
(không nh
ấ
t thi
ế
t khác nhau)?
c)
Là s
ố
l
ẻ
và có hai ch
ữ
s
ố
khác nhau?
d)
Là s
ố
ch
ẵ
n và có hai ch
ữ
s
ố
khác nhau?
Lời giải:
Kí hi
ệ
u
{
}
0; 1; 2;...; 9 .
T=
a)
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
ab
trong
đ
ó
0
a
≠
và b là s
ố
t
ự
nhiên ch
ẵ
n.
+) Ch
ọ
n b t
ừ
t
ậ
p
{
}
0; 2; 4; 6; 8
b
⇒
có 5 cách ch
ọ
n.
+) Ch
ọ
n a có 9 cách ch
ọ
n (tr
ừ
s
ố
0).
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
5.9 45
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
b)
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
ab
trong
đ
ó
0
a
≠
và b là s
ố
t
ự
nhiên l
ẻ
.
+) Ch
ọ
n b t
ừ
t
ậ
p
{
}
1; 3; 5; 7; 9
b
⇒
có 5 cách ch
ọ
n.
+) Ch
ọ
n a có 9 cách ch
ọ
n (tr
ừ
s
ố
0).
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
5.9 45
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
c)
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
ab
trong
đ
ó
0
a
≠
; b là s
ố
t
ự
nhiên l
ẻ
và a, b phân bi
ệ
t.
+) Ch
ọ
n b t
ừ
t
ậ
p
{
}
1; 3; 5; 7; 9
b
⇒
có 5 cách ch
ọ
n.
+) Ch
ọ
n a có 8 cách ch
ọ
n (tr
ừ
b và s
ố
0).
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
5.8 40
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
d)
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
ab
trong
đ
ó
0
a
≠
; b là s
ố
t
ự
nhiên ch
ẵ
n và a, b phân bi
ệ
t.
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
• TH1.
0
b
=
khi
đ
ó ch
ọ
n
a
có 9 cách ch
ọ
n nên s
ẽ
có 9 s
ố
th
ỏ
a mãn.
•
TH2.
0
b
≠
khi
đ
ó ta ch
ọ
n
b
t
ừ
t
ậ
p
{
}
2; 4; 6; 8
b
⇒
có 4 cách ch
ọ
n.
Ch
ọ
n
a
có 8 cách ch
ọ
n (tr
ừ
b
và s
ố
0).
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
4.8 32
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
Tóm l
ạ
i, theo quy t
ắ
c c
ộ
ng có t
ấ
t c
ả
9 32 41
+ =
s
ố
th
ỏ
a mãn.
Ví dụ 12: (ĐVH).
Cho t
ậ
p h
ợ
p
{
}
1;2;3; 4;5;6
A
a)
Có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
g
ồ
m 4 ch
ữ
s
ố
khác nhau hình thành t
ừ
t
ậ
p
A
?
b)
Có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
g
ồ
m 3 ch
ữ
s
ố
khác nhau và chia h
ế
t cho 2?
c)
Có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
g
ồ
m 5 ch
ữ
s
ố
khác nhau và chia h
ế
t cho 5?
Lời giải:
a)
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
abcd
trong
đ
ó
0
a
≠
và
a, b, c, d đ
ôi m
ộ
t khác nhau.
+) Ch
ọ
n
a
có 6 cách ch
ọ
n.
+) Ch
ọ
n
b
có 5 cách ch
ọ
n (tr
ừ
a
).
+) Ch
ọ
n
c
có 4 cách ch
ọ
n (tr
ừ
a
và
b
).
+) Ch
ọ
n
d
có 3 cách ch
ọ
n (tr
ừ
a, b, c
).
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
6.5.4.3 360
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
b)
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
abc
trong
đ
ó
0
a
≠
;
c
chia h
ế
t cho 2 và
a, b, c đ
ôi m
ộ
t khác nhau.
+) Ch
ọ
n
c
t
ừ
t
ậ
p
{
}
2; 4; 6
c
⇒
có 3 cách ch
ọ
n.
+) Ch
ọ
n
a
có 5 cách ch
ọ
n (tr
ừ
c
).
+) Ch
ọ
n
b
có 4 cách ch
ọ
n (tr
ừ
c
và
a
).
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
3.5.4 60
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
c)
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
abcde
trong
đ
ó
0
a
≠
;
e
chia h
ế
t cho 5 và
a, b, c, d, e đ
ôi m
ộ
t khác nhau.
+) Ch
ọ
n
e
có 1 cách ch
ọ
n (là s
ố
5).
+) Ch
ọ
n
a
có 5 cách ch
ọ
n (tr
ừ
e
).
+) Ch
ọ
n
b
có 4 cách ch
ọ
n (tr
ừ
e, a
).
+) Ch
ọ
n
c
có 3 cách ch
ọ
n (tr
ừ
e, a, b
).
+) Ch
ọ
n
d
có 2 cách ch
ọ
n (tr
ừ
e, a, b, c
).
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
1.5.4.3.2 120
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
Ví dụ 13: (ĐVH).
Cho các ch
ữ
s
ố
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên:
a)
Ch
ẵ
n có 4 ch
ữ
s
ố
khác nhau?
b)
Có 4 ch
ữ
s
ố
khác nhau trong
đ
ó luôn có m
ặ
t ch
ữ
s
ố
5?
c)
L
ẻ
có 5 ch
ữ
s
ố
khác nhau
Lời giải