Một số chuyên đề nguyên hàm và tích phân bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các dạng bài tập phong phú đa dạng và được sắp xếp từ để đến khó. Cuốn sách là sự kết hợp kiến thức cả 3 lớp 10, 11, 12 nên đây là nền tảng vững chắc, bổ ích cho học sinh. Sách được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 cuốn sách.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số chuyên đề nguyên hàm và tích phân bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 2

% P H Ư Ơ N G P H Á P T ÍC H P H Â N Đ ổ l B IẾ N V À T ÍC H P H Â N T Ừ N G P H A N số Tích phân đỗi biến số Dạng ỉ: Nếu X = u(t) có đạo hàm liên tục trên [a, P] và u(a) = a, u(p) = b thì: [ f{x)dx = f{u{t)).u'Ụ).dt Ja Ja Dạng 2: Nếu t = v(x) có đạo hàm liên tục và f(x)dx = g(t)dt thì: ợh CV(A) \ f{ x )d x = \ g{t)dt. Ja Jv’(ơ) Chú ỷ: 1) Đối với biến sổ lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho X. b b b jf(t)dt, jf(u)du , đều hằng F(b) - F(a) = jf(x)dx. a a a 2) Sừ dụng các công thức mở rộng kx với k ^0, mở rộng công thức X thành u kèm sẵn du = u'.dx, lưu ý dấu cộng trừ và hệ số nhăn chia, khi cần ta viết gộp công thức đôi biển. 3) Tích phân liên kết, để lính ỉ thì đặt thêm J mà việc linh I +J và I —J, I ^m J và I - n j thuận lợi hơn, từ đó suy ra I. 4) Giả sử hàm sổ f(x) liên lục trẽn đoạn f-a; aỊ. a Nếu f là hàm sổ lè thì I f (x)dx = 0. -a a íì Nếu f là hàm sổ chẵn thì I / (x) = 2j /"{x)dx. -a 0 Tích phân từng phần Nếu u(x), v(x) có đạo hàm liên lục trên đoạn [a;hj thì f udv = u.v l - ị v.du Ja Jớ Chú ỷ: ỉ) Chọn đặt u và dv để đưa về nguyên hàm có công thức. 2) Chọn đặt u và dv để đưa về tích phân đơn giản hơn, giảm bậc hơn, dùng tích phân từng phần liên tiếp 2 hay nhiều lần hoặc dạng vồng tròn lặp lại tích phân ban đầu,... 2) Phổi hợp bảng công thức nguyên hàm, các tính chất của tích phân. 86
1 Bài toán 10.1: Tính: I = J(l + x)‘’ íừ. 0 Giải 32-1 31 Ta có; I = |(1 + x)''ứ!x: = J (1 + x)'’íi(l + x) = —((l + x)^)| = 0 0 ^ 0 5 ~ 5 1 Bài toán 10.2: Tính: I = |(1 - 2x)"‘ d x. 0 Giải Ị_ Ta có: I = - - j(l - 2x)' dạ - 2x) = ((l - 2 x)') 2g 10 5 1 Bài toán 10.3: Tính: I = (1 + )dí. 0 Giải I Đăt u = 1 + thì du = 4t^dt t^dt = —du 4 Khi t = 0 thì u = 1, t = 1 thì u = 2. 1 1 2 ^1 ^ 4- 1 3 I= (1 + t^ )d t- —ị udu = 0 ^ 1 v8 7 8 8 _ r 5x Bài toán 10.4: Tính: I = 1— —^dx ịix ^ + 4Ỵ Giải I J ( x '+ 4 ) ' 2 J ( x '+ 4 ) ' 2x^+4 8 Bài toán 10.5: Tính: I = —ị _Ảx + 3 Giải Đặt t = X + 3 thì X - 2 = t - 5, dx = dt Khi X = -2 thì t = 1, X = 4 thì t = 7. ( 25^ 192 1= dt = / -10 In t - — ■101n7. iU + 3 / l f y 87
1 Bài toán 10.6: Tính: I = Ị x^Jx^ + \ d x . 0 Giải 1 ____ I I 1 \ 2 V2 - 1 Ta có I = ịx-\lx^ + \dx = —f(x^ + [y d{x^ + 1) = -{x^ +1) 0 '^0 V3 j 7t/4 Bài toán 10.7: Tính I ~ J cos’ Xsin xdx . 0 Giải Đặt t = cosx thì dt = -sinxdx. Khi x = 0 = í> t= l,x = — ^ t = 4 2 7 1 /4 V2/2 J V 2/ 2 1= Jcos^xsinxdx = j r \ í / / = —-T 0 1 4 16 iu/3 Bài toán 10.8: Tính; I = |tarf xdx. n/4 Giải 1-. ^ ^ _ , . , n V2 TC 1 Đặt t = cosx => dt = - sinxdx , X= —=í>t = -—,x = —=>t = — 4 2 3 2 7ĩ /3 n/i (l-cos^x)sinx I = |tarfxdx= I dx=- 3 dt rt/4 ir/4 rt/4 cos’ X 1/2 1/2 1 = l- - ln 2 V2/2 V2/ 2 2 rrclĩ r.T/ĩ Cách khác: I = [ tan^ xdx = f tanX. tan^ xdx J;r/4 J/r/4 = I'' tanx.(tan^ x + l - l ) í ử = ị'^ tanx.(tan^ x + l)íử -|'^ tanxcàr. 1 Bài toán 10.9: Tính: 1 = 1 x.e’' d x , 0 Giải \= ịxe"'dx = -ịe""'d{x^) = -e " ' = -^ ^ . 0 20 2 Q 2 88
3 1 Bài toán 10.10: Tính: I = [ —(In x)^dx . I ^ Giải 3 . 3 (Inx)^ (ln3)’ 1= j —(Inx)Mx = J(lnx)M (lnx) = 1^ 1 }2 + ỉnx Bài toán 10.11: Tính: I = I dx. I Giải f 2 +Tn X 1 a có I = — — dx J V = 1(3^_2^) = 5_ = J(2 + lnx)í/(2 + Inx) = —( 2 + Inx) I 2 I X2. 2 Bài toán 10.12: Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [0;1]. I I Chứng minh rằng: I f (x)dx = J f (1 - x)dx . 0 0 Giải Đặt u = 1 - X thì du = -dx, x = 0=>u = l,x = 1 =>u = ơ. 1 0 1 1 J f (x)dx = - J f (1 - u)du = I f (1 - u)du = j f (1 - x)dx . 0 1 0 0 Bài toán 10.13: Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [-1;1]. . I I Chứng minh ràng: J f (x)dx = j[f(x ) + f(-x )]d x . -1 0 Giải 1 0 I ' 0 0 I Ta có Jf(x)dx = jf ( x ) d x + j f ( x ) d x và jf(x )d = - j f ( - u ) d u = j f(-x ) d x - 1 - 1 0 - 1 1 0 I I Do đó I f (x)dx = J [f (x) + f (-x)]dx . - 1 0 Bài toán 10.14: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng: ữ a) Nếu f là hàm số lẻ thì j f(x)dx = 0. -a b) Nếu f là hàm số chẵn thì j / (x) = 2j / {x)dx . - 0 0 89
Giải a 0 a T a c ó l= |f(x )d x = jf(x )d x + |f(x)dx -a -a 0 0 Đổi biến X = -t đối với tích phân Jf(x)dx ta được: -a a) Nếu n ẻ thì jf(x )d x = - |f ( - t ) d t = - |f ( t ) d t = - j f ( x ) d x -a -a 0 0 a 0 a I = Jf(x)dx = |f ( x ) d x + |f (x )d x = 0. -a -a 0 0 a a b) Nếu f chẵn thì Jf(x)dx = |f(t)d t = jf(x )d x -a 0 0 =í> I = jf(x )d x = Ịf(x )d x + |f ( x ) d x = 2 j f ( x ) d x . -a -a 0 0 1 Bài toán 10.15: Tính: I = I xe’'dx . 0 Giải Ta dùng tích phân tìmg phần. Đặt u = X , dv = e^^.dx. Khi đó du = dx, chọn V = e’^. 1 I ' 1 J 1 I = Jxe’‘dx = |udv = (uv) - 1vdu = (xe’‘1 -Ịe M x = e - (e -1) = 1. 0 0 0 0 0 Bài toán 10.16: Tính: I = Jln xdx . 1 Giải dx Đặt u = Inx, dv = dx. Khi đó du = — , v = X X c 1 ' 1 e I = jInxdx = judv = (uv) - j vdu = (x Inx)|' - |d x = e - (e -1) = 1. 1 0 0 Ố 1 Bài toán 10.17: Tính: I = jx" \nxdx . I Giải dx 1 Đặt u = Inx, dv = x^dx. Khi đó du = — , V = — x^ X 3 90
2 2 “ 2 Ta có I = In xdx = Ị udv = {uv) - Ị vdu 1 I 1 1 _ ^ x M n x ^ f X ^ í ủ : _ 8 1 n 2 f\ 3^ 81n2 7 3 9 nl 2 Bài toán 10.18: Tính; I = J xsinxcosxdx 0 Giải . sin2x , Đặt u = X , dv = ------- d x . Khi đó du = dx, V =ỉ-cos2x — 4 n/2 kỉ2 • 2 X cos 2x n/ 2 7t/ 2 cos2x _ TC 1= ịxsinxcosxdx = I X dx = 0 0 ^ 4 ~s V BÀI TẬP 5 Bài tập 10.1: Tính tích phân: I = |(1 + xýdx . 0 IID-ĐS 1= r dx Bài tập 10.2: Tính: I = J . HD-ĐS Đổi biến số, dặt t = ln(e^ + e 4 1) -2. Bài tập 10.3: Tính tích phân; I = jx (l - 4x)^'* dx 0 IID-ĐS Đổi biến số, đặt t = 1 -4x. Bài tập 10.4: Tính tích phân: dx a) I = Ịsinx.5“ ®''íừ b )l 0 a/ x^ - 3 91
IID-DS a) Đổi biến số, đặt t = cosx. b) Đặt t = X + - 3 Bài tập 10.5: Tính tích phân: X. _ f + 2x" + 2 b ) ' =' ỉX^r -r 2x ^ +2 lỉD-ĐS a) chia tách, 1 = 2+ —ln5 Bài tập 10.6: Tính tích phân: e b ) I = ịxln^xíủ: 1 I HD-ĐS a) Đổi biến số, đặt t = Inx b) Dùng từng phần, đặt u = In^x và dv = X . Bài tập 10.7: Tính tích phân: II a) I = Ilog|, xdx b )fe x 1 1 IID-ĐS Dùng từng phần, đ ặ t a ) u = logl I x v à dv = X . 3-21n2 b) 16 li tập 10.8: Tính: a) I = Jln(.\:^ +\)dx b) I = + x.e')dx . 0 0 ^ lỉD-ĐS ' n 5 a) Dùng từng phẩn, 1 = ln2 - 2 + —. b) 5 - —. 2 e Bài tập 10.9: Tính: 7ĩ /3 I X + sin X a)I= J dx b) I = |x ln (l + x^)dx 0 cos X 0 IID-DS 43 1 Dùng từng phần, I = = —— +1 - In 2 . b) In 2 - ^ . 3 2 92
______ __ ___________________ T ÍC H P H Â N H À M Đ A T H Ứ C Tích phân Giá sử f(x) liên lục írên khoáng K và a, h e K, nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) thì: f f {x)dx = F{b) - F(a) = F (x Ỳ ,. Jơ ' Các công thúc nguyên hàm đa thức j dx = x + C; J kdx = kx + c với k là hằng số Với a > 0 thì: í x“ íừ = + C: í u^.iV.dx = — +c •' a +1 •' a +1 b - Dạng j P(x)dx; Dùng bảng công thức, a b - Dạng J|p(x)|dx ; Chia miền xét dấu P(x), a b - Dạng J P(x).Q(x)dx ; Khai triển tích số, a b - Dạng I(P(x))" dx Khai triển luỹ thừa, ^ a Phương pháp tích phân đồi biến số Dạng 1: Nếu X = u(t) cỏ đạo hàm liên tục trên [a, P] và u(a) = a, u(Ị3) = b thì: f f(x)d x = [^ f{u(t)).u'(í).dí. Jơ J a ‘ Dạng 2: Neu-l = v(x) cỏ đạo hàm liên tục và f(x)dx = g(t)dí thì: í*/> ị f{x)d x = ị git)dí. Ja Jv{a) b - Dạng I x(mx + n)“dx .■Đặt u = mx + n hoặc phân lích thêm bớt, a b - Dạng J (mx + n)(px‘ + qx + r)“ dx .• Đặt u = px^ + qx + r, a h - Dạng j + inỴ .(x + n Ý dx : Nếu a< p thì đặt u= X + n. a 93
Phương pháp tích phân từng phần Neu 2 hàm sổ u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;bj thì udv = w.v ” - v.du. Ja Ja Chú ý: 1) Nếu hàm dưới dẩu tích phân có giá trị tuyệt đoi thì phải chia miền để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2) Phổi hợp các hiến đổi khai triển, biển đổi tích tổng, hạ bậc, thêm bớt sổ hạng, viết gộp,... viêtgộp,... 1 Bài toán 11,1: Tính: I = J(1 + )dx . 0 Giải 1 4 1 -0 5 Ta C Ó : I = J(1 + )dx = (x + — ) = (l-0) + 0 1 Bài toán 11.2: Tính: I = ~ 2x)M x. 0 Giải Ta có: I = - - j(l - 2 )M (1 -2 x ) = ((l - 2x)'') 0. 2 u 12 x 1 Bài toán 11.3: Tính; I = J(2x + IXx" - X + 3)dx . 0 Giải 1 /Ị 1 c 17 Ta có I = f(2x^ -x^ +5x + 3)dx= -x '' —-x^ +—x^ +3x Ì [2 3 2 3 ■ 3 Bài toán 11.4: Tính tích phân: I - Jmin|x,x^ ^dx . 0 Giải Xét x^ > X x>1( vìX > 0). 3 1 3 Do đó; I = |min{x,x^|í/x= ịx^dx + ịxdx . 0 0 1 - 3 io+ 2 l'“ 3 ^ 2 ~ 3 ' 94
6 Bài toán 11.5: Tính: I = J(|x + 3| - |x - 4Ị)dx . -4 Giải 6 -3 4 6 T a c ó l = |( |x + 3 |-|x -4 |)d x = - 7 Jdx + |(2 x -l)d x + |7dx = 7 -4 -4 -3 , 4 4 Bài toán 11.6: Tính: I = ||x ^ - 4 x + 3(dx. -1 Giải 1 3 4 I = I ( . X ‘ -4 x + 3)íử+j(-x^ +4x-3)ííc + |(x" -A x +3)đx -1 1 3 í Xĩ \ 1 í ^^ / 3 A .4 3 +3x +- — +2x^-3x +—-2x'+3x 9 _ — -2x l3 j -1 l 3 J. 1 3 J '3■ I Bài toán 11.7: Tính: I = jx^(l + x^)tif. 0 Giải Ị_ Đặt u - 1 + x^ thì du = 3x^dt => x^dt == —du 3 Khi X - 0 thì u = 1, X = 1 thì u = 2. 1 ,2 4 -1 3 1 1= |x ^ (l + x ’ )íử = --ỊMí/w ( —k IIa 0 ^1 u ) 6 6 ~ ~ 2 Bài toán 11.8: Tính: I = j t'(l + t“)Mt. 0 Giải Đặt u = 1 + t"*thì du = 4t^dt => t^dt = —du 4 Khi t = 0 thì u = 1, t = 1 thì u - 2. 1 ^ 16-1 _ 15 1= | t '( l + t'‘)Mt = - j u M u = 0 4 1 vl6 y 16 " l 6 3 Bài toán 11.9: Tính; I = |( x + 2)^(x-3)*dx . 2 Giải Đặt u = X - 3 thì X = u + 3, dx = du. 95
Khi X = 2 thì u = -1, X = 3 => u = 0. 0 0 I = J(u + 5)^u*du = j (u" + 1Ou + 25)uMu -1 -1 0 -185 = J(u '“ +10u’ +25u“)du = -1 ,11 9 -1 99 1 Bài toán 11.10: Tính; I(m) = j|x" -2x+m |dx theo tham số m. 0 Giải Tam thức f(x) = x^ - 2x + m có A' = 1 - m. Ta xét 2 trường hợp sau; - Nếu A'
Ta có F '(x) = X - x^, F '(x) = 0 « X = 1. Lập bảng biến thiên của F(x) trên (0; + o o ) thì F(x) đạt giá trị lớn nhất khi X 1, do đó b = 1. Bài toán 11.12: Đặt I(mn) = |x "'(l - x)"dx , m, n e N* 0 a) Tính 1(0; n), 1(1; n). b) Chứng minh I(m,n) = , m > 0, n > 1. m+1 Giải -(1 -x ) a) 1(0;n)= j ( l - x ) " d x = 0 1(1 n) = J x(l - x)"dx = J (x - 1+ 1)(1 - x)"dx 0 0 1 1 = - f(l-x)"^‘dx + f(l-x)"dx = — —+ _1 1 1 0 0 n + 2 n + 1 n^+3n + 2 b) Đặt u = (1 - x)", dv = x^^dx. m+1 [hi đó du = -n( Khi -n(l1 - x) x)"'', ■, V - — --------- m+1 1 m+l ^ 1 v , ) = f x " ( l - x ) " d x = ~ ( l - x ) " + - ^ f x " '* '( l - x r 'd x = - 5 - I , „ , . . „ . ị m+1 p rn + 1^ m+1 BÀI TẬP Bài tập 11.1: Tính: I = J(3a:+ 5X2x^ - x + \)dx . 0 ĨỈĐ-ĐS Khai triển thành tổng hiệu. 5 Bài tập 11.2: Tính tích phân: I = JmaxỊx + l,x^ -2 x + 3}íừ. 0 HD-ĐS Xét X + 1 < x^ - 2x + 3 x^ -3x + 2 > 0 X < 1 hay X > 2. Bài tập 11.3: Tính tích phân: I = |( l + x)''dx . 0 97
HD-ĐS ( ^ + i r -1 n +\ Bài tập 11.4: Tính tích phân: I = ||x^ -3 x + 2|dx . HD-ĐS 1= 19/2. Bài tập 11.5: Tính tích phân: I = - a\dx theo tham số a. 0 HD-ĐS Xét a < 0 , 0 < a < 2 , a >2. Bài tập 11.6: Cho hai hàm số: f(x) = 3x^ - x^ - 4x + 1; g(x) = 2x^ + x^ - 3x - 1. T ínhl= J |/( x ) - ^ (x ) |íử . -1 HD-ĐS 1 = 27/12. 5 I Bài tập 11.7: Tính tích phân: a) I =J(1 + X^)^íừ b) I = jx(l-9x^)^íí>£- 0 0 HD-ĐS a) khai triển hằng đẳng thức b) đặt t = 1 -9x^.. 3 Bài tập 11.8: Tính: I = ị{x + \ Ỷ { x - 2 Ý d x . 2 HD-ĐS Đặt u = X - 2 thì X = u + 2 và dx = du. 2 Bài tập 11.9: Giải phưorng trình tích phân: j(t + x)dt = x^ 1 HD-ĐS l±^/7 X ^ 98
% Tích phân T ÍC H P H Â N H À M P H Â N T H Ứ C Giả sử f(x) liên tục trên khoảng K và a, b e K, nếu F(x) là I nguyên hàm của f(x) thì: í f {x)dx = F{h) - F{a) = F{x) Ja Các công thức nguyên hàm [ dx ==X + c j kdx = kx + c với k là hằng số ÍT dx = ln \x\ + c í ■dx = ln\u\ + c. Với a 9^-1 thì: f x“.dx = —a ----+1 + c f u“.u'.dx = —a ----+ ^ và ^ +1 c. Phương pháp tích phân đổi biến số Dạng 1: Nếu X = u(t) cỏ đạo hàm liên tục trên [a, fĩ] và u(a) = a, u(P)=bthì: [ f{x)dx=\^f{u{t)).u'{t).dt Dạng 2: Nếu í = v(x) có đạo hàm liên tục và f(x)dx = g(t)dt thì: rv{h) \ f{x)d x = ị g{t)dl. Ja Jv(ớ) Phương pháp tích phân từng phần Neu 2 hàm sổ u(x), v(x) cỏ đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì f udv = M.v * - í v.du. Ja Dạng hữu tỉ tồng quát Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa thức, còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu. Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì thì phân tích mau ra các thừa sổ bậc nhất (x + a) hay (x^ + px + q) bậc hai vô nghiệm rồi đồng nhất hệ sổ theo phần tử đơn giản: A X a => —- — X + a X + px + q, A < 0=i> x^ + px + q 99
và k hệ sổ liên tiếp bậc k: (x + a / — — ^------ —T ^------- -—p x + a (x + a) (x + a) 4jc+ 3 A B Chăng hạn: --------- —— I-------- x{x-2) X x - 2 4x + 3 A B C ----------7 ~ ------ '-----'--- ĩ {x-2)x^ x - 2 X X' 4x + 3 A B Cx + D ■+ -------- r + - (x - 2Ý (x^ + x + 2) x - 2 { x - 2 Ý x^ + X+ 2 Quy đồng phân sổ rỗi đồng nhai hệ sổ ở tử thức thì tính được các hang so A, B, c , ... Neu kết hợp với các biến đoi sai phân, thêm bớt đại lượng đặc biệt thì phân tích nhanh. b Ị 'D ạ n g ị— — ■ dx .• Lập Á = q - 4pr. px + qx + r dx Á =0 ỉ(mx + n) ■.• Dùng công thức nguyên hàm dx ầ< 0 ■ Đặt X = ktant Ja x^+k' r dx A> 0 : Phân tích 2k x - k x+ k b mx + n 'Dạng [- -dx Lập A = q - 4pr px^ + qx + r A >0 ^ P h â n tích và dùng công thức. ^ ^ mx + n A(px^+qx + r)' B A< 0 =>----- — ——■= — --------ị----------------- px^ + qx + r px^ + qx + r (x + a)^ + b ư dx x""'dx 'Dạng j .• đặt t - ỉ + x”. a x(l + x " r Jx"(l + x") Chủ ỷ: 1) Phổi hợp bảng công thức nguyên hàm, các tính chất của tích phân. 2) Sử dụng các công thức mở rộng kx với k ^ 0, mở rộng công thức X thành u kèm sẵn du = u'.dx, lưu V dấu cộng trừ và hệ số nhân chia, khi cần ta viết gộp công thức đối biến. 100
3 dx Bài toán 12.1: Tính: I = j 2 (x-\ý Giải 3 dx Ta có [- 2' 2 1 ~2 Bài toán 12.2: Tính; I = [ . 0 -a “ Giải a/2 , a/2 x-a 1= — ‘------- ' >>< = - > " = - — ln3. 2a ị \ xx -- aa x + + aỉ J 2a X + a 2a 3x + l Bài toán 12.3: Tính: I = I -d x . 4 x^ -4 x + 3 Giải . 3x +1 3x +1 A B Ta có ^--------- = --------1------- x ^ -4 x + 3 ( x - l) ( x - 3 ) x -1 x - 3 nên 3x + 1 = (A + B)x - 3A - B. A +B =3 \A = -2 Đồng nhất hệ số I 1 3 ^ -5 = l 5 =5 3x +1 Vậy 4 ^ 4x + 3 ịyx-\ x -3 j (-21n IX - 1 I+ 51n|x - 3|)| = ln2 + 21n3 = Inl8. 3 r x '+ l Bài toán 12.4: Tính: I = I , . -dx . 2 (x -l)^ (x + 3) Giải ^ +1. x' A B c D Giả s ử :------—Ị-------- = --------1--------- 7 H-------- h---------- (x -l)-'(x + 3) x -1 (x -1 )' ( x - ự x+3 _1 I 5 3 1 5 Đồng nhất thì được A = — ,B = “ ,C = —,D = —^ 32 8 2 32 Từ đó tính được: -1 , x -1 31---- + —5 In ĩ= ------í—-------- 4 ( x - ự 1 6 (x -l) 32 x + 3 ~ 56 32^15' 101
1/2 dx Bài toán 12.5: Tính; I J■ x "-2x^+1 Giải Ta có: 1 1 -^ í 1 ^ x ' - 2 x ' + l “ (x + l ) ' ( x - l ) ' “ 4 U - I x + 1, ìí ìI 1 ĩ_________ 2T A ( x - l ) ^ ^ ( x + l)^ (x - l )( x + l) I 1 _1_____ỉ _ Cx-1)'^(x + 1)'^x + 1 x -1 1/2 1í 1 1 . X +1 ì ln3 Từ đó I = ---- ---------— + In 4 X- 1 X+ 1 x -1 j uiỉì xdx Bải toán 12.6: Tính: I x * -l Giải 2 1 Đặt t = X thì xdx = —dt. 2 Khi X = 0 thì t = 0, X = —!= thì t = -4= ự3 Vs „ ' f xdx _ I " f dl \iS / 1>:*-l 2 I t‘ - l ■1 4 t '- l t '+ l dt 1/V3 1, t-1 ( -In 1 arctant ì = - ln Í 2 -V 3 ) - — . t+1 4 8 ^ J ^24 2 Bài toán 12.7: Tính: I = I -dx. 1 x '°+ 4 x '+ 4 Giải Đổi biến t = x^ thì dt = Sx^^dx. Khi X = 1 thì t = 1, X = 2 thì t = 32. £. x’ . l'r tdt _ l | ( t + 2 -2 )d t _ 1VỴ 1 2 -dx dt x'® + 4x=+4 s ị t - + 4t + 4 “ 5 | (t + 2)' ~ 5 -Ị[t + 2 (t + 2)' 1 ln(t + 2)H— ỉ—ì ^ ^ n ^ - 4 1 ì. t + 2) . 3 51J 102
1 dx Bài toán 12.8: Tính; I = j 1+ Giải Đặt X = tant với - — < t < — thì dx = (1 + tan^Ọdt Khi X = 0 thì t = 0, X = 1 thì t = — . 4 T _ f ^ + ta n ^ Íí/Í i;r /4 Tĩ 1= — -= \ ... ■■■■ ■ = \ d t = t l ^1 + x^ ị 1+ tan^/ 0 dx Bài toán 12.9: Tính: I = I 0 a^ + x^ Giải Đặt X = atant với - — < t < — thì dx = a( 1 + tan^t)dt n Khi X = 0 thì t = 0, X = a thì t = 7ĩ /4 Ị _, ''ị-'' a(l + tan^ t)dt _ 1 n ' aa'(I tan^t) (I + tan t) a ' a 4a Bài toán 12.10: Tính: I = j -1 X +2x + 4 Giải 0 J 0 dx T a c ó l= ----- = I -------- ^---- . :',x '+ 2 x + 4 J,(x + l f + 3 Đặt x + l = V 3 t a n t , - ^ < t < ^ . 2 2 Khi X = 0 thì t = —, khi X = -1 thì t = 0. 6 ÍTỈ6 cà _'^f‘’V3(tan^/ V3(tan^/ + il)c//_ y / jf fV 3 ^ ^ ^ V 3 ^ +2x +4 3(tan^ / +1) 3 3 18 3 Bài toán 12.11: Tính; I = í f ^ dx ■ ị x '- x + l 103
Giải 3 (2 x -l) + 5 dx d x = 3 f ậ 4 ^ + 5f -x +1 Ì X -x +1 ị X- Tỵ +- 2> Ta có 3 f— —ỉ—dx = 31n x " - x + l 31n3 J x '- x + l Tính: A = 5 f------ - oí_ 1 ,.3 +- 4 Đăt X - —= -— tan t - - - < t< - - = > d x = -— (1 + tan^ t)dt Khi X = 0 thì t = - — , X = 2 thì t = —. 6 3 7t/3 7t/3 dx f 2^T ,,_ lo V 3 sV3:7Ĩ A = 5 ị- = 5 —— dt = ——— J 'ì -ĩ 0 I X - 1V + -3 -n / b -7 l/6 4 s /3 Vậy 1= 31n3 + ^ 7 ĩ . ‘ x '+ x ^ + l Bài toán 12.12: 1'ính; I = I dx. 0 x^l Giải > ..4 1 x^+x^+1 (x ^ -x ^ -fl) + 2x^ J _ 'r
■ „2 11>r du 7t Ỉ2 = f - y — dx= - í ịx ^ + \ 33ị J u ^ + l 12 Vậy 1 = 1, + 212= — . 12 ^ x '- x + l Bài toán 12.13: Tính; I = J dx. 0 X +4 Giải Đặt X = 2tant, X e [0; 2] t ee [0; lu; —] 7i /4 lótan t-2 ta n t + l 2dt 1 1= 'í 2 4(tan+1) -—2^ = -~ |(16tan‘’ t-2 ta n t + l)dt cos^’ oos t 2 Q = — J(16tan^ t(l + tan^ t)-16tan^ t - 2tant+ l)dt Từ đó tính được I = - — + - In 4 ĩ . 3 8 Cách khác: chia tách ^ = x^ - 4 h— r — — !-■ x^ + 4 x ^ + 4 X - - 4 2 Bài toán 12.14: Tính: I = J -dx. I x(l + x'*) Giải Tacó:I - j ----- ^— ỵ-dx= ] , dx = ^ •Ịx(l + x^) 'X^(l + X^) 4 -Ị x'*(l+ x'^) _= —In—^ 1 —- ' = —In— 1 ... 32 4 ỉ+ x \ 4 17 2 , Bài toán 12.15:1 = í--- -——dx . •Ị x(l + x ') Giải T ac ó :I= f -----ỉ——dx= r - — —dx = —{ 'x (l + x’) •Ịx^(l + x ’ ) 5 ' x ’ (l + x^) 1 „5 2 5 1+ x' 105