Trang 1
BÀI 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
PP1. Lũy thừa hai vế
Bài 1 Giải phương trình
a. 2
x 3x 2 x 1
b. 2
3x 9x 1 x 2
c. 2
x 2x 3x 4
d. 2 2
(x 3) x 4 x 9
e.
f.
g. 2 2
(x 3) x 3x 2 x 8x 15
h. 2 2
(x 4) 10 x x 2x 8
i. 2
x
3x 2 1 x
3x 2
j. 2
x
4x 3 1 x
4x 3
Bài 2 Giải phương trình
a. 2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7
b. 2 2 2
x 3x 2 x 4x 3 x 5x 4
Bài 3 Giải phương trình
a. 3
3 3
x 5 x 6 2x 11
b. 3 3 3
x 1 x 1 5x
c. 3 3 3
2x 1 x 1 3x 1
Bài 4 Giải phương trình
a.
x x 1 x 4 x 9 0
nghiệm x = 0
b.
x 1 x 16 x 4 x 9
nghiệm x = 0
c.
x 3 3x 1 2 x 2x 2
PP2. Đặt ẩn phụ
Dạng 1: Đặt t =
f (x)
Bài 1 Giải phương trình
a. 2
(x 1)(x 4) 5 x 5x 28
b.
2 2
5x 10x 1 7 2x x
c. 2
(4 x)(6 x) x 2x 12
d. 32
x(x 5) 2 x 5x 2 2
Bài 2 Tìm m để phương trình có nghiệm
a. 2
x 2x 4 (3 x)(1 x) m 2
m [ 1;11]
b. 2
2x 5x 4 (3 x)(1 2x) m 2
41 56 2
m [ 1; ]
8
Bài 3 Giải phương trình
a. 5 1
5 x 2x 4
2x
2 x
b. 3 1
3 x 2x 7
2x
2 x
Dạng 2: Đặt t =
A B
Bài 4 Giải phương trình
a. 2
2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 2
Nghiệm
25 6 17
b. 2
7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x
c. 2
x 4 x 4 2x 12 2 x 16
d. 2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
Bài 5 (B 2011) Giải phương trình: 2
3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x
(nghiệm x = 6/5)
Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm
Trang 2
a. 2
1 x 8 x x 7x 8 m
6 2 9
m [ ;3]
2
b.
3 x 6 x (3 x)(6 x) m
c.
2
3( 1 2x 1 x) m x 2 1 x 2x
PP3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Bài 7 Giải phương trình
a. 2 2 2
x 3x x x 2 1 2 x 2
(đặt 2
t x 2
)
b. 2 2
(x 1) x 2x 3 x 1
c. 2 2
x 1 2x. x 2x
Nghiệm
x 1 2
d. 2 2
3x x 48 (3x 10) x 15
e. 2 2
2(x 1). x 2x 1 x 2x 1
f. 2 2
x 4x (x 2). x 2x 15 39
g. 2 2
(1 4x) 4x 1 8x 2x 1
h. 3 3
(4x 1) x 1 2x 2x 1
i. 3 3
x 3x 2 (x 2) x 2x 1
PP4. Chia để làm xuất hiện ẩn phụ
Bài 8 Giải phương trình
a. 2
(x 2) x x 4 2x
(bình phương, chia x² rồi đặt
4
t x
x
)
b. 2 2
x 3x 2 2 x x 2 2 x
(chia
x
)
c. 2
x 1 x 4x 1 3 x
(chia cho
x
và đặt
1
t x
x
)
Bài 9 Giải phương trình
a. 2 3
2(x 2) 5 x 1
(bình phương, chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử)
b. 2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1
Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 2
2x 5x 2 5 (x x 20)(x 1)
2 2
2 2
2(x 4x 5) 3(x 4) 5 (x 4)(x 4x 5)
x 4x 5 x 4x 5
2 3 5
x 4 x 4
PP5. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.
Bài 10 Giải phương trình
a. 2 3
2x 5x 1 7 x 1
(Đặt 2
u x 1;v x x 1
)
b. 2 2 4 2
x 3 x 1 x x 1
(Đặt a = x² và 2
b x 1
)
Bài 11. Giải phương trình: 2 2
x 2x 2x 1 3x 4x 1
Đặt ĐK, bình phương 2 vế ta có
2 2 2 2
x 2x 2x 1 x 1 x 2x 2x 1 x 2x 2x 1
Đặt: 2
u x 2x
v 2x 1
khi đó ta có:
2 2
uv u v
Trang 3
Do u, v cùng không âm nên
2
1 5 1 5
u v x 2x 2x 1
2 2
2
2x 2 1 5 x 5 1 0
. (vô nghiệm)
Bài 12. Giải phương trình: 2 2
4x 5x 1 2 x x 1 9x 3
Đặt
2
2
4x 5x 1 a 0
2 x x 1 b 0
ta có: a – b = a² – b²
Bài 13 Giải phương trình: 3 2 3
x 3x 2 (x 2) 6x 0
Đặt
y x 2
ta được phương trình: 3 2 3 3 3
x 3x 2y 6x 0 x 2y 3x(x 2) 0
3 2 3
x y
x 3xy 2y 0
x 2y
Bài tập tự luyện
a. 3 2 3
x 3x 2 (x 1) 3x 0
b. 3 2
x (3x 4x 4) x 1 0
PP6. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Bài 14 Giải phương trình
3 2x 1 6 x 4 (2x 1)(x 4) 7 0
Đặt 2 2
u 2x 1
2v u 7 (1)
v x 4
Thay vào phương trình có:
3u 6v uv 7 0 (2)
Thay (1) vào (2) và rút gọn được
(2v u)(u v 3) 0 x 0
Bài 15 Giải phương trình
a. 3
2 3x 2 3 6 5x 8 0
(A 2009) Nghiệm x = –2
b. 3
2 3x 2 3 6 5x 16 0
c. 2 2
x 17 x x 17 x 9
d. 3 3
3 3
x. 35 x .(x 35 x ) 30
e. 2
1 1
2
x2 x
Nghiệm
1 3
x 1;
2
f. 33
x 1 2 2x 1
Nghiệm
1 5
x 1;
2
g. 33
x 2 3 3x 2
PP7. Đặt ẩn phụ đặc biệt
Bài 16 Giải phương trình
a. 2
x 1 x 4x 5
b. 2
4x 9
7x 7x
28
(đặt
4x 9 1
y
28 2
)
c. 2
x 2 x 6x 10
(đặt
x 2 y 3
)
d. 2
2x 1 4x 12x 5
(đặt
2x 1 2y 3
)
PP8. Phân tích thành nhân tử
Bài 1 Giải phương trình
a. 2
x 3 2x x 1 2x x 4x 3
Trang 4
b. 4x
x 3 4 x
x 3
c. 2
2 x 3 9x x 4
Bài 2 Giải phương trình
a. 2
x 10x 21 3 x 3 2 x 7 6
b. 2
x 8x 15 3 x 3 2 x 5 6
c. 2
x 2 x 1 (x 1) x x x 0
d. 2
x 7x 4
4 x 0
x 2
PP9. Thêm bớt, nhân liên hợp
Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm xo hữu tỉ, khi đó phương
trình luôn viết được thành (x – xo)P(x) = 0 và P(x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được.
Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị xo để trong căn là bình phương hoặc lập phương.
Bài 1 Giải phương trình
a. (B 2010) 2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0
PT 3 1
(x 5)( 3x 1) 0
3x 1 4 6 x 1
. Nghiệm duy nhất x = 5
b. 3
2 3x 2 3 6 5x 16 0
Nghiệm duy nhất
x 2
c. 2
3
10 2x 9x 27)
4(2 4x 15x 33
Đặt ĐK: x ≤ 5. Pt
2
3
4 4 9x 37 8 4 10 2x 4x 15x 81 0
2
3 3
4 27 9x 8(6 2x)
(x 3)(4x 27) 0
4 10 2x
16 4 9x 37 9x 37
Ngoài nghiệm x = –3 thì pt còn lại là
2
3 3
36 16
4x 27 0
4 10 2x
16 4 9x 37 9x 37
2
3
36 16
4x 27 0
4 10 2x
12 9x 37 2
36 16
VT 4.5 27 0
12 4
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
3
và 5
Bài 2 Giải phương trình
a. 2
x 1 4x 1 3x
b. 2
x 1 9x 1 4x
c. 2 2
x 12 5 3x x 5
Nghiệm duy nhất x = 2
d. 2 2
x 15 3x 2 x 8
e. 2 2 2 2
3x 5x 1 x 2 3x 3x 3 x 3x 4
Bài 3 Giải phương trình
a. 2 2
2x x 9 2x x 1 x 4
2 2
VT 0 (x 4) 0 2x x 9 2x x 1
2 2 2
2 2
2x x 9 2x x 1 2
8
PT 2 2x x 9 x 6 x 0;
7
2x x 9 2x x 1 x 4
b. 2 2
2x x 1 x x 1 3x
Trang 5
Bài 4. Giải phương trình: 32 3
x 1 x x 2
Điều kiện:
3
x 2
Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình
2
32 3
2 3
3
2 2
3
x 3 x 3x 9
x 3
x 1 2 x 3 x 2 5 x 3 1
x 2 5
x 1 2 x 1 4
Ta chứng minh: 2
3 3
2 2 2 2 2 3
3
x 3 x 3 x 3x 9
1 1 2
(x 1) 2 x 1 4 ( x 1 1) 3 x 2 5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 7 Giải phương trình
a. 2 2
x 3x 1 (x 3) x 1
b.
4 3 10 3x x 2
c.
2 (2 x)(5 x) x (2 x)(10 x)
d. 2 2
2x 16x 18 x 1 2x 4
e. 2 2 2 2
2x 1 x 3x 2 2x 2x 3 x x 2
f. 2 2 2 2
3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4
Bài 8 Giải phương trình
a. 32
x 4 x 1 2x 3
b. 32 3
x 1 3x 2 3x 2
c. 23
2x 11x 21 3 4x 4 0
d. 32 3
x 1 x x 1
PP10. So sánh, đánh giá, bất đẳng thức
Bài 1 Giải phương trình
a. 2
x 2 4 x x 6x 11
(nghiệm x = 3)
b. 2
x 2 10 x x 12x 52
c. 2
x 2x 5 x 1 2
(nghiệm x = 1)
d.
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x
(nghiệm x = –1)
e. 2
6
2x 1 19 2x
x 10x 24
Bài 2 Giải phương trình
a. 3 2 2
2 7x 11x 25x 12 x 6x 1
VT = 2
2 (7x 4)(x x 3)
≤ VP (Côsi)
b. 3 2 2
2 5x 3x 3x 2 x 6x 1
c. 2
2
1 1
2 x 2 4 (x )
x
x
2
2
1 1
PT ( 2 x x) ( 2 ) 4
x
x
Bài 4. Giải phương trình: 22
2
x 6x 15
x 6x 18
x 6x 11
(1)