Phân tích dao động tự do kết cấu tấm nano auxetic áp điện

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Phân tích dao động tự do kết cấu tấm nano auxetic áp điện" phân tích dao động tự do tấm nano sandwich với lớp lõi tổ ong auxetic, lớp bề mặt là vật liệu áp điện theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao bốn ẩn phi cục bộ. Các phương trình cân bằng động cho tấm nano chữ nhật bốn biên tựa khớp được thiết lập từ nguyên lý Hamilton. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích dao động tự do kết cấu tấm nano auxetic áp điện

435 521 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích dao động tự do kết cấu tấm nano auxetic áp điện Vũ Văn Thẩm1, Trần Hữu Quốc1 và Trần Minh Tú1 1 Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Đại học Xây dựng Hà Nội *Email: thamvv@huce.edu.vn Tóm tắt. Bài báo phân tích dao động tự do tấm nano sandwich với lớp lõi tổ ong auxetic, lớp bề mặt là vật liệu áp điện theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao bốn ẩn phi cục bộ. Các phương trình cân bằng động cho tấm nano chữ nhật bốn biên tựa khớp được thiết lập từ nguyên lý Hamilton. Sự biến đổi của điện thế theo hướng chiều dày lớp áp điện giả thiết tuân theo quy luật hàm cosin. Nghiệm giải tích cho bài toán phân tích dao động tự do của tấm nano bốn biên tựa khớp được xây dựng bằng cách sử dụng dạng nghiệm Navier. Độ tin cậy của mô hình và chương trình tính được kiểm chứng qua so sánh với các kết quả đã công bố. Các khảo sát số thực hiện nhằm đánh giá sự ảnh hưởng của đặc trưng vật liệu, kích thước hình học và tham số phi cục bộ đến tần số dao động tự do của tấm auxetic áp điện kích thước nano. Từ khóa: Dao động tự do, tấm nano, vật liệu auxetic, vật liệu áp điện, lý thuyết đàn hồi phi cục bộ. 1. Giới thiệu Cùng với sự phát triển nhanh chóng của khoa học và công nghệ, một lĩnh vực ứng dụng mới về các kết cấu micro, nano đã được phát triển. Theo đó các đối tượng kết cấu dạng dầm, tấm, vỏ có kích thước nano đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước. Lý thuyết đàn hồi phi cục bộ được Eringen [1, 2] lần đầu đề xuất với giả thiết rằng ứng suất tại một điểm trong một vật thể liên tục là hàm của biến dạng tại tất cả các điểm lân cận thuộc vật thể liên tục đó. Lý thuyết đàn hồi phi cục bộ sử dụng để xây dựng các phương trình vi phân cân bằng và phương trình chuyển động cho các kết cấu kích thước nano. Trong lĩnh vực khoa học vật liệu, các nhà khoa học đã phát minh, chế tạo ra nhiều loại vật liệu tiên tiến, đáp ứng yêu cầu kỹ thuật ngày càng cao. Các vật liệu tiên tiến có thể kể đến như vật liệu composite, vật liệu có cơ tính biến thiên FGM, vật liệu rỗng. Về cơ bản, những vật liệu này có đều có hệ số Poisson dương. Lấy cảm hứng từ thiên nhiên, vật liệu cấu trúc tổ ong với hệ số Poisson âm gọi là vật liệu auxetic đã được sản xuất. Vật liệu auxetic đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực do sở hữu những đặc tính ưu việt như siêu nhẹ, tỷ lệ độ cứng trên trọng lượng cao, cách âm và khả năng hấp thụ năng lượng vượt trội [3]. Hơn nữa, vật liệu auxetic còn có ưu điểm hơn so với các vật liệu truyền thống như độ dẻo cao, khả năng chống cắt, chống đứt gãy dưới tải trọng cơ học và nhiệt độ [4]. Wan và cộng sự [5] lần đầu tiên tiếp cận lý thuyết để nghiên cứu hệ số Poisson âm của vật liệu có cấu trúc tổ ong auxetic, dựa trên lý thuyết biến dạng lớn. Zhu và cộng sự [6] kết hợp lý thuyết biến dạng cắt bậc ba và lý thuyết phi tuyến Von-Karman để khảo sát dao động tự do của tấm sandwich tổ ong auxetic. Bên cạnh đó, Tran và cộng sự [7] đã nghiên cứu đáp ứng động của tấm sandwich auxetic chịu tải trọng di động trên nền đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Nam và đồng nghiệp [8] đã sử dụng phần tử tấm đa giác dựa trên IGA để phân tích tĩnh và động tấm sandwich lõi tổ ong auxetic. Quoc‑Hoa và công sự [9] đã phân tích dao động của tấm nano auxetic bằng phương pháp phần tử hữu hạn bậc ba cải tiến và lý thuyết đàn hồi phi cục bộ. Duc và cộng sự đã phân tích đáp ứng động phi tuyến của tấm sandwich auxetic [10] và vỏ thoải hai độ cong auxetic [11]. Các nghiên cứu trên đều cho thấy những ưu điểm vượt trội của vật liệu tổ ong auxetic. Vật liệu áp điện (piezoelectric material) là loại vật liệu thay đổi hình dạng, kích thước dưới tác động của điện trường hoặc tự sinh ra điện trường khi bị biến dạng [12]. Do sở hữu đặc tính riêng biệt, vật liệu áp điện kích thước nano được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như máy cộng hưởng nano, máy phát nano, đi ốt phát quang, cảm biến hóa học [13-15]. Điều đáng lưu ý là hiệu ứng áp điện
436 522 Vũ Văn Thẩm, Trần Hữu Quốc và Trần Minh Tú trở nên rõ ràng hơn khi kích thước giảm xuống nano. Kết quả này đã được chứng minh bằng các thí nghiệm và mô phỏng nguyên tử [16, 17]. Hiện nay các kết cấu dạng dầm, tấm, vỏ nano làm từ vật liệu áp điện đang được cộng đồng các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Jamalpoor và cộng sự [18] đã phân tích dao động tự do và ổn định tấm nano sandwich điện từ trường đàn hồi (Magneto-electro-elastic MEE) theo lý thuyết tấm cổ điển phi cục bộ. Mohammad Arefi và cộng sự đã phân tích dao động tự do tấm nano sandwich lõi FGM, các lớp bề mặt là vật liệu áp điện có kể đến vị trí của mặt trung hòa. Krzysztof Kamil Żur và cộng sự [19] đã phân tích dao động tự do và ổn định tấm nano sandwich MEE theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hình sin cải tiến phi cục bộ. Zhang và cộng sự [20] đã nghiên cứu đáp ứng động của tấm nano áp điện có cơ tính biến thiên chịu tác dụng đồng thời của tải trọng cơ - điện - nhiệt trên nền đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau dựa trên lý thuyết tấm Kirchhoff phi cục bộ. Ngoài ra, với cùng đối tượng là tấm nano áp điện đơn lớp đã có một số nghiên cứu về phân tích dao động riêng sử dụng lý thuyết đàn hồi phi cục bộ [21-24]. Qua các nghiên cứu kể trên và đánh giá tổng quan của nhóm tác giả, hiện chưa thấy nghiên cứu nào cho bài toán phân tích dao động tự do của tấm nano auxetic áp điện. Trong bài báo này, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao bốn ẩn cải tiến phi cục bộ được sử dụng để phân tích dao động tự do tấm nano sandwich với lớp lõi tổ ong auxetic, lớp bề mặt là vật liệu áp điện. So sánh kết quả của bài báo với các kết quả đã công bố cho thấy độ tin cậy của mô hình đề xuất. Từ đó, bài báo nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số phi cục bộ, đặc trưng vật liệu và kích thước hình học đến tần số dao động tự do của tấm nano sandwich auxetic áp điện. 2. Mô hình tính tấm nano sandwich Auxetic áp điện Xét tấm nano sandwich với lớp lõi tổ ong auxetic có hệ số Poisson âm, hai lớp bề mặt là vật liệu áp điện (NAP). Tấm NAP có kích thước a×b×h như thể hiện trên Hình 1. a) b) Hình 1. Tấm nano sandwich lõi auxetic tổ ong, lớp bề mặt áp điện (a) – Tấm sandwich; (b) – cấu trúc đơn vị của lõi tổ ong lục giác Vật liệu auxetic với kích thước hình học của phần tử đặc trưng dạng lục giác, biểu diễn như trên Hình 1b, các tính chất hiệu dụng được tính theo (1). Trong đó: l, d, θ, t là chiều dài cạnh nghiêng, cạnh nằm ngang, góc nghiêng và chiều dày mỗi phần tử đặc trưng. η33 (η1 − sin θ ) η33 E1C = E , GC = E cos θ 1 + ( tan θ + η1 sec θ )η  , η1 cos θ (1 + 2η1 ) 3 2 2 2 12   3 (1) η33 η3 cos θ E2 = E C , G23 = G cos θ (η1 − sin θ ) ( tan 2 θ + η32 ) C , η1 − sin θ
437 Phân tích dao động tự do kết cấu tấm nano auxetic áp điện 523 η3 η1 − sin θ η1 + 2sin 2 θ  η3 (η1 + 2 ) = G C G13  +  , ρC = ρ 2 (η1 − sin θ )  , 2cosθ  1 + 2η1   2 cos θ (η1 − sin θ ) sin θ 1 − η32  (η1 − sin θ )   sin θ 1 − η32    d t ν = 2 , ν 21 =η1 = − C C − , , η3 = . cos θ 1 + ( tan θ + η1 sec θ )η3   tan θ + η3  (η1 − sin θ ) 12 2 2 2 2 2   l l   Lý thuyết bậc cao bốn ẩn chuyển vị được sử dụng để mô tả trường chuyển vị của tấm nano sandwich auxetic áp điện. Theo [25], trường chuyển vị được biểu diễn dưới dạng: u ( x, = u0 ( x, y , t ) − z∂wb ( x, y , t ) / ∂x − f ( z ) ∂ws ( x, y , t ) / ∂x; y , x, t ) = v0 ( x, y , t ) − z∂wb ( x, y , t ) / ∂y − f ( z ) ∂ws ( x, y , t ) / ∂y; v ( x, y , x, t ) (2) w ( = wb ( x, y , t ) + ws ( x, y , t ) x, y , x, t ) trong đó: w b và w s là các thành phần độ võng do mômen uốn và do lực cắt gây ra; f(z) là hàm đặc trưng cho quy luật biến thiên của ứng suất cắt ngang theo chiều dày tấm. Theo [25] hàm ( f ( z ) = −1 / 8 + 3 / 2 ( z / ht ) z 2 ) thỏa mãn điều kiện triệt tiêu ứng suất cắt ngang tại mặt trên và dưới tấm. Trường biến dạng:  ε x   ε x   κ x   f ( z )κ xs  0 b ε   0   b   s   y   ε y   κ y   f ( z )κ y         s  γ xy  = γ xy  + z κ xy  +  f ( z )κ xy   (3) 0 b γ   0   0   g ( z )γ s   yz       yz  γ xz   0   0   g ( z )γ xz          s trong đó: ∂u ∂v ∂u ∂v ∂2w ∂2w ε x = = = 0 ; κ x = κ y = g ( z ) = )] 0 0 ; εy 0 0 ; γ xy 0 0 + b − 2b ; b − 2b ; [1 − f '( z ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y (4) ∂2w ∂2w ∂ 2 wb ∂ 2 ws ∂ws ∂ws ; κ xs = y = xy = κ xy = γ xz == − 2s ; κ s − 2s ; κ b −2 ; s −2 ; s ; γ yz s ∂x ∂y ∂x∂y ∂x∂y ∂x ∂y Quan hệ ứng suất - biến dạng của lớp vật liệu auxetic theo lý thuyết đàn hồi phi cục bộ [1]: σ x   Q11 Q12 0 0 0  εx  σ  Q Q 0 0 0  ε y   y   12   22   (1 − ξ 2 ∆ 2 ) τ xy  =0 0 Q66 0 0  γ xy     (5) τ   0 0  0 Q44 0  γ yz   yz     τ xz   0    0 0   0 Q55  γ xz  ∂ ∂ trong đó ξ = e 0 a là tham số phi cục bộ, ∇= 2 + 2 là toán tử Laplace trong hệ tọa độ Cartesian cho ∂x 2 ∂y bài toán toán 2 chiều và Q ij là các hệ số độ cứng tính theo mô-đun đàn hồi Young (E i ) và hệ số Poisson (ν ij ) được xác định theo:
438 524 Vũ Văn Thẩm, Trần Hữu Quốc và Trần Minh Tú E1 E2 ν 12 E2 E1 =Q11 = = = Q55 Q66 ; Q22 ; Q12 = = ; Q44 (6) 1 − ν 12ν 21 1 − ν 12ν 21 1 − ν 12ν 21 2 (1 + ν 12 ) Với các lớp vật liệu áp điện thứ “k”, quan hệ ứng suất - biến dạng theo lý thuyết đàn hồi phi cục bộ được biểu diễn theo [26]: σ x  εx   0 (k ) (k ) (k )  C11 C12 0 0 0  0 e31  σ    ε   0 e32  (k )  y C12 C22 0 0 0  0  Ex     y       ( =1 − ξ 2 ∆ 2 ) τ xy   0  0 C66 0 0   γ xy  −  0 0 0 Ey  (7) τ  γ   0  E   yz   0 0 0 C44 0   yz   e24 0  z  0 C55  τ xz     0 0 0     γ xz  e15 0 0  trong đó e ij là hệ số ứng suất áp điện và E i là điện trường theo phương i. Sự biến đổi của điện thế trong lớp áp điện được giả thiết theo [18]: 2z πz  Φ ( x, y, z , t ) = φ0 − φ ( x, y, t ) cos   (8) h  hp    Khi không xét đến điện thế áp đặt bên ngoài (φ o = 0), quan hệ giữa điện trường và điện thế: ∂Φ ∂Φ ∂Φ Ex = y = y = − ;E − ;E − (9) ∂x ∂y ∂z ∂φ πz  ∂φ πz  π πz  hay: Ex = cos  ;E = ; E = − φ sin   hp  y ∂y cos   hp  z  hp  (10) ∂x   hp        Chuyển dịch điện tích trong lớp áp điện thứ “k” biểu diễn theo biến dạng và điện trường [26]: ε xx  (k )    0 0 0 0 e15  ε yy   p11 0 (k ) (k ) (k )  Dx  0   Ex        =  0 0 0 e24 0  γ xy  +  0 p11 0   E y  ( 1 − ξ 2 ∆ 2  Dy )     (11) D    γ   0  E   z  e31 e32 0 0 0   yz   0 p33   z  γ xz    trong (7) và (11): Cij  là ma trận các hằng số đàn hồi của lớp áp điện, eij  là ma trận các hệ số ứng     suất áp điện,  pij  là ma trận các hệ số điện môi, { E} là véc tơ cường độ điện trường, { D} là véc tơ   chuyển dịch điện tích trong lớp áp điện. Các hằng số đàn hồi cho lớp áp điện được xác định theo [26]: ( C13 ) ( C13 ) 2 2 ; C 44 = = ; C66 =C11 − C12 ) ( 1 C11 = − C11 = ; C12 = − C22 C12 C55 C55 C33 C33 2 (12) 2 C e e31 = e33 ; p33 = e31 − 13 p33 + 33 C33 C33 3. Hệ phương trình chuyển động và nghiệm Navier Hệ phương trình chuyển động cho tấm nano được thiết lập từ nguyên lý Hamilton và phương trình Maxwell, và biểu diễn theo chuyển vị như sau:
439 Phân tích dao động tự do kết cấu tấm nano auxetic áp điện 525 ∂ 2 u0 ∂ 2 v0 ∂ 2u b ∂ w 3 s ∂ w 3 ∂ 3 wb δ u0 : A11 + ( A12 + A66 ) + A66 20 − B11 3b − B11 3s − ( B12 + 2 B66 ) b b ∂x 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂x ∂x∂y 2 ∂ 3 ws ∂φ    ∂w  ∂w s − ( B12 + 2 B66 ) s s −P − (1 − (e0 a ) 2 ∆ 2 )  I 0 0 − I1 b − J1 = 0 u ∂x∂y ∂x ∂x ∂x 11   2 ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2v b ∂ w s ∂ w ∂3 w 3 3 δ v0 : A11 20 + ( A12 + A66 ) 0 + A66 20 − B11 3b − B11 3s − ( B12 + 2 B66 ) 2 b b b ∂y ∂x∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 3 ws ∂φ   ∂w  ∂w s  − ( B12 + 2 B66 ) s s +P − (1 − ξ 2 ∆ 2 )  I 0 v0 − I1 b − J1  =0 ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y 2 12   ∂ 3 u0 b  ∂ u0 ∂ 3v  s ∂ v b ∂ w ∂4w 3 3 4 δ wb : B11 b + ( B12 + B66 )  b + 2 0  + B22 30 − D11 4b − 2 ( D12 + 2 D66 ) 2 b 2 b b ∂x3  ∂x∂y 2 ∂x ∂y  ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ 4 wb s ∂ w 4 ∂4w s ∂ ws 4 ∂ 2φ ∂ 2φ − D22 b − D11 4s − 2 ( D12 + 2 D66 ) 2 s 2 − D22 s s +P +P − ∂y 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 4 ∂x 2 ∂y 2 13 14   ∂u ∂v   (1 − ξ ∆ 2 )  I 0 (w b + w s ) + I1 ( 0 + 0 ) − I 2∇ 2 w b − J 2∇ 2 w s  = 2   ∂x ∂y   0 (13)   s ∂ u s  ∂ u0 ∂ 3v  s ∂ v s ∂ w ∂4w 3 3 3 4 δ ws : B11 30 + ( B1s2 + B66 )  + 2 0  + B22 30 − D11 4b − 2 ( D12 + 2 D66 ) 2 b 2 s s ∂x  ∂x∂y 2 ∂x ∂y  ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ 4 wb s ∂ w 4 ∂4w s ∂ ws 4 s ∂ w 2 s ∂ ws 2 − D22 s − H11 4s − 2 ( H12 + 2 H 66 ) 2 s 2 − H 22 s s + A55 2s + A44 ∂y 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 4 ∂x ∂y 2 ∂ 2φ ∂ 2φ + (P − P ) 2 + (P − P ) 2 ∂x ∂y 15 17 16 18   ∂u ∂v   − (1 − ξ 2 ∆ 2 )  I 0 (w b + w s ) + J1 ( 0 + 0 ) − J 2∇ 2 w b − K 2∇ 2 w s  =     0  ∂x ∂y  ∂u ∂v ∂ 2 wb ∂ 2 wb ∂2w δφ : − P 0 − P 0 + P +P + ( P − P ) 2s ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x 11 12 13 14 15 17 ∂ 2 ws ∂ 2φ ∂ 2φ + (P − P ) − P20 2 − P22 2 + P30φ = 0 ∂y 2 ∂x ∂y 16 18 trong đó: {A , B , D , B , D , H } = ∫ { } −h/2 Cij 1, z , z 2 , f ( z ), zf ( z ), [ f ( z ) ] dz b b s s s 2 ij ij ij ij ij ij − h / 2 − hp (14) + ∫ Q {1, z , z , f ( z ), zf ( z ), [ f ( z )] } dz + ∫ C {1, z , z , f ( z ), zf ( z ), [ f ( z ) ] } dz (i=1, 2, 6) h/2 2 h / 2 + hp 2 2 2 −h/2 ij h/2 ij { A }= ∫ C {[ g ( z )] } dz + ∫ Q {[ g ( z )] } dz + ∫ C {[ g ( z )] } dz (gg=4, 5) −h/2 2 h/2 2 h / 2 + hp 2 s gg gg gg gg (15) − h / 2 − hp −h/2 h/2 −h/2 π  π zb  h / 2 + hp π  π zt  {P11 , P13 , P15 } ∫− h / 2− h e31 sin   h  {1, z , f ( z )} dz + ∫h / 2 e31 sin    h  {1, z , f ( z )} dz  p hp  p  hp  p  (16) với z b = h / 2 + hp / 2; z t = h / 2 − hp / 2 z+ z−
440 526 Vũ Văn Thẩm, Trần Hữu Quốc và Trần Minh Tú −h/2 π  π zb  h / 2 + hp π  π zt  {P12 , P14 , P16 } ∫− h / 2−hp hp  hp { e32 sin   1, z , f ( z )} dz + ∫ e32 sin   h {  1, z , f ( z )} dz (17)   h/2 hp  p  −h/2 πz b  h / 2 + hp πz t  {P17 , P18 } ∫− h / 2−hp cos  hp  g ( z ){e15 , e24 } dz + ∫h / 2 cos  hp  g ( z ){e15 , e24 } dz     (18)     −h/2  π zb  h / 2 + hp  b 2 πz {P20 , P22 } ∫− h / 2−hp  hp  cos 2   { p11 , p22 } dz + ∫h / 2 cos   h  { 11 22 }  p , p dz (19)    p  2 2 −h/2 π   b 2 πz h / 2 + hp π   t 2 πz {P30 } ∫− h / 2−h p33  h  sin     dz + ∫h / 2 p33   sin   h   h   dz (20) p  p   hp   p  p  Các mô men quán tính: I 0 , I1 , J1 , I 2 , J 2 và K 2 được xác đinh theo: n pie hk +1 hc / 2 ( I 0 , I1 , J1 ) = ∑ ∫ (1, z, f ) ρ k =1 hk pie dz + ∫ (1, z, f ) ρ dz c − hc / 2 (21) n pie hk +1 hc / 2 ( I2 , J 2 , K2 ) = ∑ ∫ (z k =1 hk 2 , zf , f 2 ) ρ pie dz + ∫ (z 2 , zf , f 2 ) ρ c dz − hc / 2 trong đó: ρc, ρpie lần lượt là khối lượng riêng của lớp lõi auxetic và lớp vật liệu áp điện Các thành phần chuyển vị tại mặt trung bình của tấm ( u0 ,v0 ,wb ,ws ,φ ) được giả thiết dưới dạng chuỗi lượng giác kép thỏa mãn điều kiện biên tựa bản lề bốn cạnh: ∞ ∞ ∞ ∞ u0 ( x , y , t ) ∑∑ umn eiωt cos α x sin β y; v0 ( x, y, t ) = = 1= 1 m n ∑∑ v = 1= 1 m n mn eiωt sin α x cos β y; ∞ ∞ ∞ ∞ wb ( x, y, t ) ∑∑ wbmn eiωt sin α x sin β y; ws ( x, y, t ) = = 1= 1 m n ∑∑ w = 1= 1 m n smn eiωt sin α x sin β y; (22) ∞ ∞ φ ( x, y, t ) = ∑∑ φmn eiωt sin α x sin β y; = 1= 1 m n trong đó, α = mπ/a, β = nπ/b, ω là tần số dao động riêng (rad/s) và {Q} = {umn , vmn , wbmn , wsmn , φmn } T là các hệ số cần xác định. Thay (22) vào (13) và thực hiện biến đổi toán học thu được phương trình để giải, biểu diễn dạng ma trận như sau: [ S ] − ω 2 [ M ] {Q} = {0} ( ) (23) trong đó, các hệ số ma trận độ cứng [S] 5x5 và ma trận khối lượng [M] 5x5 , giải hệ phương trình trị riêng [ S ] − ω 2 [ M ] =được tần số dao động riêng của tấm nano sandwich auxetic áp điện. 0 ta thu 4. Kết quả số và thảo luận 4.1. Các ví dụ kiểm chứng Ba ví dụ so sánh được thực hiện để kiểm chứng độ chính xác của mô hình hiện tại. So sánh đầu tiên được thực hiện với tấm nano đẳng hướng. Bảng 1 trình bày kết quả tính và so sánh ba tần số dao động riêng không thứ nguyên của tấm nano đẳng hướng với kết quả của Aghababaei và Reddy [27] dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc ba (TSDT) và bậc nhất (FSDT). So sánh thứ 2 được thực hiện cho tấm sandwich auxetic. Bảng 2 trình bày kết quả tính và so sánh tần số dao động riêng cơ bản của tấm
441 Phân tích dao động tự do kết cấu tấm nano auxetic áp điện 527 sandwich lõi tổ ong auxetic, lớp bề mặt mặt đẳng hướng với kết quả của Thanh Trung và cs [7] sử dụng mô hình phần tử hữu hạn (PTHH) trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. So sánh thứ ba được thực hiện với tấm sandwich áp điện. Bảng 3, trình bày kết quả tính và so sánh tần số dao động riêng không thứ nguyên của tấm sandwich lõi đẳng hướng, bề mặt áp điện với kết quả giải tích của Farsangi và Saidi [28] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. 4.1.1. Kiểm chứng kết quả tính tần số dao động riêng tấm nano đẳng hướng. Bảng 1. Tần số dao động riêng không thứ nguyên ω = ω h ρ / G của tấm nano đẳng hướng (a = 10, E = 30.106, ν = 0,3, h p =0) ξ2(nm)2 Mode Lý thuyết 0 1 2 3 4 5 TSDT [27] 0,0935 0,0854 0,0791 0,0741 0,0699 0,0663 ω11 (n=1, m=1) FSDT [27] 0,0930 0,0850 0,0788 0,0737 0,0696 0,0660 Bài báo 0,0933 0,0852 0,0790 0,0739 0,0697 0,0662 TSDT [27] 0,3414 0,2552 0,2126 0,1860 0,1674 0,1535 ω22 (n=2, m=2) FSDT [27] 0,3458 0,2585 0,2153 0,1884 0,1696 0,1555 Bài báo 0,3435 0,2568 0,2139 0,1872 0,1685 0,1544 TSDT [27] 0,7020 0,4213 0,3290 0,2790 0,2466 0,2233 ω33 (n=3, m=3) FSDT [27] 0,6889 0,4134 0,3228 0,2738 0,2420 0,2191 Bài báo 0,6942 0,4166 0,3253 0,2759 0,2438 0,2208 4.1.2. Kiểm chứng kết quả tính tần số dao động riêng tấm sandwich với các lớp bề mặt là vật liệu đẳng hướng và lớp lõi tổ ong (Auxetic). Bảng 2. Tần số dao động tự do cơ bản f (Hz) của tấm sandwich với lớp bề mặt là vật liệu đẳng hướng và lớp lõi Auxetic (h = 0,1m; a = b = 20h; η 3 = 0,01385; ξ=0) h/l=0,5 h/l=1 h/l=2 h/l=4 θ Bài báo [7] Bài báo [7] Bài báo [7] Bài báo [7] θ=-10 o 149,000 150,087 150,508 151,609 151,058 152,165 151,298 152,407 θ=-35o 171,005 172,323 148,700 149,783 150,603 151,706 151,089 152,196 θ=-55 o 157,470 158,642 141,841 142,858 149,675 150,768 150,651 151,753 θ=-80 o 164,837 166,087 58,355 58,716 143,818 144,853 147,648 148,721 4.1.3. Kiểm chứng kết quả tính tần số dao động riêng tấm sandwich lớp lõi là vật liệu đẳng hướng, lớp bề mặt vật liệu áp điện. Bảng 3. Tần số dao động tự do f (Hz) của tấm sandwich với lớp lõi đẳng hướng, lớp bề mặt là vật liệu áp điện (h = 0,05m, a = b = 20h, ξ=0) Lý h p /h = 0,1 h p /h = 0,2 thuyết f f f f f f (1,1) (1,2) (2,2) (1,1) (1,2) (2,2) (n=1, m=1) (n=1, m=2) (n=2, m=2) (n=1, m=1) (n=1, m=2) (n=2, m=2) [28] 426,662 1049,356 1652,929 408,475 1001,133 1572,036 Bài báo 427,060 1051,686 1658,520 408,978 1004,021 1578,848 Kết quả tính toán trong các Bảng 1, Bảng 2, Bảng 3 cho thấy sự sai khác giữa kết quả bài báo với kết quả đã công bố là nhỏ, điều này khẳng định độ tin cậy của mô hình và chương trình tính mà nhóm tác giả đã thiết lập. Trên cơ sở đó, các ví dụ khảo sát được thực hiện để đánh giá sự ảnh hưởng của tham số phi cục bộ, đặc trưng vật liệu và các kích thước hình học đến tần số dao động riêng của tấm nano sandwich auxetic áp điện. 4.2. Các ví dụ khảo sát
442 528 Vũ Văn Thẩm, Trần Hữu Quốc và Trần Minh Tú Trong mục này, bài báo trình bày ví dụ khảo sát tính tần số dao động riêng của tấm nano sandwich hình chữ nhật kích thước a×b×h với lớp lõi tổ ong auxetic, hai lớp bề mặt là vật liệu áp điện. Các thông số vật liệu của lớp auxetic: E = 69 GPa, G=26 GPa, ν=0.33, và ρ = 2700 kg/m3. Các thông số vật liệu áp điện PZT-4 [28]: C11 = 132GPa , C12 = 71 GPa , C33 = 115 GPa , C31 = 73 GPa , C55 = 26 GPa , p p p p p e31 = -2 , e33 =24 = -2 , p11 =, p33 =, ρ p = p e32 = p 14.1Cm -2 , e p e15 = p 7.124nFm -1 p 5.841nFm -1 p −4.1Cm p 10.1Cm 7500kgm -3 Bảng 4. Ba tần số dao động f (GHz) ứng với (m=n=1, m=n=2, m=n=3) của tấm nano auxetic áp điện (h = 1nm, a = b = 40nm, h p =0,2nm, η 1 =1,5, η 3 =0,01385) ξ (nm) θ=10o θ=55o θ=80o f (1,1) f (2,2) f (3,3) f (1,1) f (2,2) f (3,3) f (1,1) f (2,2) f (3,3) 1 3,877 14,476 29,412 3,809 14,268 29,114 3,528 13,359 27,653 1,5 3,848 14,068 27,731 3,780 13,866 27,450 3,501 12,983 26,073 2 3,808 13,552 25,798 3,741 13,357 25,537 3,465 12,506 24,255 2,5 3,759 12,964 23,820 3,693 12,778 23,579 3,420 11,963 22,395 3 3,701 12,340 21,925 3,636 12,163 21,704 3,367 11,387 20,614 3,5 3,636 11,707 20,180 3,572 11,539 19,976 3,308 10,803 18,973 4 3,565 11,085 18,605 3,502 10,926 18,417 3,244 10,229 17,493 3.8 3.7 (4) 3.6 (3) (2) 3.8 3.65 3.4 3.7 3.2 3.6 3.6 3 f (GHz) f (GHz) =1 3.5 3.55 1 2.8 (1) =1.5 (2) 1 =2.5 (1) 3.4 2.6 (3) 1 3.5 (4) =5 1 3.3 2.4 0.1 3.45 10 2.2 0.05 5 2 3.4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0 ° 3 1 a) η 3 =0.01385 b) θ =25o Hình 2. Ảnh hưởng của góc nghiêng θo và các tham số η 1 và η 3 đến tần số dao động riêng đầu tiên của tấm nano sandwich auxetic áp điện (h=1nm, a=b=40nm, h p =0,2, ξ=3nm) Bảng 4 và Hình 2a thể hiện kết quả tính tần số dao động riêng của tấm nano sandwich auxetic áp điện. Từ kết quả cho thấy khi tham số η 1 = 1; 1,5; 2,5; 5 và θ thay đổi từ 10 o đến 45 o, tần số dao động riêng của tấm NAP gần như không thay đổi nhưng khi góc nghiêng θ > 45 o, tần số dao động riêng f (GHz) của tấm giảm rất nhanh. Để nghiên cứu sâu hơn ảnh hưởng của hai tham số hình học của phần tử đặc trưng auxetic, Hình 2b biểu diễn ảnh hưởng của các tham số η 1 và η 3 đến tần số f(GHz). Với số liệu khảo sát, có thể thấy rằng tần số dao động riêng của tấm NAP giảm khi tham số hình học η 3 tăng từ 0,01 lên 0,09 và η 1 < 2,5 (đặc biệt khi η 1 = 1). Tuy nhiên, chúng tăng nhẹ khi η 1 > 2,5. Các kết quả khảo sát khác cũng cho thấy rằng sự kết hợp đồng thời của hai tham số η 1 , η 3 ảnh hưởng đến tần số dao động tự do của tấm NAP là tương đối phức tạp. Tiếp theo, ảnh hưởng của tham số phi cục bộ ξ và góc nghiêng θ của phần tử đặc trưng auxetic lên tần số dao động tự do của tấm nano NAP được thể hiện trên Hình 3a. Có thể kết luận rằng tần số dao động tự do giảm khi hệ số phi cục bộ ξ tăng, hay nói cách khác là độ cứng của tấm NAP tăng khi hệ số
443 Phân tích dao động tự do kết cấu tấm nano auxetic áp điện 529 phi cục bộ giảm xuống và khi ξ = 0, độ cứng của tấm là lớn nhất. Ngoài ra khi tăng giá trị góc nghiêng θ (tương ứng với tỷ lệ Poisson âm hơn) dẫn đến việc giảm tần số dao động. 4 3.9 3.8 3.9 (1) (2) (1) (3) 3.7 3.8 3.6 3.5 3.7 (2) f (GHz) f (GHz) (4) 3.4 3.6 3.3 (3) (4) 3.5 o 3.2 (1) =10 h/h =5 o (1) p (2) =30 3.1 h/h =10 (3) =45 o (2) p 3.4 h/h =15 (4) =75 o (3) p 3 (4) h/h =20 p 3.3 2.9 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -9 -9 10 10 a) h p =0.2 b) θ =25o Hình 3. Ảnh hưởng của tham số phi cục bộ ξ và tỷ số h p /h đến tần số dao động riêng đầu tiên của tấm nano sandwich auxetic áp điện (h=1nm, a=b=40nm, η 1 =1.5, η 3 =0.01385) Hình 3b biểu diễn ảnh hưởng của tỷ số h/h p và tham số phi cục bộ ξ đến tần số dao động riêng của tấm NAP. Kết quả cho thấy rằng có thể tăng độ cứng của tấm NAP khi tăng chiều dày lớp áp điện hoặc giảm hệ số phi cục bộ ξ. Cụ thể là khi giảm ξ hoặc tăng chiều dày của lớp áp điện (tỷ số h/h p giảm), tần số dao động của tấm tăng lên. 5. Kết luận Bài báo đã thiết lập nghiệm giải tích phân tích dao động tự do tấm nano sandwich auxetic áp điện chữ nhật liên kết khớp trên các cạnh. Trên cơ sở lý thuyết biến bậc cao bốn ẩn chuyển vị phi cục bộ, các phương trình chuyển động nhận được dựa trên nguyên lý Hamilton là cơ sở để xác định tần số dao động riêng của tấm NAP theo dạng nghiệm Navier. Tần số dao động riêng của tấm nanno sandwich lớp bề mặt là vật liệu áp điện, lớp lõi auxetic dạng tổ ong (hexagonal) có hệ số Poisson âm đã được tính toán với các tham số vật liệu và kích thước tấm khác nhau. Kết quả số cho thấy tần số dao động riêng của tấm nano NAP phụ thuộc vào tham số phi cục bộ ξ, các đặc trưng hình học của cấu trúc đơn vị lõi auxetic và chiều dày lớp áp điện. Đây sẽ là cơ sở tốt để tối ưu hóa thiết kế và tính toán cho các kết cấu tấm nano SAP trong những nghiên cứu tiếp theo. Lời cảm ơn Nghiên cứu này do Bộ Giáo dục và Đào tạo tài trợ, mã số đề tài: B2022-XDA-06 Tài liệu tham khảo [1] A. C. Eringen. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves. Journal of applied physics, 54(9), (1983), pp. 4703-4710. [2] A. C. Eringen and J. Wegner. Nonlocal continuum field theories. Appl. Mech. Rev., 56(2), (2003), pp. B20- B22. [3] T.-C. Lim, Auxetic materials and structures, Vol. 2779. Springer (2015). [4] X. Ren, R. Das, P. Tran, T. D. Ngo, and Y. M. Xie. Auxetic metamaterials and structures: a review. Smart materials and structures, 27(2), (2018), pp. 023001. [5] H. Wan, H. Ohtaki, S. Kotosaka, and G. Hu. A study of negative Poisson's ratios in auxetic honeycombs based on a large deflection model. European Journal of Mechanics-A/Solids, 23(1), (2004), pp. 95-106. [6] X. Zhu, J. Zhang, W. Zhang, and J. Chen. Vibration frequencies and energies of an auxetic honeycomb sandwich plate. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 26(23), (2019), pp. 1951-1957. [7] T. T. Tran, Q. H. Pham, and T. Nguyen-Thoi. Dynamic analysis of sandwich auxetic honeycomb plates subjected to moving oscillator load on elastic foundation. Advances in Materials Science and Engineering,
444 530 Vũ Văn Thẩm, Trần Hữu Quốc và Trần Minh Tú 2020, (2020), pp. [8] N. V. Nguyen, H. Nguyen-Xuan, T. N. Nguyen, J. Kang, and J. Lee. A comprehensive analysis of auxetic honeycomb sandwich plates with graphene nanoplatelets reinforcement. Composite Structures, 259, (2021), pp. 113213. [9] Q.-H. Pham, P.-C. Nguyen, T. T. Tran, and T. Nguyen-Thoi. Free vibration analysis of nanoplates with auxetic honeycomb core using a new third-order finite element method and nonlocal elasticity theory. Engineering with Computers, (2021), pp. 1-19. [10] D. D. Nguyen and C. H. Pham. Nonlinear dynamic response and vibration of sandwich composite plates with negative Poisson’s ratio in auxetic honeycombs. Journal of Sandwich Structures & Materials, 20(6), (2018), pp. 692-717. [11] N. D. Duc, K. Seung-Eock, P. H. Cong, N. T. Anh, and N. D. Khoa. Dynamic response and vibration of composite double curved shallow shells with negative Poisson's ratio in auxetic honeycombs core layer on elastic foundations subjected to blast and damping loads. International Journal of Mechanical Sciences, 133, (2017), pp. 504-512. [12] G. Liu, K. Dai, and K. Lim. Static and vibration control of composite laminates integrated with piezoelectric sensors and actuators using the radial point interpolation method. Smart materials and structures, 13(6), (2004), pp. 1438. [13] S. Xu and Z. L. Wang. One-dimensional ZnO nanostructures: solution growth and functional properties. Nano Research, 4(11), (2011), pp. 1013-1098. [14] Z. L. Wang and J. Song. Piezoelectric nanogenerators based on zinc oxide nanowire arrays. Science, 312(5771), (2006), pp. 242-246. [15] S. M. Tanner, J. M. Gray, C. T. Rogers, K. A. Bertness, and N. Sanford. High-Q GaN nanowire resonators and oscillators. Applied Physics Letters, 91(20), (2007), pp. 203117. [16] C. Chen, Y. Shi, Y. S. Zhang, J. Zhu, and Y. Yan. Size dependence of Young’s modulus in ZnO nanowires. Physical review letters, 96(7), (2006), pp. 075505. [17] G. Stan, C. Ciobanu, P. M. Parthangal, and R. F. Cook. Diameter-dependent radial and tangential elastic moduli of ZnO nanowires. Nano Letters, 7(12), (2007), pp. 3691-3697. [18] A. Jamalpoor, A. Ahmadi-Savadkoohi, M. Hosseini, and S. Hosseini-Hashemi. Free vibration and biaxial buckling analysis of double magneto-electro-elastic nanoplate-systems coupled by a visco-Pasternak medium via nonlocal elasticity theory. European Journal of Mechanics-A/Solids, 63, (2017), pp. 84-98. [19] K. K. Żur, M. Arefi, J. Kim, and J. N. Reddy. Free vibration and buckling analyses of magneto-electro-elastic FGM nanoplates based on nonlocal modified higher-order sinusoidal shear deformation theory. Composites Part B: Engineering, 182, (2020), pp. 107601. [20] D. Zhang, Y. Lei, and Z. Shen. Thermo-electro-mechanical vibration analysis of piezoelectric nanoplates resting on viscoelastic foundation with various boundary conditions. International Journal of Mechanical Sciences, 131, (2017), pp. 1001-1015. [21] M. Bastami and B. Behjat. Free vibration and buckling investigation of piezoelectric nano-plate in elastic medium considering nonlocal effects. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 40(6), (2018), pp. 1-7. [22] L.-L. Ke, C. Liu, and Y.-S. Wang. Free vibration of nonlocal piezoelectric nanoplates under various boundary conditions. Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 66, (2015), pp. 93-106. [23] K. Khorshidi, M. Bahrami, M. Eshaghi, and M. Ghasemi. A comprehensive nonlocal surface-piezoelectricity model for thermal and vibration analyses of piezoelectric nanoplates. Composite Structures, 263, (2021), pp. 113654. [24] C. Liu, L.-L. Ke, Y.-S. Wang, J. Yang, and S. Kitipornchai. Thermo-electro-mechanical vibration of piezoelectric nanoplates based on the nonlocal theory. Composite Structures, 106, (2013), pp. 167-174. [25] T. Huu Quoc, T. Minh Tu, and V. Van Tham. Free vibration analysis of smart laminated functionally graded CNT reinforced composite plates via new four-variable refined plate theory. Materials, 12(22), (2019), pp. 3675. [26] F. Ebrahimi and A. Dabbagh. Wave propagation analysis of embedded nanoplates based on a nonlocal strain gradient-based surface piezoelectricity theory. The European Physical Journal Plus, 132(11), (2017), pp. 1- 14. [27] R. Aghababaei and J. Reddy. Nonlocal third-order shear deformation plate theory with application to bending and vibration of plates. Journal of Sound and Vibration, 326(1-2), (2009), pp. 277-289. [28] M. A. Farsangi and A. Saidi. Levy type solution for free vibration analysis of functionally graded rectangular plates with piezoelectric layers. Smart Materials and Structures, 21(9), (2012), pp. 094017.