Bài giảng Động lực học kết cấu: Chương 2 - Bạch Vũ Hoàng Lan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Động lực học kết cấu - Chương 2 Hệ một bậc tự do, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo; dao động tự do; phản ứng với tải trọng có chu kỳ; phản ứng với xung lực và xung. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Động lực học kết cấu: Chương 2 - Bạch Vũ Hoàng Lan

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM KHOA XÂY DỰNG Chương 2: HỆ MỘT BẬC TỰ DO Bạch Vũ Hoàng Lan 1
2.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo u(t) 2.1.1 Hệ một bậc tự do (BTD) m p(t) u(t) t 2
2.1.1 Hệ 1 bậc tự do Mô hình hệ 1BTD u m p(t) k p(t) c m k c  Các đặc trưng vật lý m: đặc trưng quán tính (khối lượng) k: đặc trưng đàn hồi (độ cứng) c: đặc trưng tiêu tán cơ năng (cản) 3
2.1.1 Hệ 1 bậc tự do Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo u  Các lực tác động k 𝑝(𝑡)– Ngoại lực (lực kích động) p(t) 𝑓𝐼 = mu – Lực quán tính c m 𝑓𝑆 = ku – Lực đàn hồi 𝑓 𝐷 = cu – Lực cản  Phương trình cân bằng 𝑓𝐼 = mu p(t) lực theo phương pháp 𝑓𝑆 = ku m tĩnh động (D’Alembert) 𝑓 𝐷 = cu mu + cu + ku = p(t) 4
2.1.2. Ảnh hưởng của trọng lực 𝑢 𝑡 = 𝑢 𝑠𝑡 + 𝑢(𝑡) ; 𝑢 = 𝑢 ; 𝑢 = 𝑢 m𝑢 + c𝑢 + k 𝑢 + 𝑢 𝑠𝑡 = 𝑝 𝑡 + W = 𝑝 𝑡 + +k𝑢 𝑠𝑡 → m𝑢 + c𝑢 + k𝑢 = 𝑝(𝑡)  Dạng pt vi phân không thay đổi 5
2.1.3. Ảnh hưởng của sự rung động của gối tựa u  Chuyển vị toàn phần của m khối lượng m: 𝑢𝑡 = 𝑢 + 𝑢𝑔 → 𝑢𝑡 = 𝑢 + 𝑢𝑔 c k 𝑢: Chuyển vị ngang của khối lượng do chuyển vị uốn gây ra ug 𝑢 𝑔 : Chuyển vị ngang của nền đất hay gối tựa 𝑓𝐼 = mu  Phương trình vi phân: m m ug + u + cu + ku = 0 mu + cu + ku = −mug 0.5𝑓𝑆 = 0.5(ku) 𝑓𝐷 0.5𝑓𝑆 6
2.1.4. Ví dụ: Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo của hệ khi bỏ qua trọng lượng bản thân dầm, với: m = 10 (kN) p(t) c = 50 (kNs/m) m p(t) = 20sin10t (kN) EI c L = 4 (m) L/2 L/2 E = 2.108 (𝑘𝑁/𝑚2 ) I = 2500 (𝑐𝑚4 ) Ý nghĩa vật lý của độ cứng: chính là độ lớn của lực gây ra chuyển vị của hệ bằng 1 đơn vị theo phương của chuyển vị cần xét. 7
Xác định chuyển vị tại tiết diện giữa dầm bằng phương pháp nhân biểu đồ P Mx PL/4 EI y L/2 L/2 1 1 𝑃𝐿 𝐿 2 𝐿 𝑃𝐿3 Độ võng của dầm: 𝑦 = 2. ( . . ). ( . ) = 𝐸𝐼 2 4 2 3 4 48𝐸𝐼 Độ cứng của dầm: 48𝐸𝐼 48 ∗ 2 ∗ 108 ∗ 2500 ∗ 10−8 𝑘𝑁 𝑦=1→ 𝑘= 3 = 3 = 3750( ) 𝐿 4 𝑚 Phương trình vi phân của hệ có dạng: mu + cu + ku = p(t) → 10u + 50u + 3750u = 20sin10t 8
Bài tập: Hãy thiết lập phương trình vi phân chủ đao của các hệ 1BTD có sơ đồ như hình vẽ p(t) m u k1 k3 p(t) h EI EI k2 m m EI m m EI m m k k L L/2 L/2 9
Chú ý: Khi khối lượng được liên kết bằng nhiều lò xo mắc song song hay nối tiếp như trên hình vẽ, khi đó độ cứng tổng cộng được tính như sau: K1 K2 K1 K1 K2 α1 α2 K2 M M M P(t) P(t) P(t) k   ki k   ki sin i 1 1  2 i i k i ki 10
2.2. DAO ĐỘNG TỰ DO 2.2.1. Dao động tự do không cản k mu + ku = 0 Hay: u + u = 0 Đặt: ωn = k/m m ωn : tần số dao động riêng Nghiệm: u = Acos ωn t + Bsin(ωn t) u = −ωn Asin ωn t + ωn Bcos(ωn t) u = −ω2 Acos ωn t − ω2 Bsin(ωn t) n n u 0 Điều kiện biên: u 0 = A; u 0 = ωn B → 𝐵 = ωn Phương trình chuyển động: u 0 u = u 0 cos ωn t + sin ωn t = u0 sin(ωn t − θ) ωn 11
Trong đó: u0 : Biên độ dao động θ: Pha ban đầu (Góc pha) 2 𝑢 0 u 0 ωn u0 = 𝑢 0 2 + θ = atan − 𝜔𝑛 u 0 𝑢 u(0) u(0) u0 𝑡 Tn 1 2π Chu kỳ: Tn = = fn ωn
2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt c k mu + c𝑢 + ku = 0 Hay: u + u + u = 0 (1) m m 𝑐 𝑐 𝑐 Đặt: 𝜉 = = = 𝑐 𝑐𝑟 2 𝑘𝑚 2𝑚𝜔 𝑛  KC Thép: 1.5%-2.5% 𝜉 :Tỉ số cản Tỉ số cản 𝜉  KC Bê tông: 3%-5% 𝑐 𝑐𝑟 : Hệ số cản tới hạn  KC Phi tuyến: 5% Thay vào (1): u + 2𝜉𝜔 𝑛 u + 𝜔2 u = 0 𝑛 (2) Nghiệm: 𝑢 = 𝑒 −𝜉𝜔 𝑛 𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝐷 𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝐷 𝑡 𝑉ớ𝑖: 𝜔 𝐷 = 𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2 - Tần số dao động có cản Lưu ý khi ∶ 𝑐 < 𝑐 𝑐𝑟 ℎ𝑎𝑦 𝜉 < 1 → Hệ có dao động (cản nhỏ) Khi ∶ 𝑐 > 𝑐 𝑐𝑟 → Hệ chuyển động tiệm cận đến vị trí cân bằng 13
2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt (tt) Nghiệm của phương trình vi phân chuyển động: u 0 + ξωn u 0 u= e−ξωn t u(0)cos ωD t + sin ωD t ωD u = u0 e−ξωn t sin(ωD t − θ) Biên độ dao động có cản Pha ban đầu (góc pha): 2 𝑢 0 + 𝜉𝜔 𝑛 𝑢(0) 𝜔 𝐷u 0 u0 = 𝑢 0 2 + θ = atan − 𝜔𝐷 u 0 + 𝜉𝜔 𝑛 𝑢(0) 14
2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt (tt) 𝒖 𝟎 𝒆−𝝃𝝎 𝒏 𝒕 Có cản Không cản Biên độ dao động ( 𝒖 𝟎 ) giảm dần theo quy luật số mũ âm (−𝜉𝜔 𝑛 𝑡) 𝑛 𝑢1 Biên độ dao động sau n chu kỳ : 𝑢(𝑛+1) = 𝑢0 𝑢0
2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt Tỷ số giữa 2 biên độ dao động dương cách nhau 1 chu kỳ: u(t) = u0 e−ξωn t sin(ωD t − θ) u(t + TD ) = u0 e−ξωn t+TD sin[ωD t + TD − θ] 2𝜋𝜉 Tỷ số : u t 1−𝜉 2 = eξωn TD = e u t + TD  KCThép: 0.09-0.16 Độ giảm loga  KC Bê tông: 0.19-0.31 Độ giảm loga 𝛿  KC Phi tuyến: 0.31 u t 2𝜋𝜉 𝛿 = ln = ≈ 2𝜋𝜉 u t + TD 1− 𝜉2
2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt Xác định chu kỳ và tỉ số cản dựa vào kết quả của thí nghiệm dao động tự do 𝑢 𝑡 𝑇𝐷 1 u(t) Hệ số cản:   ln n2 u(t  nTD )
2.2.3. Ví dụ Xác định các đặc trưng động học và biên độ dao động sau 4 chu kỳ của hệ như hình vẽ. Biết khối lượng m, chịu tác dụng lực kích thích tức thời P=100kN, ứng với chuyển vị của khối lượng là 0,4cm. Sau khi lực P không tác dụng chuyển vị đầu tiên hệ đạt được là 0,35cm, thời gian giữa 2 chuyển vị là chu kỳ T=1,5s. P Độ cứng của dầm: m 𝑃 100 𝑘= = EI 𝑢 𝑠𝑡 0.4 ∗ 10−2 c 𝑘 = 25000(𝑘𝑁 𝑚) L/2 L/2 Khối lượng m của hệ: 2 2π 2𝜋 𝑇 Chu kỳ: T = = → 𝑚= ∗ 𝑘 = 1425 𝑘𝑁. 𝑠 2 𝑚 ωn 𝑘 𝑚 2𝜋 18
2π 2𝜋 Tần số dao động riêng của hệ: ωn = = = 4.18 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑇 1.5 u t 0.4 Độ giảm loga của hệ: 𝛿 = ln = ln ≈ 0.134 u t+T 0.35 Tỷ số cản của hệ: 𝛿 ≈ 2𝜋𝜉 → 𝜉 = 𝛿 2𝜋 = 0.021 Tần số dao động của hệ khi có cản: 𝜔 𝐷 = 𝜔 𝑛 1 − 𝜉 2 = 4.179 𝑐 𝑐 Hệ số cản: 𝜉 = = → 𝑐 = 𝜉2𝑚𝜔 𝑛 = 250173 𝑘𝑁𝑠 𝑚 𝑐 𝑐𝑟 2𝑚𝜔 𝑛 Biên độ sau 4 chu kỳ dao động: 4 4 𝑢1 0.35 𝑢5 = 𝑢0 = 0.4 = 0.234 𝑐𝑚 𝑢0 0.4 19
2.3. PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA 2.3.1 Nghiệm của phương trình dao động u k mu + cu + ku = P0 sinωt P0 sin ωt Dạng nghiệm:u t = uc t + up (t) c m Nghiệm thuần nhất: uc (t) = e−ξωn t Acos ωD t + Bsin ωD t Nghiệm riêng của phương trình vi phân tổng quát: up t = Ccos ωt + Dsin ωt P0 −2ξω/ωn C= ∗ k 1 − ω/ωn 2 2 + 2ξ ω/ωn 2 P0 1 − ω/ωn 2 D= ∗ k 1 − ω/ωn 2 2 + 2ξ ω/ωn 2 20