PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN - FEM
Trng i hc Công nghip TP.HCM
ng Công Truyn
Chương 6:
PHẦN TỬ THANH DẦM
Phần tử thanh dầm
L: Chiều dài thanh dầm
I : Mômen quán tính của
tiết diện
E : Môđun đàn hồi
Chuyển vị (độ võng) của
trục trung tâm
Góc xoay quanh trục z
Lực cắt
Mômen uốn quanh trục z
Lý thuyết thanh dầm cơ bản
Phương trình vi phân đàn hồi
Định luật Hooke
Ma trận độ cứng phần tử
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
• Mỗi nút có 2 bậc tự do: chuyển vị v(x) và góc
xoay dx/dv = θ
• Vectơ bậc tự do của phần tử
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
• Bốn bậc tự do hàm xấp xỉ chuyển vị v(x)
đến bậc 3
• Hàm xấp xỉ góc xoay
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
• Thay tọa độ các điểm nút vào v(x) và θ(x) và
thực hiện đồng nhất với {q}e
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
• Ma trận các hàm dạng
• Trong đó
Kiểm tra 2 tính chất của hàm dạng
• Tính chất 1
• Tính chất 2
1
1
n
i
i
N
=
=
Ma trận độ cứng phần tử
• Định nghĩa 4 hàm dạng:
Ma trận độ cứng phần tử
• Độ võng (chuyển vị) của thanh dầm :
• Lưu ý:
Ma trận độ cứng phần tử
• Độ cong của thanh dầm:
• Trong đó, ma trận biến dạng-chuyển vị B là:
Ma trận độ cứng phần tử
• Năng lượng biến dạng:
Ma trận độ cứng phần tử
• Suy ra:
• Thay
• Ta được:
Ma trận độ cứng phần tử
• Kết hợp với chuyển vị dọc trục của thanh dầm
biểu thức tổng quát cho ma trận độ cứng phần tử
Ứng suất trong thanh dầm
• Ứng suất trong thanh dầm
• Lưu ý:
• Suy ra: Nếu tải trọng phân bố bằng không thì
phương trình độ võng có dạng bậc 3
(đó chính là hàm dạng)
Ví dụ 1
• Tính độ võng và góc xoay tại nút 2
• Tính các phản lực tại nút 1 và 3
Ví dụ 1
• Ma trận độ cứng phần tử:
Ví dụ 1
• Ma trận độ cứng tổng thể: