Phát triển 16 dạng toán trọng tâm đề tham khảo TN THPT 2023 môn Toán

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

1

TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

DẠNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Biểu diễn hình học số phức

Số phức được biểu diễn bởi điểm

hay bởi trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ .

Tập hợp điểm biểu diễn số phức Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:

• tập hợp điểm là đường thẳng

• • tập hợp điểm là trục tung Oy tập hợp điểm là trục hoành Ox

• tập hợp điểm là hình tròn tâm bán kính

• tập hợp điểm là đường tròn có tâm bán kính

tập hơp điểm là miền bên phải trục tung

• • tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành

• • tập hợp điểm là miền bên trái trục tung tập hợp điểm là phía trên trục hoành

• tập hợp điểm là đường Parabol

• tập hợp điểm là đường Elip

• tập hợp điểm là đường Hyperbol

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 35 – Đề tham khảo 2023. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn

là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là. A. C. B. . . . D. .

 Lời giải

Chọn C Đặt , với .

Từ giả thiết .

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Câu 1: Cho các số phức thỏa mãn . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

là đường tròn . Tọa độ tâm và bán kính của đường tròn lần lượt là

A. ; . B. ; . C. . D. ; . ;

Câu 2: Cho số phức thoả mãn . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu

diễn các số phức là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

. B. . A. , ,

. D. . C. , ,

Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là

một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

B. . C. . D. . A. .

Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ , cho hai điểm và điểm biểu diễn số

phức . Biết số phức là số thực và nằm trên trung trực của .Tổng

là

. A. B. . C. D. .

Câu 5: Cho số phức có . Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của và hai đỉnh còn

lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình . Diện tích của tam giác đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là

một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. D. . . C. .

Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là

một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. D. . . C. .

Câu 8: Cho Gọi là tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn . Diện tích

hình phẳng được giới hạn bởi là

A. . B. . C. . D. 8.

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn

là

. A. B. . C. . D. .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 10: Gọi

là hình biểu diễn tập hợp các số phức trong mặt phẳng tọa độ

Phan Nhật Linh sao cho

, và số phức có phần thực không âm. Tính diện tích hình .

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

trong mặt phẳng tọa độ là hình phẳng có diện tích bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Xét các số phức thỏa mãn là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

là một parabol có đỉnh

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Cho số phức với . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

bằng

là đường thẳng . Khoảng cách từ điểm đến

A. B. . C. . D. .

Câu 14: Cho phương trình trong đó , là tham số thực.

để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu

Số giá trị của tham số diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là A. 0. C. 3. B. 1. D. 2.

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là

một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. C. . D. . .

Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. C. D. . . .

Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. . C. D. . .

Câu 18: Cho số phức có và Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là một đường tròn, tâm và bán kính đường tròn đó là

A. B. C. D.

Câu 19: Cho số phức thỏa mãn , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. 2. B. . C. . D. 4.

Câu 20: Cho số phức thỏa mãn . Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong mặt

phẳng tọa độ là đường tròn có tâm là

A. . B. . C. . D. .

Câu 21: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn là

A. Đường tròn tâm bán kính .

B. Đường tròn tâm bán kính .

C. Đường tròn tâm bán kính .

D. Đường tròn tâm bán kính .

Câu 22: Cho và là hai trong các số phức thỏa mãn , đồng thời . Tập

hợp các điểm biểu diễn của số phức trong mặt phẳng tọa độ là đường tròn có

phương trình dạng . Tính giá trị của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Biết phương trình ( là tham số thực) có hai nghiệm phức . Gọi

lần lượt là điểm biểu diễn các số phức và . Có bao nhiêu giá trị của tham số

để diện tích tam giác bằng 1?

. B. . C. . D.

A.

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho các số phức thỏa mãn . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

là đường tròn . Tọa độ tâm và bán kính của đường tròn lần lượt là

A. ; . B. ; ; . D. ; . . C.

Lời giải

Chọn C

Gọi . Theo bài ra: .

.

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức là đường tròn có tâm , bán kính

Câu 2: Cho số phức thoả mãn . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu

diễn các số phức là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

A. , . . , B.

C. , . . , D.

Lời giải

Chọn D

Đặt .

Theo đề bài ta có:

.

Vậy tập điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là

một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi (với ). Ta có:

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ , cho hai điểm và điểm biểu diễn số

phức . Biết số phức là số thực và nằm trên trung trực của .Tổng

là

. A. B. . C. D. .

Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Chọn A

Ta có: .

Đường trung trực của đoạn thẳng đi qua trung điểm có phương trình

.

; .

Khi đó

là số thực khi và chỉ khi

.

Câu 5: Cho số phức có . Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của và hai đỉnh còn

lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình . Diện tích của tam giác đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Điều kiện:

Ta có

.

Lúc đó và .

Suy ra , , được biểu diễn bởi ba điểm tạo thành một tam giác đều nằm trên đường

tròn tâm bán kính .

Tam giác đều có đường cao , độ dài cạnh

Diện tích tam giác là .

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là

một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi (với ). Suy ra .

Ta có:

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là

một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C Gọi (với ).

Ta có:

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Câu 8: Cho Gọi là tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn . Diện tích

hình phẳng được giới hạn bởi là

A. . B. . . D. 8.

C. Lời giải

Chọn D

Đặt . Khi đó, đẳng thức

Ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Đây là hình thoi có độ dài hai đường chéo là 2 ; 8 nên diện tích bằng (2.8) : 2 = 8.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn

là

. A. B. . D. . . C.

Lời giải

Chọn D

Ta có .

Câu 10: Gọi là hình biểu diễn tập hợp các số phức trong mặt phẳng tọa độ sao cho

, và số phức có phần thực không âm. Tính diện tích hình .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C Gọi .

Ta có .

Xét elip , có tập hợp các điểm biểu diễn số phức là miền trong của Elip với

.

Ta có , nên diện tích hình là .

Câu 11: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

trong mặt phẳng tọa độ là hình phẳng có diện tích bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Ta có .

Giả sử .

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm và bán kính

. Khi đó diện tích hình tròn là

Câu 12: Xét các số phức thỏa mãn là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

là một parabol có đỉnh

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi . Khi đó

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vì là số thực nên là số thực hay =0

Suy ra

Mà , gọi , suy ra: thay vào biểu thức ta được

Do đó, tập hợp biểu biễn là một parabol có đỉnh là

Câu 13: Cho số phức với . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là đường thẳng . Khoảng cách từ điểm đến bằng

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có , thay vào ta được:

Gọi , từ ta có .

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng phức là đường thẳng

Khi đó

Câu 14: Cho phương trình trong đó , là tham số thực.

để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu

Số giá trị của tham số diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là A. 0. C. 3. B. 1. D. 2.

Lời giải

Chọn D Xét phương trình:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

Đặt , , lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm , ,

trên mặt phẳng phức.

Ta có: , ,

, , .

Ba điểm , , tạo thành một tam giác khi và chỉ khi và không cùng phương hay

.

Tam giác cân .

Kết hợp với điều kiện ta được .

Vậy có hai giá trị của thỏa mãn đề.

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là

một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C Gọi (với ).

Ta có:

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi (với ). Ta có:

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Lời giải

Chọn D Gọi (với ).

Ta có:

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Câu 18: Cho số phức có và Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là một đường tròn, tâm và bán kính đường tròn đó là

A. B. D. C.

Lời giải

Chọn D

Ta có

Lấy môđun hai vế, ta được

Biểu thức chứng tỏ tập hợp các số phức là một đường tròn có tâm

và bán kính

Câu 19: Cho số phức thỏa mãn , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

A. 2. B. . D. 4. .

C. Lời giải

Chọn B Cách 1: Ta đặt

Theo giả thết , nên ta có:

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của là đường tròn có bán kính

Cách 2: Ta có:

Mà

Đặt khi đó

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

. Đây là đường tròn có tâm

Câu 20: Cho số phức thỏa mãn . Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong mặt

phẳng tọa độ là đường tròn có tâm là::

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Do .

Theo giả thiết,

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm .

Câu 21: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn là

A. Đường tròn tâm bán kính .

B. Đường tròn tâm bán kính .

C. Đường tròn tâm bán kính .

D. Đường tròn tâm bán kính .

Lời giải

Chọn C Gọi .

.

.

Tập hợp các điểm M là đường tròn với tâm bán kính .

Câu 22: Cho và là hai trong các số phức thỏa mãn , đồng thời . Tập

hợp các điểm biểu diễn của số phức trong mặt phẳng tọa độ là đường tròn có

phương trình dạng . Tính giá trị của biểu thức .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của . Từ giả thiết suy ra thuộc

đường tròn tâm , bán kính 5 và suy ra .

Gọi là trung điểm của đoạn . Khi đó ta tính được .

Mặt khác, là điểm biểu diễn của số phức , là điểm biểu diễn của số phức ,

thay vào ta có biểu thức

Vậy điểm biểu diễn của nằm trên đường tròn tâm ; .

Khi đó ; ; . Vậy .

Câu 23: Biết phương trình ( là tham số thực) có hai nghiệm phức . Gọi

lần lượt là điểm biểu diễn các số phức và . Có bao nhiêu giá trị của tham số

để diện tích tam giác bằng 1?

B. . . D. A. .

C. Lời giải

Chọn C

Ta có:

Trường hợp 1: . Khi đó, phương trình có hai

nghiệm thực phân biệt là .

Vì nên .

. Mặt khác, ta có

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Trường hợp 2: . Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức

liên hợp là .

Ta có: và .

Phương trình đường thẳng là nên .

Do đó, .

thỏa mãn đề bài.

Vậy có 4 giá trị thực của tham số

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

2

DẠNG

VIẾT PTĐT ĐI QUA HAI ĐIỂM

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Để viết một phương trình đường thẳng thì ta cần một điểm đi qua và một vectơ chỉ phương của nó.

▪ Đường thẳng đi qua điểm và nhận là một vectơ chỉ phương thì đường

thẳng có phương trình là:

▪ Đường thẳng đi qua hai điểm và thì nó nhận là một vectơ chỉ phương.

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 46 – Đề tham khảo 2023. Trong không gian , cho hai điểm và . Đường

thẳng có phương trình là:

A. B. C. D.

 Lời giải Lời giải

Chọn C

Ta có .

Đường thẳng qua nhận làm vectơ chỉ phương

Phương trình đường thẳng là: .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Câu 1: Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình đường thẳng

là

. B. . C. . D. . A.

Câu 2: Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình đường thẳng

là

. B. . A.

. D. . C.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 3: Trong không gian

, cho hai điểm và

Về đích đặc biệt 9+ có

. Đường thẳng

phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 4: Trong không gian , cho hai điểm và . Đường thẳng có

phương trình là

. . B. A.

. . D. C.

, cho ba điểm điểm Câu 5: Trong không gian , , . Đường thẳng

qua gốc toạ độ và trọng tâm tam giác có phương trình là

B. . C. . D. . . A.

Câu 6: Trong không gian , cho tam giác có , và .

Đường trung tuyến có phương trình là

B. . C. D. . . . A.

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ , gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng

và vuông góc với mặt phẳng . Khi đó giao tuyến

của hai mặt phẳng có phương trình

. B. A. .

. D. C. .

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc .

. B. A. .

. D. C. .

Câu 9: Trong không gian , cho điểm , hai mặt phẳng và

. Viết phương trình đường thẳng đi qua đồng thời song song với

hai mặt phẳng và .

A. . B. .

C. . D. .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 10: Trong không gian

, cho ba điểm

Phan Nhật Linh . Đường trung tuyến

của tam giác có phương trình tham số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

và . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng , cắt

đường thẳng và vuông góc với đường thẳng . Phương trình của

đường thẳng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Trong không gian , cho điểm và hai đường thẳng ,

. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua và vuông

góc với và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và đường thẳng

. Gọi là đường thẳng nằm trong , cắt và vuông góc với . Phương

trình nào sau đây là phương trình tham số của ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Cho tứ diện có , , , . Phương trình đường cao kẻ

từ của tứ diện là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 15: Trong không gian tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Viết

phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắt và vuông góc với đường thẳng .

A. . B. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

C. . D. .

Câu 16: Trong không gian , cho . Đường thẳng đi qua hai điểm

và có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Trong không gian , cho hai điểm và . Đường thẳng MN có phương

trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác với

. Đường phân giác trong của góc có một véctơ chỉ phương

. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Phương trình đường ,

phân giác trong của góc của tam giác là

A. . B. . C. D. . .

Câu 20: Trong không gian , cho hai điểm và mặt phẳng

. Gọi là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng . Gọi

lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên . Biết rằng khi thì trung

điểm của luôn thuộc một đường thẳng cố định, phương trình của đường thẳng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 21: Trong không gian , cho ba điểm Phương trình đường

phân giác góc là.

A. B.

C. D.

Câu 22: Trong không gian , cho ba điểm , , . Tập hợp tất cả các

, , là một đường thẳng . Phương trình tham số của đường

điểm thẳng cách đều ba điểm là

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt phẳng

Đường thẳng nằm trên mặt phẳng sao cho mọi điểm của cách

đều hai điểm có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình đường thẳng

là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Điểm .

Vậy đường thẳng có phương trình tham số là: .

Câu 2: Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình đường thẳng

là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .

Điểm .

Vậy đường thẳng có phương trình là: .

Câu 3: Trong không gian , cho hai điểm và . Đường thẳng có

phương trình là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Đường thẳng qua nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình

.

Câu 4: Trong không gian , cho hai điểm và . Đường thẳng có

phương trình là

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Đường thẳng đi qua , nhận làm vectơ chỉ phương có phương

trình là .

Câu 5: Trong không gian , cho ba điểm điểm , , . Đường thẳng

qua gốc toạ độ và trọng tâm tam giác có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là trọng tâm của tam giác .

Đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là

cũng là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng .

Vậy phương trình đường thẳng là: .

Câu 6: Trong không gian , cho tam giác có , và .

Đường trung tuyến có phương trình là

A. . B. . C. D. . .

Lời giải

Chọn D

Do là trung điểm của nên .

Ta có .

Đường thẳng đi qua , nhận làm vectơ chỉ phương có phương

trình là .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ

, gọi

Về đích đặc biệt 9+ là mặt phẳng chứa đường thẳng

và vuông góc với mặt phẳng . Khi đó giao tuyến

của hai mặt phẳng có phương trình

. A. B. .

. C. D. .

Lời giải

Chọn C

đi qua và có VTCP .

có VTPT .

đi qua và có VTPT nên chọn .

Phương trình : .

Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng . Ta có:

D đi qua và có VTCP nên chọn .

Phương trình : .

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc .

. A. B. .

. C. D. .

Lời giải

Chọn C

qua điểm và vuông góc nhận là vtcp có dạng .

Cho .

Câu 9: Trong không gian , cho điểm , hai mặt phẳng và

. Viết phương trình đường thẳng đi qua đồng thời song song với

hai mặt phẳng và .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Chọn A

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

và không cùng phương.

Ta có: .

Đường thẳng đi qua và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của đường thẳng là: .

Câu 10: Trong không gian , cho ba điểm . Đường trung tuyến

của tam giác có phương trình tham số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Có là trung điểm của .

là một véctơ chỉ phương của đường trung tuyến .

Điểm .

Vậy đường trung tuyến có phương trình tham số là: .

Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

và . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng , cắt

đường thẳng và vuông góc với đường thẳng . Phương trình của

đường thẳng là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

và lần lượt là véctơ pháp tuyến của và . Đặt

nên có một véctơ chỉ phương . Do

Đường thẳng nằm trong và nên có một vectơ chỉ phương là

.

và Gọi

Xét hệ phương trình .

Do đó phương trình đường thẳng .

Câu 12: Trong không gian , cho điểm và hai đường thẳng ,

. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua và vuông

góc với và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

+) VTCP của lần lượt là và ;

+) Vì vuông góc với và nên .

+) đi qua nên .

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và đường thẳng

. Gọi là đường thẳng nằm trong , cắt và vuông góc với . Phương

trình nào sau đây là phương trình tham số của ?

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Do nằm trong nằm trong và vuông góc với nên có véctơ chỉ phương là

Gọi thì

Vậy phương trình tham số của là hay

Câu 14: Cho tứ diện có , , . Phương trình đường cao kẻ ,

từ của tứ diện là

B. . A. .

D. . C. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng . Khi đó đường thẳng có một vectơ chỉ

phương là

Phương trình đường cao có dạng: .

Câu 15: 10. Trong không gian tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Viết

phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắt và vuông góc với đường thẳng .

B. . A. .

D. . C. .

Lời giải

Chọn C Cách 1: Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và .

Vì nên tọa độ . Khi đó .

Đường thẳng có một vec tơ chỉ phương là .

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Suy ra .

Do đó đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình chính

tắc là .

Cách 2: Suy luận nhanh

VTCP của là .

vuông góc với đường thẳng . Chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Câu 16: Trong không gian , cho . Đường thẳng đi qua hai điểm

và có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

; . Ta có:

Đường thẳng đi qua hai điểm và có một vectơ chỉ phương là .

Vậy phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm và là: .

Câu 17: Trong không gian , cho hai điểm và . Đường thẳng MN có phương

trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Điểm .

Vậy đường thẳng có phương trình tham số là: .

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác với

. Đường phân giác trong của góc có một véctơ chỉ phương

. Tính .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có:

.

Một VTCPcủa đường phân giác trong của góc là:

.

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Phương trình đường ,

phân giác trong của góc của tam giác là

A. . B. . C. D. . .

Lời giải

Chọn C

Ta có: .

Đường phân giác trong của góc của tam giác có một véctơ chỉ phương:

Dễ thấy cũng là một VTCP của đường phân giác trong của góc

Vậy phương trình đường phân giác trong góc .

Câu 20: Trong không gian , cho hai điểm và mặt phẳng

. Gọi là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng . Gọi

lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên . Biết rằng khi thì trung điểm

của luôn thuộc một đường thẳng cố định, phương trình của đường thẳng là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

. Ta thấy

là trung điểm của . Gọi

Ta có luôn nằm trong mặt phẳng trung trực của

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

đoạn . Do đó .

Mặt phẳng đi qua trung điểm và nhận làm véc-tơ pháp của

. tuyến nên

. Xét hệ

Chọn ta được . Suy ra .

có véc-tơ pháp tuyến . Mặt phẳng

có véc-tơ pháp tuyến . Mặt phẳng

Đường thẳng đi qua , nhận làm véc tơ chỉ phương nên

. phương trình tham số là:

Vậy .

Câu 21: Trong không gian , cho ba điểm Phương trình đường

phân giác góc là.

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn D

Giả sử đường phân giác trong của góc cắt cạnh tại .

Ta có .

Suy ra đường thẳng là . .

; .

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có

.

. Ta có: ;

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Nên chọn VTCP là

Vậy phương trình đường thẳng là .

Vậy

Câu 22: Trong không gian , cho ba điểm , , . Tập hợp tất cả các

, , là một đường thẳng . Phương trình tham số của đường

điểm thẳng cách đều ba điểm là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có ; .

Ta thấy , không cùng phương nên ba điểm không thẳng hàng.

.

và cách đều hai điểm cách đều hai điểm , , nên điểm nên điểm , nằm trên mặt trung trực của nằm trên mặt trung trực của .

cách đều ba điểm , , là giao tuyến của hai mặt trung

Do đó tập hợp tất cả các điểm trực của Gọi và , . lần lượt là các mặt phẳng trung trực của và .

là trung điểm ; là trung điểm .

đi qua và nhận làm véctơ pháp tuyến nên phương trình của

hay .

đi qua và nhận làm véctơ pháp tuyến nên phương trình của

hay .

Ta có

Nên có véctơ chỉ phương

Cho ta sẽ tìm được , nên điểm .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vậy .

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt phẳng

Đường thẳng nằm trên mặt phẳng sao cho mọi điểm của cách

đều hai điểm có phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Vì mọi điểm của cách đều hai điểm nên nằm trong với là mặt phẳng trung

trực của đoạn

đi qua trung điểm của và nhận làm một vectơ pháp tuyến có

phương trình là

là giao tuyến của và nên một vectơ chỉ phương của là

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG

3

DẠNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Trong không gian , cho mặt phẳng , khi đó:

• Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng

Điểm là hình chiếu của điểm trên

• Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng

Điểm đối xứng với điểm qua

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 37 – Đề tham khảo 2023. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Điểm đối

xứng với qua mặt phẳng có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

 Lời giải Chọn A

Tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là . Điểm đối xứng với

qua mặt phẳng có tọa độ là .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm . Điểm đối xứng với điểm

qua mặt phẳng có tọa độ là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng .

là hình chiếu vuông góc của . Khi đó toạ độ điểm

Gọi A. lên . là: D. . B. C. . .

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng

. Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt

phẳng

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm , . Phương trình hình chiếu ,

của đường thẳng trên mặt phẳng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm trên trục

có tọa độ là A. B. C. D.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Tọa độ điểm đối xứng với điểm

qua trục là

A. B. C. D.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ cho sáu điểm và

thỏa mãn Nếu là trọng tâm tam giác thì có tọa

độ là

A. B. C. D.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có

Tọa độ chân đường cao hạ từ xuống là

A. B. C. D.

Câu 9: Trong không gian tọa độ cho tam giác có và

Trung điểm cạnh thuộc trục tung, trung điểm cạnh thuộc mặt phẳng Tổng

bằng

A. B. C. D.

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm . Tìm

tọa độ điểm thỏa mãn . Khi đó tổng bằng.

, cho tam giác

có

,

và

.

A. . B. . C. . D. .

Gọi

chân đường phân giác trong hạ từ

. Tính

Câu 11: Trong không gian với hệ trục toạ độ

A. . B. . C. . D. .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho ba điểm

Phan Nhật Linh và

mặt phẳng . Biết nằm trên sao cho hai đường thẳng

song song với nhau. Giá trị bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Cho mặt phẳng và hai điểm . Gọi sao

cho lớn nhất. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Điểm đối

xứng với qua mặt phẳng có tổng hoành độ và tung độ bằng

A. 4. B. 7. C. 5. D. 6.

Câu 15: Trong không gian , cho mặt phẳng và điểm . Gọi

là điểm đối xứng với qua . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: Trong không gian , cho , . Điểm thuộc mặt phẳng

sao cho . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Trong không gian cho , . Điểm thuộc mặt phẳng

sao cho . Khi đó, giá trị bằng

. A. . B. . C. . D.

Câu 18: Trong không gian , cho mặt cầu và điểm

. Xét các điểm thuộc sao cho tiếp xúc với , luôn thuộc mặt phẳng có

phương trình là A. . B. . C. . D. .

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm

Điểm là hình chiếu vuông góc của trên . Tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Trong không gian , cho mặt cầu cắt mặt phẳng

theo giao tuyến là đường tròn . Điểm thuộc sao cho khoảng cách

đến từ nhỏ nhất có tung độ bằng

. B. . C. . D. .

A.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 21: Trong không gian với hệ trục , cho mặt cầu và mặt

phẳng . Xét điểm M di động trên , các điểm phân biệt di

động trên sao cho là các tiếp tuyến của . Mặt phẳng đi qua điểm

cố định nào dưới đây?

A. B. C. D.

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm . Điểm đối xứng với điểm

qua mặt phẳng có tọa độ là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

đối xứng điểm qua mặt phẳng nên Do điểm

. Vậy .

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng .

là hình chiếu vuông góc của . Khi đó toạ độ điểm

. B. C. . . là: D. lên . Gọi A.

Lời giải

Chọn B

Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với .

Khi đó:

.

Vì hình chiếu vuông góc của lên nên .

Do đó tọa độ là nghiệm của hệ: .

Vậy: .

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng

. Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt

phẳng

A. . B. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Nhận xét: ta có . Lấy thay vào mặt phẳng thấy không thỏa mãn

nên đường thẳng song song với mặt phẳng .

Gọi . Gọi là điểm đối xứng của qua mặt phẳng và là

trung điểm .

Ta có: .

Giải hệ, ta có: .

Do đó: đi qua M và nhận làm vec tơ chỉ phương

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm , . Phương trình hình chiếu ,

của đường thẳng trên mặt phẳng là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A Dễ thấy là hình chóp đều nên hình chiếu của điểm trên là trọng tâm

của tam giác : . Vậy hình chiếu của của đường thẳng trên mặt phẳng

là đường thẳng .

đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là .

Vậy phương trình hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng là: .

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm trên trục

B. C. D. có tọa độ là A.

Lời giải

Chọn B

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Tọa độ điểm đối xứng với điểm

qua trục là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C Dễ dàng tìm được tọa độ hình chiếu vuông góc của trên trục là Vì

đối xứng với qua trục nên là trung điểm của suy ra

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ cho sáu điểm và

thỏa mãn Nếu là trọng tâm tam giác thì có tọa

độ là

B. C. D. A.

Lời giải

Chọn C

Ta có

Suy ra cũng là trọng tâm của tam giác nên có tọa độ

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có

Tọa độ chân đường cao hạ từ xuống là

B. A.

D. C.

Lời giải

Chọn A

Gọi Ta có

Yêu cầu bài toán

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 9: Trong không gian tọa độ cho tam giác

có

Về đích đặc biệt 9+

và

Trung điểm cạnh thuộc trục tung, trung điểm cạnh thuộc mặt phẳng Tổng

bằng

A. B. C. D.

Lời giải

là trung điểm Suy ra Chọn A Gọi

Gọi là trung điểm của suy ra

Do nên

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm . Tìm

tọa độ điểm thỏa mãn . Khi đó tổng bằng.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có .

, cho tam giác

có

,

và

.

Khi đó .

Gọi

chân đường phân giác trong hạ từ

. Tính

Câu 11: Trong không gian với hệ trục toạ độ

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

và do đó . Suy ra .

Do là chân đường phân giác trong và nên , suy ra

Vậy .

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm và

mặt phẳng . Biết nằm trên sao cho hai đường thẳng

song song với nhau. Giá trị bằng:

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Chọn A

Tọa độ các vectơ và vì hai đường thẳng song

song với nhau nên .

Điểm nằm trên nên ta có suy ra

.

. Vậy Câu 13: Cho mặt phẳng và hai điểm . Gọi sao

. lớn nhất. Tính cho

. D. . B. . A. .

C. Lời giải

. Chọn B Ta có

. Suy ra nằm cùng phía đối với mặt phẳng . Ta thấy

Khi đó .

Đường thẳng có véc tơ chỉ phương là . qua

. Suy ra

. Mặt khác nên ta có . Vậy . Vì

. Do đó ta có

Câu 14: Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Điểm đối

xứng với qua mặt phẳng có tổng hoành độ và tung độ bằng

A. 4. B. 7. D. 6. C. 5.

Lời giải

Chọn C

Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với

Suy ra ( là tham số).

Gọi là giao điểm của và .

Vì nên .

Vì nên .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 .

Suy ra

Vì là trung điểm của nên

Vậy .

Câu 15: Trong không gian , cho mặt phẳng và điểm . Gọi

là điểm đối xứng với qua . Giá trị của bằng

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

là đường thẳng qua và vuông góc với . Chọn C Gọi

Khi đó .

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên .

Khi đó tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

.

Gọi là điểm đối xứng với qua .

Suy ra là trung điểm của đoạn thẳng . Nên .

Vậy giá trị của bằng .

Câu 16: Trong không gian , cho , . Điểm thuộc mặt phẳng

sao cho . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Vì . (1)

(2)

Cộng hai vế của và ta được .

Thay vào phương trình .

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Suy ra

Câu 17: Trong không gian cho , . Điểm thuộc mặt phẳng

sao cho . Khi đó, giá trị bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: và nên là trung điểm của suy ra

. Vậy .

Câu 18: Trong không gian , cho mặt cầu và điểm

. Xét các điểm thuộc sao cho tiếp xúc với , luôn thuộc mặt phẳng có

phương trình là A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu có tâm và bán kính là .

Ta có , do đó nằm ngoài .

Gọi là hình chiếu của lên .

Lại có và .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do đó .

Vì điểm thuộc sao cho tiếp xúc với nên luôn thuộc mặt phẳng đi qua

và vuông góc với .

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là .

Cách 2:

Mặt cầu có tâm và bán kính là .

Ta có , do đó nằm ngoài .

Mặt khác , do đó thuộc mặt cầu có tâm và bán kính

.

.

Vì thuộc hai mặt cầu và nên tọa độ điểm thỏa hệ phương trình sau

Trừ 2 vế tương ứng ta được .

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là .

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm

Điểm là hình chiếu vuông góc của trên . Tổng bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là: .

Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng

có phương trình tham số:

Xét phương trình: thay vào phương

trình đường thẳng ta được tọa độ điểm . Suy ra: .

Câu 20: Trong không gian , cho mặt cầu cắt mặt phẳng

theo giao tuyến là đường tròn . Điểm thuộc sao cho khoảng cách

từ đến nhỏ nhất có tung độ bằng

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B Mặt cầu có tâm .

Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng .

Khi đó có cặp véctơ chỉ phương là .

có một vectơ pháp tuyến là .

Do đó .

nhỏ nhất khi .

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

Thay vào ta được phương trình:

nhỏ nhất nên ta chọn .

Vậy tung độ điểm cần tìm bằng .

Câu 21: Trong không gian với hệ trục , cho mặt cầu và mặt

phẳng . Xét điểm M di động trên , các điểm phân biệt di

động trên sao cho là các tiếp tuyến của . Mặt phẳng đi qua điểm

cố định nào dưới đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

Giả sử điểm và , ta có hệ điều kiện:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

. Trừ theo về (1) và (2) ta được

Kết hợp với (3): .

Ta có

Đồng nhất hệ số ta có

Vậy mặt phẳng đi qua điểm cố định

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

4

DẠNG

KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Dạng 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt

Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên. ▪ Bước 1: Xác định giao tuyến ▪ Bước 2: Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, dựng ). (

▪ Bước 3: Dựng . Khoảng cách cần tìm là

Với là đỉnh, là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy.

Ví dụ điển hình: Cho hình chóp có vuông góc với đáy

Hãy xác khoảng cách từ điểm đến mặt bên .

Ta có là giao tuyến của mp và .

, dựng tại . Dựng

Từ hình chiếu của đỉnh là điểm tại

Vì .

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng theo giao tuyến có

nên

Dạng 2: Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng

Thường sử dụng công thức sau:

Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:

Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng t

là hai đường thẳng chéo nhau và

Ta có các trường hợp sau đây: • Giả sử và ▪ Ta dựng mặt phẳng chứa và vuông góc với tại .

▪ Trong dựng tại , ta được độ dài đoạn là

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

• Giả sử và là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Cách 1:

▪ Ta dựng mặt phẳng chứ và song song với .

▪ Lấy một điểm tùy ý trên dựng tại .

cắt tại

▪ Từ ▪ Từ dựng dựng cắt . tại là

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau , độ dài đoạn và .

Cách 2:

▪ Ta dựng mặt phẳng tại , cắt tại .

▪ Dựng hình chiếu vuông góc của là trên .

▪ Trong mặt phẳng , vẽ , .

cắt tại .

dựng đường thẳng song song với dựng đường thẳng song song với cắt tại .

là khoảng cách giữa hai đường thẳng

▪ Từ ▪ Từ ▪ Độ dài đoạn thẳng . chéo nhau

và Dạng 3. Khoảng cách của đường với mặt, mặt với mặt Ở dạng toán này chúng ta đều quy về dạng toán 1 • Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm

bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

.

.

• Cho hai mặt phẳng và song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên

mặt phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

.

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

có chiều cao (tham khảo hình

Câu 38 – Đề tham khảo 2023. Cho hình chóp đều bên). Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

 Lời giải Chọn C

, là trung điểm . Trong , kẻ . Gọi

mà nên Ta có

.

Vì O là trung điểm BD nên .

Lại có: , .

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 1: Cho hình chóp

có đáy là tam giác vuông tại ,

Về đích đặc biệt 9+ . Tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

.

A. B. C. D.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , ; . Góc giữa

đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo khoảng cách từ điểm đến

đường thẳng là

A. B. C. D.

Câu 3: Cho hình chóp có đáy đều và nằm

. trong mặt phẳng vuông góc với đáy là hình vuông cạnh bằng . Tính khoảng cách . Tam giác đến từ

A. . B. . C. D.

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tâm , ,

là trung điểm của và là trung điểm của đoạn . Tính khoảng cách từ

. Gọi đến đường thẳng . điểm

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Cho hình chóp có là hình vuông cạnh vuông góc với mặt phẳng

và Gọi là trung điểm của cạnh Tính theo khoảng cách từ điểm

đến đường thẳng :

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm các

; là điểm trên cạnh sao cho . Tính khoảng cách từ điểm và

cạnh đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Biết và

. Gọi là tâm hình vuông . Tính khoảng cách từ điểm đến .

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Gọi

là trung điểm của . Biết . Tính khoảng cách từ đỉnh đến

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Cho hình chóp

có đáy và vuông góc với đáy. Gọi là hình chữ nhật với lần lượt là trung điểm của . Cạnh bên . Tính khoảng và

cách từ đến mặt phẳng .

A. B. C. D.

Câu 10: Cho hình chóp đều thể tích , (tham khảo hình bên). Tính

khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. D. . .

Câu 11: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , góc giữa

đường thẳng và mặt phẳng bằng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh . Tam giác

hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác là tam giác đều, .

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến

mặt phẳng theo

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng bằng

A. B. C. D.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 14: Cho khối hộp chữ nhật

có đáy là hình vuông,

Về đích đặc biệt 9+ , góc giữa hai mặt

phẳng và bằng . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng

A. B. C. D.

có đáy là tam giác vuông tại , ,

Câu 15: Cho hình lăng trụ đứng . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. B. C. D.

Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên .

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trọng tâm của tam giác . Gọi

lần lượt là trung điểm của và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng

là

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh

. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB. Khoảng cách từ H đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và . Tính khoảng cách từ

điểm đến mặt phẳng

A. . B. . C. . D. .

Câu 19: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ;

, cạnh bên và vuông góc vớI . Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng bằng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi cạnh , . Khoảng cách

từ điểm đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 21: Cho lăng trụ có là tam giác vuông cân tại . Hình chiếu vuông góc của

lên mặt đáy trùng với trung điểm của cạnh . Biết cạnh và tạo với mặt đáy của

hình lăng trụ một góc . Khoảng cách từ đỉnh đến mặt bằng

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng . Góc giữa hai mặt phẳng

và bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính khoảng cách từ điểm đến

mặt phẳng ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Cho tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ , ,

điểm đến các đường thẳng lần lượt là , , . Tính khoảng cách từ , ,

điểm đến mặt phẳng theo

A. . B. C. . D. . .

Câu 24: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, vuông góc với đáy, mặt bên

hợp với đáy một góc , là trung điểm của . Biết thể tích của khối chóp là

. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,

góc giữa và mặt phẳng bằng . Tính

khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , và ,

, là trọng tâm tam giác . Khoảng cách từ đến là

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh , tâm . Gọi là trung

điểm , tính khoảng cách từ đến mặt phẳng biết .

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 28: Cho hình chóp

có đáy là hình vuông có chiều cao

Về đích đặc biệt 9+ . và

, lần lượt là trung điểm và . Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt

Gọi phẳng bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Cho hình chóp , đáy

, mặt phẳng tạo với đáy một góc là hình thang cân có góc ở đáy bằng . Hình chiếu vuông góc của . lên đáy trùng với

giao điểm của và . Tính Khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 30: Cho lăng trụ đều có cạnh đáy bằng , mặt phẳng tạo với đáy một góc

, là điểm tùy ý thuộc cạnh . Khoảng các từ điểm đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 31: Cho lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng , . Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Cho hình lập phương cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của .

Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều, trọng tâm , ,

. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Khoảng cách từ

đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

có tất cả các cạnh bằng . Gọi là trọng tâm của tam giác

Câu 34: Cho hình lăng trụ đứng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Cho hình chóp ,

. Biết góc giữa có đáy là hình vuông cạnh bằng bằng và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 36: Cho hình chóp

có đáy là hình thang vuông tại và

Phan Nhật Linh

,

. Gọi là trung điểm của , biết hai mặt phảng và cùng vuông

góc với đáy và mặt phẳng tạo với đáy một góc . Tính theo khoảng cách từ trung

điểm cạnh đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 37: Cho hình chóp , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt đáy, . Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng (

là hai số nguyên dương nhỏ hơn 10), tính .

A. . B. . C. . D. .

có đáy là tam giác đều cạnh

Câu 38: Cho hình chóp và đỉnh cách đều các điểm .

Biết , tính khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại

và mặt đáy là . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ,. Góc giữa cạnh .

A. . B. . C. . D.

Câu 40: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ; ;

vuông góc với mặt phẳng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

Gọi là trung điểm của cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 41: Cho hình chóp có đáy thỏa mãn ; vuông góc

với mặt phẳng . Gọi là trung điểm của , tính khoảng cách giữa hai và

đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 42: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , ,

. Gọi là trung điểm . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 43: Cho hình chóp đáy là hình vuông tâm , cạnh bằng . Cạnh bên

Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của đoạn . .

Tính khoảng cách giữa các đường thẳng và .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Câu 44: Cho chóp có đáy là tam giác đều cạnh vuông cân tại và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách và . , tam giác giữa

A. . B. . C. . D. .

Câu 45: Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh bằng

điểm trên mặt phẳng là trọng tâm của tam giác và diện tích tam giác . Hình chiếu của

bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 46: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , cạnh . Cạnh bên vuông góc

với đáy, góc . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

A. B. C. D.

Câu 47: Cho hình lăng trụ có tam giác vuông tại .

Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng trùng với trung điểm của đoạn

(tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 48: Cho hình chóp tứ giác có đáy . Tam giác

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng là trung điểm của là hình vuông cạnh . Gọi cân tại ,

tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .

A. . B. . C. . D. .

Câu 49: Cho hình chóp đều có là giao điểm của và . Gọi lần lượt là trung

. Biết . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và điểm của

bằng

B. . C. . D. . A. .

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 50: Cho hình lăng trụ đứng

có đáy là tam giác vuông và

Phan Nhật Linh ,

là trung điểm của . Tính khoảng cách của hai đường thẳng và , .

A. . B. . C. . D. .

Câu 51: Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh bên bằng , đáy là tam giác vuông

tại . Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là điểm thoả

mãn . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của

Câu 52: Cho hình chóp phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho . Góc giữa đường thẳng trên mặt và

mặt phẳng bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .

A. . B. . C. . D. .

Câu 53: Cho hình chóp vuông góc với mặt phẳng đáy và có đáy là hình vuông. . Gọi là trung điểm của . . Tính

Khoảng cách giữa hai đường thẳng khoảng cách giữa hai đường thẳng và và bằng .

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho hình chóp

có đáy

là tam giác vuông tại

,

. Tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách

từ

đến mặt phẳng

.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi là trung điểm của , suy ra .

Gọi là trung điểm , suy ra .

Kẻ

Khi đó

Câu 2: Cho hình chóp

có đáy là tam giác vuông cân tại

,

;

. Góc giữa

đường thẳng

và mặt phẳng

bằng

. Tính theo

khoảng cách từ điểm đến đường

thẳng

là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

nên

Ta có vì vuông góc với đáy. Mà

Phan Nhật Linh S nằm trên đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và nên tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là trung điểm vuông cân tại

của . Vậy S nằm trên đường thẳng đi qua vuông góc với .

Mà góc giữa đường thẳng và là

vuông cân tại A có . Mà là trung điểm của

Xét tam giác vuông ta có:

Vậy khoảng cách từ đến đường thẳng là .

Câu 3: Cho hình chóp

có đáy

là hình vuông cạnh bằng

. Tam giác

đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy

. Tính khoảng cách

từ

đến

.

A. . B. . C. D.

Lời giải

Chọn D

Gọi là trung điểm , suy ra Do đó

Do nên

Gọi là trung điểm ; là hình chiếu vuông góc của trên .

Khi đó

Vậy

Câu 4: Cho hình chóp

có đáy

là hình vuông cạnh

, tâm

,

,

là trung điểm của

và

là trung điểm của đoạn

. Tính khoảng cách từ điểm

đến

. Gọi đường thẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do nên nếu dựng thì

Tức là mà

Do . Suy ra .

Câu 5: Cho hình chóp

có

là hình vuông cạnh

vuông góc với mặt phẳng

là trung điểm của cạnh

Tính theo

khoảng cách từ điểm

đến đường

và thẳng

Gọi :

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Chọn B

trong mặt phẳng nếu dựng tại thì (định lý 3

đường vuông góc). Tức là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng đoạn

Ta có: mà

Vậy

.

, mà vuông tại nên:

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 6: Cho hình chóp đều

có tất cả các cạnh bằng

. Gọi

Phan Nhật Linh lần lượt là trung điểm các cạnh

và

;

là điểm trên cạnh

sao cho

. Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt

phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

Gọi là tâm của hình vuông .

Suy ra .

Khi đó .

Do là đường trung bình của tam giác nên .

Tam giác và đều cạnh nên .

Do tam giác cân tại nên gọi là trung điểm thì .

Suy ra .

Vậy .

Câu 7: Cho hình chóp

có đáy

là hình vuông cạnh

. Biết

và

.

Gọi

là tâm hình vuông

. Tính khoảng cách từ điểm

đến

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có là hình vuông cạnh nên .

Do là tâm của hình vuông nên .

Trong tam giác vuông tại hạ .

Suy ra .

Vậy .

Câu 8: Cho hình chóp

có đáy

là tam giác vuông tại

,

,

. Gọi

là

trung điểm của

. Biết

. Tính khoảng cách

từ đỉnh

đến

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Vì vuông tại , là trung điểm của và suy ra đều.

. Suy ra, hình chóp đều.

Xét : .

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi là trọng tâm nên là chân đường cao kẻ từ xuống .

đều cạnh nên (với là trung điểm ).

Xét vuông tại : .

Câu 9: Cho hình chóp

có đáy

và vuông góc với đáy. Gọi

là hình chữ nhật với lần lượt là trung điểm của

và

. Cạnh bên . Tính khoảng cách

từ

đến mặt phẳng

.

B. A. C. D.

Lời giải

Chọn A

Thể tích khối chóp

Vì nên

Ta có là các đường trung tuyến trong tam giác vuông, là đường trung bình nên

tính được , ,

Từ đó tính được . Vậy .

Câu 10: Cho hình chóp đều

thể tích

,

(tham khảo hình bên). Tính khoảng

cách từ điểm

đến mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Chọn C

, là trung điểm . Trong , kẻ . Gọi

. Có

nên . Mà

Có

. Ta có:

Vì O là trung điểm AC nên .

Mà .

Câu 11: Cho hình chóp

có đáy

là hình vuông cạnh

,

, góc giữa đường

thẳng

và mặt phẳng

bằng

. Khoảng cách từ

đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có

nên

.

Chọn D

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Khi đó

.

Mà

.

Kẻ

Khi đó

.

Câu 12: Cho hình chóp

có đáy

là hình thoi cạnh

. Tam giác

là tam giác đều, hình

chiếu vuông góc của đỉnh

lên mặt phẳng

trùng với trọng tâm tam giác

. Góc giữa

đường thẳng

và mặt phẳng

bằng

. Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

theo

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D Gọi là tâm hình thoi và là trọng tâm của tam giác .

Do tam giác đều nên

Khi đó

Vì tam giác đều nên nên mà

Kẻ khi đó tại nên

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do nên

Câu 13: Cho hình chóp đều

có cạnh đáy bằng

, cạnh bên bằng

. Khoảng cách từ điểm

đến

mặt phẳng

bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D Gọi .

Vì là hình chóp đều nên và đáy là hình vuông.

Ta có:

Tam giác vuông tại có: .

Tam giác vuông tại có: .

Do đôi một vuông góc nên gọi thì

.

Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Câu 14: Cho khối hộp chữ nhật

có đáy là hình vuông,

, góc giữa hai mặt phẳng

bằng

. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

bằng

và

A. B. D. C.

Lời giải

Chọn D

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi là giao điểm của và .

. Ta có

. Khi đó

tại . Vẽ

. Ta có

Khi đó .

, .

Vậy .

có đáy là tam giác vuông tại , ,

Câu 15: Cho hình lăng trụ đứng . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

dựng .

là tam giác vuông tại nên Trong tam giác Do ,

. nên Lăng trụ đứng , do đó

Từ đó suy ra .

Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác

có đáy là tam giác đều cạnh

, cạnh bên

. Hình

chiếu vuông góc của

lên mặt phẳng

là trọng tâm

của tam giác

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

và

. Khoảng cách từ

đến mặt phẳng

là

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là trung điểm của . Dựng mà nên suy ra

.

.

Lại có .

Dựng mà nên .

Ta có .

Vậy .

Dựng và .

Ta có .

Có .

Tam giác có nên .

Tam giác vuông tại và .

Lại có .

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

= .

Câu 17: Cho hình chóp

có đáy hình vuông cạnh

. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB. Khoảng cách từ H đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Tam giác vuông cân tại , là trung điểm của nên .

Ta có .

Từ dựng tại , từ dựng tại . Ta có

.

Khi đó tại nên .

Ta có . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông . Ta có

.

Vậy .

Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều

có cạnh đáy bằng

và

. Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là trung điểm , là trọng tâm tam giác

Ta có

Trong kẻ mà do

.

Ta có

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có

Ta có

Câu 19: Cho hình chóp

có đáy

là hình

thang vuông

tại

và

;

, cạnh bên

và vuông góc vớI

. Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

bằng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có .

Mà

Suy ra,

Từ đó, .

Vậy

Câu 20: Cho hình lăng trụ đứng

có đáy là hình thoi cạnh

,

. Khoảng cách từ

điểm

đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

là tam giác đều.

Vì Gọi là hình thoi và là trung điểm của nên tam giác . . Khi đó

Ta có .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do đó .

Vì là tam giác đều nên .

Câu 21: Cho lăng trụ

có

là tam giác vuông cân tại

. Hình chiếu vuông góc của

lên

mặt đáy trùng với trung điểm của cạnh

. Biết cạnh

và tạo với mặt đáy của hình lăng

trụ một góc

. Khoảng cách từ đỉnh

đến mặt

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là trung điểm của cạnh . Vì nên là hình chiếu của lên mặt

. Khi đó góc giữa và mặt phẳng là góc giữa và , hay chính phẳng

.

nên hay tam giác vuông tại . là góc Vì

Khi đó .

Gọi Tam giác là trung điểm của cạnh vuông cân tại . nên .

.

Ta có .

Vì , nên .

Suy ra

Câu 22: Cho lăng trụ tam giác đều

có cạnh đáy bằng

. Góc giữa hai mặt phẳng

và

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

bằng

. Gọi

là trung điểm của cạnh

. Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt

phẳng

?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Chọn A

Gọi là trung điểm của .

Do là lăng trụ tam giác đều nên . Suy ra và

. Từ đó ta có: .

Gọi là hình chiếu của trên , do nên:

.

Xét tam giác vuông tại có: . Suy ra .

Mặt khác, là trung điểm của cạnh nên .

Câu 23: Cho tứ diện

có ba cạnh

,

,

đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ

điểm

đến các đường thẳng

,

lần lượt là

,

,

. Tính khoảng cách từ điểm

,

đến mặt phẳng

theo

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Kẻ , , .

, ,

Khi đó ta có Trong kẻ . ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Lại có:

; ;

Vậy

Câu 24: Cho hình chóp

có đáy

là hình vuông,

vuông góc với đáy, mặt bên

hợp với đáy một góc

,

là trung điểm của

. Biết thể tích của khối chóp

là

. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D 28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi là trung điểm của cạnh .

Gọi cạnh hình vuông có độ dài là .

Ta có: .

Kẻ .

Do vuông góc với nên góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc .

Xét :

.

Câu 25: Cho

hình

chóp

có

đáy

là

tam

giác

vuông

tại

,

góc giữa

và mặt phẳng

bằng

. Tính khoảng

cách từ điểm

đến mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là hình chiếu của lên

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

mà nên suy ra

Mặt khác mà nên suy ra

suy ra là hình bình hành mà nên là hình chữ nhật. Từ

và ,

là hình chiếu của lên Kẻ Gọi

Mà

Suy ra .

.

vuông tại . Ta có .

Vậy .

Câu 26: Cho hình chóp

có đáy

là hình thoi cạnh

,

,

và

,

là trọng tâm tam giác

. Khoảng cách từ

đến

là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi

lần lượt là trung điểm

.

Theo giả thiết ta có tam giác

đều. Suy ra

.

Kẻ

thì

.

Ta có

nên

Chọn C

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vậy

.

Câu 27: Cho hình chóp đều

có đáy

là hình vuông cạnh

, tâm

. Gọi

là trung điểm

, tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng

biết

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi

là trung điểm cạnh

suy ra

. Dựng đường thẳng qua

, song song với

cắt

tại

và

tại

, suy ra

.

Từ giả thiết suy ra

.

Từ

suy ra

(

là hình chiếu vuông góc của

lên

)

Hai tam giác

đồng dạng cho ta

là đường trung bình của

nên

.

.

Vậy

Chọn D

Câu 28: Cho hình chóp

có đáy

là hình vuông có chiều cao

và

. Gọi

,

lần lượt là trung điểm

và

. Khoảng cách giữa đường thẳng

và mặt phẳng

bằng:

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Chọn C

Vì

Vì

Vậy .

Câu 29: Cho hình chóp

, đáy

là hình thang cân có góc ở đáy bằng

.

,

mặt phẳng

tạo với đáy một góc

. Hình chiếu vuông góc của

lên đáy trùng với giao

điểm của

và

. Tính Khoảng cách từ

đến mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

và cắt nhau tại , lấy là trung điểm là hình chiếu vuông góc . Gọi

Xét tam giác

có

nên

là tam giác đều và

là trực tâm

Kéo dài của lên đáy, kẻ vuông góc với tại .

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Suy ra khoảng cách từ

đến

là

.

Ta có , ta lại có

Vậy khoảng cách từ

đến

bằng 3 lần khoảng cách từ

đến

.

Tam giác đồng dạng với tam giác và nên

Câu 30: Cho lăng trụ đều

có cạnh đáy bằng

, mặt phẳng

tạo với đáy một góc

,

là điểm tùy ý thuộc cạnh

. Khoảng các từ điểm

đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

là lăng trụ tam giác đều nên là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.

Vì Ta có nên .

Mà với là trung điểm nên .

Gọi lên , lên , ta chứng minh được

là hình chiếu của , suy ra là hình chiếu của .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Mà nên tam giác vuông cân tại , do đó

.

Mặt khác, là đường cao của tam giác nên .

Câu 31: Cho lăng trụ tứ giác đều

có cạnh đáy bằng

,

. Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Vì là lăng trụ tứ giác đều nên là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh ,

suy ra .

Mà .

Ta có (với là trung điểm của ).

Suy ra .

Gọi là hình chiếu của lên , ta chứng minh được .

Suy ra .

Tam giác vuông tại và có là đường cao nên

.

Câu 32: Cho hình lập phương

cạnh

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

.

Khoảng cách từ

đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Lời giải

Trong mặt phẳng

gọi

suy ra

.

Dễ thấy hai tam giác

và

đồng dạng

.

Từ

và

suy ra

.

Gọi

là trung điểm

.

Ngoài ra ta còn có

Trong mặt phẳng

gọi

là hình chiếu vuông góc của

trên

Hình chóp

có các cặp cạnh

đôi một vuông góc nên ta có:

Vậy

.

Chọn C

Câu 33: Cho hình chóp

có đáy

là tam giác đều, trọng tâm

,

,

. Gọi

lần lượt là trung điểm các cạnh

. Khoảng cách từ

đến

mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Trong mặt phẳng

đường thẳng qua

và vuông góc với

cắt

tại

.

Gọi

là trung điểm của

song song với

Ta chứng minh được

.

Trong mặt phẳng

gọi

là hình chiếu vuông góc của

trên

thì

. Do

mà

song song với

nên

Chọn C

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Xét tam giác

vuông tại

, đường cao

có:

.

Vậy

.

Câu 34: Cho hình lăng trụ đứng

có tất cả các cạnh bằng

. Gọi

là trọng tâm của tam giác

. Khoảng cách từ

đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi

lần lượt là trung điểm của

. Hai mặt phẳng

và

có:

Trong mp

, gọi

là hình chiếu vuông góc của

trên

suy ra

.

,

,

,

Vậy

.

Chọn C

36| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 35: Cho hình chóp

có đáy là hình vuông cạnh bằng

,

Phan Nhật Linh vuông góc với mặt phẳng

. Biết góc giữa

và mặt phẳng

bằng

. Tính khoảng cách

từ

đến

mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Vì

theo giao tuyến

, dựng

, mà

Ta có

nên

Theo đề góc giữa

và mặt phẳng

bằng

nên

.

Ta có:

Và

.

Chọn D

Câu 36: Cho hình chóp

có đáy

là hình thang vuông tại

và

,

. Gọi

là trung điểm của

, biết hai mặt phảng

và

cùng vuông góc

với đáy và mặt phẳng

tạo với đáy một góc

. Tính theo

khoảng cách từ trung điểm

cạnh

đến mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Kẻ

Gọi . Ta có

Ta có đồng dạng với nên suy ra

Gọi là trung điểm của .

Ta có

Từ kẻ suy ra

Câu 37: Cho hình chóp , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt đáy, . Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng (

là hai số nguyên dương nhỏ hơn 10), tính .

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn B

Gọi là trung điểm của suy ra .

. Ta có

suy ra . Kẻ

đều, suy ra . Vì

Đặt .

Ta lại có .

Mà tam giác vuông tại nên .

38| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Suy ra

Từ đó ta có .

. Suy ra

Câu 38: Cho hình chóp

và đỉnh

cách đều các điểm

. Biết

có đáy là tam giác đều cạnh

, tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là trung điểm của và là trọng tâm và .

Ta có: .

Trong , kẻ .

Lại có: , , .

vuông tại có: .

vuông tại có: .

Ta có: .

Câu 39: Cho lăng trụ đứng

có đáy

là tam giác vuông cân tại

,. Góc giữa cạnh

và

mặt đáy là

. Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 39

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Chọn A

và mặt đáy là bằng . Suy ra

Góc giữa cạnh Kẻ ta chứng minh được là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

vuông góc với .

Tam giác vuông tại nên .

Câu 40: Cho hình chóp

có đáy là hình thang vuông tại

và

;

;

vuông góc với mặt phẳng

góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

bằng

Gọi

là trung điểm của cạnh

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

Gọi là trung điểm của , khi đó song song với .

Do đó .

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và .

. Do và nên hay Khi đó

.

Ta có

Câu 41: Cho hình chóp

có đáy

thỏa mãn

;

vuông góc

40| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

với mặt phẳng

và

. Gọi

là trung điểm của

Phan Nhật Linh , tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng

và

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có

; vuông tại A

Ta có . Trong mp , kẻ , vậy là đoạn vuông

góc chung của và . Do vuông cân đỉnh nên

Câu 42: Cho hình chóp

có đáy

là hình vuông cạnh bằng

,

,

.

Gọi

là trung điểm

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

nên . Ta có

Khi đó .

Ta có .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 41

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Trong mặt phẳng vẽ tại .

Khi đó .

Ta có .

Vậy .

Câu 43: Cho hình chóp

đáy

là hình vuông tâm

, cạnh bằng

. Cạnh bên

.

Hình chiếu vuông góc của đỉnh

trên mặt phẳng

là trung điểm

của đoạn

. Tính

khoảng cách

giữa các đường thẳng

và

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là hình chiếu của trên . Gọi là hình chiếu của trên

.

Ta có .

Ta có .

Ta có .

Xét có .

Xét có .

Ta có .

Câu 44: Cho chóp

có đáy

và nằm

là tam giác đều cạnh trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách

, tam giác giữa

và

vuông cân tại .

42| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

( là trung điểm của ) thì . Do

Kẻ , ta có .

Kẻ , mà , kẻ suy ra

hay .

Ta có tam giác vuông cân tại nên , . Do đó

suy ra .

Câu 45: Cho hình lăng trụ tam giác

có đáy là tam giác đều cạnh bằng

trên mặt phẳng

là trọng tâm

của tam giác

và diện tích tam giác

. Hình chiếu của điểm bằng

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Chọn mặt phẳng chứa và song song với .

Khi đó .

Gọi là trung điểm của . Vì tam giác đều nên .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 43

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vì .

.

Vì diện tích tam giác bằng nên .

Suy ra .

Trong mặt phẳng kẻ .

Khi đó suy ra .

Xét tam giác vuông tại có

.

. Ta lại có

Vậy .

Câu 46: Cho hình chóp

có đáy

là hình vuông tâm

, cạnh

. Cạnh bên

vuông góc

với đáy, góc

. Tính theo

khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Gọi lần lượt là trung điểm của . Dựng

Khi đó

Do tam giác có và nên là tam giác đều

, do đó . Suy ra

. Ta có

44| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 47: Cho hình lăng trụ

có tam giác

vuông tại

. Hình

chiếu vuông góc của điểm

trên mặt phẳng

trùng với trung điểm

của đoạn

(tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

. Kẻ

mà nên . Do

. Vì

. Vì

Xét tam giác có đường cao nên

; .

Xét tam giác có đường trung tuyến nên .

Xét tam giác vuông tại (do ) nên

.

Xét tam giác vuông tại (do ) có đường

cao

nên .

Câu 48: Cho hình chóp tứ giác

có đáy

là hình vuông cạnh

cân tại

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

. Gọi

. Tam giác là trung điểm của

, tính

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 45

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

theo

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi là trung điểm của cạnh , do tam giác cân tại nên .

Ta có .

Trong mặt phẳng , xét tam giác vuông tại có:

.

Do lần lượt là trung điểm của cạnh nên .

. Ta có

.

Trong mặt phẳng , từ kẻ , mặt khác có nên

, do đó . Vậy .

nên . Ta có

. Vậy

Câu 49: Cho hình chóp đều

có

là giao điểm của

và

. Gọi

lần lượt là trung

điểm của

. Biết

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

46| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi lần lượt là trung điểm của .

là trung điểm của .

Có Có .

là hình bình hành nên . Có

Trong kẻ vuông góc với tại , dễ có vuông .

Có ,

Vậy .

Câu 50: Cho hình lăng trụ đứng

,

,

là trung điểm của

. Tính khoảng cách

có đáy là tam giác vuông và của hai đường thẳng

và

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tam giác

vuông và

nên

chỉ có thể vuông tại

.

Ta có

.

Chọn D

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 47

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Kẻ

.

Vì tứ diện

là tứ diện vuông nên

Câu 51: Cho hình lăng trụ tam giác

có cạnh bên bằng

, đáy

là tam giác vuông tại

. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh

lên mặt đáy là điểm

thoả mãn

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

, vì tam giác

là tam giác vuông tại B nên

là hình chữ

Dựng hình bình hành nhật. Suy ra

.

Do đó

.

nên

.

Mà

.

Kẻ

.

Kẻ

Mặt khác ta có

.

.

Và

Suy ra

.

Chọn A

48| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vậy

.

Câu 52: Cho hình chóp

có đáy là tam giác đều cạnh

là điểm

thuộc cạnh

sao cho

. Hình chiếu vuông góc của . Góc giữa đường thẳng

trên mặt phẳng và mặt phẳng

bằng

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

theo

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là trung điểm . Trong mặt phẳng dựng đường thẳng qua và song song

với .

dựng đường thẳng song song với cắt tại và cắt tại K. Khi đó tứ

là hình chữ nhật.

Qua giác Ta có:

Mặt khác .

Ta có

Trong mặt phẳng kẻ tại . Từ đó suy ra:

.

Vậy .

Câu 53: Cho hình chóp

vuông góc với mặt phẳng đáy và

có đáy là hình vuông.

và

bằng

. Gọi

là trung điểm của

. . Tính

Khoảng cách giữa hai đường thẳng khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 49

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

.

Ta có

.

Mà

là

hình

vuông

nên:

Do

.

Dựng hình lập phương

như hình vẽ.

Ta có:

.

mà

Gọi Trong mặt phẳng

kẻ

tại

. Suy ra

.

Ta có

Vậy

50| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

5

DẠNG

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Bất phương trình logarit cơ bản Bất phương trình logarit cơ bản có dạng:

(hoặc ) với

Xét bất phương trình

▪ Trường hợp , ta có:

▪ Trường hợp , ta có:

Ta minh họa bằng đồ thị như sau.

Với , ta có đồ thị sau. Với , ta có đồ thị sau.

• Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:

▪ Trường hợp : khi và chỉ khi

▪ Trường hợp : khi và chỉ khi .

Các phương pháp giải bất phương trình logarit :

• Phương pháp đưa về cùng cơ số :

• Phương pháp logarit hóa :

• Phương pháp hàm số.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 39 – Đề tham khảo 2023. Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. 193. B. 92. C. 186. D. 184.

 Lời giải Chọn D

Tập xác định:

Ta có:

Kết hợp điều kiện ta có . Vậy có 184 số nguyên thỏa mãn.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. 116. B. 58. C. 117. D. 100.

? Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

? Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn

A. . B. . C. . D. Vô số.

? Câu 4: Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn

D. 217. A. 432. B. 434 C. 216.

Câu 5: Cho hàm số . Cho biết bất phương trình ẩn m sau đây

có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 14. B. 10. C. 11. D. 7.

Câu 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình là

A. 1. B. 0. C. 4. D. Vô số.

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

A. . B. . C. .

Phan Nhật Linh .

D.

Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn

A. . B. . C. Vô số. D. .

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn bất phương trình sau?

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Bất phương trình có tổng tất cả các nghiệm nguyên là?

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên nhỏ hơn 2022 thoả mãn .

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: Số nghiệm nguyên của bất phương trình là

A. 144. B. 145. C. 146. D. 147.

Câu 17: Tìm tất cả giá trị của tham số để bất phương trình có tập

nghiệm là .

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Bất phương trình có tập nghiệm không là tập con của

tập nào trong các tập hợp sau đây? A. B. . . C. . D. .

Câu 19: Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho ứng với mỗi có không quá số nguyên thỏa

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn bất phương trình ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. 64. B. 9. C. 65. D. 8.

Câu 24: Cho bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương trình sau

có nghiệm

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Số nghiệm nguyên của bất phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương , trong đó thỏa mãn

?

B. . C. . D. . .

A.

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

B. 58. C. 117. D. 100. A. 116.

Lời giải

Chọn D TXĐ:

Ta có:

Kết hợp điều kiện ta có . Vậy có 184 số nguyên x thỏa mãn.

Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D Tập xác định:

Ta có:

Kết hợp điều kiện ta có . Vậy có 498 số nguyên x thỏa mãn.

Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. . B. . D. Vô số. .

C. Lời giải

Chọn B Điều kiện: .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Đặt ; .

.

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, .

Vậy có 26 số nguyên thỏa yêu cầu.

Câu 4: Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn ?

A. 432. B. 434 C. 216. D. 217.

Lời giải

Chọn D Tập xác định:

Ta có:

. Kết hợp điều kiện ta có

Vì nguyên dương nên có 217 số nguyên x thỏa mãn.

Câu 5: Cho hàm số . Cho biết bất phương trình ẩn m sau đây

có bao nhiêu nghiệm nguyên?

B. 10. C. 11. D. 7. A. 14.

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: Ta có:

nên hàm số nghịch

.

biến trên Do đó:

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vậy có 7 nghiệm nguyên.

Câu 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình là

A. 1. B. 0. D. Vô số. C. 4.

Lời giải

Chọn B Điều kiện:

.

Ta có:

Kết hợp với điều kiện ta có:

Vì nên bất phương trình không có nghiệm nguyên.

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Từ giả thiết .

Đặt .

. Ta được bất phương trình:

. . Đặt

, .

Vậy là hàm số nghịch biến trên . Và ta lại có .

Từ .

Suy ra . Suy ra có 4095 giá trị nguyên.

Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn

A. . B. . C. Vô số. D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

Vì có số nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn A Tập xác định:

Ta có:

. Kết hợp điều kiện ta có

Vậy có 78 số nguyên x thỏa mãn.

Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn bất phương trình sau?

.

D. . A. . B. . .

C. Lời giải

Chọn D

. Trường hợp 1:

Thử lại với bất phương trình đề bài ta nhận .

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Trường hợp 2: .

Ta có :

.

So với điều kiện của trường hợp 2 ta nhận .

Mà .

Kết hợp với trường hợp 1 ta nhận .

Vậy có tất cả 7 số nguyên là nghiệm của bất phương trình.

Câu 11: Bất phương trình có tổng tất cả các nghiệm nguyên là?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn C

Ta có:

.

Vì . Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên bằng .

Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Tập xác định:

Ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Kết hợp điều kiện ta có .

Vậy có 230 số nguyên x thỏa mãn.

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên nhỏ hơn 2022 thoả mãn .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Điều kiện:

Ta có

(không thỏa mãn) Phương trình

. Phương trình

Kết hợp với điều kiện, ta có các giá trị nguyên thoả mãn trong trường hợp này là

.

Vậy có 2020 số nguyên thoả mãn đề bài.

Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn A

Điều kiện: .

Ta có:

Kết hợp điều kiện ta được:

Từ đó suy ra có 68 số nguyên thỏa mãn.

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 15: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

. Điều kiện:

Trường hợp 1: Xét thỏa mãn đề bài.

Trường hợp 2: Xét , ta có . Khi đó

nên có

giá trị

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết hợp với điều kiện ta có trường hợp này các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài

toán là . Vậy

Câu 16: Số nghiệm nguyên của bất phương trình là

B. 145. C. 146. D. 147. A. 144.

Lời giải

Chọn B Ta có:

Vì nên ta được số nghiệm nguyên của bất phương trình là 145.

Câu 17: Tìm tất cả giá trị của tham số để bất phương trình có tập

nghiệm là .

. D. . A. . B. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có:

Để bất phuương trình có tập nghiệm là thì hệ có tập

nghiệm .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 18: Bất phương trình có tập nghiệm không là tập con của

tập nào trong các tập hợp sau đây? A. B. . . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định: .

Trường hợp 1:

(Vô nghiệm)

Trường hợp 2:

Kết hợp với điều kiện ta được .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . Ta thấy không là tập con của tập hợp

.

Câu 19: Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho ứng với mỗi có không quá số nguyên thỏa

mãn

. . D. . B. A. .

C. Lời giải

Chọn D Điều kiện xác định:

Trường hợp 1:

Yêu cầu bài toán

Trường hợp 2:

Yêu cầu bài toán

Từ, và yêu cầu nguyên dương ta có: có số thỏa mãn.

Câu 20: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn

?

A.

. B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Điều kiện:

Với điều kiện trên, bất phương trình:

So với điều kiện ta có:

Các số nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán gồm:

Vậy có 96 số nguyên thoả yêu cầu bài toán.

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Điều kiện xác định Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

(1), đặt

trở thành

Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là .

Câu 22: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn bất phương trình ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vậy có bốn giá trị nguyên của thoả mãn.

Câu 23: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?

A. 64. B. 9. C. 65. D. 8.

Lời giải

Chọn C

Suy ra có 65 số nguyên

Câu 24: Cho bao nhiêu dương m để bất phương trình sau thỏa mãn. số nguyên

có nghiệm

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có

Xét hàm có nên đồng biến trên

Do đó:

Bất phương trình vô nghiệm

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có:

Vậy bất phương trình có nghiệm khi

Câu 25: Số nghiệm nguyên của bất phương trình là

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

Điều kiện: .

Ta có là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Với , bất phương trình

Đặt , khi đó có dạng .

Xét hàm số có nên hàm số đồng

biến trên khoảng , do đó bpt .

Khi đó .

Kết hợp với điều kiện ta có: . Vì nên .

Câu 26: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

ĐKXĐ:

Ta có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Đặt

Suy ra đồng biến trên

Suy ra

Vậy có số nguyên thoả mãn.

Câu 27: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương , trong đó thỏa mãn

?

D. . B. . . A. .

C. Lời giải

Chọn C

Đặt , ta có

Xét hàm

Khi

Giả sử

Giả sử

Vậy,

Trên đoạn

Vậy, có giá trị của , và có giá trị của nên có cặp thỏa mãn.

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

6

DẠNG

TÍNH TÍCH PHÂN

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Công thức tính tích phân

.

Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay Tích phân đó chỉ

phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số liên tục trên và là ba số bất kỳ thuộc . Khi đó ta có:

2. . 1.

4. . 3.

. 6. Nếu thì: 5.

7. Nếu .

8. Nếu mà thì .

Phương pháp tính tích phân 1. Phương pháp đổi biến

Phương pháp đổi biến số dạng 1: Định lý:

▪ Hàm có đạo hàm liên tục trên

▪ Hàm hợp được xác định trên ,

▪

Khi đó: .

▪ Bước 2: Tính vi phân hai vế :

Đổi cận:

▪ Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến

Phương pháp chung ▪ Bước 1: Đặt

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Vậy:

đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho Phương pháp đổi biến dạng 2 Định lý: Nếu hàm số

thì: .

Phương pháp chung

▪ Bước 1: Đặt

▪ Bước 2: Đổi cận:

▪ Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo

Vậy:

2. Phương pháp tích phân từng phần

Định lý ▪ Nếu và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì:

Hay

Phương pháp chung

▪ Bước 1: Viết dưới dạng bằng cách chọn một phần thích hợp của

làm và phần còn lại

▪ Bước 2: Tính và

▪ Bước 3: Tính và

Cách đặt và trong phương pháp tích phân từng phần.

Đặt theo thứ tự ưu tiên: “nhất Loga, nhì Đa, tam Lượng, tứ Mũ”

Chú ý: Nên chọn là phần của mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần của

là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 40 – Đề tham khảo 2023. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm

của trên thỏa mãn và . Khi đó bằng

A. 3. B. . C. 6. D. .

 Lời giải Chọn D

Ta có:

Vậy:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Câu 1: Cho hàm số . Gọi trên thỏa liên tục trên là hai nguyên hàm của

mãn . Khi đó tích phân bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm là và . Biết là một

nguyên hàm của hàm thỏa mãn , khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm của trên thỏa

mãn và . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn , và . Giá

trị của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm của trên thỏa

mãn , và . Tính .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Biết là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tính giá trị của

biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm của trên thỏa

và . Khi đó bằng mãn

B. . C. 6. D. . A. 3.

Câu 8: Cho là một nguyên hàm của hàm số với . Biết

và . Tính giá trị của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Cho hàm số liên tục trên . Gọi , là hai nguyên hàm của trên thỏa

và . Khi đó bằng mãn

B. . C. . D. . A. .

Câu 10: Cho hàm số xác định thoả mãn và

.Tính giá trị biểu thức bằng.

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Cho hàm số xác định thoả mãn

.Tính giá trị biểu thức

B. . C. . D. . bằng. . A.

Câu 12: Cho hàm số liên tục trên . Gọi , là hai nguyên hàm của trên thỏa

và . Khi đó bằng mãn

B. . C. . D. . A. .

Câu 13: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là ba nguyên hàm của trên

thỏa mãn và . Khi đó bằng

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. 3. B. . C. 6. D. .

Câu 14: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là ba nguyên hàm của trên

thỏa mãn và . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: Gọi là một nguyên hàm của hàm số thỏa . Tính giá trị của biểu

. thức

. C. . D. B.

A. Câu 16: Cho hàm số liên tục trên là hai nguyên hàm của thỏa . trên . . Gọi

và . Khi đó bằng mãn

B. . C. . D. . A. .

Câu 17: Cho hàm số . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D. 8.

Câu 18: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thoả mãn .

Tính tích phân .

. A. . B. C. . D. .

Câu 19: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm của hàm số trên

thỏa mãn và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Cho hàm số liên tục trên . Gọi , là hai nguyên hàm của trên thỏa

mãn và . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 21: Cho hàm số liên tục trên và . Tính tích phân

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Cho hàm số liên tục trên và có . Tính ,

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Tính tích các giá trị của số thực để tích phân .

A. B. C. D.

Câu 24: Cho hàm số , Giá trị của liên tục trên và có

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Cho hàm số liên tục trên , đồ thị hàm số đi qua điểm và nhận điểm

làm tâm đối xứng. Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa:

. Tìm giá trị thực dương của để

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên . Biết và

với mọi . Tính tích phân

A. . B. . C. . D. .

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 28: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với

. Khi đó bằng

A. B. C. D.

Câu 29: Cho hàm số có đạo hàm không âm trên thỏa mãn với mọi

. Nếu thì giá trị thuộc khoảng nào và

sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 30: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và

Giá trị bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 31: Cho là hàm đa thức có các hệ số nguyên. Biết

. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm trên đồng thời thoả mãn đẳng thức sau

Giá trị của

B. C. D. bằng A.

Câu 33: Cho hàm số với , là các số thực. Đặt ,

, biết , tính tích phân .

B. . C. . D. . .

A.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho hàm số . Gọi trên thỏa liên tục trên là hai nguyên hàm của

. Khi đó tích phân bằng: mãn

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

.

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm là và . Biết là một

nguyên hàm của hàm thỏa mãn , khi đó bằng

. A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn C

. Ta có

. Mà nên suy ra:

. Ta có:

. nên suy ra: Mà

. Vậy

Câu 3: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm của trên thỏa

mãn và . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Vì là hai nguyên hàm của trên nên tồn tại hằng số

Phan Nhật Linh thỏa mãn điều kiện

.

. Suy ra

Theo giả thiết ta có:

.

Xét

Đặt

Đổi cận:

Khi đó .

Câu 4: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn , và . Giá

trị của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Có

Do

Do

Như vậy,

. Vậy

Câu 5: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm của trên thỏa

mãn , và . Tính .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Chọn B Ta có:

.

Do đó .

Vậy .

Câu 6: Biết là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tính giá trị của

biểu thức .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Đặt .

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

.

Theo giả thiết .

Suy ra: .

Câu 7: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm của trên thỏa

mãn và . Khi đó bằng

A. 3. B. . C. 6. D. .

Lời giải

Chọn D Ta có:

Vậy:

Câu 8: Cho là một nguyên hàm của hàm số với . Biết

và . Tính giá trị của biểu thức .

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

A. . B. . . D.

Phan Nhật Linh .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có: .

Khi đó:

.

Ta có:

.

Vậy: .

Câu 9: Cho hàm số liên tục trên . Gọi , là hai nguyên hàm của trên thỏa

mãn và . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có: .

. Khi đó

Vậy: .

Câu 10: Cho hàm số xác định thoả mãn và

.Tính giá trị biểu thức bằng.

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Chọn C

Do

Do

Như vậy

Vậy ta có

Câu 11: Cho hàm số xác định thoả mãn

.Tính giá trị biểu thức

bằng. . A. B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Ta có

Mà

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Yêu cầu bài toán

Câu 12: Cho hàm số liên tục trên . Gọi , là hai nguyên hàm của trên thỏa

mãn và . Khi đó bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có: .

.

Xét tích phân: .

Đặt .

Đổi cận: , .

Khi đó: .

Câu 13: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là ba nguyên hàm của trên

thỏa mãn và . Khi đó bằng

A. 3. B. . C. 6. D. .

Lời giải

Chọn B Ta có: ,

Vậy:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 14: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là ba nguyên hàm của trên

thỏa mãn và . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D Ta có:

Lại có: .

Vậy: .

Câu 15: Gọi là một nguyên hàm của hàm số thỏa . Tính giá trị của biểu

. thức

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

. Ta có:

. Theo giả thiết:

. Suy ra:

Câu 16: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm của trên thỏa

và . Khi đó bằng mãn

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

Chọn A

Ta có:

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Lại có:

Vậy: .

Câu 17: Cho hàm số . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D. 8.

Lời giải

Chọn B Ta có

Nên hàm số đã cho liên tục tại

Xét

Đặt

Với

Câu 18: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thoả mãn .

. Tính tích phân

. A. . B. C. . D. .

Lời giải

Chọn B Đặt . Đổi cận: và .

Vậy .

Đặt ,

khi đó .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 19: Cho hàm số

liên tục trên . Gọi là hai nguyên hàm của hàm số

Về đích đặc biệt 9+ trên

thỏa mãn và . Tính .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A Ta có:

.

Do đó .

Lại có

.

. Mà

. Vậy

Câu 20: Cho hàm số liên tục trên . Gọi , là hai nguyên hàm của trên thỏa

và . Khi đó bằng mãn

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

Chọn A

. Ta có:

. Khi đó

Xét tích phân: .

Đặt . Đổi cận: , .

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Suy ra: .

Câu 21: Cho hàm số liên tục trên và . Tính tích phân

.

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Ta có:

Tính . Đặt . Đổi cận: .

. Tính . Đặt . Đổi cận:

Vậy .

Câu 22: Cho hàm số liên tục trên và có , . Tính

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn C

.

.

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do đó, .

Câu 23: Tính tích các giá trị của số thực để tích phân .

A. B. D.

C. Lời giải

Chọn A Trường hợp 1.

Trường hợp 2.

Trường hợp 3.

(loại)

Tích các giá trị của là .

Câu 24: Cho hàm số , Giá trị của liên tục trên và có

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

+) Tính : Đặt .

Đổi cận: . Khi đó .

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

+) Tính : Đặt .

Đổi cận: . Khi đó .

. Vậy

Câu 25: Cho hàm số liên tục trên , đồ thị hàm số đi qua điểm và nhận điểm

làm tâm đối xứng. Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

. Chọn B Cách 1. Đặt

Đồ thị hàm số là tâm đối xứng nên . có

Như vậy .

Ta có

.

Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa:

. Tìm giá trị thực dương của để

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đặt . Khi đó . Suy ra .

Vậy . Đặt .

Do đó .

Vậy .

Ta có .

Câu 27: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên . Biết và

với mọi . Tính tích phân

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Vì hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên và

nên thay , ta có: mà .

Đặt:

Suy ra:

.

Đặt Khi và .

Khi đó, .

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên

Từ và , ta cộng vế theo vế, ta được: .

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Hay

Câu 28: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với

. Khi đó bằng

A. B. D.

C. Lời giải

Chọn C

Ta có:

với .

Giả sử

Theo giả thiết ta có:

Ta có:

Câu 29: Cho hàm số có đạo hàm không âm trên thỏa mãn với mọi

. Nếu thì giá trị thuộc khoảng nào và

sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

+ Nếu đặt VT =

+ Nếu đặt VP =

.

Câu 30: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và

Giá trị bằng

A. . B. . D. . . C.

Lời giải

Chọn D Xét Ta có

.

Thay

.

Câu 31: Cho là hàm đa thức có các hệ số nguyên. Biết

. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Theo bài ra ta có

ta được Thay vào

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Giả thiết suy ra và .

Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm trên đồng thời thoả mãn đẳng thức sau

Giá trị của

B. bằng A. D.

C. Lời giải

Chọn C

Ta có:

Ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Từ ta có được .

Thay vào ta có được .

Câu 33: Cho hàm số với , , là các số thực. Đặt

, biết , tính tích phân .

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có: .

Do

.

Từ và suy ra

.

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

7

DẠNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

1. CỰC TRỊ HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa Giả sử hàm số xác định trên tập K và . Ta nói:

• là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho và

. Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số .

• là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho và

. Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số .

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. • Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị. • Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là

một điểm trong tập hợp K.

• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

• Nếu là điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm

số .

Nhận xét: • Giá trị cực đại (cực tiểu) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

trên tập D; chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên một khoảng nào đó

chứa hay nói cách khác khi điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa sao cho

là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng

• Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập . Hàm số có thể không có

cực trị trên một tập cho trước.

1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1:

Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu có đạo hàm tại điểm

thì

có thể bằng tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm . Chú ý: • Đạo hàm

• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. • Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng hoặc tại đó hàm

số không có đạo hàm. 1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2:

Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

• Nếu trên khoảng trên khoảng

Về đích đặc biệt 9+ là một điểm thì

và

cực đại của hàm số

• Nếu trên khoảng trên khoảng thì là một điểm và

cực tiểu của hàm số

1.4. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:

▪ Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

▪ Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số

liên tục nhưng không có đạo hàm.

▪ Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu . Nếu đổi dấu khi đi qua

thì hàm số đạt cực trị tại .

Định lí 3: Giả sử có đạo hàm cấp 2 trong khoảng với Khi đó:

• Nếu thì hàm số đạt cực đại tại

• Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

▪ Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

▪ Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình

▪ Bước 3: Tính và tính

✓ Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm

✓ Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

2.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát:

Cho hàm số Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại thỏa

cho trước?

mãn điều kiện Phương pháp:

• Bước 1:

▪ Tập xác định:

▪ Đạo hàm:

• Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó

phương trình có hai nghiệm phân biệt

• Bước 3: Gọi là hai nghiệm của phương trình

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Khi đó:

• Bước 4: Biến đổi điều kiện về dạng tổng và tích . Từ đó giải ra tìm được

• Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn:

Chú ý: Hàm số bậc ba:

Ta có:

Điều kiện Kết luận

Hàm số không có cực trị.

Hàm số có hai điểm cực trị.

➢ Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.

▪ Hàm số có 2 cực trị trái dấu

có hai nghiệm phân biệt trái dấu phương trình

▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu

phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

➢ Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thỏa mãn:

▪ Hai cực trị thỏa mãn

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

▪ Hai cực trị thỏa mãn

▪ Hai cực trị thỏa mãn

▪ Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

▪ khi có 1 nghiệm là , có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là .

2.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

• Hàm số có một cực trị • Hàm số có ba cực trị

. • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu

. • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại

• Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại .

• Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại .

2.3. Cực trị hàm hợp . Đạo hàm của hàm hợp:

• Tính chất đổi dấu của biểu thức: Gọi là một nghiệm của phương trình , khi đó:

▪ Nếu là nghiệm bội bậc chẵn thì hàm số không đổi dấu

khi đi qua .

▪ Nếu là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ thì hàm số đổi

dấu khi đi qua .

Bài toán: Cho hàm số (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của

).Tìm số điểm cực trị của hàm số trong đó là một hàm số đối với

Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số

▪ Bước 1. Tính đạo hàm

▪ Bước 2. Giải phương trình

▪ Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà không xác định.

• Bài toán tìm cực trị của hàm số

▪ Bước 1. Tìm cực trị của hàm số

▪ Bước 2. Sử dụng phương pháp biến đổi đồ thị hàm số trị tuyệt đối để tìm số cực trị của hàm

số

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

2.3. Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối: Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị

▪ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .

▪ Bước 2: Giải phương trình

▪ Bước 3: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hàm số và trục

hoành . Còn số nghiệm của phương trình là số điểm cực trị của hàm số ,

dựa vào đồ thị ta có thể suy ra . Vậy tổng số nghiệm bội lẻ của phương trình và

chính là số điểm cực trị cần tìm.

▪ Lưu ý: Ta có thể sử dụng công thức đếm nhanh số điểm cực trị của hàm để tối ưu thời

gian trong khi giải toán trắc nghiệm như sau:

▪ Số điểm cực trị của Số điểm cực trị của + Số nghiệm đơn (bội lẻ) của

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

để hàm số

Câu 41 – Đề tham khảo 2023. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số có ba điểm cực trị? C. B. A. . . . D. .

 Lời giải Chọn C

Ta có: .

.

Hàm số có ba điểm cực trị khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba

điểm phân biệt.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có ba điểm cực trị khi .

Vậy có giá trị nguyên của tham số thỏa mãn.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

để hàm số

có 3 điểm cực

trị.

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

trị

nguyên nhỏ hơn

thỏa mãn đồ

thị hàm

số

A. . B. . C. . D. .

có đúng một điểm cực đại?

Câu 2: Có bao nhiêu giá

. Số giá trị nguyên của tham số

để hàm

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Xét hàm số

số có cực tiểu mà không có cực đại là A.

B. Vô số.

.

C.

.

D.

.

là

Câu 4: Số điểm cực trị của hàm số

số

có đạo hàm cấp 3,

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

A. . B. . D. . C. .

với mọi

. Số điểm cực

trị của hàm

số

là

Câu 5: Cho hàm

là các điểm cực trị của hàm số

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

là

Câu 6: Gọi

có đạo hàm trên

và có bảng biến thiên như sau:

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: Cho hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng ? Hàm số

để hàm số

đạt cực đại tại

.

B. . C. . D. . A. Vô số.

Câu 8: Tìm

B. Không tồn tại . A. .

đạt cực tiểu tại

D. . C. .

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số

C. . D. . A. B.

để hàm số .

.

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để

.

Câu 10: Cho hàm số

hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm A.

. Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương

B. . . C. . D. .

để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

. Tổng các phần tử của

bằng

Câu 11: Cho hàm số

của tham số A. 6.

. Gọi

là tập hợp các giá trị

nguyên dương

B. 10. C. 3. D. 9.

bằng

Câu 12: Cho hàm số

không vượt quá 10 để hàm số đã cho đạt cực đại tại A. 42.

B. 52. C. 40.

. Tổng các phần tử của D. 50.

để hàm số

đạt cực

?

Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

tiểu tại A.

có đồ thị là đường cong như hình bên. Số điểm

. B. . C. vô số. D. .

cực trị của hàm số

bằng?

Câu 14: Cho hàm số

thỏa mãn

và có đồ thị

là đường cong trong

A. . B. . C. . D. .

hình bên. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Câu 15: Cho hàm số

A. 4. B. 7. C. 3. D. 5.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

thỏa mãn

, hàm số

có đồ thị như hình vẽ.

Câu 16: Cho hàm số đa thức bậc bốn

Số điểm cực trị của hàm số là

là đa thức bậc ba, biết hàm số

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

A. . B. . D. . C. .

Câu 17: Cho

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc để hàm số

có đồ thị của hàm số

và

như hình vẽ bên

có năm điểm cực trị? A. B. C. D.

dưới. Gọi

là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

có hoành độ lần lượt là

.

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

là

và diện tích

của tam giác

là

. Tính

, với

và

.

Câu 18: Cho hàm số

A. . B. . C. D. . .

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh là tham số. Có bao nhiêu giá trị

, với

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 19: Cho hàm số

nguyên của

thuộc đoạn

để hàm số

có số điểm cực trị

nhiều nhất? A. 2021.

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

B. 2022. C. 4040. D. 2023

để hàm số

có 3 điểm cực trị.

Câu 20: Cho hàm số

có đạo hàm

với mọi

. Hàm số

A. . B. . C. . D. .

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 21: Cho hàm số

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số

liên tục trên

và có bảng xét dấu

như sau

A. . B. . C. . D. .

Số điểm cực trị của hàm số

là

Câu 23:

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

.

Câu 24: Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số

có đạo hàm

,

. Có

A. . B. . C. . D. .

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số

có 5 điểm cực trị?

Câu 25: Cho hàm số

, đồ thị

thỏa mãn

là đường cong trong hình bên.

A. . B. . D. . C. .

Hàm số

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Câu 26: Cho hàm số

A. 5. B. 2. C. 3. D. 4.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

để hàm số

có 5 điểm cực trị?

Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

có

và đạo hàm liên tục trên

và có bảng xét dấu như hình sau

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Cho hàm số

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 7.

Hàm số

có đồ thị như hình vẽ sau:

Câu 29: Cho hàm đa thức

Có bao nhiêu giá trị của để để hàm số có

điểm cực trị?

để hàm số

có ít nhất điểm cực trị?

đúng . A. B. . C. . D. .

Câu 30: Có bao nhiêu số nguyên

liên tục trên

và có bảng xét dấu đạo hàm

như hình bên.

A. B. C. D.

Câu 31: Cho hàm số

Số điểm cực trị của hàm số là

có đồ thị như hình vẽ sau:

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Cho hàm số bậc ba

Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số để hàm số có 3

là

điểm cực trị. Số phần tử của B. A. . C. . D. . . 10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 33: Cho hàm số

Số giá trị nguyên của tham số

để hàm số

có

điểm cực trị.

có đồ thị hàm số như hình vẽ.

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để số điểm cực trị của

A. . B. . C. . D. .

đồ thị hàm số

bằng 5.

Câu 34: Cho hàm số

xác định trên

và có bảng biến thiên như sau

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Cho hàm số

Số điểm cực tiểu của hàm số là

có đạo hàm

,

. Gọi

là tập hợp tất cả

A. 5. B. 2. C. 3. D. 4.

các giá trị nguyên dương của tham số

để hàm số

có 5 điểm cực trị. Tính tổng

.

Câu 36: Cho hàm số

tất cả các phần tử của A. 154.

có đạo hàm liên tục trên

, hàm số

có đồ thị như hình

B. 17. C. 213. D. 153.

vẽ. Gọi

là tập các giá trị nguyên của tham số

để hàm số

có đúng 3

điểm cực tiểu. Tổng các phần tử của

bằng

Câu 37: Cho hàm số bậc bốn

A. 18. B. 11. C. 2. D. 13.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

có đạo hàm

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

Về đích đặc biệt 9+ để hàm

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 38: Cho hàm số

số

có đúng

điểm cực trị.

. Hàm số

có đồ thị như hình vẽ sau

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Cho hàm đa thức

Có bao nhiêu giá trị của để hàm số có

đúng điểm cực trị?

liên tục trên

và có biểu thức đạo hàm

. Hỏi có tất

A. . B. . C. . D. .

cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

để hàm số

có

điểm cực trị?

Câu 40: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

, đồ thị hàm số

có đúng

điểm chung

A. . B. . C. . D. .

với trục hoành như hình vẽ bên dưới:

Câu 41: Cho hàm số

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

điểm cực trị?

B. 3. C. 4. D. 1.

có đúng A. 0.

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

có 3 điểm cực

trị.

. B. . C. . D. . A.

Lời giải

Chọn D

Ta có .

.

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0.

.

Vậy thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 2: Có bao nhiêu giá

trị

nguyên nhỏ hơn

thỏa mãn đồ

thị hàm

số

có đúng một điểm cực đại?

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

. Chọn D Ta có

Trường hợp 1: , thỏa mãn.

Trường hợp 2: , loại.

Trường hợp 3: , loại.

Trường hợp 4:

Trường hợp 5:

Vậy

Câu 3: Xét hàm số

. Số giá trị nguyên của tham số

để hàm

số có cực tiểu mà không có cực đại là A.

B. Vô số.

.

D.

.

.

C. Lời giải

Chọn A

Ta xét

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Để hàm số có tực tiểu mà không có cực đại khi và chỉ khi

Trường hợp 1: vô nghiệm .

Trường hợp 2: có một nghiệm

Vậy số giá trị nguyên của tham số là .

Câu 4:

Số điểm cực trị của hàm số

là

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn A Cách 1:

Ta có .

Ta có

Vì đổi dấu khi qua điểm ; và . Vậy số điểm cực trị của hàm số là .

Cách 2: Nhận xét: Hàm số liên tục trên , và đồ thị hàm số cắt trục

tại điểm có hoành độ trong đó tại điểm có hoành độ là đồ thị

tiếp xúc với trục hoành. Do đó, đồ thị hàm số có hình dạng như sau

Từ đồ thị, ta thấy số điểm cực trị của hàm số là .

Câu 5: Cho hàm

số

có đạo hàm cấp 3,

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

với mọi

. Số điểm cực

trị của hàm

số

là

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn D

. Xét hàm số

TXĐ: .

= Ta có

. Do đó

Ta thấy đổi dấu khi đi qua nên hàm số y= có 2 điểm cực trị.

Câu 6: Gọi

là các điểm cực trị của hàm số

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

là

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn A

. Ta có

Dễ thấy luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi và .

Ta có

.

Vậy

Câu 7: Cho hàm số

có đạo hàm trên

và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng ?

A. Vô số. B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Với

:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

, với

.

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

,

.

Do đó

. Vậy hàm số

không có cực trị trên khoảng

.

Câu 8: Tìm

để hàm số

đạt cực đại tại

.

A. . B. Không tồn tại .

C. . .

D. Lời giải

Chọn D

Ta có , .

Hàm số đạt cực đại tại

đạt cực tiểu tại

.

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số

. D. . A. B.

để hàm số .

.

C. Lời giải

Chọn B Ta có

Do hàm số đạt cực tiểu tại nên

Với hàm số trở thành

.

là điểm cực đại của hàm số đã cho. Ta có

Vậy .

Câu 10: Cho hàm số

. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để

.

hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm A.

B. . . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

có và Hàm số

.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại điểm là

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Trường hợp 1: , suy ra hàm số đạt cực

tiểu tại . Vậy không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

, suy ra hàm số Trường hợp 2:

.

đạt cực đại tại Vậy với thì hàm số đã cho đạt giá trị cực đại tại điểm .

Câu 11: Cho hàm số

. Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương

để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

. Tổng các phần tử của

bằng

B. 10. C. 3. D. 9.

của tham số A. 6.

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số có TXĐ là .

Ta có .

.

Do là một nghiệm của phương trình nên hàm số đạt cực tiểu tại khi và chỉ

khi đổi dấu từ sang khi qua điểm .

Đặt .

Trường hợp 1: là nghiệm của phương trình . Suy ra hoặc .

Với , .

Khi đó phương trình có là nghiệm bội 4 nên không đổi dấu khi qua điểm

không là điểm cực trị của hàm số.

không thỏa mãn. , loại do là số nguyên dương.

Suy ra Vậy Với Trường hợp 2: không là nghiệm của phương trình hay .

Ta có ; .

đổi dấu từ sang khi qua điểm khi và chỉ khi

.

Mà là số nguyên dương nên ta có . hay

Vậy tổng các phần tử của tập hợp là .

Câu 12: Cho hàm số

. Gọi

là tập hợp các giá trị

nguyên dương

bằng

không vượt quá 10 để hàm số đã cho đạt cực đại tại A. 42.

B. 52. C. 40.

. Tổng các phần tử của D. 50.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Chọn B

Ta có .

.

có .

Với mọi nguyên dương thì do đó ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: : có hai nghiệm âm phân biệt , ta có

bảng xét dấu như sau:

Lúc này là điểm cực tiểu.

Trường hợp 2: : có hai nghiệm trái dấu , ta có bảng

xét dấu như sau:

Từ đây suy ra là điểm cực đại.

Trường hợp 3: có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm, lúc này là nghiệm bội 4

thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Tổng

của đạo hàm nên không phải là điểm cực trị. Vậy có ba giá trị nguyên dương của các phần tử của bằng 52.

Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số

đạt cực

?

B. . C. vô số. D. .

tiểu tại . A.

Lời giải

Chọn D Tập xác định: .

Với .

Ta có .

Trường hợp 1: .

Khi thì ; khi thì đổi dấu từ dương

sang âm qua hàm số đạt cực đại tại .

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Trường hợp 2: .

Khi thì thì ; khi đổi dấu từ âm sang

dương qua hàm số đạt cực tiểu tại .

Trường hợp 3:

Với , ta có đổi dấu từ âm sang dương qua hàm số đạt cực tiểu tại

.

Với , ta có không đổi dấu qua hàm số

không đạt cực trị tại .

Như vậy hàm số đạt cực tiểu tại . Do nguyên nên .

Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14: Cho hàm số

có đồ thị là đường cong như hình bên. Số điểm

cực trị của hàm số

bằng?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Ta có:

Ta có: .

Phương trình có 5 nghiệm đơn nên hàm số có 5 điểm cực trị.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 15: Cho hàm số

thỏa mãn

và có đồ thị

là đường cong trong

hình bên. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 4. B. 7. C. 3. D. 5.

Lời giải

ta thấy đồng biến trên , suy ra Chọn A Từ đồ thị của .

Xét hàm số .

Vẽ đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ, ta lập được bảng biến thiên

của và ( ).

Vậy hàm số có 4 điểm cực tiểu.

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 16: Cho hàm số đa thức bậc bốn

thỏa mãn

, hàm số

có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn D

Xét hàm số . Ta có: .

(phương trình có dạng: )

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Từ đồ thị hàm số là đồ thị hàm đa thức bậc ba, có hai điểm cực trị là và

. Suy ra: .

Do nên . Ta được: .

Ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

;

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có 7 điểm cực trị.

Câu 17: Cho

là đa thức bậc ba, biết hàm số

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc để hàm số

D. có năm điểm cực trị? A. B.

C. Lời giải

Chọn B

Ta có là đa thức bậc ba nên là đa thức bậc hai là đa thức bậc 4.

Do đó từ đồ thị hàm số ta có:

, với .

.

Suy ra

Xét hàm số có

.

Hàm số có 5 điểm cực trị

có 5 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Mà và nên

Vậy có giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18: Cho hàm số

có đồ thị của hàm số

và

như hình vẽ bên

dưới. Gọi

là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

có hoành độ lần lượt là

.

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

là

và diện tích

của tam giác

là

. Tính

, với

và

.

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

là các điểm cực trị của hàm số

, với

và

.

Ta có:

.

Theo giả thiết:

.

Và giả thiết:

Ta có hệ:

. Vậy

.

Chọn C

Câu 19: Cho hàm số

, với

là tham số. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của

thuộc đoạn

để hàm số

có số điểm cực trị

B. 2022. C. 4040. D. 2023

nhiều nhất? A. 2021.

Lời giải

Chọn A

có số điểm cực trị nhiều nhất là khi và chỉ khi phương trình Hàm số

có nghiệm phân biệt hay phương trình có nghiệm phân

biệt

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có

Suy ra có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có nghiệm phân biệt khác

và 1 tức là

do nguyên thuộc nên có 2021 giá trị thỏa mãn.

Câu 20: Cho hàm số

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

có 3 điểm cực trị.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì hàm số có đúng 1 cực trị dương.

Khi đó có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm

dương và nghiệm còn lại phải bé hơn hoặc bằng 0. Suy ra

Câu 21: Cho hàm số

có đạo hàm

với mọi

. Hàm số

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

D. . B. . . A. .

C. Lời giải

Chọn C

.

có 3 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội 3 nên hàm số có 4 điểm cực trị.

Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số .

Ta có số điểm cực trị của hàm số bằng (Trong đó là số điểm cực trị của hàm

, là số nghiệm của không tính những nghiệm là điểm cực trị).

Theo trên ta có nên số nghiệm lớn nhất của là 5 hay .

Hàm số có nhiều nhất 9 điểm cực trị.

Câu 22: Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Xét hàm số có ; .

Khi đó hàm số có 3 cực trị.

Mặt khác phương trình .

Ta thấy phương trình có 2 nghiệm đơn.

Vậy số điểm cực trị của hàm số đã cho là .

Câu 23:

Cho hàm số

liên tục trên

và có bảng xét dấu

như sau

là

Số điểm cực trị của hàm số

D.

.

.

B.

.

A.

.

C. Lời giải

Dựa vào bảng xét dấu

ta có hàm số

có 2 cực trị tại

và

.

Xét

.

Xét

Chọn B

Trường hợp 1:

Với Trường hợp 2:

có 2 cực trị.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Với

có 1 cực trị.

Vậy hàm số

có 3 cực trị.

Câu 24: Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số

.

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn D

. Xét hàm số

. Suy ra

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị dương.

Suy ra số điểm cực trị của hàm số bằng .

Câu 25: Cho hàm số

có đạo hàm

,

. Có

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số

có 5 điểm cực trị?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn C

Nhận xét: Hàm số có số điểm cực trị (số điểm cực trị dương của hàm số

) .

Suy ra để hàm số có 5 điểm cực trị thì hàm số phải có 2 điểm cực trị

dương.

Xét

.

Từ điều kiện bài toán suy ra phương trình phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 và trái dấu

hoặc có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương khác 1. Trường hợp 1: hai nghiệm phân biệt khác 1 và trái dấu.

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Điều kiện .

(TM).

Suy ra Trường hợp 2: có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương khác 1.

Điều kiện .

Với (TM).

Với Vậy có hai giá trị nguyên của (Loại). thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 26: Cho hàm số

thỏa mãn

, đồ thị

là đường cong trong hình bên.

Hàm số

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 5. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn C

Đặt .

Ta có . . Với

Đặt , ta sẽ khảo sát và vẽ đồ thị của .

Ta có . Cho .

Chú ý sự tương giao của đồ thị hàm số và trục hoành, ta thấy

.

Từ đó ta có hình vẽ như sau

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Từ hình vẽ, ta có .

Hơn nữa, . Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm

số và như sau

Vậy hàm số có 3 điểm cực tiểu.

Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số

có 5 điểm cực trị?

D. . B. . . A. .

C. Lời giải

Chọn A

có số điểm cực trị bằng tổng số điểm cực trị của và số nghiệm đơn của Hàm số

phương trình

Xét hàm số .

Suy ra .

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số có 2 điểm cực trị.

Hàm số có 5 điểm cực trị khi có 3 nghiệm đơn khác

và . Khi đó .

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị.

Câu 28: Cho hàm số

có

và đạo hàm liên tục trên

và có bảng xét dấu như hình sau

có bao nhiêu điểm cực trị? Hàm số

D. 7.

B. 3.

C. 5.

A. 2.

Lời giải

Hàm số

Ta có

.

nên dựa vào bảng xét dấu của

ta suy ra

Mà

.

.

Suy ra

Do đó dấu của

cùng dấu với

, tức là đổi dấu khi đi qua các điểm

.

Vậy hàm số

có 3 điểm cực trị.

Ta có

nên đồ thị hàm số

tiếp xúc

tại

và cắt trục

tại

điểm phân biệt khác điểm cực trị.

Vậy hàm số

có

điểm cực trị.

Chọn C

Câu 29: Cho hàm đa thức

Hàm số

có đồ thị như hình vẽ sau:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Có bao nhiêu giá trị của để để hàm số có

điểm cực trị?

B. . D. . đúng . A. .

C. Lời giải

Chọn A

Đặt

Do đồ thị hàm số có được khi tịnh tiến đồ thị hàm số sang phải một đơn

vị nên số cực trị của hàm số bằng số cực trị hàm Như vậy, để hàm số

có cực trị thì hàm số có 4 cực trị có hoành độ dương.

Lại có:

.

có nghiệm bội chẵn nên không là cực trị).

(trường hợp Xét hàm số

Để hàm số đã cho có 9 cực trị thì phương trình phải có 3 nghiệm dương phân biệt

khác Khi đó, ta có:

Do Vậy có 6 giá trị thỏa yêu cầu bài toán.

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 30: Có bao nhiêu số nguyên

để hàm số

có ít nhất điểm cực trị?

A. B. D.

C. Lời giải

Chọn A

Xét hàm số .

Ta có

Bảng biến thiên

Hàm số có hai điểm cực trị với mọi nên hàm số có ít

nhất có nghiệm bội lẻ. điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình

( Do m nguyên)

Câu 31: Cho hàm số

liên tục trên

và có bảng xét dấu đạo hàm

như hình bên.

Số điểm cực trị của hàm số là

B. . . A. . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có

có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Suy ra

Ta có bảng xét dấu :

Vậy hàm số có 7 cực trị.

Câu 32: Cho hàm số bậc ba

có đồ thị như hình vẽ sau:

Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số để hàm số có 3

là

điểm cực trị. Số phần tử của B. A. . . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có: .

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có đúng 3 nghiệm

bội lẻ. Xét hàm số:

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Phương trình có đúng ba nghiệm bội lẻ

Số giá trị nguyên của tham số

để hàm số

có

điểm cực trị.

Câu 33: Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ.

A. . D. . B. . .

C. Lời giải

Chọn A

Đặt .

Suy ra

Để có 7 điểm cực trị thì phải có 3 điểm cực trị dương.

Ta có: .

có 3 điểm cực trị dương có 2 nghiệm dương phân biệt, khác 1.

Vì nguyên nên . Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số thoả mãn.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 34: Cho hàm số

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

Về đích đặc biệt 9+ để số điểm cực trị của

đồ thị hàm số

bằng 5.

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn D Ta có:

. Để số điểm cực trị của đồ thị hàm số Xét hàm số:

bằng 5 thì hàm số có hai điểm cực trị

dương, hay phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Suy ra: (vô lí).

Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn.

Câu 35: Cho hàm số

xác định trên

và có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực tiểu của hàm số là

B. 2. C. 3. D. 4. A. 5.

Lời giải

Chọn B

Ta có

Ta thấy và nên dấu của chính là dấu

của

Từ bảng biến thiên của hàm ta có

Do đó

Ta có bảng biến thiên của hàm số

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Câu 36: Cho hàm số

có đạo hàm

,

. Gọi

là tập hợp tất cả

các giá trị nguyên dương của tham số

để hàm số

có 5 điểm cực trị. Tính tổng

.

tất cả các phần tử của A. 154.

B. 17. C. 213. D. 153.

Lời giải

Chọn D

, trong đó là nghiệm bội chẵn nên không phải là điểm cực trị Ta có

của hàm số .

Xét hàm số ; .

.

Nghiệm của phương trình không phải là điểm cực trị của hàm số .

Để hàm số có 5 điểm cực trị thì phương trình và

phải có 4 nghiệm phân biệt khác 6.

Xét hàm số có . Cho .

Bảng biến thiên:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường

thẳng .

Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường

thẳng .

Mà nên để hai phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt khác 6 thì

.

Tập các giá trị nguyên dương của thỏa mãn yêu cầu bài toán là .

Tổng tất các giá trị của tập là .

Câu 37: Cho hàm số bậc bốn

có đạo hàm liên tục trên

, hàm số

có đồ thị như hình

vẽ. Gọi

là tập các giá trị nguyên của tham số

để hàm số

có đúng 3

điểm cực tiểu. Tổng các phần tử của

bằng

A. 18. B. 11. C. 2. D. 13.

Lời giải

Chọn B

Ta có là hàm số chẵn với biến số nên đồ thị hàm số nhận đường

thẳng làm trục đối xứng.

Xét hàm số có .

Theo đầu bài tại các điểm .

Ta có ( là các nghiệm đơn).

Suy ra hàm số có 3 điểm cực trị (2 cực tiểu và 1 cực đại vì là hàm bậc 4 có hệ số ).

Đồ thị hàm số gồm 2 phần:

Phần 1: Đồ thị hàm số phía bên phải đường thẳng .

Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua đường thẳng .

Do đó hàm số có 3 điểm cực tiểu thì hàm số

36| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

có 3 cực trị với và thỏa mãn

.

Câu 38: Cho hàm số

có đạo hàm

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để hàm

số

có đúng

điểm cực trị.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có .

Ta có .

Xét , ta có bảng biến thiên

.

Vậy có

giá trị nguyên của

để hàm số

có đúng

điểm cực trị.

Để hàm số có đúng điểm cực trị thì

Câu 39: Cho hàm đa thức

. Hàm số

có đồ thị như hình vẽ sau

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Có bao nhiêu giá trị của để hàm số có

đúng điểm cực trị?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

; không xác định tại

Dựa vào đồ thị hàm số , ta có

Xét hàm số , ta có bảng biến thiên sau

. Hàm số đã cho có 9 cực trị

. Hỏi có tất

Vậy có bốn giá trị của .

Câu 40: Cho hàm số

liên tục trên

và có biểu thức đạo hàm

có

cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

để hàm số

điểm cực trị?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

38| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Chọn A

Hàm số đạt cực trị tại các điểm .

Xét hàm số với .

Đặt , ta vẽ bảng biến thiên của hàm số như sau:

Nhận thấy nên ta suy ra được bảng biến thiên của như sau:

Số điểm cực trị của Số điểm cực trị của + Số nghiệm đơn (bội lẻ) của .

Từ bảng biến thiên ta thấy có điểm cực trị. Để hàm số có cực trị thì số nghiệm

đơn (bội lẻ) của phải bằng

Để có nghiệm bội lẻ thì các đường thẳng phải nằm dưới (nếu nằm

trên thì chỉ cho tối đa nghiệm) và đường thẳng phải nằm trên .

Yêu cầu bài toán .

Câu 41: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

, đồ thị hàm số

có đúng

điểm chung

với trục hoành như hình vẽ bên dưới:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 39

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

điểm cực trị?

D. 1. B. 3. có đúng A. 0. C. 4.

Lời giải

Chọn D

Với mỗi tham số thì số điểm cực trị của hàm số

và bằng nhau.

Do đó ta chỉ cần tìm giá trị nguyên của tham số để hàm số

có đúng điểm cực trị.

Xét : Hàm số có dạng .

Khi đó ta có đạo hàm như sau: .

Do nghiệm của phương trình là các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình

nên ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm còn lại. Tức là

Vẽ đồ thị ba hàm số ; ; với trên cùng

một hệ trục

40| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Hàm số có đúng điểm cực trị

Hàm số có đúng điểm cực trị dương

Phương trình có đúng nghiệm bội lẻ dương và khác

Đường thẳng cắt đồ thị ba hàm số ; ;

tại điểm phân biệt có hoành độ dương khác

.

.

nguyên nên giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do điều kiện Vậy chỉ có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 41

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

CỰC TRỊ SỐ PHỨC

8

DẠNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

1. Môđun của số phức:

• Số phức được biểu diễn bởi điểm trên mặt phẳng . Độ dài của véctơ

được gọi là môđun của số phức . Kí hiệu

• Tính chất

. • Chú ý:

• Một số lưu ý:

dấu bằng xảy ra

dấu bằng xảy ra .

dấu bằng xảy ra

dấu bằng xảy ra

2. Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ Quỹ tích điểm M

Đường thẳng

Đường trung trực đoạn với

hoặc Hình tròn tâm , bán kính

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm hoặc , bán kính lần lượt là

Parabol

Elip

Elip nếu hoặc Đoạn nếu

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Hypebol

MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CẦN LƯU Ý:

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

Tổng quát 1: Cho số phức thỏa mãn , tìm . Khi đó ta có

• Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường trung trực đoạn với

Tổng quát 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm . Ta có

• Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường trung trực đoạn với

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản. VÍ DỤ 1:

• Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi đó ta biến đổi

• Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi đó ta biến đổi

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

Tổng quát: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm

• Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bán kính

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện (Chia hai vế cho

)

Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện (Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện:

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Hay viết gọn (Chia cả hai vế cho )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip. Tổng quát 1: (Elip chính tắc). Cho số phức thỏa mãn điều kiện

• Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip:

Tổng quát 2: (Elip không chính tắc). Cho số phức thỏa mãn điều kiện

Thỏa mãn . Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc và

Tìm Max, Min của . Đặt

Nếu (dạng chính tắc)

Nếu

Nếu

Nếu

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 42 – Đề tham khảo 2023. Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . D. . C.

.  Lời giải

Chọn C Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

(vì ).

Dấu “=” xảy ra khi .

Suy ra

. Do đó, ta có và . Vậy .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Câu 1: Cho hai số phức và thỏa mãn . Khi đạt giá trị lớn nhất, phần

thực của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Cho số phức thỏa mãn và số phức thỏa mãn . Tính giá

trị nhỏ nhất của .

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

A. . B. . C. 3. D. .

Câu 4: Xét các số phức thỏa mãn và . Khi đạt giá trị nhỏ nhất thì

bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Cho số phức thỏa mãn và số phức . Giá trị

nhỏ nhất bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Cho số phức thỏa mãn. . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: Xét các số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của . Tổng bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức . Tổng bằng.

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 10: Gọi lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức , trong đó là số phức thỏa

mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng .

. . A. . B. C. . D.

Câu 11: Giả sử là hai trong số các số phức thoả mãn là một số thực. Biết rằng

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

. . A. . B. C. . D.

Câu 12: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Giả sử là hai trong các số phức thỏa mãn là số thực. Biết rằng

. Giá trị nhỏ nhất của bằng

A. . B. C. D.

Câu 14: Xét các số phức. . thỏa mãn điều kiện . Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của biểu thức Tính

A. B. C. D.

Câu 15: Xét các số phức thỏa mãn và . Khi đạt giá trị nhỏ nhất,

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: Gọi là tập hợp tất cả các số phức sao cho số phức có phần thực bằng . Xét các

số phức thỏa mãn , giá trị lớn nhất của bằng

A. D. 32.

B. 8. thỏa mãn Giá trị lớn nhất của biểu thức Câu 17: Cho hai số phức và C. 4. và

bằng:

A. . B. . . D. . C.

Câu 18: Cho là hai số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức và

có dạng . Khi đó có giá trị là

A. . B. . C. . D. .

Câu 19: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất của bằng

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 20: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 21: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Biết rằng số phức ,

có môđun nhỏ nhất. Tính .

C. A. . B. . . D. .

thỏa mãn . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Câu 22: Cho số phức

nhất của biểu thức . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Xét các số phức thỏa mãn .Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của .Giá trị của biểu thức bằng:

A. . B. . C. . D.

Câu 24: Gọi là tập hợp tất cả các số phức thoả mãn điều kiện . Xét các số phức

sao cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Cho số phức có phần ảo dương thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị

nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Xét các số phức thỏa mãn .Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của .Giá trị của biểu thức bằng:

A. . B. . C. . D.

Câu 27: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. . B. C. D. .

Câu 29: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 30: Cho hai số phức và

thỏa mãn

Phan Nhật Linh . Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

B. . C. . D. . . A.

Câu 31: Cho số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: và biểu thức

đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị .

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Cho thỏa và đạt giá trị nhỏ nhất. Tính ?

D. 5. A. 2. B. 3. C. 4.

và Câu 33: Xét hai số phức thỏa mãn: . Giá trị lớn nhất của biểu

bằng: thức

B. . C. . D. . A. .

Câu 34: Cho số phức thỏa . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

. Tính . của

. B. . C. . D. . A.

là Câu 35: Cho hai số phức thỏa và . Giá trị nhỏ nhất của

A. . B. . C. . D. .

Câu 36: Cho số phức thỏa và . Giá trị nhỏ nhất của

bằng

B. . C. . D. . A. .

Câu 37: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. B. C. D.

Câu 38: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của . Giá trị của bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 40: Cho số phức thỏa mãn . Gọi là giá trị nhỏ nhất của . Giá trị

là?

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 41: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 42: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 43: Xét các số phức thỏa mãn khi . Tính

đạt giá trị lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .

Câu 44: Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của với và là số phức

khác và thỏa mãn . Tính tỉ số .

A. . B. . C. . D. .

Câu 45: Gọi là tập hợp tất cả các số phức sao cho số phức có phần thực bằng . Xét

các số phức thỏa mãn , giá trị lớn nhất của bằng

A. B. . C. . D. .

Câu 46: Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức . Tính môđun của số phức .

A. . B. . C. . D. .

Câu 47: Vậy tổng Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn và ,

(trong đó ). Gọi là hai số phức thuộc sao cho lớn nhất, khi đó giá trị của

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 48: Cho số phức sao cho thỏa và là số thuần ảo. Gọi và lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 49: Xét hai số phức thỏa mãn và

. Giá trị nhỏ nhất của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 50: Xét các số phức thỏa mãn và . Tính

khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

. B. . C. . D. .

A.

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho hai số phức và thỏa mãn . Khi đạt giá trị lớn nhất, phần

thực của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

. Ta có

. Ta lại có

Suy ra . Dấu xảy ra khi

.

Vậy phần thực của bằng .

Câu 1: Cho số phức thỏa mãn và số phức thỏa mãn . Tính giá

trị nhỏ nhất của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

, với . Ta có

Gọi lần lượt là điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có

Suy ra có tâm , bán kính .

Gọi

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có

Từ hình vẽ ta có .

Câu 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

A. . B. . C. 3. D. .

Lời giải

Gọi là điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có:

 M thuộc đường thẳng d: .

Gọi thì

.

Bài toán trở về: Tìm điểm sao cho nhỏ nhất.

Ta thấy thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

. Dấu “=” xảy ra khi 

Câu 3: Xét các số phức thỏa mãn và . Khi đạt giá trị nhỏ nhất thì

bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức và .

Ta có , với .

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Suy ra tập hợp điểm là đường tròn tâm và bán kính

Phan Nhật Linh .

. Suy ra tập hợp điểm là đường tròn tâm và bán kính Lại có

.

Ta thấy và rời nhau.

Khi đó: .

Suy ra: (do và rời nhau) khi

.

Vậy: .

Câu 2: Cho số phức thỏa mãn và số phức . Giá trị

nhỏ nhất bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Theo giả thiết,

.

. Khi đó, .

Đặt ( ). Khi đó:

.

. .

Từ và suy ra giá trị nhỏ nhất .

.. Gọi

Câu 3: Cho số phức thỏa mãn . và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Đặt nên . Vì nên . Do đó, ta có:

.

. Ta lại có

. Suy ra

, với . Dễ thấy liên tục trên đoạn . Vậy

. Ta có

. , Do đó

Ta có: , , , .

Vậy giá trị lớn nhất của là ; giá trị nhỏ nhất của là .

Khi đó .

Câu 4: Xét các số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của . Tổng bằng:

D. . . B. . A. .

C. Lời giải

. Đặt

. Ta có:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề là đường tròn tâm , bán kính .

.

Khi đó: .

Câu 5: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức . Tổng bằng.

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

. Gọi

. Ta có:

Xét

. Ta có bảng biến thiên sau Có

Vậy .

Câu 4: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của bằng

D. 4. C. 3. B. 2. A. 1.

Lời giải

. Đặt

Ta có:

.

.

. Suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi .

Câu 5: Gọi lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức , trong đó là số phức thỏa

và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng . mãn

. . C. . D. . B. A.

Lời giải

. Đặt

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có:

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Đặt .

Ta có: .

Xét .

Để tồn tại thì và phải có điểm chung

Suy ra khi .

Vậy .

Do đó

Vậy

Câu 6: Giả sử là hai trong số các số phức thoả mãn là một số thực. Biết rằng

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chon D

là các điểm biểu diễn cho Gọi

Đặt

Do là một số thực nên

Suy ra thuộc đường tròn tâm , bán kính

.

Gọi Gọi điểm thoả mãn là trung điểm của

Ta có ; .

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Khi đó thuộc đường tròm tâm , bán kính .

Xét biểu thức .

Ta có .

Vậy .

Câu 7: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

(vì ). Dấu “=” xảy ra khi

.

Suy ra .

Do đó, ta có và .

Vậy .

Câu 8: Giả sử là hai trong các số phức thỏa mãn là số thực. Biết rằng

. Giá trị nhỏ nhất của bằng

A. . B. D.

C. Lời giải

Chon C

. Gọi lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức . Suy ra Đặt

.

Ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do là số thực nên ta được . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn

của là đường tròn tâm bán kính

. thỏa

Xét điểm Gọi thuộc đoạn . là trung điểm

. và Ta có

, Từ đó , suy ra điểm thuộc đường tròn

tâm , bán kính .

Ta có , do đó nhỏ nhất khi nhỏ nhất.

Ta có .

Vậy .

. thỏa mãn điều kiện

Câu 9: Xét các số phức . . Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của biểu thức Tính

A. B. D.

C. Lời giải

Chọn D

Ta có nên

.

Suy ra tập hợp các số phức là đường tròn tâm , bán kính .

Khi đó

Câu 10: Xét các số phức thỏa mãn và . Khi đạt giá trị nhỏ nhất,

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A Cách 1:

Ta có

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Dấu bằng xảy ra khi và .

Giải hệ trên suy ra ; .

Hay

Khi đó .

Cách 2: Trong mặt phẳng :

Gọi là điểm biểu diễn của số phức thuộc đường tròn tâm

bán kính .

Gọi là điểm biểu diễn của số phức thuộc đường tròn tâm bán

kính .

Gọi . Khi đó .

Ta thấy đạt giá trị nhỏ nhất khi thẳng hàng và và ngược hướng với

Đường thẳng có phương trình là .

Tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

.

Vậy (Vì ngược hướng với ).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vậy (Vì ngược hướng với ).

Do đó: và .

Vậy .

Câu 11: Gọi là tập hợp tất cả các số phức sao cho số phức có phần thực bằng . Xét

các số phức thỏa mãn , giá trị lớn nhất của

B. 8. C. 4. D. 32. bằng A.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

có phần thực là

Câu 12: Cho hai số phức và thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của biểu thức

bằng:

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn C

Giả sử lần lượt là các điểm biểu diễn cho và .

Suy ra và .

Đặt Dựng hình bình hành

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có .

.

Suy ra dấu “=” xảy ra khi . Vậy .

Câu 13: Cho là hai số phức thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu

thức có dạng . Khi đó có giá trị là

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B Đặt . Với ; thì . ;

Ta có: .

Mặt khác,

.

Do đó

Ta có

.

Lại có: .

Suy ra . . Do đó ,

Vậy .

Câu 14: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất của bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

, ta được Áp dụng bất đẳng thức .

. Suy ra

Vậy lớn nhất là , dấu bằng xảy ra khi .

Mà , suy ra .

Câu 15: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

(vì ).

Dấu “=” xảy ra khi .

Suy ra .

Do đó, ta có và . Vậy .

Câu 16: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Biết rằng số phức ,

có môđun nhỏ nhất. Tính .

A. . B. . . D. . C.

Lời giải

Gọi .

Ta có:

.

Do đó .

Dấu " " xảy ra . Khi đó .

Vậy .

thỏa mãn . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Câu 17: Cho số phức

nhất của biểu thức . Giá trị của bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D Đặt .

Ta có .

Trong mặt phẳng phức, gọi là hình bình hành là điểm biểu diễn hình học của số phức , , , với . Khi đó tập hợp điểm .

với .

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

với là hình chiếu vuông góc của lên đoạn .

.

. Vậy

Câu 18: Xét các số phức thỏa mãn .Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của .Giá trị của biểu thức bằng:

B. . . D. A. .

C. Lời giải

Ta có

Dấu xảy ra

Khi đó ta có

Suy ra . Vậy .

Câu 19: Gọi là tập hợp tất cả các số phức thoả mãn điều kiện . Xét các số phức

sao cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A Đặt . Khi đó từ giả thiết ta có ,

, và là các số

phức thuộc tập hợp các số phức thỏa mãn (*)

Đặt .

Khi đó (*)

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 biểu thị số phức

Do đó tập hợp điểm

Về đích đặc biệt 9+ là hai đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có tâm

là và , cùng có bán kính và cùng tiếp xúc với trục tung tại điểm

.

là hai điểm biểu diễn của . Giả sử

Ta có

nên cho dù điểm thuộc đường tròn (C1) hay (C2) thì ta luôn có , dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi do vậy

trùng với điểm là giao của đoạn với đường tròn (C1) và trùng với là giao của

với đường tròn (C2). Khi đó (thoả mãn đề). đoạn

Vậy

Câu 20: Cho số phức có phần ảo dương thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị

nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi .

Ta có: .

Xét hàm số

Hàm số liên tục trên và với ta có:

.

khi .

Với (Vì số phức có phần ảo dương nên ).

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức bằng khi .

.

Câu 21: Xét các số phức thỏa mãn .Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của .Giá trị của biểu thức bằng:

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Ta có

Dấu xảy ra

Khi đó ta có

Suy ra ,

Vậy .

Câu 22: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Ta có

. Dấu “=” xảy ra

Khi đó ta có

. Vậy

Câu 23: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. . B. D. .

C. Lời giải

Ta có:

(1)

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Gọi lần lượt là điểm biểu diễn

Về đích đặc biệt 9+ số phức

của

biểu diễn của số phức là đoạn thẳng Biểu thức (1) viết lại: tập hợp điểm

Phương trình đường thẳng

Gọi

. Vậy

(thỏa)

Câu 24: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn C Gọi .

Ta có: .

Xét hàm số

Hàm số liên tục trên và với ta có:

.

Câu 25: Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là điểm biểu diễn của số phức , là điểm biểu diễn của số phức

.

Ta có .

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vậy thuộc đường tròn có tâm

Vậy thuộc đường thẳng

Dễ thấy đường thẳng không cắt . . và

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm ta có.

Câu 26: Cho số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: và biểu thức

đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị .

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn A

Đặt .

. Theo giả thiết:

. Mặt khác:

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho hai bộ số: và , ta được:

.

.

. Vậy

Câu 27: Cho thỏa và đạt giá trị nhỏ nhất. Tính ?

B. 3. A. 2. C. 4. D. 5.

Lời giải

Ta có:

là đường thẳng

là điểm biểu diễn cho số phức .

Cách 1. Gọi Khi đó:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do

Tọa độ thỏa

Cách 2.

Từ

Suy ra:

Cách 3. Sử dụng Cauchy – Schwarz, có

Dấu khi và

Lưu ý. Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính thì nó là

Câu 28: Xét hai số phức thỏa mãn: và . Giá trị lớn nhất của biểu

bằng: thức

B. . A. . . D. .

C. Lời giải

với . Đặt:

Ta có:

Cộng và vế theo vế ta được: .

Khi đó:

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Vậy:

và .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: Tìm được: thỏa mãn.

Câu 29: Cho số phức thỏa . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

. Tính . của

. B. . A.

. D. . C.

Lời giải

Đặt (với ).

. Khi đó:

Suy ra

.

với , Xét hàm số

. Ta có

.

Bảng biến thiên

Suy ra , .

Vậy .

Câu 30: Cho hai số phức thỏa và . Giá trị nhỏ nhất của là

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có: .

Gọi là điểm biểu diễn số phức .

Tập hợp thuộc đường tròn tâm . ,

Ta có: .

Gọi là điểm biểu diễn số phức .

Tập hợp thuộc đường tròn tâm , .

Suy ra:

( thẳng hàng).

Câu 31: Cho số phức thỏa và . Giá trị nhỏ nhất của

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi với khi đó .

Suy ra tập hợp biểu diễn số phức là đường tròn (C) có phương trình

Gọi với

khi đó

Suy ra tập hợp biểu diễn số phức là đường thẳng có phương trình .

Gọi là điểm biểu diễn số phức và là điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức.

Từ đó ta có .

Ta thấy (Với và lần lượt là tâm và bán kính đường tròn (C))

Nên .

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 32: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. B. D.

C. Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức mô đun : Dấu bằng xảy ra

Ta có:

Với

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Với

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy

Câu 33: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của . Giá trị của bằng:

. A. . B. . D. .

C. Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

(Vì )

. Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi . Vậy

Ta có:

. Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi . Vậy

Vậy .

Câu 34: Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của . Giá trị của bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Dấu bằng xảy ra khi . Vậy .

Dấu bằng xảy ra khi . Vậy .

Do đó .

Câu 35: Cho số phức thỏa mãn . Gọi là giá trị nhỏ nhất của . Giá trị

là?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

. Đặt

Ta có

Xét

Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy hay .

Câu 36: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

(vì ).

Dấu “ ” xảy ra khi .

Suy ra

và . Do đó, ta có

Vậy .

Câu 37: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

(vì ).

Dấu “ ” xảy ra khi .

Suy ra

.

Do đó, ta có . Vậy . và

Câu 38: Xét các số phức thỏa mãn . Tính khi

đạt giá trị lớn nhất.

B. . . A. . D. .

C. Lời giải

Chọn B

.

. Khi đó nằm trên đường tròn tâm , bán kính

Gọi . Gọi là trung điểm của .

Đặt

Suy ra

Mặt khác ta có . lớn nhất khi lớn nhất

Khi thẳng hàng. Ta có

Gọi là đường thẳng đi qua I và nhận làm véc tơ pháp tuyến có phương trình

Khi dó tọa độ là nghiệm của hệ

+ ;

+ .

Vậy lớn nhất khi .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 39: Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của với và là số phức

khác và thỏa mãn . Tính tỉ số .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có .

Vậy .

Câu 40: Gọi là tập hợp tất cả các số phức sao cho số phức có phần thực bằng . Xét

các số phức thỏa mãn , giá trị lớn nhất của bằng

B. . . D. . A.

C. Lời giải

Chọn B Cách 1:

Gọi . Do nên .

Ta có:

nên theo giả thiết ta có:

.

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm là gốc tọa độ , bán kính

(bỏ đi điểm ). Giả sử hai điểm lần lượt là điểm biểu diễn số phức thì

thuộc đường tròn nên: .

Vì: . Gọi , là trung điểm của đoạn thẳng thì khi đó

, ta có:

.

xảy ra khi vecto cùng hướng. Dấu

có giá trị lớn nhất là . Vậy

Cách 2: Điều kiện: (*).

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Đặt , ta có:

(1). Vì có phần thực bằng

Từ điều kiện (*) suy ra: . Do đó: .

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm là gốc tọa độ , bán kính

(bỏ đi điểm ). Giả sử hai điểm lần lượt là điểm biểu diễn số phức thì

thuộc đường tròn nên: .

Vì: . Gọi , là trung điểm của đoạn thẳng thì khi đó

, ta có:

.

xảy ra khi vecto cùng hướng. Dấu

có giá trị lớn nhất là . Vậy

(*). Cách 3: Điều kiện:

. Ta có:

. Vì có phần thực bằng nên

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm là gốc tọa độ , bán kính

(bỏ đi điểm ). Giả sử hai điểm lần lượt là điểm biểu diễn số phức thì:

thuộc đường tròn nên: .

Vì: . Gọi , là trung điểm của đoạn thẳng thì khi đó

, ta có:

.

Dấu xảy ra khi vecto cùng hướng.

Vậy có giá trị lớn nhất là .

Câu 41: Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức . Tính môđun của số phức .

A. . B. . D. . . C.

Lời giải

Chọn C Gọi .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do nên điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm , bán kính

.

Lại có

.

Do đó điểm thuộc đường thẳng : .

Để tồn tại ; thì .

và .

và Câu 42: Vậy tổng Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn ,

(trong đó ). Gọi là hai số phức thuộc sao cho lớn nhất, khi đó giá trị

bằng của

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

với Giả sử .

Ta có

Và

Do đó là tập hợp các số phức có điểm biểu diễn là giao của đường tròn và đường thẳng

và với .

là đường tròn tâm , bán kính .

Gọi lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức . Khi đó .

Độ dài lớn nhất khi là đường kính của đường tròn .

Ta có là trung điểm của nên có

Có

Câu 43: Cho số phức sao cho thỏa và là số thuần ảo. Gọi và lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó giá trị của bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Chọn A

Cách 1: Do là số thuần ảo nên cũng

là số thuần ảo tức ta luôn có được: . Từ đó ta suy ra

Khi đó ta có được:

Suy ra với ta có được .

Khi đó: .

Vậy tức .

Cách 2: Từ có: . Đặt với .

Khi đó ta có:

.

. Từ đó ta suy ra:

.

Khi đó ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

tức .

Cách 3: Đặt khi đó ta có:

là số thuần ảo. Khi đó ta suy ra:

. Gọi là các điểm biểu diễn số

phức với lần lượt thuộc quỹ tích đường tròn tâm , bán kính bằng 2 và 4.

Cùng với điểm thì phương trình tương đương với tức ta có được tam

giác vuông tại . Ta có: , gọi là trung điểm . Khi đó

.

Từ đó ta có: với là các điểm như hình

vẽ trên.

.

Vậy tức .

Câu 44: Xét hai số phức thỏa mãn và

. Giá trị nhỏ nhất của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

36| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Đặt ,

Ta có:

Đặt điểm biểu diễn số phức là , vậy quỹ tích của là parabol

Đặt điểm biểu diễn số phức là . Ta dễ thấy quỹ tích của là đường thẳng .

Minh họa trên hệ trục .

Ta thấy .

Câu 45: Xét các số phức thỏa mãn . Tính và

khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có:

tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán

kính .

tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

. Đặt

Ta có:

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức nằm trên đường thẳng .

Khi đó: .

Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng , khi đó ta tìm được , suy ra

.

phương trình đường thẳng Do đó: khi và chỉ khi ; ( ở giữa ) ; (

ở giữa ). Suy ra: .

38| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHI BIẾT YẾU TỐ KHOẢNG CÁCH

9

DẠNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Thể tích khối lăng trụ

Trong đó: là diện tích đáy, là chiều cao khối lăng trụ.

Kiến thức về khoảng cách trong không gian xem lại dạng 4.

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 43 – Đề tham khảo 2023. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân

. Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng , thể tích khối lăng trụ đã cho tại ,

bằng

A. . B. . C. . D. .

 Lời giải Chọn B

Kẻ , .

Vì .

Ta có . Do đó .

Xét tam giác vuông vuông tại , ta có

.

Vậy .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Về đích đặc biệt 9+

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Câu 1: Cho hình lăng trụ đều . Biết cosin của góc giữa hai mặt phẳng và

bằng và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Thể tích của khối lăng

bằng trụ

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh , góc giữa mặt phẳng

và mặt đáy bằng . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật có . Biết khoảng cách từ đến mặt

phẳng bằng , thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và cạnh bên

mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của cạnh . Biết thể tích của khối chóp vuông góc với bằng

. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Cho hình chóp tam giác có , vuông góc với mặt phẳng

đáy. Biết có diện tích bằng . Thể tích khối chóp bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông,

góc giữa và mặt phẳng đáy bằng và khoảng cách từ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết bằng đến mặt phẳng

. Thể tích khối chóp bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, vuông góc với đáy, mặt bên

hợp với đáy một góc bằng , là trung điểm của . Biết thể tích khối chóp

bằng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 8: Cho khối lăng trụ

có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của

Phan Nhật Linh và mặt phẳng

trên mặt phẳng đáy trùng trung điểm của cạnh , biết góc giữa

bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Cho khối lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của

trên mặt phẳng đáy trùng trọng tâm tam giác , biết khoảng cách giữa và bằng

. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Cho hình lăng trụ , có đáy là tam giác cân tại , , các cạnh bên

hợp với đáy góc . Hình chiếu của lên mặt phẳng , trùng với tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác . Tính thể tích của khối lặng trụ , biết khoảng cách từ đến mặt

phẳng bằng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Cho lăng trụ . Hình chiếu vuông góc của điểm

mặt phẳng có đáy là tam giác đều cạnh trùng với trọng tâm của tam giác lên . Biết khoảng cách giữa hai đường

thẳng và bằng . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác có .

Gọi là trung điểm và khoảng cách từ đến bằng , thể tích khối lăng

trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông đỉnh có

. Gọi lần lượt là trung điểm và , thuộc cạnh sao

. Biết khoảng cách từ điểm đến bằng , thể tích khối lăng trụ cho

bằng

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 14: Cho lăng trụ đứng

có đáy là hình vuông, cạnh bên có độ dài bằng

Về đích đặc biệt 9+ . Gọi

lần lượt là trung điểm và . Biết khoảng cách giữa và bằng . Thể

tích khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: Cho lăng trụ đều có tạo với mọt góc . Gọi là trọng tâm tam

giác , khoảng cách từ đến bằng . Tính thể tích lăng trụ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: Cho lăng trụ đứng có đáy là hình thoi có . Biết tạo

với đáy một góc và khoảng cách từ điểm đến bằng . Tính ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , diện tích

tam giác bằng Biết khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng bằng

. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , . Biết

góc giữa và mặt phẳng bằng thỏa mãn và khoảng cách giữa hai

đường thẳng và bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ .

A. . B. . C. . D. .

Câu 19: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và . Hình

chiếu của đỉnh lên mặt trùng với trung điểm của Biết thể tích của khối chóp

bằng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Cạnh bên

vuông góc với đáy và đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc . Tính thể tích

của khối chóp theo .

A. . B. . C. . D. .

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 21: Cho khối lăng trụ đứng

có đáy là hình vuông có cạnh bằng

Phan Nhật Linh . Biết

khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng , thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Khoảng cách từ tâm

của tam giác đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: 2. Cho khối lăng trụ có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của

phẳng trùng với trọng tâm tam giác , góc giữa hai mặt phẳng lên mặt và

bằng ,. Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Thể tích khối

lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 24: Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông cạnh . Khoảng cách từ điểm đến

mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối hộp theo .

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác đều . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

bằng , góc giữa 2 mặt phẳng và bằng với (tham khảo hình

dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , .

Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng , thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 27: Cho khối lăng trụ đứng có đáy

là tam giác vuông tại

Về đích đặc biệt 9+ . Biết

có

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng với , khoảng cách từ

đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lẳng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Cho khối lập phương . Gọi là trung điểm cạnh . Biết khoảng cách từ

đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lập phương đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Cho khối chóp , đáy là hình chữ nhật có cạnh , đường chéo

, có vuông góc với mặt đáy. Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng .

Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 30: Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông tại , . Các mặt bên

tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng . Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Khoảng cách từ

tâm của tam giác đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Cho hình lập phương , khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Tính theo thể tích khối lập phương .

. A. . B. . C. D. .

Câu 33: Cho hình lăng trụ lên mặt phẳng có đáy là tam giác đều cạnh trùng với trọng tâm của tam giác . Hình chiếu vuông góc của điểm . Biết khoảng cách giữa 2

đường và bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ .

A. . B. . C. . D. .

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 34: Cho khối lăng trụ đứng , có đáy

là tam giác vuông và

Phan Nhật Linh là tam giác đều.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Thể tích của khối lăng trụ

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Cho khối lăng trụ đứng , có đáy là tam giác vuông cân tại

giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Góc và . Thể tích của khối lăng trụ

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng , biết đáy là tam giác đều cạnh . Khoảng cách từ

tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích

khối lăng trụ .

A. . B. . C. . D. .

Câu 37: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông; mặt bên là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

. Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng là tam giác vuông cân tại , mặt bên

, đáy là hình vuông. Biết khoảng cách giữa . Thể tích của khối lăng trụ và bằng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Cho hình lăng trụ đều có cạnh đáy bằng . Đường thẳng tạo với mặt

phẳng góc thỏa mãn . Thể tích khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 40: Cho khối lập phương có khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

. Khi đó thể tích khối lập phương là

. B. . C. . D. .

A.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho hình lăng trụ đều . Biết cosin của góc giữa hai mặt phẳng và

bằng và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Thể tích của

khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

là độ dài cạnh đáy của lăng trụ đều Gọi .

là trung điểm của Gọi

Tam giác đều mà

Lại có , kẻ

Tam giác vuông tại có

.

Tam giác vuông tại , kẻ

.

Ta có

.

đều cạnh và .

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vậy

Câu 2: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh , góc giữa mặt phẳng

và mặt đáy bằng . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

là trung điểm của .

đều nên (1). Gọi Do tam giác

(Do và ). Suy ra (2). Lại có

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt phẳng và đáy chính là góc giữa hai đường thẳng

và .

Do tam giác vuông nên góc giữa hai đường thẳng và chính là góc hay

.

Ta có .

Suy ra .

Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật có . Biết khoảng cách từ đến mặt

phẳng bằng , thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

trên (1)

Gọi Do là hình chiếu của nên , tức là (2).

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Từ (1) và (2) suy ra hay .

Suy ra chính là khoảng cách từ đến mặt phẳng .

Ta có .

Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là .

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và cạnh bên

mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của cạnh . Biết thể tích của khối chóp vuông góc với bằng

. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

là trung điểm tại .

Gọi Ta lại có .

. Suy ra theo giao tuyến . Trong , kẻ thì

.

Ta có: .

Tam giác có .

Câu 5: Cho hình chóp tam giác có , vuông góc với mặt phẳng

đáy. Biết có diện tích bằng . Thể tích khối chóp bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

là hình chiếu vuông góc của lên . Vì

Gọi , ta có .

Kẻ , lại có .

.

Áp dụng định lý hàm số cosin cho ta có .

.

Xét vuông tại A, ta có .

Vậy .

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết

góc giữa và mặt phẳng đáy bằng và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

. Thể tích khối chóp bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 lên

là hình chiếu vuông góc của Vì

.

vuông tại , ta có Xét .

. Kẻ

. Ta có

. Từ ,

Xét vuông tại , đường cao ta có .

. Từ ,

. Vậy

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, vuông góc với đáy, mặt bên

hợp với đáy một góc bằng , là trung điểm của . Biết thể tích khối chóp

bằng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là độ dài cạnh đáy .

Theo giả thiết, .

, mà nên .

.

Trong , gọi là giao điểm của và .

.

Trong , kẻ . Dễ thấy .

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Mà vuông tại nên .

Từ .

Câu 8: Cho khối lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của

trên mặt phẳng đáy trùng trung điểm , biết góc giữa và mặt phẳng

bằng . Tính thể tích của cạnh của khối lăng trụ đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Dựng tại , tại .

Ta có: suy ra

.

Ta có:

Khi đó .

Vậy .

Câu 9: Cho khối lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của

trên mặt phẳng đáy trùng trọng tâm tam giác , biết khoảng cách giữa và bằng

. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

là trọng tâm của tam giác và .

Gọi Dựng .

Ta có: .

Khi đó: .

: Tam giác vuông tại và

: . Tam giác vuông tại

Suy ra .

Vậy .

Câu 10: Cho hình lăng trụ , có đáy là tam giác cân tại , , các cạnh bên

hợp với đáy góc . Hình chiếu của lên mặt phẳng , trùng với tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác . Tính thể tích của khối lặng trụ , biết khoảng cách từ đến mặt

phẳng bằng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

là hình thoi cạnh

Gọi Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh , vẽ , dễ thấy tứ giác tại

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có: suy ra

Vì góc giữa và bằng nên tam giác vuông cân tại

Suy ra

Vì tam giác đều cạnh nên

Ta có

Vậy thể tích của khối lặng trụ là:

Câu 11: Cho lăng trụ . Hình chiếu vuông góc của điểm

mặt phẳng có đáy là tam giác đều cạnh trùng với trọng tâm của tam giác lên . Biết khoảng cách giữa hai đường

thẳng và bằng . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là trọng tâm của , là trung điểm của .

.

Trong dựng , ta có: .

.

Gọi là hình chiếu của lên .

Ta có: .

Xét tam giác vuông tại , ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

. .

Vậy thể tích của khối lăng trụ là: .

Câu 12: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác có .

Gọi là trung điểm và khoảng cách từ đến bằng , thể tích khối lăng

trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

nên . Ta có

Gọi là hình chiếu của trên cạnh .

Ta có: .

Dựng . Vậy .

Trong tam giác có: .

.

Trong tam giác vuông có: .

Vậy .

Câu 13: Cho khối lăng trụ đứng có đáy

. Gọi lần lượt là trung điểm là tam giác vuông đỉnh thuộc cạnh và , có sao

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

cho . Biết khoảng cách từ điểm đến bằng , thể tích khối lăng trụ

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có nên đồng phẳng.

.

Ta có: .

Gọi là hình chiếu của trên cạnh .

.

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

.

Vậy .

Câu 14: Cho lăng trụ đứng có đáy là hình vuông, cạnh bên có độ dài bằng . Gọi

lần lượt là trung điểm và . Biết khoảng cách giữa và bằng . Thể

tích khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

lần lượt là trung điểm và . Gọi

Gọi đối xứng qua , khi đó là hình bình hành .

.

Gọi trên cạnh , gọi là hình chiếu của trên

là hình chiếu của .

Gọi độ dài cạnh đáy bằng . Ta có: ; .

.

Trong tam giác có: .

. Vậy

Câu 15: Cho lăng trụ đều có tạo với mọt góc . Gọi là trọng tâm tam

giác , khoảng cách từ đến bằng . Tính thể tích lăng trụ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi độ dài cạnh đáy là . Gọi là trung điểm cạnh , suy ra .

nên . Ta có:

. Vậy

nên . Vì

Trong tam gác có:

Gọi là hình chiếu của trên .

.

Ta có:

. Vậy .

Câu 16: Cho lăng trụ đứng có đáy là hình thoi có . Biết tạo

với đáy một góc và khoảng cách từ điểm đến bằng . Tính ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Gọi là trung điểm . Gọi độ dài cạnh đáy bằng .

. Ta có

Gọi là hình chiếu của trên cạnh .

. Măt khác .

Vậy .

Trong tam giác có: .

Vậy .

Câu 17: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , diện tích

tam giác bằng Biết khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng bằng

. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là hình chiếu của trên trên , là hình chiếu của là hình chiếu của

trên .

Tam giác vuông có diện tích bằng và nên ta có .

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Tam giác vuông tại và là đường cao của nó nên ta có

.

.

Câu 18: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , . Biết

góc giữa và mặt phẳng bằng thỏa mãn và khoảng cách giữa hai

đường thẳng và bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có: mà

Nên



Góc giữa và mặt phẳng là

Thể tích lăng trụ là với

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 19: Cho hình chóp

có đáy là hình thang vuông tại và

Về đích đặc biệt 9+ . Hình

chiếu của đỉnh lên mặt trùng với trung điểm của Biết thể tích của khối chóp

bằng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là trung điểm của là hình vuông. Gọi là trung điểm của

. Ta có cũng là trung điểm của (1). . Ta có tứ giác và

nên vuông tại . Do đó (2). Vì

(1),(2) .

Dựng

Ta có:

Từ và suy ra:

Ta có

Xét vuông tại , có đường cao :

.

Câu 20: Cho hình chóp có đáy

là hình chữ nhật với tạo với mặt phẳng , một góc . Cạnh bên . Tính thể vuông góc với đáy và đường thẳng

tích của khối chóp theo .

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Khối chóp có diện tích đáy là: .

Ta có:

tại .

Mà nên là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .

Vì nên . Do đó tam giác vuông tại , góc là góc nhọn.

.

Xét tam giác vuông tại có .

Xét tam giác vuông tại có .

Vậy thể tích của khối chóp là: .

Câu 21: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là hình vuông có cạnh bằng . Biết

khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng , thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Gọi là tâm hình vuông . Kẻ

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Từ và , ta có .

.

Xét tam giác vuông tại , ta có

. Vậy

Câu 22: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Khoảng cách từ tâm

của tam giác đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là trung điểm của và là hình chiếu của trên .

Ta có (1)

Mà

Từ (1) và (2) .

Ta có (do tính chất trọng tâm).

.

Xét tam giác vuông : .

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Suy ra thể tích lăng trụ là: .

Câu 23: 2. Cho khối lăng trụ có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của

phẳng trùng với trọng tâm tam giác , góc giữa hai mặt phẳng lên mặt và

bằng ,. Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Thể tích khối

lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

, là trọng tâm tam giác , là hình chiếu vuông góc của

Gọi lên là trung điểm . Giả sử cạnh đáy bằng .

. Ta có và

.

Trong tam giác có

, trong đó .

Suy ra .

Thể tích khối lăng trụ .

Câu 24: Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông cạnh . Khoảng cách từ điểm đến

mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối hộp theo .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Gọi là hình chiếu của lên cạnh .

Ta có

.

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác

.

.

Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác đều . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

bằng , góc giữa 2 mặt phẳng và bằng với (tham

khảo hình dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

là trung điểm của , gọi là hình chiếu vuông góc hạ từ điểm lên .

và Gọi Khi đó ta có:

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Từ

Kẻ .

.

. Đặt . Ta có

; .

Vậy thể tích khối chóp là: .

Câu 26: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , .

Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng , thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

là tam giác vuông cân tại nên .

là giao điểm của và , , ta có Do Gọi

.

, . Kẻ

. Vì

Ta có . Do đó .

Xét tam giác vuông vuông tại , ta có

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vậy .

Câu 27: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại có . Biết

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng với , khoảng cách từ

đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lẳng trụ đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Kẻ vuông góc với tại , ta có (vì ).

Ta có .

Tam giác vuông có là đường cao, có .

Mặt khác nên .

Với .

Xét tam giác vuông có

Xét tam giác vuông có , có .

Vậy .

Câu 28: Cho khối lập phương . Gọi là trung điểm cạnh . Biết khoảng cách từ

đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lập phương đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi độ dài cạnh lập phương là . Gọi là trung điểm của , do

nên là trung điểm của , suy ra . và

Ta có , với tại , tại .

Vì tứ diện có , , đôi một vuông góc nên .

Xét hai tam giác vuông , có đường cao lần lượt là , khi đó ,

.

Vậy .

Câu 29: Cho khối chóp , đáy là hình chữ nhật có cạnh , đường chéo

, có vuông góc với mặt đáy. Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng .

Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

là hình chữ nhật có .

.

Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và suy ra .

.

Xét tam giác vuông có đường cao , ta có .

Xét tam giác vuông có đường cao , ta có

.

Vậy .

Câu 30: Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông tại , . Các mặt bên

tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng . Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là hình chiếu của lên đáy, là hình chiếu của lên .

Dễ dàng chứng minh được góc giữa các mặt bên và đáy là các góc và các tam

giác vuông bằng nhau, nên . Do đó là tâm đường tròn nội

tiếp của tam giác .

. Nên diện tích và nửa chu vi của tam giác lần Ta có:

lượt là:

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là: .

Đường cao của khối chóp là .

Vậy thể tích khối chóp đã cho là:

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng có đáy

là tam giác đều cạnh

Phan Nhật Linh . Khoảng cách từ

tâm của tam giác đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là trung điểm của và là hình chiếu của trên .

Ta có (1)

Mà

Từ (1) và (2) .

Ta có

.

Vì tam giác là tam giác đều cạnh nên

Xét tam giác vuông : .

Vậy .

Câu 32: Cho hình lập phương , khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Tính theo thể tích khối lập phương .

A. . B. D. . . .

C. Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Gọi là giao điểm của và .

Trong mặt phẳng : cắt tại .

Do song song và nên .

, mà tam giác đều (các cạnh là các đường chéo của

là trọng tâm tam giác Suy ra những hình vuông bằng nhau) Vì vậy và , suy ra .

Do đó khoảng cách từ đến mặt phẳng là .

Mặt khác .

Vậy thể tích .

Câu 33: Cho hình lăng trụ lên mặt phẳng có đáy là tam giác đều cạnh trùng với trọng tâm của tam giác . Hình chiếu vuông góc của điểm . Biết khoảng cách giữa 2

đường và bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là trọng tâm của tam giác và .

Dựng .

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Ta có:

. Khi đó:

Tam giác vuông tại : và .

Tam giác vuông tại : .

. Suy ra

Vậy .

Câu 34: Cho khối lăng trụ đứng , có đáy là tam giác vuông và là tam giác đều.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Thể tích của khối lăng trụ

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Do tam giác là tam giác đều nên tam giác là tam giác vuông cân tại .

. Đặt:

Ta có: .

. Mặt khác:

.

Vậy .

Câu 35: Cho khối lăng trụ đứng , có đáy là tam giác vuông cân tại

giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Góc và . Thể tích của khối lăng trụ

bằng

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Ta có: .

Mặt khác: là hình chiếu của lên

.

Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng , biết đáy là tam giác đều cạnh . Khoảng cách từ

tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích

khối lăng trụ .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

là tam giác đều nên . là trọng tâm của tam giác . Gọi

là hình chiếu vuông góc của lên là hình chiếu vuông góc của là trung điểm lên Do tam giác của ,

, Diện tích đáy là

và Ta có

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Do đó

Xét tam giác vuông tại ta có:

Vậy .

Câu 37: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông; mặt bên là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

. Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có với , là trung điểm của .

là cạnh hình vuông với .

Gọi Ta có phương trình :

,

Suy ra .

Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng là tam giác vuông cân tại , mặt bên

, đáy là hình vuông. Biết khoảng cách giữa . Thể tích của khối lăng trụ và bằng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Tam giác vuông tại .

là lăng trụ đứng .

Từ , suy ra .

Mặt khác .

.

Vậy thể tích khối lăng trụ là

.

Câu 39: Cho hình lăng trụ đều có cạnh đáy bằng . Đường thẳng tạo với mặt

phẳng góc thỏa mãn . Thể tích khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là trung điểm cạnh .

Do tam giác đều nên và .

Ta có: , (do ) suy ra .

Do đó: .

Xét tam giác vuông : .

36| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông

:

.

Thể tích khối lăng trụ:

.

Câu 40: Cho khối lập phương có khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

. Khi đó thể tích khối lập phương là

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Gọi

Ta có:

Ta lại có:

Gọi là độ dài cạnh hình lập phương

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

10

DẠNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Định lý: Cho hàm số liên tục, không âm trên Khi đó diện tích của hình thang cong

giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và 2 đường thẳng là: .

• Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn

, trục hoành và hai đường thẳng được xác định: .

• Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên

đoạn và hai đường thẳng được xác định: .

• Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị là:

, trong đó tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

.

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 44 – Đề tham khảo 2023. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và

bằng

A. . B. . C. . D. .

 Lời giải

Chọn C Ta có:

Vì do liên tục trên nên . Do đó

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và , ta có:

.

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường và là:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

C

Câu 1: Cho hàm số

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN có đạo hàm liên tục trên

có và thỏa mãn biểu

thức . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn

bởi hai đồ thị hàm số và bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Biết hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng , thỏa mãn

và với mọi . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường và gần giá trị nào nhất sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Biết

tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và

A. . B. . C. . D.

Câu 5: Cho hàm số là hàm liên tục có tích phân trên thỏa điều kiện

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và

đường thẳng

. C. . D. .

A. Câu 6: Cho hàm số . B. có đồ thị nằm phía trên trục hoành. Hàm số thỏa mãn các

điều kiện và Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và

trục hoành gần nhất với số nào dưới đây? A. B. . . C. . D. .

Câu 7: Cho hàm số liên tục và xác định trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện

với , với . Diện tích

hình phẳng giới hạn bởi các đường và bằng

A. . B. . C. . D. .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 8: Cho

hàm đạo có số hàm liên tục trên

Phan Nhật Linh thỏa mãn

và

. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm

số có diện tích bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Cho hàm số có đồ thị là đường cong và đường thẳng

tiếp xúc với tại điểm . Biết và còn hai điểm chung khác có

hoành độ là và . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đường cong và đường thẳng .

A. . B. . C. D. .

Câu 10: Cho đồ thị hàm số

và có đồ thị như hình vẽ

(Đồ thị là nét có đường cong đậm hơn). Biết

phần hình phẳng được giới hạn bởi và

(phần tô đậm) có diện tích bằng . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng quanh trục hoành có giá trị gần với số nào nhất?

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Cho hàm số có đạo hàm liên tục và xác định trên và thỏa mãn điều kiện

và . Khi đó diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đồ thị và bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Cho hàm số thỏa mãn ,

và . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

.

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 14: Cho hàm số

có đạo hàm xác định, liên tục trên khoảng

Về đích đặc biệt 9+ đồng thời thỏa mãn các

điều kiện , và . Khi đó diện ,

tích giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng bằng bao

.

nhiêu? A. C. . B. D. . .

Câu 15: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa

; và . Biết diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị : , trục tung và trục hoành có dạng với là

.

các số nguyên dương. Tính B. A. . . C. . D. .

Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn thỏa mãn

Biết tích

phân ( là các số nguyên dương và là phân só tối giản). Giá trị của

bằng A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và .

Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục

quay quanh .

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và . Tính

diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và trục .

A. . B. . C. . D.

Câu 19: Hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các

hàm số , .

A. B. C. D.

. hàm Câu 20: Cho số . có . tục đạo hàm liên trên và . thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và

có kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai bằng

A. . B. . C. . D.

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 21: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

Phan Nhật Linh ;

. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và trục , . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục có thể tích

bằng

A. . B. . C. . D.

Câu 22: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

. Giá trị của diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và thuộc khoảng

. A. B. . C. . D. .

Câu 23: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

, , và bằng

. A. B. . C. . D. .

Câu 24: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thoả mãn và

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thoả mãn và

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và phương trình tiếp tuyến của tại

điểm có hoành độ .

. A. . B. C. . D. .

Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thoả mãn và

với mọi . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và

trục , trục và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Cho hàm số thoả mãn và .

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi , và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Cho hàm số thỏa mãn , , ,

và . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , , ,

bằng

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn hệ thức

. Tính thể tích vật tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị , trục hoành và trục tung quanh trục .

A. . B. . C. . D. .

Câu 30: Cho hàm số dương, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn hệ thức

và . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục

hoành và các đường thẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 31: Cho hàm số với là các số thực. Biết hàm số

có hai giá trị cực trị là và . Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường và bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Cho hàm số là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số , có diện tích bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Cho hàm số xác định và liên tục trên thoã mãn và

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường

, trục và hai đường thẳng .

C. A. . B. . . D. .

Câu 34: Cho hàm số có đồ thị . Khi đó diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị , trục tung, tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là

A. B. . C. . D. .

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 35: Cho hàm

số có đạo hàm xác định trên

Phan Nhật Linh thoả mãn

và

, và có . Diện tích hình phẳng

gới hạn bởi hai đồ thị và bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 36: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

và . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 37: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn và

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 38: Cho hàm số liên tục trên khoảng . Biết và

, . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

, và trục ( trong miền ) bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 40: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 41: Cho hàm số liên trục trên và thỏa mãn điều kiện

. Đồ thị hàm số cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt có

hoành độ lần lượt là . Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và có diện

tích bằng:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. B. C. D.

Câu 42: Cho hàm số , có đạo hàm và trên thỏa mãn điều kiện

. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số với các đường và ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 43: Cho hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ;

và trục hoành bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 44: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Biết .

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi đồ thị của hàm số , trục hoành,

đường thẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 45: Cho hàm số có , đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

với mọi . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hàm số và trục hoành bằng

A. . B. . C. . D. .

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

có

và

thỏa mãn biểu thức

. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai

đồ thị hàm số

và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có:

. Do

Ta có: .

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là: .

Câu 2: Cho

hàm

số

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

.

Với .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Suy ra .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và , ta có:

. Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường và

là: .

Câu 3: Biết hàm số

nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng

, thỏa mãn

và

với mọi

. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường

và

gần giá trị nào nhất sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Vì .

Do đó .

Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số và đường thẳng là

.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là

.

Câu 4: Cho hàm số

liên tục trên

thỏa mãn

. Biết

tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

và

A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Theo giả thiết ta có:

.

Mà

nên từ

có:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Diện tích hình phẳng bằng:

.

Chọn C

Câu 5: Cho hàm số

là hàm

liên

tục có

tích phân

trên

thỏa điều kiện

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và

đường thẳng

A.

.

B.

.

.

D.

.

C. Lời giải

Ta có

. Đặt

.

Khi đó

.

Do đó

.

Nên

.

Ta có

Vậy diện tích cần tìm là

Chọn B

Câu 6: Cho hàm số

có đồ thị

nằm phía trên trục hoành. Hàm số

thỏa mãn các

điều kiện

và

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

và

trục hoành gần nhất với số nào dưới đây? A.

B.

.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có

.

Theo giả thiết

và

nên ta có

Phương trình hoành độ giao điểm của

với trục hoành

.

.

Vì

luôn ở phía trên trục hoành nên

.

Câu 7: Cho hàm số

liên tục và xác định trên

thỏa mãn đồng thời các điều kiện

với , với . Diện tích

hình phẳng giới hạn bởi các đường và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B Từ giả thiết với , cho , ta có

.

Mặt khác, , ta có

Thay , ta suy ra .

Do đó, ta được

Vì nên ta suy ra được

và Xét phương trình hoành độ giao điểm của , ta có:

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường và là:

Câu 8: Cho

hàm

số

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm

có diện tích bằng

số

. B. . C. . D. . A.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Vì do liên tục trên nên .

Do đó

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số là

Câu 9: Cho hàm số

có đồ thị là đường cong

và đường thẳng

tiếp xúc với

tại điểm

. Biết

và

còn hai điểm chung khác có

hoành độ là

và

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đường cong

và đường thẳng

.

A. . B. . C. D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Chọn A

Theo giả thiết ta có:

Ta có:

Suy ra

Mặt khác theo định lí viet bậc 4 của phương trình (*) ta được:

Từ

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng là:

.

Câu 10: Cho đồ thị hàm số

và

có đồ thị như hình vẽ

(Đồ thị

là nét có đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi

và

. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng

(phần tô đậm) có diện tích bằng quanh trục hoành có giá trị gần với số nào nhất?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị ta có: và qua , ,

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Đường cong

Đồ thị hàm số và cắt nhau tại điểm có hoành độ , , suy ra

Vậy

Câu 11: Cho

hàm

số

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D Ta có:

Cho ta được ; .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :

.

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là .

Câu 12: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục và xác định trên

và thỏa mãn điều kiện

và

. Khi đó diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đồ thị

và

bằng:

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Ta có:

Chọn B

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

Mặt khác

nên

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số là:

.

Câu 13: Cho

hàm

số

thỏa mãn

,

và

. Tính diện tích

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: .

với .

.

.

Do . Suy ra .

.

Ta có .

Câu 14: Cho hàm số

có đạo hàm xác định, liên tục trên khoảng

đồng thời thỏa mãn các điều

kiện

,

và

,

. Khi đó diện tích

giới hạn bởi đồ thị

, trục hoành và hai đường thẳng

bằng bao nhiêu?

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 .

. . . A. C.

B. D. Lời giải

Chọn B

Với , ta có:

mà nên .

Vậy

nên . Mặt khác, ta có:

. Khi đó:

Câu 15: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên đoạn

và thỏa

và

. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

:

;

, trục tung và trục hoành có dạng

với

là các số nguyên dương. Tính

. B. . . D. .

. A.

C. Lời giải

Chọn B

Ta có .

.

.

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

nên suy ra . Vì

Do đó: .

Suy ra . Vậy .

Câu 16: Cho hàm số

có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn

thỏa mãn

Biết

tích

phân

(

là các số nguyên dương và

là phân só tối giản). Giá trị của

B. . . D. .

bằng A.

.

C. Lời giải

Chọn B

Ta có:

.

Theo giả thiết:

.

Do đó

Theo giả thiết:

Câu 17: Cho hàm số

liên tục trên

, thỏa mãn

và

.

Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và trục

quay quanh

.

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B Từ giả thiết ta có

Vì . Ta có

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành thỏa mãn phương trình

Vậy thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục

quay quanh là .

Câu 18: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và . Tính

diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và trục .

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A Từ giả thiết ta có

Vì nên

Vậy

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và trục là

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 19: Hàm hàm

đạo

có

số

liên

tục

trên

Về đích đặc biệt 9+ thỏa mãn và

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các

,

.

hàm số

B.

.

.

D.

.

A.

.

C. Lời giải

Ta có

Nên

Thay

vào

ta được

. Suy ra

Khi đó

.

Xét phương trình

Chọn A

Câu 20: Cho

hàm

số

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và

có kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

. Cho ta được và

Xét phương trình:

Diện tích hình phẳng là: ( đvdt).

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 21: Cho hàm số

có đạo hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

Phan Nhật Linh ;

. Hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hàm số

và

trục

,

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

quanh trục

có thể tích bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

Do nên

Xét phương trình: .

Thể tích của khối tròn xoay là: ( đvtt).

Câu 22: Cho

hàm

số

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

. Giá trị của diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và

thuộc khoảng

. A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Vì liên tục trên nên . Suy ra

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Về đích đặc biệt 9+ , ta có:

và

.

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường và là:

Câu 23: Cho

hàm

số

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

,

và

bằng

,

A. B. . D. . . .

C. Lời giải

Chọn C Ta có:

Vì do liên tục trên nên . Do đó

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường , , và là:

.

Câu 24: Cho hàm số

có đạo hàm

liên

tục

trên

thoả mãn

và

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

.

và

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vì nên .

Do đó .

Vì liên tục trên nên liên tục tại .

.

Phương trình hoành độ giao điểm của là

.

Câu 25: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

thoả mãn

và

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

và phương trình tiếp tuyến của tại điểm

có hoành độ

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

.

Vì nên . Do đó .

Lại có .

.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là

.

Phương trình hoành độ giao điểm của và

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

Câu 26: Cho hàm số

có đạo hàm

liên

tục

trên

thoả mãn

và

với mọi

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

và trục

, trục

và

.

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Vì nên .

Do đó

.

Câu 27: Cho hàm số

thoả mãn

và

.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

,

và

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Vì nên .

thỏa mãn

,

,

Do đó suy ra .

Câu 28: Cho hàm số ,

và . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , , ,

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có:

với

Do .

Suy ra

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , , , là:

.

Câu 29: Cho hàm số

có đạo hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn hệ

thức

. Tính thể tích vật tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị

, trục hoành và trục tung quanh trục

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

Chọn , nên

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là .

Nên thể tích cần tìm là:

Câu 30: Cho hàm số

dương, có đạo hàm liên tục trên

, thỏa mãn hệ thức

và

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

, trục

hoành và các đường thẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

Do nên . Vậy

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là:

. Đặt

Đặt

Đổi cận:

với

là các số

thực. Biết hàm số

Nên: .

Câu 31: Cho hàm số

có hai giá trị cực trị là và . Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường và bằng

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn D Xét hàm số

Ta có

Theo giả thiết ta có phương trình có hai nghiệm

Vì là hàm bậc ba có hệ số nên nếu giả sử thì

Xét phương trình

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Câu 32: Cho hàm số

là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số , có diện tích bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

, Hàm số đã cho có dạng

Từ hình vẽ đã cho ta thấy đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại các điểm và đi

qua điểm nên:

Vậy

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số , là

Do không đổi dấu trên các khoảng , , nên ta có:

(đvdt).

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 33: Cho hàm số

xác định và

liên

tục

trên

Về đích đặc biệt 9+ và

thoã mãn

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường

, trục

và hai đường thẳng

.

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Ta có

. Đặt . Ta có

Do

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục và hai đường thẳng

là .

Câu 34: Cho hàm số

có đồ thị

. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị

, trục tung, tiếp tuyến của

tại điểm có hoành độ

là

A.

B.

.

.

D.

.

C. Lời giải

Ta có

Đặt

và

Khi đó hàm số

có dạng

.

Suy ra

.

.

.

Chọn B

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Từ (1) và (2) ta được:

Suy ra

Ta có:

Phương trình tiếp tuyến

của

tại điểm có hoành độ

:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị

với tiếp tuyến

là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

, trục tung, tiếp tuyến

là

Câu 35: Cho hàm

số

có đạo hàm xác định

trên

và

thoả mãn

,

và có

. Diện tích hình phẳng

gới hạn bởi hai đồ thị

và

bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Ta có:

Mà

Xét

Vậy

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 36: Cho

hàm

đạo

có

số

hàm

liên

tục

trên

Về đích đặc biệt 9+ thỏa mãn và

và

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và

bằng

. D. . B. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

(*) Ta có

Nếu thì

Nếu thì (*)

. Mà . Vậy

. Phương trình hoành độ giao điểm

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường và là:

.

Câu 37: Cho hàm số

có đạo hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

và

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết .

Có , với thì

, mà nên . Do đó (thỏa mãn).

Xét phương trình

hoặc hoặc .

Vậy diện tích hình phẳng cần tính bằng .

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 38: Cho hàm

số

liên

tục

trên khoảng

. Biết

và

,

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

,

và trục

( trong miền

) bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Với mọi , ta có:

.

Mà nên . Suy ra: .

Phương trình hoành độ giao điểm của , ( trong miền ) là:

.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , và trục ( trong miền

) bằng: .

Câu 39: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

và thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có :

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Với .

Do đó: .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình:

.

Suy ra, diện tích phẳng giới hạn bởi các đường cong và là:

.

Câu 40: Cho

hàm

số

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có :

Với .

Do đó .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và là:

.

Suy ra, diện tích phẳng giới hạn bởi các đường cong và là:

.

Câu 41: Cho hàm số

liên trục trên

và thỏa mãn điều kiện

.

Đồ thị hàm số

cắt đồ thị

tại ba điểm phân biệt có hoành

độ lần lượt là

. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

và

có diện tích bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Đặt

thay vào , ta được: Khi đó

.

. Mặt khác:

.

. Cho

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và bằng:

.

Câu 42: Cho hàm số

, có đạo hàm

và

trên

thỏa mãn điều kiện

. Tính diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số

với các đường

và

?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

.

.

.

.

Mặt khác ta có .

Câu 43: Cho hàm số

xác định và có đạo hàm liên tục trên

thỏa mãn

và

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

;

và trục hoành bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có

Mặt khác:

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là .

Câu 44: Cho hàm số

liên tục trên

thỏa mãn

. Biết

.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi đồ thị của hàm số

, trục hoành, đường

thẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B Với ta có:

Với ta có ,

. Suy ra .

Vậy diện tích (Đvtt)

Câu 45: Cho hàm số

có

, đạo hàm

liên tục trên

và thỏa mãn

với mọi

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hàm số

và trục hoành bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C Xét : từ điều kiện ta có .

Xét : chia hai vế của điều kiện cho ta được

.

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Do , suy ra hay nên

Vì nên , suy ra .

Kết hợp cả hai trường hợp ta có với mọi .

Phương trình có 3 nghiệm , và . Bên cạnh đó với mọi

và với mọi .

Vậy diện tích cần tìm là: .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

11

DẠNG

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI SỐ PHỨC

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Xét phương trình bậc hai với có: .

▪ Nếu thì có nghiệm kép: .

▪ Nếu thì có hai nghiệm thực phân biệt .

▪ Nếu thì có hai nghiệm phức phân biệt . Hai nghiệm phức này là 2 số

phức liên hợp của nhau.

 Lưu ý

▪ Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức : và .

▪ Căn bậc hai của số phức là một số phức w và tìm như sau:

Đặt với .

.

Giải hệ này với sẽ tìm được và .

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 42 – Đề tham khảo 2023. Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( là số

thực). Có bao nhiêu giá trị của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

A. B. D. C.

 Lời giải

Chọn C Ta có: Trường hợp 1:

Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó:

Suy ra:

Trường hợp 2:

Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hoặc

Suy ra:

Vậy có giá trị của thỏa yêu cầu bài toán.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

C

Câu 1: Trên tập hợp số phức, xét phương trình

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN (

là số thực). Có bao nhiêu

giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa nãm .

A. B. C. D.

Câu 2: Cho phương trình . ( là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( là số thực). Có bao

nhiêu giá trị của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

A. B. C. D.

Câu 4: Cho các số thực sao cho phương trình có hai nghiệm phức với phần

thực là số nguyên và và là số thuần ảo. Khi đó, thỏa mãn

B. . C. . D. . bằng A. .

Câu 5: Gọi là nghiệm phức của phương trình . Tìm tất cả các giá

. trị m để

B. . C. D. . A. .

Câu 6: Trong tập số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Gọi là

tập hợp các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn

. Tổng các phần tử của tập là

A. 3. B. 1. C. 6. D. 2.

Câu 7: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có 2 nghiệm phức thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị nguyên của thuộc khoảng để phương trình có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( là số thực). Khi phương

trình có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ

thuộc khoảng nào sau đây?

nhất thì giá trị

A. . B. . C. . D. .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 10: Gọi

các nghiệm phức là của phương trình

Phan Nhật Linh . Khi đó

bằng

A. B. . D. .

. là tập hợp các số thực Câu 11: Gọi có một nghiệm phức

. C. để phương trình là . Tổng tất cả các phần tử trong với

B. . C. . D. . A. .

Câu 12: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( là số thực). Biết

rằng phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức với .

C. A. . B. . . D. .

Câu 13: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là tham số thực). Có thỏa mãn

A. B. . C. . D. .

Câu 14: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Gọi là một

giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Trong khoảng có bao nhiêu giá trị

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình (

bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là tham số thực). Có

thỏa mãn ?

A. . C. . D. . B. .

Câu 16: Gọi là các nghiệm phức của phương trình Giá trị biểu thức

là

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình (

nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là tham số thực). Có bao thỏa mãn ,

?

A. . C. . D. . B. .

Câu 18: Cho các số thực sao cho phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn

và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 19: Trong tập hợp các số phức, cho phương trình ( là tham số

thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình có hai nghiệm phân biệt

sao cho

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 20: Có bao nhiêu số nguyên

để phương trình

Về đích đặc biệt 9+ có hai nghiệm phức phân biệt

thỏa mãn .

A. C. D. .

. Câu 21: Có bao nhiêu giá trị B. . nguyên và . để phương trình có

.

hai nghiệm phức thỏa mãn B. A. . . C. .

Câu 22: Gọi là nghiệm có phần ảo dương của phương trình D. . Tính giá trị biểu thức

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Trên tập hợp các số phức, gọi là tổng các giá trị thực của để phương trình có nghiệm thỏa mãn . Tính .

D. . A. . B. . .

C. để phương trình Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số có hai

nghiệm phức phân biệt thỏa mãn .

D. . A. . B. . C. .

Câu 25: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị của để phương trình đó có hai nghiệm , thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Trên tập số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị của tham số thoả mãn ? để phương trình đó có nghiệm

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực).

Tính tổng các giá trị của để phương trình đó có nghiệm thỏa mãn ?

A. B. . C. . D. .

. Câu 28: Tìm tổng các giá trị của số thực sao cho phương trình có nghiệm phức

thỏa .

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình: có hai nghiệm

thỏa mãn ?

. B. C. D. .

A. Câu 30: Cho số phức . và hai số thực . Biết . và là hai nghiệm phức của

phương trình . Tính giá trị của .

A. . B. . C. . D. .

Câu 31: Trên tập hợp số phức, xét phương trình với là các tham số nguyên

thỏa mãn: thì giá trị

dương. Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt bằng của biểu thức B. . A. C. . . D. .

Câu 32: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có bao

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

nhiêu giá trị thực của để phương trình có nghiệm thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có 2 nghiệm phức

thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 34: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt ( thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có hai nghiệm phức

thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 36: Cho số phức và hai số thực , . Biết rằng và là hai nghiệm của phương trình

. Tính giá trị biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 37: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Phần ảo của số phức

là

A. . B. . C. . D. .

Câu 38: Cho phương trình trong tập số phức và là tham số thực. Gọi

là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của để

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Tổng các giá trị nguyên của tham số để phương trình có hai

nghiệm phức thỏa mãn ?

C. 3. B. D.

A. 4. Câu 40: Cho số phức . và hai số thực Biết rằng và . là hai nghiệm của phương trình

. Tính tổng

A. B. C. D.

Câu 41: Kí hiệu là hai nghiệm phức của phương trình . Có bao nhiêu giá trị nguyên

của để

. B. C. D. . A. Câu 42: Cho số phức . Biết rằng là hai nghiệm của phương trình . và

. và hai số thực . Tổng , bằng A. . B. . C. . D. .

Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình để

thỏa mãn

phương trình đó có hai nghiệm phân biệt A. B. . . C. . . Tính tổng các giá trị của . . D.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

(

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 44: Trên tập số phức, xét phương trình giá trị nguyên dương của

Về đích đặc biệt 9+ là tham số thực). Có bao nhiêu thỏa mãn

, để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt

?

A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.

(

Câu 45: Trên tập các số phức, xét phương trình giá trị nguyên của tham số để phương trình có hai nghiệm là tham số thực). Có bao nhiêu phân biệt thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 46: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị nguyên của thuộc khoảng để phương trình có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 47: Cho phương trình trong tập số phức và là tham số thự C.

là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của Gọi để

.

hoặc hoặc .

A. C. hoặc . B. . D. hoặc .

Câu 48: Gọi là bốn nghiệm phức của phương trình . Tổng

bằng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 49: Cho phương trình ( là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên

? của tham số để phương trình có hai nghiêm phức phân biệt thoả mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 50: Biết phương trình ( là tham số) có hai nghiệm phức . Gọi

lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức và . Có bao nhiêu giá trị của tham số

để diện tích tam giác A. bằng ? B. C. D.

Câu 51: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình là tham số thực). Gọi (

là để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt được biểu diễn hình học tập hợp các giá trị của

bởi hai điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho diện tích tam giác bằng , với

. Tổng các phần tử trong bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 52: Trên tập hợp các số phức, cho biết phương trình (với và phân số tối

giản) có hai nghiệm . Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của trên mặt

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

phẳng . Biết tam giác đều, tính giá trị của

A. . B. . C. . D. .

Câu 53: Biết rằng phương trình là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên hợp

. Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức . Tính giá trị của biểu

thức biết rằng ba điểm tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 54: Kí hiệu là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình

Trên mặt phẳng toạ độ , điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 55: Trên tập hợp các số phức, phương trình ( là tham số thực) có

nghiệm , . Gọi , là điểm biểu diễn của , trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có

để tam giác có một góc bằng . Tổng các giá trị đó bằng bao

B. . C. . D. . giá trị của tham số nhiêu? . A.

Câu 56: Trong tập các số phức, cho phưong trình . Gọi là một giá trị của

để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . Hỏi trong khoảng

có bao nhiêu giá trị

A. . B. . C. . D. .

Câu 57: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có nghiệm phức thỏa mãn ?

A. B. C. D.

Câu 58: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực).

Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn

?

A. . B. . C. . . D .

Câu 59: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn ?

A. B. . C. . D. .

Câu 60: Trong tập số phức, xét phương trình ( là tham số thực ). Gọi là tập

hợp các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

. Tính tổng các phần tử của tập . A. B. . C. . D. .

Câu 61: Trên tập số phức, xét phương trình , là tham số thự C.

Có bao nhiêu giá trị để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt thỏa điều

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

kiện .

A. . B. . C. . D. 3.

Câu 62: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: ( là tham số

thực). Hỏi tổng các giá trị của để phương trình trên có nghiệm thỏa mãn

? A. . B. . C. . D. .

Câu 63: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị của để phương trình trên có nghiệm thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 64: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực).

Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 65: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có 2 nghiệm phức

thỏa mãn ?

A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.

Câu 66: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình (

nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là tham số thực). Có bao thỏa mãn

, ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 67: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 68: Trên tập hợp số phức, xét phương trình là tham số thực).

Có bao nhiêu số nguyên đề phương trình trên có hai nghiệm phức thỏa mãn

?

A. 11. B. 10. C. 8. D. 9.

Câu 69: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có nghiệm phức thỏa mãn ?

B. . C. . D. . .

A.

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( là số thực). Có bao nhiêu

giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa nãm .

B. D. A.

C. Lời giải

Chọn A

Ta có

TH1:

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt thỏa mãn .

Khi đó .

Theo Vi-ét ta có . Kết hợp điều kiện ta được .

TH2: .Vì

Nên

Kết hợp điều kiện ta được .

Vậy có 3 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2: Cho phương trình . ( là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt thỏa mãn ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có

TH1:

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt và

TH2: Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt

( luôn đúng)

Mà . Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn bài toán.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 3: Trên tập hợp số phức, xét phương trình

Về đích đặc biệt 9+ là số thực). Có bao

(

nhiêu giá trị của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

B. D. A.

C. Lời giải

. Chọn C Ta có:

. TH1:

Phương trình có hai nghiệm phức .

.

Ta có , do đó

TH2:

Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt .

.Suy ra: . Ta có

. Khi đó

Vậy có giá trị của thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 4: Cho các số thực sao cho phương trình có hai nghiệm phức với phần

thực là số nguyên và và là số thuần ảo. Khi đó, thỏa mãn

B. . . D. . bằng A. .

C. Lời giải

Chọn B Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực thì

mâu thuẫn với giả thiết.

Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực

. Giả sử

Khi đó .

Lại có

là một số thuần ảo.

Suy ra .

. Giải hệ gồm và :

. Vì vậy theo Viet ta có:

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 5: Gọi là

nghiệm phức của phương trình

Phan Nhật Linh . Tìm tất cả các giá

. trị m để

B. . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có:

Ta có: .

là nghiệm của phương trình . Ta có: .

là nghiệm của phương trình . Ta có: .

(thỏa mãn). Theo đề ra ta có:

Kết luận .

Câu 6: Trong tập số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Gọi là

tập hợp các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn

. Tổng các phần tử của tập là

B. 1. D. 2. A. 3. C. 6.

Lời giải

Chọn B

Xét phương trình , ta có:

.

TH1: .

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt , .

Theo định lí Vi-et ta có: .

Theo đề bài ta có: .

TH2:

Phương trình luôn có hai nghiệm phức , luôn thỏa mãn .

Do đó . Vậy tổng các phần tử của tập là 1.

Câu 7: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có 2 nghiệm phức thỏa mãn

?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

TH1: , phương trình có 2 nghiệm , khi đó

. (thỏa mãn điều

kiện ).

TH2: , phương trình có 2 nghiệm , khi đó

. (thỏa

).

mãn điều kiện Vậy có 4 giá trị của giá trị của Vậy có thỏa mãn yêu cầu bài toán. thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 8: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị nguyên của thuộc khoảng để phương trình có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: .

Trường hợp 1: . Khi đó phương trình có nghiệm thực phân biệt và

, . Nên

Với , không thoả mãn yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt, nên loại.

Với không thỏa mãn, do theo Vi-ét, ta có .

Trường hợp 2: . Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt , và

, . Yêu cầu luôn đúng với .

Vậy trong khoảng có số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( là số thực). Khi phương

trình có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ

thuộc khoảng nào sau đây?

nhất thì giá trị

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có: .

TH1: .

Phương trình có hai nghiệm phức .

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Ta có

. Do đó

để

Trường hợp này không tồn tại đạt giá trị nhỏ nhất.

TH2: .

Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt .

Ta có .

Khi đó

.

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

Câu 10: Gọi là các nghiệm phức của phương trình . Khi đó

bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có: mà

Câu 11: Gọi là tập hợp các số thực có một nghiệm phức

với . Tổng tất cả các phần tử trong để phương trình là

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Cách 1 TH1: là số thực

TH2: không phải là số thực

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Vì phương trình là nghiệm của

Về đích đặc biệt 9+

có các hệ số thực và

nên

cũng là nghiệm của .

Theo Viet ta có (thỏa (1))

bằng 4.

Vậy tổng các phần tử của Cách 2: Gọi

là nghiệm của phương trình

Ta có

. Từ . Với

, lúc đó: (vô nghiệm) Khi

, lúc đó: Khi

, lúc đó : . Với

Do đó:

Vậy tổng các phần tử của bằng .

Câu 12: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( là số thực). Biết

rằng phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức với .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

.

. TH1:

Ta có: , nên phương trình có 2 nghiệm thực .

Do đó: (loại).

TH2: .

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Phương trình có hai nghiệm phức thoả: nên

. Do đó:

. So với ĐK nhận . Khi đó PT trở thành:

. Vậy đạt được tại .

Câu 13: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình (

bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là tham số thực). Có thỏa mãn

A. B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có: thì .

TH1: . Khi đó phương trình có nghiệm thực phân

biệt và theo yêu cầu bài toán:

. Phương trình khi đó có nghiệm luôn thỏa TH2:

mãn . Nên: .

Vậy các giá trị thỏa mãn là: .

Câu 14: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Gọi là một

giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Trong khoảng có bao nhiêu giá trị

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn D

.

Xét phương trình . Ta có

Theo đề bài: .

Khi

phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, khi đó: ). ( mâu thuẫn vì

Khi phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là hai số phức liên hợp, hay:

. Suy ra Trong khoảng có giá trị .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 15: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình

(

bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt

Về đích đặc biệt 9+ là tham số thực). Có

thỏa mãn ?

D. . A. . B. . .

C. Lời giải

Ta có: thì .

.

. Trường hợp 1: Với phương trình có hai nghiệm thực

Khi đó .

Suy ra (loại).

Trường hợp 2: .

Phương trình khi đó có nghiệm .

Do đó (luôn đúng).

Kết hợp điều kiện và , nguyên suy ra

Vậy các giá trị nguyên của thỏa mãn là: nên có 16 giá trị nguyên của

thoả mãn.

Câu 16: Gọi là các nghiệm phức của phương trình Giá trị biểu thức

là

A. . B. D. . . .

C. Lời giải

Chọn A

Có

Khi đó

Câu 17: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình (

nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là tham số thực). Có bao thỏa mãn ,

?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

Phương trình đã cho có .

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Trường hợp 1: .

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực , phân biệt.

Do đó,

Nếu hoặc thì

Nếu thì (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt . , là hai số phức liên hợp:

và .

Do đó,

(thỏa mãn).

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn đề bài.

Câu 18: Cho các số thực sao cho phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn

và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. D.

C. Lời giải

Chọn A

Vì là hai nghiệm phức của phương trình nên

Khi đó ta có

Gọi là điểm biểu diễn số phức

vừa thuộc đường tròn tâm bán kính và đường tròn tâm

bán kính

Ta có và tiếp xúc ngoài.

Do đó có duy nhất 1 điểm thỏa mãn, tọa độ điểm là nghiệm của hệ :

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

là nghiệm của

phương trình cũng là nghiệm của phương trình

Áp dụng định lí Vi ét ta có

Vậy

Câu 19: Trong tập hợp các số phức, cho phương trình ( là tham số

thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình có hai nghiệm phân biệt

sao cho

B. . D. . . A. .

C. Lời giải

Chọn B

.

Ta có

TH1:.

Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt, khi đó:

.

. TH2:

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phức là 2 số phức liên hợp của nhau, ta luôn có

.

Với . Vậy có giá trị nguyên dương cần tìm.

Câu 20: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt

thỏa mãn .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Với , phương trình có hai nghiệm phức liên hợp

. Khi đó hiển nhiên .

Với , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt . Đẳng

thức tương đương với , điều này nghĩa là tức

. Tóm lại các số nguyên cần tìm là .

Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên và để phương trình có

hai nghiệm phức thỏa mãn .

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

A. . B. . . D.

Phan Nhật Linh

C. Lời giải

Chọn D

TH1. Nếu

Khi đó phương trình có hai nghiệm thực và

Ta có

TH2. Nếu

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức và

Mà

Kết hợp hai TH suy ra thì phương trình luôn có hai nghiệm phức thỏa mãn .

Mà .

Vậy có giá trị cần tìm.

Câu 22: Gọi là nghiệm có phần ảo dương của phương trình . Tính giá trị biểu thức

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Lấy , ta có: và .

và Suy ra

Suy ra

Suy ra .

Câu 23: Trên tập hợp các số phức, gọi là tổng các giá trị thực của để phương trình

có nghiệm thỏa mãn . Tính .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Xét phương trình .

TH1: Phương trình đã cho có dạng không thõa mãn.

TH2: . Ta có .

thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực Nếu:

là số thực

Theo bài ra, ta có .

, ta có (thỏa mãn ). Với

, ta có ( thỏa mãn ). Với

, thì phương trình đã cho có hai Nếu:

nghiệm phức

là nghiệm của phương trình đã cho cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

Áp dụng hệ thức viét, ta có mà (không

. thõa mãn) Vậy

Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có hai

nghiệm phức phân biệt thỏa mãn .

B. . . A. . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Yêu cầu bài toán

Vậy có tất cả giá trị cần tìm.

Câu 25: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị của để phương trình đó có hai nghiệm , thỏa mãn ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Ta có: có .

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Trường hợp 1: . Khi đó phương trình có hai nghiệm thực , .

Suy ra .

Kết hợp với điều kiện nhận .

Trường hợp 2: . Khi đó phương trình có hai nghiệm phức , thỏa mãn

.

Suy ra .

Kết hợp với điều kiện , nhận .

Vậy có giá trị của thỏa mãn.

Câu 26: Trên tập số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị của tham số thoả mãn ? để phương trình đó có nghiệm

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn B

có Phương trình .

Trường hợp 1: Nếu . Phương trình đã cho có nghiệm thoả mãn ,

suy ra hoặc .

Nếu , suy ra

Nếu , suy ra (vô nghiệm).

Trường hợp 2: Nếu , phương trình đã cho có hai nghiệm phức

và .

Khi đó .

Vậy có giá trị của tham số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 27: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực).

Tính tổng các giá trị của để phương trình đó có nghiệm thỏa mãn ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Chọn D

có . Xét phương trình

thì phương trình có nghiệm thỏa suy ra Nếu

hoặc .

Với ta có (nhận).

ta có Với (vô nghiệm).

Nếu , khi đó phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn .

Suy ra .

Kết hợp với điều kiện suy ra .

Vậy tổng các giá trị của là .

Câu 28: Tìm tổng các giá trị của số thực sao cho phương trình có nghiệm phức

thỏa .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Trường hợp . Khi đó .

Nếu thì không có nghiệm thực .

Nếu thì luôn có nghiệm thực và theo định lý Vi-ét tổng hai nghiệm

thực này là .

có nghiệm phức thì cũng là nghiệm Trường hợp phương trình

phức của phương trình.

Vì nên .

Theo định lý Vi-ét ta có .

Phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt, theo định lý Vi-ét ta có tổng các giá trị của

số thực bằng .

Từ và suy ra tổng các giá trị của số thực sao cho phương trình

có nghiệm phức thỏa là .

Câu 29: Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình: có hai nghiệm

thỏa mãn ?

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn B

Phương trình

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Có:

. có 2 nghiệm Trường hợp 1:

có 2 nghiệm phức liên hợp . Trường hợp 2:

Ta có: .

Trường hợp 3: có 2 nghiệm thực phân biệt thỏa mãn định lý Viet:

Mà

.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30: Cho số phức và hai số thực . Biết là hai nghiệm phức của và

phương trình . Tính giá trị của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Vì là 2 nghiệm phức của phương trình đã cho nên

.

Mà là 2 nghiệm phức của phương trình trên nên . Vậy .

Câu 31: Trên tập hợp số phức, xét phương trình với là các tham số nguyên

dương. Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: thì giá trị

của biểu thức . A. bằng B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Nhận xét: Nếu

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Giả thiết . Suy ra (vô lý)

Suy ra:

Giải phương trình ta có hai nghiệm

TH1:

TH2:

Suy ra Cách 2

Nhận xét: Nếu

Giả thiết . Suy ra (vô lý)

Suy ra:

Giả thiết ta có:

Áp dụng viet suy ra

Câu 32: Trên tập hợp số phức, xét phương trình là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị thực của để phương trình có nghiệm ( thỏa mãn

B. . . A. . D. .

C. Lời giải

Chọn D

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

phương trình có hai nghiệm thực, khi đó Ta có Trường hợp 1:

Nếu là nghiệm của phương trình đã cho thì ta có

Nếu là nghiệm của phương trình đã cho thì ta có

(vô nghiệm)

phương trình đã cho là không thỏa

Trường hợp 2: mãn điều kiện nên không là giá trị càn tìm.

Trường hợp 3: khi đó phương trình có hai nghiệm phức là

. Vì hai nghiệm này là hai số phức liên hợp, nên có modun bằng

nhau, do đó ta chỉ cần xét một trường hợp.

Giả sử khi đó

Vậy có 3 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán, Chọn D

Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có 2 nghiệm phức

? thỏa mãn

. B. . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có:

TH1:

TH2:

Vậy có 4 giá trị nguyên của thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 34: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt ? ( thỏa mãn

D. . A. . B. . .

C. Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Chọn A

Ta có . Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: .

Phương trình có hai nghiệm thực và .

Theo giả thiết:

(*)

Với hoặc :

. (*)

Với :

. (*)

Trường hợp 2: .

Phương trình có hai nghiệm phức và .

Theo giả thiết (**).

Khi đó (**) (không thỏa mãn).

..

Vậy có một giá trị của thỏa mãn là .

Câu 35: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có hai nghiệm phức

thỏa mãn ?

D. . A. . B. . .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có

Trường hợp 1:

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm thực (nghiệm thực cũng là nghiệm phức có

phần ảo bằng ), thỏa mãn

Suy ra

đều thỏa mãn .

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Trường hợp 2:

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức , thỏa mãn

Suy ra

đều thỏa mãn .

Vậy có 4 số nguyên a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 36: Cho số phức và hai số thực , . Biết rằng và là hai nghiệm của phương trình

. Tính giá trị biểu thức bằng

B. . . D. . . A.

C. Lời giải

Chọn B

Nhận xét: Trong tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm phức

(có phần ảo khác 0) thì .

. Vì và phương trình có hai nghiệm là Đặt

, nên 2 nghiệm là 2 nghiệm phức có phần ảo khác 0.

Do đó

.

Theo định lý Viet: , từ đó suy ra

. Vậy

Câu 37: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Phần ảo của số phức

là

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có là hai nghiệm của phương trình nên .

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vậy phần ảo của số phức là .

Câu 38: Cho phương trình trong tập số phức và là tham số thực. Gọi

là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của để

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Đặt , phương trình trở thành có hai nghiệm .

Ta có . Do vai trò bình đẳng, giả sử ta có , .

Yêu cầu bài toán

.

Câu 39: Tổng các giá trị nguyên của tham số để phương trình có hai

? nghiệm phức thỏa mãn

C. 3. A. 4. B. . D. .

Lời giải

Chọn B

Theo định lý Viet ta có:

Mặt khác:

.

Vậy tổng các giá trị nguyên của bằng .

Câu 40: Cho số phức và hai số thực Biết rằng và là hai nghiệm của phương trình

. Tính tổng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Đặt . Vì và phương trình có hai nghiệm là

, ( là số phức) nên là 2 số phức liên hợp

Ta có:

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Theo định lý Viet: .

Vậy .

Câu 41: Kí hiệu là hai nghiệm phức của phương trình . Có bao nhiêu giá trị nguyên

của để

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn C

, . Xét

. Khi đó có hai nghiệm phức là hai số phức liên hợp của TH1:

nhau.

. Giả sử

nên . Ta có:

.

. Khi đó có hai nghiệm thực thỏa mãn TH2:

.

Vậy là giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 42: Cho số phức và hai số thực , . Biết rằng và là hai nghiệm của phương trình

. Tổng bằng

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

. Vì và phương trình có hai nghiệm là Đặt

, nên

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

. Theo định lý Viet:

Vậy .

Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình . Tính tổng các giá trị của để

phương trình đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Ta có: .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình.

Theo Viet ta có: .

.

Thay vào ta có: .

Vậy tổng các giá trị của là .

(

Câu 44: Trên tập số phức, xét phương trình giá trị nguyên dương của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là tham số thực). Có bao nhiêu thỏa mãn ,

?

B. 2. C. 3. D. 1. A. 0.

Lời giải

Chọn D

. Phương trình có hai nghiệm phân biệt . Nên để phương trình Ta có

đó có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn ta xét hai trường hợp:

TH1: , trong trường hợp này , là hai nghiệm thực nên

.

TH2:

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

, nên không tồn tại số nguyên dương trong

trường hợp này. Vậy có 1 giá trị nguyên dương của thỏa mãn điều kiện bài ra.

(

Câu 45: Trên tập các số phức, xét phương trình giá trị nguyên của tham số để phương trình có hai nghiệm là tham số thực). Có bao nhiêu phân biệt thỏa mãn

?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn C

là biệt thức của phương trình. Ta có

TH1: Xét khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt. Ta có suy ra do đó

(*).

Nếu thì không thỏa mãn. Khi đó (*)

hệ vô nghiệm.

TH2: Xét khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và ,

ta có

. Kết hợp điều kiện ta được .

Vậy có tất cả là số nguyên cần tìm.

Câu 46: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị nguyên của thuộc khoảng để phương trình có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: .

Trường hợp 1: . Khi đó phương trình có nghiệm thực phân biệt và

, . Nên

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

, không thoả mãn yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt, nên loại. Với

không thỏa mãn, do theo Vi-ét, ta có . Với

Trường hợp 2: . Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt , và

, . Yêu cầu luôn đúng với .

Vậy trong khoảng có số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 47: Cho phương trình trong tập số phức và là tham số thự C.

là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của Gọi để

.

.

hoặc hoặc . A. C. hoặc hoặc . .

B. D. Lời giải

Chọn C

Đặt .

Vì phương trình có nghiệm nên

Ta có:

và Mà

Nên .

Câu 48: Gọi là bốn nghiệm phức của phương trình . Tổng

bằng?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có: .

.

Câu 49: Cho phương trình ( là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số để phương trình có hai nghiêm phức phân biệt thoả mãn ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có .

Nếu thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

và .

Ta có .

Kết hợp ĐK ta được: . Mà nên .

Nếu thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là

và .

Ta có .

Vì và nên . Tóm lại .

Câu 50: Biết phương trình ( là tham số) có hai nghiệm phức . Gọi

lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức và . Có bao nhiêu giá trị của tham số

bằng ?

để diện tích tam giác A. B. D.

C. Lời giải

Chọn A

Để phương trình có hai nghiệm phức thì

Ta có

Lại có

Vậy có hai giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 51: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình là tham số thực). Gọi (

là để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt được biểu diễn hình học tập hợp các giá trị của

bởi hai điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho diện tích tam giác bằng , với

. Tổng các phần tử trong bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có:

.

TH1: (1) có hai nghiệm phức Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức ; .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 lần lượt là hai điểm biểu diễn của

Gọi , ; trên mặt phẳng ta có:

; .

. Ta có: ;

Khi đó

.

; TH2: (1) có hai nghiệm thực phân biệt Khi đó, phương trình có hai nghiệm .

Gọi , lần lượt là hai điểm biểu diễn của ; trên mặt phẳng ta có:

; .

; . Ta có:

Khi đó Vậy nên tổng các phần tử

trong bằng .

Câu 52: Trên tập hợp các số phức, cho biết phương trình (với và phân số

tối giản) có hai nghiệm . Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của trên

mặt phẳng . Biết tam giác đều, tính giá trị của

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Từ giả thiết

thì (*) có hai nghiệm thực nên không tồn tại tam giác , không thỏa mãn bài Nếu

toán.

Nếu . Khi đó .

Suy ra và nên tam giác luôn cân tại .

Gọi là trung điểm đoạn , tam giác đều thì

.

Theo giả thiết và phân số . . tối giản nên và . Vậy

Câu 53: Biết rằng phương trình là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên hợp

. Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức . Tính giá trị của biểu

thức biết rằng ba điểm tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng .

A. B. . C. . D. .

. 34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Lời giải

Chọn A

Do phương trình là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên hợp

nên từ giả thiết ta gọi tọa độ các điểm biểu diễn cho các số phức là

với

. Do thuộc , đồi xứng qua

Nên theo giả thiết suy ra là tam giác vuông cân tại

Mặt khác (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Với ta tìm được ( loại do không thỏa là các số thực

dương).

Với ta tìm được suy ra

Câu 54: Kí hiệu là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình

Trên mặt phẳng toạ độ , điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

. Theo giả thiết ta có . Suy ra

Từ đó . Suy ra có biểu diễn là .

Câu 55: Trên tập hợp các số phức, phương trình ( là tham số thực) có

nghiệm , . Gọi , là điểm biểu diễn của , trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có

để tam giác có một góc bằng . Tổng các giá trị đó bằng bao

giá trị của tham số nhiêu? . A. B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A Vì , , không thẳng hàng nên , không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời

là số thuần ảo , là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình

. Do đó, ta phải có .

Khi đó, ta có .

và .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Tam giác cân nên

.

Suy ra tổng các giá trị cần tìm của bằng .

Câu 56: Trong tập các số phức, cho phưong trình . Gọi là một giá trị của

để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . Hỏi trong khoảng

có bao nhiêu giá trị

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn A

. .

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

khi đó phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt Khi

.

không có giá trị của Ta có

trình có 2 nghiệm phức phân biệt Khi

khi đó phương .

luôn thỏa mãn .

. Vậy có 10 giá trị của . Do

Câu 57: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có nghiệm phức thỏa mãn ?

A. B. D.

C. Lời giải

Chọn D Xét phương trình

. Ta có

thì phương trình có nghiệm thực: Nếu

Với : thay vào , được: (TM)

: thay vào , được: (TM) Với

thì phương trình có nghiệm phức Nếu

36| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Khi đó : Phương trình có hai

nghiệm phân biệt. Vậy có 4 giá trị của tham số để bài toán thỏa mãn.

Câu 58: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực).

Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn

?

C. . . A. . B. . D .

Lời giải

.

Chọn D Cách 1: Ta có Trường hợp 1: .

Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực thoả mãn .

Từ đó suy ra

.

.

Trường hợp 2: Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là và và thoả mãn

.

Vậy có 3 giá trị của tham số thoả mãn yêu cầu bài toán.

. Cách 2: Ta có

Trường hợp 1: .

Khi đó .

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thoả mãn .

Do đó .

Trường hợp 2:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Khi đó .

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thoả mãn .

Do đó

.

Vậy có 3 giá trị của tham số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 59: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình (

bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là tham số thực). Có

? thỏa mãn

D. . B. . A. .

C. Lời giải

Chọn C

Ta có: . thì

.

Trường hợp 1: Với phương trình có hai nghiệm thực .

Khi đó .

Suy ra (loại).

Trường hợp 2: .

Phương trình khi đó có nghiệm .

Do đó (luôn đúng).

Kết hợp điều kiện và , nguyên suy ra

Vậy các giá trị nguyên của thỏa mãn là: nên có 16 giá trị nguyên của

thoả mãn.

Câu 60: Trong tập số phức, xét phương trình ( là tham số thực ). Gọi là tập

hợp các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

. Tính tổng các phần tử của tập . A. . B. . D. .

C. Lời giải

Ta có:

38| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

TH1: Nếu thì phương trình có nghiệm thực, khi đó:

( không thỏa mãn )

TH2: Nếu thì phương trình có 2 nghiệm phức khi đó và là số phức liên hợp nên

Vậy tổng các phần tử của tập là: .

Câu 61: Trên tập số phức, xét phương trình , là tham số thự C. Có

bao nhiêu giá trị để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt thỏa điều kiện

.

A. . B. . D. 3. .

C. Lời giải

Chọn C Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt trong đó là nghiệm có phần ảo âm

. là:

Khi đó:

Và

Ta có:

Vì nên , do đó:

Đối chiếu điều kiện suy ra không có giá trị nào của thỏa điều kiện bài toán.

Câu 62: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: ( là tham số

thực). Hỏi tổng các giá trị của để phương trình trên có nghiệm thỏa mãn ?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có

Đặt phương trình có

TH1: xét khi đó Ta có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 39

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Với thay vào

Với thay vào pt vô nghiệm.

TH2: xét .

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức và thỏa mãn

.

Với thay vào thỏa mãn

Với không thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Vậy có 3 giá trị

Nên tổng các giá trị của tham số là 8.

Câu 63: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: ( là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị của để phương trình trên có nghiệm thỏa mãn ?

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn B Phương trình

TH1:

Ta có:

Với thay vào

Với thay vào Không có .

TH2:

Phương trình có 2 nghiệm và

Ta có:

Với thay vào (loại)

Với thay vào (Thỏa mãn)

40| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vậy có 3 giá trị .

Câu 64: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực).

Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn ?

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

.

Chọn D Cách 1: Ta có Trường hợp 1: .

Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực thoả mãn .

Từ đó suy ra

.

.

Trường hợp 2: Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là và và thoả mãn

.

Vậy có 3 giá trị của tham số thoả mãn yêu cầu bài toán.

. Cách 2: Ta có

Trường hợp 1: .

Khi đó .

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thoả mãn .

Do đó .

Trường hợp 2:

Khi đó .

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thoả mãn .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 41

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do đó

.

Vậy có 3 giá trị của tham số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 65: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có 2 nghiệm phức

? thỏa mãn

C. 1. D. 3. B. 2. A. 4.

Lời giải

Chọn A

. Ta có

TH1: , phương trình có 2 nghiệm , khi đó

.

Thỏa mãn điều kiện .

TH2: , phương trình có 2 nghiệm , khi đó

.

Thỏa mãn điều kiện . Vậy có 4 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 66: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình (

nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là tham số thực). Có bao thỏa mãn

, ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Ta có

Trường hợp 1: .

Khi đó (với ) là các nghiệm thực phân biệt nên ta có:

. Dấu bằng xảy ra khi .

. Dấu bằng xảy ra khi .

Vậy phương trình có nghiệm khi đó thỏa mãn.

Trường hợp 2: . Kết hợp .

Với ta được phương trình .

42| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Không thỏa mãn nên (loại). ,

Với ta được phương trình .

Không thỏa mãn nên (loại). ,

Câu 67: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có và

Xét . Khi đó PT có 2 nghiệm thực phân biệt

Nên (thỏa)

Xét . Khi đó PT có 2 nghiệm phức phân biệt liên hợp của nhau

Nên cũng là hai số phức liên hợp của nhau. Suy ra luôn thỏa

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn đề bài.

Câu 68: Trên tập hợp số phức, xét phương trình là tham số thực).

Có bao nhiêu số nguyên đề phương trình trên có hai nghiệm phức thỏa mãn

?

A. 11. B. 10. D. 9. C. 8.

Lời giải

Chọn B Điều kiện .

Trường hợp 1: phương trình có 2 nghiệm thực

Theo định lý Viet .

Do và nên số giá trị m thỏa mãn là .

Trường hợp 2: .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 43

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Phương trình có 2 nghiệm phức

Do , và nên số giá trị m thỏa mãn là .

Vậy có 10 giá trị của m.

Câu 69: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có nghiệm phức thỏa mãn ?

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn D Phương trình (1) ( là tham số thực).

Ta có .

Nếu thì phương trình (1) có nghiệm thự C. Khi đó theo

đầu bài, nghiệm phải thỏa mãn

Do đó suy ra (thỏa mãn hoặc ).

Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phức phân biệt

với . Do đó theo điều kiện đầu bài, ta có

(không thỏa

mãn điều kiện ).

Vậy với hoặc thì phương trình (1) có nghiệm phức thỏa mãn điều kiện đầu bài.

44| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

12

DẠNG

KHOẢNG CÁCH TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXYZ

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Phương trình mặt phẳng:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm một vectơ pháp tuyến có phương

trình là: .

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Trong không gian , cho mặt phẳng . Khi đó và điểm

khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính bằng công thức:

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 46 – Đề tham khảo 2023. Trong không gian , cho điểm và đường thẳng

. Gọi là mặt phẳng đi qua và chứa . Khoảng cách từ điểm

đến bằng

A. . B. . C. . D. .

 Lời giải Chọn C

. Lấy ta có

Ta có

Mặt phẳng đi qua và chứa suy ra .

Phương trình mặt phẳng

. Vậy

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Về đích đặc biệt 9+

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

và . Gọi là mặt phẳng đi qua điểm

và chứa đường thẳng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Trong không gian cho mặt cầu có tâm , bán kính bằng 2 và mặt cầu

có phuong trình: . Mặt phẳng thay đổi và luôn tiếp xúc với

2 mặt cầu trên. Khoảng cách nhỏ nhất từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Cho , mặt phẳng đi qua và cách trục một khoảng lớn nhất. Khoảng cách từ

đến mặt phẳng bằng

A. B. C. D.

Câu 4: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng

Có bao nhiêu điểm thuộc sao cho cách đều gốc tọa độ và

mặt phẳng ?

A. B. C. D.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , gọi là mặt phẳng chứa hai điểm ,

và song song với trục . Tính cosin của góc tạo bởi mặt phẳng và mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Trong không gian phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm ,

sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất có 1 vectơ pháp tuyến là

là

Giá trị của tổng A. B. C. D.

Câu 7: Trong không gian , cho điểm . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua và cắt

, ,

các trục tọa độ tại A. mà B. ? C. D.

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu ,

mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng vuông góc với song song

với giá của vecto và tiếp xúc với . Phương trình mặt phẳng là

A. và B. và

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

C. và . D. và .

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng và điểm

. Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và có khoảng cách từ đến

lớn nhất là

A. B.

C. D.

Câu 10: Trong không gian , cho hai đường thẳng cắt nhau và

. Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng . Khoảng cách từ

điểm đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Trong không gian , cho hai đường thẳng và

. là mặt phẳng chứa và . Khoảng cách từ đến

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng

Gọi là điểm thuộc trục sao cho cách đều và

Mệnh đề nào sau đây đúng? B. A. . . C. . D. .

Câu 13: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm và đường thẳng

. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến

lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. B. C. D.

Câu 14: Trong không gian , cho hai đường thẳng chéo nhau và

. Gọi là mặt phẳng chứa và song song với đường thẳng

. Khoảng cách từ điểm đến là

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. B. C. D.

Câu 15: Trong không gian , gọi là mặt phẳng qua điểm và vuông góc với đường

thẳng . Khoảng cách từ điểm đến bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: Trong không gian , cho điểm , điểm và đường thẳng

. Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với . Khoảng cách từ

điểm đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi

là mặt phẳng đi qua và chứa đường thẳng . Khoảng cách từ điểm đến

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Trong không gian , gọi là mặt phẳng đi qua và chứa trục . Khoảng

cách từ điểm đến bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 19: Trong không gian , gọi là mặt phẳng đi qua điểm , đồng thời vuông góc

với hai mặt phẳng , . Khoảng cách từ điểm

đến bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Trong không gian , cho đường thẳng và đường thẳng

. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với . Tính

khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 21: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng

. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với .

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Trong không gian , cho hai đường thẳng và đường thẳng

. Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và . Khoảng cách từ

điểm đến bằng

A. B. C. D.

Câu 23: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi

là mặt phẳng đi qua và chứa . Cosin của góc giữa và

bằng

A. B. C. D.

Câu 24: Trong không gian , cho đường thẳng và hai điểm và

. Gọi là mặt phẳng song song với đường thẳng và đường thẳng . Viết

phương trình mặt phẳng biết khoảng cách giữa và bằng và cắt tại

điểm có hoành độ dương. A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng

Mặt phẳng đi qua và song song với đường thẳng . Khoảng

cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Gọi là điểm sao cho

(Với là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất là

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 27: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu , điểm

. Gọi mặt phẳng qua và cắt mặt cầu theo thiết diện là hình tròn có

diện tích nhỏ nhất. Khoảng cách từ đến là:

A. . B. . C. D. . .

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ , cho với dương.

Biết di động trên các tia sao cho . Biết rằng khi thay

đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc mặt phẳng cố định. Khoảng

cách từ tới mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Trong không gian cho hai mặt cầu và

Mặt phẳng tiếp xúc và cắt theo giao tuyến là một

đường tròn có chu vi bằng Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. D. . .

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng .

Gọi mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng .

. A. . B. C. D. . .

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng chứa điểm

, cắt các tia , , lần lượt tại , , sao cho . Tính khoảng cách từ

điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Trong không gian cho điểm và đường thẳng có phương trình .

Gọi là mặt phẳng đi qua và chứa . Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng song song và cách mặt phẳng `

một khoảng bằng 1 và không qua gốc tọa độ O. Phương trình của

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 là

mặt phẳng

A. B.

C. D.

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

. Một mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng

có dạng . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho điểm , mặt phẳng và đường

thẳng . Đường thẳng cắt và lần lượt tại hai điểm M, N sao cho

A là trung điểm của đoạn MN. Biết là một vec tơ chỉ phương của . Giá trị của

bằng . A. B. . C. . D. .

Câu 36: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng

. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với .

Khoảng cách từ điểm đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 37: Trong không gian , cho đường thẳng . Gọi là mặt phẳng chứa

đường thẳng và song song với trục . Khoảng cách từ điểm đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 38: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi

là mặt phẳng đi qua và chứa . Khoảng cách từ điểm đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Trong không gian , cho mặt cầu và điểm .

Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Biết

có dạng . Tính .

A. 4. B. 2. C. . D. .

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với cả và sao cho

khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. B. C. D.

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm . Tính

khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

A. . B. . C. . D. .

Câu 42: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng

. Gọi là giao điểm của và . Biết , khoảng cách từ điểm

thuộc đến bằng

A. . B. . C. 8. D. .

Câu 43: Trong không gian mặt phẳng đi qua và chứa đường thẳng

Giá trị thuộc khoảng nào dưới đây sao cho khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng lớn nhất?

A. B. C. D.

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm ; ; và

đường thẳng . Mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm . Điểm thuộc

mặt phẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ

điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 45: Trong không gian , cho hai đường thẳng và . Gọi

là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và . Khoảng cách từ điểm đến

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 46: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi

là mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Điểm nào dưới

đây thuộc ?

B. . C. . D. . A. .

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 47: Trong không gian

, cho mặt phẳng đi qua hai điểm ,

Phan Nhật Linh và tạo với

mặt phẳng một góc bằng . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng là

A. . B. . C. D. .

Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và mặt cầu

. Mặt phẳng đi qua điểm và

tiếp xúc với mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất. Khi đó tổng

có giá trị bằng . B. A. . C. . D. .

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng

. Đường thẳng cắt tại điểm . Biết rằng thuộc đường

.

thẳng A. có hoành độ âm đồng thời . B. . . Tính C. . D. .

Câu 50: Trong không gian , cho điểm và điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua

điểm và chứa trục . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 51: Trong không gian , cho hai đường thẳng ; và điểm

. Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và . Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 52: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng có phương trình

. Gọi là mặt phẳng đi qua điểm , song song với đường thẳng và

khoảng cách từ tới mặt phẳng là lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng .

. B. . A.

. D. . C.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ là giao tuyến của hai mặt phẳng

ĐÁP ÁN CHI TIẾT cho đường thẳng

và . Gọi là mặt phẳng đi qua điểm

và chứa đường thẳng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

có 1 VTPT là , có 1 VTPT là .

Ta có: là giao tuyến của hai mặt phẳng và nên có 1 VTCP

.

Gọi là 1 điểm thuộc , ta có: .

Vì là mặt phẳng đi qua điểm và chứa đường thẳng nên nhận và

là 2 VTCP, suy ra .

Phương trình mặt phẳng đi qua và có VTPT là:

.

Câu 2: Trong không gian cho mặt cầu có tâm , bán kính bằng 2 và mặt cầu

có phuong trình: . Mặt phẳng thay đổi và luôn tiếp xúc với

2 mặt cầu trên. Khoảng cách nhỏ nhất từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

có tâm , bán kính bằng Chọn B Mặt cầu

lần lượt là tiếp điểm của mặt 4. Gọi

và mặt cầu , ta có phẳng

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

, , Giả sử ,

. Với là đường tròn, là đường tròn.

Xét tam giác vuông tại M, , . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên

.

Tam giác có .

. Xét tam giác vuông tại . Ta có

.

Câu 3: Cho , mặt phẳng đi qua và cách trục một khoảng lớn nhất. Khoảng cách

đến mặt phẳng bằng từ

B. D. A.

C. Lời giải

là hình chiếu vuông góc của A trên trục Chọn C Gọi

Để khoảng cách từ trục đến là lớn nhất thì

Suy ra phương trình mặt phẳng là:

Câu 4: Suy ra Trong không gian , cho đường thẳng

và mặt phẳng Có bao nhiêu điểm thuộc sao

cho cách đều gốc tọa độ và mặt phẳng ?

D. B. A.

C. Lời giải

Chọn D Vì

cách đều gốc tọa độ và mặt phẳng nên

Vậy có 1 điểm thỏa yêu cầu bài toán.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ

, gọi là mặt phẳng chứa hai điểm

Về đích đặc biệt 9+ ,

và song song với trục . Tính cosin của góc tạo bởi mặt phẳng và mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có: và mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến .

Vì là mặt phẳng chứa hai điểm và song song với trục nên có có ,

vectơ pháp tuyến là .

Suy ra góc tạo bởi mặt phẳng và mặt phẳng :

.

Câu 6: Trong không gian phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm ,

sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất có 1 vectơ pháp tuyến là

là

Giá trị của tổng A. B. D.

C. Lời giải

Chọn D Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và

Ta có vuông tại

Khi đó là 1 VTPT của (P).

Ta có Phương trình đường thẳng :

.

Câu 7: Trong không gian , cho điểm . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua và cắt

, ,

các trục tọa độ tại A. mà B. D.

? C. Lời giải

Chọn C Gọi , , . Từ đó ta có , ,

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Mặt phẳng qua các điểm , , có phương trình theo đoạn chắn: .

Vì nên . Vì

Từ đó ta có hệ phương trình

.

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn.

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu ,

mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng vuông góc với song song

với giá của vecto và tiếp xúc với . Phương trình mặt phẳng là

A. và B. và

C. và . D. và .

Lời giải

Chọn C

có tâm và bán kính . Véc tơ pháp tuyến của là .

Suy ra VTPT của là .

Do đó có dạng: .

Mặt khác tiếp xúc với nên

Hay .

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng và điểm

. Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và có khoảng cách từ đến

lớn nhất là

A. B.

C. D.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Chọn A

Ta gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Kẻ . tại

Khi đó . Mà không đổi. Vậy khoảng cách từ đến là

lớn nhất khi chỉ khi tại .

Đường thẳng đi qua điểm và có VTCP .

Gọi .

Từ . Vậy

có một VTPT là

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vec tơ pháp tuyến .

Câu 10: Trong không gian , cho hai đường thẳng cắt nhau và

. Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng . Khoảng cách từ

điểm đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng có vectơ chỉ phương .

chứa hai đường thẳng cắt nhau đi qua điểm và có vectơ pháp

tuyến . Vậy phương trình mặt phẳng là:

.

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Câu 11: Trong không gian , cho hai đường thẳng và

. là mặt phẳng chứa và . Khoảng cách từ đến

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

có VTCP và đi qua ,

có VTCP và đi qua .

Từ đó ta có ,

cùng phương với là mặt phẳng chứa và và Suy ra song song . nên đi qua và có

VTPT . Do đó ta có phương trình mặt phẳng :

.

Khoảng cách từ đến :

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng

Gọi là điểm thuộc trục sao cho cách đều và

Mệnh đề nào sau đây đúng? B. A. . . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đường thẳng đi qua và có một VTCP là

Ta có suy ra

Theo đề bài ta có:

Vậy .

Câu 13: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm và đường thẳng

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến

lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi là hình chiếu của trên ; là hình chiếu của trên .

Ta có (Không đổi)

GTLN của là

lớn nhất khi . ⟹

, suy ra . Gọi

. Vì

, qua và vuông góc với . Nên

Vậy .

Câu 14: Trong không gian , cho hai đường thẳng chéo nhau và

. Gọi là mặt phẳng chứa và song song với đường thẳng

. Khoảng cách từ điểm đến là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng đi qua và có một véc tơ chỉ phương .

Đường thẳng có một véc tơ chỉ phương .

Gọi là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng . Do mặt phẳng chứa và song

song với đường thẳng nên .

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phương trình mặt phẳng đi qua và có một véc tơ pháp tuyến

Phan Nhật Linh là

.

Câu 15: Trong không gian , gọi là mặt phẳng qua điểm và vuông góc với đường

thẳng . Khoảng cách từ điểm đến bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Do nên

qua nên phương trình là:

.

Khoảng cách từ điểm đến là: .

Câu 16: Trong không gian , cho điểm , điểm và đường thẳng

. Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với . Khoảng cách từ

điểm đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có .

Đường thẳng có vectơ chỉ phương .

Do là mặt phẳng đi qua và song song với

Suy ra mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .

Vậy .

Khoảng cách từ điểm đến bằng: .

Câu 17: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi

là mặt phẳng đi qua và chứa đường thẳng . Khoảng cách từ điểm đến

bằng

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Từ phương trình đường thẳng , ta thấy đường thẳng đi qua điểm

và có một vectơ chỉ phương .

Ta có: .

Suy ra, mặt phẳng đi qua nhận làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng là: .

Khoảng cách từ điểm đến là: .

Câu 18: Trong không gian , gọi là mặt phẳng đi qua và chứa trục . Khoảng

cách từ điểm đến bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Mặt phẳng đi qua nhận làm vectơ pháp tuyến. Phương

trình mặt phẳng là: .

Khoảng cách từ điểm đến là: .

Câu 19: Trong không gian , gọi là mặt phẳng đi qua điểm , đồng thời vuông góc

với hai mặt phẳng , . Khoảng cách từ điểm

đến bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

lần lượt có các vectơ pháp tuyến là Mặt phẳng ,

và .

Vì vuông góc với hai mặt phẳng , nên có vectơ pháp tuyến là

.

Ta lại có đi qua điểm nên

.

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Khoảng cách từ điểm đến là: .

Câu 20: Trong không gian , cho đường thẳng và đường thẳng

. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với . Tính

khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có đi qua và có vtcp ; đi qua và có vtcp

Vì là mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với nên vtpt

.

Do chứa nên điểm . Khi đó phương trình .

Vì song song với nên .

Câu 21: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng

. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với .

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có đi qua và có vtcp ; và có vtpt

Vì là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với nên vtpt

.

Do chứa nên điểm . Khi đó phương trình .

. Khi đó

Câu 22: Trong không gian , cho hai đường thẳng và đường thẳng

. Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và . Khoảng cách từ

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 đến

bằng điểm

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương ; đường thẳng

đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Ta có suy ra cùng phương.

Mặt khác ta thấy .

Vậy .

Lấy điểm .

Khi đó ta có

.

Mặt phẳng đi qua có vectơ pháp tuyến có phương trình là :

.

. Vậy

Câu 23: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi

là mặt phẳng đi qua và chứa . Cosin của góc giữa và

bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Lấy ta có .

Ta có

Mặt phẳng đi qua và chứa suy ra .

Gọi là góc giữa và

Ta có

Vậy .

Câu 24: Trong không gian , cho đường thẳng và hai điểm và

. Gọi là mặt phẳng song song với đường thẳng và đường thẳng . Viết

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

phương trình mặt phẳng biết khoảng cách giữa và bằng và

Phan Nhật Linh tại

cắt

điểm có hoành độ dương. A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có đi qua và có vtcp

Vì là mặt phẳng song song với đường thẳng và đường thẳng nên vtpt

. Chọn .

Phương trình (vì cắt tại điểm có hoành độ dương nên ).

Vì song song với nên .

Theo giả thiết, ta có .

Vậy phương trình .

Câu 25: Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng

Mặt phẳng đi qua và song song với đường thẳng . Khoảng

cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có , Vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

Mặt phẳng đi qua và song song với đường thẳng có một vectơ pháp tuyến

.

Mặt phẳng có phương trình là .

Khi đó .

Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Gọi là điểm sao cho

(Với là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất là

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C Gọi . Khi đó

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Suy ra tập hợp các điểm thỏa là mặt cầu tâm

Về đích đặc biệt 9+ và bán kính

Vì nên không cắt .

Do đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đạt giá trị nhỏ nhất là

Câu 27: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu , điểm

. Gọi mặt phẳng qua và cắt mặt cầu theo thiết diện là hình tròn có

diện tích nhỏ nhất. Khoảng cách từ đến là:

A. . B. . D. . C. .

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Ta có nằm trong mặt cầu .

Do đó mặt phẳng qua luôn cắt mặt cầu theo thiết diện là hình tròn có bán

kính .

. Ta luôn có

Diện tích của hình tròn nhỏ nhất khi bán kính nhỏ nhất, tức là

.

Khi đó mặt phẳng nhận làm một VTPT.

phương trình mặt phẳng :

Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng là .

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ , cho với dương.

Biết di động trên các tia sao cho . Biết rằng khi thay

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc mặt phẳng

Phan Nhật Linh cố định. Khoảng

cách từ tới mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

.

Chọn D Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn .

đi qua điểm và có VTPT

.

Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn .

đi qua điểm và có VTPT

.

Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn .

đi qua điểm và có VTPT

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .

Theo giả thiết, .

Vậy, .

Câu 29: Trong không gian cho hai mặt cầu và

Mặt phẳng tiếp xúc và cắt theo giao tuyến là một

đường tròn có chu vi bằng Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. D. . .

Lời giải

Lờigiải

Chọn A

Mặt cầu có tâm , bán kính , mặt cầu có tâm , bán kính

nên mặt cầu nằm trong mặt cầu . Vì

Mặt phẳng tiếp xúc ; cắt theo giao tuyến là một đường

tròn có chu vi bằng nên .

Nhận thấy nên tiếp điểm của và cũng là tâm đường

tròn giao của và . Khi đó, là mặt phẳng đi qua , nhận làm vecto

pháp tuyến.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có: .

Phương trình mặt phẳng : .

Khoảng cách từ đến là .

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng .

Gọi mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng .

A. . B. C. D. . . .

Lời giải

Chọn C Gọi là hình chiếu của đến . Khi đó

Do . Khi đó .

Mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất khi .

Do đó có vectơ pháp tuyến là .

Suy ra phương trình mặt phẳng .

Vậy khoảng cách từ đến là .

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng chứa điểm

, cắt các tia , , lần lượt tại , , sao cho . Tính khoảng cách từ

điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Phương trình mặt chắn cắt tia tại , cắt tia tại , cắt tia tại

có dạng là : (với , , ).

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Theo đề: .

Vì nằm trên mặt phẳng nên ta có: .

Khi đó , .

Vậy phương trình mặt phẳng là: .

Vậy .

Câu 32: Trong không gian cho điểm và đường thẳng có phương trình .

Gọi là mặt phẳng đi qua và chứa . Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Lấy . Ta có , một VTCP của là . Ta có

. là mặt phẳng đi qua và chứa nên một VTPT của là:

. Phương trình mặt phẳng là:

.

.

Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng song song và cách mặt phẳng `

một khoảng bằng 1 và không qua gốc tọa độ O. Phương trình của

mặt phẳng là

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên phương trình mp

. .

Mặt phẳng cách mặt phẳng ` một khoảng bằng 1

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vì không qua gốc tọa độ O nên .

Vậy pt mặt phẳng : .

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

. Một mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng

có dạng . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. . B. . D. .

. C. Lời giải

Chọn A Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến , .

Vì vuông góc với của nên .

Mặt khác đi qua và nên . Ta có:

Mp nhận làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng , hay

Vậy .

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho điểm , mặt phẳng và đường

thẳng . Đường thẳng cắt và lần lượt tại hai điểm M, N sao cho

A là trung điểm của đoạn MN. Biết là một vec tơ chỉ phương của . Giá trị của

bằng . A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B Vì N là giao điểm của và nên .

A là trung điểm của đoạn MN

Vì nên ta có phương trình:

. Khi đó, đường thẳng có một VTCP là

Suy ra . Vậy .

Câu 36: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng

. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với .

Khoảng cách từ điểm đến bằng

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A Ta thấy đường thẳng có véc tơ chỉ phương . Mặt phẳng có véc tơ pháp

tuyến . Vì mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với nên mặt

phẳng có một véc tơ pháp tuyến là: . Vậy mặt phẳng đi qua

, có VTPT có phương trình là: . Khoảng cách từ điểm

điểm đến bằng: .

Câu 37: Trong không gian , cho đường thẳng . Gọi là mặt phẳng

chứa đường thẳng và song song với trục . Khoảng cách từ điểm đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A Ta thấy đường thẳng có véc tơ chỉ phương . Mặt phẳng chứa đường thẳng

và song song với trục . Vậy mặt phẳng đi qua điểm

, có VTPT có phương trình là: . Khoảng cách từ điểm

đến bằng: .

Câu 38: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi

là mặt phẳng đi qua và chứa . Khoảng cách từ điểm đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

ta có . Lấy

Ta có

Mặt phẳng đi qua và chứa suy ra .

Phương trình mặt phẳng

Vậy .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 39: Trong không gian , cho mặt cầu và điểm .

Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Biết

có dạng . Tính .

A. 4. B. 2. D. . .

C. Lời giải

Chọn C

Mặt cầu có tâm , bán kính

Ta có ; , suy ra điểm nằm trong mặt cầu

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng , khi đó mặt phẳng đi qua và

cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính , do đó nhỏ nhất khi và chỉ

lớn nhất.

, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trùng với , hay . khi Mặt khác ta luôn có

Mặt phẳng có VTPT và qua có phương trình

Vậy .

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với cả và sao cho

khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

A. B. D. C.

Lời giải

Chọn A

Hai mặt phẳng có vectơpháp tuyến lần lượt là:

Vì mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng và nên mặt phẳng có một

vectơ pháp tuyến là

Hay mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là Suy ra phương trình mặt phẳng

có dạng:

Mặt khác, ta có:

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán là:

. Tính

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ

cho các điểm

khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C 28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có: , .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : .

Phương trình mặt phẳng : .

.

Câu 42: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng

. Gọi là giao điểm của và . Biết , khoảng cách từ điểm

thuộc đến bằng

A. . B. . D. . C. 8.

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết suy ra đường thẳng có véc tơ chỉ phương là , mặt phẳng có véc

tơ pháp tuyến là .

Gọi là góc giữa và

Mà .

Câu 43: Trong không gian mặt phẳng đi qua và chứa đường thẳng

Giá trị thuộc khoảng nào dưới đây sao cho khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng lớn nhất?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

đi qua và có vtcp

Mặt phẳng và nhận đi qua làm vtpt nên có phương trình:

Đặt

với

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Bảng biến thiên

Vậy tại

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm ; ; và

đường thẳng . Mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm . Điểm thuộc

mặt phẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ

điểm đến mặt phẳng .

A. . . B. . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Đường thẳng đi qua điểm và có một vector chỉ phương .

.

Mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm nên có một vector pháp tuyến .

Phương trình mặt phẳng là: hay .

Gọi là trung điểm .

Ta có:

.

Dấu xảy ra là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Khi đó đường thẳng đi qua điểm và có một vector chỉ phương .

Phương trình đường thẳng là: .

Do nên tọa độ điểm thỏa mãn hệ:

.

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vậy .

Câu 45: Trong không gian , cho hai đường thẳng và . Gọi

là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và . Khoảng cách từ điểm đến

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

Ta có

Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương

trình

Vậy

Câu 46: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi

là mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Điểm nào dưới

đây thuộc ?

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng .

Ta có .

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

Ta có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Với , ta có và .

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng .

Ta có .

Dấu “=” xảy ra khi . Khi đó .

Mặt phẳng đi qua và có một vectơ pháp tuyến .

Do đó phương trình mặt phẳng là: .

Thay tọa độ các điểm trong các phương án vào phương trình mặt phẳng ta thấy có điểm

thỏa mãn.

Câu 47: Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua hai điểm , và tạo với

mặt phẳng một góc bằng . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng là

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn C Giả sử mặt phẳng cắt tại .

Phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc bằng nên ta có

Với

Với

Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng là: .

Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và mặt cầu

. Mặt phẳng đi qua điểm và

tiếp xúc với mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất. Khi đó tổng

có giá trị bằng . B. A. . C. . D. .

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Lời giải

Chọn C Vì nên

Do tiếp xúc với mặt cầu nên

Ta có:

.

. Vậy khi

Từ đây có .

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng

. Đường thẳng cắt tại điểm . Biết rằng thuộc đường

.

thẳng A. có hoành độ âm đồng thời . B. . . D. .

. Tính C. Lời giải

Chọn C

Ta có . Lại có .

Với

Theo đề .

(chọn).

(loại).

.

Câu 50: Trong không gian , cho điểm và điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua

điểm và chứa trục . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có và và vecto đơn vị .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Khi đó .

Mặt phẳng đi qua điểm và chứa trục nên có một véctơ pháp tuyến là .

Suy ra phương trình của là: .

Vậy .

Câu 51: Trong không gian , cho hai đường thẳng ; và điểm

. Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và . Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta thấy và là hai đường thẳng song song và , ,

là một véctơ chỉ phương của chúng.

Có .

Mặt phẳng chứa hai đường thẳng và nên có một véctơ pháp tuyến là

, do đó nó có phương trình: .

Vậy

Câu 52: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng có phương trình

. Gọi là mặt phẳng đi qua điểm , song song với đường thẳng và

khoảng cách từ tới mặt phẳng là lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

. Gọi là hình chiếu của lên đường thẳng . Ta suy ra

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Gọi là mặt phẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng

Phan Nhật Linh là hình

. Gọi

chiếu của lên mặt phẳng . Do nên ta có .

Ta luôn có bất đẳng thức . Như vậy khoảng cách từ đến lớn nhất bằng

Khi đó nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Do đi qua nên ta có phương trình của là: .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

DẠNG

13

TÌM CẶP SỐ NGUYÊN LIÊN QUAN ĐẾN BPT LOGARIT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Định nghĩa: Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Bất phương trình lôgarit cơ bản: cho

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

• Đưa về cùng cơ số

▪ Nếu thì

▪ Nếu thì

• Đặt ẩn phụ • Mũ hóa • Phương pháp hàm số và đánh giá

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 47 – Đề tham khảo 2023. Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn:

A. 89. B. 48. C. 90. D. 49.

 Lời giải

Chọn B Điều kiện: .

Ta có:

Đặt: , bất phương trình trở thành: (1).

. có Xét hàm số

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .

Ta có

. Từ đó suy ra:

Đếm các cặp giá trị nguyên của

, mà nên . Ta có:

nên có 10 cặp. Với

nên có 14 cặp. Với

nên có 14 cặp. Với

nên có 9 cặp. Với

có 1 cặp. Với

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Câu 1: Có bao nhiêu bộ với nguyên và thỏa mãn:

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa

A. . B. . C. . . D.

Câu 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện là số nguyên tố; và

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên để ứng với mỗi có tối thiểu số nguyên thỏa

mãn ?

A. B. C. D.

Câu 6: Giả sử là cặp số nguyên thỏa mãn đồng thời và

. Tổng các giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện và

?

A. . B. C. . D. . .

Câu 8: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để bất phương trình

có tập nghiệm chứa khoảng ?

A. . B. . C. . D. vô số.

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi số nguyên có đúng số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho tương ứng với mỗi giá trị luôn tồn tại không

quá 15 số nguyên thỏa mãn điều kiện ?

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 11: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Có bao nhiêu cặp số nguyên thoả mãn và ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương với thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho tương ứng với mỗi luôn tồn tại không quá

63 số nguyên A. thỏa mãn điều kiện: B. C. D.

Câu 16: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương với thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Có bao nhiêu bộ số nguyên và thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa và ?

A. . C. . D. .

Câu 19: Có bao nhiêu bộ B. với . nguyên và thỏa mãn

?

A. . B. . C. D. .

Câu 20: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương . thỏa mãn điều kiện và

?

A. C. . D. . B. . Câu 21: Có bao nhiêu cặp số nguyên . thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Có bao nhiêu cặp số nguyên thoả mãn

A. 4. B. 5. C. 8. D. 9.

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 23: Có bao nhiêu cặp số

thực thỏa mãn đồng

Phan Nhật Linh thời hai điều kiện sau:

và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 24: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn và ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Gọi là tập hợp các số nguyên thỏa mãn

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để

có nhiều nhất phần tử?

tập hợp . A. B. . C. . D. .

Câu 27: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

.

A. 10. B. 20. C. 27. D. 28

Câu 28: Có bao nhiêu bộ với nguyên và thỏa mãn

?

A. . B. . C. D.

Câu 29: Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho tồn tại số thực thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 30: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn và

?

A. 11. B. 10 C. 12. D. 13.

Câu 31: Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi số nguyên có đúng số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn và

?

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 33: Có

nguyên nhiêu bao số

Về đích đặc biệt 9+ trình phương

để

có nghiệm thực duy nhất?

A. . B. . C. . D. .

Câu 34: Có bao nhiêu cặp số thuộc đoạn thỏa mãn là số nguyên và

B. . C. . D. . ? A. .

Câu 35: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

B. . C. . D. . A. .

Câu 36: Gọi là tập hợp điểm với là các số nguyên thỏa mãn và

. Có bao nhiêu tứ giác lập được từ các điểm thuộc tập ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 37: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 38: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn

?

A. . . C. . D. .

B. Câu 39: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

A. B. D.

C. thỏa mãn Câu 40: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương và

?

A. . B. . C. . . D.

Câu 41: Cho là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức

. Biết , hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn bất đẳng thức .

A. . B. . C. . D. .

Câu 42: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 43: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Câu 44: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

D. . A. . B. . C. .

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Có bao nhiêu bộ

với nguyên và thỏa mãn:

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

. Điều kiện

(*). BPT cho có dạng

, rõ ràng BPT này TH1: Xét thì (*) thành

nghiệm đúng với mọi vì

.

Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2020 bộ với .

TH2: Xét thì (*) thành , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà

.

Trường hợp này cho ta 2020 cặp nữa.

TH3: Xét thì nên (*) không xảy ra.

Vậy có đúng 4040 bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa

A. . B. . . . D.

C. Lời giải

Chọn D

Điều kiện:

Mà

Xét hàm số

Ta có

Suy ra đồng biến trên

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Khi đó:

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra

Ta có:

Với : có 2021 giá trị

Với : có 2003 giá trị

Vậy có cặp thỏa yêu cầu bài toán

Câu 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

D. . A. . B. . .

C. Lời giải

Chọn A Điều kiện: .

.

Đặt .

.

.

Xét

Có với .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

.

.

Tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn là phần nằm trong đường tròn tâm

bán kính bằng 2 bao gồm cả đường tròn, trừ điểm do .

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Từ hình vẽ ta có 12 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài.

Câu 4: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện là số nguyên tố; và

?

A. . B. . D. . .

C. Lời giải:

Chọn A Do nguyên dương, nên ta có

. (1)

. Xét hàm số có

Suy ra hàm số đồng biến trên .

. Do đó

. Vì nên

Theo đề bài,do là số nguyên tố suy ra .

Với có suy ra có cặp số thỏa mãn.

Với có suy ra có cặp số thỏa mãn.

Vậy có tất cả cặp số thỏa mãn đề bài.

Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên để ứng với mỗi có tối thiểu số nguyên thỏa

mãn ?

D. A. B.

C. Lời giải

Chọn A

Điều kiện: .

Đặt .

Xét hàm số .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Suy ra nghịch biến.

Xét hàm số , .

Do hàm số nghịch biến nên hàm số cũng nghịch biến.

Giả sử là nghiệm của phương trình .

. Suy ra

Nên

.

ta có số nguyên Với

ta có số nguyên Với

Vậy có số nguyên .

Câu 6: Giả sử là cặp số nguyên thỏa mãn đồng thời và

. Tổng các giá trị của bằng

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có:

Xét hàm số là hàm số đồng biến trên nên

Ta có:

. Suy ra

Câu 7: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện và

?

. B. . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có

. (*)

Xét hàm số có .

Suy ra hàm số đồng biến trên .

Do đó .

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vì nên .

Với giả thiết nguyên dương suy ra .

Với có suy ra có cặp số thỏa mãn.

Với có suy ra có cặp số thỏa mãn.

Vậy có tất cả cặp số thỏa mãn đề bài.

Câu 8: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để bất phương trình

có tập nghiệm chứa khoảng ?

B. . . D. vô số. A. .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có:

.

Xét , ta có .

Yêu cầu bài toán có nghiệm

.

Mà . Vậy có 36 giá trị cần tìm.

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi số nguyên có đúng số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Dễ thấy và với mọi .

Ta có:

Xét hàm số trên .

Hàm số đồng biến trên .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do đó

.

Ta vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ: và

. Dựa vào đồ thị vừa vẽ ta có yêu cầu bài toán

Do nguyên nên .

Vậy có số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho tương ứng với mỗi giá trị luôn tồn tại không

quá 15 số nguyên thỏa mãn điều kiện ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Điều kiện .

Ta có bất phương trình

Xét với , .

Ta có: .

Ta có:

Suy ra .

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Do đó .

Ta có bảng biến thiên của là:

Yêu cầu bài toán

.

Do nên .

Vậy có tất cả giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 11: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

. A. . B. . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Điều kiện

Xét hàm đặc trưng ta có

Suy ra hàm đồng biến trên khoảng .

Phương trình

.

Điều kiện của để phương trình có nghiệm là

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

Do nên .

Với , ta được .

Với , ta được .( loại)

Với , ta được .

Vậy có 5 cặp số thỏa mãn đề bài.

Câu 12: Có bao nhiêu cặp số nguyên thoả mãn và ?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

Ta có:

.

Xét hàm số . Ta có: .

Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên .

Do đó .

Vì nên

Do nên .

Ứng với mỗi giá trị nguyên của cho ta giá trị nguyên của .

Vậy có cặp số nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 13: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

B. . . A. . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Điều kiện: .

Ta có:

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Đặt

Bất phương trình (1) trở thành

với Gọi

Ta có

Do đó hàm số đồng biến trên .

Mặt khác nên

Suy ra .

Ta có các trường hợp sau xẩy ra đối với cặp số nguyên :

TH1:

TH2:

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện bài toán là .

Câu 14: Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương với thỏa mãn

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Xét hàm số . Suy ra hàm số đồng biến trên

. khoảng . Khi đó

Vì nên có các trường hợp sau

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vậy cặp số tự nhiên thỏa mãn là:

Câu 15: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho tương ứng với mỗi luôn tồn tại không quá

63 số nguyên thỏa mãn điều kiện

B. D. A.

C. Lời giải

Chọn C

, ( coi là tham số). Đặt

Điều kiện xác định của là: .

Do , nguyên, , tồn tại không quá 63 số nguyên nên .

Xét hàm số trên

Ta có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán trở thành

Mà nguyên nên . Vậy có 602 giá trị của thỏa mãn.

Câu 16: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương với thỏa mãn

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn D

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Theo đề bài:

Đặt

. Xét hàm số: Ta có:

đồng biến trên Có:

Mà

Vì

Vậy có 5 cặp số nguyên dương thỏa mãn ycbt.

Câu 17: Có bao nhiêu bộ số nguyên

và thỏa mãn

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Điều kiện .

BPT cho có dạng:

Xét thì trở thành:

BPT nghiệm đúng với vì:

Vậy trường hợp này cho ta bộ với

Xét thì trở thành:

BPT nghiệm đúng với mà

Trường hợp này cho ta bộ nữa.

Xét thì nên không xảy ra.

Vậy có bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 18: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa và ?

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Lời giải

Chọn C Điều kiện: .

Ta có

Xét hàm số . có

là hàm số nghịch biến trên .

Do đó .

Vì nguyên và thuộc đoạn nên có các trường hợp sau

TH1: : Từ (loại)

TH2: : Từ (Có 8 giá trị )

TH3: : Từ (Có 80 giá trị )

TH4: : Từ (Có 728 giá trị )

Vậy có 816 cặp số nguyên thỏa đề bài.

Câu 19: Có bao nhiêu bộ

với nguyên và thỏa mãn

?

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn B

Điều kiện .

BPT cho có dạng (*).

Xét thì (*) thành , rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi vì

. Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ với .

Xét thì (*) thành , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà

.

Trường hợp này cho ta 2017 cặp nữa.

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 thì

Với nên (*) không xảy ra.

Vậy có đúng 4034 bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 20: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện và

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Ta có

. (*)

Xét hàm số có .

Suy ra hàm số đồng biến trên .

Do đó .

Vì nên .

Với giả thiết nguyên dương suy ra .

Với có suy ra có 1998 cặp số thỏa mãn.

Với có suy ra có 1782 cặp số thỏa mãn.

Vậy có tất cả 3780 cặp số thỏa mãn đề bài.

Câu 21: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

D. . A. . B. . .

C. Lời giải

Chọn B

Điều kiện xác định:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Đặt , điều kiện: . Bất phương trình trên trở thành:

(1).

Đặt

nên đồng biến trên .

Mà (Do )

Suy ra:

Ta có: .

Với nên có 2 cặp.

Với nên có 8 cặp.

Với

nên có 8 cặp.

Với mà là số chính phương nên

suy ra có 4 cặp.

Với mà là số chính phương nên sẽ không tồn tại thỏa

mãn.

Với mà là số chính phương nên nên

suy ra có 2 cặp.

Vậy có 24 cặp giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.

Câu 22: Có bao nhiêu cặp số nguyên thoả mãn

? A. 4. B. 5. C. 8. D. 9.

Lời giải

Chọn D

Đặt ( ), bất phương trình trên trở thành .

. Xét hàm số có

Suy ra hàm số đồng biến trên .

Do đó .

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Trường hợp 1: .

Trường hợp 2: .

Trường hợp 3: .

Vậy có 9 cặp số nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 23: Có bao nhiêu cặp số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

. và

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn A Điều kiện: .

.

Từ giả thiết thứ nhất ta có:

Nếu .

Nếu .

Từ đó suy ra: .

Khi đó . Do nên .

Xét giả thiết thứ hai, đặt .

Đặt , .

Lập BBT cho ta được .

Mà ở giả thiết thứ hai suy ra , khi đó .

Vậy số các cặp số thực thỏa mãn đề là số giao điểm của đường tròn và đường thẳng.

Vì khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính nên chúng có hai điểm chung, hay có 2 cặp số thực thỏa mãn đề bài.

Câu 24: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A Điều kiện: .

Ta có:

Đặt: , bất phương trình trở thành: (1).

Xét hàm số có

.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .

Ta có

. Từ đó suy ra:

Đếm các cặp giá trị nguyên của

Ta có:

nên có 2 cặp. Với

nên có 14 cặp. Với

nên có 8 cặp. Với

Vậy có 24 cặp giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.

Câu 25: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn và ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có:

Đặt . Suy ra: . Khi đó:

Xét hàm số: . Ta có:

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

 Hàm số đồng biến trên .

Do đó: Từ

Vì: nên

Do nên , với mỗi giá trị cho ta giá trị thoả mãn.

Vậy có cặp số nguyên thoả yêu cầu bài toán.

Câu 26: Gọi là tập hợp các số nguyên thỏa mãn

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để

có nhiều nhất phần tử?

B. . . D. . tập hợp . A.

C. Lời giải

và . Chọn D Chọn D Điều kiện:

Bất phương trình đã cho tương đương với:

.

. Trong đó

với nên hàm số đồng biến trên . Ta có

Khi đó:

.

Ta có

.

. Để tập có nhiều nhất phần tử thì

Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 27: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

A. 10. B. 20. C. 27. D. 28

Lời giải

Chọn D Điều kiện

Ta có

Đặt , bất phương trình trở thành (1).

có Xét hàm số

là hàm nghịch biến trên (2).

Mà nên từ (1) và (2) ta có .

Từ đó ta có .

. Mà nên ; : Suy ra

hoặc thì : trường hợp này có 10 cặp số nguyên thỏa Nếu

hoặc thì : trường hợp này có 10 cặp số nguyên thỏa mãn. Nếu

: trường hợp này có 7 cặp số nguyên thỏa mãn. mãn. Nếu thì

: trường hợp này có 1 cặp số nguyên thỏa mãn. Nếu thì

Vậy có tất cả 28 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Câu 28: Có bao nhiêu bộ

với nguyên và thỏa mãn

?

A. . B. . C. D.

Lời giải

Chọn B

. Điều kiện

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

BPT đã cho có dạng .

, nguyên dương nên: Do

Xét thì thành , rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi vì

Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ với .

Xét thì thành , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà

.

Trường hợp này cho ta 2017 cặp nữa.

Với thì nên không xảy ra.

Vậy có đúng 4034 bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 29: Có bao nhiêu số nguyên dương

sao cho tồn tại số thực thỏa mãn

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Ta có .

Xét hàm số trên .

.

(do , ).

Trường hợp 1:

Bảng biến thiên của hàm số trên :

; .

Ta có .

Suy ra thì .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do đó phương trình có nghiệm .

Cùng điều kiện và nguyên dương, ta có thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2: .

Bảng biến thiên của hàm số trên :

Với ta luôn có nên không tồn tại thỏa mãn .

Trường hợp 3: .

Bảng biến thiên của hàm số trên :

Với ta luôn có nên phương trình có nghiệm

.

Cùng điều kiện và nguyên dương ta có .

Do đó, tập các giá trị nguyên dương của thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .

và

Vậy có giá trị nguyên dương của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30: Có bao nhiêu cặp số nguyên

thỏa mãn

?

A. 11. B. 10 D. 13. C. 12.

Lờigiải

Chọn C Điều kiện:

Do nên

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Xét hàm số , ta có nên hàm số đồng

biến trên .

Do đó

(vì ).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ , tìm được cặp số nguyên thỏa mãn.

Câu 31: Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi số nguyên có đúng số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

. Xét hàm số với .

hàm số đồng trên .

Ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta thấy thì sẽ có đúng giá trị nguyên của với mỗi giá trị nguyên của .

Vậy có tất cả giá trị.

Câu 32: có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn và

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

.

. Xét hàm số

Ta có nên hàm số luôn đồng biến .

Khi đó .

Vì nên .

Vì nguyên dương nên .

Với . Có 1998 cặp số nguyên dương thỏa mãn.

Với . Có 1782 cặp số nguyên dương thỏa mãn.

Vậy có 3780 cặp số nguyên dương thỏa mãn.

Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình

có nghiệm thực duy nhất?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Nhận xét:

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Điều kiện xác định của phương trình là: .

. Từ:

. Đặt

có Ta

.

. Suy ra luôn đồng biến trên khoảng với

. Có

. luôn có nghiệm duy nhát với mọi số nguyên Nên

Vậy có 2022 số nguyên thỏa mãn.

Câu 34: Có bao nhiêu cặp số thuộc đoạn thỏa mãn là số nguyên và

B. . . D. . ? A. .

C. Lời giải

Chọn D

. Xét hàm số

. Ta có

thì Để

Do nguyên và nên .

Vì mỗi giá trị của thì chỉ có một giá trị của thỏa mãn nên có 6 cặp số

thỏa mãn.

Câu 35: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn C

.

. Xét hàm số

. Ta có

. Vì

Do nguyên và nên .

Mỗi giá trị của chỉ ứng với một giá trị của với nên có 4 cặp số thỏa

mãn.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 36: Gọi là tập hợp điểm

với là các số nguyên thỏa mãn

Về đích đặc biệt 9+ và

. Có bao nhiêu tứ giác lập được từ các điểm thuộc tập ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

.

Xét hàm số .

Ta có .

Do nên .

Vì và nên mỗi giá trị của có một giá trị của nên có 6 điểm thuộc

. Do các điểm này nằm trên đồ thị hàm số nên không có 4 điểm nào thẳng

hàng.

Vậy có tứ giác được tạo thành từ các điểm thuộc .

Câu 37: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B Điều kiện: .

.

Đặt .

.

.

Xét với .

Có với .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

.

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn là phần nằm trong đường tròn tâm

bán kính bằng 3 bao gồm cả đường tròn, trừ điểm do .

Từ hình vẽ ta có 28 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài.

Câu 38: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn

?

A. . B. . . . D.

C. Lời giải

Chọn C

.

.

Đặt .

.

.

Xét với .

Có với .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

.

.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn là phần nằm trong parabol

Về đích đặc biệt 9+

và trục hoành (không tính các điểm trên trục hoành).

Từ hình vẽ ta có 35 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài.

Câu 39: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có bất phương trình

Đặt

Khi đó bất phương trình

Xét hàm số là hàm số nghịch biến trên .

Bất phương trình

Khi đó ta có

Ta có

Với

Với

Với

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 40: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn và

?

A. . B. . C. . . D.

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Lời giải

Chọn C

.

Đặt .

.

.

Xét với .

Có với .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

.

.

Tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn đề là phần nằm trong parabol

và đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính và trục hoành (không tính các điểm trên trục

hoành).

Từ hình vẽ ta có 8 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài.

Câu 41: Cho là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức

. Biết , hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn bất đẳng thức .

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D Ta có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Xét hàm với

. Suy ra là hàm đồng biến trên .

.

Vì nên ta có các trường hợp sau

Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài là: .

Câu 42: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C Điều kiện: .

.

. Đặt

.

.

với . Xét

với . Có

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

.

.

Tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn là phần nằm trong đường tròn tâm

bán kính bằng 1 bao gồm cả đường tròn, trừ điểm do .

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Từ hình vẽ ta có 4 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài.

Câu 43: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

B. . . A. . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Điều kiện: .

Ta có:

Đặt

Bất phương trình (1) trở thành

với Gọi

Ta có

Do đó hàm số đồng biến trên .

Mặt khác nên

Suy ra .

Ta có các trường hợp sau xẩy ra đối với cặp số nguyên :

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

TH1:

TH2:

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện bài toán là .

Câu 44: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

?

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định: .

Bất phương trình .

. Đặt

Bất phương trình

.

Xét

Đặt

Khi đó

cặp số nguyên .

cặp số nguyên .

Vậy cặp số nguyên thỏa điều kiện bài toán.

36| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

TÍNH KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT NÓN

14

DẠNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Quay vuông quanh trục , ta được mặt nón như hình bên với: .

Chu vi đáy:

Diện tích đáy:

Thể tích:

Diện tích xung quanh:

• Thiết diện qua đỉnh của hình nón: mặt phẳng đi qua đỉnh

Thiết diện

của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh cũng là tam giác cân .

• Khoảng cách từ tâm của đáy đến thiết diện:

• Góc giữa và thiết diện :

• Góc giữa và đáy:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 48 – Đề tham khảo 2023. Cho khối nón có đỉnh , chiều cao bằng 8 và thể tích bằng . Gọi

là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt

và phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

 Lời giải Chọn C

Gọi , lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón, , lần lượt là hình chiếu của lên

, . Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng bằng .

Ta có:

Trong tam giác vuông có: .

Trong tam giác vuông có: .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Câu 1: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao , bán kính đáy

. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này bằng A. . Diện tích thiết diện thu được bằng B. C. D.

Câu 2: Cho hình nón có đường cao và bán kính đáy . Gọi là mặt phẳng đi qua đỉnh

của hình nón và cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài . Tính diện tích thiết diện tạo

bởi mặt phẳng và hình nón đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Cho hình nón đỉnh , đáy là hình tròn tâm , bán kính . Mặt phẳng qua , cắt hình

nón theo thiết diện là tam giác có diện tích bằng . Mặt phẳng tạo với đáy hình

nón góc ; tam giác nhọn. Thể tích của khối nón tạo nên từ hình nón đã cho bằng

A. . B. C. . D. .

Câu 4: Cho hình nón có chiều cao , bán kính đáy

. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón của thiết . Tính diện tích

có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là diện đó. A. C. B. . . . D.

Câu 5: Cho hình nón đỉnh , đáy là hình tròn tâm . Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác có

một góc bằng thiết diện qua đỉnh cắt mặt phẳng đáy theo dây cung và là một

tam giác vuông. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Cho khối nón có chiều cao cm, bán kính đáy cm. Gọi là mặt phẳng đi

qua đỉnh của và cách tâm của mặt đáy cm. Khi đó cắt theo một thiết diện có

diện tích là A. cm2. cm2. cm2. D. C.

Câu 7: Cho hình nón đỉnh B. và cm2. là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ đến

mặt phẳng bằng và . Độ dài đường sinh của hình nón theo

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Cho khối nón xoay đỉnh có thể tích bằng . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và

cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng . Khoảng cách từ tâm của đường

tròn đáy đến mặt phẳng có thể bằng kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 9: Cho khối nón có đỉnh , chiều cao bằng 12 và thể tích bằng . Gọi và là hai điểm

thuộc đường tròn đáy sao cho , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Cho hình nón đỉnh có đáy là hình tròn tâm , bán kính . Dựng hai đường sinh và ,

biết chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng , khoảng cách từ tâm đến mặt

phẳng bằng . Đường cao của hình nón bằng

A. . B. . C. D. . .

Câu 11: Cho hình nón đỉnh có đáy là hình tròn tâm . Dựng hai đường sinh và , biết tam giác

vuông và có diện tích bằng . Góc tạo bởi giữa trục và mặt phẳng bằng

. Đường cao của hình nón bằng

A. . B. . C. D. . .

Câu 12: Cắt hình nón đỉnh bởi một mặt phẳng đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông cân

có cạnh huyền bằng ; là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng

tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc . Tính theo diện tích của tam

giác .

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Cho hình nón đỉnh , đường tròn đáy tâm

cắt hình nón theo thiết diện là tam giác và góc ở đỉnh bằng . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng . Một mặt phẳng đi qua và

, diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng . Tính diện tích tam giác

bằng .

A. B. C. D.

Câu 14: Cho hình nón đỉnh , đường cao SO, và là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng

cách từ đến bằng và . Độ dài đường sinh của hình nón

theo bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: Cho hình nón đỉnh , đường cao , và là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho

khoảng cách từ đến bằng và . Độ dài đường sinh của

hình nón theo bằng

A. B. C. D.

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 16: Cho hình nón có chiều cao bằng

Phan Nhật Linh . Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều sao cho góc hợp bởi mặt phẳng thiết diện và mặt đáy của hình nón có . Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng số đo bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: Cho hình nón đỉnh , đường cao . Gọi là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón

sao cho khoảng cách từ đến bằng và . Độ dài đường sinh của

hình nón bằng

B. . C. . D. . A. .

Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , khoảng cách từ tâm của đường tròn

ngoại tiếp của đáy đến một mặt bên là . Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 19: Cho khối nón đỉnh , bán kính đáy bằng và có góc ở đỉnh bằng . Gọi và

là hai là tam giác vuông, khoảng cách từ tâm đường

điểm thuộc đường tròn đáy sao cho tam giác tròn đáy đến mặt phẳng bằng

A. B. C. D.

Câu 20: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình . Biết mặt phẳng đó tạo

nón và tạo với hình nón một thiết diện là tam giác có diện tích bằng . Thể tích của hình nón đã cho là với trục của hình nón một góc

A. . B. . C. . D. .

Câu 21: Cho hình nón có chiều cao bằng . Cắt bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm

ta được thiết diện có diện tích bằng . Thể tích của khối

của đáy một khoảng bằng nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: Cho hình nón đỉnh có đáy là đường tròn tâm , bán kính . Trên đường tròn đáy lấy 2

, sao cho tam giác vuông. Biết diện tích tam giác bằng , thể tích

điểm khối nón đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Cho khối nón có đỉnh , chiều cao bằng , đáy là đường tròn tâm . Gọi là hai

điểm thuộc đường tròn đáy sao cho hình chóp có thể tích bằng . Biết khoảng cách từ

đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối nón .

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 24: Cho khối nón , chiều cao bằng

có đỉnh , đáy là đường tròn tâm

Về đích đặc biệt 9+

. Thiết diện chứa

của khối nón là tam giác vuông cân. Gọi là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho

bằng . Biết độ dài đoạn . Tính khoảng cách từ đến mặt

diện tích của tam giác phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Một hình nón có chiều cao ; độ dài đường sinh . Một mặt phẳng đi qua đỉnh của nón

. Khoảng cách từ tâm của đáy đến

và cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng mặt phẳng đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Cho tam giác . Hình chữ nhật có lần có

lượt thuộc cạnh thuộc cạnh . Quay hình chữ nhật (và miền trong vuông cân tại và

của nó) quanh trục đối xứng của tam giác được một khối tròn xoay. Tính độ dài đoạn

để thể tích khối tròn xoay lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng và chiều cao bằng 3. Gọi là mặt cầu đi qua đỉnh và

chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Cho hình nón có đỉnh là , tâm đường tròn đáy là và góc ở đỉnh bằng . Một mặt

phẳng qua cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông . Biết rằng khoảng cách

giữa hai đường thẳng và bằng . Tính thể tích của hình nón ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Cho hình nón có đỉnh trục bán kính chiều cao Dây cung thuộc đường tròn

đáy và cách một khoảng như hình vẽ. Ký hiệu lần lượt là diện tích xung quanh của

hình nón và diện tích tam giác Biết mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 30: Hình nón đỉnh

, có tâm của đường tròn đáy là , góc ở đỉnh

Phan Nhật Linh . Một mặt phẳng qua

đỉnh cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông . Biết rằng khoảng cách giữa

hai đường thẳng và bằng . Tính diện tích xung quanh của hình nón .

A. B. . C. . D. .

Câu 31: Cho khối nón . Cắt khối nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy góc thiết

diện thu được là tam giác đều cạnh có độ dài là . Thể tích khối nón là

A. B. . C. . D. .

Câu 32: Cho hình nón có chiều cao , bán kính đáy . Một thiết diện đi qua đỉnh của

hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là . Tính diện tích của

thiết diện đó.

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Cho khối nón có đỉnh , là tâm đường tròn đáy, bán kính đáy bằng và diện tích xung quanh

là . Gọi là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho có diện tích là và

không là đường kính. Khoảng cách từ đến mặt phẳng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 34: Cho hình nón có đường cao , bán kính đáy . Một mặt phẳng đi qua đỉnh

của hình nón, có khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng bằng . Tính

diện tích thiết diện của hình nón khi cắt bởi mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng . Mặt phẳng qua đỉnh hình nón và

cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng . Khoảng cách từ tâm đáy tới mặt phẳng bằng.

A. . B. . C. . D. .

có cạnh và mặt bên tạo với mặt đáy một góc

Câu 36: Cho hình chóp đều cầu tâm ngoại tiếp hình chóp nói trên. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . Một mặt .

A. . B. . C. . D. .

Câu 37: Cho hình nón đỉnh có chiều cao bằng . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình

nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng . Tính khoảng cách từ tâm

của đường tròn đáy đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 38: Cho hình nón có chiều cao

, bán kính đáy . Cắt khối nón bởi một mặt phẳng

Về đích đặc biệt 9+

đi qua đỉnh và hợp với một góc bằng . Tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy

đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Cho một hình nón có chiều cao và chu vi đường tròn đáy bằng . Mặt phẳng đi

cắt đường tròn đáy tại và sao cho . Tính khoảng cách từ tâm của

qua đường tròn đáy đến .

A. . B. . C. . D. .

Câu 40: Cho hình nón đỉnh có đáy là đường tròn tâm . Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác

cân có diện tích . Gọi là hai điểm bất kì trên đường tròn sao cho thể tích khối chóp

lớn nhất và bằng . Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Câu 41: Cho khối nón đỉnh và và đường sinh . Gọi và ,

là ba . Giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường

, bán kính đáy điểm thuộc đường tròn đáy sao cho thẳng bằng và

A. . B. . C. . D. .

Câu 42: Cho hình nón đỉnh , đường cao . Gọi là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón

sao cho khoảng cách từ đến là và , . Bán kính đáy bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 43: Cho khối nón có bán kính đáy và chiều cao lớn hơn bán kính đáy. Mặt phẳng

đi qua đỉnh nón và tạo với đáy nón một góc cắt khối nón (N) theo thiết diện là một tam giác

có diện tích bằng . Thể tích của khối nón (N) bằng

A. . B. C. D.

Câu 44: Cắt hình nón đỉnh

cân có cạnh huyền bằng

. bởi một mặt phẳng không đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng khoảng cách từ tâm O . Tính theo ; tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc

của đường tròn đáy đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 45: Cho khối nón đỉnh , có đường kính đáy bằng . Gọi và là hai điểm thuộc đường tròn

đáy sao cho khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng bằng . Diện

tích hình chiếu của tam giác lên mặt phẳng đáy bằng . Tính góc tạo bởi mặt phẳng

và mặt phẳng đáy của hình nón. . A. B. . C. . D. .

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 46: Cho khối nón có đỉnh

, chiều cao bằng 6 và thể tích bằng . Gọi và

Phan Nhật Linh là hai điểm thuộc

đường tròn đáy sao cho , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 47: Cho hình nón có chiều cao bằng , biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi

, thiết diện thu được là một

qua đỉnh của hình nón và tạo với mặt đáy của hình nón một góc tam giác vuông. Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 48: Cho hình nón có đỉnh , chiều cao bằng . Gọi và là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao

cho diện tích tam giác bằng , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng

bằng . Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Câu 49: Cho hình nón đỉnh có bán kính đáy bằng và diện tích xung quanh hình nón bằng .

Mặt phẳng đi qua cắt đường tròn đáy tại , và . Khoảng cách từ tâm của

đường tròn đáy đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 50: Cho hình nón có chiều cao và thể tích khối nón bằng . Một thiết diện đi qua đỉnh của

hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là . Tính diện tích

của thiết diện đó?

. B. . C. . D. .

A.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao , bán kính đáy

. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này bằng A. . Diện tích thiết diện thu được bằng B. D.

C. Lời giải

Chọn A

Giả sử thiết diện thỏa đề bài là tam giác , chiều cao , bán kính đáy .

Gọi là trung điểm của , trong mặt phẳng kẻ tại .

Ta có và . Lại có .

.

Do đó khoảng cách từ tâm của đáy đến thiết diện là Xét tam giác vuông vuông tại có

và .

Xét tam giác vuông vuông tại có

Vậy diện tích thiết diện .

Câu 2: Cho hình nón có đường cao và bán kính đáy . Gọi là mặt phẳng đi qua đỉnh

. Tính diện tích thiết diện tạo

của hình nón và cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài và hình nón đã cho. bởi mặt phẳng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là đỉnh của hình nón và là tâm của đường tròn đáy.

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Giả sử mặt phẳng cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác cân tại .

Theo giả thiết ta có: , và .

Gọi là trung điểm của suy ra và .

Xét tam giác vuông tại có: .

.

Xét tam giác Tam giác vuông tại , có cân tại có: là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Vậy diện tích của thiết diện: .

Câu 3: Cho hình nón đỉnh , đáy là hình tròn tâm , bán kính . Mặt phẳng qua , cắt hình

nón theo thiết diện là tam giác có diện tích bằng . Mặt phẳng tạo với đáy hình

nón góc ; tam giác nhọn. Thể tích của khối nón tạo nên từ hình nón đã cho bằng

A. . B. C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt . Do tam giác nhọn nên .

Gọi là trung điểm của . Khi đó:

.

Do đó:

. Vậy .

Câu 4: Cho hình nón có chiều cao , bán kính đáy

. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón của thiết . Tính diện tích

có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là diện đó. A. B. . . . D.

C. Lời giải

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

, tâm đáy

Về đích đặc biệt 9+ và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Giả sử hình nón đỉnh (hình vẽ).

là đường cao của hình nón. Gọi là trung điểm của .

Ta có Gọi là hình chiếu của lên .

Ta chứng minh được .

Xét tam giác vuông có .

.

Xét tam giác vuông có .

Xét tam giác vuông có .

Ta có .

Câu 5: Cho hình nón đỉnh , đáy là hình tròn tâm . Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác có

một góc bằng thiết diện qua đỉnh cắt mặt phẳng đáy theo dây cung và là một

tam giác vuông. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn D

Ta có tam giác vuông cân tại , nên .

Mặt khác tam giác cân tại và có góc nên .

Xét tam giác vuông có .

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là .

Câu 6: Cho khối nón có chiều cao cm, bán kính đáy cm. Gọi là mặt phẳng đi

qua đỉnh của và cách tâm của mặt đáy cm. Khi đó cắt theo một thiết diện có

diện tích là A. cm2. B. cm2. cm2. D. cm2.

C. Lời giải

Chọn B

Gọi lần lượt là đỉnh và tâm đường tròn đáy của khối nón .

Ta có mặt phẳng qua đỉnh của cắt đường tròn đáy tâm tại 2 điểm .

Vậy mặt phẳng cắt khối nón theo một thiết diện là .

Kẻ , . Ta có .

cm. Ta có

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao

cm.

Xét vuông tại có: cm.

Xét vuông tại có: cm.

Vậy cm2.

Câu 7: Cho hình nón đỉnh và là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ đến

mặt phẳng bằng và . Độ dài đường sinh của hình nón theo

bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

, lên .

Gọi Vì tam giác là trung điểm của cân tại là hình chiếu của .

Mà vậy .

Mặt khác, theo cách vẽ nên .

Vậy .

Theo giả thiết .

Mà đều .

Xét tam giác vuông vuông tại : .

mà .

Câu 8: Cho khối nón xoay đỉnh có thể tích bằng . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và

. Khoảng cách từ tâm của đường

cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng tròn đáy đến mặt phẳng có thể bằng kết quả nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi thiết diện mặt phẳng cắt hình nón là tam giác . Do đó, đều có cạnh

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Gọi lần lượt là tâm, bán kính của đường tròn đáy và chiều cao của khối nón,

Phan Nhật Linh lần ,

lên , . Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt

lượt là hình chiếu của phẳng bằng .

Ta có:

Xét tam giác vuông có:

TH1:

Xét tam giác vuông có:

. Trong tam giác vuông có:

TH2:

Xét tam giác vuông có:

Trong tam giác vuông có:

.

Câu 9: Cho khối nón có đỉnh , chiều cao bằng 12 và thể tích bằng . Gọi và là hai điểm

thuộc đường tròn đáy sao cho , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có .

Gọi là trung điểm của . .

Kẻ tại .

Câu 10: Cho hình nón đỉnh có đáy là hình tròn tâm , bán kính . Dựng hai đường sinh và ,

biết chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng , khoảng cách từ tâm đến mặt

phẳng bằng . Đường cao của hình nón bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

đều cạnh .

Chọn A Theo giả thiết ta có tam giác

Gọi là trung điểm , suy ra và .

Gọi là hình chiếu của trên , suy ra .

Ta có

Từ đó suy ra nên

Trong tam giác vuông , ta có .

Câu 11: Cho hình nón đỉnh có đáy là hình tròn tâm . Dựng hai đường sinh và , biết tam giác

vuông và có diện tích bằng . Góc tạo bởi giữa trục và mặt phẳng bằng

. Đường cao của hình nón bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Theo giả thiết ta có tam giác vuông cân tại .

Gọi là trung điểm , suy ra và .

Ta có .

Gọi là hình chiếu của trên , suy ra .

Ta có

Từ đó suy ra nên

Trong tam giác vuông , ta có

Câu 12: Cắt hình nón đỉnh bởi một mặt phẳng đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông cân

có cạnh huyền bằng ;

tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng của tam . Tính theo diện tích

giác .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cắt hình nón đỉnh bởi một mặt phẳng đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông cân

có cạnh huyền bằng nên bán kính của hình nón là , đường sinh

và đường cao .

Gọi là trung điểm , khi đó góc hợp bởi mặt phẳng và mặt phẳng chứa đường tròn

đáy là . Suy ra và .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Diện tích tam giác là: .

Câu 13: Cho hình nón đỉnh , đường tròn đáy tâm

cắt hình nón theo thiết diện là tam giác và góc ở đỉnh bằng . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng . Một mặt phẳng đi qua và

, diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng . Tính diện tích tam giác

bằng .

B. D. A.

C. Lời giải

Chọn D

Gọi là trung điểm , cân tại nên .

Mà vuông góc với đáy

là đoạn vuông góc chung của và nên .

Gọi bán kính của đường tròn đáy hình nón là .

Vì góc đỉnh hình nón bằng

.

Diện tích xung quanh của hình nón .

Theo giả thiết .

Xét vuông tại

. Ta có: .

vuông cân tại

Vậy diện tích tam giác bằng .

Câu 14: Cho hình nón đỉnh , đường cao SO, và là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng

cách từ đến bằng và . Độ dài đường sinh của hình nón

theo bằng

A. . B. . C. . D. .

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Lời giải

Chọn A

vì tam giác cân tại Gọi là trung điểm của ta có

nên từ Mà nên mà

dựng thì

Xét tam giác ta có:

Xét tam giác ta có:

Xét tam giác ta có:

Câu 15: Cho hình nón đỉnh , đường cao , và là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho

khoảng cách từ đến bằng và . Độ dài đường sinh của

hình nón theo bằng

A. B. D.

C. Lời giải

Chọn A

là trung điểm của ta có vì tam giác cân tại Gọi

nên từ dựng Mà nên

thì

Xét tam giác ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Xét tam giác ta có:

Xét tam giác ta có:

Câu 16: Cho hình nón có chiều cao bằng

. Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều sao cho góc hợp bởi mặt phẳng thiết diện và mặt đáy của hình nón có . Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng số đo bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều .

Gọi là trung điểm của ta có và . Do đó góc hợp bởi bởi mặt phẳng

thiết diện và mặt đáy của hình nón là góc

Theo đề bài ta có: .

Xét tam giác vuông tại có .

mà (do tam giác là tam giác đều)

.

vuông tại ta có: .

.

(đơn vị thể tích).

Câu 17: Cho hình nón đỉnh , đường cao . Gọi là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón

sao cho khoảng cách từ đến bằng và . Độ dài đường sinh của

hình nón bằng

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi là trung điểm , suy ra và .

Trong tam giác vuông , ta có

Trong tam giác vuông , ta có

Trong tam giác vuông , ta có

Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , khoảng cách từ tâm của đường tròn

ngoại tiếp của đáy đến một mặt bên là . Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là trung điểm của , dựng tại .

Chứng minh được nên suy ra .

Trong tam giác đều , ta có và

Trong tam giác vuông , ta có .

Vậy thể tích khối nón (đvtt).

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 19: Cho khối nón đỉnh

, bán kính đáy bằng và có góc ở đỉnh bằng . Gọi và

Về đích đặc biệt 9+ là hai là tam giác vuông, khoảng cách từ tâm đường

điểm thuộc đường tròn đáy sao cho tam giác tròn đáy đến mặt phẳng bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D Gọi là tâm của đường tròn đáy và là đường kính vuông góc với dây cung .

Ta có .

Do khối nón có góc ở đỉnh bằng nên .

Tam giác vuông có: .

Khối nón có chiều cao và đường sinh .

vuông cân tại , có .

nên là trung điểm của là giao điểm của ta có (tính chất đường kính

Do tam giác và Gọi vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó).

Suy ra .

Tam giác vuông có .

Kẻ vuông góc với tại ta có:

.

Suy ra . Tam giác vuông tại có là đường cao ứng với cạnh

. huyền nên ta có:

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 20: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình

nón và tạo với hình nón một thiết diện là tam giác có diện tích bằng . Biết mặt phẳng đó tạo

với trục của hình nón một góc . Thể tích của hình nón đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D Gọi thiết diện qua trục của hình nón là , mặt phẳng qua đỉnh hình nón là

.Gọi là trung điểm của .

cân tại nên . Vẽ

Ta có: mà nên

Từ và suy ra

Gọi .

vuông tại :

vuông tại nên

.

Ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 21: Cho hình nón

có chiều cao bằng . Cắt

Về đích đặc biệt 9+ bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm

ta được thiết diện có diện tích bằng . Thể tích của khối

của đáy một khoảng bằng nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Giả sử mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác .

Gọi là trung điểm của . Ta có .

, mà (vì và Kẻ )

suy ra .

Theo giả thiết có: , và .

Trong vuông tại có:

.

Ta có: .

Trong vuông tại có: .

Vậy thể tích của khối nón đã cho là .

Câu 22: Cho hình nón đỉnh có đáy là đường tròn tâm , bán kính . Trên đường tròn đáy lấy 2

, sao cho tam giác vuông. Biết diện tích tam giác bằng , thể tích

điểm khối nón đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Kẻ , là trung điểm và .

Do tam giác vuông

Ta có

Xét vuông tại có: .

Vậy thể tích của khối nón đã cho là .

Câu 23: Cho khối nón có đỉnh , chiều cao bằng , đáy là đường tròn tâm . Gọi là hai

điểm thuộc đường tròn đáy sao cho hình chóp có thể tích bằng . Biết khoảng cách từ

đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối nón .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Từ đề bài ta có: . Gọi là trung điểm của

Mà

Trong mặt phẳng dựng . Do

khoảng cách từ đến mặt phẳng là

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có:

Thể tích của khối chóp :

Mà

Bán kính của đường tròn đáy

Thể tích của khối nón : .

Câu 24: Cho khối nón có đỉnh , chiều cao bằng , đáy là đường tròn tâm . Thiết diện chứa

của khối nón là tam giác vuông cân. Gọi là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho

bằng . Biết độ dài đoạn . Tính khoảng cách từ đến mặt

diện tích của tam giác phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B Xét thiết diện chứa của khối nón là tam giác vuông cân như hình vẽ.

Ta có chiều cao , tam giác vuông cân nên .

Gọi là trung điểm của , do tam giác cân tại

Xét tam giác : Theo đề bài ta có

Do vuông tại

Từ và hoặc . Do

Xét hình nón

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có: mà

Trong mặt phẳng dựng

Do

khoảng cách từ đến mặt phẳng là

Ta có:

Câu 25: Một hình nón có chiều cao ; độ dài đường sinh . Một mặt phẳng đi qua đỉnh của nón

. Khoảng cách từ tâm của đáy đến

và cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng mặt phẳng đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh nón và cắt đường tròn đáy theo dây cung .

Từ hình vẽ, ta có:

Bán kính đường tròn đáy của hình nón: .

, .

Do đó, ta có:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 26: Cho tam giác . Hình chữ nhật có lần có

lượt thuộc cạnh thuộc cạnh . Quay hình chữ nhật (và miền trong vuông cân tại và

của nó) quanh trục đối xứng của tam giác được một khối tròn xoay. Tính độ dài đoạn

để thể tích khối tròn xoay lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Tam giác . Gọi là trung điểm là trung điểm . vuông cân tại

Có .

Đặt .

. Do

Gọi là bán kính của trụ

.

. với Xét

Khi đó: .

Bảng biến thiên

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vậy khi .

Câu 27: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng và chiều cao bằng 3. Gọi là mặt cầu đi qua đỉnh và

chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của bằng:

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn B

là đỉnh hình nón và gọi

Gọi là tâm mặt cầu. Gọi đường kính đường tròn đáy của hình nón là , là trung điểm của

Ta có: , .

nên là tam giác đều. Suy ra . Vì

. Vậy

Câu 28: Cho hình nón có đỉnh là , tâm đường tròn đáy là và góc ở đỉnh bằng . Một mặt

phẳng qua cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông . Biết rằng khoảng cách

giữa hai đường thẳng và bằng . Tính thể tích của hình nón ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vì góc ở đỉnh bằng nên ta có

, khi đó là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

Gọi và là trung điểm của . Như vậy .

Xét tam giác vuông tại có .

.

Xét tam giác Tam giác vuông tại vuông cân tại có nên ta có

.

Suy ra .

Vậy thể tích của hình nón là .

Câu 29: Cho hình nón có đỉnh trục bán kính chiều cao Dây cung thuộc đường tròn

đáy và cách một khoảng như hình vẽ. Ký hiệu lần lượt là diện tích xung quanh của

hình nón và diện tích tam giác Biết mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi là trung điểm của . Ta có tại

Đường sinh của hình nón

Khi đó

Áp dụng định lý Pytago ta được

và

Khi đó

Theo đề

Câu 30: Hình nón đỉnh , có tâm của đường tròn đáy là , góc ở đỉnh . Một mặt phẳng qua

đỉnh cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông . Biết rằng khoảng cách giữa

hai đường thẳng và bằng . Tính diện tích xung quanh của hình nón .

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

tại

Gọi Mà là trung điểm của tại là khoảng cách giữa và

Theo bài ra ta có tam giác vuông cân tại và ; và .

Gọi là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường sinh .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Suy ra .

Xét tam giác vuông tại , ta có .

Diện tích xung quanh của hình nón là .

Câu 31: Cho khối nón . Cắt khối nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy góc thiết

diện thu được là tam giác đều cạnh có độ dài là . Thể tích khối nón là

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Khối nón có đỉnh , đáy là hình tròn tâm , thiết diện là tam giác đều cạnh có độ dài

bằng . Từ kẻ vuông góc với tại ta có .

Tam giác đều cạnh có độ dài bằng , đường cao .

; ; .

.

Câu 32: Cho hình nón có chiều cao , bán kính đáy . Một thiết diện đi qua đỉnh của

hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là . Tính diện tích của

thiết diện đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

lần lượt là tâm của mặt đáy và đỉnh của hình nón. là giao điểm của thiết diện đi Gọi

qua đỉnh và đường tròn đáy.

Kẻ khi đó ta có:

.

Xét tam giác vuông tại , ta có:

.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông cho tam giác .

.

Câu 33: Cho khối nón có đỉnh , là tâm đường tròn đáy, bán kính đáy bằng và diện tích xung quanh

là . Gọi là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho có diện tích là và

không là đường kính. Khoảng cách từ đến mặt phẳng là

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn A

Ta có .

Ta có

Gọi là hình chiếu của lên đoạn ta có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có

Ta có .

Câu 34: Cho hình nón có đường cao , bán kính đáy . Một mặt phẳng đi qua đỉnh

của hình nón, có khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng bằng . Tính

diện tích thiết diện của hình nón khi cắt bởi mặt phẳng .

A. . B. . D. . . C.

Lời giải

Chọn C

Gọi là đỉnh của hình nón, là tâm của đường tròn đáy hình nón.

Mặt phẳng đi qua đỉnh và cắt mặt mặt đáy tại hai điểm sao cho

.

Gọi là trung điểm của . Kẻ , .

Có:

Có .

Xét tam giác vuông tại , đường cao , ta có

. Suy ra .

Mặt khác: .

Vậy .

Câu 35: Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng . Mặt phẳng qua đỉnh hình nón và

cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng . Khoảng cách từ tâm đáy tới mặt phẳng bằng.

A. . B. . C. . D. .

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Lời giải

Chọn D

qua đỉnh cắt đáy theo dây cung đều.

Gọi là trung điểm  .

. Kẻ

Do .

Do .

Ta có .

Xét vuông tại có đường cao

.

có cạnh và mặt bên tạo với mặt đáy một góc

Câu 36: Cho hình chóp đều cầu tâm ngoại tiếp hình chóp nói trên. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . Một mặt .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là trọng tâm tam giác , lần lượt là trung điểm .

Do hình chóp đều nên . Suy ra .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 . Do đó

Mà .

Khi đó, góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là .

Xét tam giác vuông tại có: .

Ta có: .

Trong mặt phẳng vẽ tại .

Ta lại có .

Do .

Câu 37: Cho hình nón đỉnh có chiều cao bằng . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình

nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng . Tính khoảng cách từ tâm

của đường tròn đáy đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Theo giả thiết tam giác đều, và .

. đều .

Xét vuông tại , theo định lý Pytago ta có: .

Gọi là trung điểm của , là hình chiếu của lên . Khi đó

Trong tam giác vuông có: .

. Trong tam giác vuông có:

36| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 38: Cho hình nón có chiều cao

, bán kính đáy . Cắt khối nón bởi một mặt phẳng

Phan Nhật Linh

đi qua đỉnh và hợp với một góc bằng . Tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy

đến mặt phẳng .

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn C

Gọi lần lượt là giao điểm của mặt phẳng và đường tròn đáy, lần lượt là hình

chiếu của lên và . Ta có .

Mặt khác nên .

Khi đó và .

Trong tam giác vuông ta có

Trong tam giác vuông có: .

Câu 39: Cho một hình nón có chiều cao và chu vi đường tròn đáy bằng . Mặt phẳng đi

cắt đường tròn đáy tại và sao cho . Tính khoảng cách từ tâm của

qua đường tròn đáy đến .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Có .

Chu vi đường tròn đáy bằng

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Ta có , gọi là hình chiếu của

Về đích đặc biệt 9+ lên

suy ra

là trung điểm , gọi là hình chiếu của lên suy ra .

Ta tính được suy ra là tam giác vuông cân tại , suy ra là

trung điểm của nên .

Câu 40: Cho hình nón đỉnh có đáy là đường tròn tâm . Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác

cân có diện tích . Gọi là hai điểm bất kì trên đường tròn sao cho thể tích khối chóp

lớn nhất và bằng . Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng bao nhiêu?

A. . B. . D. . . C.

Lời giải

Chọn D

Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình nón lần lượt là . Ta có .

Ta có .

Suy ra .

. Do đó độ dài đường sinh của hình nón là . Vậy

Câu 41: Cho khối nón đỉnh và và đường sinh . Gọi và ,

là ba . Giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường

, bán kính đáy điểm thuộc đường tròn đáy sao cho thẳng bằng và

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

38| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

di động

là trung điểm . , điểm , và là giao điểm giữa với đường tròn đáy sao

là tâm đáy, nằm giữa và .

kẻ đường thẳng song song với cắt tại .

Ta có chiều cao Không mất tổng quát ta cố định Gọi cho Qua Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Xét tam giác , khi thay đổi thì thay đổ trên đoạn

Khoảng cách từ đến là (với là hình chiếu của trên ).

Nếu góc nhọn thì lớn nhất khi trùng với

tù hoặc vuông thì lớn nhất khi vuông góc với khi đó trùng với

Nếu góc .

, , , , Ta có

, nên góc Suy ra,

tù.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

Câu 42: Cho hình nón đỉnh , đường cao . Gọi là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón

sao cho khoảng cách từ đến là và , . Bán kính đáy bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 39

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Gọi là trung điểm của , ta có: .

Ngoài ra:

Mà

. Vậy

Câu 43: Cho khối nón có bán kính đáy và chiều cao lớn hơn bán kính đáy. Mặt phẳng

đi qua đỉnh nón và tạo với đáy nón một góc cắt khối nón (N) theo thiết diện là một tam giác

có diện tích bằng . Thể tích của khối nón (N) bằng

A. . B. C. . D.

Lời giải

Chọn C

Gọi thiết diện của mặt phẳng và khối nón là ( hình vẽ ), đường cao ,

mặt đáy của hình là

Vẽ tại thì H cũng là trung điểm của

Ta có:

và Ta có:

40| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

.

Câu 44: Cắt hình nón đỉnh bởi một mặt phẳng không đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông

cân có cạnh huyền bằng ; là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng

tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc . Tính theo khoảng cách từ tâm O

của đường tròn đáy đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

, , lần lượt là hình chiếu của lên

Gọi , lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón, . Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng bằng .

Ta có: trung tuyến trong tam giác vuông cân

Xét tam giác vuông ; :

Câu 45: Cho khối nón đỉnh , có đường kính đáy bằng . Gọi và là hai điểm thuộc đường tròn

đáy sao cho khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng bằng . Diện

tích hình chiếu của tam giác lên mặt phẳng đáy bằng . Tính góc tạo bởi mặt phẳng

và mặt phẳng đáy của hình nón. . A. B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 41

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Kẻ tại . Ta có: .

Mặt khác: .

vuông cân tại .

Mặt khác, .

Câu 46: Cho khối nón có đỉnh , chiều cao bằng 6 và thể tích bằng . Gọi và là hai điểm thuộc

đường tròn đáy sao cho , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi Gọi , , lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón. lần lượt là hình chiếu của , . lên

. Suy ra .

. Suy ra khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng bằng .

Ta có .

42| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Trong tam giác vuông . có

Trong tam giác vuông có .

Câu 47: Cho hình nón có chiều cao bằng , biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi

, thiết diện thu được là một

qua đỉnh của hình nón và tạo với mặt đáy của hình nón một góc tam giác vuông. Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

. Giả sử thiết diện thu được là tam giác vuông

Gọi là trung điểm của , ta có góc giữa và mặt đáy của hình nón là góc .

. Xét vuông tại , có

.

Xét vuông cân tại , ta có . Suy ra .

.

Xét vuông tại , ta có .

Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng

.

Câu 48: Cho hình nón có đỉnh , chiều cao bằng . Gọi và là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao

cho diện tích tam giác bằng , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng

bằng . Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 43

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Gọi Gọi , , lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón. lần lượt là hình chiếu của lên , .

. Suy ra .

. Suy ra khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng bằng .

Trong tam giác vuông có

.

.

Tam giác cân có

.

Suy ra .

Trong tam giác vuông có .

Thể tích khối nón bằng .

Câu 49: Cho hình nón đỉnh có bán kính đáy bằng và diện tích xung quanh hình nón bằng .

Mặt phẳng đi qua cắt đường tròn đáy tại , và . Khoảng cách từ tâm của

đường tròn đáy đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

44| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có: .

.

, suy ra .

Mặt khác Gọi Do nên là trung điểm cạnh vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tâm nên .

Khi đó .

Trong tam giác , dựng .

Do , nên , từ đó suy ra .

Vậy .

Xét tam giác vuông : .

Trong tam giác vuông : .

Câu 50: Cho hình nón có chiều cao và thể tích khối nón bằng . Một thiết diện đi qua đỉnh của

hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là . Tính diện tích

của thiết diện đó?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Gọi hình nón đã cho có đỉnh là và tâm của đáy là ; thiết diện qua đỉnh là tam giác .

Ta có .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 45

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Dựng ,suy ra .

Trong tam giác , dựng .

, nên , từ đó suy ra . Do

, suy ra . Vậy

Trong tam giác vuông :

.

Khi đó .

Xét tam giác vuông : .

Vậy diện tích tam giác là: .

46| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

15

CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

DẠNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A

Dạng 1: Tìm điểm thuộc sao cho có đạt min.

Phương pháp giải:

• Tìm điểm thõa mãn hệ thức tọa độ điểm là:

• Phân tích

• Khi đó là hình chiếu vuông góc của lên

• Viết phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với

• Khi đó .

Dạng 2: Tìm điểm thuộc sao cho đạt max hoặc min.

Phương pháp giải:

• Tìm điểm thỏa mãn hệ thức

• Phân tích =

.

• Nếu thì T đặt min; thì T đặt max.

• Khi đó là hình chiếu vuông góc của lên

Dạng 3: Tìm điểm thuộc sao cho hoặc

Phương pháp giải:

• Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm và so với mặt phẳng (P).

• Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán phải lấy đối xứng A qua (P) khi đó

dấu bằng xảy ra thẳng hàng hay .

• Bài toán tìm , ta có là giao điểm trực tiếp của đường thẳng

AB và (P).

• Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán phải lấy đối xứng A qua (P) bài toán tìm

M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P).

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Dạng 4: Bài toán lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng có yếu tố cực trị Phương pháp đại số:

• Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập là

• Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b,c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa

đường, song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là .

• Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề bài yêu cầu, thay vào ta được một phương

trình hai ẩn b;c.

• Xét hàm khoảng cách

Nếu thì lưu lại giá trị khoảng cách này.

Nếu

• Khảo sát hàm ta thu được kết quả.

Chú ý:

• Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ;M thuộc .

• Công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng

Phương pháp hình học: Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M là điểm không thuộc d. Phương pháp giải:

Đường thẳng d xác định đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là .

Kẻ và điểm K

cố định.

Ta có

Suy ra . Khi đó

Gọi là mặt phẳng chứa M và d ta có:

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Khi đó (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến là:

Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) , đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ điểm M đến d lớn nhất, nhỏ nhất? Phương pháp giải:

Kẻ và điểm H cố định.

Kẻ và điểm H cố định.

Ta có: .

Ta có

Khi đó đường thẳng nằm trong , đi qua và vuông góc với đường thẳng , suy ra có một

véc tơ chỉ phương là

Mặt khác, lại có .

Khi đó đường thẳng nằm trong , đi qua A và đi qua hình chiếu H của M. Suy ra

. Trong đó

Khi đó đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là

(Chú ý: Trong trường hợp thì chính là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng ).

Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d’lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P). Phương pháp giải:

Gọi , qua A dựng đường thẳng , với (Q) là mặt phẳng chứa và .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Khi đó

Kẻ và điểm K cố định.

Ta có Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A và vuông

góc với đường thẳng IK, suy ra d có một véc tơ chỉ phương là

Gọi là hình chiếu vuông góc của A lên d’ , suy ra , khi đó

Vậy đường thẳng d cần lập đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là

Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, d cắt d1 và khoảng cách giữa d và d2 lớn nhất Phương pháp giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d1 , suy ra d nằm trong (P). Khi đó quy về bài toán 3! Dạng 5: Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị Phương pháp giải: Tham số hóa điểm M theo phương trình đường thẳng.

Biến đổi giả thiết về dạng và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số .

Chú ý:

Tam thức bậc hai: có đỉnh

Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ và ta có:

Khi đó dấu bằng xảy ra

Dạng 6: Bài toán cực trị liên quan đến góc Phương pháp đại số

• Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập là

trong đó .

• Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b,c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa

đường, song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là

• Thiết lập phương trình về góc, thay vào ta được một phương trình hai ẩn b,c.

Chú ý:

• Góc giữa hai đường thẳng

• Góc giữa hai mặt phẳng

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

• Ta biết rằng hàm đồng biến khi , ngược lại hàm nghịch biến .

• Vậy khi hàm xét max, min là hàm sin thì góc lớn ứng với hàm max, góc nhỏ ứng với hàm nhỏ. Còn khi hàm xét max, min là hàm cosin thì ngược lại, đề bài yêu cầu tìm góc lớn thì hàm phải đạt min, góc nhỏ thì hàm đạt max.

Phương pháp hình học

Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng chứa sao cho mặt phẳng tạo với mặt phẳng

cho trước một góc nhỏ nhất (hoặc tạo với đường thẳng d cho trước một góc lớn nhất) Phương pháp giải:

Trường hợp 1:

với là mặt phẳng trong hình vẽ. Gọi

cố định, dựng Lấy

khi tức là Do

Mặt khác

Suy ra nhỏ nhất giao tuyến d của và

Trường hợp 2:

Tổng kết:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng qua A nằm trong

Về đích đặc biệt 9+ sao cho góc giữa 2 đường thẳng d

và nhỏ nhất (hoặc tạo với mặt phẳng cho trước một góc lớn nhất)

Phương pháp giải:

Trường hợp 1:

Qua A dựng đường thẳng , trên lấy điểm I, hạ cố định, điểm K thay đổi

Mà (Do ) suy ra hay qua A và H.

Khi đó là hình chiếu vuông góc của trên .

Ta có:

Trường hợp 2:

Tổng kết:

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 49 – Đề tham khảo 2023. Trong không gian cho Xét các điểm thay

đổi sao cho tam giác không có góc tù và có diện tích bằng Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng

thuộc khoảng nào dưới đây? A. B. C. D.

 Lời giải Chọn B

Ta có:

Suy ra: di động trên mặt trụ, bán kính bằng trục là

Xét điểm như hình vẽ,

Vì nên giới hạn của là hai mặt trụ với trục và

Vì hình chiếu của cách gần hơn nên

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

C

Câu 1: Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng .

Mặt cầu có tâm thuộc có hoành độ âm tiếp xúc với mặt phẳng tại . Điểm

là điểm thay đổi trên , khi khoảng cách lớn nhất thì giá trị của

là bao nhiêu, biết rằng diện tích tam giác bằng là giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng ).

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Trong không gian , cho mặt phẳng và điểm . Đường

thẳng đi qua và có véc tơ chỉ phương cắt tại . Điểm thay đổi trên

sao cho luôn nhìn đoạn dưới một góc . Độ dài đoạn lớn nhất bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Trong không gian , cho điểm , . Mặt phẳng đi qua điểm và

tạo với trục một góc thỏa mãn . Giả sử là một vectơ pháp tuyến

của . Khi khoảng cách từ đến lớn nhất, giá trị biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Trong không gian cho Xét điểm thay đổi sao cho tam giác

không có góc tù và có diện tích bằng 10. Giá trị nhỏ nhất của độ dài là

A. B. C. D.

Câu 5: Trong không gian , cho mặt cầu và hai điểm

. Gọi . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức là điểm thuộc mặt cầu

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng

, với là tham số. Gọi , N lần lượt là hình chiếu vuông

góc của lên Δ sao cho thể tích khối tứ diện nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức

thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. D. .

Câu 7: Trong không gian cho hai điểm và mặt phẳng

. Gọi là điểm thỏa mãn biểu thức

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

và khoảng cách từ đến nhỏ nhất. Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng có phương trình

và hai điểm và . Gọi là đường thẳng đi qua và song song với và

đến là nhỏ nhất. Đường thẳng đi qua điểm

thõa mãn điều kiện sao cho khoảng cách từ nào sau đây? A. B. . . C. D. . .

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , . Điểm ,

thỏa mãn . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện là bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Trong không gian cho ba điểm , và . Gọi là mặt

phẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng , là giao tuyến của và ,

. Khi đạt giá trị lớn nhất, đi qua điểm nào trong các điểm

sau đây? A. . B. . C. . D. .

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ cho và hai điểm , Hai

điểm thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho cùng hướng và Giá

trị lớn nhất của

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu tâm , bán kính và đường

thẳng . Mặt phẳng chứa và cắt mặt cầu theo thiết diện là

đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Trong không gian , cho điểm , . Xét các điểm thay đổi sao cho tam

giác và có diện tích bằng . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng

luôn vuông tại thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Trong không gian , cho mặt cầu và hai điểm

. Điểm bất kì thuộc mặt cầu sao cho đạt giá trị

nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức A. B. C. D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 15: Trong không gian

, cho 3 điểm , và

Về đích đặc biệt 9+ di

. Một điểm

và đạt giá trị lớn. Tính giá động trong không gian sao cho

trị biểu thức A. B. C. D.

Câu 16: Trong không gian , cho hai điểm . Xét các điểm thay đổi sao và

cho tam giác có tù và có diện tích bằng . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thằng

thuộc khoảng nào dưới đây? . B. . A. C. . D. .

Câu 17: Trong không gian , cho mặt cầu và hai điểm ,

. Điểm di chuyển trên mặt cầu . Giá trị lớn nhất của đạt được

là

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu có tâm , bán kính .

là một đường kính của ; mặt phẳng qua và tạo với một góc . Hai điểm

thay đổi trên sao cho . Biết rằng biểu thức có giá trị nhỏ nhất

bằng . Viết phương trình mặt cầu .

. B. . A.

. D. . C.

Câu 19: Trong không gian , cho hai điểm và . Xét các điểm thay đổi sao

đến đường thẳng bằng không lớn

cho khoảng cách từ hơn . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng và diện tích tam giác thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Trong không gian cho tứ diện , . Xét

các điểm thay đổi trên mặt cầu . Giá trị lớn nhất của biểu thức

thuộc khoảng nào dưới đây?

B. C. D. A.

Câu 21: Trong không gian ,cho mặt cầu và các điểm

. Điểm thuộc mặt cầu . Thể tích tứ diện lớn nhất , ,

thuộc khoảng nào dưới đây? B. A. . . C. . D. .

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 22: Trong không gian cho hai điểm và Tìm hoành độ điểm trên

mặt phẳng sao cho và tam giác có diện tích nhỏ nhất?

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Cho các điểm , . Đặt , trong đó là một điểm chạy trên

mặt phẳng . Tìm tung độ của khi đạt giá trị nhỏ nhất?

A. . B. . C. . D. .

Câu 24: Trong không gian , cho và hai đường thẳng , . Gọi

, là các điểm lần lượt di động trên , . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng đường thẳng

và mặt cầu Gọi là hai điểm trên mặt cầu

và là hai điểm nằm trên mặt phẳng sao cho cùng song song

với đường thẳng Giá trị lớn nhất của tổng gần nhất với giá trị nào sau đây

A. B. C. D.

Câu 26: Trong không gian , cho hai điểm và . Xét các điểm và thay

có diện tích bằng và tam giác vuông tại . Giá trị nhỏ

đổi sao cho tam giác nhất của độ dài đoạn thẳng thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Trong không gian , cho hai điểm và . Xét các điểm và thay

đổi sao cho tam giác có diện tích bằng , góc và tam giác vuông tại

. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Gọi là mặt

phẳng chứa giao tuyến của hai mặt cầu và

. Xét hai điểm , là hai điểm bất kì thuộc sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và điểm . Điểm M thay

đổi trong không gian thỏa mãn . Điểm thuộc mặt phẳng

sao cho nhỏ nhất. Tính tổng .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

A. . B. . C. . D. .

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

. Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương cắt

tại . Điểm thay đổi trong sao cho luôn nhìn đoạn dưới góc . Khi độ dài

lớn nhất, đường thẳng B. . A. đi qua điểm nào trong các điểm sau? C. . . D. .

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm với

và mặt cầu có bán kính bằng ngoại tiếp tứ diện . Khi tổng

A. đạt giá trị nhỏ nhất thì B. C. D.

Câu 32: Trong không gian , cho mặt cầu . Lấy điểm

trong không gian sao cho từ kẻ được ba tiếp tuyến , , đến mặt cầu thỏa

mãn , , ( , , là các tiếp điểm). Khi đó đoạn thẳng

có độ nhỏ nhất bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và hai điểm

, . Gọi là mặt phẳng đi qua tiếp xúc với . Gọi khoảng cách lớn nhất

và nhỏ nhất từ đến lần lượt là và . Khi đó nằm trong khoảng nào dưới

đây?

B. . C. . D. . A. .

Câu 34: Cho điểm , hai mặt cầu

và điểm di động thuộc cả hai

mặt cầu. Gọi là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D. .

Câu 35: Trong không gian , cho các điểm ,

. Xét điểm thay đổi sao cho và . Giá trị lớn nhất của bằng

A. . B. . . D. . C.

Câu 36: Trong không gian , xét mặt phẳng . Lấy , có

là một đường thẳng bất kì vuông góc với gọi thỏa mãn thuộc miền

trong . Lấy , gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

đường thẳng . Hệ thức nào của điểm là đúng để biểu thức đạt

giá trị lớn nhất.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 37: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng

. Mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với một góc nhỏ nhất cắt mặt cầu

theo đường tròn có bán kính bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 38: Cho . Tọa độ điểm sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. . B. . C. . D. .

, Câu 39: Trong không gian với hệ toạ độ , gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm

sao cho khoảng cách từ điểm đến đạt giá trị lớn nhất. Biết

có một véctơ pháp tuyến là , khi đó giá trị của tổng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 40: Trong không gian , cho mặt cầu và các điểm

. Điểm thỏa đạt giá

trị nhỏ nhất. Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt cầu

. Mặt phẳng qua điểm và cắt mặt cầu theo

đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng có phương trình là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho tam giác có Gọi là

điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm bán kính Giá trị nhỏ nhất của là

A. B. C. D.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 43: Trong không gian cho mặt phẳng , đường thẳng và hai điểm

. Hai điểm , thuộc mặt phẳng sao cho và ,

. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn .

. A. B. . C. . D.

Câu 44: Trong không gian cho hai điểm , và đường thẳng Gọi

M là điểm di động thuộc mặt phẳng sao cho và N là điểm di động thuộc

Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. 2 . B. C. . D. .

Câu 45: Trong không gian , cho hai điểm , . Điểm di động trên mặt

phẳng sao cho , luôn tạo với các góc phụ nhau. Giá trị lớn nhất của độ

dài đoạn thẳng thuộc khoảng nào dưới đây?

B. C. D. A.

Câu 46: Trong không gian cho . Xét các điểm thay đổi sao cho

tam giác vuông tại và có diện tích lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng

thuộc khoảng nào dưới đây?

B. C. D. A.

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và mặt phẳng

. Điểm thuộc mặt phẳng sao cho lớn nhất thì giá trị của

bằng

A. B. . C. . D. .

Câu 48: Trong không gian cho hai điểm và Xét khối chóp tứ giác đều

nội tiếp trong mặt cầu đường kính Khi khối chóp có thể tích lớn nhất

thì mặt phẳng có phương trình Giá trị bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 49: Trong không gian cho đường thẳng và mặt cầu :

. Cho biết điểm , điểm thuộc giao tuyến của

mặt cầu và mặt phẳng . Khi điểm di động trên đường thẳng

giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. B. C. D.

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 50: Trong không gian với hệ

tọa độ , cho điểm

Phan Nhật Linh và mặt phẳng

. Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương cắt

tại . Điểm thay đổi trong sao cho luôn nhìn đoạn dưới góc . Khi độ

lớn nhất, đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm sau?

dài A. . B. . C. . D. .

Câu 51: Trong không gian , cho hai điểm và . Với là điểm trên đường

thẳng , xét là một điểm di động trên mặt cầu có tâm với bán kính

thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới

bằng 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đây? A. B. C. D.

Câu 52: Trong không gian với hệ trục , cho mặt cầu và hai điểm

. Gọi là điểm thuộc mặt cầu . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

. B. C. D.

A.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

cho đường thẳng

và mặt phẳng

.

Mặt cầu

có tâm

thuộc

có hoành độ âm tiếp xúc với mặt phẳng

tại

. Điểm

là điểm thay đổi trên

, khi khoảng cách

lớn nhất thì giá trị của

là

bao nhiêu, biết rằng diện tích tam giác

bằng

là giao điểm của đường thẳng

và mặt

phẳng

).

Câu 1: Trong không gian

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta có:

. Suy ra góc

Gọi là bán kính mặt cầu , ta có: . Tam giác vuông tại có:

. Diện tích:

Giả sử , .

.

Phương trình mặt cầu .

Khoảng cách lớn nhất .

Đường thẳng có phương trình: .

Tham số ứng với giao điểm của và là nghiệm của phương trình:

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Suy ra đường thẳng cắt tại hai điểm

Do nên điểm thỏa mãn bài toán khi trùng điểm .

, cho mặt phẳng

và điểm

. Đường

.

thẳng

đi qua

và có véc tơ chỉ phương

cắt

tại

. Điểm

thay đổi trên

sao cho

luôn nhìn đoạn

dưới một góc

. Độ dài đoạn

lớn nhất bằng

Câu 2: Trong không gian

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Phương trình đường thẳng nên tọa độ điểm thỏa mãn hệ:

.

Do nhìn đoạn dưới một góc nên thuộc mặt cầu có đường kính

. Lại do nên thuộc đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu và mặt

phẳng .

Do là một dây cung của đường tròn này nên lớn nhất khi nó là đường kính của đường

tròn giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng . Gọi là trung điểm thì

là tâm mặt cầu và . Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến là:

. Vậy

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

, cho điểm

,

. Mặt phẳng

Về đích đặc biệt 9+ và đi qua điểm

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 3: Trong không gian

tạo với trục

một góc

thỏa mãn

. Giả sử

là một vectơ pháp tuyến của

. Khi khoảng cách từ

đến

lớn nhất, giá trị biểu thức

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , .

Ta có , suy ra thuộc đường tròn có tâm , bán kính nằm trong

. ( chứa một đường sinh duy nhất của hình nón đỉnh , trục và góc ở đỉnh là

)

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và .

Suy ra: .

Do đó lớn nhất khi lớn nhất.

Vì nằm trên và nằm bên trong đường tròn nên số đo góc lớn nhất khi

thẳng hàng và nằm giữa . Khi đó , nên

lớn nhất khi thẳng hàng và nằm giữa .

Mặt khác trong thì nằm trên đường phân giác của góc , suy ra .

Cũng trong gọi là đường phân giác của góc là vectơ chỉ

phương của và . Dễ thấy và cùng phương với , do đó vuông

cho

Xét điểm

thay đổi sao cho tam giác

góc với và , từ đó ta có .

không có góc tù và có diện tích bằng 10. Giá trị nhỏ nhất của độ dài

là

Câu 4: Trong không gian

A. B. C. D.

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Lời giải

Chọn A Gọi

Ta có

Do cho tam giác không có góc tù nên

Ta có

Do

, cho mặt cầu

và hai điểm

Nên

. Gọi

. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là điểm thuộc mặt cầu

.

Câu 5: Trong không gian

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn C

, bán kính . Mặt cầu có tâm

. Ta có

Gọi là trung điểm của . Gọi là trung điểm của .

Xét tam giác và có và chung nên .

. Do đó

. Ta có

Dấu bằng xảy ra khi .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

và đường thẳng

là .

, với

là tham số. Gọi

, N lần lượt là hình chiếu vuông góc

của

lên Δ sao cho thể tích khối tứ diện

nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức

Câu 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm

A.

thuộc khoảng nào dưới đây? B.

. . C. D. .

Lời giải

Chọn C Mặt phẳng qua điểm vuông góc Δ là

Mặt phẳng qua vuông góc với là

Do đó

Đường thẳng Δ qua điểm và có véctơ chỉ phương

Đường thẳng qua điểm có véctơ chỉ phương

Góc giữa hai đường thẳng Δ và AB là

Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

Do đó

Dấu xảy ra khi .

Khi đó phương trình đường thẳng

Đường thẳng Δ có véctơ chỉ phương Vì là hình chiếu của lên Δ nên

cho hai điểm

và mặt phẳng

. Suy ra .

Câu 7: Trong không gian

. Gọi là điểm thỏa mãn biểu thức

và khoảng cách từ đến nhỏ nhất. Khi đó bằng

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Gọi là trung điểm ,

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Do đó thuộc mặt cầu cầu có tâm .

suy ra mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường

tròn. Gọi là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến nhỏ nhất.

Khi đó, thuộc đường thẳng đi qua và vuông góc với

Ta có phương trình tham số của đường thẳng

Tọa độ là nghiệm của hệ:

Với .(loại)

Với

cho mặt phẳng

có phương trình

và

Vậy .

hai điểm

và

. Gọi

là đường thẳng đi qua

và song song với

và thõa

đến

là nhỏ nhất. Đường thẳng

đi qua điểm nào sau

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ

. C. . D. .

mãn điều kiện sao cho khoảng cách từ đây? A.

B. .

Lời giải

Chọn B Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với .

Phương trình của

Suy ra nằm trong mặt phẳng

Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Tam giác vuông tại

Suy ra hay là đường thẳng đi qua hai điểm và ( điểm trùng với

điểm ).

vuông góc với nên đường thẳng nhận là một VTCP.

Phương trình tham số của đường thẳng là: .

Điểm là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng nên tọa độ thỏa mãn hệ phương

trình: .

Ta có đường thẳng có một VTCP là và đi qua điểm

Phương trình chính tắc của là .

Thay tọa độ các điểm vào phương trình chính tắc của đường thẳng ta thấy tọa độ

, cho các điểm

,

,

. Điểm

điểm thỏa mãn. Vậy đường thẳng đi qua điểm .

thỏa mãn

. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện

là bao nhiêu?

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D Gọi . Ta có:

Vậy thuộc mặt cầu có tâm và bán kính .

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Mặt phẳng đi qua các điểm , , nên có phương

trình là .

Vì nên cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn.

Ta có: . Thể tích lớn nhất của khối

tứ diện đạt được khi lớn nhất.

Đặt .Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối và Bunhiacopxki:

.

Dấu bằng xảy ra khi:

Vậy: .

Câu 10: Trong không gian cho ba điểm , và . Gọi là mặt

phẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng , là giao tuyến của và ,

. Khi đạt giá trị lớn nhất, đi qua điểm nào trong các điểm

sau đây? A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta thấy cùng thuộc mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên

.

Vì nên và .

Trên tia lấy điểm đối xứng với qua , suy ra và .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

. Do đó:

và cắt đoạn tại thì , dấu Nhận xét: Nếu đi qua

xảy ra khi (1).

Nếu không cắt đoạn thì , với là trung

điểm đoạn , dấu xảy ra khi (2).

Mặt khác: xét tam giác có . Suy ra nhọn

nên (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra: , khi đi qua và vuông góc

với đường thẳng . Khi đó có một vectơ chỉ phương là .

cho

và hai điểm

,

Hai

. Với .

điểm

thay đổi thuộc mặt phẳng

sao cho

cùng hướng

và

Giá trị

lớn nhất của

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta thấy và nằm cùng phía đối với mặt phẳng .

Dựng hình bình hành . Khi đó ta có với .

Từ giả thiết Suy ra .

Khi đó .

Suy ra . Dấu xảy ra là giao điểm của với mặt

phẳng .

, cho mặt cầu

tâm

, bán kính

và đường

Vậy giá trị lớn nhất của bằng .

thẳng

. Mặt phẳng

chứa

và cắt mặt cầu

theo thiết diện là đường

tròn

có chu vi nhỏ nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ

đến mặt phẳng

bằng

Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Suy ra và .

. Đường thẳng có 1 VTCP là .

Do Suy ra .

Nhận xét: suy ra nằm trong mặt cầu .

Gọi là hình chiếu của lên thì là tâm của đường tròn .

Đường tròn có bán kính .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 nhỏ nhất khi bán kính

Chu vi đường tròn nhỏ nhất tức lớn nhất.

Mà . Dấu đẳng thức xảy ra khi .

Khi đó là mặt phẳng qua và vuông góc với .

Phương trình của mặt phẳng . Suy ra

, cho điểm

,

. Xét các điểm

thay đổi sao cho tam

Vậy .

giác

và có diện tích bằng

. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng

luôn vuông tại thuộc khoảng nào sau đây?

Câu 13: Trong không gian

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Tam giác luôn vuông tại nên thuộc mặt cầu đường kính , bán kính .

thuộc Tam giác có diện tích bằng

và trục là .

thuộc hai đường tròn đáy là giao tuyến của mặt trụ và mặt cầu.

lần lượt là hai tâm của đáy hình trụ như hình vẽ. mặt trụ bán kính Từ hai giả thiết trên ta thấy là tâm mặt cầu, Gọi

. Ta có:

Xét mặt phẳng đi qua đường tròn khi đó phương trình .

Gọi là hình chiếu của lên .

Ta có: , .

và hai điểm

, cho mặt cầu

Lại có: .

đạt giá trị nhỏ

. Điểm

bất kì thuộc mặt cầu

sao cho

nhất. Tính giá trị biểu thức

Câu 14: Trong không gian

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. B. D. .

C. Lời giải

Chọn A

Mặt cầu có tâm và bán kính

Ta có: ; nên nằm ngoài mặt cầu và

Trên đoạn lấy điểm sao cho . Xét hai tam giác và có: chung;

nên đồng dạng với . Suy ra

Dấu xảy ra khi và chỉ khi là giao điểm của đoạn và mặt cầu .

Gọi , ta có ;

. Phương trình đường thẳng

Tọa độ giao điểm của là nghiệm hệ phương trình:

.

Suy ra hoặc

, cho 3 điểm

,

và

. Một điểm

di động

Vì thuộc đoạn nên .

trong không gian sao cho

và

đạt giá trị lớn. Tính giá trị biểu

Câu 15: Trong không gian

thức A.

B. D.

C. Lời giải

,

Gọi

Ta có:

Suy ra

Ta thấy điểm

nằm về cùng phía đối với mặt phẳng

Ta có:

suy ra

đạt gí trị lớn nhất bằng

khi

thẳng hàng và

nằm ngoài đoạn thẳng

hay

là giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng

Phương trình đường thẳng

Chọn B

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Tọa độ điểm

là nghiệm hệ phương trình:

Vậy

, cho hai điểm

và

. Xét các điểm

thay đổi sao cho

tù và có diện tích bằng

. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thằng

có

Câu 16: Trong không gian

tam giác thuộc khoảng nào dưới đây? B. A.

. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

, suy ra và , dẫn đến . Gọi

Suy ra,

Do tam giác tù tại nên

.

Khi đó:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

, cho mặt cầu

và hai điểm

,

Suy ra,

. Điểm

di chuyển trên mặt cầu

. Giá trị lớn nhất của

đạt được là

Câu 17: Trong không gian

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn B

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Ta có , suy ra nằm ngoài và .

Lại có , suy ra nằm trong .

Lấy điểm sao cho .

Xét hai tam giác và tam giác , ta có chung và . Do đó, hai tam giác

và tam giác đồng dạng. Suy ra, . Khi đó,

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc , tức là , , thẳng hàng, suy ra

. Gọi .

Ta có:

Suy ra .

cho mặt cầu

có tâm

, bán kính

.

là

Vậy .

một đường kính của

; mặt phẳng

qua và tạo với

một góc

. Hai điểm

thay

đổi trên

sao cho

. Biết rằng biểu thức

có giá trị nhỏ nhất bằng

. Viết phương trình mặt cầu

.

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Chọn C

Gọi lần lượt là hình chiếu của xuống mặt phẳng .

Góc giữa với là , khi đó ;

.

.

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

, dấu xảy ra khi theo thứ tự đó cùng nằm trên cùng

một đường thẳng.

Suy ra như vậy .

, cho hai điểm

và

. Xét các điểm

thay đổi sao cho

Phương trình mặt cầu là: .

đến đường thẳng

không lớn hơn

.

khoảng cách từ Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng

bằng và diện tích tam giác thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 19: Trong không gian

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có .

Lại có .

Suy ra quỹ tích điểm là mặt xung quanh của hai hình nón có đỉnh , trục , góc ở đỉnh

và đường sinh bằng

nhỏ nhất thì điểm . phải nằm vị trí như trên hình vẽ.

hình nón là Để Gọi hình chiếu của trên trục lần lượt là .

Ta có ,

cho tứ diện

,

. Xét

Mặt khác nên . Suy ra .

các điểm

thay đổi trên mặt cầu

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 20: Trong không gian

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Gọi là trọng tâm tứ diện , ta có suy ra

đạt GTLN khi độ dài đoạn thẳng lớn nhất

max

,cho mặt cầu

và các điểm

,

. Vậy max

,

. Điểm

thuộc mặt cầu

. Thể tích tứ diện

lớn nhất thuộc

Câu 21: Trong không gian

khoảng nào dưới đây? . A.

B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Cách 1:Ta có .

Ta có:

Gọi

. Ta có:

Ta có:

Suy ra: Giá trị lớn nhất của bằng .

Cách 2:

có tâm ,bán kính . Mặt cầu :

. Mặt phẳng

mặt cầu cắt mặt phẳng theo Ta có:

thiết diện là một đường tròn.

Ta lại có: .

Do đó: lớn nhất lớn nhất.

cho hai điểm

và

Tìm hoành độ điểm

trên

Mà Do đó: .

mặt phẳng

sao cho

và tam giác

có diện tích nhỏ nhất?

Câu 22: Trong không gian

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Dễ thấy đường thẳng song song với mặt phẳng .

Do hai điểm cố định nên có diện tích nhỏ nhất khoảng cách từ đến đường

nhỏ nhất là hình chiếu của đường thẳng trên mặt thuộc đường thẳng

thẳng phẳng .

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng

Đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng nên có phương trình là:

; do nên gọi

.

Ta có:

Nên khi và chỉ khi

,

. Đặt

, trong đó

là một điểm chạy trên mặt

. Vậy hoành độ của điểm . bằng

phẳng

. Tìm tung độ của

khi

đạt giá trị nhỏ nhất?

Câu 23: Cho các điểm

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là điểm thỏa mãn .

Khi đó, .

Ta có, .

Do đó, nhỏ nhất hay là hình chiếu vuông góc của

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi . . Vậy lên mặt phẳng

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

, cho

và hai đường thẳng

,

. Gọi

,

là các điểm lần lượt di động trên

,

. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Câu 24: Trong không gian

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn A Từ giả thiết suy ra hai đường thẳng , cùng nằm trong mặt phẳng và .

có một véc tơ chỉ phương ; có một véc tơ chỉ phương .

Do nên cắt .

Gọi , lần lượt là điểm đối xứng của qua và .

Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với .

Gọi , thì tọa độ của là nghiệm của hệ

.

Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với .

Gọi , thì tọa độ của là nghiệm của hệ:

Ta có:

đạt GTNN khi .

cho mặt phẳng

đường thẳng

Vậy giá trị nhỏ nhất của là .

và mặt cầu

Gọi

là hai điểm trên mặt cầu

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

và

là hai điểm nằm trên mặt phẳng

sao cho

Phan Nhật Linh cùng song song với

đường thẳng Giá trị lớn nhất của tổng

gần nhất với giá trị nào sau đây

B. C. D. A.

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Khi đó khoảng cách: nên và mặt cầu không giao nhau.

Gọi là trung điểm của , là trung điểm của thì:

.

. Khi đó

Ta có .

, cho hai điểm

và

. Xét các điểm

và

thay đổi

Vậy .

và tam giác

vuông tại

. Giá trị nhỏ nhất của

Câu 26: Trong không gian

sao cho tam giác độ dài đoạn thẳng . A.

có diện tích bằng thuộc khoảng nào dưới đây? C.

B. . . D. .

Lời giải

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Ta có .

Gọi là hình chiếu vuông góc của xuống đường thẳng , suy ra

nên thuộc mặt trụ có trục và bán kính .

Do tam giác vuông tại nên thuộc mặt cầu đường kính , tâm , bán kính

.

Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với .

. Ta có

nhỏ nhất bằng 3 khi thuộc giao của mặt trụ với mặt phẳng , thuộc Suy ra

, cho hai điểm

và

. Xét các điểm

và

thay đổi

giao của mặt cầu với mặt phẳng sao cho thẳng hàng và nằm giữa .

có diện tích bằng

, góc

và tam giác

vuông tại

. Giá

thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 27: Trong không gian

sao cho tam giác trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng A.

B. . . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Do tam giác vuông tại nên thuộc mặt cầu đường kính , tâm , bán kính

.

36| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi là hình chiếu vuông góc của xuống đường thẳng , suy ra

nên thuộc mặt trụ có trục và bán kính .

Do góc nên thuộc phần mặt trụ giao với mặt cầu hoặc phần mặt trụ

nằm trong mặt cầu .

Ta có .

Suy ra lớn nhất bằng khi thuộc giao của mặt trụ với mặt phẳng , thuộc

, cho hai điểm

và

. Gọi

là mặt

mặt cầu sao cho thẳng hàng và nằm giữa .

phẳng chứa giao

tuyến của hai mặt cầu

và

. Xét hai điểm

,

là hai điểm bất kì thuộc

sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của

bằng

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ

A. . B. . D. . . C.

Lời giải

Chọn B Mặt phẳng là giao tuyến của hai mặt cầu và nên ta có hệ:

.

Gọi và lần lượt là hình chiếu của và lên . Khi đó ,

, .

Ta có:

Mặt khác: .

Suy ra

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng , dấu xảy ra khi thẳng

hàng.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37

và điểm

Về đích đặc biệt 9+ . Điểm M thay đổi

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm

trong không gian thỏa mãn

. Điểm

thuộc mặt phẳng

.

sao cho A.

nhỏ nhất. Tính tổng .

. B. . D. .

C. Lời giải

Chọn B

Gọi .

Ta có . Vậy điểm thuộc

mặt cầu tâm bán kính .

Vậy nhỏ nhất khi thuộc đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng .

Gọi là đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng .

Khi đó . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

.

, cho điểm

và mặt phẳng

. Do đó .

. Đường thẳng đi qua

và có vectơ chỉ phương

cắt

tại

. Điểm

thay đổi

trong

sao cho

luôn nhìn đoạn

dưới góc

. Khi độ dài

lớn nhất, đường thẳng

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ

đi qua điểm nào trong các điểm sau? A.

B. . . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

38| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Đường thẳng đi qua

và có vectơ chỉ phương

có phương trình là

.

Ta có:

. Do đó

khi và chỉ khi

.

Gọi

là hình chiếu của

lên

. Ta có:

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Khi đó

và

qua

nhận

làm vectơ chỉ phương.

Ta có:

nên

mà

suy ra

.

Đường thẳng

qua

, nhận

làm vectơ chỉ phương có phương trình là

.

Suy ra

.

Mặt khác,

nên

.

Do đó đường thẳng.

. qua

, có vectơ chỉ phương

nên có phương

trình là

.

Thử các đáp án thấy điểm

thỏa

, cho các điểm

với

và mặt cầu

có bán kính bằng

ngoại tiếp tứ diện

. Khi tổng

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ

A.

đạt giá trị nhỏ nhất thì B.

D.

C. Lời giải

Ta có:

và

. Khi đó:

.

Ta có:

.

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 39

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Xét

. Lập bảng biến thiên ta được:

Dễ có:

.

Do

nên lập bảng biến thiên ta được

.

Do đó giá trị nhỏ nhất của

là 16 khi

.

, cho mặt cầu

. Lấy điểm

trong không gian sao cho từ

kẻ được ba tiếp tuyến

,

,

đến mặt cầu

thỏa mãn

,

(

,

,

là các tiếp điểm). Khi đó đoạn thẳng

có

,

độ nhỏ nhất bằng

Câu 32: Trong không gian

. A. . . D. . B.

C. Lời giải

Chọn D

Vì , , là tiếp tuyến nên ta đặt .

có , nên là tam giác đều, suy ra .

Áp dụng định lí Py-ta-go cho ta có

Áp dụng định lí hàm số cos cho : .

.

là tâm đường tròn ngoại tiếp , suy ra là trung điểm của

nên vuông tại . . là trục đường tròn ngoại tiếp của

Nhận thấy Gọi Vì Do đó M; I; E thẳng hàng.

Mặt cầu có tâm bán kính

Suy ra . Vậy M thuộc mặt cầu có tâm bán kính .

Ta có

40| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

, cho mặt cầu

và hai điểm

Vậy .

,

. Gọi

là mặt phẳng đi qua

tiếp xúc với

. Gọi khoảng cách lớn nhất

và nhỏ nhất từ

đến

lần lượt là

và

. Khi đó

nằm trong khoảng nào dưới đây?

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

có tâm . Chọn B Mặt cầu

. Ta có

Có thể coi như tập hợp tất cả các đường thẳng với là tiếp điểm của mặt phẳng với

mặt cầu là một mặt nón tròn xoay có đỉnh nón là điểm và trục nón là đường thẳng

Góc ở đỉnh nón là , có

Khoảng cách từ đến mặt phẳng cũng chính là khoảng cách từ đến các đường sinh của

nón .

Ta đi tính góc .

Suy ra khoảng cách nhỏ nhất từ đến là . Khi đó .

Gọi là góc tạo bởi và . Khoảng cách lớn nhất từ đến là

, hai mặt cầu

Vậy .

và điểm

di động thuộc cả hai mặt cầu. Gọi

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

.

Tính giá trị của biểu thức

Câu 34: Cho điểm

A. B. C. D. .

Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 41

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Chọn A Mặt cầu có tâm , bán kính ; mặt cầu có tâm , bán kính .

Ta có hai mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn, kí hiệu là

đường tròn có tâm , bán kính .

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn là:

Bán kính đường tròn bằng

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Ta có là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến ,

Suy ra nằm ngoài đường tròn .

Khi đó giá trị lớn nhất của bằng

, cho các điểm

,

.

Giá trị nhỏ nhất của bằng .

Xét điểm

thay đổi sao cho

và

. Giá trị lớn nhất của

bằng

Câu 35: Trong không gian

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A Gọi . Khi đó giả thiết tương đương với:

.

Suy ra:

42| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

, xét mặt phẳng

, có

. Lấy

.

là một đường thẳng bất kì vuông góc với

gọi

thỏa mãn

thuộc miền

trong

. Lấy

, gọi

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

lên các

. Hệ thức nào của điểm

là đúng để biểu thức

đạt giá

đường thẳng

trị lớn nhất.

Câu 36: Trong không gian

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Do đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si

với bộ 3 số . Ta có:

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó là trọng tâm tam giác .

, cho đường thẳng

và mặt phẳng

.

Vậy khi là trọng tâm tam giác .

Mặt phẳng

chứa đường thẳng

và tạo với

một góc nhỏ nhất cắt mặt cầu

theo đường tròn có bán kính bằng

Câu 37: Trong không gian

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 43

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Gọi

cố định, kẻ . Lấy

khi tức là Do

Trong đó

, mặt khác chứa đường thẳng nên đi qua điểm Suy ra

.

Do đó .

Mặt cầu .

. Tọa độ điểm

sao cho

Bán kính đường tròn giao tuyến .

đạt giá trị nhỏ nhất là:

Câu 38: Cho

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

44| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi suy ra nên .

Ta có .

Để đạt giá trị nhỏ nhất thì min, suy ra là hình chiếu của trên . Do đó tọa độ

, gọi

là mặt phẳng đi qua hai điểm

,

điểm cần tìm là .

sao cho khoảng cách từ điểm

đến

đạt giá trị lớn nhất. Biết

có

một véctơ pháp tuyến là

, khi đó giá trị của tổng

là

Câu 39: Trong không gian với hệ toạ độ

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

Gọi , lần lượt là hình chiếu của trên và đường thẳng .

Phương trình đường thẳng , nhận VTCP là

Do

Ta có: và .

Dấu bằng xảy ra khi , khi đó , mặt phẳng nhận

làm vectơ pháp tuyến.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 45

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

, cho mặt cầu

và các điểm

Vậy .

. Điểm

thỏa

đạt giá

trị nhỏ nhất. Giá trị của

bằng

Câu 40: Trong không gian

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn D

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Gọi điểm thỏa mãn . Khi đó .

Ta có

.

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có . Do đó điểm nằm trong mặt cầu .

Khi đó .

là giao điểm của đường thẳng và mặt cầu .

Phương trình đường thẳng : . Gọi .

Vì nên ta có .

Suy ra .

Mà do đó nhận .

Khi đó .

46| Biên soạn: Phan Nhật Linh

tọa độ

, cho điểm

Phan Nhật Linh và mặt cầu

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 41: Trong không gian với hệ

. Mặt phẳng

qua điểm

và cắt mặt cầu

theo

đường tròn

có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng

có phương trình là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

. Chọn D Mặt cầu có tâm

Ta có: và bán kính suy ra nắm trong mặt cầu

.Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng , khi đó bán kính của đường tròn

là: .

Diện tích đường tròn nhỏ nhất khi lớn nhất. Mà nên lớn nhất khi

.

Vậy mặt phẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.

có

Gọi

là điểm

.

thay đổi thuộc mặt cầu tâm

bán kính

Giá trị nhỏ nhất của

là

Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho tam giác

A. B. D.

C. Lời giải

Chọn C

Gọi và là trung điểm .

Xét tam giác và tam giác có:

Tam giác đồng dạng với tam giác .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 47

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Áp dụng định lí cô – sin vào tam giác ta có:

cho mặt phẳng

, đường thẳng

và hai điểm

Vậy . Dấu xảy ra khi: .

. Hai điểm

,

thuộc mặt phẳng

sao cho

và

,

. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn

.

Câu 43: Trong không gian

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi

Ta có thuộc đường tròn tâm .

và Vậy

Nên thuộc đường tròn tâm

,

cho hai điểm

và đường thẳng

Gọi M

Ta có

là điểm di động thuộc mặt phẳng

sao cho

và N là điểm di động thuộc

Tìm

giá trị nhỏ nhất của

Câu 44: Trong không gian

A. 2 B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn A

48| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

nên thuộc mặt cầu đường kính , có tâm . Mặt khác

là điểm di động thuộc mặt phẳng nên thuộc đường tròn là giao của mặt cầu với

mặt phẳng Đường tròn này có tâm là hình chiếu của trên bán kính

.

Gọi K là giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng suy ra

. Nhận thấy tại . Gọi , nằm giữa ,

Ta có Vậy là giá trị nhỏ nhất của

, cho hai điểm

,

. Điểm

di động trên mặt phẳng

Lại có

sao cho

,

luôn tạo với

các góc phụ nhau. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn

thẳng

thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 45: Trong không gian

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng . Khi đó:

, ; ; .

Vì , tạo với các góc phụ nhau nên .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 49

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Suy ra .

Giả sử , ta có:

.

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ cùng hướng.

Do đó, luôn thuộc hình tròn là giao tuyến của khối cầu

. và mặt phẳng

Hình tròn có tâm là trung điểm của và bán kính .

Do nằm ngoài và bốn điểm thẳng hàng nên giá trị lớn nhất của độ dài đoạn

cho

. Xét các điểm

thay đổi sao cho

thẳng là .

tam giác

vuông tại

và có diện tích lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng

Câu 46: Trong không gian

thuộc khoảng nào dưới đây? B. A.

C. D.

Lời giải

Chọn D Gọi là trung điểm .

, .

là mặt cầu đường kính , ta có . Gọi

là mặt phẳng trung trực của đoạn . Gọi

có bán kính bằng 4. Gọi đường tròn , đường tròn

Tam giác vuông tại và có diện tích lớn nhất .

50| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi là hình chiếu của trên .

, nên nằm ngoài . Ta có

Lại có , nên nhỏ nhất khi nhỏ nhất.

Ta có nhỏ nhất khi thẳng hàng theo thứ tự đó, khi đó .

Vậy nhỏ nhất bằng .

, cho hai điểm

,

và mặt phẳng

Vậy

. Điểm

thuộc mặt phẳng

sao cho

lớn nhất thì giá trị của

bằng

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có và nên hay .

Gọi là trung điểm của . Xét mặt cầu đường kính .

Do .

Nên mặt cầu sẽ cắt mặt phẳng theo một đường tròn có tâm là hình chiếu của trên

mặt phẳng và bán kính .

Xét điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng nằm ngoài đường tròn tâm bán kính .

Gọi là giao điểm của và mặt cầu , khi đó .

Vậy thuộc mặt phẳng nằm trong đường tròn tâm bán kính .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 51

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

. Ta có

.

, và . Do

cho hai điểm

và

Xét khối chóp tứ giác đều

. Nên để lớn nhất thì và

nội tiếp trong mặt cầu đường kính có phương trình

Khi khối chóp Giá trị

có thể tích lớn nhất thì bằng

mặt phẳng

Câu 48: Trong không gian

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu đường kính có tâm và bán kính .

Xét hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông tâm , cạnh

.

Ta chỉ cần xét trường hợp

Ta có

Mặt khác ta lại có .

Thể tích của khối chóp là .

Đặt , do nên .

Xét hàm số , với .

52| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có .

Suy ra

.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có khi hay .

Khi đó . Suy ra .

Do và nên suy ra

Mặt phẳng qua và nhận là véctơ pháp tuyến nên có phương

cho đường thẳng

và mặt cầu

:

trình: . Vậy

. Cho biết điểm

, điểm

thuộc giao tuyến của

mặt cầu

và mặt phẳng

. Khi điểm

di động trên đường thẳng

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

bằng

Câu 49: Trong không gian

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 53

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Mặt cầu có tâm . và bán kính

Đường thẳng có 1 véc-tơ chỉ phương là .

Gọi là giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng . Vì nên là tâm của đường

tròn giao tuyến và .

Ta có và .

Ta tính được và

thuộc đường tròn di động trên đường thẳng

(trục của đường tròn giao tuyến) và . nhỏ nhất khi và chỉ khi . Do giao tuyến nên biểu thức

Khi đó, ta có và .

, . Suy ra

Ta có .

, cho điểm

và mặt phẳng

Vậy giá trị nhỏ nhất của là .

. Đường thẳng

đi qua

và có vectơ chỉ phương

cắt

tại

. Điểm

thay đổi

trong

sao cho

luôn nhìn đoạn

dưới góc

. Khi độ dài

lớn nhất, đường thẳng

đi qua điểm nào trong các điểm sau? .

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ

B. . A. C. . D. .

Lời giải

Chọn B

54| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Đường thẳng

đi qua

và có vectơ chỉ phương

có phương trình là

.

Ta có:

. Do đó

khi và chỉ khi

.

.

Gọi

là hình chiếu của

lên

. Ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Khi đó

và

qua

nhận

làm vectơ chỉ phương.

Ta có:

nên

mà

suy ra:

.

Đường thẳng

qua

, nhận

làm vectơ chỉ phương có phương trình là

.

Suy ra

.

.

Mặt khác,

nên

Do đó đường thẳng.

. qua

, có vectơ chỉ phương

nên có phương

trình là

.

, cho hai điểm

và

. Với

là điểm trên đường

Thử các đáp án thấy điểm thỏa.

thẳng

, xét

là một điểm di động trên mặt cầu có tâm

với bán kính bằng

thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Câu 51: Trong không gian

2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 55

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 di động trên đường thẳng

Với mỗi điểm , do

với bán kính bằng 2 nên nhỏ nhất khi

Về đích đặc biệt 9+ là một điểm di động trên mặt cầu có tâm .

Do đó, bài toán đưa về việc tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Do nên với .

, Khi đó:

.

(vì , Khi đó

nên , do đó ). thì

, với . Xét hàm số

. Ta có

Qua đó, ta thấy ngay là điểm cực trị duy nhất của hàm số và đó là điểm cực tiểu nên hàm

, cho mặt cầu

và hai điểm

số đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại .

. Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Câu 52: Trong không gian với hệ trục

B. D. . A.

C. Lời giải

là điểm cần tìm. Chọn D Gọi

. Ta có :

.

Suy ra:

với . ( Dễ

thầy điểm B nằm ngoài mặt cầu, còn điểm C nằm trong mặt cầu). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 5 khi

.

56| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

DẠNG

TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆ ĐỐI

16

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A • Hàm số

đồng biến trên khi và chỉ khi

. .

• Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

. .

• Các dạng đồng biến trên , ta thực hiện tương tự.

• Hàm số hỏi nghịch biến làm ngược lại.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

B

Câu 50 – Đề tham khảo 2023. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng ?

A. 12. B. 11. C. 6. D. 5.

 Lời giải

có Chọn B Xét

Để đồng biến trên khoảng

Trường hợp 1:

→ 6 giá trị

Trường hợp 2:

Kết hợp với điều kiện bài toán → 5 giá trị

Vậy có 11 giá trị thoả mãn.

C

Câu 1: Hỏi có

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN tất cả bao nhiêu giá tham số

trị nguyên của để hàm số

đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . C. 2. D. 1.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho hàm số đồng biến trên

?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Câu 3: Gọi là số giá trị nguyên của thuộc khoảng để hàm số

đồng biến trên . Số phần tử của tập là

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số trong đoạn để hàm số

nghịch biến trên .

A. . B. . C. . D. .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 5: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số thuộc để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. 3. B. 2. C. 16. D. 9.

Câu 6: Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của sao cho hàm số

đồng biến trên . Tổng tất cả các phần tử của là

A. . B. . C. 0. D. 2.

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng để hàm số đồng biến

? trên

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Gọi là tập tất cả các giá trị của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên

?

A. . B. . C. Vô số. D. .

sao cho hàm số đồng biến Câu 10: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của

trên là .Tính .

A. . . B. C. . D. .

Câu 11: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến

trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. Vô số.

Câu 12: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên để hàm số nghịch

biến trên

A. B. . C. . D. .

Câu 13: Cho hàm số , trong đó là tham số thực. Gọi là tập hợp tất cả

các giá trị nguyên của trên đoạn để hàm số đồng biến trên khoảng

. Số phần tử của tập là

A. 2018. B. 2017. C. 2019. D. 4039.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc để hàm số nghịch biến

trên .

A. . B. . C. . D.

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để đồng biến trên đoạn .

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương và nhỏ hơn 2020 để hàm số đồng

?

biến trên khoảng . A. B. . C. . D. .

Câu 17: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. . B. Vô số. C. . D. Không tồn tại .

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên .

A. . B. . C. . D. .

Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng của tham số để hàm số

đồng biến trên đoạn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Có bao nhiêu số nguyên thuộc để hàm số

luôn đồng biến trên .

C. . D. . A. . B. .

Câu 21: Có bao nhiêu số nguyên của tham số trong đoạn để hàm số

đồng biến trên nửa khoảng

A. B. . C. . D. .

Câu 22: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng của

tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. 10. B. 6. C. 9. D. 5.

Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên .

A. . B. . C. . D. .

Câu 24: Tổng các giá trị nguyên của trên để hàm số đồng

biến trên là

A. . B. . C. . D. .

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 25: Cho hàm số

có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng ? Biết rằng tọa độ điểm cực tiểu của hàm số là

? A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm Biết rằng

số nghịch biến trên khoảng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

nghịch biến trên khoảng ?

A. 43. B. 41. C. 2. D. 1.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 28: Cho hàm số

liên tục và luôn dương trên có đồ thị hàm số

Về đích đặc biệt 9+ như hình vẽ.

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Cho hàm số có đạo hàm với . Số giá trị nguyên của tham

số thuộc để hàm số đồng biến trên

là

A. . B. . C. . D. .

Câu 30: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số đạo hàm như sau:

nghịch biến trên khoảng nào Hàm số ho hàm số

B. . C. . D. . dưới đây? A. .

Câu 31: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và và có bảng xét dấu đạo hàm

như sau:

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. .

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 32: Cho hàm số

liên tục trên và hàm số

Phan Nhật Linh có đồ thị như hình dưới

đây:

Gọi là tập tất cả các số nguyên của tham số để hàm số

nghịch biến trên khoảng . Tổng các phần tử của tập là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Cho hàm số bậc bốn có và Biết hàm số có đồ thị như

hình vẽ bên.

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 34: Cho hàm số là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi là tập tất cả các

số tự nhiên không quá của sao cho hàm số nghịch biến

trên khoảng . Số phần tử của tập bằng:

A. . B. . C. . D. .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 35: Cho đồ thị hàm số

như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 36: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng

. B. . C. . D. .

A.

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . D. 1. C. 2.

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số

Đạo hàm

Để hàm số đồng biến trên khoảng thì ta có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Từ hai trường hợp, yêu cầu bài toán

Vậy có tất cả giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho hàm số đồng biến trên

?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số có đạo hàm .

Hàm số đồng biến trên khoảng thì bảng biến thiên của hàm số

trên khoảng phải có dạng như sau:

Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên khoảng và không âm trên tức là

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Xét hàm trên khoảng ta có , .

Bảng biến thiên

Do đó giá trị thỏa mãn trường hợp này là

Trường hợp 2: Hàm số nghịch biến trên khoảng và không dương trên tức

là

Sử dụng bảng biến thiên hàm bên trên ta được: .

. Kết hợp với điều kiện nguyên ta được kết quả

Vậy có 4 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3: Gọi là số giá trị nguyên của thuộc khoảng để hàm số

đồng biến trên . Số phần tử của tập là

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn B

nên hàm số đồng biến trên ,vì Đặt

khoảng khi và chỉ khi đồng biến trên khoảng hay

. Xảy ra 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1:

.

Trường hợp 2: có hai nghiệm hoặc có hai nghiệm

hoặc .

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có

.

.

Kết hợp với điều kiện nguyên thuộc khoảng

.

Câu 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số trong đoạn để hàm số

nghịch biến trên .

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

Chọn C

Xét hàm số

Trường hợp 1: có nghiệm thì hàm số không thể nghịch biến

trên khoảng .

Trường hợp 2: không có nghiệm . Ta có:

Khi đó nên .

Hàm số nghịch biến trên khoảng . khi và chỉ khi với

( vì )

( vì )



 . 

Lại có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do , áp dụng BĐT Côsi:

Dấu xảy ra khi .

Suy ra , do nên .

Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số thuộc để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. 3. B. 2. C. 16. D. 9.

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số

Để nghịch biến trên khoảng ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: nghịch biến và không âm trên khoảng .

Tức là:

.

Trường hợp 2: đồng biến và không dương trên khoảng .

Tức là:

.

Câu 6: Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của sao cho hàm số

đồng biến trên . Tổng tất cả các phần tử của là

C. 0. A. . B. . D. 2.

Lời giải

Chọn A

. Gọi

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

. Gọi

thì , nếu thì .

Nếu Ta có nên không xảy ra trường hợp hàm số đồng biến trên khoảng

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phải có nghịch biến trên và .

(1).

(2). nghịch biến trên

Nếu . Điều kiện (1) và (2) đều thỏa mãn, do đó giá trị thỏa mãn yêu

cầu đề bài.

Nếu (3): Dấu trên trục số như sau:

Để thỏa mãn điều kiện (2) thì (4). Kết hợp (3) và (4) có:

.

Nếu (5): Dấu trên trục số như sau:

Để thỏa mãn điều kiện (2) thì (6). Kết hợp (5) và (6) có:

.

Vậy các giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài là , suy ra các giá trị

nguyên của thỏa mãn yêu cầu đề bài là , do đó .

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng để hàm số đồng biến

? trên

A. . B. . D. . C. .

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số: . Ta có:

Trường hợp 1: . Suy ra .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Vậy yêu cầu bài toán .

Kết hợp với điều kiện ta được . Ta có 5 giá trị của

thoả mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 2: . Suy ra có 2 nghiệm phân biệt

Ta có bảng biến thiên:

Vậy yêu cầu bài toán

Vậy tất cả có 5 giá trị của thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 8: Gọi là tập tất cả các giá trị của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

. Đặt

. Trường hợp 1:

.

. Trường hợp 1:

.

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Vì hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Vì vậy TH2

không có giá trị thỏa mãn. Vậy tập các giá trị cần tìm là .

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên

?

B. . C. Vô số. D. . A. .

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: Xét hàm số có

Khi đó

Hàm số đồng biến trên

(vì )

. Vì

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

sao cho hàm số đồng biến Câu 10: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của

trên là .Tính .

A. . . B. C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số . Ta có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Khi đó nên

Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi với

( vì )

Câu 11: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến

trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. Vô số.

Lời giải

Chọn A

Đặt

Khi đó

Hàm số đồng biến trên khoảng khi

16| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Ta có nên .

Câu 12: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên để hàm số nghịch

biến trên

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

. Ta có Đặt

Do hàm số liên tục tại nên để hàm số nghịch biến trên ta xét 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

(vô nghiệm). Do nguyên nên nhận các giá trị sau

Câu 13: Cho hàm số , trong đó là tham số thực. Gọi là tập hợp tất cả

các giá trị nguyên của trên đoạn để hàm số đồng biến trên khoảng

. Số phần tử của tập là

A. 2018. B. 2017. C. 2019. D. 4039.

Lời giải

Chọn A

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Xét hàm số trên khoảng .

Ta có,

) (Do

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng

Do hàm số liên tục trên và nghịch biến trên khoảng nên hàm số

nghịch biến trên .

Vậy . Vậy

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc để hàm số nghịch biến

trên .

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B

Đặt , vì . Vì là hàm số nghịch biến trên nên

Yêu cầu bài toán trở thành tìm nguyên thuộc để hàm số đồng biến trên

. Xét ; .

Trường hợp 1: Nếu luôn đồng biến trên .

Mà luôn đồng biến trên đồng biến trên .

Do đó thỏa mãn bài toán .

Trường hợp 2: ;

Với , ta có BBT sau:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đồng biến trên .

Yêu cầu bài toán tương đương .

Với , ta có bảng biến thiên sau:

18| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên .

Yêu cầu bài toán tương đương .

Từ vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn bài toán.

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để đồng biến trên đoạn .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt vì .

Để hàm số đồng biến trên đoạn thì

Với mọi giá trị của thì >0 nên

Để thì:

. Vậy có 3 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương và nhỏ hơn 2020 để hàm số đồng

biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số (1) trên khoảng . Đặt , .

Hàm số (1) trở thành trên khoảng . Suy ra .

Ta có đồng biến trên khoảng (*).

Vì hàm số đồng biến trên .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Do đó,

. Vậy có 2018 số nguyên dương nhỏ hơn 2020 thỏa ycbt.

Câu 17: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. . B. Vô số. C. . D. Không tồn tại .

Lời giải

Chọn C

Đặt , ta có , đồng thời

và sẽ ngược chiều biến thiên.

Khi đó hàm số trở thành

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng hàm số đồng biến trên khoảng

Có .

Với điều kiện m là số nguyên dương ta tìm được 40 giá trị của .

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Đặt vì suy ra nên . Khi đó ta có hàm số:

(1).

Để hàm số ban đầu đồng biến trên thì hàm số (1) phải đồng biến trên .

Xét hàm số . Ta có: .

Khi đó nên .

Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi .

, .

Xét hàm số: .

. Vậy hàm số luôn đồng biến trên nên .

Từ suy ra: .

Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng của tham số để hàm số

đồng biến trên đoạn ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

. Điều kiện . Xét hàm số trên .

nghịch biến trên .

hàm số đồng biến trên đoạn

.

Mà nguyên thuộc khoảng nên .

Vậy có 102 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Câu 20: Có bao nhiêu số nguyên thuộc để hàm số

luôn đồng biến trên .

B. A. . . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

trên . Ta xét hàm số

Điều kiện hàm số có nghĩa là

Ta lại có với mọi nên điều kiện cho ta

Đạo hàm do và nên

suy ra hàm số đồng biến trên .

Từ đó để hàm số đồng biến trên điều kiện đủ là

với mọi .

Trường hợp 1 : khi đó có không thỏa mãn

Trường hợp 2 : Xét , do hàm số đồng biến nên ta chỉ cần

.

có 2017 giá trị thỏa Từ đó ta được:

mãn bài toán.

Câu 21: Có bao nhiêu số nguyên của tham số trong đoạn để hàm số

đồng biến trên nửa khoảng

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định:

Xét hàm số . Ta có:

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng .

Trường hợp 1:

22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Trường hợp 2:

Từ hai trường hợp suy ra . Vì chỉ lấy nên .

Câu 22: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng của

tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. 10. B. 6. D. 5. C. 9.

Lời giải

Chọn D

Đặt .

Hàm số đồng biến trên khoảng .

Xét .

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Đặt . Khi đó, .

Ta có: ; .

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng .

Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra .

Ta có: .

.

suy ra không tồn tại .

Vậy . Mà nguyên, nên có 5 giá trị thỏa mãn bài toán

Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Chọn A

Đặt nên .

Hàm số đồng biến trên đồng biến trên .

Trường hợp 1:

.

.

.

Trường hợp 2:

.

.

. Ta có:

Vì nên không tồn tại thỏa mãn . Do đó trường hợp 2 không tồn tại giá

trị nào của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Suy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán. Mặt khác nên có giá trị của thỏa

mãn yêu cầu bài toán.

Câu 24: Tổng các giá trị nguyên của trên để hàm số đồng

biến trên là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Chọn C

Xét hàm số trên khoảng .

Điều kiện xác định là: với mọi .

Khi đó .

Hàm số đồng biến trên với mọi .

Xét hệ bất phương trình : đúng với mọi .

Ta có: .

Khảo sát tính biến thiên của hàm số trên khoảng ta suy ra

Với

Lại có .

Khảo sát tính biến thiên của hàm số trên khoảng ta suy ra:

Ngoài ra .

Đặt , .

Do đó .

Vậy tương đương .

Với hệ bất phương trình ta cũng làm tương tự như trên thì được

.

Vậy hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi , mà

là số nguyên thuộc nên .

Do đó tổng các giá trị nguyên của thỏa mãn là .

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 25: Cho hàm số

có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng ? Biết rằng tọa độ điểm cực tiểu của hàm số là

B. . C. . D. . ? A. .

Lời giải

Chọn A

có . Đặt

Do hàm số có điểm cực tiểu là nên ta có .

Để hàm số đồng biến trên khoảng thì xảy ra hai trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Do nên trường hợp 2 không thỏa mãn.

Kết hợp điều kiện và suy ra .

Vậy có giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 26: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Biết rằng . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

Về đích đặc biệt 9+ để hàm

nghịch biến trên khoảng . số

. B. . D. . . A.

C. Lời giải

Chọn C

với . Xét hàm số

. Đặt ta có Ta có

Dựa vào đồ thị phương trình có ba nghiệm lần lượt là và .

Suy ra có ba nghiệm lần lượt là và .

Bảng biến thiên của hàm số .

Yêu cầu bài toán .

Suy ra có tất cả giá trị nguyên của tham số thỏa mãn.

Câu 27: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ.

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

nghịch biến trên khoảng ?

A. 43. B. 41. D. 1. C. 2.

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số

Ta có: .

Khi đó: .

Đặt

Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì xảy ra hai trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Xét phương trình .

Từ đó suy ra (vô lý).

Trường hợp 2:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Xét phương trình

Từ đó suy ra .

Vậy có một giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 28: Cho hàm số liên tục và luôn dương trên có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C

Xét hàm số .

Đạo hàm:

Theo giả thiết và suy ra

Để hàm số đồng biến trên thì

Mặt khác

Vậy có giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 29: Cho hàm số có đạo hàm với . Số giá trị nguyên của tham

số thuộc để hàm số đồng biến trên

là

A. . B. . D. . .

C. Lời giải

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Chọn D

Ta có: .

Đặt với thì

Xét hàm số . Để hàm số đồng biến trên thì

hàm số phải nghịch biến trên . Đặt với

Xét hàm số nghịch biến trên

Đạo hàm:

Với , ta có

Với , ta có: .

khi thì không có giá trị nào của thỏa mãn.

Do nên suy ra

Vậy có tất cả giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số đạo hàm như sau:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

nghịch biến trên khoảng nào Hàm số ho hàm số

B. . C. . D. . dưới đây? A. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

Đặt với , ta được phương trình (1)

Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường

thẳng .

Vì nên

Bảng biến thiên

32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên .

Câu 31: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và và có bảng xét dấu đạo hàm

như sau:

đồng biến trên khoảng nào Hỏi hàm số

B. . C. . D. . trong các khoảng sau? A. .

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số . Khi đó .

Ta có .

Suy ra .

Hay .

Hay .

Hay .

Ta có .

Từ bảng xét dấu suy ra .

Do đó, .

Vậy và có bảng biến thiên:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Từ bảng biến thiên có thể khẳng định hàm số đồng biến trên khoảng .

Câu 32: Cho hàm số liên tục trên và hàm số có đồ thị như hình dưới

đây:

Gọi là tập tất cả các số nguyên của tham số để hàm số

nghịch biến trên khoảng . Tổng các phần tử của tập là:

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B

Ta có

Từ đó, ta có bảng biến thiên của hàm số

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Đặt

Khi đó

Với

Suy ra hàm số nghịch biến trên

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng

.

Vậy có giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 33: Cho hàm số bậc bốn có và Biết hàm số có đồ thị như

hình vẽ bên.

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số

Ta có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Đặt

Khi đó

Ta có ; suy ra

Ta có bảng biến thiên của hàm số là

Ta có , vì , suy ra .

Từ đó ta có hàm số nghịch biến trên .

Câu 34: Cho hàm số là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi là tập tất cả các

số tự nhiên không quá của sao cho hàm số nghịch biến

trên khoảng . Số phần tử của tập bằng:

B. . . D. . A. .

C. Lời giải

Chọn B Cách 1:

Ta có:

36| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Đặt thì phương trình trở thành

Kẻ đường thẳng với đồ thị ta được .

Bảng biến thiên của như sau:

Nhận xét: khi thì và . nên

Để hàm số nghịch biến trên thì

Kết hợp với điều kiện và nên suy ra .

giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có tất cả Cách 2:

Ta có: .

Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì

Trường hợp 1:

Ta có

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

.

Trường hợp 2:

Ta có

Từ hai trường hợp và điều kiện và nên suy ra .

Vậy có tất cả giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 35: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B Bảng biến thiên của hàm số được vẽ lại như sau:

38| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Nhận xét: và .

Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi

Vậy có tất cả giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 36: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng

A. . . B. . D. .

C. Lời giải:

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 39

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Về đích đặc biệt 9+

Chọn A

Để hàm số đồng biến trên khoảng thì

Mà

Từ đồ thị, hàm số đồng biến trên và .

Suy ra .

Nhận xét: Ta thấy .

Vậy có tất cả thỏa mãn yêu cầu bài toán.

giá trị nguyên của tham số

40| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1