Phương pháp 7 : Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
+ /.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phương trình: 763 2 xx + 14105 2 xx = 4 – 2x – x2
(1)
Ta có vế trái của (1)
763 2 xx + 14105 2 xx = 4)1(3 2x + 9)1(5 x
4 + 9 = 5
Vế phải của (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2
5
Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phương trình (1) có nghiệm là x = -
1
Ví dụ2: Giải phương trình: 4x + x6 = x2 -10x + 27 (1)
ĐKXĐ: 4
x
6
Xét vế phải của (1) ta có :
x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2
2 với mọi x và vế trái của (1)
(
2
64 xx )2
2
)46()1(( 22 x =1 hay 4x + x6
2
Vì vậy phương trình (1) có nghiệm là :
(**)264
(*)22710
2
xx
xx
Giải phương trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**)
Vậy x =5 là nghiệm của phương trình (1)
+ /. Bài tập áp dụng :
1. 16123 2 xx + 134
2 yy = 5
2. 1263 2 xx + 9105 2 xx = 3-4x -2x2
3. 5,33
2 xx = )44)(22( 22 xxxx
Phương pháp 8 : sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
+ /. Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phương trình : 32x + 1x = 3 (1)
ĐKXĐ: x
1
Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phương trình (1)
Với x > 3 thì 32x > 1 , 1x> 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3.
Với x< 3 và x
-1
-1
x
3 thì 32x < 1, 1x < 2
nên vế trái của (1) nhỏ hơn 3.
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình :
5 2 28x + 23 2 23x + 1x + x = 2 + 9 (1)
ĐKXĐ: 1
0
01
x
x
x
Ta thấy x =2 là nghiệm của (1)
+ / .Nhận xét :
Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thường ta sử
dụng phương pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng
.Rồi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào
khác .
+ /.Bài tập áp dụng :
1. 3 2 26x + 3 x + 3x = 8
2. 12 2x + 23
2 xx = 322 2 xx + 1
2 xx
Phương pháp 9 : sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ =” ở bất đẳng thức
không chặt
+ / . Các ví dụ
Ví dụ1: Giải phương trình
2x + 1995y + 1996z =
2
1(x+y+z)
ĐKXĐ : x
2; y
-1995; z
1996
Phương trình (1)
x+y+z = 2 2x + 2 1995y + 2 1996z
2
)12( x + 2
)11995( y + 2
)11996( z = 0
11996
11995
12
z
y
x
1997
1994
3
z
y
x
( thoã mãn ĐKXĐ ).
Là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình: 763 2 xx + 14105 2 xx = 4 – 2x –
x2
4)1(3 2x + 9)1(5 2x = 5 – (x+1)2 (*)
Vế trái của (*) 4)1(3 2x + 9)1(5 2x
2 + 3 = 5
Vế phải của (*) 5 – (x+1)2
5
Vì thế phương trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của
phương trình (*) bằng nhau và bằng 5
x+ 1 = 0
x = -1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =-1
Ví dụ3: Giải phương trình: 14 x
x +
x
x14 =2 (1) ĐKXĐ:
x>
4
1
áp dụng bất đẳng thức
a
b
b
a
2 với a,b > 0
xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi a =b
Dấu “=” của (1) xảy ra khi x= 14 x
x2 - 4x +1 = 0 (do x>
4
1)
Giải phương trình này ta tìm đợc x= 32 (thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy x= 32 là nghiệm của phương trình.
+ /. Nhận xét :
Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ ta
cần chú ý các bước sau :
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)
a , g(x)
a
(a là hằng số )
Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có
h(x)
m hoặc h (x)
m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x
làm cho dấu đẳng thức xảy ra.