PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
1
CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Lời nói đầu.
BĐT là một vấn đề khá quan trọng của toán học.Càng ngày vấn
đề này càng được khai thác sâu hơn.Chính vì đó phương pháp giải
cũng rất đa dang phong phú và ngày càng phức tạp.Cũng như tất cả
mọi bài toán, để giải quyết tốt thì trước hết chúng ta cần nắm vững lí
thuyết và phương pháp giải bắt đầu từ cơ bản mà nâng cao dần
lên.Hiểu và làm được điều đó, tất yếu chúng ta sẽ thu được kết quả tốt
trong mảng này cũng như mọi vấn đề khác.
Đó là lí do tôi quyết định làm chuyên đề về vấn đề BĐT này.
Chuyên đề này chắc chắn còn nhiều thiếu sót, mong các bạn thông
cảm và có ý kiến chỉnh sửa để nó được hoàn thiên hơn.
Xin cám ơn!!!
-----------------------------------------------------------------------------------------
A.MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP:
I.Phƣơng pháp BĐT thông dụng
1.Phƣơng pháp.
a.BĐT cauchy:
Với n số thực không âm: x.1, x2, …,xn(
1, ; 2n n n
)
Ta luôn có:
1 2 n 1 2
x x ... x . ...
nn
n x x x
Dấu đẳng thức xảy ra khi
12
x x .... xn
b.Bất đẳng thức schwartz.
Với 2n số thực tùy ý :
1 2 3
1 2 3
; ; ;...; 2
; ; ;...;
n
n
a a a a n
b b b b
Ta luôn có :
22 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
... ... ...
n n n n
a b a b a b a a a b b b
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1 1 2 2
; ;...; nn
a kb a kb a kb
c.Bất đẳng thức Bernoulli mở rộng:
1+a >0 thì
n
1 a 1 ; 1na n R n
Dấu đăng thức xảy ra khi :
2.Bài tập cơ bản:
Cho a,b là 2 sô thực thỏa mãn:
22
1ab
chứng minh
88
1
8
ab
PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
2
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức schwartz ta có:
2
2 2 4 4 2 2
2
4 4 4 4 8 8 2 2
88
1 . 1 1
11 . 1 1
24
1
8
a b a b
a b a b a b
ab
ĐPCM
II.Phƣơng pháp phản chứng chứng minh bất đẳng thức:
1.Phƣơng pháp:
Một mệnh đề chỉ có chân trị hoặc là đúng hoặc là sai mà không thể
đồng thời vừa đúng hoặc vừa sai. Muốn chứng minh mệnh đề đúng, ta
chứng minh nó không sai. Nói cách khác, nếu giả sử mệnh đề mà sai thì
sẽ dấn tới một điều vô lí. Chứng minh bằng phản chứng gồm ba bƣớc:
-Bƣớc 1: Giả định: Giả sử mệnh đề cần chứng minh là sai.
-Bƣớc 2: Truy nguyên: từ giả sử mệnh đề là sai ta suy diễn tới một điều
vô lí với một mệnh đề toán học đã đƣợc chứng minh hoặc 2 kết quả trái
ngƣợc nhau.
Bƣớc 3: Kết luận: Điều vô lí chứng tỏ rằng mệnh đề cần chứng minh phải
đúng.
2.Bài tập cơ bản:
Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn đồng thời:
01
02
1 1 1 03
abc
ab bc ca
ab bc ca
Chứng minh cả 3 số a,b,c đều âm.
Giải:
Từ (1) suy ra 1 trong ba số a,b,c phải có một số âm.
Giả sử
a 0 0bc
b và c cùng dƣơng hoặc cùng âm.
Nếu b và c cùng dƣơng thì từ (3) suy ra:
2
2 2 2 2
00
20
abc abc
abc
a b c a b c b c
ab ac b bc c ab bc ca b bc c

Vô lí vì trái với giả thiết ab+bc+ca > 0
Điều đó vô lí chứng tỏ b,c cùng âm.
Vậy a,b,c âm.
III.Phƣơng pháp quy nạp toán học chứng minh bất đẳng thức.
1.Phƣơng pháp:
PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
3
Cơ sở của phƣơng pháp quy nạp để chứng minh một BĐT đúng
với mọi sô tự nhiên thuộc tập con D của tập số tự nhiên N, mà n0 là phần
tử nhỏ nhất của tập con đó ta thực hiện 3 bƣớc quy nạp nhƣ sau:
Bƣớc 1: Chứng minh BĐT đúng với n=n0.
Bƣớc 2: Giả sử BĐT đúng với số tự nhiên
0
kn
từ đó ta chứng minh bất
đẳng thức cũng đúng với n=k+1.
Bƣớc 3: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi sô tự nhiên n của tập D.
2.Bài tập cơ bản:
Với giá trị nào của số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng:
2 2 1
nn
Giải: n=0 suy ra
0
2 2.0 1 1
(sai)
n=1 suy ra
1
2 2.1 1 3
(sai)
n=2 suy ra 4>5 (sai)
n=3 suy ra 8>7 (đúng)
n=4 suy ra 16>9 (đúng)
Giả sử B Đ T đúng với n=k>2 tức là 2k>2k+1
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1 tức là 2k+1 > 2.(k+1)+1
Thật vậy ta có
22
k
với mọi
1k
theo giả thiết quy nạp 2k + 2k > 2k+1+2
1
2 2 1 1
kk
Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1
Kết luận 2n > 2n+1 với mọi n > 2
IV.Phƣơng pháp lƣợng giác chứng minh bất đẳng thức:
1.Phƣơng pháp.
Phƣơng pháp này thƣờng đƣợc sử dụng trong các bài toán chứng
minh bất đẳng thức mà các chữ bị ràng buộc đƣợc với nhau bởi các điều
kiện nhất định chẳng hạn:
-Nếu có hệ thức x2 + y2 =1 thì có thể đặt :
x=cosa và y=sina
-Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt x=tana và y=cota.
2.Bài tập cơ bản:
Cho 4 số thực x, y, u, v thõa mãn x2 + y2 = u2 + v2 = 1
Chứng minh rằng
22u x y v x y
Giải :
Đặt
cos cos
à
sin sin
x a u b
v
y a v b





Khi đó
PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
4
cos cos sin sin cos sin
os sin 2 os 4
u x y v x y b a a b a a
c a b b a c b a



Do đó :
2u x y v x y
vì
os 1 2 2
4
c b a u x y v x y



ĐPCM
V.Phƣơng pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức :
1.Phƣơng pháp đổi biến :
Cơ sở của phƣơng pháp đổi biến là thực hiện việc tách một phân
thức trong bất đẳng thức của giả thiết thành tổng của nhiều phân thức ; để
áp dụng đƣợc các phƣơng pháp khác( làm mất tổng ở mẫu) để tiếp tục
chứng minh bất đẳng thức. Ở đây cũng không loại trừ khả năng : Khi
nhìn thấy một phần tử chung trong bất đẳng thức ở giả thiết, ta thực hiện
phép đổi biến để đại số hóa bất đẳng thức đang cần chứng minh ; và cũng
tiếp tục chứng minh bất đẳng thức bằng phƣơng pháp khác.
2.Bài tập cơ bản :
Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác :
Chứng minh :
31
a b c
b c a a c b a b c
Giải :
Đặt
2
2
2
b c a x c x y
c b a y a y z
a b c z b z x





Ta có x, y,z dƣơng ; khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành :
1
2 2 2 2
y x z x x y x y z x z y
z y z y x x z y z






Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có
6
16 . . . . . 3
2 2 2 2
x y z x z y x y y z x z
z y x y x z y z x
ĐPCM
B.MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1:(ĐH KT cần thơ 1979)Giả sử x,y,z là 3 số thực bất kì hãy chứng
minh:
2 2 2 0x y z xy yz zx
Bài 2:(ĐH 1979) Chứng minh rằng:
1.Với
0x
ta có:
12xx
PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
5
2. Với
0, 1,
i
x i n
ta có:
1 2 1 2
1 1 ... 1 2 ...
n
nn
x x x x x x
Bài 3: (ĐH 1980) Cho 3 số thực a, b, c với a, b khác 0 và a+b+c=0
1.Chứng minh rằng:
3 3 3 3a b c abc
2.Nếu thêm điều kiện c=-2n với n nguyên dƣơng chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2 3
abc n
a b c


Bài 4:(ĐH ngoại thƣơng TPHCM 1991)
Cho các số dƣơng
1 2 1 2
, ,..., ; , ,...,
nn
x x x y y y
chứng minh răng:
1 1 2 2 1 2 1 2
... ... ...
nn
nn n n n
x y x y x y x x x y y y
Bài 5:( ĐH sƣ phạm Vinh 1997) Chứng minh rằng với a,b,c,d,e là các số
thực nằm trong khoảng (0,1) thì:
1 1 1 1 1 1a b c d e a b c d e
Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn của bài trên.
Bài 6: (ĐH Huế 1997) Cho 2 số không âm b,c.
Chứng minh rằng tồn tại 1 số
0,1k
sao cho với mọi số a mà
a b c
ta
đều có
ka b c
và
1k a c
Bài 7:(ĐH an ninh Hà Nội Khối A 1989) Chứng minh rằng với mọi sô
nguyên dƣơng
2n
ta đều có:
1
2 1 3
n
n



Bài 8:(IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dƣơng có tích bằng 1. CM:
1 1 1
1 1 1 1a b c
b c a
Bài 9: ( IMO 1995)
Cho a,b,c là các số thực dƣơng sao cho abc=1.
Chứng minh:
3 3 3
1 1 1 3
2a b c b a c c a b
Bài 10:(TH&TT 10/1998)Cho a,b,c là các số thực dƣơng thỏa mãn điều
kiện :
1abc
.Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2
1 1 1 1
Pa b c ab bc ca
