intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh học tốt phần phương trình lượng giác

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:27

Thêm vào BST
Báo xấu
51
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các công thức lượng giác; giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác Hay rút gọn một biểu thức lượng giác; giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng công thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh học tốt phần phương trình lượng giác

  1. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÔÛ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO BÌNH PHÖÔÙC TRÖÔØNG THPT HUØNG VÖÔNG SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM MOÂN TOAÙN  ÑEÀ TAØI:HƯỚNG DẪN HỌC SINH   HỌC TỐT PHẦN  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GV : TRAÙC THÒ HUYØNH LIEÂN     GV : TRAÙ C  THÒ HUY Ø NH LIEÂ N    NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 1 Ị HUỲNH  LIÊN 
  2. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM                              A/ PHAÀN MÔÛ ÑAÀU  I/ LYÙ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI    :       Lượng giác là một bộ phận trong chương trình Toán phổ thông, công thức lượng giác  tương đối nhiều và khó nhớ, nếu chỉ học thuộc lòng công thức thì học sinh rất dễ nhầm  lẫn.Mặt khác trong tất cả các đề thi Đại học, cao đẳng  đều có ít nhất một câu giải  phương  trình lượng giác và câu này học sinh dễ lấy điểm nếu các em biết cách học và cách nhớ.      Theo tôi khi dạy phần lượng giác thì giáo viên cần thực hiện những công việc sau:          1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các công thức lượng giác.          2/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác  hay rút gọn một biểu thức lượng giác.          3/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng  công thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải.          4/ Giúp học sinh nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện.       Nội dung đề tài này tôi chỉ gợi ý một vài cách nhớ công thức lượng giác và một  số phương pháp giải phương trình lượng giác vi tôi nhận thấy công thức lượng giác học  sinh thường không nhớ  và đa số  học sinh   rất e ngại phương trình lượng giác có điều   kiện.  Vì vậy đeå giuùp caùc em hoïc sinh ñaït ñieåmtối ña phần lượng giác trong các kỳ thi toâi maïnhdaïnvieátñeàtaøi naøy. Tôi raát mongnhaänñöôïc yù kieán ñoùnggoùp chaânthaønhcuûaquí thaàycoâ cuøng ñoàngnghieäpñeåbaøi vieátñöôïc toångquaùthôn,hayhôn.  II/ N Ộ    I DUNG       : Bài viết gồm các phần sau:            1/ Cách học và ghi nhớ công thức lượng giác.            2/ Bài toán tìm ngọn cung khi biết cung và tìm cung khi biết ngọn cung.            3/ Một số phương pháp biến đổi phương trình lượng giác.            4/ Cách nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện.                                                                   Đồng Xoài, ngày 21 tháng 2 năm 2011                                                                                         Giáo viên NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 2 Ị HUỲNH  LIÊN 
  3. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM                                                                              TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN B/ PHAÀN NỘI DUNG   I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC          1/HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN :( phần này ta ghi nhớ từ định nghĩa giá trị lượng giác ) sin x 1/ 2sin x + cos 2 x =1 2/ tanx = cos x cos x 3/ cotx = 4/ tanx . cotx = 1 sin x 1 1 5/ 1 + tan2x = 2 6/ 1 + cot2x = cos x sin 2 x x Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc  α , giáo viên lưu ý  B tọa độ điểm ngọn cung M là (x;y) và sin α = y,  M y x K cos α = x, tan α =  ( x 0)  , cot α =  ( y 0) x y A' A Từ đó giáo viên cho học sinh tìm toạ độ điểm ngọn cung M ở  y H O π một vài vị trí đặc biệt, ví dụ :  α = 1500 ;  α = ­3900,  α =  ,… 3 Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu công thức 1,2,3  B' từ định nghĩa , công thức 4,5,6 học sinh phải chứng minh  được, xem như một ví dụ để giáo viên đi đến dạng toán  chứng minh một đẳng thức lượng giác.        2 /CUNG LIEÂN KEÁT : ( để học thuộc công thức này trước hết các em phải thuộc định nghĩa các          cung đối , bù ,phụ , hơn kém …Sau đó thuộc phần cách nhớ và áp dụng vào bài tập)          Hai cung ñoái nhau laø x vaø – x                              Hai cung buø nhau laø x vaø   ­ x cos ( - x) = - cosx cos( ­ x) = cosx       sin ( - x) = - sinx sin ( - x) = tan(- x) = - tanx sinx tan ( - x) = - tanx cot (- x) = - cotx cot ( - x) = - cotx      Hai cung phuï  nhau laø x vaø  – x                        Hai cung hôn keùm nhau   laø x vaø   + x 2 cos( - x) = sinx cos ( + x) = - cosx 2 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 3 Ị HUỲNH  LIÊN 
  4. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM sin ( - x) = cosx sin ( + x) = - sinx 2 tan( - x) = co tx tan ( + x) = tanx 2 cot ( + x) = cotx cot ( - x) = tanx 2    Hai cung hôn keùm nhau      laø x vaø   + x 2 2 cos( + x) = - sinx 2 CAÙCH NHÔÙ : Giáo viên đóng khung những trường hợp  đặc biệt  và ghi nhớ trường hợp đặc biệt đó , trường hợp  sin ( + x) = nào không được nhắc đến thì thêm dấu trừ vào 2 cos ñoái , sin buø, phuï cheùo tan( + x) = - co tx Hôn keùm ta coù tang vaø 2 cotang cot( + x) = - tanx Hôn keùm , cheùo , sin moät 2 2     3/COÂNG THÖÙC COÄNG :(phần này các em học thuộc cách ghi nhớ , lưu ý ta luôn viết cung a           trước , cung b sau theo đúng thứ tự )       cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb CAÙCH NHÔÙ : cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb cos thì cos cos , sin sin sin ( a + b) = sina.cosb +sinb .cosa Sin thì sin cos , cos sin sin ( a – b) = sina.cosb – sinb .cosa ñi cuøng tan a tan b Cos ñoåi , sin khoâng tan ( a – b) = 1 tan a. tan b tan a tan b tan ( a + b) = 1 tan a. tan b cot b. cot a 1 cot ( a + b) = ( công thức tan ( a   b)  và cot( a   b) học sinh tự chứng  cot b cot a minh)  cot b. cot a 1 cot ( a – b) = cot b cot a 4/COÂNG THÖÙC NHAÂN: ( phần này các em tự chứng minh , xem như bài  tập) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a cos3a = 4 cos3a – 3cosa sin 2a = 2 sina.cosa sin 3a = 3sina – 4sin3a 2 tan a 3 tan a tan 3 a tan 2a = tan3a = 1 tan 2 a 1 3 tan 2 a   5/COÂNG THÖÙC HAÏ BAÄC NAÂNG CUNG  1 cos 2a 1 cos 2a 1 cos 2a cos2 a = sin2a = tan2a = 2 2 1 cos 2a a   6/COÂNG THÖÙC TÍNH sina , cosa , tana THEO t = tan  2 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 4 Ị HUỲNH  LIÊN 
  5. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2t 1 t2 2t sina = 2 , cosa = , tan a = 1 t 1 t2 1 t2   7/COÂNG THÖÙC BIEÁN ÑOÅI : ( phần này các em học thuộc cách nhớ cho công thức biến tổng  thành     tích , sau đó suy ngược lại công thức biến tích thành tổng )        BIEÁN TÍCH THAØNH TOÅNG : 1 CAÙCH NHÔ : Ù 1/ Cos coäng cos baèng cosa.cosb = cos a b cos a b hai cos cos 2 1 Cos tröø cos baèng sina.sinb = cos a b cos a b tröø hai sin sin 2 Sin coäng sin baèng 1 hai sin cos sina.cosb = sin a b sin a b 2 Sin tröø sin baèng hai     cos sin     BIEÁN TOÅNG THAØNH TÍCH 1 a b a b 2/ cos nhaân cos baèng cuûa cos coäng cosa + cosb = 2 cos cos 2 2 2 cos a b a b cosa - cosb = - 2 sin sin 2 2 a b a b sina + sinb = 2 sin cos 2 2 a b a b sina - sinb = 2 cos sin 2 2 sin( a b) tan a + tanb = cos a. cos b CAÙCH NHÔÙ : tang mình coäng vôùi sin(a b) Baèng sin hai ñöùa chia cos tan a - tanb = ta cos mình cos a. cos b II/ BÀI TOÁN TÌM NGỌN CUNG KHI BIẾT CUNG  Ví d ụ :Tìm số ngọn cung của cung x : π 1/ x = + 2kπ (k Z ) 6 π 2/ x = + kπ (k Z ) 6 π kπ 3/ x = + (k Z ) 6 2 Giải:  NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 5 Ị HUỲNH  LIÊN 
  6. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM      Phương pháp: Vì k Z nên ta l ần l ượt chọn các giá trị k = 0,1,2,...sau đó biểu diễn ngọn cung trên  đường tròn lượng giác đến khi ngọn cung vừa biểu diễn trùng với ngọn cung đầu tiên thì ta dừng laị ,  đếm số ngọn cung đã biểu diễn trên đường tròn lượng giác và kết luận. y π π 1/ Khi k = 0 thì x =     ngọn cung của x nằm ở M ( ) 6 6 π π π M( 6 )     Khi k == 1 thì x =  + 2π  ngọn cung của x quay lại M ( ) O 6 6 π π Kết luận : x = + 2kπ (k Z )chỉ có 1 ngọn cungnằm ở M ( ) x 6 6 π π y 2/ Khi k = 0 thì x =     ngọn cung của x nằm ở M ( ) 6 6 π M()   Khi k = 1 thì x =  + π  ngọn cung của x nằm ở N 6 (N là điểm đối xứng của M qua O) O π π x    Khi k == 2 thì x =  + 2π  ngọn cung của x quay lại M ( ) 6 6 π N Kết luận : x = + kπ (k Z có 2 ng ) ọn cung nằm ở M và N. 6 π π 3/ Khi k = 0 thì x =     ngọn cung của x nằm ở M ( ) 6 6 π π P Khi k = 1 thì x =  +  ngọn cung của x nằm ở P  M() 6 2 π Khi k = 2 thì x =  + π  ngọn cung của x nằm ở N O 6 x (N là điểm đối xứng của M qua O) π 3π Khi k = 3 thì x =  +  ngọn cung của x nằm ở Q N 6 2 (Q là điểm đối xứng của N qua O) Q π π Khi k = 4 thì x =  + 2π  ngọn cung của x quay lại M ( ) 6 6 π kπ Kết luận : x = + ( k Z có 4 ng ) ọn cung nằm ở đỉnh hình vuông MNPQ nội tiếp trong đường tròn  6 2 lượng giác. Tổng quát:  2kπ Nếu x  =  α +  ( k,n   Z) thì x có n ngọn cung nằm ở đỉnh đa giác đều n cạnh  nội  n tiếp trong đường tròn lượng giác. NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 6 Ị HUỲNH  LIÊN 
  7. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM III/ BÀI TOÁN TÌM CUNG KHI BIẾT NGỌN CUNG  Phương pháp: Để viết được cung x ta càn nhớ phần tổng quát ở bài toán tìm ngọn cung khi biết  cung , do đó ta nhóm những ngọn cung nào tạo thành một đa giác nội tiếp trong đường tròn lượng  giác lại và viết thành một cung, còn các ngọn cung khác nếu không gom lại được thì ta viết riêng Ví dụ : Cho cung x có các ngon cung nằm trên đường tròn lượng giác như hình vẽ .Hãy tìm cung x ? y Hình 1 Bốn đỉnh M,N,P,Q tạo thành một hình vuông nội  M() tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta gom  N chung, hai đỉnh A, A/ đối xứng nhau qua O nên ta  viết chung thành một cung được  A/ O A Vậy các cung x ở hình 1  là  x π kπ x= + 4 2 (k , h Z ) x = hπ P Q y Hình 2 Bốn đỉnh A,B,A/,B/ tạo thành một hình vuông nội  B tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta gom  M() chung, Hai đỉnh M,N hợp với đỉnh B/ tạo thành  N tam giác đều nội tiếp trong đường tròn luợng  giác nên ta viết chung thành một cung được.Vậy  x kπ A / O A x= 2 các cung x ở hình 2  là  (k , h Z ) π hπ x= + 6 3 B/ PHÖÔNG PHAÙP THU GOÏN NGHIEÄM :  x k2 1/ Neáu vôùi thì ta ghi x = ( kl , h , l ) Z x h2 2 x k (1) m 2/ Neáu vôùi m ngoïncungcuûa(1) hôïp vôùi n ngoïncungcuûa(2) laäpthaønhmoät 2 x h (2) n l2 ñagiaùcñeàucoù m +n caïnhthì ta ghi x = (k , h , l,n , m ) n m Z NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 7 Ị HUỲNH  LIÊN 
  8. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2 x k (1) m 3/ Neáu vôùi m ngoïn cung cuûa (1) laø taäp hôïp con cuûa n ngoïn 2 x h (2) n cung cuûa (2) h 2Π thì ta ghi x = β + (k , h,n , m Z) m IV/ MỘT  VÀI PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số : 1/ Khi hai veá phöông trình coù nhöõng thöøa soá gioáng nhau vaø coù chöùa x thì ta  phaûi chuyeån veà moät veá vaø ñöa veà phöông trình tích . Ví duï 1: Giải phương trình : sinx ( 2 cosx +1 ) = cos2x.sinx  Gi ả    i  :     sinx ( 2 cosx -1 ) = cos2x.sinx sinx ( cos2x – 2cosx – 1 ) = 0 sin x = 0 cos 2 x − 2cos x + 1 = 0 sin x = 0 x = kπ � x = kπ cos x = 1 x = 2hπ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  x = kπ ( k  Z ) 2/ Neáu caùc goùc trong phöông trình coù daïng u , 2u ,... thì ta thöôøng duøng coâng  thöùc nhaân ñoâi hoaëc coâng thöùc haï baäc naâng cung ñeå ñöa veà phöông trình chæ   theo moät goùc  Ví duï2 : Giải phương trình : sin 2x = 2 cos2x  Gi ả    i  :     sin 2x = 2 cos2x 2 sinx cosx - 2 cos2x = 0 2cosx ( sinx – cosx ) = 0 cos x = 0 cos x = 0 π sin x − cos x = 0 sin( x − ) = 0 4 π x = + kπ 2 π x = + hπ 4 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 8 Ị HUỲNH  LIÊN 
  9. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM π x = + kπ 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  ( k,h  Z ) π x = + hπ 4 hoặc sin 2x = 2 cos x 2 sin2x = 1 + cos2x sin2x – cos2x = 1 Ví duï2 : Giải phương trình : cos4x - sin4x + cos4x = 0  Gi ả    i  :     cos x - sin x + cos4x = 0 4 4 (cos2x + sin2x)( cos2x – sin2x) + cos4x = 0 cos2x + cos4x = 0 2cos3x.cosx = 0 π kπ x= + cos3 x = 0 6 3 � ( k , h �Z ) cos x = 0 π x = + hπ 2 3/ Neáu trong phöông trình coù chöùa cos2x , sin2 x thì ta duøng coâng thöùc haï baäc  naâng cung  Ví duï 3: Giải phương trình : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x 1 − cos 2 x 1 − cos 4 x 1 − cos 6 x 1 − cos8 x  Gi ả    i  :     sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x + = + 2 2 2 2 cos2x + cos4x = cos6x + cos8x 2 cos3x cosx = 2 cos7x cosx cosx ( cos7x – cos3x) = 0 π x= + kπ 2 cos x = 0 7 x = 3 x + 2hπ cos 7 x = cos3 x 7 x = −3x + 2hπ π x= + kπ 2 hπ x= hπ 2 x= 2 hπ x= hπ 5 x= 5 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 9 Ị HUỲNH  LIÊN 
  10. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM hπ x= 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  ( k,h  Z ) hπ x= 5 4/ Neáu trong phöông trình coù daïng toång thì ta bieán thaønh tích hoaëc ngöôïc laïi  Ví duï 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x =0  Gi ả    i  :     sinx + sin 2x + sin 3x = 0 ( sin3x + sinx) + sin2x = 0 2sin2x cosx + sin2x = 0 sin2x ( 2 cosx + 1) = 0 kπ sin 2 x = 0 x= 2 1 cos x = − 2π 2 x= + hπ 3 kπ x= 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :   ( k,h  Z ) 2π x= + hπ 3 Ví duï 5: Giải phương trình : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x 1 1  Gi ả    i :     Cosx cos7x = cos 3x cos 5x (cos8 x + cos 6 x) = (cos8 x + cos 2 x) 2 2 6 x = 2 x + 2 kπ cos6x = cos2x 6 x = −2 x + 2 k π kπ x= 2 � x = kπ kπ 4 x= 4 kπ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  x = ( k  Z ) 4 Bài tập : Giaûi caùc phöông trình sau : 1)  sin 2 4x + sin 2 3x = sin 2 2x + sin 2 x                  2)  sin x(1 + cosx) = 1 + cosx + cos 2 x cos 2 x ( cosx − 1) 3)  sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x                 4) = 2 ( 1 + s inx ) sinx + cosx NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 10 Ị HUỲNH  LIÊN 
  11. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM cos2x 1 5)  cot x − 1 = + sin 2 x − sin 2x              6)  cos 2 3x.cos2x  − cos 2 x = 0   1 + tan x 2 7)  ( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cosx ) = sin 2x − s inx     8/ sin3 x + cos3 x = sinx – cos x 4 9/ 9 – 13 cosx = -                                10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 3 1 tan 2 x 11/ sin2 x – 6 sinx cosx + cos2 x = - 2                12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x sin 3 x sin x 13/ cos 2 x sin 2 x 14/ sin 5x – sinx = 3 sin 2 x 1 cos 2 x 15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x 16/ cos4 x – cos 2x + 2 sin6 x = 0 17/ cosx - cos 2x = sin 3x 18/ cos2 2x + 2cos2 x = 1 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số  x 2t 1− t2 1/  Coù  th e å  đặt  aå n  ph u ï  t  =  ta n     � sin x = , cos x = 2 1+ t2 1+ t2 2t 1− t2 (  ho ặc  t  =  ta n x   � sin 2 x = , cos 2 x = ) 1+ t2 1+ t2 Ví duï 1: Giải ph ương trình : 6tan 2 x – 2cos 2 x = cos 2x π Giải: Điều kiện : x  + kπ    ( k  Z ) 2 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x 6tan2 x = 2cos2x + 1 1− t2 nên ta đặt aån phuï t = tan x � cos 2 x = 1+ t2 1− t2 Khi đó phương trình (1) trở thành : 6t2 = 2 (  ) + 1 6t4 + 7t2 – 3 = 0 1+ t 2 3 t 2 = − (loai ) 2 1 tan2x = 1 3 t2 = 3 1 π tan x = = tan 3 6 1 �π � tan x = − = tan �− � 3 �6� π x = + hπ 6 ( h  Z ) π x = − + hπ 6 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 11 Ị HUỲNH  LIÊN 
  12. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM π Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =  + hπ     ( h  Z ) 6 2/ Biến đổi phương trình đã cho về dạng có những biêu thức đồng dạng để từ đó ta  đặt được ẩn phụ  Ví duï 2: Giải ph ương trình: tanx+tan 2x +tan 3x + cot2x + cot3x = 6 (1) kπ Giải: Điều kiện : x     ( k  Z ) 2 (1) ( tanx + cotx ) + ( tan2x+ cot2x ) +( tan3x+ cot3x ) = 6 2 t 2 Đặt t = tanx + cotx = , vì sin 2 x 1 nên  t 2 sin 2x t −2 tan x+ cot x = t – 2 , tan x+ cot x = t – 3t 2 2 2 3 3 3 t=2 Khi đó phương trình (1) trở thành: t3 +t2 – 2t – 8 = 0  t 2 + 3t + 4 = 0 (vn) 2 π =2 sn2x = 1 x = + hπ ( h  Z )    sin 2x 4 ( thỏa đk) π Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = + hπ ( h  Z )    4 3/ Phương trình có chứa đồng thời  ( sin x cos x ) , ( sin x.cos x )  thì ta đặt t = sinx  cosx m n Ví duï3 :Giải ph ương trình: sin 3x + cos3x = 2 ( sinx + cosx) – 1 (1) Giải:  π Đặt t =  sinx + cosx = 2 sin ( x + ) . Điều kiện : t  �[− 2; 2] 4 t 2 −1 sin3x + cos3x = ( sinx + cosx)3 – 3sinxcosx( sinx + cosx) = t3 – 3t ( ) 2 t 2 −1 Khi đó phương trình (1) trở thành: t3 – 3t ( ) = 2t – 1 2t3 – 3t( t2 – 1) = 4t – 2 2 t =1 t3 + t – 2 = 0 t 2 + t + 2 = 0 (VN ) π 1 π sin ( x + ) = = sin 4 2 4 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 12 Ị HUỲNH  LIÊN 
  13. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM x = 2 kπ π x = − + 2 kπ 2 x = 2kπ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  π ( k  Z ) x = − + 2 kπ 2 4/ Phương trình có dạng : a (tan2x + cot2x ) + b( tanx – cotx) + c = 0  Ta đặt t = tanx – cotx   tan2x + cot2x = t2 + 2 Ví duï 4:Giải ph ương trình: 3 (tan2x + cot2x ) + 2 (  3 - 1) ( tanx – cotx) – 4 ­  23 = 0 (1) Giải:   kπ Điều kiện : x     ( k  Z ) 2 Đặt t = tanx – cotx     tan2x + cot2x = t2 + 2 Khi đó phương trình (1) trở thành:  3 ( t2 + 2) + 2 (  3 - 1)t – 4 ­  2 3 = 0 3 t32 + 2 (  - 1)t – 4 = 0 t = −2 2 t= 3 tan x = −1 − 2 = tan α * t = -2 tanx – cotx = ­2     tan2x + 2tanx – 1 = 0 tan x = −1 + 2 = tan β x = α + hπ Z( k, h  )( thỏa đk) x = β + hπ − cos 2 x 2 2 sin 2 x − cos 2 x 2 2  * t =    tanx – cotx =  = 1 = 3 3 sin x cos x 3 sin 2 x 3 2 1 π                                                        cot2x = ­   = cot ( ­  ) 3 3 π π lπ                                                       2x = ­  + l  π  x = ­  +   ( l  Z )( thỏa đk) 3 6 2 x = α + hπ π lπ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :   và x = ­  +  ( k, h, l  Z ) x = β + hπ 6 2 Bài tập:A/ Giải các phương trình sau: NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 13 Ị HUỲNH  LIÊN 
  14. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 6 1/  3cos x + 4sin x + = 6             2/  s inx − cosx + 4sin 2x = 1 3cos x + 4sin x + 1 3/  2(tan x − s inx) + 3(cotx  −  cosx) + 5 = 0            4/ 1 + s inx + cosx + sin2x + cos2x = 0   � π� � π� 3 5/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0                               6/  cos x + sin x + cos �x − � 3x − �− = 0 4 4 .sin � � 4� � 4� 2 � x� 2 ( cos6 x + sin 6 x ) − sin x cos x 7/  cot x + sin x � 1 + tan x tan �= 4                          8/  =0 � 2� 2 − 2sin x x 9/ 2 + cosx = 2tan                                                  10/ cotx = tanx + 2 tan2x  2 π π 11/ 1 + tanx = 2 2 sinx                                            12/  sin( 2x ­  ) = 5 sin( x ­  ) + cos 3x 3 6 3π x 1 π 3x π 13/ sin(  − ) =  sin( + )                             14/ 2cos( x +  ) = sin3x – cos3x 10 2 2 10 2 6 m −1 2 π B/ Tìm m để phương trình :  − 2m tan x − m 2 + 2 = 0  có đúng ba nghiệm thuộc ( ­  π ; ) cos x2 2 C/ Tìm m để phương trình : cos  x + 2 ( 1 – m)cosx + 2m – 1 = 0 có 4 nghiệm thuộc [0;  2 ] 2 π D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx – m + 1 = 0  π π có 4 nghiệm thuộc khoảng ( ­  ; ) 2 2 4 2 E/ Cho phương trình : 2(  2  + cos2x ) + m (   ­ cosx)  = 1 (1) cos x cos x         a/ Giải phương trình khi m = 9 π         b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) 2 4m F/ Cho phương trình : 4tan2x +   + 5  = 0  (1) cosx       a/ Giải phương trình khi m = ­ 1 π π       b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( ­  ; ) 2 2 G/ Cho phương trình : sin x – cos x = m   (1) 3 3       a/ Giải phương trình khi m = 1      b/  Tìm m để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc đoạn [ 0 :  π ]  H/ Cho phương trình : 4 ( cosx – sinx ) + sin2x = m   (1)             a/ Giải phương trình khi m = ­ 1             b/Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm  5/ Phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm : Khi giải một phương trình lượng giác nào đó mà quá trình giải cuối cùng dẫn đến việc phải tìm giao của  hai tập hợp T1, T2, vấn đề đặt ra là làm sao một học sinh trung bình có thể  tìm T1 T2 được dễ dàng  .Thông thường ta có hai cách làm : C1: Dùng đường tròn lượng giác  C2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định  a/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh từ việc giải phương trình lượng giác không mẫu mực: NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 14 Ị HUỲNH  LIÊN 
  15. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ví dụ 5: Giải phương trình:  cos3x + 2 − cos 2 3 x = 2(1 + sin 2 2 x)   (1) Phân tích: Phương pháp bình phương hay đặt ẩn phụ đều khó khăn. Ta giải phương trình (1) bằng phương pháp  đánh giá miền giá trị 2 vế làm xuất hiện bất đẳng thức đối lập. Giải:     VT (1)  12 + 12 . cos 2 3 x + 2 − cos 2 3 x = 2    cos3 x 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2 − cos 2 3 x = cos3 x 2 − cos 2 3 x = cos 2 3 x cos3 x 0                                                     � cos 3x = 1   cos 2 3 x = 1 VT (1)  = 2( 1 + 2sin22x)  2   vì sin22x  0 khi và chỉ khi  Đẳng thức xảy ra  1 + 2sin22x = 1  sin2x = 0 cos3 x = 1 Vậy (1)          (*) sin 2 x = 0 Để giải hệ (*) ta có nhân xét: a. Ta có thể tìm nghiệm mỗi phương trình của (*). Nếu nghiệm tìm được đơn giản, ta tìm trên  đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung thuộc các tập nghiệm mỗi phương trình. Chọn lấy  những điểm ngọn chung từ đó tìm được nghiệm của hệ cũng là nghiệm của phương trình ban  đầu. Với ý tưởng đó ta dùng C1 y k 2π M() x= Ta có (*)   3 B        lπ                                                                           x= 2 (cần lưu ý với học  sinh là các tham số nguyên  x trong mỗi phương trình là khác nhau) A/ O A Trên đường tròn lương giác các điểm ngọn cung  thuộc tập nghiệm của mỗi phương trình được biểu thị lần  N() B/ lượt bởi các dấu (.) chấm tròn và (□) ô vuông trên hình vẽ. Chỉ có 1 điểm ngọn chung tại A. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:   (k    ) NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 15 Ị HUỲNH  LIÊN 
  16. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM b. Ta cũng có thể chọn giao của hai nghiệm bằng cách tìm nghiệm nguyên của phương trình vô  k 2π x= 3 định. Thật vậy:(*)   lπ x= 2 k 2π lπ Hệ có nghiệm chung nếu :   ∃k , l �Z : = 3 2   4k k  ( nên rút   theo   vì hệ số đi với 1 nhỏ hơn)                                              � l = 3 = k + 3 k k Do   l , k �Z � �Z � = m �Z � k = 3m     3 3 Thay vào tập nghiệm đầu tiên của hệ ta có nghiệm của phương trình (1) là  Ví dụ 6: Giải phương trình: sin 4 x(cos x − 2sin 4 x) + cos 4 x(1 + sin x − 2cos 4 x) = 0   (1) Giải: Ta có: (1)   (sin4x.cosx + sinx.cos4x) – 2( sin24x + cos24x) + cos4x = 0    sin5x + cos4x  = 2  (2) sin 5 x 1 y Do   VT (2)  cos 4 x 1 B sin 5 x = 1 Vậy (2)    (*)                                                      N() cos 4 x = 1 M() Cách 1: x π kπ A / O A x= + 10 5 Ta có (*)    P() Q() lπ    x= 2 B/ Biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm  của hai phương trình trên đường tròn lượng giác chúng  có 1 điểm ngọn chung là B. π Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  x = + m2π 2 Nhận xét: Ta nghĩ tới C1 khi việc biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm mỗi phương trình trên  đường tròn lưỡng giác là ít vị trí. Trong trường hợp số điểm ngọn của chúng có quá nhiều vị trí và phức  tạp thì ta sẽ nghĩ tới  C2. Bây giờ ta dùng C2 để chọn nghiệm thử NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 16 Ị HUỲNH  LIÊN 
  17. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cách 2: π k 2π lπ l −1 Hệ có nghiệm chung nếu :  ∃k , l �Z : + = � 4k = 5l − 1 � k = l +        10 5 2 4 l −1 l −1 Do    l , k �Z � �Z � = m �Z � l = 4m + 1 4 4 π Từ đó thay vào tập nghiệm thứ 2   nghiệm của phương trình là:  x = + m2π 2   Ví dụ 7: Giải phương trình: sin4x.cos16x = 1     (1) Phân tích: Có thể biến đổi tích thành tổng hay đánh giá miền giá trị các vế. Mỗi nhận xét cho ta cách  giải riêng. Tuy nhiên việc biến đổi tích thành tổng cho lời giải ngắn gọn hơn. Cách 1: Biến tích thành tổng Ta có: (1)   sin20x – sin12x = 2   � (1 − sin 20 x) + (1 + sin12 x) = 0 π kπ x= + sin 20 x = 1 40 10                    � � �� sin12 x = −1 π lπ x=− + 24 6 π kπ π lπ Hệ có nghiệm chung nếu :   ∃k , l �Z : + =− + 40 10 24 6 5l − 2 2(l − 1)                                           � k = = 1+ 3 3 l −1 l −1 Do  l , k �Z � �Z � = m �Z � l = 3m + 1    3 3 π mπ Thay vào tập nghiệm thứ 2 của hệ phương trình.  nghiệm của phương trình (1) là:  x = + 8 2 Cách 2: Đánh giá miền giá trị hai vế: Ta có: Từ (1)  � sin 4 x . cos16 x = 1 (1 )       (1’) / �sin 4 x = 1 Do   sin 4 x . cos16 x 1  cos16 x = 1 �sin 4 x = 1 sin 4 x = 1 Vậy (1’)  � � ��      cos16 x = 1 cos16 x = 1 Mặt khác do: sin4x.cos16x = 1 > 0 nên sin4x và cos16x cùng dấu NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 17 Ị HUỲNH  LIÊN 
  18. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM sin 4 x = 1 � � sin 4 x = −1 Do đó  � �   (2) cos16 x = 1 � � cos16 x = −1 Từ (1)   (2) nhưng nếu (2) thỏa thì (1) cũng thỏa. Vậy (1)   (2) sin 4 x = 1 a/     (a) (ta giải hệ (a) bằng hai cách để thấy rõ ưu điểm của mỗi cách) cos16 x = 1 Cách 1: Biểu diễn nghiệm mỗi phương trình trên đường tròn lương giác  π kπ x= + 8 2 B Ta có (a)    lπ N x=                                                            8 M() Biểu diễn các điểm ngọn cung của hai phương trình  trên đường tròn lượng giác. Có 4 điểm ngọn cung trùng  x A/ O A nhau là M,N,P,Q. P π mπ Vậy nghiệm của hệ (a) là:  x = + Q 8 2 B/ Cách 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định: π kπ lπ Hệ có nghiệm chung nếu :  ∃k , l �Z : + = � l = 4k + 1   8 2 8 Thay vào tập nghiệm phương trình thứ 2 của hệ, nghiệm phương trình đã cho là: π π kπ                             x = (4k + 1) = +   8 8 2 π kπ x=− + sin 4 x = −1 8 2 b/    � � cos16 x = −1 π lπ x= + 16 8 π kπ π lπ Hệ có nghiệm chung nếu :   ∃k , l �Z : − + = + � 2l = 8k − 3 Vô lí vì VT chẵn, VP lẻ    8 2 16 8   Hệ (b) vô nghiệm π mπ Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là  x = +   8 2 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 18 Ị HUỲNH  LIÊN 
  19. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM b/ Việc chọn nghiệm phương trình được nảy sinh do giải phương trình lượng giác chứa tang,  cotang hoặc có chứa ẩn số ở mẫu: Ví dụ 8: Giải phương trình:   tan 2 x.tan 3 x.tan 5 x = tan 2 x − tan 3 x − tan 5 x   (1) Phân tích: Nguyên tắc giải phương trình loại này là:  Đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa. Sau đó, giải phương trình và kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa điều kiện đặt ra hay không?  Kết luận nghiệm. π x (2l + 1) cos 2 x 0 4 � � π Giải:Điều kiện:   � 0 + �x cos3 x �۹ (2m 1)   � � 6 cos5 x 0 π x (2h + 1) 10 Với điều kiện (1)    tan 5 x(1 + tan 2 x.tan 3 x) = tan 2 x − tan 3 x   (2) Nhận xét: 1 + tan2x.tan3x  0   vì nếu: 1 + tan2x.tan3x = 0  tan2x = tan3x  (VT=0   VP=0)                      � 1 + tan 2 2 x = 0    vô lý tan 2 x − tan 3 x Vậy (2)    tan 5 x = = tan(− x) 1 + tan 2 x.tan 3 x kπ               � 5 x = − x + kπ � x = 6  Ta kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa các điều kiện hay không?  kπ π a/ Điều kiện (a) bị vi phạm nếu :   ∃k , l �Z : = (2l + 1) � 2k = 6l + 3 (vô lý vì ) 6 4 π Vậy x =  k  thỏa điều kiện (a)  6 π π b/ Điều kiện (b) bị vi phạm nếu  ∃k , m Z :  k  = ( 2m + 1) k = 2m + 1 là số nguyên lẻ 6 6 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 19 Ị HUỲNH  LIÊN 
  20. TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM π Vậy điều kiện (b) thỏa nếu k = 2n , khi đó nghiệm pt là x =  n 3 π π c/ Điều kiện (c) bị vi phạm nếu  ∃n, h Z :  n  = ( 2h + 1) 10n = 6h + 3 ( vô lý vì n, h  Z) 3 10 π π Vậy x =  n thỏa điều kiện (c) .Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là : x =  n 3 3 Ví dụ 9: Giải phương trình:  tan 5 x = tan 3 x ,    với  x − 3 1   (1) Giải:  π kπ + x ( a) 10 5 Điều kiện : (k , h Z ) π hπ x + (b) 6 3 lπ Với điều kiện trên thì    tan5x=tan3x 5x = 3x + l π   x =  2 π kπ lπ l −1 Điều kiện (a) bị vi phạm nếu ∃k , l Z saocho + = k = 2l +  10 5 2 2 l −1 Vì k,l là số nguyên nên  = m là số nguyên  l = 2m + 1 2 Suy ra điều kiện (a) không bị vi phạm nếu l = 2n nghiệm x = n π π hπ Điều kiện (b) bị vi phạm nếu ∃h, n Z saocho n π  =  + 6n = 2h + 1 ( vô lý) 6 3 Vậy nghiệm x thỏa điều kiện (a) và (b) là x = n π Do  x − 3 1   2  nπ 4 , Vì n Z  nên ta chọn n = 1  Vậy phương trình có nghiệm x =  π Ví dụ 10: Giải phương trình:  ( cot 2 x − 1) − cos 4 x.cot 2 x = cos x   (1)  2cot x Giải:  cos x 0 π  Điều kiện : sin x �۹۹ 0 sin 2 x 0 x l 2 sin 2 x 0 Với điều kiện trên thì (1)  ( cos 2 x − sin 2 x ) .sin x − cos 4 x. cos 2 x = cos x 2 sin x.2cos x sin 2 x cos 2 x(1 − cos 4 x)                                            = cos x sin 2 x NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH 20 Ị HUỲNH  LIÊN 
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1116 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2