ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

• Trường hợp nào biến dạng nhiều hơn? • rỏ ràng khi tiết diện đặt nằm ngang

Trọng Tâm-Khối Tâm Của Hệ n Vật

Gọi x,y,z là tọa độ của trọng tâm vật wi Gọi là

toạ độ trọng tâm của hệ

x z y Lực tổng tương đương WR

Tổng momen lấy đối với trục y

n

n

. Wx

....

R

wx i i

wx 1 1

wx n n

W R

w i

 

i

1 

i

1 

z z

Vậy toạ độ trọng tâm là:

n

n

n

n

wx i i

wx i i

yw i

yw i

w2

i

i

i

i

x

y

1  n

1  n

 1  W

R

1  W R

wn

w1

w i

G

w i

i

1 

i

1 

y y

n

n

z

x

zw i

zw i

i

i

z

1  n

y

1  W R

x x

w i

i

1 

TRỌNG TÂM CỦA MỘT VẬT

z z

xdV

dV

V

x

G

x

dW

dV

W

dw

V

z

y

ydV

dW

y y

z

x

V

x

y

y

dV

z

y

dW

V

x x

 xdW   ydW   zdW 

           

zdV

V

z

dV

V

               

Trọng tâm C của một mặt

Trọng tâm C của một đường

xdA

ydA

zdA

xdL

ydL

zdL

A

A

A

L

L

L

x

,

y

,

z

x

,

y

,

z

dA

dA

dA

dL

dL

dL

A

A

A

L

L

L

CÁC VÍ DỤ Vd1: tìm trọng tâm của cung

tròn ở hình bên. Bài giải

Do đối xứng nên trọng tâm nằm trên trục x

dL 

rd

Chiều dài vi phân dL:

x 

r

cos

Toạ độ x của chiều dài vi phân dL:

Áp dụng công thức,ta được:

cos

rd  .

xdL

r

r  

L

x

sin 

dL

L

rd  

• Nếu 2= thì ta có nửa đường tròn:

x

2 r 

• Điều này đúng cho trường

hợp ¼ đường tròn

Ví dụ 2: Tìm trọng tâm của hình phẳng bên

Bài giải

• Nếu 2= thì ta có

nửa hình tròn:

x 

4r 3

• Điều này đúng cho

trường hợp ¼ hình tròn

Ví dụ 2: Tìm trọng tâm của hình phẳng bên a

Bài giải

xydx

Cách 1:

dA 

ydx

0

x

ydx

0

thay

(

y

3/1 )

va

k

  a  x k

a 3 b

Ta được

y

b

x

a

2 5

4 7

3 2 ba 7 ab 3 4

b

Bài giải

(

) dyxa

(  dyxa )

dA

Cách 2:

0

x

Ví dụ 2: Tìm trọng tâm của hình phẳng bên  xa 2 b

xC

(

) dyxa

 xa 2

0

y 

b

(

3/1 )

thay

x a

b

Tương tự

( dyxay 

)

0

y

(

) dyxa

  b 

0

Ví dụ 2: Tìm trọng tâm của hình phẳng bên

Giải:

• Xác định k.

2

y

xk

2

b

ak

 k

b 2

a

2

y

x

or

x

21 y

b 2

a

a 21 b

dA

A

• Tổng diện tích. 

a

3

2

dxy

x

dx

b 2

b 2

x 3

a

a

a  0

   

   

0

ab 3

a

2

S

xy

dx

x

x

dx

y

dAx el

b 2 a

  

  

0

a

4

b 2 a

x 4

2 ba 4

  

  

0

2

a

2

S

dxy

x

dx

x

dAy el

y 2

1 2

b 2 a

  

  

0

a

2

5

2

4

b 2 a

x 5

ab 10

  

  

0

Cách giải 2

• Vi phân diện tích là dãy ngang.

b

2

2

  dyxa

y

0

b

2

2

a x S     dy dAx el  xa 2  2

 a  y 

2 ba 4

0

21

1 2 a b      dy 

  dyxay

x

b

2

23

S     y dy dAy el a 21 b  ay     

 ay  y dy 

0

a 21 b ab 10      

Kết Quả Cuối Cùng • Toạ độ trọng tâm.

 SAx

x

a

x

3 4

y 2ba 4

ab 3

 SAy

y

b

y

3 10

x 2ab 10

ab 3

MOMEN TĨNH TRỌNG TÂM

• Momen tĩnh đối với 2 trục

Ox và Oy như sau:

S

ydF

xdF

x

yS ,

F

F

• Momen tĩnh có thể âm hoạc

dương, đơn vị

• Trục trung tâm:momen tĩnh đối với trục này bằng không

• Trọng tâm:giao điểm của hai trục trung tâm

• Momen tĩnh của trục đi qua trọng

tâm bằng không

CÁCH XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM

• Gọi C(xC,yC) là trọng tâm.Qua C dựng

hệ Cxoyo song song với hệ Oxy

x

y

y

, voi

(x C

,

y

)

x C

yx , o

C

o

C

C

• Momen tĩnh đối với trục x:

S

(

y

y

)

dF

y

dF

y

dF

x

C

o

C

o

SFy C

xo

F

F

F

• Vì xo là trục trung tâm

S

,

S

x

Fy C

y

Fx C

nên Sxo=0 nên:

• Công thức tính trọng tâm:

S

,

y

x C

C

y F

S x F

Các Nhận xét về trọng tâm

• Một mặt cắt được gọi là đối xứng qua trục BB’ nếu với bất kỳ điểm P luôn tồn tại điểm P’ sao cho PP’ vuông góc với BB’ và được chia làm 2 phần bằng nhau.

• Mômen tĩnh đối với trục này bằng không

• Trọng tâm mặt cắt sẽ nằm trên trục đối xứng

• Giao điểm của hai truc đối xứng là trọng tâm

• Mặt cắt đối xứng qua tâm O nếu bất kỳ vi phân tố dA tại (x,y) luôn tồn tại một phân tố dA’ cùng diện tích tại (-x,-y).

Đối với mặt cắt phức tạp được hình thành từ những hình đơn giản,ta chia làm những hình đơn giản

n

n

Fx i i

Fy i i

S

,

x C

y C

 1i n

 1i n

y F

S x F

F i

F i

 1i

 1i

Ví dụ: tìm trọng tâm của mặt cắt với kích thước như sau:

• Bài giải:

• Chia mặt cắt thành 1 hình tam giác,1 hình chữ nhật,1 nữa đưòng tròn và một đường tròn khuyết

3

3

S



2.506

10

mm

x

3

3

S



7.757

10

mm

y

• Tìm tổng diện tích,momen tĩnh của các hình đơn giản với hai trục tọa độ

• Tìm trọng tâm của mặt cắt bằng cách chia

tổng momen tĩnh cho tổng diện tích

3

3

Fx

X

F

  757 7. 10 3 13.828 10 

mm 2 mm

 

mm 8.54X

3

3

Fy

Y

F

  2.506 10 3 13.828 10 

mm 2 mm

 

mm 6.36Y

Momen quán tính

• Momen quán tính đối với

2 dFy

,

J

2 dFx

x

y

hai truc x và y  J

F

F

2

2

dF

dF

x

y

J

(

)

J

J y

x

• Momen quán tính cực: 2  

F

F J

xydF

xy

• Momen quán tính ly tâm:



F

• Momen quán tính cực và đối với trục luôn dương,

momen quán tính ly tâm có thể âm.

• Đơn vị chiều dài

• Công thúc chuyển trục song song của momen quán tính ly tâm:

CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MOMEN QUÁN TÍNH

MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ MẶT CẮT QUEN THUỘC

• Mặt cắt hình chữ nhật:

• Momen quán tính cực bằng bao nhiêu ?

• Hãy tính lại đối với hệ

trục đi qua góc trái của mặt cắt ?

MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ MẶT CẮT QUEN THUỘC

• Mặt cắt hình tam giác:

• Đối với cạnh đáy x1:

dy

dF

)

(

)( yb

)( yb b

)( yb  yh h

h

(

)

2

dy

2 dy

F

y

J

x 1

 yhb h  yhb h

0

F

h

3

4

3

b h

hy 3

y 4

bh 12

  

  

0

• Nếu x là trục trung tâm,theo công thức chuyển trục song song thì:

3

3

2

3

2

F

(

)

.

J x

bh 12

h 3

bh 12

bh 2

h 9

bh 36

• Với mặt cắt ngang tròn

4

4

4

J

J

D05,0

x

y

 r 4

 D 64

4

4

4

J

.2

J

D1,0

x

 r 2

 D 32

• Với mặt cắt ngang hình vành khăn

y

x

4

J

4

J

J

1(

4 

1.(D05,0)

4 

)

x

y

D   64 2

d

voi 

D

d D