Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 3:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

142

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác

143

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

Phương trình lượng giác cơ bản:

cos

x

c

os

   

  2

x

k

x

sin

,

k

    2 k       2

k

x x

tan

   x

x

tan

  

  k

cot

x

cot

  

  k

x

   sin      

Bài 1. Giải phương trình

2

2

 

2cos c os x   1 c os sin 2 x  2      

Lời giải:

Phương trình tương đương với

2

2

2

 

 

  c

2

2

c os

x

c os

sin 2

x

 c os

x

 

sin 2

x

k

 2

 

os c 2cos x   1 c os sin 2 x   1 c os os x   1 c os sin 2 x  2

2os c

x

 

sin 2

x

  k

2

c os2

x

2sin 2

x

4

k

1 (*)

     c os    

2 1

2   2

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi 

2 1

Khi đó phương trình (*) trở thành

2

c

os2

x

2 sin 2

x

   1

2 cos

x

x 4sin cos

x

  0

cos

x

cos

x

2sin

x

 . 0

144

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

5 1 5 1 k 4     k    . 0 k  4  4

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

cos

x

0

x

 k

.

,

k

, tan

1 2

tan

x

 

x

 2      k

   

   

1 2

Vậy phương trình có nghiệm là

.

 x        k , k , k  , tan    2 1 2      

Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

2

3 x  9 x  160 x  800  1 c os

     8 

Lời giải:

Phương trình tương đương với

2

2

3 x  9 x  160 x  800  k  2 , k    9 x  160 x  800  3 x  16 k

 8

2

2

k

  2

k

 

10

Vậy với

x k ,

  

 25 3 k

  5

x

 

7

x

 

31

  

  

x

 

7,

x

 

.

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 

 31

x  16 k  0 3 x  16 k  0   x  24 k  40  9 x  160 x  800  3 x  2 k     25  k 3 5 3    9  

Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

2

2

c os

x

2

x

sin

x

 

1 2

  

  

  

  

Lời giải:

Phương trình tương đương với

145

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

2

2

2

 

 

2

2

c os  x  2 x   sin x  c os   x  2 x  sin x 1 2  2                  

2

2

  x

 

2

2

 

 

k

 x

  

0

x

    0

k

0

x min

  1

k

3

0 

 3 1 2

x

 k   k 

  

4 2

Vậy nghiệm của phương trình là

.

x  2 x   x  k  2   sin x  2 x  sin  , k  x  2 x     x  k  2      

0;14 thỏa mãn phương trình

x   3 1 2

Bài 4. Tìm nghiệm x thuộc đoạn 

c os3

x

4cos 2

x

3cos

x

  4 0

Lời giải:

Phương trình tương đương với

3

 c 4 os2

   1

3

2

4cos x  3cos x  x 3cos x  0

 4cos x  8cos x   0 cos x    0 x   , k k    2

 0,1, 2,3

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là

0     14 0 x   k    14 k  2

x ;     7 5 3    ; ; 2 2 2 2    

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1,10

của phương trình

Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn 

sin xc os  x cos sin   5 3 2  5

Bài 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

146

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

c

os

c

os

x

 1

  x

 

2

Bài 3. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

2

c os 3 x  9 x  80 x  40  1

  10    

Bài 4. Giải phương trình

4

2

8   x

2 sin

3

x

x

2

x

 0

 16

0; 2 của phương trình

  Bài 5. Tìm các nghiệm thuộc đoạn 

x   c os2 x  3 os3 +sin3x x c x 1 2sin 2   5 sin     

Bài 6. Tìm nghiệm

thỏa mãn phương trình

2sin 2

x

3cos 2

x

x

cos

x

 7

 2 3sin

x ;   2      

ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX

Cần nhớ đến các biến đổi sau, khi xuất hiện các biểu thức này khi giải toán sẽ áp dụng cách biến

đổi tương tự.

sin

x

cos

x

c os

x

2 sin

x

c 2 os

x

x

 4

 4

1 2

1 2

  

  

  

  

 2 sin  

  

sin

x

3 cos

x

2

sin

x

cos

x

2sin

x

c 2 os

x

1 2

3 2

 3

 6

  

  

  

  

   

   

3 sin

x

cos

x

2

sin

x

cos

x

2sin

x

2cos

x

3 2

1 2

 6

 3

  

  

  

  

   

   

BÀI TẬP MẪU

147

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Giải phương trình: sin 3

x

3 cos 3

x

2sin 2

x

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

sin 3

x

3 cos 3

x

2sin 2

x

2

sin 3

x

c os3

x

2sin 2

x

3 2

1 2

   

   

3

x

2

x

k

 2

x

k

 2

2 sin 3

x

2 sin 2

x

,

k

 3

  

  

3

x

  

2

x

k

 2

x

k

 3  4 15

 2 5

 3  3

     

     

Bài 2. Giải phương trình

3

sin

x

x cos sin 2

x

c 3 os3

x

x

sin

x

 c 2 os4

Lời giải:

Phương trình tương đương với

sin

x

sin 3

x

sin

x

c 3 os3

x

c 2 os4

x

sin

x

sin 3

x

1 2

1 2

3 2

1 2

sin 3

x

c 3 os3

x

c 2 os4

x

c

x

c

os4

x

 6

 os 3  

  

3

x

4

x

k

 2

x

 

k

 2

3

x

  4

x

k

 2

x

k

 6  6

 6  42

 2 7

     

     

Bài 3. Giải phương trình

x

sin

x

c os2

x

cos

x

 2

 3 sin 2

148

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Lời giải:

Phương trình tương đương với

x

sin

x

c os2

x

cos

x

 2

 3 sin 2

sin 2

x

c os2

x

sin

x

cos

x

1

3 2

1 2

3 2

1 2

   

   

   

   

2

 x   sin x    1 2sin x   sin x   0  3  6  6  6  os 2 c                       

x    k sin x   0  6     x k  2 , k 

sin x   x   k  2  6 1 2                    6   3       

Bài 4. Giải phương trình

3sin x   4sin x   5sin 5 x   0.  6  6  3                  

Lời giải:

Phương trình tương đương với

3sin

x

4 cos

x

 

5sin 5

x

 2

 6

 6

 3

  

  

  

  

  

  

  

  

3sin

x

4 cos

x

5sin 5

x

 3

 7 6

 3

  

  

  

  

  

  

Đặt

sin

c ; os

 , khi đó phương trình tương đương với

4 5

3 5

149

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

5sin x     5sin 5 x    x     x    3  7 6    9 k 2 4 24    k 36 3 6            

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

cos

Bài 5. Giải phương trình:

3

x

  1 sin

x

 x 1 2 sin    1 2sin

Lời giải:

x

1

Điều kiện:

(*)

x

 

sin    sin 

1 2

2

sin 2

cos

sin

x

x

x

x

2 sin

x

cos

x

sin 2

x

x

sin

x

 c 3 os2

Khi đó phương trình tương đương với:   3 1 2 sin

2

x

  x

2

 k

2

 k

x

,

k

c os

x

cos

s

2

x

2

 3

 6

  

  

  

    

2

x

   x

2

 k

 cos x  3 sin x  c 3 os2 x  sin 2 x  cos x  sin x  x  sin 2 x c os2 3 2 1 2

 3  3

 18

 k 3

     

2

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là:

x

 

,

k

 .

 18

 k 3

1 2  6  6 3 2    2     x 

Bài 6. Giải phương trình: os2

c

x

3 sin 2

x

3 sin

x

cos

x

  . 4 0

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

c os2

x

sin 2

x

cos

x

sin

x

 

2 0

3 2

3 2

1 2

1 2

   

   

   

   

x

c os

x

    0

2

x

c os

x

  2

0

 3

 3

 3

 3

 os 2 c  

  

  

  

  

  

  

  

 os 2 c  

  

2

c os

x

1

c 2 os

x

3

  0

c os

x

 

1 0

 3

 3

 3

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  x

k

 2

  x

k

 2 ,

k

 .

 3

 3

150

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

 c os2 x   c os x      2 0 2 cos x    1 c os x    2 0  3  3  3  3                        

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Vậy phương trình có nghiệm là:

sin

x

3 cos

x

sin 3

x

 2

x   k  2 , k   3      .  

Bài 7. Giải phương trình: 

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

sin

x

cos

x

sin 3

x

  1

sin

x

sin 3

x

1

1 2

3 2

 3

  

  

   

   

 

1 sin

x

1

Do

nên phương trình tương đương với

  

   1 sin 3

x

 3 1

     

sin

x

1

  

 3 1

x

  x

 k

 6

x

 

1

   3    1

x

       sin 3      sin      sin 3 

4

4

x

3

1 tan 2 tan

x

x

sin 4

x

os

3 sin 4

c

x

x

   

Bài 8. Giải phương trình:  4 sin

Lời giải:

Điều kiện: cos cos 2

x

x  (*). 0

Phương trình đã cho tương đương với:

2 sin 2

151

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

x sin sin 2 x  x  3 sin 4 x   3 sin 4 x 1 2  x cos cos 2 x cos cos 2 x x  4 1           

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

c os4

x

3 sin 4

x

2sin 2

x

c os4

x

sin 4

x

sin 2

x

x

sin 2

x

 6

1 2

3 2

 sin 4  

  

4

x

2

x

k

 2

 

x

 k

,

k

 thỏa mãn (*).

4

x

  

2

x

k

 2

 6  6

     x 

 12   5  k 3 36

     

Bài 9. Giải phương trình

x

cos

x

sin

x

cos 2

x

 2

 3 sin 2

Lời giải:

Phương trình tương đương với

2

3 sin 2 x  cos 2 x  sin x  3 cos x   2 sin 2 x  cos 2 x  sin x  cos x  1 3 2 1 2 3 2

 k

x

cos

x

0

 6

  

  

k

 2

,

k

 3  2

cos

x

 

 6

1 2

  

  

     

k

 2

 5 6

      x      x 

  x   cos x    1 2cos x   cos x   0  3  6  6  cos 2                     1 2    6 

Vậy phương trình có nghiệm là

2

x sin sin 2

x

sin

x

cos

x

c 6 os2

x

 x    ; k  k  2 ;   k  2 , k   2  5 6    3    

Bài 10. Giải phương trình

c os

 4

x 2 sin cos   x 

x   

Lời giải:

152

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Điều kiện: os

Khi đó phương trình tương đương với

2

2

2sin

x

cos

x

2 cos

x

sin

x

sin

x

cos

x

c 6 os2

x

sin

x

cos

x

 1 2

c x  0    4    

2

x

k

 2

x

 k

x

c os

 6

 3

 os 2 c  

  

2

x

 

k

 2

x

 

 k

   3 6   3 6

    

 12  4

     

Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm

thỏa mãn

x

 k

 12

Vậy phương trình có nghiệm

  1 2sin cos x x  c 3 os2 x  c os2 x  sin 2 x 3 2 1 2 1  2

x    , k k   12       

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình

2

2

c os

x

3 sin 2

x

 

1 sin

x .

Bài 2. Giải phương trình

4

4

x

c

os

x

3 sin 4

x

2.

 4 sin

Bài 3. Giải phương trình

x

cos

x

cos

x

  3

c

x os2 .

 2 2 sin

Bài 4. Giải phương trình

2 sin  c 6 os  2sin   2sin  .  x  5 12  x  5 12 x 5  2 3 x 3 5  6                        

Bài 5. Giải phương trình

153

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

  3 1 2cos

4

cos x  x   x    1 x .  6  6  sin 2       sin 2     

Bài 6. Giải phương trình:

.

2

2

16 cos  4 3 cos 2 x   5 0 x    4    

Bài 7. Giải phương trình:

.

x 3 cos tan

x

sin

x

4 tan

x

x sin tan

x

3 cos

x

2

2

x

2sin

 3 cos

 x  2 4 

Bài 8. Giải phương trình:

.

   

1

x

1

3sin

x

x

 1

Bài 9. Giải phương trình:

.

1 2

2cos  1 2 3 cos 2 3 cos

x

sin

x

 

  1

x

Bài 10. Giải phương trình:

x

 1 cos x sin

1 2

 2 cos  

Bài 11. Giải phương trình:

x

cos

x

sin

x

x

 2

    cos 2

 3 sin 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX

Phương trình có dạng

a

sin

x

cos

x

b

x sin cos

x

c

  0

a

sin

x

cos

x

b

x sin cos

x

c

  0

2

t

1

t

sin

x

cos

x

2; 2

x sin cos

x

.

   

 

Đặt

2

1

t

sin

x

cos

x

2; 2

x sin cos

x

.

   

 

     

 2  t 2

Đưa về giải phương trình với ẩn là .t

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình

154

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

3

3

 1 sin

x

c os

x

x sin 2 .

3 2

Lời giải:

Phương trình tương đương với

3

1

sin

x

cos

x

x 3sin cos

x

sin

x

cos

x

x 3sin cos . x

t

t

sin

x

cos

x

2; 2

x sin cos

x

.

Đặt

   

 

2 1  2

Khi đó phương trình trở thành

2

2

t

1

t

1

2

2

1

3   t

3

t

3

3   t

t 3

     5 0

t 3

t

t

t 2

0

 1

 5

 2

 2

  

  

  

  

    

1

t

2; 2

x sin cos

x

  0

sin 2

x

  

0

x

,

k

.

 

 

 k 2

Vậy phương trình có nghiệm là:

x  k , k   2      .  

Bài 2. Giải phương trình:

x

cos

x

sin 2

x

 . 1

 2 2 sin

Lời giải:

2

đặt

.

Khi đó phương trình trở thành:

2

2

t  sin x  cos x  2 cos 2, 2  sin 2 x  t  1         x  4    

 1

 t t

  x

  

 k

x

 , k

k

 .

   4 2

 3 4

t 2 2      1 t t 2 2    0 2 2     t 0 0 c os  0 t   x  4    

Bài 3. Giải phương trình:

sin

x

cos

x

x 2 sin cos

x

1

 1

1 2

  

.

0

 

   cos

sin

x

x

 2 2

Lời giải:

155

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Điều kiện: sin

t

t

sin

x

cos

x

c 2 os

x

2, 2

x sin cos

x

Đặt

.

   

 

 4

2 1  2

  

  

Khi đó phương trình trở thành:

2

2

1

t

1

2

2

t 2

2

t

2

 1

   



2 2

t 2

1 2

  

   

   

3

2

 

t 2

t 2 2

2

2

t

 

2 2 2

 0

2

2

t 2

2 2 2

t

 2 2

0

t

2

t

t 2

 2 2

 0

   t

   



 1

x  cos x  2  (*). 0

c 2 os

x

2

 4

2

  

  

1

  t   t 

c 2 os

x

1

 4

  

  

     

x   k  2  2 x  k 

 ( thỏa mãn (*) ).  , k 

Vậy phương trình có nghiệm là:

x   k  2  x  k  2        4    4 4  4 2  k  2      x    

x   k   2 , 2 , k  k  2 , k   4  2      .  

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình

sin

x

cos

x

7 sin 2

x

 1.

x

cos

x

x 2 sin cos

x

  1

2.

Bài 2. Giải phương trình  2 sin

 1

Bài 3. Giải phương trình

156

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

sin 2 x  2 sin x  1.    4    

Bài 4. Giải phương trình

sin 3

x

c

os3

x

x

cos

x

 1.

 2 sin

Bài 5. Giải phương trình

2  2 sin 2  x   tan x  cot x  0. 1 sin x 1 cos x      

Bài 6. Giải phương trình:

3

3

.

sin x  c os x  sin x  cos x   2 2 2

Bài 7. Giải phương trình:

3

3

.

 1 sin

x

c os

x

sin 2

x

3 2

Bài 8. Giải phương trình:

2

2

sin

xc

os

x

x

sin 2

x

2

.

0

x cos sin x sin

 x  cos

 2 sin  x

x x sin cos

cos x

.

x 2 sin cos

x

  1

2

cos

x

x

Bài 9. Giải phương trình:  1

 2 sin

Bài 10.Giải phương trình:

.

x

cos

x

4 sin 2

x

sin 2 x  2 sin  1  x x   4    

Bài 11.Giải phương trình: sin

 . 1

Bài 12.

x

x

cos

x

Giải phương trình:

  . 3 0

  5 1 sin 2

 16 sin

Bài 13.

3

3

.

sin

x

cos

x

x

c os

x

2 sin 2

x

Giải phương trình: 

   1 2 sin

 1

Bài 14.

3

3

x

c

os

x

sin

x

cos

x

sin 2

x

Giải phương trình:

 . 0

 2 sin

157

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 15.

3

3

x

c

os

x

sin 2

x

sin

x

cos

x

2 2

Giải phương trình:

.

 2 sin

Bài 16.

sin

x

cos

x

x

sin

x

cos

x

2sin 2

x

Giải phương trình: 

 1 2 sin 2

 1



  . 1

PHƯƠNG TRÌNH KẾT HỢP TANX, COTX, SINX, COSX

x

sin

x

x

cos

x

Bài 1. Giải phương trình:

  . 5 0

 2 tan

 3 cot

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

2   1 sin x  3   1 cos x  0 sin cos x x cos sin x x            

tan

x

 

3 2 cos

sin

x

x

x sin cos

x

0

   

x

cos

x

x

sin

x

 sin x  cos x  x sin cos x   0 2 cos x 3 sin x      

Bài 2. Giải phương trình:

 . 2

 3 cot

 5 tan

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

x

sin

x

x sin cos

x

x

sin

x

x sin cos

x

 3 cos

 5 cos

 0

sin

x

c x os

.

3   1 cos x  5   1 sin x  0 cos sin x x sin cos x x            

  cos x  sin x  x sin cos x  0 3 sin x 5 c os x      

Bài 3. Giải phương trình:

.

x

cos

x

tan

x

cot

x

 2 sin

158

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Lời giải:

Điều kiện: sin cos

x

x  (*). 0

Khi đó phương trình tương đương với:

2

x

cos

x

x 2 sin cos

x

sin

x

cos

x

sin

x

2 c os

x

 1

 2 sin

sin cos

x x

cos sin

x x

t

t

sin

x

cos

x

c 2 os

x

2, 2

x sin cos

x

Đặt

.

   

 

 4

2 1  2

  

  

Khi đó phương trình trở thành:

2

3

2

 1



t  t   1 t 2  t 2     2 0 t t 2  t 2     0 t 2 2 2 2 2

Vậy phương trình có nghiệm là:

 . thỏa mãn điều kiện (*).  c 2 os x     2 x  k  2 , k   4  4      

x   k  2 , k   4      .  

Bài 4. Giải phương trình: cot

x

tan

x

sin

x

cos

x

Lời giải:

Điều kiện: sin cos

x

x  0

Khi đó phương trình tương đương với:

sin

x

cos

x

sin

x

cos

x

sin

x

cos

x

x sin cos

x

 0



cos sin

x x

sin cos

x x

.

Xét sin

x

cos

x

  0

tan

x

      x

1

 k

 4

Xét

(*),

đặt

sin

x

cos

x

x sin cos

x

 0

2

1

t

sin

x

cos

x

 

2 cos

2, 2

x sin cos

x

.

   

 

 4

 t 2

 x x  

  

Khi đó phương trình (*) trở thành:

2

1

t

        

2

1

2

0

1

t

t

c 2 os

x

  1

2

 t 2

 4

  

  

 2 1

c os

x

c os

    

  k

2

x

.

 4

 4

2

  

  

159

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Vậy phương trình có nghiệm là:

.

x

 , k

  

  2 , k

k

c , os

    4

 4

    

 2 1   2  

x

cot

x

x

Bài 5. Giải phương trình:

.

 3 tan

  2 2 sin 2

Lời giải:

Điều kiện: sin cos

x

x  . 0

2

2

x

cos

x

Khi đó phương trình tương đương với:  3 sin

x

3

x

  2 2 sin 2

  2 2 sin 2

sin cos

x x

cos sin

x x

x sin cos

x

  

  

x

2 sin 2

x

2sin 2

x

   3 0

sin 2

x

x

 0

  2 2 sin 2

 1 sin 2

 3

6 sin 2

x

. thỏa mãn điều kiện.

Bài 6. Giải phương trình:

.

2 tan

x

cot

x

3

2 sin 2

x

Lời giải:

Điều kiện: sin 2

x  . 0

Khi đó phương trình tương đương với:

2

2

sin

x

tan

x

3

tan

x

  

3

x

 , k

k

 .

 os x c sin cos x x

2 sin 2

x

 3

tan x  cot x  tan x  3     tan x  3  2 sin 2 x sin cos x x cos sin x x 2 sin 2 x      

Bài 7. Giải phương trình:

.

 2 3 tan

2

3   12  x  cot x 1 2 sin 1 c os x x      

Lời giải:

Điều kiện: sin cos

x

x  . 0

160

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

2

1 cot

 

12

x

x

x

cot

x

 2 3 tan

Khi đó phương trình tương đương với:   3 1 tan

2

2

x

cot

x

2

x

cot

x

 0

 2 3 tan

 3 tan

2

x

cot

x

x

cot

x

  0

tan

x

cot

x

cot

x

2 3

 0

x

 3 tan

 2 3 tan

 3 tan

.

Xét tan

x

cot

x

  

0

x

   k 4 2

2

Xét

tan

x

x

 k

   

3 1

tan

x

 

 k

3

   

 6

 3    x 

tan x  cot x   tan x  tan x   1 0 2 3 3 2 3 3

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

2

2

Bài 1. Giải phương trình:

4sin

x

3 tan

x

 . 1

.

Bài 2. Giải phương trình: 1 tan

.

 x  2 2 sin x

Bài 3. Giải phương trình: 1 3sin 2

x

x

2

3

3

tan

x

c os

x

x

Bài 4. Giải phương trình:

  . 1 0

  1 sin

2 tan 

Bài 5. Giải phương trình: 2sin

x

cot

x

2sin 2

x

 . 1

2

sin 2

x

2 cos

x

x

cos

x

tan

x

Bài 6. Giải phương trình:

 . 0

 4 sin

 1

4

Bài 7. Giải phương trình:

cot

x

3 c os 2

x

 . 1

2

2

Bài 8. Giải phương trình:

.

sin

x

tan

 x c

os

x

cot

x

sin 2

x

 

1 cot

x

tan

x

Bài 9. Giải phương trình:

.

 

1 sin 2

x

1 tan   1 tan

x x

161

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

tan

x

2cos

x

2

Bài 10. Giải phương trình:

.

 3 sin tan

x

sin

x

tan

x

cot

x

2 tan 2

x

c

os3

x

4 sin 3

x

.

Bài 11. Giải phương trình: 

 1

2

Bài 12. Giải phương trình:

.

tan

x

1 cos   1 sin

x x

3

2

tan

x

Bài 13. Giải phương trình:

.

 c os 1 3  1 sin

x x

Bài 14. Giải phương trình:

.

 

1 sin 2

x

 1 tan  1 tan

x x

Bài 15. Giải phương trình:

.

1 cot 2

x

 x c os2 1 2 sin 2 x

2

Bài 16. Giải phương trình:

.

tan 2

x

cot

x

8cos

x

3

Bài 17. Giải phương trình:

.

tan

x

cot

x

2 cot 2

x

tan

x

cot

x

x

c

os2

x

Bài 18. Giải phương trình:

.

 2 sin 2

.

Bài 19. Giải phương trình: cot

x

tan

x

2 tan 2

x

.

Bài 20. Giải phương trình: 6 tan

x

5cot 3

x

tan 2

x

x

cot 3

x

tan 2

x

cot 3

x

Bài 21. Giải phương trình:

.

 2 cot 2

Bài 22. Giải phương trình:

.

3 tan 3

x

cot 2

x

2 tan

x

2 sin 4

x

.

Bài 23. Giải phương trình:

2 tan

x

cot 2

x

2sin 2

x

1 sin 2

x

Bài 24. Giải phương trình:

.

cot

x

  1

x

cot

x

cos

x

sin

x

 2 tan



x

 2 tan

x

Bài 25. Giải phương trình:

.

c os

 4  4

 sin 3     x 

     

x

 3 tan

 1

2

3 tan

x

4 2 sin

x

1

Bài 26. Giải phương trình:

.

cos

x

 7 4

  

  

162

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Các công thức biến đổi

4

4

sin

x

c os

x

  1

2 sin 2

x

1 2

6

6

sin

x

c os

x

  1

2 sin 2

x

3 4

2

sin 2

x

c ; os2

x

x 2

2

2 tan  1 tan

x

 1 tan  1 tan

x x

Thường gặp các phương trình dạng:

2

2

a sin

 x b

x sin cos

 x c

cos

x d

  0

3

2

2

3

a

sin

 x b

sin

x

cos

x

c

x sin cos

 x d

cos

sin

 x n

cos

x

Hoặc

 0

  x m

Phương pháp giải:

(i). Xét trường hợp cos

x  có phải là nghiệm của phương trình hay không.

0

(ii). Xét trường hợp cos

x  , khi đó chia cả hai vế của phương trình thứ nhất và thứ hai lần lượt

0

cho

2 cos x và

3cos x . Ta được các phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba với ẩn là tan x .

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình

6

6

x

c

x

os

x sin cos

x

 2 sin

0.

 2 2sin

x

Lời giải:

Điều kiện:

Khi đó phương trình tương đương với

163

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

sin x  (*). 2 2

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

6

6

x

c

os

x

x sin cos

x

 0

 2 sin

2

2 sin 2

sin 2

x

x

4

  0

sin 2

x

  

1

x

 k ,

k



 1 3sin 2

 4

x

2

k

k

 2

Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra k lẻ suy ra

  1

 5 4

 4

Vậy nghiệm của phương trình là

x

k

 2 ,

k

 .

 5 4

x  sin 2 x   0 3sin 2 x  sin 2 x   4 0 3 4 1 2  2 1       

Bài 2. Giải phương trình

2

x sin 2 cos 6

x

2 sin 3

x

sin

sin

.

1 2

x 11 2

x 9 2

Lời giải:

Phương trình tương đương với

c os4

os6

x

  1

c os6

x

sin

sin

  1

s x os4 cos 6 c

x

sin

sin

 1

 x c

x 11 2

x 9 2

x 11 2

x 9 2

  1

c os10

x

x

c os2

c os

 x c

os10

x

c os2

x

cos

x

 

2 0

2

1 2 2 cos

x

cos

x

cos

x

x

  0

cos

x

  

1

x

k

k 2 ,



.

1 2     3 0

 1 2cos

 3

Bài 3. Giải phương trình

2

5sin

x

  2

x

tan

x .

  3 1 sin

Lời giải:

Điều kiện cos

x  0.

Khi đó phương trình tương đương với

2

2

5sin

x

 

x

tan

x

5sin

x

 

x

 2 3 1 sin

 2 3 1 sin

2

sin c os

x x

2

2

5sin

x

 

x

5sin

x

  2

 2 3 1 sin

x 2

sin  1 sin

x

3sin  1 sin

x x

164

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

2

5sin

x

x

3sin

x

2 sin

x

3sin

x

2

  0

  2 1 sin

x

k

 2

2sin

x

x

2

0

sin

x

,

k

 .

 1 sin

1   2

k

 2

 6  5 6

     x 

Bài 4. Giải phương trình:

3

3

2

4sin

x

3cos

x

3sin

x

sin

x

cos

x

 . 0

Lời giải:

Nhận thấy cos

x  không là nghiệm của phương trình.

0

Xét cos

x  , khi đó chia cả hai vế của phương trình cho

0

3cos x ta được phương trình:

3

2

2

4 tan

x

 

3 3 tan

x

x

tan

x

 0

  1 tan

3

2

2

tan

x

tan

x

3 tan

x

   3 0

tan

x

x

 0

 1 tan

 3

x

 k

tan

x

1

 4

,

k

tan

x

 

3

  

x

 

 k

    

 3

Bài 5. Giải phương trình:

3

.

x sin sin 2

x

sin 3

x

6 cos

x

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

2

3

3

2sin

x

cos

x

3sin

x

4sin

x

6cos

x

 0

Nhận thấy cos

x  không là nghiệm của phương trình.

0

Xét cos

x  , khi đó chia hai vế của phương trình cho

0

3osc

x ta được phương trình

2

2

3

2 tan

x

3 tan

x

x

4 tan

x

  6 0

  1 tan

3

2

2

tan

x

2 tan

x

3 tan

x

   6 0

tan

x

x

 0

 2 tan

 3

165

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

tan

x

 

2 tan

 .

,

k

 k

tan

x

 

3

  

    k  3

     x 

Bài 6. Giải phương trình:

.

1 3sin 2

x

2 tan

x

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

3

2

 1 3.

2 tan

x

2 tan

x

tan

x

4 tan

x

 

1 0

x 2

2 tan  1 tan

x

tan

x

 

1

2

tan

x

x

3 tan

x

  

0

 1 2 tan

 1

3

17

tan

x

   

4

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

3

3

2

Bài 1. Giải phương trình:

c os

x

4sin

x

x 3cos sin

x

sin

x

 . 0

3

3

Bài 2. Giải phương trình:

.

3

3

c os2

x

sin x   3sin x   cos x  sin 2 x  6  3            

Bài 3. Giải phương trình :

.

sin 2 cos

 x c  x

os sin

x x

sin

xc

os2

x

6 cos

x

x

Bài 4. Giải phương trình:

.

 1 2 cos 2

3

3

x

2 sin

x

Bài 5. Giải phương trình:

sin 2

x

.

 c 2 os 2 sin

x

3cos

x

2

Bài 6. Giải phương trình:

sin

x

cos

x

4sin

x

 . 0

2

sin

x

tan

x

3sin

x

cos

x

sin

x

Bài 7. Giải phương trình:

 . 3

 1

3

Bài 8. Giải phương trình:

.

166

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

2 sin  2sin x x    4    

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

3

8cos

c

os3

x

x

   3 

Bài 9. Giải phương trình:

.

0

cos

x

   1 2

3

sin

x

2 sin

x

.

Bài 10. Giải phương trình:

0

     4    cos x

sin

x

x

3

Bài 11. Giải phương trình:

.

6sin

x

2 cos

x

5sin 4 cos x x 2cos 2

x

c

os

3

x

 2 3

sin

x

3 cos

x

Bài 12. Giải phương trình:

x

x

 3

 sin 3    os 2 c  

   6     6 

    sin 2  

      

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Các công thức sử dụng :

.

i. sin

a

sin

b

2sin

c os

 a b 2

 a b 2

.

ii. sin

a

sin

b

2sin

cos

 a b 2

 a b 2

.

iii. cos

a

cos

b

2cos

c os

 a b 2

 a b 2

.

sin

iv. cos

a

cos

b

 

2sin

 a b 2

 a b 2

Lưu ý :Các thừa số chung

.

có thừa số chung là sin

x

cos

x

 

x 1 sin 2 ; os2 ;1 tan ;1 cot

x c

x

x

.

có thừa số chung là sin

x

cos

x

 

x 1 sin 2 ; os2 ;1 tan ;1 cot

x c

x

x

167

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

2

 1 cos

x

 1 cos

x

.

sin

x

, tan

x

có thừa số chung là 



2

2

 1 sin

x

 1 sin

x

.

c os

x

, cot

x

có thừa số chung là 



Lưu ý với Bài tập mẫu số 5. Các bài toán thường cho dưới dạng này.

Thông thường loại toán này có dạng :

 a b

sin

x

.

f

cos

x

f

sin

x

 0

f

sin

x

 a b

sin

sin

x

Ta phân tích được

 x g

Khi đó phương trình trở thành :

sin

 a b

sin

x

f

cos

x

g

sin

x

f

cos

x

g

sin

x

0

 a b 

x 

0 

    0 

Ví dụ :Giải phương trình :

2

2

9 sin

x

x

x

7

x

6 cos

x

2 sin

x

9sin

0

7

6 cos

x

x

x

7 2 sin

x

 

1 sin

0

7

 0

x

2sin

x

2 sin 

   0 

 1 sin     

     x 6 cos

x  

sin

x

  1 sin 6 cos  x       1 sin 1 sin 

1

6 cos

x

2sin

x

  7

0

   

BÀI TẬP MẪU

Lưu ý :

Nhóm các số hạng với nhau dùng công thức cộng, trừ lượng giác

Bài 1.

.

Giải phương trình: sin

x

sin 2

x

sin 3

x

cos

 x c

os2

 x c

os3

x

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

sin

x

sin 3

x

sin 2

x

cos

x

c os3

x

c

os2

x

2sin 2 cos

x

x

sin 2

x

2 cos 2 cos

x

 x c

os2

x

sin 2

x

2 cos

x

c

os2

x

2 cos

x

 1

  1

168

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

 

k

 2

c os2

x

 

2 cos

x

 x c

os2

x

  0

,

k

 1 sin 2

x

c

1 2 os2

x

x

   sin 2 

 2 3    k 2 8

    

Vậy phương trình có nghiệm là:

x  k  2 ; , k   2 3    k 8 2        .  

Bài 2.

Giải phương trình: 1 cos

 x c

os2

 x c

os3

x

 . 0

Lời giải:

cos 3

x

cos

x

c os2

x

  0

2 cos

2 cos

c os

 0

Phương trình tương đương với: 

   1

x 2 3 2

x 3 2

x 2

cos

0

x

 k

,

k

c os

0

k

   

 x x 3 2

     x 

 2  3

 2 3

 2 cos c os  c os   0 c os x cos cos  0 x 3 2 x 3 2 x 2 x 3 2 x 2      

Bài 3.

Giải phương trình: cos

 x c

os2

x

c os3

 x c

os4

x

 . 0

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

cos

x

c os4

x

c os2

x

c os3

x

  0

2cos

c

os

2 cos

c

os

 0

x 3 2

x 5 2

x 2

x 5 2

k

 2

c os

0

cos

  

0

 k

,

k

x 2 x

x

c os

0

k

x 5 2

      

 2  5

 2 5

    x       x 

169

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

cos c os  c os   0 c os x cos cos  0 x 5 2 x 3 2 x 2 x 5 2 x 2      

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 4.

Giải phương trình: sin 3

x

sin

x

sin 2

x

 . 0

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

sin 3

x

sin

x

sin 2

x

  0

2 cos 2 sin

x

x

x 2 sin cos

x

 0

2

sin

x

cos

x

c

os2

x

  0

sin

x

2 cos

x

cos

x

   0 1

sin

x

0

sin

x

cos

x

x

  

0

cos

x

,

k

 1 2cos

 1

k

 2

 x     x 

 k  3

cos

x

      

   1 1 2

Bài 5.

Giải phương trình: os10

c

 x c

os8

 x c

os6

x

  . 1 0

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

2

c

os10

x

c

os6

x

c os8

x

  

0

x 2sin 8 sin 2

x

2 sin 4

x

 0

   1

 

x 4sin 4 sin 2

os4

x

c

os2

x

  0

x sin 4 sin 2 sin 3 sin

x

x

x

 0

 x c

k

sin 3

x

0

,

k

sin 4

x

0

  

k

  x    x 

 3  4

Bài 6.

.

Giải phương trình: 1 sin

x

cos 3

x

cos

x

sin 2

 x c

os2

x

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

c

os2

x

c os3

x

cos

x

sin

x

sin 2

x

 0

 1

2

2 sin

x

2 sin 2 sin

x

x

sin

x

x

 0

 1 2 cos

sin

x

2 sin

x

2 sin 2

x

 

1 2 cos

x

 0

170

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

sin

x

 k

x

0

sin

x

x

1 2 sin

x

  0

cos

x

k

 2

,

k

x

 1 2 cos



 3

x

sin

x

k

 2 ,

x

k

 2

       

1 2 1 2

 6

 5 6

           

Bài 7.

2

2sin

x

x

 

3 4 cos

x

.

Giải phương trình: 

 1 2 sin 2

 1

Lời giải:

2

2

2sin

x

x

 

x

4sin

x

 1

 1 2 sin 2

 1

 3 4 1 sin

2 sin

x

x

2 sin

x

x

 1 2sin 2

 1

 1 2 sin

  1

2sin

x

x

sin

x

  0

sin

x

2 sin

x

x

 0

 1 sin 2

 1 2 cos

 1

sin

x

0

x

 k

sin

x

  

x

k

 2 ,

x

k

 2 ,

k

 6

 5 6

cos

x

x

 

k

 2

       

1 2 1 2

 3

       

Bài 8.

cos

x

sin

x

x cos sin

x

x cos cos 2

x

.

Giải phương trình: 

Lời giải:

2

2

x cos sin

cos

cos

sin

x

x

x

os

x

sin

x

Phương trình tương đương với:  x c

cos

x

cos

x

sin

x

sin

x

cos

x

sin

x

 0

x

 k

cos

x

0

cos

x

0

2

 

c os

x

cos

x

sin

x

  0

,

k

cos

x

sin

x

tan

x

1

  

  

 k

     x 

 2  4

Bài 9.

2

2sin

x

x

2sin

x

4

4 cos

x

 . 3

Giải phương trình: 

 1 3cos 4

171

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Lời giải:

2

2 sin

x

x

2 sin

x

4

x

  3 0

 1 3cos 4

  4 1 sin

2 sin

x

x

2 sin

x

4

x

1 2 sin

x

 0

 1 3cos 4

   1 2 sin



x

3cos 4

x

3

 . 0

   1 2sin



Bài 10.

2

3

Giải phương trình:

cos

x

sin

x

cos

x

 . 0

Lời giải:

2

3

2

  0

cos

c os

sin

x

x

x

cos

x

cos

x

sin

x

1

c os

x

 0

   1

Phương trình tương đương với:  

x

cos

x

sin

x

x sin cos

x

 . 0

   1 cos



Bài 11. Giải phương trình

x

sin

x

.

 4

 4

2 2

 sin 2  

  

  

  

Lời giải:

Phương trình tương đương với

x

sin

x

x

sin

sin

x

 4

 4

2   2

 4

 4

 4

 sin 2  

  

  

 sin 2  

  

  

x 2 cos sin

x

sin

x

sin

x

2 cos

x

0

   1

 4

    4

    4

  

    

  

  

  

  

sin

x

0

 k

x

  

  

,

k

 .

k

 2

cos

x

 3

   4     x 

 4 1 2

     

Bài 12. Giải phương trình

172

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

c os2 x  3sin 2 x  5 2 sin x   3.  9 4      

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Lời giải:

Phương trình tương đương với

  3 1 sin 2

 5 sin

2

sin

x

cos

x

cos

sin

x

cos

x

x

cos

x

0

c os2 x  3sin 2 x  5 2 sin x    3 c os2 x  x  x  cos x  0  9 4



 3 sin

 5 sin

sin

x

cos

x

x

cos

x

cos

x

sin

x

0

 5 3 sin

sin

x

cos

x

4sin

x

2cos

x

  0

sin

x

cos

x

  0

tan

x

      x

1

 k



 5

 4

   x    x

Bài 13. Giải phương trình

2

tan

x

sin

.

x 2 tan

 x

tan  1

2 2

 4

  x 

  

Lời giải:

Điều kiện cos

x  . 0

Khi đó phương trình tương đương với

2

2

2

cos

x

tan

x

tan

x

sin

x

cos

x

sin

x

x cos sin

x

sin

x

cos

x

1 2

1 2

sin

x

 (thỏa mãn điều kiện).

   x

 k

  x

k

 2

  x

k

 2 ,

k

.

 5 6

 4

 6

1 2 cos

sin

x

x

0

   

 sin x sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x sin x   0 1 2 1 2      

Bài 14. Giải phương trình

sin

x

sin 2

x

sin 3

x

 

1 cos

 x c

x os2 .

Lời giải:

Phương trình tương đương với

2

sin 3

x

x

x

x

x

2sin 2 cos

x

x

sin 2

x

x

cos

x

 

sin 2

x

 2 cos

x

2 cos

x

 x

cos

x

2 cos

x

x

0

sin 

sin 2    1

   c os2 1  cos

cos    1

  1 2sin

2cos    1

173

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

cos

x

0

cos

x

   

x

 k

   x

k

 2

  x

k

 2

x

k

 2 ,

k

 .

 2

 2 3

 6

 5 6

1 2

sin

x

       

1 2

Bài 15. Giải phương trình

9sin

x

6cos

x

3sin 2

x

c os2

x

 8.

Lời giải:

Phương trình tương đương với

2

9 sin

x

6 cos

x

 

x

8

1 2sin 2

9 sin

x

6 cos

x

x

x

0

6 cos

x

x

2 sin

7

x

0

   1 sin

x x 6 sin cos    1 sin     x 1 sin

2 sin 

  7 

x

6 cos

x

2sin

x

7

  

0

x

  

0

x

k

 2

   1 sin



 1 sin

 2

Bài 16.

.

Giải phương trình: sin

x

sin 2

x

sin 3

x

cos

 x c

os2

 x c

os3

x

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

sin

x

sin 3

x

sin 2

x

cos

x

c os3

x

c

os2

x

2sin 2 cos

x

x

sin 2

x

2 cos 2 cos

x

 x c

os2

x

sin 2

x

2 cos

x

c

os2

x

2 cos

x

 1

  1

x

 

k

 2

c os2

x

 

2 cos

x

 x c

os2

x

  0

,

k

 1 sin 2

x

c

1 2 os2

x

x

   sin 2 

 2 3    k 8 2

    

Vậy phương trình có nghiệm là:

x  k  2 ; , k   2 3    k 8 2        .  

Bài 17.

3

Giải phương trình:

2sin

 x c

os2

x

cos

x

 . 0

174

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

3

2

2

2sin

x

x

cos

x

  0

2 sin

x

x

1 cos

x

 0

  1 sin

  

   1 2 sin

x

 1 cos

x

 1 sin

x

x

 0

   2 1 cos





   1 cos

x

x

 1 sin

x

 0

   1 cos

  2 1 cos



 1

x

x

x

x

cos

x

 0

   1 cos

 2 sin

2

x

cos

sin

x

x

x

cos

x

 0

   1 cos

 2 sin

 

x

cos

sin

x

x

sin

x

cos

x

2

 0

   1 cos

 1 2 sin cos    



k

,

k

 x cos

0 x

0

cos tan

x x

1    1

x

 k

1 cos     x sin 

  

 x   

2      4

Bài 18.

3

Giải phương trình:

2cos

x

c os2

x

sin

x

 . 0

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

3

2

2

2 cos

x

2 cos

x

 

1 sin

x

  0

2 cos

x

x

1 sin

x

 0

  1 cos

  

x

 1 sin

x

 1 cos

x

x

 0

   2 1 sin





   1 sin

x

x

 1 cos

x

 0

   1 sin

  2 1 sin



 1

x

1 2sin cos

x

x

2 sin

x

2 cos

x

 0

   1 sin



x

sin

x

cos

x

sin

x

cos

x

2

 0

   1 sin





x

k

 2

x

0

x

1

,

k

sin

x

cos

x

0

tan

x

  1

1 sin    

sin   

 k

   2     x 

 4

Bài 19.

2

sin 3

x

x cos cos 2

x

tan

x

tan 2

x

Giải phương trình:

.

175

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Lời giải:

Điều kiện: cos . os2

x c

x  . 0

2

2

Khi đó phương trình tương đương với:

x cos .sin 3

x

x

c os

x

sin 2

x

2

3

x

cos

x

3sin

x

4 sin

sin

x

2 cos

x .cos

x

x os2 sin c

x

os2 sin x c 

3

2

x cos sin

x

3 4sin

sin

x os2 sin

x

2 cos

x

x

 x c

, thỏa mãn điều kiện.

Xét sin

x

x

0

2

3

cos

x

3 4 sin

x

c

x os2 sin

x

2 cos

x

Xét

   

k 

2

2

cos

x

3 4sin

x

2 cos

x os2 sin c

x

x cos cos 2

x

x os2 sin c

x

x

c os2

x

sin

x

cos

x

0

 , đối chiếu với điều kiện thì phương trình này tương đương với:

.

sin

x

cos

x

  0

tan

x

  

1

x

 k

 4

Vậy phương trình có nghiệm là:

.

x     , k k , k   4      .  

Bài 20. Giải phương trình:

2sin 3

x

2 cos 3

x

1 sin

x

1 cos

x

Lời giải:

Điều kiện: sin cos

x

x  . 0

Khi đó phương trình tương đương với:

3

 x c

os3

x

x

4sin

x

3 c 4 os

x

3cos

x

 2 sin 3

 2 3sin

1 sin

x

1 sin

x

2

2

x

cos

x

x

cos

x

sin

x

c os

x

x sin cos

x

1 cos 

x  4 sin



  2 3 sin

1  cos x  x x cos sin x x sin cos

.

Xét sin

x

cos

x

  0

tan

x

      x

1

 k

 4

Xét

x

x

x 2sin cos

x

x 4sin cos

x

   1 1

  2 3 4 1 sin cos

1 x sin cos

x

2

sin 2

x

2 sin 2

x

  1

2 sin 2

x

sin 2

x

   1 0

sin 2

x

x

 0

 1

 1 2 sin 2

 1

176

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

 k

sin 2

x

1

 k

sin 2

x

 

   

1 2

 k

 4   12  7 12

      x     x 

Vậy phương trình có nghiệm là:

x    , k   , k k    k ,    4 12 2  7 12      .  

Bài 21. Giải phương trình:

2

 1

  2 1 sin

 x x sin

cos  x cos  x cos  x

Lời giải:

Điều kiện: sin

x

cos

x

 0

Khi đó phương trình tương đương với

x

 1 sin

x

cos

x

x

cos

x

 1 sin

x

  1 sin





 1

 2 sin



x

sin

x

cos

x

x sin cos

x

 0

   1 sin



 1

k

 2

x

2

 thỏa mãn điều kiện.

x

 1 cos

x

  0

,

k

   1 sin

 

x x

1     1

sin   cos 

x

    2   

k

 2

   

Bài 22. Giải phương trình:

2

2

3cot

x

2 2 sin

x

x

 2 3 2 cos

Lời giải:

Điều kiện: x

k

Khi đó phương trình tương đương với:

2

2

2 2 sin

x

x

 2 3 2 cos

3cos 2 sin

x x

2

2

4

2

2

2

cos

x

2 sin

x

3cos

x

2 sin

x

 0

 x  2sin x x  2 2 sin x 3 2 cos sin x x  0

177

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

  3cos  cos 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

2

3cos

x

2sin

x

0

2 cos

x

cos

x

2

0

2

2

cos

x

2 sin

x

0

2cos

x

3cos

x

 

2 0

   

   

cos

x

x

 2

k

,

k

 thỏa mãn điều kiện.

3

x

    3      k

2

cos

x

cos

   

1 2   1 2

     

Bài 23. Giải phương trình

2 2 cos 2 x  x sin 2 cos x   4sin x   0  3 4  4            

Lời giải:

Phương trình tương đương với

 2 2 cos



 x sin 2 sin

 2 2 sin

sin

x

cos

x

x

sin

x

sin 2

x

4

 0

 4 cos

2

2

x

sin

x

sin 2

x

  4

x

sin

x

x 2 sin cos

x

 

5 sin

x

cos

x

Ta có

 4 cos

 4 cos

2

cos

x

sin

x

x

sin

x

  5

cos

x

sin

x

x

sin

x

5

 4 cos

 1 cos

Vậy phương trình tương đương với

cos

x

sin

x

cos

x

sin

x

x

sin

x

5

 0



 1 cos

 k

x

    4

tan

x

 

1

cos

x

sin

x

0

k

 2 ,

k

cos

x

sin

x

 

1 0

sin

x

  

 4

2 2

  

  

    

x

 2   

k

 2

      x    

Vậy phương trình có nghiệm là

x  sin x sin x  cos x  x  cos x  x  cos x  0 2 2

2

x     ; k  k   2 ;  k  2 , k   4  2       

Bài 24. Giải phương trình

178

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

2sin x sin x  cos x  2 sin 2 x  sin 4 x 2 2

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Lời giải:

Phương trình tương đương với

2

2

2sin

sin

x

cos

x

x

x

x

 2 sin 2 1 cos 2

2

2

2

x

2 sin

sin

x

cos

x

2 2 sin

x

sin 2

x

sin

x

sin

x

cos

x

2 sin 2

x

 0

 k

 k

sin

x

0

k

 2 ,

k

x

sin 2

x

sin

 4

sin

x

cos

x

2 sin 2

x

0

  

 4

  

  

 x    

k

 2 3

   x     x      4 

Vậy phương trình có nghiệm là

2sin x sin x  cos x  2 sin 2 x  x .2sin 2 cos 2 x 2 2

x   ; k  k  2 ;  k , k   4  4  2 3       

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Giải các phương trình sau:

3

3

Bài 1. Giải phương trình :

.

c os

x

sin

x

sin

x

cos

x

3

Bài 2. Giải phương trình:

.

3 cos

x

sin

x

sin 2

x

sin

x

cos

x

2

Bài 3. Giải phương trình:

3 cos

 x c

os

x

2sin

x

  . 2 0

2

Bài 4. Giải phương trình:

sin

x

sin

x

3 c os

x

 . 0

2

Bài 5. Giải phương trình:

cos

x

x 4sin cos

x

 . 0

3

Bài 6. Giải phương trình:

.

2sin

x

sin

x

3 2 cos

x

cos

 x c

os2

x

3

Bài 7. Giải phương trình:

.

2

3

4

2

4

4cos x  3 2 sin 2 x  8cos x

Bài 8. Giải phương trình:

.

sin

x

sin

x

sin

x

sin

x

cos

 x c

os

 x c

3 os

 x c

os

x

179

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

4

4

Bài 9. Giải phương trình:

.

cos

sin

sin 2

x

x 2

x 2

4

2

sin

x

sin

x

  . 1 0

Bài 10. Giải phương trình: 

 3 sin

 3 sin

x 2

x 2

Bài 11. Giải phương trình:

.

2 2 sin x   1 sin x 1 cos x    4    

Bài 12. Giải phương trình:

.

1 sin

x

1 sin 2

x

2 sin 4

x

Bài 13. Giải phương trình: 5sin 3

x

3sin 5

x

 . 0

Bài 14. Giải phương trình:

.

2cos 2

x

8cos

x

  7

1 cos

x

2os c

 3

Bài 15. Giải phương trình:

.

  1 cot  x x  x x cos sin

2

2

 3cos x

Bài 16. Giải phương trình:

.

3

3

1 sin sin   x c os sin x  2 cos  x 2 x 2 x 2   4    

Bài 17. Giải phương trình:

.

sin

x

x

c os

x

x

c os2

x

  1 cot

  1 tan

3 2

x

Bài 18. Giải phương trình:

.

x

0

  4 1 cos

5sin sin

x x

 

5 tan x tan

2

sin

x

2 sin

x

Bài 19. Giải phương trình:

.

sin

x

sin

3

x

2

2 2

 4

 4

2 cos x  1 cot

 x

  

  

  

  

  

  

Bài 20. Giải phương trình :

2sin

x

c

os2

x

sin 2

x

 

x 1 2 cos .

 1

Bài 21. Giải phương trình:

c os2

x

3sin 2

x

5sin

x

3cos

x

 3.

Bài 22. Giải phương trình:

3

2

 2 sin

 sin 2   1 2  x 1

4

6

4cos x  2 cos x 2sin x  x  cos x  0. x 2sin

Bài 23. Giải phương trình:

c os

 x c

os2

x

2sin

x

 . 0

180

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 24. Giải phương trình: 4cos

x

2 cos 2

 x c

os4

x

 . 1

c

os2

x

  5

x

sin

x

cos

x

Bài 25. Giải phương trình:

.

  2 2 cos



3

Bài 26. Giải phương trình:

.

2sin

 x c

os2

x

sin

x

4sin 2

x

3cos 2

x

x

Bài 27. Giải phương trình:

 3 4 sin

  . 1

sin 4

x

c

os4

x

 

x

cos

x

Bài 28. Giải phương trình:

 1 4 sin

Bài

29.

phương

trình:

3

sin 2

x

cos

x

3

2 3 cos

x

3 3 cos 2

x

3 cos

x

sin

x

3 3

 0

8

Giải 

BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Bài 1. Giải phương trình:

.

x 4cos sin x  sin  x  c os2 x  6  6            

Bài 2. Giải phương trình:

.

x 4sin sin x  sin  x  4 3 cos xc os x  c os x   2  3  3  2 3  4 3                        

Bài 3. Giải phương trình:

2sin 5

x

x

2 sin

x

cos  x  cos x   3 3   2 x 4sin sin 2  6 x 2            

Bài 4. Giải phương trình: 

 1 2 cos 2

 1

ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ CÙNG MỘT CUNG LƯỢNG GIÁC

Đặt t

ax b

 , với a nhỏ nhất, mục đích là biến đổi các biểu thức thành các cung lượng giác

t

t , 2 , 3 ,...

t

. Sau đó dùng công thức hạ bậc để giải phương trình với ẩn là .t

181

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình

sin   sin  .  3 10 x 2 1 2  10 x 3 2            

Lời giải:

Đặt

t

  

  , khi đó phương trình trở thành

t 3

 3 10

x 2

 10

x 3 2

3

sin

t

sin

2sin

t

t sin 3

2sin

t

3sin

t

4sin

t

 

   t 3

1 2

sin

t

0

2

t

t

  0

t

  

0

 t sin 2 cos 2

 1

  sin 1 4sin

t os2 c

   

1 2

x

k

 2

 k

t

k

 2 ,

k

 k

 6

     t 

k

 2

 3 5  14 5  4 5

      x     x 

Bài 2. Giải phương trình

x   x sin 2 sin x  .  4  4        sin 3     

Lời giải:

Đặt

, khi đó phương trình trở thành

t

3

x

x

t 3

; 2

x

2

t

     4

 4

 2

3

 t sin 3

2

t

t

t os2 c

  0

c os2

t

 t sin 1

  sin 3 4 sin

0   1

 t sin     0 t os2 c 

182

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

    sin t  t sin 3  t sin cos 2 t  3sin t  4sin t  t sin cos 2 t  2  sin 2 t     

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

 

 k

 4

,

k

2

k

 k 

 1

 t   2 t 

x

 k

    

 4

Bài 3. Giải phương trình

3

8cos x  c x os3 .    3    

Lời giải:

Đặt

t

3

x

x

t 3

 , khi đó phương trình trở thành

     3

3

3

3

3

8 cos

t

8cos

t

 

c

t os3

8cos

t

3cos

t

4 cos

t

 t os 3 c

  

cos

t

0

2

t

  

0

t

  

0

 t cos 2 cos 2

 1

 t 3cos 4 cos

 1

t os2 c

 

   

1 2

 k

x

 6

 k

t

 k

 k

x

 2 3  k

 3

   2     t  

       x    

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình

x   5sin x   x os3 . c  3  6  sin 2           

Bài 2. Giải phương trình

6

32 cos x  sin 6 x  1.    4    

Bài 3. Giải phương trình

183

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

2cos x  sin 3  x c x os3 .    6    

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 4. Giải phương trình

2cos

 

1 3cos

.

x 6 5

x 8 5

Bài 5. Giải phương trình

c os9 x  2 cos 6 x    2 0  2 3      

NHÂN HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VỚI MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

3

Bài 1. Giải phương trình:

sin

5cos

x

sin

x 5 2

x 2

Lời giải:

Nhận thấy os

c

 , không là nghiệm của phương trình.

0

x 2

Nhân hai vế của phương trình với cos

 , ta được:

0

x 2

2sin

c os

3 10cos

x

sin

c os

sin 3

x

sin 2

x

3 c 5 os

x

sin

x

x 5 2

x 2

x 2

x 2

3

3

3sin

x

4sin

x 2 sin cos

x

5cos

x

sin

x

x

3

2

sin

x

5cos

x

2 cos

x

 

3 4sin

x

 0

2

sin

x

cos

x

x

cos

x

 0

 1 5cos

 1

Xét sin

x

  0

2sin

c os

  0

sin

  

0

x

k  2

, do os

c

 . 0

x 2

x 2

x 2

x 2

.

Xét cos

x

   

1 0

x

 k

 2

21

cos

x

c

os

  k

2

2

  1 5

5 cos

x

cos

x

   1 0

Xét

x         x 

k

 2

21

cos

x

c

os

  1 5

     

184

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

x

x

Bài 2. Giải phương trình:

 . 1

 2sin 3 1 4sin

Lời giải:

nhận thấy cos

x  không là nghiệm của phương trình:

0

nhân hai vế của phương trình với cos

x  , ta được

0

2

3

c

os

x

cos

x

cos

x

2sin 3

x

4 cos

x

3cos

x

cos

x

  x 2sin 3 1 4 1

x

k

x

x 2 sin 3 cos 3

x

cos

x

sin 6

x

cos

x

sin

 2

       

  

k

 14  10

 2 7  2 5

  x 

PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC

Sau khi biến đổi phương trình có dạng:

F

x sin , cos , tan ,cot

x

x

x

 0

G

x sin , cos , tan , cot

x

x

x

 

 

Lưu ý: Khi giải phương trình dạng này ta phải xét điều kiện mẫu thức khác 0, nên khi giải xong

phải đối chiếu lại xem ngiệm có thỏa mãn điều kiện không.

Ta nên để điều kiện có nghiệm của phương trình dưới dạng thô.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình:

1 cos

x

1 sin 2

x

2 sin 4

x

Lời giải:

Điều kiện: sin 4

x

4sin cos cos 2

x

x

x

 (*).

0

Khi đó phương trình tương đương với:

1 cos

x

1 x 2sin cos

x

2 4sin cos cos 2

x

x

x

185

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

x 2sin cos 2

x

c

os2

x

  1

x 2 sin cos 2

x

2 sin

x

  0

2 sin

os2

x

sin

x

0

 x c

sin

x

0

2

sin

x

2sin

x

sin

x

  

0

sin

x

1

 1

sin

x

      

  1 2

x

k

 2

sin

x

,

k

Đối chiếu với điều kiện (*), thì chỉ có nghiệm

1   2

k

 2

 6  5 6

     x 

Bài 2.

2

x

Giải phương trình:

0

sin

x x

 

 c sin 2

os2 x

2 sin 

os4 x c  x cos

Lời giải:

sin

x

cos

x

sin 2

x

0

 (*).

Điều kiện: 

Khi đó phương trình tương đương với:

2

2sin

 x c

os4

 x c

os2

x

  

0

1

c os2

 x c

os4

 x c

os2

x

 0

2

2 cos 2

x

2 cos 2

x

  0

c

os2

os2

x

 0

 x c

 1

Xét cos 2

x

   1 0

sin 2

x

 loại, do không thỏa mãn điều kiện (*).

0

cos 2

x

  0

cos

x

sin

x

cos

x

sin

x

0

Xét

 , đối chiếu với điều kiện (*) ta suy ra chỉ có:



cos

x

sin

x

  0

tan

x

      x

1

 , k

k

 là nghiệm của phương trình.

 4

Bài 3.

2

Giải phương trình:

1 2sin  x sin 2 x  1 3 2 sin   x  1 2sin cos x x

Lời giải:

Điều kiện: sin 2

1x  (*).

Khi đó phương trình tương đương với:

2

2

186

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1 2sin  x  3 2 sin x  sin 2 x  sin 2 x   1 2sin x  3 2 sin x   2 0

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

k

 2

sin

x

x

2

  0

sin

x

,

k

 2 2 sin

2   2

k

 2

     x 

 4  3 4

Đối chiếu với điều kiện (*) chỉ có nghiệm

là nghiệm của phương trình.

x

k

 2

 3 4

Bài 4.

Giải phương trình:

 x c os4 1 2sin 2 x

x sin 4  c os4

x

1

Lời giải:

x

0

x

0

Điều kiện:

c os4

x

0

c os2

x

0

sin 2   1 

sin 2   

Khi đó phương trình tương đương với:

1

2 c os 4

x

x 2sin 2 sin 4

x

2 sin 4

x

x 2sin 2 sin 4

x

x sin 2 sin 4

os2

x

0

 , đối chiếu với điều kiện thì phương trình này vô nghiệm.

 x c

 1

Bài 5.

Giải phương trình:

.

3

sin cos

x x

 

x sin 2 x c os2

 

x sin 3 x c os3

lời giải:

x

Phương trình tương đương với:

.

  3

3

sin cos

x x

 

x sin 2 x c os2

 

x sin 3 x c os3

c os2

c

x

 sin 2 1 2 cos  x os2 1

 x 

x

m

cos

x

 

0

 6

,

m

tan 2

x

3

c x 1 2 os    

x

 

2

m

      x 

1 2    k 6 2

 3

     

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Giải các phương trình sau:

2

cos

x

Bài 1. Giải phương trình:

.

sin 2  x c

2cos  x  os3 x

1  x  x sin 3 sin

x

cos

187

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2os c

 3

Bài 2. Giải phương trình:

.

  1 cot  x x  x x cos sin

3

3

x

2 sin

x

 3cos x

Bài 3. Giải phương trình:

sin 2

x

.

 c 2 os 2 sin

x

3cos

x

x

Bài 4. Giải phương trình:

.

1  cot 2

x

 2 cos cot

x x

 

sin 1

tan

x

2

2

cot

x

c os4

x

Bài 5. Giải phương trình:

.

 16 1

 x os2 c

tan x

x

c

x

4 c os 4

x

Bài 6. Giải phương trình:

.

x

cot

x

tan

4 sin 2    4 

   

4 os 2    4 

  

x

cot 2

x

2sin 2

x

2

Bài 7. Giải phương trình:

.

 c 3 os2 cot 2

 x c

os2

x

4

4

sin

c

Bài 8. Giải phương trình:

.

7 8

cot

x

cot

x

x  3

x  6

  

   

os   

  

Bài 9. Giải phương trình:

.

3

sin cos

x x

 

x sin 2 x c os2

 

x sin 3 x c os3

Bài 10. Giải phương trình:

.

1 cot 2

x

 os2 x c 1 2 sin 2 x

Bài 11. Giải phương trình: tan 3 cot

x

x   .

1

x

Bài 12. Giải phương trình:

 . 1

sin cot 5 x x c os9

Bài 13. Giải phương trình:

.

3

 x cos 2 2 cos

2sin cos x x  x 1 sin

x

Bài 14. Giải phương trình:

.

 x c os4 1 2sin 2 x

x sin 4  c os4

x

1

x 4 cos sin

x

x

c os2

x

sin

  

  

Bài 15. Giải phương trình:

0

   6   x sin

   cos

 6 x

BÀI TẬP TỔNG HỢP

188

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2;

Bài 1. Tìm

x   thỏa mãn phương trình

x

 2 2

 1

sin

2 sin

1

x

1

 1 x 2  1 x

 4

  

  

1

2

1

2

1

2

2

Bài 2. Tìm các nghiệm

sin

sin

cos

 0

 x x

x 3

 x

x 3

 x

x  ; 1   10    

Bài 3. Giải phương trình:

2011tan x  cot x  2 1005 3  1 sin 2 x      

Bài 4. Giải phương trình:

2

x

cot

x

  2 1 cos



   1

sin x

x 

 1 cos

sin

x

Bài 5. Giải phương trình:

sin 3 x  cos 3 x  2 2 cos   1 0 x    4    

Bài 6. Giải phương trình:

2

4

16cos

x

4

2sin 4

x

2

 4

1 tan   1 tan

x x

  

  

Bài 7. Giải phương trình:

2 cos

x

5 cos 2 3 2 tan

 

x x

Bài 8. Giải phương trình:

4

4cos

x

cos 2

x

cos 4

x

cos

1 2

x 3 4

7  2

Bài 9. Giải phương trình:

tan x  tan x  sin 3 x  sin x  sin 2 x  6  3            

Bài 10. Giải phương trình:

5

3

2

2sin

x

2sin

x

cos

x

cos 2

x

sin

x

 0

189

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 11. Giải phương trình:

x

1 cos 2

x

1 cos 3

x

  1 cos





1  2

Bài 12. Giải phương trình:

3

3

sin x  cos x  x cos 2 tan x  tan x   4  4            

Bài 13. Giải phương trình:

2cos cos 2 cos 3

x

x

x

 

5 7 cos 2

x

Bài 14. Giải phương trình:

2

2

3

3

tan

x

tan

x

sin

x

x

 0

   1 cos

Bài 15. Giải phương trình:

2

2

2cos x  cos x   sin 2 x  3cos x   sin x 1 3 8   3  2 1 3      

Bài 16. Giải phương trình:

2

3

x

2

0

  1 sin

x sin 2 x sin 2

2 x sin 2 2 x sin

  

  

Bài 17. Giải phương trình:

2

2

 1

cos x   cos x   sin x   3  2 3 1 2            

Bài 18. Giải phương trình:

3

3

sin

x

x

1 8

tan

x

tan

x

sin 3 x x    6 

   

cos   

cos 3    3 

Bài 19. Giải phương trình:

x cos 3 sin 2

x

x cos 4 sin 2

x

sin 3

x

 1 cos

x

1 2

Bài 20. Giải phương trình:

2

sin

x

2 sin

x

x

sin

3

x

2

2 cos x  1 cot

 x

2 2

 4

 4

  

  

  

  

 sin  

  

190

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

2

Bài 21. Giải phương trình:

tan x  cot x  tan x  cot x  2 2 3 3

Bài 22. Giải phương trình:

2

sin

x

sin

x

sin

x

cos

x

 1

Bài 23. Giải phương trình:

cos

x

x

sin

x

4cos 2 cos

x

x

2 2cos

x

  2 0

 3 sin 2

Bài 24. Giải phương trình:

2 cos 2

x

cos 4

x

x tan 2 cot

x

  

 1

3 4

Bài 25. Giải phương trình:

3 4 sin 2

x

2 sin 4

x

2

2

  

6 sin

x

2 cos

x

sin

  x 

   3     3 

Bài 26. Giải phương trình:

2

x   8sin x  2 sin x  2  4  sin 3     

Bài 27. Giải phương trình:

sin

x 2

1

2sin

x

sin

2sin

 6

x 2

 3

3 x 2

 3

1   

  

  

  

  

  

Bài 28. Giải phương trình:

2

x

 1 cos

x

2sin

x

sin 2

x

   1 sin



1 2

7 6

   4 

  

cos 2

x

tan

x

1

3 2

Bài 29. Giải phương trình:

2 2 1 cos cos 2

x

x

2

x

1

2 cos

x  3 8

cos 4   

  

Bài 30. Giải phương trình:

191

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1.1.

sin 9 x  cos x  sin 8 x  cos8 x  2 2 2 2

1.2.

sin 9 x  cos x  sin 8 x  cos8 x  sin 2 x  cos 2 x  0 2 2 2 2

Bài 31. Giải phương trình:

x

1.1.

2 cot

 sin 3   x

sin

 4 cos

    x

 4

  x 

  

x

1.2.

1

 x  3 sin 2 1 2 cos  1 2cos

  cos 3 x cos 2 x

x

2

1.3.

x

3sin

x

2 cos

x

3cos

x

 5

 3 sin 2

2

2 cos

x

x

3

1.4.

4 3 sin

x

 0

2

sin

2cos x 2

1.5.

2

2

tan

2  sin  2 x  4sin x   1 1 sin x  6 1 2sin x            

1.6.

2 sin   x

x 4cos

cos 2

x

3

1 2

x 2

1.7.

cos

cos

x

2 sin 2

x

3

 8

x 2

 8

x 3 2

  

  

  

  

 2 2 sin  

  

2

x

cos

x

1 2 sin 2

x

 2 sin

1.8.

 

1 tan

x

  sin 5

x

x

2

x

x

3sin

x

x sin 4 cos

x

1.9.

 2 sin

sin 3  1 sin 2

 1

x

 x 1 cos 2 sin 2

x

sin

x

 1 sin

x

1.10.

 2 sin 3



x

x

2 sin

3 sin

x

cos

x

2 cos 3

x

3

 1 sin  

0

1.11.

 1

2 sin

x

2

3cot

x

tan

x

3 8 cos

x

1.12.

 0

192

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

3

3

x cos 3 cos

x

x sin 3 sin

x

2 3 2 8

1.13.

0

2sin 4

x

2

x

cot 3

x

4sin

x

cos

x

1.14.

 3 cos 2 cot 3

x

cos 2

x

 4

 4

  

  

  

  

3

3

cos

x

sin

x

cos

x

1.15.

 x sin 2

1.16.

9

6

x

3

x

x

2 sin

x

sin x 

 6 1 cos 2

 2 sin 2

 4 2 cos

1.17.

x

4

4

  sin x  3 cos x  0 x sin x cos 3 x sin 3 x cos 9 x sin 9 x cos 27      

1.18.

 

x

cos

x

 1 6 sin

1 cot 2 cot cos

x 2 x

1

cos 2

x

3 sin 2

x

  1

1.19.

sin

 3

  x 

  

2

1.20.

2

tan tan x  4 tan cos x  tan x x x 2    2    

1.21.

 4 cos 2

 1

  8sin 2 x   x  x cos x cos3 x cos 5 x cos  11 2      

1.22.

cos

x

3 sin

x

1 3 sin

cos

x

x

1

  3 1 

  

1.23.

2

sin

x

tan

x

2

x

x sin cos

x

2 2 cos 2 x  x sin 2 cos x   4sin x   0  4  3 4            

1.24.

 3 cos 2

2

2 sin

x

sin 2

x

x

1.25.

 2 sin 2

   1

3cos

x

2

     

   4     4 

2

1.26.

193

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

 tan sin sin x x   cos cos x x   1 1  4 x   2    

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

1.27.

2

4

2sin x sin x  cos x  2 sin 2 x  sin 4 x 2 2

1.28.

8 cos

x

2

sin 4

x

2

 4

 1 tan  1 tan

x x

  

  

  

  

1.29.

x

cos 3

x

sin 2

x

  

1 2 2

 2 sin 3

1.30. 5sin

x

2cos 3

x

 

1 5cos 3

x

2sin

x

 1

x

cos 5

x

sin

x

cos

x

2 cos 4

x

2 cos 2

x

1.31.

  1 tan

2

2

2

1.32.

2sin

x

x

0

2

x

 1 cot

 3 2 cos

   1

 4

  

  

  

  

x c

os

 1 2cos . os3

 x c

  x 4 

1.33.

x

sin

x

   

 2 cos

1 sin 2

x

1.34.

tan 2 tan 3

x x

1 2 sin 2

x

 2

2   

  

1

1.35.

cot   x 2sin 3   x 2 sin 2 os3 c  x x sin x  3      

1.36.

  2 1 sin 2

1

4cos

x

sin

 4

x 3 2

  

  

x sin x   c os2 x  0  3 4      

1.37.

2cos 2

x

2 cos

x

 1

   x

x

x

sin

x

x

1.38.

3

   4  2sin  sin

x

cos

x

2sin 2

2

cos 

2 sin 2 

   4 cos 2 1    x 1

x

  3 1 sin

3

2

3tan

x

3 tan

x

8cos

1.39.

2

tan

x

x 2

   4 

  

tan

xc

x

1

1.40.

x

cos

x

 3 sin 2

 x os3  1 2sin

2cos 2 x

194

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

4sin

x

cos

x

x

 4 1 sin cos

2

2

8 cos

sin

x

1.41.

x 2

   4 

  

x

1

cos 3 x  5 2

  sin 2  

  

2

 1 sin

x

.tan

tan

x

2 3

1.42.

 2

x sin

cos x

 4

x 2

  

  

2

1.43.

2sin

x

x

2sin

x

2 sin 3

2 sin 3

x

2 sin

x

 tan x  1 cos x   

1.44.

  1

2

 1 cos 2 x 1 cos  x   2 1   

1.45.

4 cos

x

x

x

sin 3

x

x

 2 sin 7

 12

 3

  

  

 cos 5  

  

  

 1 sin 2  

195

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam