Tập bài giảng Sức bền vật liệu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:89

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn bài giảng Sức bền vật liệu được viết trên cơ sở chương trình môn học Sức bền vật liệu. Người biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học vật rắn biến dạng theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sư phạm và yêu cầu chất lượng của một bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên có thể học các môn học tiếp theo của các ngành Công nghệ hàn, công nghệ Ô tô, công nghệ chế tạo máy… Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập bài giảng Sức bền vật liệu

LỜI NÓI ĐẦU Sức bền vật liệu là một phần kiến thức căn bản đối với kỹ sƣ thuộc các ngành kỹ thuật, vì vậy môn học này đƣợc bố trí trong chƣơng trình đào tạo của nhiều trƣờng đại học nhƣ Đại học Bách khoa Hà Nội, Đại học Giao thông vận tải, Đại học Thuỷ lợi, Đại học Xây dựng,… Ở trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này đƣợc giảng dạy cho sinh viên hệ đại học chuyên nghành Cơ khí. Hiện nay, các trƣờng đại học đều có tài liệu riêng giảng dạy về môn học này với nội dung, thời lƣợng và khối lƣợng kiến thức rất khác nhau do đặc thù của ngành. Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Sức bền vật liệu riêng cho sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết. Theo chƣơng trình môn học Sức bền vật liệu đƣợc xây dựng để giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí đƣợc xây dựng kế tiếp các nội dung cơ bản của Sức bền vật liệu đã đƣợc viết trong tập bài giảng Cơ học 1 giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm 4 chƣơng với các nội dung chính: Thanh chịu tải trọng phức tạp, hệ thanh siêu tĩnh, ổn định hệ thanh và tải trọng động. Cuốn bài giảng đƣợc viết trên cơ sở chƣơng trình môn học Sức bền vật liệu. Ngƣời biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học vật rắn biến dạng theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sƣ phạm và yêu cầu chất lƣợng của một bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên có thể học các môn học tiếp theo của các ngành Công nghệ hàn, công nghệ Ô tô, công nghệ chế tạo máy… Cuốn bài giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận đƣợc sƣ góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ sở, Khoa cơ khí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định. Nhóm tác giả biên soạn i
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .............................................................................................................i MỤC LỤC .................................................................................................................. ii Chƣơng 1 .....................................................................................................................1 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP ..............................................................................1 1.1. KHÁI NIỆM CHUNG .....................................................................................1 1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản............................................................................1 1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp ............................................................................1 1.1.3. Ứng suất trên tiết diện ...............................................................................1 1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN .............................................................................2 1.2.1. Khái niệm ..................................................................................................2 1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang .............................................................3 1.2.3. Vị trí đƣờng trung hoà ...............................................................................3 1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ................................................4 1.2.5. Điều kiện bền ............................................................................................4 1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) ...........................................8 1.3.1. Khái niệm ..................................................................................................8 1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang .............................................................8 1.3.3. Vị trí đƣờng trung hoà ...............................................................................9 1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN .............................................................9 1.3.5. Điều kiện bền ..........................................................................................10 1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang ..............................................................10 1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM ....................................................13 1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện .............................................................13 1.4.2. Đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm ................................................15 1.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI ...........................................17 1.5.1. Thanh có mặt cắt tròn ..............................................................................18 1.5.2. Thanh có mặt cắt hình chữ nhật ..............................................................19 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 1..............................................................................25 Chƣơng 2 ...................................................................................................................27 GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC .............................................28 2.1. KHÁI NIỆM CHUNG ...................................................................................28 2.2 NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP LỰC ...............................................................29 2.2.1 Hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh .......................................................................29 2.2.2. Hệ tĩnh định tƣơng đƣơng .......................................................................29 2.2.3. Tính hệ siêu tĩnh đối xứng ......................................................................30 2.3. DẦM LIÊN TỤC ...........................................................................................33 2.3.1. Định nghĩa ...............................................................................................33 2.3.2. Phƣơng trình ba mômen ..........................................................................33 2.3.3. Trƣờng hợp đặc biệt ................................................................................35 2.4. PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ VÊRÊXAGHIN .....................................................37 2.5. CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH .................................42 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 2..............................................................................43 Chƣơng 3 ...................................................................................................................44 ii
ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN, UỐN ............................................44 3.1. KHÁI NIỆM CHUNG ...................................................................................44 3.2. BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN ........................................46 3.2.1. Thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu .......................................................46 3.2.2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu...................................................48 3.3. ỨNG SUẤT TỚI HẠN. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER .....49 3.3.1. Ứng suất tới hạn, độ mảnh ......................................................................49 3.3.2. Giới hạn áp dụng công thức Euler ..........................................................50 3.4 ỔN ĐỊNH CỦA THANH LÀM VIỆC NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI ........50 3.5. PHƢƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH ......................................51 3.6. THANH CHỊU UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI .....................53 3.6.1. Khái niệm, phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi .............................53 3.6.2. Biểu thức gần đúng của độ võng .............................................................55 3.6.3. Biểu thức gần đúng của mô men uốn ......................................................56 3.6.4. Ứng suất và điều kiện bền. ......................................................................57 3.7. THANH CÓ ĐỘ MẢNH LỚN CHỊU NÉN LỆCH TÂM ............................57 3.8. ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN ...............................................................59 3.9. CÁC VÍ DỤ....................................................................................................61 3.10. CHỌN HÌNH DẠNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT VÀ VẬT LIỆU .............64 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 3..............................................................................65 Chƣơng 4 ...................................................................................................................67 TẢI TRỌNG ĐỘNG .................................................................................................67 4.1. KHÁI NIỆM CHUNG ...................................................................................67 4.1.1. Tải trọng tĩnh, tải trọng động ..................................................................67 4.1.2. Phân loại tải trọng động ..........................................................................67 4.1.3. Các giả thiết khi tính toán .......................................................................67 4.2. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC KHÔNG ĐỔI .....................................................68 4.2.1. Bài toán kéo vật nặng lên cao nhanh dần đều .........................................68 4.2.2. Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi ..........................69 4.3. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN .......................72 4.3.1. Bậc tự do của hệ ......................................................................................72 4.3.2. Phƣơng trình vi phân tổng quát của hệ một bậc tự do ............................72 4.4. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO .................................................................73 4.4.1. Khái niệm chung về dao động.................................................................73 4.4.2. Dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do ..................................................74 4.5. BÀI TOÁN VA CHẠM .................................................................................77 4.5.1. Va chạm theo phƣơng thẳng đứng ..........................................................77 4.5.2. Va chạm theo phƣơng nằm ngang ..........................................................80 4.5.3. Kết luận chung về bài toán va chạm .......................................................82 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 4..............................................................................84 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................86 iii
Chƣơng 1 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 1.1. KHÁI NIỆM CHUNG 1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản Những trƣờng hợp chịu lực của thanh khi kéo (nén), uốn phẳng, xoắn đã xét trong học phần Cơ học 1 đƣợc gọi là những trƣờng hợp chịu lực đơn giản. Lúc này, trên tiết diện của thanh chỉ tồn tại một loại ứng lực độc lập: hoặc lực dọc, hoặc mô men uốn đi kèm theo lực cắt, hoặc mô men xoắn. 1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp Tổ hợp những trƣờng hợp chịu lực đơn giản đƣợc gọi là trƣờng hợp chịu lực phức tạp. Tổng quát nhất trên tiết diện của thanh có đủ sáu thành phần ứng lực nhƣ hình vẽ 1.1 bao gồm: - Lực dọc: Nz - Mô men uốn: Mx , My - Lực cắt: Qx, Qy - Mô men xoắn: Mz Hình 1.1: Thanh chịu lực phức tạp tổng quát 1.1.3. Ứng suất trên tiết diện Theo nguyên lý cộng tác dụng thì ứng suất và biến dạng của thanh khi chịu lực phức tạp sẽ bằng tổng ứng suất hoặc tổng biến dạng do từng lực gây ra riêng rẽ. Ứng suất pháp trên tiết diện chỉ do lực dọc, mô men uốn gây ra và bằng:     N   M x   M y  r r r r Các ứng suất thành phần có cùng phƣơng nên ta viết tổng theo trị số đại số:     N   M x   M y  N Mx M   y y x (1.1) A Ix Iy 1
Ứng suất tiếp trên tiết diện chỉ do lực cắt, mô men xoắn gây ra và bằng:    Qy    Qx     M z  r r r r (1.2) Các ứng suất tiếp thành phần có phƣơng khác nhau nên không chuyển đƣợc biểu thức sang phép cộng đại số. Thành phần   Qy  có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qy và có trị số: r Qy S xC   Qy   r I xb r Thành phần   Qx  có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qx và có trị số: r Qx S yC   Qx   I yh Thông thƣờng, đối với các dầm dài khi tính ứng suất và biến dạng có thể bỏ qua ảnh hƣởng của lực cắt so với ảnh hƣởng của mô men uốn do đó trong các phần tính toán tiếp theo, ta không xét đến ảnh hƣởng của ứng suất tiếp  Qx  , Qy  r r r Thành phần   M z  có trị số và phƣơng chiều phụ thuộc vào dạng tiết diện, với tiết diện tròn thì ứng suất tiếp có phƣơng vuông góc với bán kính, có chiều phù hợp với mô men xoắn nội lực Mz và có trị số: M  Mz   Z  (1.3) IP 1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN 1.2.1. Khái niệm Hình 1.2:Thanh chịu uốn xiên Thanh chịu uốn xiên (uốn không gian) khi thanh chịu uốn trong cả hai mặt phẳng quán tính chính. Ứng lực trên tiết diện, khi bỏ qua các lực cắt sẽ bao gồm mô men uốn Mx và mô men uốn My nhƣ hình vẽ 1.2a Gọi M là vectơ tổng của các vectơ Mx và My, nằm trong mặt phẳng V chứa trục z, nhƣng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng cắt ngang gọi là đường tải trọng. Trong uốn 2
xiên đƣờng tải trọng đi qua trọng tâm nhƣng không trùng với một trục quán tính trung tâm nào (hình 1.2b ). 1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên mặt cắt ngang (MCN) có toạ độ x, y đƣợc tính theo công thức: Mx M z  y y x (1.4) Ix Iy Trong đó Mx, My coi là dƣơng khi làm căng phần chiều dƣơng của trục y, trục x. Trong kĩ thuật ngƣời ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của Mx, My và toạ độ x, y: Mx My z   y x (1.5) Ix Iy Ta sẽ chọn dấu “ + ” hoặc dấu “ - ” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn Mx và My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. Nếu gọi  là góc của đƣờng tải trọng hợp với trục x (hình 1.2b): Mx  M x  M sin  tg   My  M y  M cos  Góc  đƣợc gọi là dƣơng khi quay từ chiều dƣơng trục x đến đƣờng tải trọng theo chiều kim đồng hồ. 1.2.3. Vị trí đƣờng trung hoà Từ (1.5) ta có phƣơng trình đƣờng trung hoà: Mx M y y x0 (1.6) Ix Iy Hay: M x Ix y . .x  tg  .x (1.7) M y Iy Trong đó : M x Ix tg    . M y Iy Hay: 1 Ix tg    . (1.8) tg I y Đƣờng trung hoà là một đƣờng thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang và không vuông góc với đƣờng tải trọng nhƣ trong uốn phẳng. Từ biểu thức (1.8) ta nhận thấy đối với các mặt cắt ngang có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm nhƣ hình tròn, các đa giác đều cạnh sẽ có Ix= Iy nên tgtg = -1 3
thì không xảy ra hiện tƣợng uốn xiên phẳng. Vì đƣờng tải trọng sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm, còn đƣờng trung hoà sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với đƣờng tải trọng. Bài toán khi đó chỉ là uốn phẳng. 1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Theo (1.5) mặt ứng suất là mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong hệ toạ độ nhƣ hình 1.3. Trục tung là đƣờng trung hoà, trục hoành vuông góc với đƣờng trung hoà. Hình 1.3: Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN của dầm chịu uốn xiên 1.2.5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm là các điểm xa đƣờng trung hoà nhất về phía kéo hoặc nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Điều kiện bền có dạng: - Đối với vật liệu dẻo:  max    (1.9) - Đối với vật liệu giòn:   max    k  (1.10)   min   n Trong đó: Mx My M My   max  yk  xk ;  min    x yn  xn  (1.11) Ix Iy  I x Iy  Nếu mặt cắt ngang của thanh là những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ nhật nhƣ hình 1.4 thì: xk  xn  xmax ; yk  yn  ymax Do đó: Mx My  max   min ;  max   (1.12) Wx Wy 4
Ix I Trong đó : Wx  ; Wy  y (1.13) ymax xmax Trong trƣờng hợp này điều kiện bền sẽ là: Mx My - Đối với vật liệu dẻo:     (1.14) Wx Wy Mx My - Đối với vật liệu giòn:    k (1.15) Wx Wy Hình 1.4: Một số mặt cắt nội tiếp hình chữ nhật Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản sau: - Bài toán kiểm tra bền - Bài toán tìm tải trọng cho phép. - Bài toán chọn kích thước MCN Ví dụ 1.1 Một dầm công xon bằng gỗ, dài 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật (12  20) cm2, ở đầu tự do chịu lực tập trung P = 2,4 kN. Lực P đặt vuông góc với trục dầm và xiên góc  = 30o với trục Oy (hình 1.5a). Xác định vị trí đƣờng tải trọng và ứng suất pháp ở các điểm góc A, B, C, D trên mặt cắt ngang ở ngàm. Bài giải: Phân tích lực P làm hai thành phần theo các trục Ox và Oy Px  P .sin   2, 4  0,5  1,2  kN  Py  P .cos   2, 4  0,866  2,08  kN  Biểu đồ mô men uốn Mx và My đƣợc biểu diễn trên hình 1.5b,c. Vị trí đƣờng tải trọng đƣợc xác định theo công thức: Mx  Py l 2,08 tg =    1,732;   60o . M y  Px l 1,2 Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục x và y Ix  bh 3 12.203 12  12   8000 cm 4 ;  Iy  b 3h 123.20 12  12    2880 cm 4 ; 5
Hình 1.5: Hình ví dụ 1.1 Ta có ứng suất tại điểm A:  Py l  Px l 2, 08.200 1, 2.200 A  yA  xA   10    6  Ix Iy 8000 2880   0,52  0,50  1, 02 kN / cm2  Tƣơng tự, chúng ta tính đƣợc ứng suất tại các điểm B, C, D tƣơng ứng là:  B  0, 02 kN / cm2 ,  C  1, 02 kN / cm2 ,  D  0, 02 kN / cm2 . Ví dụ 1.2: Cho dầm chịu lực nhƣ hình 1.6. Xác định số hiệu mặt cắt dầm thép chữ I, vị trí đƣờng trung hoà. Cho biết: P = 2400N; q = 4000N/m; l = 2m; = 300; [] =16000N/m2. Bài giải: Mặt cắt nguy hiểm tại ngàm có: ql 2 Mx   Pl.cos   12160( Nm) 2 M y  Pl.sin   2400( Nm) Thử lần thứ nhất ta lấy C = 4. M x  CM y Vậy: Wx   196(cm3 )   6
Hình 1.6: Hình ví dụ 1.2 Ta chọn mặt cắt chữ I số 20 có các giá trị nhỏ hơn và gần nhất Wx=184cm3; Wy=23,1cm3. Thử lại:  max   min Mx My  max    17000( N / cm2 ) Wx Wy Vì :  max    17000  16000 100%  100%  6, 2%  5%   16000 Do đó ta lấy mặt cắt số 20a có Wx = 203cm3 , Wy = 28,2cm3 Khi đó: Mx My  max    14500( N / cm2 ) Wx Wy Ứng suất nhỏ hơn:  max    14500  16000 100%   9, 4%   16000 Vì giữa thép có số hiệu 20 và 20a không còn số hiệu nào khác nên ta chọn dầm 7
thép có số hiệu 20a. Xác định vị trí đƣờng trung hoà. Tra bảng với I(20a) ta có Ix=2030cm4; Iy=155cm4’. Do đó tại mặt cắt ngàm, phƣơng của đƣờng trung hoà là : I x M y max 2030  2400 tg     2,58 I y M x max 155 12160 Hay:   68050 1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) 1.3.1. Khái niệm Thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) khi ứng lực trên tiết diện gồm lực dọc Nz, mô men uốn Mx, My hoặc lực dọc và một trong hai mô men uốn này (hình vẽ 1.7). Hình 1.7: Thanh chịu uốn đồng thời kéo Hình 1.8: Ống khói và cột cầu treo chịu uốn đồng thời nén Hoặc ví dụ đối với ống khói, trọng lƣợng cột gây nén còn tải trọng gió q gây uốn (hình 1.8a). Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không vuông góc với trục thanh thì lúc đó phân tích lực căng dây thành hai thành phần: thành phần F1 gây uốn, thành phần F2 gây nén (hình 1.8b). 1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 8
Ứng suất pháp tại một điểm trên MCN đƣợc xác định theo công thức: Nz M x M z   y y x (1.16) A Ix Iy Nz  M My  hoặc z  1  x2 y  x (1.17) A  N z ix N z iy2  Trong đó: A - diện tích MCN; ix, iy - bán kính quán tính chính: Ix Iy ix  ; iy  A A Ix, Iy- mômen quán tính chính trung tâm của MCN; x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất. Công thức kỹ thuật có dạng: Nz Mx My z    y x (1.18) A Ix Iy Trong công thức trên các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu “+” hoặc “-” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc là kéo hay nén và các mômen uốn Mx, My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. 1.3.3. Vị trí đƣờng trung hoà Từ phƣơng trình (1.18) ta có phƣơng trình đƣờng trung hoà là: Nz M x M  y y x0 (1.19) A Ix Iy Mx My hay: 1 y  x0 (1.20) N z ix2 N z iy2 Đƣờng trung hoà trong trƣờng hợp thanh chịu kéo (nén) đồng thời uốn là một đƣờng thẳng không đi qua trọng tâm của MCN nhƣ trong uốn xiên. 1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN Hình 1.9: Biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên MCN thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) 9
Tƣơng tự nhƣ trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất là phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà. Biểu đồ phân bố ứng suất đƣợc vẽ nhƣ hình 1.9. 1.3.5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm là các điểm ở chu vi, xa đƣờng trung hoà nhất về phía kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Vậy điều kiện bền là : - Đối với vật liệu dẻo:  max    (1.21) - Đối với vật liệu giòn:  max   k ;  min   n (1.22) trong đó: Nz Mx My  max    y x (1.23) A Ix Iy Nz Mx My  min    y x (1.24) A Ix Iy xk, yk : là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đƣờng trung hoà nhất. xn, yn : là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đƣờng trung hoà nhất.  Nếu MCN của thanh có dạng nhƣ trên hình 1.9 thì lí luận tƣơng tự nhƣ trong uốn xiên ta có: Nz Mx My  max    (1.25) A Wx Wy Nz Mx My  min     (1.26) A Wx Wy 1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang Trong các công trình xây dựng ta thƣờng gặp những vật liệu chịu nén tốt nhƣng chịu kéo kém nhƣ gạch, đá, bê tông.v.v... có khi hầu nhƣ vật liệu không chịu đƣợc kéo, nhƣ chỗ tiếp giáp giữa móng và nền đất. Vì vậy trong quá trình thiết kế những bộ phận công trình chịu nén lệch tâm, ta phải tìm vị trí của điểm đặt lực sao cho trên mặt cắt chỉ xuất hiện ứng suất nén, nghĩa là sao cho đƣờng trung hoà không cắt qua mặt cắt ngang. Nhƣ vậy điểm đặt lực K phải nằm trong một miền nhất định bao quanh trọng tâm của mặt cắt. Miền diện tích ấy đƣợc gọi là lõi của mặt cắt ngang. Vậy lõi của mặt cắt ngang đƣợc xác định nhƣ sau: - Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. - Vẽ các đƣờng trung hoà tiếp xúc với chu vi của mặt cắt ngang. Vị trí các đƣờng trung hoà này đƣợc xác định bởi toạ độ ai, bi tƣơng ứng. Với mỗi một đƣờng ta xác định đƣợc một điểm Ki(xi, yi) tƣơng ứng theo công thức: 10
iy2 ix2 xki   ; yki   (1.27) ai bi Nối các điểm đặt Ki ta đƣợc chu vi của lõi (hình 1.10). Hình 1.10: Chu vi của lõi mặt cắt ngang Hình dáng và kích thƣớc của lõi chỉ phụ thuộc vào hình dáng và kích thƣớc mặt cắt ngang nó không phụ thuộc vào trị số nội lực đặt trên mặt cắt, do đó lõi có thể xem là một đặc trƣng hình học của mặt cắt ngang. Ta xét lõi của một số mặt cắt ngang thƣờng gặp : 1) Hình chữ nhật Do tính chất đối xứng của mặt cắt nên lõi cũng có tính đối xứng. Khi đƣờng trung hoà tiếp xúc với AB: a1 =  ; b1 = -h/2. Toạ độ điểm K1 (điểm 1) là: iy2 iy2 ix2 h2 h xk 1     0; yk 1     a  b 12. h 6 2 Tƣơng tự cho đƣờng trung hoà tiếp xúc với AD ta có a2  d / 2, b2  , nên xk 2  d / 6, yk 2  0. Lần lƣợt cho đƣờng trung hoà tiếp xúc với DC và CB ta xác định đƣợc điểm 1' và 2'. Nối 1, 2, 1', 2' ta đƣợc lõi của mặt cắt ngang là hình thoi (hình 1.11). 11
Hình 1.11: Lõi mặt cắt hình chữ nhật 2) Hình vành khăn Lõi của hình vành khăn cũng là hình tròn (hình 1.12a) có bán kính r' R 4 1   2  , với   . r R Trƣờng hợp mặt cắt ngang là hình tròn đặc (hình 1.12b) thì bán kính của R lõi r '  . 4 Hình 1.12: Lõi mặt cắt hình vành khăn Ví dụ 1.3 Cho một thanh chịu lực nhƣ hình 1.13a. Tìm giá trị ứng suất max và min, vị trí đƣờng trung hoà và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt nguy hiểm. Cho: P1 = 160 kN; P2 = 4kN; P0 = 240kN; q=2kN/m; l=2m; b=12cm; h=16 cm. 12
Hình 1.13: Hình ví dụ 1.3 Bài giải: Mặt cắt nguy hiểm tại đầu ngàm. Vị trí đƣờng trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp đƣợc vẽ trên hình 1.13b. Lực dọc: N z   P0  P1    240  160   400(kN ) . Mômen uốn: Ph ql 2 2  4 104 Mx  1   160  8   1680  kNcm  2 2 100  2 Pb Pl My  1  2  160  6  4 102  1360  kNcm  2 2 Giá trị ứng suất pháp lớn nhất và bé nhất theo (1.25), (1.26) là: Nz Mx My  max      4, 75  kNcm  A Wx Wy Nz Mx My  min      8,91 kNcm  A Wx Wy Vị trí đƣờng trung hoà: đƣờng trung hoà cắt trục x và trục y tại các điểm: N z i y2 N z ix2 x0   ; y0   My Mx h2 b2 trong đó: ix2   21,3  cm2  ; ix2   12  cm2  12 12 Nz  0 ; M x  0 ; M y  0 . Khi thay bằng số ta đƣợc: x0 = 3,53 cm; y0 = 5,07 cm 1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM 1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện 13
Thanh chịu kéo lệch tâm khi ngoại lực tác dụng là các lực song song nhƣ không trùng với trục thanh. Đây là trƣờng hợp chịu lực thƣờng gặp ở những cột, thanh chịu kéo nén vì hầu nhƣ ta không thể đặt lực đúng trọng tâm tiết diện. z z F N=F M x =F.yC M y =F.xC x x C y y Hình 1.14: Kéo lệch tâm và các nội lực tương ứng Nếu trên tiết diện có lực F đặt lệch tâm tại điểm C(xC, yC) nhƣ trên hình 1.14, bằng cách chuyển lực về trọng tâm tiết diện ta nhận đƣợc: Lực dọc: Nz = F (1.28) Các mô men uốn: Mx = F.yC (1.29) My = F.xC (1.30) Trong các biểu thức trên, F > 0 khi là lực kéo, xC, yC lấy dấu theo hệ toạ độ đã chọn. Nếu trên tiết diện có nhiều lực Fi đặt lệch tâm tại điểm tƣơng ứng Ci (xCi, yCi), thì giá trị lực F và điểm đặt C đƣợc tính theo kết quả của hợp lực F   Fi (1.31)  Fi xC  Fi yC xC  yC  (1.32)  Fi  Fi Với các ứng lực theo (1.28),(1.29) ứng suất pháp trên tiết diện sẽ là: N Mx M F Fy Fx   y y x  C  C y (1.33) A Ix Iy A Ix Iy F  yC y xC x  Suy ra:  1  2  2  A  rx ry  Trong đó rx, ry là các bán kính quán tính của tiết diện: Ix I rx  ; ry  y A A * Với tiết diện hình chữ nhật b  h: Ix bh3 h Iy hb3 b rx    ; ry    A 12bh 12 A 12bh 12 * Với tiết diện hình tròn rỗng có đƣờng kính ngoài D và đƣờng kính trong d: 14
I  D 1    4 D 4 rx  x   1  2 A 64 D 1    4 2 2 d Trong đó ký hiệu:  D Bán kính quán tính của tiết diện các thép hình đƣợc tìm ở bảng tra theo số hiệu thép. Qua biểu thức tính ứng suất (1.33), ta có những nhận xét sau: + Bài toán kéo (nén) lệch tâm có thể tính theo trƣờng hợp kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời và ngƣợc lại bài toán kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời cũng có thể tính theo bài toán kéo (nén) lệch tâm. Trong trƣờng hợp sau, lực và điểm đặt sẽ đƣợc tính theo công thức: My Mx F  N ; xC  ; yC  (1.34) N N + Định luật tác dụng tƣơng hỗ: Ứng suất pháp tại điểm A do lực F đặt tại điểm C gây ra cũng bằng ứng suất pháp tại điểm C do lực F đặt tại điểm A gây ra. + Ứng suất pháp tại trọng tâm tiết diện do lực nén lệch tâm F gây ra không phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực và luôn bằng N/A. 1.4.2. Đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm Phƣơng trình đƣờng trung hoà tìm theo điều kiện  = 0; từ (1.33), ta có: yC y xC x 1  2 0 rx2 ry ry2 rx2 Nếu đặt: a   b ( 1.35) xC yC Phƣơng trình đƣờng trung hoà sẽ có dạng: x y  1 (1.36) a b Hai thông số a và b là hoành độ và tung độ của giao điểm của đƣờng trung hoà với trục hoành và với trục tung nhƣ chỉ trên hình 1.15 C b x a y Hình 1.15: Vị trí đường trung hoà và điểm đặt lực C Từ biểu thức (1.35) của a và b ta dễ dàng nhận thấy, ngoài những tính chất chung, đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm còn có đặc điểm riêng sau: 15
1- Đƣờng trung hoà không phụ thuộc giá trị của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đặt tải trọng, đƣờng trng hoà và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong góc phần tƣ đối đỉnh của hệ trục toạ độ. 2- Điểm đặt lực nằm trên trục x thì đƣờng trung hoà nằm song song trục y và ngƣợc lại. 3- Khi điểm đặt di chuyển theo một đƣờng thẳng thì đƣờng trung hoà sẽ xoay quanh một điểm trên tiết diện. Ví dụ 1.4 Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên trục y. Ứng suất tại điểm A bằng 200 N/cm2, tại B bằng không. Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và ứng suất lớn nhất trên cột. Bài giải: Ta có: PD  PO và Mx = -P.yD Khi đó: P P. yD A     200 ( N / cm 2 ) (1) F Wx Hình 1.16 P P. yD B    . yB  0 ( N / cm 2 ) (2) F Ix  Ix 404 40 yD   2  (cm) Từ (2)  F . yB 40 .10.12 3 F .Wx . A 402.403.200 P   32.104 ( N ) yD .F  Wx  40 2 403  6 .40   Từ (1)   3 6  Ứng suất nén lớn nhất ở cột: P P. yD 32.104 32.104.40 / 3  min  C     2  3  600 ( N / cm 2 ) F Wx 40 40 6 Ví dụ 1.5 Một dụng cụ kẹp có dạng nhƣ hình vẽ 1.13. Cho: h=15mm, b=5mm, e=50mm. Tính mô men của ngẫu lực có thể đặt vào tay vặn để cho ứng suất lớn nhất ở thân giá không vƣợt quá ứng suất cho phép. Cho []=160MN/m2. Bƣớc của răng ốc vít  = 1mm. Giả thiết bỏ qua các ảnh hƣởng ma sát. Bài giải: 16
Hình 1.13. Quan hệ giữa mô men ngẫu lực đặt vào tay vặn và lực nén tác dụng vào chi tiết: 2 N M  Ứng suất ở thân chi tiết: N  6e  2 M  6e   max  1    1      bh  h  bh  h Hay: M   bh  6e  2 1    h  Thay giá trị: 1600.0,1.0,5.1,5 M  9,1Ncm  6.5  2.3,14 1    1,5  1.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI Thanh chịu uốn đồng thời xoắn là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có các thành phần nội lực là mô men uốn M x , M y và mô men xoắn M z . Hình 1.18: Thanh mặt cắt ngang tròn chịu uốn đồng thời xoắn Bài toán này thƣờng gặp trong các chi tiết máy. Ví dụ nhƣ một trục truyền lực 17