Tập bài giảng Sức bền vật liệu

LỜI NÓI ĐẦU

Sức bền vật liệu là một phần kiến thức căn bản đối với kỹ sƣ thuộc các ngành

kỹ thuật, vì vậy môn học này đƣợc bố trí trong chƣơng trình đào tạo của nhiều trƣờng

đại học nhƣ Đại học Bách khoa Hà Nội, Đại học Giao thông vận tải, Đại học Thuỷ lợi,

Đại học Xây dựng,… Ở trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này đƣợc giảng dạy cho sinh viên hệ đại học chuyên nghành Cơ khí. Hiện nay, các trƣờng

đại học đều có tài liệu riêng giảng dạy về môn học này với nội dung, thời lƣợng và

khối lƣợng kiến thức rất khác nhau do đặc thù của ngành.

Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Sức bền vật liệu riêng cho sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết. Theo chƣơng

trình môn học Sức bền vật liệu đƣợc xây dựng để giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ

khí đƣợc xây dựng kế tiếp các nội dung cơ bản của Sức bền vật liệu đã đƣợc viết trong

tập bài giảng Cơ học 1 giảng dạy cho sinh viên ngành Cơ khí trƣờng Đại học Sƣ phạm

Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm 4 chƣơng với các nội dung chính:

Thanh chịu tải trọng phức tạp, hệ thanh siêu tĩnh, ổn định hệ thanh và tải trọng động.

Cuốn bài giảng đƣợc viết trên cơ sở chƣơng trình môn học Sức bền vật liệu.

Ngƣời biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học vật rắn biến

dạng theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sƣ phạm và yêu cầu chất lƣợng của một bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những

kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên có thể học các môn học tiếp theo của các

ngành Công nghệ hàn, công nghệ Ô tô, công nghệ chế tạo máy…

Cuốn bài giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót.

Chúng tôi rất mong nhận đƣợc sƣ góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để

có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công

tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ

sở, Khoa cơ khí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định.

Nhóm tác giả biên soạn

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .............................................................................................................i MỤC LỤC .................................................................................................................. ii Chƣơng 1 ..................................................................................................................... 1 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP .............................................................................. 1 1.1. KHÁI NIỆM CHUNG ..................................................................................... 1 1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản ............................................................................ 1 1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp ............................................................................ 1 1.1.3. Ứng suất trên tiết diện ............................................................................... 1 1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN ............................................................................. 2 1.2.1. Khái niệm .................................................................................................. 2 1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ............................................................. 3 1.2.3. Vị trí đƣờng trung hoà ............................................................................... 3 1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ................................................ 4 1.2.5. Điều kiện bền ............................................................................................ 4 1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) ........................................... 8 1.3.1. Khái niệm .................................................................................................. 8 1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ............................................................. 8 1.3.3. Vị trí đƣờng trung hoà ............................................................................... 9 1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN ............................................................. 9 1.3.5. Điều kiện bền .......................................................................................... 10 1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang .............................................................. 10 1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM .................................................... 13 1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện ............................................................. 13 1.4.2. Đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm ................................................ 15 1.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI ........................................... 17 1.5.1. Thanh có mặt cắt tròn .............................................................................. 18 1.5.2. Thanh có mặt cắt hình chữ nhật .............................................................. 19 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 1.............................................................................. 25 Chƣơng 2 ................................................................................................................... 27 GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC ............................................. 28 2.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................... 28 2.2 NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP LỰC ............................................................... 29 2.2.1 Hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh ....................................................................... 29 2.2.2. Hệ tĩnh định tƣơng đƣơng ....................................................................... 29 2.2.3. Tính hệ siêu tĩnh đối xứng ...................................................................... 30 2.3. DẦM LIÊN TỤC ........................................................................................... 33 2.3.1. Định nghĩa ............................................................................................... 33 2.3.2. Phƣơng trình ba mômen .......................................................................... 33 2.3.3. Trƣờng hợp đặc biệt ................................................................................ 35 2.4. PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ VÊRÊXAGHIN ..................................................... 37 2.5. CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH ................................. 42 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 2.............................................................................. 43 Chƣơng 3 ................................................................................................................... 44

ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN, UỐN ............................................ 44 3.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................... 44 3.2. BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN ........................................ 46 3.2.1. Thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu ....................................................... 46 3.2.2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu................................................... 48 3.3. ỨNG SUẤT TỚI HẠN. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER ..... 49 3.3.1. Ứng suất tới hạn, độ mảnh ...................................................................... 49 3.3.2. Giới hạn áp dụng công thức Euler .......................................................... 50 3.4 ỔN ĐỊNH CỦA THANH LÀM VIỆC NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI ........ 50 3.5. PHƢƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH ...................................... 51 3.6. THANH CHỊU UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI ..................... 53 3.6.1. Khái niệm, phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi ............................. 53 3.6.2. Biểu thức gần đúng của độ võng ............................................................. 55 3.6.3. Biểu thức gần đúng của mô men uốn ...................................................... 56 3.6.4. Ứng suất và điều kiện bền. ...................................................................... 57 3.7. THANH CÓ ĐỘ MẢNH LỚN CHỊU NÉN LỆCH TÂM ............................ 57 3.8. ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN ............................................................... 59 3.9. CÁC VÍ DỤ .................................................................................................... 61 3.10. CHỌN HÌNH DẠNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT VÀ VẬT LIỆU ............. 64 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 3.............................................................................. 65 Chƣơng 4 ................................................................................................................... 67 TẢI TRỌNG ĐỘNG ................................................................................................. 67 4.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................... 67 4.1.1. Tải trọng tĩnh, tải trọng động .................................................................. 67 4.1.2. Phân loại tải trọng động .......................................................................... 67 4.1.3. Các giả thiết khi tính toán ....................................................................... 67 4.2. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC KHÔNG ĐỔI ..................................................... 68 4.2.1. Bài toán kéo vật nặng lên cao nhanh dần đều ......................................... 68 4.2.2. Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi .......................... 69 4.3. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN ....................... 72 4.3.1. Bậc tự do của hệ ...................................................................................... 72 4.3.2. Phƣơng trình vi phân tổng quát của hệ một bậc tự do ............................ 72 4.4. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO ................................................................. 73 4.4.1. Khái niệm chung về dao động ................................................................. 73 4.4.2. Dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do .................................................. 74 4.5. BÀI TOÁN VA CHẠM ................................................................................. 77 4.5.1. Va chạm theo phƣơng thẳng đứng .......................................................... 77 4.5.2. Va chạm theo phƣơng nằm ngang .......................................................... 80 4.5.3. Kết luận chung về bài toán va chạm ....................................................... 82 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 4.............................................................................. 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 86

iii

Chƣơng 1

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

1.1. KHÁI NIỆM CHUNG

1.1.1. Thanh chịu lực đơn giản Những trƣờng hợp chịu lực của thanh khi kéo (nén), uốn phẳng, xoắn đã xét trong học phần Cơ học 1 đƣợc gọi là những trƣờng hợp chịu lực đơn giản. Lúc này,

trên tiết diện của thanh chỉ tồn tại một loại ứng lực độc lập: hoặc lực dọc, hoặc mô

men uốn đi kèm theo lực cắt, hoặc mô men xoắn.

1.1.2. Thanh chịu lực phức tạp Tổ hợp những trƣờng hợp chịu lực đơn giản đƣợc gọi là trƣờng hợp chịu lực

phức tạp.

Tổng quát nhất trên tiết diện của thanh có đủ sáu thành phần ứng lực nhƣ hình

vẽ 1.1 bao gồm:

- Lực dọc: Nz - Mô men uốn: Mx , My - Lực cắt: Qx, Qy - Mô men xoắn: Mz

Hình 1.1: Thanh chịu lực phức tạp tổng quát

1.1.3. Ứng suất trên tiết diện Theo nguyên lý cộng tác dụng thì ứng suất và biến dạng của thanh khi chịu lực

phức tạp sẽ bằng tổng ứng suất hoặc tổng biến dạng do từng lực gây ra riêng rẽ. Ứng suất pháp trên tiết diện chỉ do lực dọc, mô men uốn gây ra và bằng:

Các ứng suất thành phần có cùng phƣơng nên ta viết tổng theo trị số đại số:

(1.1)

Ứng suất tiếp trên tiết diện chỉ do lực cắt, mô men xoắn gây ra và bằng:

(1.2)

Các ứng suất tiếp thành phần có phƣơng khác nhau nên không chuyển đƣợc

biểu thức sang phép cộng đại số.

Thành phần có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qy và có trị số:

Thành phần có phƣơng chiều phù hợp với lực cắt Qx và có trị số:

Thông thƣờng, đối với các dầm dài khi tính ứng suất và biến dạng có thể bỏ qua

ảnh hƣởng của lực cắt so với ảnh hƣởng của mô men uốn do đó trong các phần tính

toán tiếp theo, ta không xét đến ảnh hƣởng của ứng suất tiếp

Thành phần có trị số và phƣơng chiều phụ thuộc vào dạng tiết diện, với

tiết diện tròn thì ứng suất tiếp có phƣơng vuông góc với bán kính, có chiều phù hợp với mô men xoắn nội lực Mz và có trị số:

(1.3)

1.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN

1.2.1. Khái niệm

Hình 1.2:Thanh chịu uốn xiên Thanh chịu uốn xiên (uốn không gian) khi thanh chịu uốn trong cả hai mặt phẳng quán tính chính. Ứng lực trên tiết diện, khi bỏ qua các lực cắt sẽ bao gồm mô men uốn Mx và mô men uốn My nhƣ hình vẽ 1.2a

Gọi M là vectơ tổng của các vectơ Mx và My, nằm trong mặt phẳng V chứa trục z, nhƣng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng cắt ngang gọi là đường tải trọng. Trong uốn

xiên đƣờng tải trọng đi qua trọng tâm nhƣng không trùng với một trục quán tính trung

tâm nào (hình 1.2b ).

1.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên mặt cắt

ngang (MCN) có toạ độ x, y đƣợc tính theo công thức:

(1.4)

Trong đó Mx, My coi là dƣơng khi làm căng phần chiều dƣơng của trục y, trục x. Trong kĩ thuật ngƣời ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của Mx,

My và toạ độ x, y:

(1.5)

Ta sẽ chọn dấu “ + ” hoặc dấu “ - ” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn

Mx và My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.

Nếu gọi  là góc của đƣờng tải trọng hợp với trục x (hình 1.2b):

Góc  đƣợc gọi là dƣơng khi quay từ chiều dƣơng trục x đến đƣờng tải trọng

theo chiều kim đồng hồ.

1.2.3. Vị trí đƣờng trung hoà Từ (1.5) ta có phƣơng trình đƣờng trung hoà:

(1.6)

Hay:

(1.7)

Trong đó :

Hay:

(1.8)

Đƣờng trung hoà là một đƣờng thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang và

không vuông góc với đƣờng tải trọng nhƣ trong uốn phẳng.

Từ biểu thức (1.8) ta nhận thấy đối với các mặt cắt ngang có vô số hệ trục quán

tính chính trung tâm nhƣ hình tròn, các đa giác đều cạnh sẽ có Ix= Iy nên tgtg = -1

thì không xảy ra hiện tƣợng uốn xiên phẳng. Vì đƣờng tải trọng sẽ trùng với một trục

quán tính chính trung tâm, còn đƣờng trung hoà sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với đƣờng tải trọng. Bài toán khi đó chỉ là uốn phẳng.

1.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Theo (1.5) mặt ứng suất là mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên

đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong hệ toạ độ nhƣ hình 1.3. Trục tung là đƣờng trung

hoà, trục hoành vuông góc với đƣờng trung hoà.

Hình 1.3: Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN của dầm chịu uốn xiên

1.2.5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm là các điểm xa đƣờng trung hoà nhất về phía kéo hoặc nén.

Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn.

Điều kiện bền có dạng:

- Đối với vật liệu dẻo: (1.9)

- Đối với vật liệu giòn:

(1.10)

Trong đó:

; (1.11)

Nếu mặt cắt ngang của thanh là những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ

nhật nhƣ hình 1.4 thì:

;

Do đó:

; (1.12)

Trong đó : ; (1.13)

Trong trƣờng hợp này điều kiện bền sẽ là:

- Đối với vật liệu dẻo: (1.14)

- Đối với vật liệu giòn: (1.15)

Hình 1.4: Một số mặt cắt nội tiếp hình chữ nhật

Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản sau:

- Bài toán kiểm tra bền

- Bài toán tìm tải trọng cho phép.

- Bài toán chọn kích thước MCN

Ví dụ 1.1

Một dầm công xon bằng gỗ, dài 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật (12  20) cm2, ở đầu tự do chịu lực tập trung P = 2,4 kN. Lực P đặt vuông góc với trục dầm và xiên góc  = 30o với trục Oy (hình 1.5a).

Xác định vị trí đƣờng tải trọng và ứng suất pháp ở các điểm góc A, B, C, D trên

mặt cắt ngang ở ngàm.

Bài giải: Phân tích lực P làm hai thành phần theo các trục Ox và Oy

Biểu đồ mô men uốn Mx và My đƣợc biểu diễn trên hình 1.5b,c.

Vị trí đƣờng tải trọng đƣợc xác định theo công thức:

tg =

Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục x và y

Hình 1.5: Hình ví dụ 1.1

Ta có ứng suất tại điểm A:

Tƣơng tự, chúng ta tính đƣợc ứng suất tại các điểm B, C, D tƣơng ứng là:

Ví dụ 1.2: Cho dầm chịu lực nhƣ hình 1.6. Xác định số hiệu mặt cắt dầm thép chữ I, vị trí

đƣờng trung hoà.

Cho biết: P = 2400N; q = 4000N/m; l = 2m; = 300; [] =16000N/m2. Bài giải: Mặt cắt nguy hiểm tại ngàm có:

Thử lần thứ nhất ta lấy C = 4.

Vậy:

Hình 1.6: Hình ví dụ 1.2 Ta chọn mặt cắt chữ I số 20 có các giá trị nhỏ hơn và gần nhất Wx=184cm3;

Wy=23,1cm3.

Thử lại:

Vì :

Do đó ta lấy mặt cắt số 20a có Wx = 203cm3 , Wy = 28,2cm3 Khi đó:

Ứng suất nhỏ hơn:

Vì giữa thép có số hiệu 20 và 20a không còn số hiệu nào khác nên ta chọn dầm

thép có số hiệu 20a.

Xác định vị trí đƣờng trung hoà. Tra bảng với I(20a) ta có Ix=2030cm4;

Iy=155cm4’. Do đó tại mặt cắt ngàm, phƣơng của đƣờng trung hoà là :

Hay:

1.3. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN)

1.3.1. Khái niệm Thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) khi ứng lực trên tiết diện gồm lực dọc Nz,

mô men uốn Mx, My hoặc lực dọc và một trong hai mô men uốn này (hình vẽ 1.7).

Hình 1.7: Thanh chịu uốn đồng thời kéo

Hình 1.8: Ống khói và cột cầu treo chịu uốn đồng thời nén Hoặc ví dụ đối với ống khói, trọng lƣợng cột gây nén còn tải trọng gió q gây uốn

(hình 1.8a). Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không vuông góc với trục thanh thì lúc đó phân tích lực căng dây thành hai thành phần: thành phần F1 gây uốn, thành phần F2 gây nén (hình 1.8b).

1.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Ứng suất pháp tại một điểm trên MCN đƣợc xác định theo công thức:

(1.16)

(1.17) hoặc

Trong đó: A - diện tích MCN;

ix, iy - bán kính quán tính chính:

;

Ix, Iy- mômen quán tính chính trung tâm của MCN; x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất.

Công thức kỹ thuật có dạng:

(1.18)

Trong công thức trên các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu “+” hoặc “-” trƣớc mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc là kéo hay nén và các mômen uốn Mx, My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.

1.3.3. Vị trí đƣờng trung hoà Từ phƣơng trình (1.18) ta có phƣơng trình đƣờng trung hoà là:

(1.19)

hay: (1.20)

Đƣờng trung hoà trong trƣờng hợp thanh chịu kéo (nén) đồng thời uốn là một

đƣờng thẳng không đi qua trọng tâm của MCN nhƣ trong uốn xiên.

1.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN

Hình 1.9: Biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên MCN

thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén)

Tƣơng tự nhƣ trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất là phẳng, nên ứng suất pháp

phân bố đều trên đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà. Biểu đồ phân bố ứng suất đƣợc vẽ nhƣ hình 1.9.

1.3.5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm là các điểm ở chu vi, xa đƣờng trung hoà nhất về phía kéo

hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Vậy điều kiện bền là :

- Đối với vật liệu dẻo: (1.21)

- Đối với vật liệu giòn: ; (1.22)

trong đó:

(1.23)

(1.24)

xk, yk : là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đƣờng trung hoà nhất. xn, yn : là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đƣờng trung hoà nhất.  Nếu MCN của thanh có dạng nhƣ trên hình 1.9 thì lí luận tƣơng tự nhƣ trong

uốn xiên ta có:

(1.25)

(1.26)

1.3.6. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang Trong các công trình xây dựng ta thƣờng gặp những vật liệu chịu nén tốt nhƣng

chịu kéo kém nhƣ gạch, đá, bê tông.v.v... có khi hầu nhƣ vật liệu không chịu đƣợc kéo, nhƣ chỗ tiếp giáp giữa móng và nền đất. Vì vậy trong quá trình thiết kế những bộ phận công trình chịu nén lệch tâm, ta phải tìm vị trí của điểm đặt lực sao cho trên mặt cắt chỉ xuất hiện ứng suất nén, nghĩa là sao cho đƣờng trung hoà không cắt qua mặt cắt ngang. Nhƣ vậy điểm đặt lực K phải nằm trong một miền nhất định bao quanh trọng tâm của mặt cắt. Miền diện tích ấy đƣợc gọi là lõi của mặt cắt ngang. Vậy lõi của mặt cắt ngang đƣợc xác định nhƣ sau:

- Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. - Vẽ các đƣờng trung hoà tiếp xúc với chu vi của mặt cắt ngang. Vị trí các đƣờng trung hoà này đƣợc xác định bởi toạ độ ai, bi tƣơng ứng. Với

mỗi một đƣờng ta xác định đƣợc một điểm Ki(xi, yi) tƣơng ứng theo công thức:

(1.27)

Nối các điểm đặt Ki ta đƣợc chu vi của lõi (hình 1.10).

Hình 1.10: Chu vi của lõi mặt cắt ngang

Hình dáng và kích thƣớc của lõi chỉ phụ thuộc vào hình dáng và kích thƣớc mặt

cắt ngang nó không phụ thuộc vào trị số nội lực đặt trên mặt cắt, do đó lõi có thể xem

là một đặc trƣng hình học của mặt cắt ngang.

Ta xét lõi của một số mặt cắt ngang thƣờng gặp :

1) Hình chữ nhật Do tính chất đối xứng của mặt cắt nên lõi cũng có tính đối xứng. Khi đƣờng

trung hoà tiếp xúc với AB:

a1 =  ; b1 = -h/2.

Toạ độ điểm K1 (điểm 1) là:

Tƣơng tự cho đƣờng trung hoà tiếp xúc với AD ta có nên

Lần lƣợt cho đƣờng trung hoà tiếp xúc với DC và CB ta xác định đƣợc điểm 1' và 2'. Nối 1, 2, 1', 2' ta đƣợc lõi của mặt cắt ngang là hình thoi (hình 1.11).

Hình 1.11: Lõi mặt cắt hình chữ nhật

2) Hình vành khăn Lõi của hình vành khăn cũng là hình tròn (hình 1.12a) có bán kính

, với

Trƣờng hợp mặt cắt ngang là hình tròn đặc (hình 1.12b) thì bán kính của

lõi

Hình 1.12: Lõi mặt cắt hình vành khăn

Ví dụ 1.3

Cho một thanh chịu lực nhƣ hình 1.13a. Tìm giá trị ứng suất max và min, vị trí

đƣờng trung hoà và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt nguy hiểm.

Cho: P1 = 160 kN; P2 = 4kN; P0 = 240kN; q=2kN/m; l=2m; b=12cm; h=16 cm.

Hình 1.13: Hình ví dụ 1.3

Bài giải: Mặt cắt nguy hiểm tại đầu ngàm. Vị trí đƣờng trung hoà và biểu đồ ứng suất

pháp đƣợc vẽ trên hình 1.13b.

Lực dọc:

Mômen uốn:

Giá trị ứng suất pháp lớn nhất và bé nhất theo (1.25), (1.26) là:

Vị trí đƣờng trung hoà: đƣờng trung hoà cắt trục x và trục y tại các điểm:

;

trong đó: ;

; ; .

Khi thay bằng số ta đƣợc: x0 = 3,53 cm; y0 = 5,07 cm 1.4. THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM

1.4.1. Biểu thức ứng suất trên tiết diện

Thanh chịu kéo lệch tâm khi ngoại lực tác dụng là các lực song song nhƣ không

trùng với trục thanh. Đây là trƣờng hợp chịu lực thƣờng gặp ở những cột, thanh chịu kéo nén vì hầu nhƣ ta không thể đặt lực đúng trọng tâm tiết diện.

Hình 1.14: Kéo lệch tâm và các nội lực tương ứng Nếu trên tiết diện có lực F đặt lệch tâm tại điểm C(xC, yC) nhƣ trên hình 1.14,

bằng cách chuyển lực về trọng tâm tiết diện ta nhận đƣợc:

Lực dọc: Các mô men uốn: (1.28) (1.29)

(1.30) Nz = F Mx = F.yC My = F.xC

Trong các biểu thức trên, F > 0 khi là lực kéo, xC, yC lấy dấu theo hệ toạ độ đã

chọn.

Nếu trên tiết diện có nhiều lực Fi đặt lệch tâm tại điểm tƣơng ứng Ci (xCi, yCi),

thì giá trị lực F và điểm đặt C đƣợc tính theo kết quả của hợp lực

(1.31)

(1.32)

Với các ứng lực theo (1.28),(1.29) ứng suất pháp trên tiết diện sẽ là:

(1.33)

Suy ra:

Trong đó rx, ry là các bán kính quán tính của tiết diện:

;

* Với tiết diện hình chữ nhật b  h:

;

* Với tiết diện hình tròn rỗng có đƣờng kính ngoài D và đƣờng kính trong d:

Trong đó ký hiệu:

Bán kính quán tính của tiết diện các thép hình đƣợc tìm ở bảng tra theo số

hiệu thép.

Qua biểu thức tính ứng suất (1.33), ta có những nhận xét sau:

+ Bài toán kéo (nén) lệch tâm có thể tính theo trƣờng hợp kéo (nén) đúng tâm

và uốn đồng thời và ngƣợc lại bài toán kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời cũng có

thể tính theo bài toán kéo (nén) lệch tâm. Trong trƣờng hợp sau, lực và điểm đặt sẽ đƣợc tính theo công thức:

; (1.34) ;

+ Định luật tác dụng tƣơng hỗ: Ứng suất pháp tại điểm A do lực F đặt tại điểm

C gây ra cũng bằng ứng suất pháp tại điểm C do lực F đặt tại điểm A gây ra.

+ Ứng suất pháp tại trọng tâm tiết diện do lực nén lệch tâm F gây ra không phụ

thuộc vào vị trí điểm đặt lực và luôn bằng N/A.

1.4.2. Đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm

Phƣơng trình đƣờng trung hoà tìm theo điều kiện  = 0; từ (1.33), ta có:

Nếu đặt: ( 1.35)

Phƣơng trình đƣờng trung hoà sẽ có dạng:

(1.36)

Hai thông số a và b là hoành độ và tung độ của giao điểm của đƣờng trung hoà

với trục hoành và với trục tung nhƣ chỉ trên hình 1.15

Hình 1.15: Vị trí đường trung hoà và điểm đặt lực C

Từ biểu thức (1.35) của a và b ta dễ dàng nhận thấy, ngoài những tính chất

chung, đƣờng trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm còn có đặc điểm riêng sau:

1- Đƣờng trung hoà không phụ thuộc giá trị của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào

vị trí đặt tải trọng, đƣờng trng hoà và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong góc phần tƣ đối đỉnh của hệ trục toạ độ.

2- Điểm đặt lực nằm trên trục x thì đƣờng trung hoà nằm song song trục y và

ngƣợc lại.

3- Khi điểm đặt di chuyển theo một đƣờng thẳng thì đƣờng trung hoà sẽ xoay

quanh một điểm trên tiết diện.

Ví dụ 1.4 Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên trục y. Ứng suất tại điểm A bằng 200 N/cm2, tại B bằng không.

Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và

ứng suất lớn nhất trên cột.

Bài giải:

Ta có: PD  PO và Mx = -P.yD Khi đó:

(1)

Hình 1.16

(2)

Từ (2) 

Từ (1) 

Ứng suất nén lớn nhất ở cột:

Ví dụ 1.5 Một dụng cụ kẹp có dạng nhƣ hình vẽ 1.13. Cho: h=15mm, b=5mm, e=50mm. Tính mô men của ngẫu lực có thể đặt vào tay vặn để cho ứng suất lớn nhất ở thân giá không vƣợt quá ứng suất cho phép.

Cho []=160MN/m2. Bƣớc của răng ốc vít  = 1mm. Giả thiết bỏ qua các ảnh

hƣởng ma sát.

Bài giải:

Hình 1.13.

Quan hệ giữa mô men ngẫu lực đặt vào tay vặn và lực nén tác dụng vào chi tiết:

Ứng suất ở thân chi tiết:

Hay:

Thay giá trị:

1.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI

Thanh chịu uốn đồng thời xoắn là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang

của nó chỉ có các thành phần nội lực là mô men uốn và mô men xoắn .

Hình 1.18: Thanh mặt cắt ngang tròn chịu uốn đồng thời xoắn Bài toán này thƣờng gặp trong các chi tiết máy. Ví dụ nhƣ một trục truyền lực

không phải chỉ chịu tác dụng mô men xoắn mà còn chịu tác dụng của mô men uốn do

trọng lƣợng bản thân trục và trọng lƣợng của các chi tiết lắp trên trục.

1.5.1. Thanh có mặt cắt tròn Hợp hai mô men uốn Mx và My ta đƣợc mô men uốn Mu:

Mô men uốn Mu cũng nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm nên hai là giao điểm của mặt phẳng tải trọng với chu vi mặt cắt điểm có ứng suất pháp

ngang (hình 1.18). Trị số của các ứng suất này:

(1.36)

trong đó Wu là mô men chống uốn của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà u. Vì

mặt cắt ngang là hình tròn nên:

Ứng suất tiếp lớn nhất do mô men xoắn gây ra ở các điểm thuộc chu vi của mặt

cắt. Nó đƣợc tính theo công thức:

(1.37)

Vậy tại các điểm A và B ngoài ứng suất pháp cực trị còn có ứng suất tiếp lớn

nhất. Do đó, trạng thái ứng suất tại các điểm này là trạng thái ứng suất phẳng (hình

1.19). Điều kiện bền của các phân tố đó đƣợc viết theo các thuyết bền nhƣ sau:

B A

Hình 1.19

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

Thay (1.36) và (1.37) vào ta có:

Vì mặt cắt ngang là hình tròn nên nên:

(1.38)

Hay viết gọn lại:

(1.39)

Trong đó:

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất:

Thay (1.36) và (1.37) vào ta có:

(1.40)

Hay viết gọn lại:

(1.41)

Trong đó:

Nếu vật liệu giòn, ta sử dụng thuyết bền Mo. Khi đó điều kiện bền là:

Thay (1.36) và (1.37) vào ta có:

Trong đó:

là ứng suất nguy hiểm khi kéo và ứng suất nguy hiểm khi nén.

1.5.2. Thanh có mặt cắt hình chữ nhật

Giả sử tại mặt cắt ngang nguy hiểm có các thành phần nội lực biểu

diễn nhƣ hình 1.20.

Hình 1.20: Thanh mặt cắt ngang chữ nhật chịu uốn đồng thời xoắn Trong trƣờng hợp đang xét thì ứng suất cực trị đạt đƣợc tại các điểm góc B, D

của mặt cắt:

Mô men xoắn sinh ra ứng suất tiếp:

Vì trị số ứng suất ở các điểm A, B, C là khác nhau nên khó có thể xác định đƣợc điểm

nào nguy hiểm hơn. Do đó, ngƣời ta thƣờng kiểm tra bền cho cả ba phân tố ở ba điểm đó.

Trạng thái ứng suất của các điểm đƣợc biểu diễn nhƣ hình 1.21.

- Đối với phân tố ở điểm B: phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

Chú ý với vật liệu giòn thì ta phải kiểm tra phân tố ở điểm D với điều kiện:

- Đối với điểm A: phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:

- Đối với điểm C: phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:

Hình 1.21: Trạng thái ứng suất tại các điểm A,B,C

Ví dụ 1.6 Một trục truyền bằng thép chịu lực nhƣ trên hình 1.22. Trọng lƣợng Puli G = 3kN, công suất và số vòng quay của môtơ là: W = 50kW,

n = 500vg/ph.

Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng biết

Bài giải: Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn trên hình 1.22a, trong đó:

Lực căng dây đai xác định theo điều kiện cân bằng của mômen xoắn:



Ứng suất tƣơng đƣơng tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:

Mặt cắt nguy hiểm tại C về phía CB, tại đó:

; ;

Hình 1.22: Trục chịu uốn và xoắn đồng thời

Các biểu đồ nội lực đƣợc biểu diễn trên các hình 1.22b, c, d.

Thay số vào ta đƣợc:

Vậy trục thoả mãn điều kiện bền.

Ví dụ 1.7 Một trục truyền bằng thép đặt trên các gối tựa A và B, mang các pu-li C và D.

Các kích thƣớc cho trên hình 1.23. Pu-li C đƣợc kéo bởi mô tơ qua các đai truyền lực

theo phƣơng ngang và gây nên lực kéo trên đai ttruyền. Pu-li D nối với máy

chịu tải cũng bằng các đai truyền lực theo phƣơng ngang và có chiều ngƣợc lại. Trọng

lƣợng của các pu-li là . Hãy xác định đƣờng kính của trục truyền. Xem

trục truyền có mặt cắt ngang là không đổi trên suốt chiều dài trục và trọng lƣợng của

trục phân bố đều với cƣờng độ . Ứng suất cho phép khi kéo của vật liệu

làm trục là Bỏ qua ma sát tại các gối tựa.

Bài giải Lực kéo P2 của pu-li thứ 2 tác động lên máy:

Hình 1.23: Hình ví dụ 1.7

Để các đai truyền không bị trƣợt, cần phải có lực căng đai ban đầu. Lực căng

đai phụ thuộc vào nhiều yếu tố nhƣ: vật liệu đai, vật liệu pu-li, chiều dài và trọng

lƣợng dây đai v.v... Trong kỹ thuật, lực căng đai thƣờng lấy trong khoảng từ

của lực kéo. Trong bài toán này, ta lấy lực căng đai bằng 1/2 lực kéo.

Nhƣ vậy, sức căng trong nhánh đai chủ động của pu-li 1 là: .

Trong nhánh bị động là:

Tƣơng tự nhƣ vậy, đối với pu-li 2 ta có sức căng trong nhánh đai chủ động là:

Sức căng trong nhánh đai bị động là: .

Gọi và là hợp lực của và .

Khi đó sơ đồ chịu lực của trục có dạng nhƣ hình 11.16a. Biểu đồ nội lực của

trục có dạng nhƣ hình 1.24 b,c,d.

Mô men uốn tổng cộng tại các mặt cắt ngang C và D là:

Vậy mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt tại D.

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất, mô men tổng hợp gây ra tại D là:

Vậy đƣờng kính của trục truyền là:

Thay số vào ta có:

Ta chọn đƣờng kính của ttrục truyền là

Hình 1.24: Các biểu đồ nội lực ví dụ 1.7

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 1

1. Nêu những ví dụ thực tế về thanh chịu lực phức tạp.

2. Nêu những dạng ngoại lực chỉ gây ra trƣờng hợp chịu lực đơn giản của thanh thẳng.

3. Giải thích và nêu điều kiện áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi tính ứng suất và

biến dạng của thanh chịu lực phức tạp.

4. Phân loại bài toán phẳng và bài toán không gian khi thanh chịu lực phức tạp.

5. Vì sao có thể nói thanh tiết diện tròn chỉ chịu uốn phẳng.

6. Cách tính trị số ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện thanh chịu lực phức tạp khi

tiết diện có hình dạng bất kỳ và khi tiết diện thanh có hình dạng đặc biệt nhƣ hình chữ nhật hoặc hình tròn.

7. Nêu quan hệ giữa nội lực trong thanh với tải trọng tác dụng song song với trục

thanh nhƣng đặt lệch tâm (trƣờng hợp một lực và trƣờng hợp nhiều lực).

8. Viết các biểu thức chứng tỏ rằng đƣờng trung hoà trên tiết diện thanh chịu kéo

(nén) lệch tâm chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực mà không phụ thuộc độ lớn của

lực.

9. Dầm AB mặt cắt ngang hình chữ nhật b  h = (0,1  0,2) m2, chiều dài l = 4m

chịu uốn xiên nhƣ hình vẽ 1.25. Bỏ qua trọng lƣợng của dầm. Hãy.

- Vẽ các biểu đồ momen uốn cho dầm.

- Xác định ứng suất lớn nhất phát sinh tại mặt cắt ngàm của thanh.

Hình 1.25 Hình 1.26

10. Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên

trục y (hình 1.26). Ứng suất tại điểm A bằng 500 N/cm2, tại B bằng không.

- Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và ứng suất lớn nhất trên cột.

Tìm trị số ứng suất pháp lớn nhất phát sinh tại chân cột. Kích thƣớc trên hình

cho theo cm.

11. Cột của nhà công nghiệp có tiết diện chữ nhật (2540)cm2, chiều cao từ chân tới vai cột là 5,1 m. Trọng lƣợng phần mái truyền lên đỉnh cột là F1 = 86 kN, lực của dầm

cầu tác động lên vai cột gồm hai thành phần: thành phần thẳng đứng F2 = 62 kN đặt cách mép ngoài của cột một đoạn 42 cm và thành phần nằm ngang F3 = 3,6 kN. (hình 1.27)

12. Có hai cột kích thƣớc ghi trên hình vẽ 1.28 chịu nén lệch tâm bởi những lực

khác nhau thế nào để ứng suất tại điểm C ở chân cột bằng nhau.

Hình 1.28 Hình 1.27

Hình 1.29 Hình 1.30

13. Một cột bằng đá, trọng lƣợng riêng  = 20kN/cm3, chịu tải trọng nhƣ trên hình 1.29. Xác định ứng suất nén lớn nhất và nhỏ nhất tại mặt cắt chân cột và chỉ vị trí của

chúng trên mặt cắt ấy.

14. Xác định max, min và vị trí trục trung hoà tại mặt cắt nguy hiểm của cột chịu tải

nhƣ hình 1.30.

15. Cho cột mặt cắt ngang tròn có đƣờng kính d=4cm, chịu lực nhƣ hình vẽ 1.31. Biết: P = 2.104 N; M = 4.104 Ncm; Vật liệu cột có: []k = 3500N/cm2; []n=14000N/cm2. Hãy kiểm tra xem cột có đủ bền hay không.

Hình 1.31 Hình 1.32

Hình 1.33 Hình 1.34

16. Cho thanh mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu lực nhƣ hình vẽ 1.32. Hãy xác định

hệ số an toàn nch của thanh.

Biết: P = 160 kN; M = 4kNm; b = 8cm; h = 4cm; ch = 360MN/m2. 17. Xác định đƣờng kính của trụ một giá ép, khi tại điểm A chịu lực ép bằng 15kN

(hình 1.33). Trụ làm bằng gang, ứng suất cho phép khi kéo []k=3,5kN/cm2.

18. Một mắt xích có kích thƣớc và chịu lực nhƣ hình 1.34. Tính ứng suất trên phần đoạn thẳng của mắt xích. Nếu một bên mắt xích bị đứt tại phần đoạn thẳng, chỉ còn làm việc một bên thì ứng suất tăng bao nhiêu lần.

Cho biết d=10mm.

Chƣơng 2

GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC

2.1. KHÁI NIỆM CHUNG

Trong các công trình, các thanh đƣợc liên kết với nhau tạo thành một hệ kết cấu

làm nhiệm vụ chịu và truyền lực sang các bộ phận khác của công trình. Tính bất biến hình là một yêu cầu cơ bản đối với hệ kết cấu, nghĩa là hệ cần giữ đƣợc điểm đặt lực,

không chuyển động nhƣ một cơ cấu. Những hệ thanh không thoả mãn tính chất này

đƣợc gọi là hệ biến hình. Đƣơng nhiên rằng, trong kết cấu công trình, chúng ta chỉ sử

dụng các hệ bất biến hình.

Hệ bất biến hình gồm hệ tĩnh định và hệ siêu tĩnh.

Hệ tĩnh định là hệ có số liên kết bằng số phƣơng trình cân bằng tĩnh học.

Hệ siêu tĩnh là hệ có số liên kết nhiều hơn số phƣơng trình cân bằng tĩnh học. Bậc

siêu tĩnh của hệ đƣợc tính bằng số liên kết thừa.

So với hệ tĩnh định, hệ siêu tĩnh có những đặc điểm sau:

 Nội lực trong hệ siêu tĩnh phân bố đều hơn, ứng suất và biến dạng nhỏ hơn so với

hệ tĩnh định có cùng kích thƣớc và tải trọng.

 Hệ siêu tĩnh có nhƣợc điểm là dễ phát sinh các ứng suất khi nhiệt độ thay đổi, khi

có độ lún ở các gối tựa, khi gia công lắp ghép không chính xác.

Số liên kết thừa của một hệ có thể là liên kết ngoại (liên kết cần thiết để giữ cho hệ

đƣợc cố định) hay liên kết nội (liên kết giữa các phần đối với nhau trong cùng một hệ)

Hình 2.1: Các hệ siêu tĩnh

Xét một số hệ siêu tĩnh nhƣ hình 2.1 ta nhận thấy:

Hình 2.1a,e: hệ thừa 2 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 2. Hình 2.1b: hệ thừa 1 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 1.

Hình 2.1c: hệ thừa 3 liên kết ngoại và 3 liên kết nội: bậc siêu tĩnh là 6.

Hình 2.1d: hệ thừa 3 liên kết nội, bậc siêu tĩnh của hệ là 3.

Khung khép kín (hình 2.1f) là siêu tĩnh bậc ba. Vì muốn nối phần (A) và (B), cần 3

liên kết đơn hoặc 1 khớp và 1 liên kết đơn hay thay ba liên kết đơn bằng mối hàn cứng (hình 2.1g,h).

Khái niệm “liên kết thừa” chỉ có tính qui ƣớc. Bởi vì để đảm bảo cho hệ bất biến

hình thì chúng là thừa, nhƣng sự có mặt của chúng sẽ tạo cho kết cấu có độ cứng cao

hơn và do đó, làm việc tốt hơn so với hệ tĩnh định.

2.2 NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP LỰC

2.2.1 Hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh

Hệ cơ bản là một hệ tĩnh định có đƣợc từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách bỏ bớt

các liên kết thừa. Hệ siêu tĩnh có thể có nhiều hệ cơ bản (hình 2.2).

Hình 2.2: Các hệ cơ bản b,c,d,e từ hệ siêu tĩnh a

Cần chú ý rằng: - Sau khi bỏ các liên kết thừa, hệ phải đảm bảo tính bất biến hình của nó.

- Chỉ đƣợc phép giảm bớt các liên kết đơn chứ không đƣợc phép thêm liên kết đơn

vào một mặt cắt bất kỳ.

Hình 2.3 Ví dụ hệ trên hình 2.3b, c không phải là hệ cơ bản của hệ trên hình 2.3a, vì nó sẽ

biến hình.

2.2.2. Hệ tĩnh định tƣơng đƣơng

Hệ tĩnh định tƣơng đƣơng với hệ siêu tĩnh đã cho khi biến dạng và chuyển vị

của chúng hoàn toàn giống nhau.

Hệ tĩnh định tƣơng đƣơng là hệ cơ bản chọn của hệ siêu tĩnh: các liên kết thừa

biểu diễn phản lực liên kết (hình 2.4). Phản lực liên kết đƣợc xác định với điều kiện

biến dạng và chuyển vị của hệ tĩnh định hoàn toàn giống nhƣ hệ siêu tĩnh đã cho.

Hình 2.4: Hệ tĩnh định tương đương

Với mỗi phản lực liên kết Xi ta có một điều kiện chuyển vị: chuyển vị i của hệ

(2.1) theo phƣơng của phản lực liên kết Xi :

Nếu hệ siêu tĩnh có n bậc siêu tĩnh thì sẽ có n phƣơng trình (2.1). Gọi là hệ

phƣơng trình chính tắc xác định các phản lực liên kết Xi (i = 1, 2, .., n):

(2.2)

trong đó: ip là chuyển vị theo phƣơng i của hệ cơ bản do tải trọng gây nên. ik là chuyển vị đơn vị theo phƣơng i của hệ cơ bản do lực đơn vị đặt theo phƣơng k gây

nên. i là chuyển vị theo phƣơng của lực Xi do tải trọng và phản lực liên kết.

Ta có thể biểu diễn hệ phƣơng trình (2.2) dƣới dạng ma trận. Giải hệ (2.2) bằng

phƣơng pháp Gauss, Cramer, … hoặc giải qua các chƣơng trình máy tính nhƣ

MATLAB, MAPLE, …

Ta có thể tính đƣợc ip và ik theo công thức Mo sau:

; (2.3)

Sau khi xác định đƣợc các phản lực liên kết Xi, đặt các phản lực liên kết Xi cùng

với tải trọng lên hệ cơ bản ta đƣợc một hệ tĩnh định tƣơng đƣơng.

Giải hệ siêu tĩnh bằng phƣơng pháp lực ta có các bƣớc sau: Bước 1. Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản Bước 2. Xác định hệ tĩnh định tƣơng đƣơng bằng cách đặt vào hệ cơ bản các phản

lực liên kết tƣơng ứng với các liên kết thừa đã bỏ đi.

Bước 3. Thiết lập hệ phƣơng trình chính tắc

2.2.3. Tính hệ siêu tĩnh đối xứng

a. Định nghĩa

Hệ đối xứng là hệ có ít nhất một trục đối xứng.

Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng khi tải trọng đặt lên phần này là ảnh

của tải trọng đặt lên phần kia qua gƣơng phẳng đặt tại trục đối xứng và vuông góc với mặt phẳng của hệ.

Nếu tải trọng của phần này là ảnh của phần kia nhƣng có chiều ngƣợc lại

thì ta gọi là hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng.

Hình (2.5a,b,c) : Hệ siêu tĩnh đối xứng, hệ chịu tải trọng đối xứng, hệ chịu tải trọng

phản đối xứng.

Hình 2.5 : Hệ siêu tĩnh đối xứng

b. Tính chất

Tƣơng tự, nội lực cũng có tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng. Trong mặt phẳng: Nz , Mx có tính đối xứng, Qy có tính phản đối xứng Trong không gian: Nz, Mx, My là đối xứng, Qx, Qy và Mz phản đối xứng.

Hình 2.6: Nội lực trong mặt phẳng

Hình 2.7: Nội lực trong không gian

Tính chất của hệ siêu tĩnh đối xứng:

Nếu một hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng đối xứng thì nội lực phản đối xứng trên

mặt cắt trong mặt phẳng đối xứng của hệ là bằng không. Ngược lại nếu tải trọng là phản đối xứng thì nội lực đối xứng phải bằng không.

Chú ý các nhận xét sau: Khi hệ là đối xứng chịu tải trọng đối xứng thì biểu đồ mômen là đối xứng, ngƣợc lại nếu tải trọng phản đối xứng thì biểu đồ mômen là phản đối xứng.

Chứng minh: Giả sử có hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải phản đối xứng (hình 2.8b). Chọn hệ cơ bản bằng cách cắt đôi khung. Phải chứng minh các thành phần nội lực đối xứng X1 và X2 trên mặt cắt là bằng không.

Hình 2.8 : Hệ siêu tĩnh đối xứng và phản xứng

X1 , X2 , X3 là nghiệm của phƣơng trình chính tắc:

(2.4)

Biểu đồ , là đối xứng còn biểu đồ là phản đối xứng nên:

13 = 31 = 23 = 32 =1p = 2p = 0 Do đó hệ phƣơng trình chính tắc trên thu gọn lại nhƣ sau:

(2.5)

Hai phƣơng trình đầu là một hệ thống phƣơng trình thuần nhất 2 ẩn số định thức

khác không, do đó X1 = X2 = 0.

Tƣơng tự, khung chịu lực đối xứng nhƣ hình vẽ 2.8a. Lúc đó biểu đồ tải trọng là đối

xứng nên:

13 = 31 = 23 = 32 = 3P = 0

Hình 2.9: Giải bài toán khung bằng cách sử dụng hệ siêu tĩnh đối xứng và phản xứng

Hệ phƣơng trình chính tắc:

(2.6)

Từ phƣơng trình thứ 3 ta đƣợc X3 = 0 .

Trƣờng hợp hệ đối xứng nhƣng tải trọng bất kỳ thì bằng tổng tác dụng của hệ có

tải trọng đối xứng và hệ chịu tải trọng phản đối xứng (hình 2.9)

2.3. DẦM LIÊN TỤC

2.3.1. Định nghĩa

Dầm liên tục là dầm siêu tĩnh đặt trên nhiều gối tựa đơn, trong đó có một gối tựa cố định (hình 2.10a). Khoảng cách giữa hai gối tựa gọi là nhịp. Bậc siêu tĩnh của

dầm bằng số nhịp trừ đi một.

Hình 2.10: Dầm liên tục

2.3.2. Phƣơng trình ba mômen Chọn hệ cơ bản của dầm bằng cách đặt lên mỗi gối tựa một khớp để chia dầm

thành nhiều dầm đơn (h×nh 2.10b).

Những lực tác dụng lên một nhịp nào đó chỉ ảnh hƣởng đến chuyển vị của nhịp

bên cạnh nên khi xét chuyển vị ở một gối tựa bất kỳ, chỉ cần xét hai nhịp liên tiếp nhau

và các ẩn số chỉ là các mômen uốn nội lực Mi (h×nh 2.10c) (Mi>0 làm căng thớ dƣới). Phương trình chính tắc: viết theo điều kiện góc xoay tƣơng đối giữa hai mặt

cắt tại gối tựa đó phải bằng không.

Ví dụ tại gối tựa thứ “i”:

11M1 + 12M2 +…+ i,i-1Mi-1 + i,iMi + i,i+1Mi+1 +…+ 1nMn + ip = 0

Các hệ số i1 = i2 = …= i(i-2) = … = 0, do lực tác dụng trên hai nhịp ở trên hai gối tựa thứ “i” chỉ ảnh hƣởng đến góc xoay của gối tựa trên hai nhịp đó. Phƣơng trình

chính tắc của hệ có dạng sau:

(2.7) i,i-1Mi-1 + i,iMi + i,i+1Mi+1 + ip = 0

Các hệ số và số hạng tự do trong (2.7):

trong đó: li, li+1 : độ dài của nhịp thứ i và thứ (i+1). i, i+1: Diện tích của biểu đồ mômen do tải trọng gây nên trên hai nhịp thứ i và thứ (i+1). ai, bi+1: Khoảng cách từ trọng tâm của các diện tích đó đến gối tựa thứ (i-1) và (i+1).

Thay các trị số đó vào phƣơng trình chính tắc, ta có:

(2.8)

NÕu ®é cøng EJ kh«ng ®æi trªn suèt chiÒu dµi cña dÇm, ta cã :

(2.9)

Ví dụ 2.1 :

Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn của dầm liên tục nhƣ hình vẽ 2.11a

Giải: Đây là hệ siêu tĩnh bậc 2. Hệ cơ bản nhƣ hình 2.11b. Biểu đồ mômen uốn Mp

nhƣ hình 2.11c.

Phƣơng trình ba mômen đối với gối tựa thứ 1, 2 và 3 là:

Hình 2.11 : Hình ví dụ 2.1

Trong đó M0 = M3 = 0 (do các khớp không có mômen ngoại lực tập trung). Giải ra

ta đƣợc: ;

Dấu (-) chỉ các m«men có chiều ngƣợc với chiều đã chọn. Cộng các biểu đồ Mp, M1, M2 ta đƣợc biểu đồ Mx (hình 2.11f). Sau khi tính phản lực các gối tựa của biểu đồ Mp, M1, M2 và cộng các vectơ phản lực, ta thu đƣợc biểu đồ Qy nhƣ trên hình 2.11g.

2.3.3. Trƣờng hợp đặc biệt Trƣờng hợp dầm liên tục có đầu thừa và đầu ngàm thì cách giải của chúng ta

nhƣ sau:

Tƣởng tƣợng bỏ đầu thừa và thu gọn tất cả ngoại lực đặt trên đoạn đó về gối tựa cuối cùng. Mômen uốn thu gọn có thể xem là mômen liên kết tại mặt cắt của gối tựa cuối cùng (mômen đó có trị số dƣơng khi nó làm căng thớ dƣới và có trị số âm khi nó làm căng thớ trên) hoặc đƣợc xem là mômen uốn ngoại lực tác động lên dầm. Còn liên

kết ngàm thì đƣợc thay bằng một nhịp đặt trên một gối tựa cố định và một liên kết đơn. Ðộ cứng EJx của đoạn nhịp này đƣợc xem là lớn vô cùng và chiều dài của nhịp đó đƣợc xem là bằng không (hình 2.12).

Hình 2.12 : Dầm liên tục có đàu thừa và đầu ngàm

Phƣơng trình ba mômen đƣợc áp dụng đối với từng nhịp cạnh nhƣ phần trên.

Ví dụ 2.2:

Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực nhƣ hình vẽ (2.13a).

Hình 2.13 : Hình ví dụ 2.2

Giải: Hệ cơ bản và thứ tự các nhịp, các gối tựa đƣợc đánh số nhƣ hình 2.13b. Biểu đồ

Mp do tải trọng gây nên trên hệ cơ bản nhƣ hình 2.13c.

Mômen thu gọn ở gối tựa cuối cùng đƣợc xem là mômen liên kết trên mặt cắt của gối tựa đó. Vì vậy trên biểu đồ mômen Mp không có mômen đó. Với các gối tựa (1), (2), ta thiết lập đƣợc các phƣơng trình ba mômen nhƣ sau:

Giải hệ trên với M0 = 0 và M3 = 0.5Pl = 0.5ql2 ta đƣợc:

;

Mômen M1<0, chứng tỏ mômen M1 làm căng thớ trên, mômen M2>0 có nghĩa là M2

làm căng thớ dƣới. Biểu đồ mômen uốn và lực cắt cho trên hình 2.13f,g.

2.4. PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ VÊRÊXAGHIN Xác định chuyển vị của các thanh có độ cứng không đổi, theo công thức Mo

khá phức tạp. Đối với hệ thanh thẳng, ta thấy ít nhất một hàm nội lực dƣới dấu tích

phân là bậc nhất hoặc hằng số.

Nếu một trong hai hàm số dƣới dấu tích phân có dạng bậc nhất thì ta có thể thay

cách giải tích phân trên bằng phƣơng pháp nhân biểu đồ của Vêrêxaghin.

Hình 2.14: Phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin

Nội dung phƣơng pháp nhƣ sau:

Giả thiết trên đoạn chiều dài l nào đó của thanh, hàm số G(z) có dạng bất kỳ

còn F(z) có dạng bậc nhất: F(z) = (az + b)

 Tích phân , trong đó còn .

 Tích phân I của hai hàm số F(z) và G(z):

với d = G(z)dz là một diện tích vô cùng nhỏ của biểu đồ G(z), ta có tích phân theo

biến mới:

 Ta có , trong đó zC là hoành độ trọng tâm của diện tích . Khi đó

tích phân I sẽ là:

 Theo hình 10-12, ta có azC + b = F(zC) – tung độ của hàm F(z) ứng với hoành độ

(2.10) zC  I = F(zC)

 Từ kết quả trên ta suy ra: nếu các biểu đồ nội lực Mm, Nm, Qm do tải trọng gây ra

có dạng bất kỳ, còn các biểu đồ , , do tải trọng đơn vị có dạng bậc nhất thì:

(2.11)

trong đó (Mm), (Nm), (Qm) là diện tích các biểu đồ Mm, Nm, Qm.

là các giá trị của biểu đồ tại những

vị trí tƣơng ứng với trọng tâm của diện tích các biểu đồ Mm, Nm, Qm.

Cần chú ý rằng: - Nếu cả hai biểu đồ nội lực do tải trọng và tải trọng đơn vị đều có dạng bậc nhất

thì khi nhân ta có thể lấy diện tích của biểu đồ này nhân với tung độ tƣơng ứng với

biểu đồ kia hoặc ngƣợc lại.

- Nếu chỉ có một biểu đồ là bậc nhất thì giá trị tung độ tƣơng ứng tại trọng tâm bắt

buộc phải lấy ở biểu đồ có dạng bậc nhất đó.

- Nếu đồ thị bậc nhất bị gãy khúc thì phải chia chiều dài lấy tích phân thành từng

đoạn, trên mỗi đoạn đồ thị này là một đƣờng thẳng trơn, để thực hiện phép nhân, sau

đó lấy tổng kết quả phép nhân trong các đoạn.

- Kết quả của phép nhân mang dấu (+) khi diện tích và tung độ đều cùng dấu hoặc

cùng nằm về một phía của đƣờng chuẩn.

- Nếu các biểu đồ có dạng phức tạp thì khi nhân ta chia chúng ra nhiều hình đơn

giản, sau đó ta cộng các kết quả lại với nhau.

- Kết quả của phép nhân biểu đồ đối xứng với biểu đồ phản đối xứng sẽ bằng

không.

Hình 2.15

Bảng 2.1 - Diện tích và hoành độ trọng tâm của một số hình phẳng

Bậc 2

;

Bậc n

;

Bậc 2

;

Ví dụ 2.3:

Xác định chuyển vị thẳng đứng tại khớp A của một hệ chịu lực nhƣ hình vẽ (2.16a).

Diện tích MCN là F, môđun đàn hồi E. Giải: Lực dọc trong các thanh:

Tƣơng tự trị số lực dọc ứng với Pk = 1:

;

nhƣ hình 2.16c, 2.16d. Vì trong thanh chỉ có lực dọc nên: Biểu đồ lực dọc Nm,

Hình 2.16

; ; ; Với: 1 = .



Ví dụ 2.4:

Cho khung chịu lực nhƣ hình vẽ 2.17a. Xác định chuyển vị ngang và góc xoay

tại đầu tự do C.

Biểu đồ Mm do tải trọng gây ra nhƣ hình vẽ (2.17b).

Giải: Ðể xác định chuyển vị ngang ta đặt lực theo phƣơng ngang Pk=1 tại C, vẽ biểu đồ

  . Ta có: ;

Nhân biểu đồ:

. Để xác định góc xoay tại C ta đặt tại C mômen Mk=1. Vẽ biểu đồ

  ; ;



Do đó:

Ví dụ 2.5: Cho khung chịu lực nhƣ hình vẽ (2.18a). Tính độ dịch gần tƣơng đối giữa các trọng tâm MCN A và B. Bỏ qua ảnh hƣởng của lực dọc và lực cắt; EJx=const

Hình 2.18

Giải: Biểu đồ Mm nhƣ hình vẽ 2.18b

Ðể tìm chuyển vị thẳng tƣơng đối km giữa A và B, đặt hệ lực suy rộng Pk = 1

ngƣợc chiều nhau. Vẽ biểu đồ . Ta có:

Dấu (-) ở đây chứng tỏ sau biến dạng các điểm A và B xa nhau hơn so với vị trí

ban đầu của chúng (ngƣợc chiều với các lực Pk=1).

2.5. CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH

Chuyển vị trong hệ siêu tĩnh đƣợc tính theo công thức Mohr, chẳng hạn khi sử

dụng phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin thì chuyển vị theo phƣơng k sẽ là:

với và là biểu đồ mô men uốn đơn vị và biểu đồ mô men uốn do tải trọng

gây ra trong hệ siêu tĩnh. Nhƣ thế, ta phải giải hai bài toán siêu tĩnh: Một bài toán để

vẽ và một bài toán để vẽ .

Tuy nhiên, ta có thể đơn giản hoá tính toán bằng nhận xét: chuyển vị trong hệ siêu

tĩnh và trong hệ cơ bản phải giống nhƣ nhau, nên ta có thể tính chuyển vị trong hệ cơ

bản.

- biểu đồ mô men do tất cả các lực (gồm tải trọng và các lực ẩn số gây ra) trong

hệ cơ bản, cũng chính là biểu đồ mô men của hệ siêu tĩnh đã cho.

- biểu đồ mô men uốn chỉ do lực bằng đơn vị theo phƣơng k gây ra trong hệ

cơ bản, hệ cơ bản này không nhất thiết phải trùng với hệ cơ bản đã chọn khi tìm .

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 2

1. Thế nào là hệ thanh biến hình, hệ thanh bất biến hình, hệ thanh tĩnh định, hệ

thanh siêu tĩnh. Cho ví dụ.

2. Nêu nội dung phƣơng pháp lực để giải hệ thanh siêu tĩnh. Ý nghĩa của phƣơng

trình chính tắc.

3. Viết và giải thích các biểu thức tính hệ số tự do và số hạng tự do trong phƣơng

trình chính tắc.

4. Giải thích cách xác định biểu đồ ứng lực nói chung và biểu đồ mô men uốn nói

riêng, của hệ siêu tĩnh sau khi đã có nghiệm của hệ phƣơng trình chính tắc.

5. Nêu ƣu điểm của việc chọn hệ cơ bản khi giải dầm liên tục theo phƣơng trình ba

mômen.

6. Nêu biện pháp đơn giản để tính chuyển vị trong hệ siêu tĩnh.

Chƣơng 3

ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN, UỐN

3.1. KHÁI NIỆM CHUNG

Các chƣơng trƣớc của bài giảng Cơ học 1 đã đề cập tới việc xác định trạng thái

ứng suất, biến dạng, chuyển vị của thanh và đã đánh giá độ bền, độ cứng của thanh trong các trƣờng hợp chịu lực. Tuy nhiên, thực tế cho thấy rằng: các điều kiện này

nhiều khi cũng chƣa đảm bảo đầy đủ khả năng làm việc bình thƣờng của kết cấu. Cùng

với việc phân tích độ bền, độ cứng các kỹ sƣ cần quan tâm đến độ ổn định của kết cấu.

Sơ đồ tính, tính chất vật liệu mà chúng ta đặt ra với kết cấu là những khái niệm tuyệt đối, lý tƣởng. Trong thực tế, kết cấu còn chịu những yếu tố thực, những nhiễu

động. Dƣới ảnh hƣởng của những nhiễu động này, kết cấu có thể có những biến dạng

lệch khỏi sơ đồ tính ban đầu. Khi ngừng nhiễu động, kết cấu có thể quay trở lại hoặc

không quay trở lại sơ đồ tính ban đầu.

Ta định nghĩa một cách khái quát: độ ổn định của kết cấu là khả năng duy trì,

bảo toàn được dạng cân bằng ban đầu trước các nhiễu động có thể xảy ra.

Hình 3.1: Các vị trí cân bằng của quả cầu

Để làm rõ hơn khái niệm này, ta hãy xét sự ổn định của vật rắn qua sự cân bằng

của quả cầu ở những vị trí khác nhau trên một bề mặt nhƣ trên hình 3.1: trên đáy lõm

(độ cong dƣơng), trên đỉnh lồi (độ cong âm) và trên mặt nằm ngang (độ cong bằng

không). Những vị trí cân bằng này gọi là vị trí cân bằng ban đầu. Nếu cho quả cầu một

xê dịch nhỏ đƣa nó từ vị trí cân bằng ban đầu sang một vị trí lân cận mới, gọi là vị trí cân bằng nhiễu động, và sau đó ngừng nhiễu động thì ta dễ dàng nhận thấy:

- Trong trƣờng hợp thứ nhất, trên hình 3.1a, quả cầu sẽ quay trở lại vị trí ban

đầu. Vị trí cân bằng ban đầu là ổn định.

- Trong trƣờng hợp thứ hai trên hình 3.1b, quả cầu sẽ không quay lại vị trí ban

đầu mà tiếp tục chuyển động. Vị trí cân bằng ban đầu khi này là không ổn định.

- Trong trƣờng hợp thứ ba trên hình 3.1c, quả cầu sẽ không quay trở lại vị trí

ban đầu nhƣng cũng không chuyển động xa hơn mà nằm ngay tại vị trí cân bằng nhiễu

động. Vị trí cân bằng ban đầu là phiếm định.

Điều kiện để quả cầu có vị trí cân bằng ổn định là độ cong của bề mặt tựa k > 0.

Hiện tƣợng tƣơng tự cũng xảy ra đối với trạng thái cân bằng biến dạng của hệ

kết cấu. Để đơn giản, ta xét một thanh thẳng chịu nén đúng tâm bởi lực N nhƣ trên

hình vẽ 3.2. Trong quá trình xem xét, ta sẽ tăng dần trị số của lực, bắt đầu từ 0. Trạng thái cân bằng ban đầu của thanh là dạng thẳng, thanh chỉ chịu nén đúng tâm. Gây ra

cho thanh một nhiễu động, chẳng hạn bằng một lực ngang nhỏ R đủ đƣa thanh ra khỏi

vị trí cân bằng thẳng, thanh sẽ cong đi. Dạng cân bằng cong này gọi là trạng thái cân

bằng nhiễu động. Nếu ngừng các nhiễu động, bỏ lực ngang R, ta nhận thấy sẽ xảy ra các khả năng sau:

- Khi giá trị lực nén N bé, chẳng hạn nhỏ hơn một trị số Nth nào đó, thanh sẽ

thẳng trở lại. Trạng thái cân bằng của thanh là ổn định (hình 3.3a)

- Khi giá trị lực nén N lớn,vƣợt quá trị số Nth, thanh không thẳng trở lại mà tiếp tục cong thêm, xa dần trạng thái cân bằng ban đầu. Trạng thái cân bằng ban đầu của

thanh, khi này, là trạng thái cân bằng không ổn định (hình 3.3c). Khi bị mất ổn định,

thanh sẽ cong thêm, ngoài chịu nén thanh còn chịu uốn, ứng suất và biến dạng sẽ tăng

lên dẫn đến thanh bị phá hủy.

- Tồn tại một trạng thái chuyển tiếp trung gian, khi lực nén N = Nth, sau khi bỏ nhiễu động, thanh không thẳng trở lại nhƣng cũng không cong thêm. Thanh giữ

nguyên trạng thái cân bằng nhiễu động (hình 3.3b). Trạng thái trung gian này đƣợc gọi là trạng thái cân bằng tới hạn. Trị số lực nén Nth tƣơng ứng đƣợc gọi là lực nén tới hạn.

Hình 3.3:Các dạng cân bằng của thanh Hình 3.2: Thanh thẳng chịu nén

Cần lƣu ý rằng nhiễu động luôn luôn tồn tại, sẵn có trong điều kiện thực của kết cấu. Đó là độ cong ban đầu của trục thanh khi chế tạo, là sự không đồng đều của tiết diện, là độ lệch tâm vốn có của lực nén, là những tác động ngẫu nhiên của tải trọng ngang…, là tất cả những yếu tố sai lệch thực tế không thể tránh khỏi so với điều kiện

lý tƣởng. Vì vậy, bài toán ổn định của thanh mang ý nghĩa thực tế rất lớn. Khi tính

toán kết cấu, cần đảm bảo để thanh không bị mất ổn định. Đối với thanh chịu nén đúng

tâm thì điều kiện này đƣợc biểu diễn bởi bất đẳng thức:

N  Nth Điều kiện ổn định nêu trên độc lập đối với các điều kiện bền và điều kiện cứng

đã nêu trong các chƣơng trƣớc.

Thực tế cho thấy thanh có thể mất ổn định trong giới hạn đàn hồi, khi ứng suất

chƣa vƣợt quá giới hạn tỷ lệ tl, và thanh cũng có thể mất ổn định ngoài giới hạn đàn hồi, khi ứng suất trong thanh vƣợt quá giới hạn tỷ lệ tl.

Hiện tƣợng mất ổn định cũng có thể xảy ra đối với các trƣờng hợp chịu lực

khác của thanh. Ví dụ nhƣ:

- Hình 3.4a: Dầm chịu uốn sẽ ổn định khi lực ngang P  Pth, trong dầm chỉ có biến dạng uốn, khi P  Pth thì dầm mất ổn định, ngoài biến dạng uốn dầm còn có biến dạng xoắn.

- Hình 3.4b: Một ống tròn mỏng bị xoắn thuần tuý khi mômen xoắn M > Mth,

thành ống sẽ bị méo vì mất ổn định.

Hình 3.4: Một số dạng mất ổn định khác

Ngày nay, vấn đề ổn định kết cấu đã đƣợc quan tâm nghiên cứu và đƣợc trình

bày trong những chuyên đề, giáo trình riêng biệt. Trong khuôn khổ sức bền vật liệu ta

chỉ nghiên cứu bài toán cơ bản nhất: bài toán ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng

tâm, hoặc còn gọi là bài toán uốn dọc (thanh cong khi chị tác dụng của lực dọc trục),

mà mục đích chính là xác định lực nén tới hạn để kiểm tra điều kiện ổn định.

3.2. BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN

3.2.1. Thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu Xét một thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu, chịu lực nén đúng tâm N có phƣơng không đổi. Giả sử lực nén đạt tới trị số tới hạn N = Nth, thanh bị uốn cong và tiết diện ở tọa độ z có độ võng y  0 nằm trong mặt phẳng có độ cứng chống uốn nhỏ

nhất nhƣ trên hình 3.5.

Ký hiệu độ cứng chống uốn trong mặt phẳng đang xét của tiết diện là EI, mô

men uốn tại tiết diện là M, ta có phƣơng trình vi phân độ võng là:

(3.1)

Bằng phƣơng pháp mặt cắt, xét thanh ở trạng thái biến dạng nhƣ trên hình 3.5b,

ta có :

M = N.y (a)

Hình 3.5: Bài toán Euler

Thay (a) vào 3.1 ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân cấp hai thuần nhất:

(3.2)

với ký hiệu: (3.3)

Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là:

(b)

Các hằng số tích phân đƣợc xác định từ các điều kiện biên:

Tại z = 0 thì y = 0; thay vào (b) ta có: C1 = 0 ; do đó y = C2sinz (c) Tại z = l thì y = 0 ; thay vào (c) ta có : C2sinl=0 (d) Nhƣ vậy, hoặc C2 = 0 hoặc sinl = 0 Theo (c) điều kiện C2 = 0 dẫn đến kết luận y = 0, trái với giả thiết ban đầu là y

 0 nhƣ vậy sinl = 0. Do đó :

với k là số tự nhiên, hoặc (e)

So sánh(3.3) và (e) ta suy ra :

với k = 1,2,3,… (3.4)

Biểu thức (3.4) là điều kiện để độ võng của thanh khác không, tức là điều kiện

mất ổn định của thanh. Giá trị bé nhất khác không của (3.4) ứng với k = 1 sẽ là lực tới

hạn.

(f)

Mặt khác, trên tiết diện của thanh tồn tại hai trục quán tính chính trung tâm, là hai trục trung tâm có mô men quán tính cực trị là Imax và Imin. Để có giá trị bé của (f)

thì ta sử dụng Imin, có nghĩa là thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng chống uốn EI bé nhất. Biểu thức lực tới hạn khi này là:

(3.5)

Nhƣ thế, lực tới hạn là lực nén nhỏ nhất tạo cho thanh thêm một dạng cân bằng

cong khác với dạng cân bằng thẳng ban đầu.

Theo các kết luận trên, ta có thể nhận thấy một vài vấn đề chƣa đƣợc giải quyết

rành mạch, chẳng hạn độ võng của thanh có dạng nhƣng trị số của độ

võng không xác định, hoặc dạng độ võng sẽ ra sao nếu tải trọng nhận giá trị lớn hơn trị

số ứng với k=1 là nhƣng nhỏ hơn trị số tới hạn ứng với k = 2 là

…

Để trả lời các câu hỏi này ta cần lƣu ý rằng công thức Euler đƣợc xây dựng trên

cơ sở phƣơng trình vi phân tuyến tính gần đúng của độ võng, phƣơng trình này chỉ

đƣợc chấp nhận khi biến dạng nhỏ, công thức Euler chỉ cho giá trị lực tới hạn ở thời

điểm thanh bắt đầu cong mà không kết luận về quá trình tiếp tục cong của thanh.

Lagrange đã lặp lại nghiên cứu của Euler nhƣng xuất phát từ phƣơng trình vi phân phi

tuyến chính xác của đƣờng đàn hồi và đã kết luận rằng: khi lực nén

đạt giá trị của Euler thì thanh bắt đầu cong và sau đó dù lực tăng rất ít, biến dạng của

thanh sẽ phát triển rất nhanh dẫn thanh tới trạng thái bị phá hủy. Vì vậy, khi không có

các liên kết phụ để hạn chế độ võng thì chỉ xảy ra đƣờng cong ứng với k=1, không tồn

tại những đƣờng biến dạng ứng với các trị số cao hơn.

3.2.2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu Lặp lại phép giải bài toán đã tiến hành ở trên nhƣng thay đổi các điều kiện biên, ta nhận đƣợc biểu thức của lực tới hạn trong từng trƣờng hợp liên kết cụ thể của thanh và có thể viết một cách tổng quát:

(3.6)

Trong đó  là hệ số phụ thuộc điều kiện liên kết ở hai đầu thanh, trị số cho trên

hình 3.1.

Nghiên cứu tỷ mỷ hơn có thể thấy  là số lần chiều dài của thanh ứng với một

nửa bƣớc song hình sin của đƣờng cong trục thanh. Chẳng hạn hai lần chiều dài đối

với thanh côngxôn, một lần chiều dài đối với thanh liên kết khớp ở hai đầu, một nửa

chiều dài đối với thanh liên kết ngàm ở hai đầu.

Hình 3.6: Hệ số ảnh hưởng liên kết  (l0=l)

Trị số l0=l đƣợc gọi là chiều dài quy đổi của thanh khi tính ổn định. Công thức

tính lực tới hạn theo chiều dài quy đổi là:

(3.7)

Bài toán tìm lực tới hạn của thanh thẳng chịu nén đúng tâm đƣợc Euler giải lần

đầu tiên vào năm 1744 và công thức tính lực tới hạn (3.6) đƣợc gọi là công thức Euler. Công thức Euler sử dụng trị số Imin đúng với trƣờng hợp thanh có liên kết nhƣ nhau trong hai mặt phẳng quán tính chính xz và yz. Khi thanh có liên kết khác nhau

trong hai mặt phẳng thì cần tính lực tới hạn riêng biệt trong từng mặt phẳng và chọn trị

số nhỏ hơn làm lực tới hạn thực.

3.3. ỨNG SUẤT TỚI HẠN. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER

3.3.1. Ứng suất tới hạn, độ mảnh Thƣơng số giữa lực tới hạn Nth và diện tích A của tiết diện là ứng suất trên tiết diện thanh ngay trƣớc thời điểm thanh bị mất ổn định, đƣợc gọi là ứng suất tới hạn, ký

hiệu th. Có thể viết:

(3.8)

Với: là bán kính quán tính nhỏ nhất của tiết diện.

Gọi  là độ mảnh của thanh: (3.9)

Ta nhận đƣợc công thức tính ứng suất tới hạn của Euler:

(3.10)

Độ mảnh  là một đặc trƣng ổn định của thanh, trị số này càng lớn thì khả năng

ổn định của thanh càng nhỏ, tên gọi “độ mảnh” cũng xuất phát từ ý nghĩa: càng mảnh

thì càng dễ mất ổn định. Độ mảnh phụ thuộc vào chiều dài của thanh, điều kiện liên kết và đặc trƣng hình học của tiết diện.

3.3.2. Giới hạn áp dụng công thức Euler Phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi (3.1), cơ sở để giải bài toán Euler, chỉ đúng

khi vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi. Do đó, kết quả của bài toán cũng chỉ đúng

khi vật liệu còn làm việc trong giới hạn đàn hồi, tức là khi ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ:

(g) hoặc khi:

(3.11) Nếu ký hiệu:

Thì điều kiện để áp dụng công thức Euler là:

(3.12)

Thanh có độ mảnh thỏa mãn điều kiện (3.12) đƣợc gọi là thanh có độ mảnh lớn.

Thanh có độ mảnh nhỏ hơn 0 đƣợc gọi là thanh có độ mảnh vừa hoặc bé. Không thể áp dụng công thức Euler để tính ứng suất tới hạn đối với thanh có độ mảnh

vừa và bé.

3.4. ỔN ĐỊNH CỦA THANH LÀM VIỆC NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

Nghiên cứu lý thuyết về ổn định ngoài giới hạn đàn hồi còn gặp những khó

khăn nhất định và chƣa cho một kết quả thống nhất. Trong kỹ thuật ta thƣờng áp dụng những công thức đơn giản rút ra từ thực nghiệm.

1. Thanh có độ mảnh vừa: 1 ≤  ≤ 0 Có thể dùng công thức của Iasinski:

(3.13) th=a - b

Hằng số a, b phụ thuộc vào vật liệu và tìm đƣợc từ thí nghiệm: b=0,14 kN/cm2 Với thép ít cacbon: b=0,0194 kN/cm2 a=31 kN/cm2; a=2,93 kN/cm2; Với gỗ:

Quan hệ giữa th và  là bậc nhất. Có thể tìm đƣợc giới hạn 1 theo biểu thức:

2. Thanh có độ mảnh bé ≤1 Vì độ mảnh quá bé nên khi chịu nén thì thanh không thể bị cong, trạng thái tới hạn của thanh cũng đồng thời là trạng thái phá hủy của vật liệu. Sự phá hủy này mang

đặc trƣng giòn, chẳng hạn với bê tông, khi ứng suất đạt giới hạn bền; hoặc mang đặc

trƣng xuất hiện biến dạng dẻo, chẳng hạn với thép, khi ứng suất đạt giới hạn chảy.

(3.14)

Đồ thị quan hệ giữa ứng suất tới hạn th và độ mảnh  của thanh làm từ vật liệu

dẻo đƣợc vẽ trên hình 3.3.

Hình 3.7: Quan hệ th và 

3.5. PHƢƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH

Ta đã biết điều kiện bền của thanh chịu nén là:

(3.15)

Trong đó:

N – giá trị lực dọc; A – diện tích tiết diện giảm yếu cục bộ của thanh, chẳng hạn với hệ số trên hình

3.8, trị số A là A0 lấy tại tiết diện có khoét lỗ;

[] - ứng suất bền cho phép, bằng ứng suất tới hạn 0 chia cho hệ số an toàn về

bền:

Điều kiện ổn định của thanh chịu nén, kể đến hệ số an toàn, có thể viết dƣới

dạng:

(3.16)

Sự giảm yếu của một vài tiết diện không ảnh hƣởng đáng kể đến độ ổn định

chung của thanh, do đó diện tích A sẽ lấy bằng diện tích nguyên của thanh.

Trị số ứng suất tới hạn lấy theo các công thức (3.10), (3.13), (3.14) tùy theo độ

mảnh của thanh. Để giảm bớt khó khăn khi tính toán, ta đƣa thêm ký hiệu:

(h)

Khi đó, điều kiện ổn định (3.16) đƣợc viết lại, có dạng tƣơng tự điều kiện bền

nhƣ sau: (3.17)

Hình 3.8: Diện tích tiết diện A và A0 Hệ số  đƣợc gọi là hệ số uốn dọc hoặc hệ số giảm ứng suất cho phép, theo

biểu thức định nghĩa sẽ là một hàm phụ thuộc độ mảnh

Dạng hàm  =() là đã biết và có thể lập sẵn thành bảng cho từng loại

vật liệu.

Khi tính toán ta chỉ cần tra bảng tìm hệ số  theo độ mảnh  của thanh. Cách

tính ổn định nhƣ vậy theo (3.17) đƣợc gọi là cách tính thực hành, cách tính theo theo

quy phạm hoặc cách tính theo hệ số giảm ứng suất cho phép. Ƣu điểm của cách tính này không chỉ ở chỗ đơn giản, gọn gàng mà còn chuẩn xác hơn, tập hợp đƣợc nhiều số

liệu thống kê hơn khi lấy tỷ số của hai hệ số an toàn

Theo điều kiện ổn định ta cũng có ba bài toán cơ bản: - Bài toán kiểm tra:

( 3.18)

Nếu bất đẳng thức thỏa mãn thì thanh ổn định, không thỏa mãn thì thanh mất ổn

định.

Bài toán xác định lực nén cho phép: (3.19)

Bài toán thiết kế, xác định tiết diện: (3.20)

Riêng với bài toán thiết kế, cách giải có phần phức tạp hơn vì hệ số  phụ thuộc

vào độ mảnh , độ mảnh lại chƣa biết vì tiết diện chƣa xác định. Do đó, bài toán sẽ

đƣợc giải bằng cách thử đúng dần, thay bài toán thiết kế bằng bài toán kiểm tra.

Bảng 3.1: Bảng tra hệ số 

Độ

Trị số

đối với

mảnh

Thép số

Thép

Gang

Gỗ

2,3,4

số 5

C

0 1,00

10 0,99

0,97

0,99

0,98

20 0,96

0,95

0,91

0,97

0,95

30 0,94

0,91

0,81

0,93

0,92

40 0,92

0,87

0,69

0,87

0,89

50 0,89

0,83

0,57

0,80

0,86

60 0,86

0,79

0,44

0,71

0,82

70 0,81

0,72

0,34

0,60

0,76

80 0,75

0,65

0,26

0,48

0,70

90 0,69

0,55

0,20

0,38

0,62

100 0,60

0,43

0,16

0,31

0,51

110 0,52

0,35

-

0,25

0,43

120 0,45

0,30

-

0,22

0,36

130 0,40

0,26

-

0,18

0,33

140 0,36

0,23

-

0,16

0,29

150 0,32

0,21

-

0,14

0,26

160 0,29

0,19

-

0,12

0,24

170 0,26

0,17

-

0,11

0,21

180 0,23

0,15

-

0,10

0,19

190 0,21

0,14

-

0,09

0,17

200 0,19

0,13

-

0,08

0,16

3.6. THANH CHỊU UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI

3.6.1. Khái niệm, phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi Xét một thanh chịu đồng thời tải trọng ngang và tải trọng dọc trong mặt phẳng

yz. Ở trạng thái biến dạng nhƣ trên hình (3.9) ta thấy không chỉ tải trọng ngang mà cả tải trọng dọc cũng gây ra mômen uốn. Mômen uốn do tải trọng dọc tỷ lệ với độ võng, nên khi thanh có độ mảnh lớn thì trị số mô men này là đáng kể và cần đƣa vào tính

toán. Bằng phƣơng pháp mặt cắt, ta xét thanh ở trạng thái biến dạng, ta tìm đƣợc trị số

của mô men uốn

Hình 3.9: Thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời

Lƣợng Sy là mô men uốn do lực dọc; lƣợng trong móc vuông là mô men uốn

và xác định bình thƣờng nhƣ khi không có tải

chỉ do tải trọng ngang, ký hiệu là trọng dọc. Khi đó biểu thức của mô men uốn sẽ đƣợc viết tổng quát là:

(3.21)

Biểu thức (3.21) cho thấy nội lực không những phụ thuộc vào ngoại lực mà còn

phụ thuộc vào biến dạng, đó là một đặc điểm của bài toán đang xét. Độ võng đƣợc xác

định theo phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi:

(3.22)

Thay giá trị (3.21) vào (3.22), sau khi rút gọn ta có:

(3.23)

(3.24) Trong đó:

Giải phƣơng trình vi phân cấp hai không thuần nhất (3.23) kết hợp các điều

kiện biên ta tìm đƣợc độ võng y, sau đó tính mô men uốn theo (3.21)

Nghiệm tổng quát của (3.23) sẽ là:

Trong đó:

- là nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất

- là nghiệm riêng của phƣơng trình có vế phải, phụ thuộc vào biểu thức cụ

thể của mô men uốn ngang , do đó, phụ thuộc vào dạng cụ thể của tải trọng ngang.

Để tránh những khó khăn chi tiết của từng bài toán riêng biệt, ta có thể giải bài

toán một cách gần đúng nhƣ sẽ trình bày dƣới đây.

3.6.2. Biểu thức gần đúng của độ võng

1. Thanh thẳng có liên kết khớp ở hai đầu Giả thiết tải trọng ngang hƣớng về một phía và đối xứng qua tiết diện chính

giữa nhịp nhƣ trên hình 3.10. Khi đó độ võng cũng đối xứng, đạt cực trị f ở chính giữa

nhịp và bằng không ở hai đầu.

Hình 3.10: Đường đàn hồi dạng đối xứng

Có thể chọn hàm độ võng y thỏa mãn các điều kiện kể trên dƣới dạng:

(i)

Độ võng , do tải trọng ngang cũng có thể viết dƣới dạng tƣơng tự:

(k)

Trị số độ võng cực trị

tìm đƣợc bằng các phƣơng pháp quen thuộc đã biết. Quan hệ giữa tại chính giữa dầm do tải trọng ngang gây ra có thể và mô men uốn

vẫn đƣợc diễn tả băng phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi:

(1)

Thay (l) vào phƣơng trình độ võng (3.23) ta nhận đƣợc quan hệ:

(3.25)

Thay thế các biểu thức độ võng (i) và (k) vào (3.25), sau khi rút gọn ta đƣợc:

Ký hiệu , biểu thức này có dạng công thức tính lực tới hạn Euler

tƣơng ứng với độ cứng chống uốn của mặt phẳng đang xét EIx thay cho độ cứng nhỏ nhất EImin

(3.26)

Thay (3.26) vào (k), kết hợp với (l) ta có thể viết biểu thức độ võng khi uốn

ngang, uốn dọc đồng thời:

(3.27)

là độ võng của dầm chỉ do tải trọng ngang, tìm đƣợc bằng các phƣơng pháp

quen thuộc đã biết.

Với các tải trọng ngang không đối xứng nhƣng cùng hƣớng về một phía, ta vẫn

chấp nhận công thức (3.27) để tính độ võng.

2. Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu. Khi thanh chịu uốn ngang, uốn dọc đồng thời có các kiểu kiên kết khác, ta cũng

có thể dùng công thức () để tính độ võng, trong đó biểu thức của lực Euler đƣợc điều

chỉnh bằng hệ số ảnh hƣởng liên kết  có giá trị nhƣ khi tính ổn định của thanh thẳng

chịu nén đúng tâm.

(3.28)

3.6.3. Biểu thức gần đúng của mô men uốn Sau khi xác định đƣợc độ võng, ta tính mô men uốn theo (3.21):

(3.29)

Tuy nhiên cũng có thể tính đƣợc mô men uốn bằng một phép tính gần đúng tiếp

theo nhƣ sau:

- Từ phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi, ta có quan hệ:

- Lấy đạo hàm cấp 2 của y và theo biểu thức gần đúng (i), (k), kết hợp với

(3.26) ta nhận đƣợc:

Nhƣ vậy, biểu thức tính mô men uốn M do uốn ngang và uốn dọc đồng thời

đƣợc biểu thị theo mô men uốn do uốn ngang:

(3.30)

Tính mô men uốn theo (3.30) đơn giản hơn tính theo (3.29) nhƣng kém chính

xác hơn vì phải chấp nhận hai lần gần đúng.

3.6.4. Ứng suất và điều kiện bền. Nội lực trên thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời bao gồm lực dọc N=-S

và mô men uốn M.

Ứng suất pháp trên tiết diện thanh:

(3.31)

Ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện chữ nhật, khi sử dụng công thức gần đúng

thứ hai của mô men uốn, đƣợc viết là:

(3.32)

Biểu thức (3.32) cho thấy khi tải trọng ngang và dọc tăng lên n lần thì ứng suất

tăng lên lớn hơn n lần. Do đó điều kiện bền không thể viết theo ứng suất cho phép

mà cần đƣa hệ số an toàn vào tải trọng.

Khi này, điều kiện bền của thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời, khi sử

dụng công thức gần đúng thứ hai của mô men uốn, phải viết dƣới dạng:

Ngoài ra, cần lƣu ý kiểm tra ổn định của thanh trong mặt phẳng quán tính

không chứa tải trọng ngang, là mặt phẳng xz .

Hệ số uốn dọc  tìm ở bảng (3.1) theo trị số của độ mảnh xz của thanh trong

mặt phẳng xz:

3.7. THANH CÓ ĐỘ MẢNH LỚN CHỊU NÉN LỆCH TÂM

Thanh thẳng chịu nén lệch tâm là một trƣờng hợp thƣờng gặp trong thực tế vì

độ lệch tâm của lực là không tránh khỏi. Khi thanh mềm, có độ mảnh lớn, chẳng hạn

các kết cấu bằng kim loại, hiện tƣợng uốn dọc làm cho quan hệ chuyển vị - ngoại lực,

quan hệ nội lực - ngoại lực trở thành các quan hệ phi tuyến, phức tạp nhƣ đã thấy từ

các nghiên cứu ở trên. Ta khảo sát thêm trƣờng hợp một thanh côngxôn chịu nén bới

lực F có độ lệch tâm e nhƣ hình 3.11 nhằm mục đích thiết lập mối quan hệ giữa lực

nén F và độ lệch tâm e.

Mô men uốn tại tiết diện có toạ độ z:

Phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi:

Hay:

Nghiệm tổng quát:

Điều kiện biên: khi z=0 thì y=y’=0;

Khi z=l thì y=

Từ hai điều kiện đầu: C1 + e + =0 ; kC2=0; ta có C2=0

Điều kiện thứ ba cho:

Biểu thức độ võng sẽ là:

Hình 3.11: Thanh có độ mảnh lớn chịu

Hình 3.12: Quan hệ độ võng - lực nén (dạng không thứ nguyên) nén lệch tâm

Đồ thị quan hệ giữa độ võng của đầu tự do  và lực nén F đƣợc trình bày trên hình

3.12. Đồ thị cho thấy khi lực nén tiến tới trị số lực tới hạn thì độ võng tăng vô hạn,

không phụ thuộc vào độ lệch tâm e. Do đó, bài toán Euler đƣợc coi nhƣ một trƣờng

hợp giới hạn.

3.8. ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN

Khi trị số tải trọng ngang trên dầm chịu uốn phẳng vƣợt quá một trị số tới hạn

thì dầm sẽ mất ổn định, ngoài biến dạng uốn dầm sẽ có biến dạng xoắn. Để đảm bảo

dầm không mất ổn định, tải trọng ngang cần nhỏ hơn trị số tới hạn. Vì sự phức tạp của

bài toán, trong mục này ta chỉ xét bài toán ổn định của dầm tiết diện chữ nhật chịu uốn

bởi hai mômen M trong mặt phẳng yoz nhƣ hình 3.13a. Hai đầu dầm đƣợc liên kết sao

cho tại liên kết độ võng y theo phƣơng y, độ võng x theo phƣơng x và góc xoắn  tại

tiết diện quanh trục z bằng không. Bài toán tìm mômen tới hạn đƣợc giải quyết theo

quan điểm của Euler nhƣ đã đƣợc tiến hành với thanh thẳng chịu nén đúng tâm: tìm

điều kiện để tồn tại một dạng cân bằng, khác với dạng cân bằng đã cho ban đầu.Ở đây

dạng cân bằng ban đầu là dạng cân bằng chịu uốn, dạng cân bằng khác là dạng uốn và

xoắn đồng thời.

Giả thiết mô men uốn M đạt giá trị tới hạn, ngoài biến dạng uốn, thanh còn có

biến dạng xoắn nhƣ hình 3.13b. Tiết diện thanh có độ võng y do mômen uốn Mx , độ

võng x do mômen uốn My và góc xoắn  do mômen xoắn Mz. Trên hình vẽ các mômen

đƣợc biểu diễn bằng các vectơ mômen. Ta giả thiết mômen ngoại lực M vẫn nằm trong

mặt phẳng ban đầu, nghĩa là vectơ mômen ngoại lực giữ phƣơng không đổi; tƣơng tự

nhƣ giả thiết phƣơng lực dọc N không đổi trong bài toán thanh chịu nén. Khi đó, từ

điều kiện cân bằng vectơ mômen nội lực toàn phần trên tiết diện vẫn giữ phƣơng

không đổi. Vectơ mômen nội lực toàn phần đƣợc phân ra thành vectơ mômen xoắn và

vectơ mômen uốn. Vectơ mômen xoắn có phƣơng z của trục thanh sau biến dạng,

vectơ mômen uốn có phƣơng x và phƣơng y của tiết diện sau biến dạng.

Xem các góc quay là nhỏ, có thể tính mômen uốn và mô men xoắn nhƣ sau:

* Theo hình 3.13c: mômen uốn quanh trục x là:

mô men xoắn:

* Theo hình 3.13d: mô men uốn quanh trục y là:

Trong đó:  - góc xoắn của tiết diện đang xét;

 - góc nghiêng của trục thanh so với trục thanh trong mặt phẳng xz

Ký hiệu độ cứng khi uốn và khi xoắn của tiết diện lần lƣợt là EIx, EIy ,GIxo; ta có

các quan hệ vi phân:

* Uốn trong mặt phẳng yz:

* Uốn trong mặt phẳng xz:

* Xoắn:

Sau khi biến đổi ta đƣợc quan hệ:

Đặt:

Ta tìm đƣợc giá trị của mô men uốn tới hạn nhƣ sau:

Hình 3.13: Ổn định của dầm chịu uốn thuần tuý

3.9. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 3.1 Tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn của một cột làm bằng thép số 3 mặt cắt

ngang hình chữ I số 22a. Cột có liên kết khớp hai đầu. Xét hai trƣờng hợp:

a) Cột cao 3m. b) Cột cao 2,5m. Biết E = 2,1.105 MN/m2 Bài giải: Mặt cắt ngang hình chữ I số 22a có F = 32,4 cm2; iy = imin = 2,5 cm. Theo liên

kết của thanh thì  = 1.

a) Khi cột cao 3m.

Độ mảnh  của thanh là:

do vậy ta dùng công thức Ta đã biết với thép số 3 thì o = 100. Nên

(12.5) để tính ứng suất tới hạn:

Do đó lực tới hạn của thanh bằng:

b) Khi cột cao 2,25 m:

Độ mảnh  của cột bằng:

Ta dùng công thức (12.8) để tính th. Biết a = 336 MN/m2; b = 1,47 MN/m2

Khi đó:

Ví dụ 3.2 Một thanh có chiều dài l=3m, một đầu ngàm, một đầu khớp. Hãy xác định lực

tới hạn của thanh trong ba trƣờng hợp sau đây:

a) Mặt cắt hình tròn bán kính R=4cm, vật liệu là gang xám có tl =178 MN/m2,

E=11,5.104 MN/m2

b) Mặt cắt hình tròn rỗng, bán kính ngoài R=3cm, bán kính trong r=2cm, vật

liệu là đuyra có tl=180 MN/m2, E=7,1.104 MN/m2

c) Mặt cắt hình vuông cạnh 15  15cm, vật liệu bằng gỗ có tl=17 MN/m2,

E=104 MN/m2

Bài giải:

a) Thanh bằng gang mặt cắt tròn:

Độ mảnh giới hạn 0 của gang xám:

Vì  > 0, ta sử dụng công thức Euler để xác định lực tới hạn:

b) Thanh bằng đuyra, mặt cắt ngang hình vành khăn:

Trong đó:

Độ mảnh giới hạn 0 của đuyra:

Vì  > 0, ta sử dụng công thức Euler để xác định lực tới hạn:

c) Thanh bằng gỗ, mặt cắt ngang hình vuông:

Độ mảnh giới hạn 0 của gỗ:

để xác định lực tới hạn, Vì  < 0, ta sử dụng công thức Ianxinxky

trong đó a=29,3 MN/m2; b=0,194 MN/m2:

Lực tới hạn:

Ví dụ 3.3 Chọn số hiệu thép chữ I cho thanh dài 2 m, liên kết khớp tại hai đầu và chịu một

lực nén . Biết vật liệu là thép số 2 có .

Bài giải

Đây là bài toán chọn tiết diện mặt cắt - vì có hai ẩn là  và A nên ta chọn theo

phƣơng pháp đúng dần

a) Lần 1: Chọn  = 0,5

Ta có diện tích A là:

Tra bảng thép định hình chữ I ta chọn số hiệu thép 22a có: A = 32,4 cm2, iy =

imin = 2,5 cm; ta có độ mảnh của thanh là:

Tra bảng quan hệ giữa  và  ta đƣợc  = 0,75. Hệ số này khác với hệ số  đã

chọn ban đầu. Nên ta phải chọn lại.

b) Lần chọn 2: Ta giả thiết:

Từ đó ta tìm đƣợc

Tra bảng thép định hình ta tìm đƣợc thép chữ I số 20 với ;

Độ mảnh lúc đó bằng:

Tra bảng ta tìm đƣợc  = 0,627 gần đúng với giá trị 0,625 theo giả thiết

ban đầu.

Ta kiểm tra lại điều kiện ổn định:

Vậy ta chọn thép chữ I số 20.

3.10. CHỌN HÌNH DẠNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT VÀ VẬT LIỆU

Đối với thanh chịu kéo – nén đúng tâm để đảm bảo điều kiện bền thì chỉ cần

mặt cắt ngang của thanh có diện tích tối thiểu nào đó là đủ. Còn hình dáng mặt cắt nói

chung có thể bất kỳ.

Nhƣng để đảm bảo điều kiện ổn định thì không phải chỉ chú trọng đến diện tích

của mặt cắt ngang mà còn phải chú ý đến hình dáng của nó. Phải chọn hình dáng của mặt cắt sao cho với một diện tích nhất định, thanh chịu đƣợc lực nén lớn nhất. Hình

dáng đó gọi là hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang vì nó đảm bảo đƣợc an toàn, tiết

kiệm đồng thời tận dụng đƣợc khả năng chịu lực của vật liệu.

Nhƣ đã biết: , nếu càng lớn thì càng giảm, thanh càng dễ mất ổn

định. Do đó để tăng tính ổn định thì cần giảm độ mảnh của thanh:

Để giảm thì có thể giảm l, thay đổi liên kết ở hai đầu thanh, tăng trị số imin.

Do vậy, mặt cắt ngang có hình dáng hợp lý khi:

- . Tức là mặt cắt ngang của thanh là đa giác đều.

- Với cùng diện tích, các mô men quán tính trung tâm càng lớn càng tốt. Vì vậy

ngƣời ta thƣờng dùng các hình rỗng. Tuy nhiên mặt cắt ngang không đƣợc quá mỏng

tránh hiện tƣợng mất ổn định cục bộ.

Mặt khác đối với thanh có độ mảnh lớn, đặc trƣng cơ học duy nhất ảnh hƣởng

đến là mô đun đàn hồi E của vật liệu. Do đó, với loại này ta không nên dùng thép

có cƣờng độ cao để tiết kiệm. Còn đối với thanh có độ bền nhỏ và vừa thì giới hạn

chảy và giới hạn bền ảnh hƣởng đến . Nên dùng thép có cƣờng độ cao là rất có lợi

vì nó tăng đƣợc .

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 3

1. Định nghĩa dạng cân bằng ổn định và dạng cân bằng không ổn định của hệ biến

dạng đàn hồi.

2. Nêu những yếu tố thực tế là nguyên nhân nhiễu động đƣa thanh chịu nén ra khỏi

dạng cân bằng lý tƣởng ban đầu.

3. Nêu dấu hiệu mất ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm trong bài toán

Euler. Khi mất ổn định thanh sẽ bị cong trong mặt phẳng nào?

4. Định nghĩa độ mảnh của thanh thẳng. Tại sao ta có thể nói: độ mảnh là một đặc

trƣng quan trọng trong tính toán ổn định của thanh? Độ mảnh phụ thuộc vào những yếu tố nào?

5. Viết và giải thích các đại lƣợng trong công thức tính ứng suất tới hạn, lực tới hạn

của thanh có độ mảnh lớn, độ mảnh vừa, độ mảnh bé. Công thức xác định các độ mảnh

giới hạn 0, 1.

1. Trình bày cách lập bảng để tính hệ số giảm ứng suất cho phép .

3.Viết điều kiện ổn định theo hệ số . Nêu các bƣớc giải quyết bài toán kiểm tra ổn

định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm theo cách này.

4. Tại sao có thể nói cách viết điều kiện ổn định theo hệ số  có độ tin cậy, chuẩn

xác cao hơn cách viết điều kiện ổn định theo ứng suất tới hạn cho phép.

9. Nêu đặc điểm của bài toán thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời.

10. Trong phƣơng pháp gần đúng để giải bài toán uốn ngang và uốn dọc đồng thời,

ta giả thiết trƣớc dạng độ võng. Dạng giả thiết này phải tuân theo những điều kiện gì?

Nêu dạng độ võng của thanh có liên kiết khớp ở hai đầu, thanh công xôn.

11. Vì sao khi thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời cần viết điều kiện bền

theo tải trọng có kể đến hệ số an toàn mà không viết theo ứng suất cho phép.

12. Trình bày hiện tƣợng ổn định và mất ổn định của dạng cân bằng chịu uốn.

13. Khi giải bài toán ổn định theo phƣơng pháp Euler, nói một cách tổng quát, ta đã

dựa vào điều kiện nào để xác định tải trọng giới hạn.

14. Xác định lực tới hạn và ứng suất tới hạn bằng công thức Euler đối với các thanh

có:

a) Mặt cắt hình chữ nhật (9 4) cm2, chiều dài thanh l=2m (hình 3.14a). b) Mặt cắt chữ I số 16, chiều dài thanh l=3m (hình 3.14b) c) Mặt cắt hình chữ nhật rỗng có các cạnh ngoài (20 12) cm2, bề dày vách

bằng 2 cm (hình 3.14c).

Hình 3.14

15. Tìm lực cho phép P đối với một cột bằng gỗ mặt cắt hình chữ nhật (0,2 x 0,1)m2,

chịu nén đúng tâm. thanh có chiều dài l = 2m.

Hệ số an toàn về ổn định yêu cầu n = 4. Mô đun đàn hồi của gỗ E = 104MN/m2

(Hình 3.15)

Hình 3.15

Chƣơng 4

TẢI TRỌNG ĐỘNG

4.1. KHÁI NIỆM CHUNG

4.1.1. Tải trọng tĩnh, tải trọng động Khi thanh biến dạng dƣới tác động của các ngoại lực, các phần tử vật chất trong thanh sẽ chuyển động, phát sinh gia tốc chuyển động và kèm theo đó lực quán tính.

Bản chất của mọi quá trình đều là động, tuy nhiên để đơn giản phép tính, ta cần xem

xét một cách hợp lý khi nào có thể bỏ qua và khi nào không thể bỏ qua các hiệu ứng

động.

Nếu gia tốc nhỏ, lực quán tính bé thì có thể bỏ qua lực quán tính so với các tải

trọng tác dụng. Bài toán khi này gọi là bài toán tĩnh. Còn khi gia tốc biến dạng lớn,

không thể bỏ qua lực quán tính so với tải trọng tác động thì bài toán là bài toán động,

tải trọng trong trƣờng hợp này đƣợc gọi là tải trọng động.

4.1.2. Phân loại tải trọng động Vì gia tốc là đặc điểm của bài toán động nên ta có thể phân loại tải trọng động

theo gia tốc chuyển động.

- Bài toán chuyển động có gia tốc không đổi. Thuộc loại bài toán này trong kỹ

thuật là trƣờng hợp chuyển động của các thang máy, vận thăng trong xây dựng, nâng hoặc hạ các vật nặng, trƣờng hợp chuyển động tròn với vận tốc quay là hằng số của

các vô lăng hoặc các trục truyền động.

- Bài toán chuyển động có gia tốc thay đổi và là hàm xác định theo thời gian.

Một trƣờng hợp riêng thƣờng gặp là trƣờng hợp gia tốc thay đổi tuần hoàn theo thời

gian, gọi là dao động. Thuộc loại bài toán này là các bàn rung, đầm dùi, đầm bàn để

làm chặt các vật liệu, bài toán dao dộng của các máy công cụ…

- Bài toán va chạm, trong trƣờng hợp này chuyển động xảy ra rất nhanh trong

thời gian rất ngắn, luật biến thiên của gia tốc không xác định hoặc không thể biểu diễn

bằng những hàm số giải tích thông thƣờng. Thuộc loại này có các bài toán dừng, phanh một cách đột ngột các chuyển động, đóng cọc bằng búa, …

4.1.3. Các giả thiết khi tính toán Việc giải quyết bài toán động của thanh là một bài toán phức tạp, liên quan nhiều tới tính chất vật liệu, các số liệu thực nghiệm. Trong phạm vi chƣơng trình, ta chỉ tìm hiểu những cách tƣơng đối đơn giản, những bài toán không có mức độ phức

tạp lớn hoặc không đòi hỏi lời giải chính xác cao, những trƣờng hợp phổ biến nhất thƣờng gặp trong thực tế kỹ thuật công trình.

Ta chấp nhận những giả thiết nhƣ sau:

1- Tính chất vật liệu khi chịu tải trọng tĩnh và khi chịu tải trọng động là nhƣ

nhau, chẳng hạn định luật Hooke, các hằng số đàn hồi giữ nguyên không thay đổi.

2 - Chấp nhận các giả thiết về tính chất biến dạng của thanh nhƣ khi chịu tải trọng tĩnh, chẳng hạn các giả thiết tiết diện phẳng, giả thiết thớ dọc không tác dụng

tƣơng hỗ.

Khi giải quyết bài toán, ta sẽ sự dụng các kết quả các nguyên lý về động lực học

nhƣ nguyên lý D’Alembert, nguyên lý bảo toàn năng lƣợng, nguyên lý bảo toàn xung lƣợng…

- Nguyên lý D’Alembert: Vật thể chuyển động sẽ nằm ở trạng thái tĩnh nếu đặt

vào vật thể lực quán tính tỷ lệ với khối lƣợng và gia tốc chuyển động.

(4.1)

- Nguyên lý bảo toàn năng lƣợng: Khi bỏ qua nhiệt năng và các năng lƣợng

và biến thiên thế năng

của hệ không hồi phục thì tổng biến thiên động năng đàn hồi từ trạng thái 1 đến trạng thái 2 bằng công T của ngoại lực sinh ra trong quá

trình đó.

(4.2)

- Nguyên lý bảo toàn xung lƣợng: Động lƣợng của hệ trƣớc và sau va chạm là

một trị số không đổi.

4.2. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC KHÔNG ĐỔI

Với loại bài toán này, ta chỉ cần đặt lực quán tính theo công thức (4.1) vào hệ

thì bài toán trở thành bài toán tĩnh và hoàn toàn có thể áp dụng đƣợc các công thức đã

có trong phần tĩnh để giải bài toán. Nhờ hai giải thiết đã nêu, kết quả nhận đƣợc chính là kết quả của bài toán động.

4.2.1. Bài toán kéo vật nặng lên cao nhanh dần đều

Hình 4.1: Bài toán kéo vật nặng lên cao với gia tốc không đổi

Xét một vật nặng P đƣợc kéo lên theo phƣơng thẳng đứng với gia tốc không

đổi bởi một dây cáp có mặt cắt F. Trọng lƣợng bản thân của dây không đáng kể so

với trọng lƣợng P (hình 4.1).

Áp dụng nguyên lí Đalămbe (d’Alembert) và phƣơng pháp mặt cắt, chúng ta

dễ dàng suy ra nội lực trên mặt cắt của dây cáp:

Nđ = P + Pqt

(4.3)  Nđ = = KđP

Với Kđ =

Khi gia tốc w = 0, thì Kđ = 1 và Nđ = Nt = P. Tải trọng Nt (khi không có gia tốc) là tải trọng tĩnh, tải trọng Nđ (khi có gia

tốc) là tải trọng động:

Nđ = KđNt.

ứng suất mặt cắt của dây khi không có gia tốc t, khi có gia tốc là ứng suất

động đ. Vì dây chịu kéo đúng tâm, nên:

(4.4)

Các công thức (12.3) và (12.4) cho thấy: bài toán với tải trọng động tương đương như bài toán với tải trọng tĩnh lớn hơn Kđ lần. Hệ số Kđ đƣợc gọi là hệ số động hay hệ số tải trọng động.

Kết luận: “Nhƣ vậy, nói chung, những yếu tố khác nhau giữa tải trọng động

và tải trọng tĩnh đƣợc xét đến bằng hệ số động và việc giải các bài toán với tải

trọng động quy về việc xác định các hệ số động đó”.

4.2.2. Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi Xét vô lăng có bề dày t rất bé so với đƣờng kính trung bình D = 2R quay với

vận tốc góc  không đổi (hình 12-2a). Vô lăng có diện tích mặt cắt ngang F, trọng

lƣợng riêng của vật liệu là . Tính ứng suất động của vô lăng.

Ðể đơn giản, ta bỏ qua ảnh hƣởng của các nan hoa và trọng lƣợng bản thân vô

Vì vô lăng quay với vận tốc góc  = const, nên gia tốc góc

Vậy gia tốc tiếp tuyến lăng. Nhƣ vậy, trên vô lăng chỉ có lực ly tâm tác dụng phân bố đều qđ . và gia tốc pháp tuyến wn = 2R

Trên một đơn vị chiều dài có khối lƣợng F, cƣờng độ của lực ly tâm là:

qđ =

Nội lực trên mặt cắt ngang:

Tƣởng tƣợng cắt vô lăng bởi mặt cắt xuyên tâm. Do tính chất đối xứng, trên

mọi mặt cắt ngang chỉ có thành phần nội lực là lực dọc Nđ, ứng suất pháp đ đƣợc coi là phân bố đều (vì bề dầy t bé so với đƣờng kính, hình 4.2b)

Hình 4.2: Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi

Lập tổng hình chiếu các lực theo phƣơng y, ta đƣợc:

Ứng suất kéo đ trong vô lăng là:

Nhận xét: ứng suất trong vô lăng đ tăng rất nhanh nếu tăng  hay R.

Ðiều kiện bền khi tính vô lăng là:

trong đó []k: ứng suất cho phép khi kéo của vật liệu

Ghi chú :Chu kỳ T là khoảng thời gian thực hiện một dao động (s). Tần số f là

số dao động trong 1 giây (hertz). Tần số vòng (tần số riêng): số dao động trong 2

giây:

Ví dụ 4.1: Cho dầm bê tông dài 5m, có trọng lƣợng riêng  = 22k N/m3 đƣợc kéo lên cao nhanh dần đều, sau 10s đƣa lên cao đƣợc 10m so với vị trí nằm yên ban đầu. Diện tích tiết diện A=600 cm2. Bỏ qua trọng lƣợng dây, xác định lực kéo trong dây và mô men uốn lớn nhất trong dầm. (Hình 4.3)

Bài giải: Gia tốc chuyển động nhanh dần đều xác định theo công thức:

Gia tốc hƣớng lên, cùng chiều chuyển động. Khối lƣợng của dầm phân bố đều

nên lực quán tính là một hệ lực phân bố đều hƣớng xuống với cƣờng độ:

Đặt hệ lực quán tính vào dầm, hệ đƣợc xem là ở trạng thái tĩnh. Dầm chịu lực

phân bố đều gồm trọng lƣợng riêng và lực quán tính với cƣờng độ tổng cộng là:

Lực căng trong dây:

Giá trị lớn nhất của biểu đồ mô men uốn:

Hình 4.3: Bài toán nâng dầm lên nhanh dần đều

4.3. BÀI TOÁN CÓ GIA TỐC THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN

4.3.1. Bậc tự do của hệ

Hình 4.4: Xác định bậc tự do của hệ

Khi chuyển động, các phần vật chất của hệ sẽ chuyển động. Số lƣợng các thông

số độc lập cần thiết đủ để xác định vị trí tất cả các khối lƣợng trên hệ đƣợc gọi là số

bậc tự do. Trên hình 4.4a, dầm không khối lƣợng mang một vật nặng P, để xác định vị

trí của vật nặng P ta chỉ cần biết độ võng y tại tiết diện đặt vật nên hệ có một bậc tự do.

Trên hình 4.4b là dầm mang hai khối lƣợng, hệ có hai bậc tự do. Trên hình 4.4c tuy hệ

mang một vật nặng nhƣng cần hai thông số mới xác định đầy đủ vị trí của vật ở trạng

thái biến dạng, hệ có hai bậc tự do.

Ở phần tiếp theo, ta chỉ khảo sát hệ có một bậc tự do.

4.3.2. Phƣơng trình vi phân tổng quát của hệ một bậc tự do Xét dầm mang khối lƣợng m (bỏ qua trọng lƣợng bản thân dầm) và chịu lực

F(t) thay đổi theo thời gian tại tiết diện đặt khối lƣợng nhƣ sơ đồ trên hình 4.5

Hình 4.5: Sơ đồ bài toán dao động của hệ một bậc tự do.

Ta gọi trạng thái cân bằng ban đầu là trạng thái của dầm chỉ chịu khối lƣợng m, khối lƣợng này có chuyển vị y0. Hệ là đàn hồi tuyến tính nên quan hệ giữa lực tác động và chuyển vị là:

(4.5)

Có thể thấy  là chuyển vị tại tiết diện đặt khối lƣợng do lực bằng đơn vị đặt tại

tiết diện đó gây ra. Giá trị y0 hoặc  có thể tìm thấy bằn các phƣơng pháp đã biết.

Sau khi chịu lực động F(t), còn gọi là lực cƣỡng bức, khối lƣợng m sẽ có

chuyển vị thêm y(t) tính từ trạng thái cân bằng ban đầu.

Đặt vào dầm lực quán tính , dầm sẽ ở trạng thái tĩnh và ta có

thể tìm đƣợc chuyển vị thêm y(t). Các lực gây ra chuyển vị thêm gồm lực động F(t), lực quán tính Fqt và để tổng quát ta xét cả lực cản nhớt, là loại lực cản ngƣợc chiều

chuyển động và tỷ lệ với vận tốc , β gọi là hệ số tỷ lệ.

Lực cản nhớt nói chung bao gồm các lực cản của môi trƣờng, lực cản do ma sát

của các liên kết và lực cản bên trong của bản thân kết cấu.

Hệ ở trạng thái tĩnh nên ta vẫn có quan hệ giữa lực và chuyển vị theo (4.3):

Quan hệ này đƣợc viết gọn dƣới dạng

(4.6)

Trong đó ta đặt:

(4.7)

(4.8)

Trong đó α gọi là hệ số cản nhớt, xác định bằng thực nghiệm, và ta thƣờng gặp

α <.

Quan hệ (4.4) là phƣơng trình vi phân chuyển động tổng quát của hệ có một bậc

tự do.

4.4. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO

4.4.1. Khái niệm chung về dao động

Khi nghiên cứu về dao động của hệ đàn hồi, trƣớc tiên ta cần có khái niệm về bậc

tự do: bậc tự do của một hệ đàn hồi khi dao động là số thông số độc lập để xác định vị

trí của hệ.

Ví dụ: hình 4.6a, nếu bỏ qua trọng lƣợng của dầm thì hệ có 1 bậc tự do (chỉ cần biết

tung độ y của khối lƣợng m xác định vị trí của vật m). Nếu kể đến trọng lƣợng của

dầm thì hệ có vô số bậc tự do vì cần biết vô số tung độ y để xác định mọi điểm trên

dầm.

Trục truyền mang hai puli (hình 4.6b). Nếu bỏ qua trọng lƣợng của trục thì hệ có 2

bậc tự do (chỉ cần biết hai góc xoắn của hai puli ta sẽ xác định vị trí của hệ).

Khi tính phải chọn sơ đồ tính, dựa vào mức độ gần đúng cho phép giữa sơ đồ tính

và hệ thực đang xét.

Ví dụ: nếu khối lƣợng m rất lớn so với khối lƣợng của dầm phải lập sơ đồ tính là

khối lƣợng m đặt trên dầm đàn hồi không có khối lƣợng nên hệ có một bậc tự do. Nếu trọng lƣợng của khối lƣợng m không lớn so với trọng lƣợng dầm, ta phải lấy sơ đồ tính là một hệ có vô số bậc tự do và bậc tự do của một hệ xác định theo sơ đồ tính đã chọn,

nghĩa là phụ thuộc vào sự gần đúng mà ta đã chọn khi lập sơ đồ tính.

Dao động của hệ đàn hồi đƣợc chia ra:

 Dao động cưỡng bức: dao động của hệ đàn hồi dƣới tác dụng của ngoại lực biến

đổi theo thời gian (lực kích thích).

P(t)  0

 Dao động tự do: dao động không có lực kích thích P(t)=0:

 Dao động tự do không có lực cản: hệ số cản 

 = 0; P(t) = 0

 Dao động tự do có để ý đến lực cản của môi trường:   0 ; P(t) = 0

Trọng lƣợng của khối lƣợng m đƣợc cân bằng với lực đàn hồi của dầm tác động lên

khối lƣợng.

Hình 4.6: Dao động của hệ đàn hồi một bậc và nhiều bậc tự do

4.4.2. Dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do

a) Phƣơng trình vi phân biểu diễn dao động Dầm mang khối lƣợng m (bỏ qua trọng lƣợng dầm). Lực kích thích P(t) biến đổi

theo thời gian tác dụng tại mặt cắt ngang có hoành độ z. Tìm chuyển vị y(t) của khối lƣợng m theo thời gian t.

Hình 4.7: Dao động hệ một bậc tự do

Vận tốc và gia tốc của khối lƣợng này là:

Chuyển vị của m do những lực sau đây gây ra: Lực kích thích P(t), lực cản ngƣợc

chiều chuyển động và tỷ lệ với vận tốc:

Fc = - ; ( - hệ số cản), lực quán tính: Fqt = - m

Gọi  là chuyển vị gây ra do lực bằng một đơn vị tại vị trí m  chuyển vị do lực

, chuyển vị do lực P(t) gây ra là .P(t), chuyển vị do lực cản gây ra là .Fc = - .

quán tính gây ra là -.m

Chuyển vị do các lực tác dụng vào hệ gây ra là

(4.9)

Chia (4.9) cho m. và đặt: ;

Do đó ta có :

(4.10)

 Ðây là phƣơng trình vi phân của dao động. Hệ số  biểu diễn ảnh hƣởng của lực

cản của mối trƣờng đến dao động và  < .

b) Dao động tự do không có lực cản

Dao động tự do không có lực cản: P(t) = 0,  = 0.

Phƣơng trình vi phân của dao động có dạng: (4.11)

Nghiệm của phƣơng trình này có dạng: y(t) = C1cost + C2sint Biểu diễn C1 và C2 qua hai hằng số tích phân mới là A và  bằng cách đặt:

C1 = A sin ; C2 = A cos Ta có phƣơng trình dao động tự do: y(t) = A sin(t + ) (4.12)

Điều kiện ban đầu t = 0 => y(0) = y0; xác định C1 và C2

Phƣơng trình (4.12) cho thấy:

 Chuyển động tự do không lực cản là một dao động điều hoà có biên độ A và

chu kỳ T = . Đồ thị dao động hình sin nhƣ trên hình 4.8.

Hình 4.8: Đồ thị dao động tự do không cản

 Tần số dao động f = .

 Tần số góc hay tần số dao động riêng:  = 2f ;

(Hert = 1/s)

c) Dao động tự do có kể đến lực cản

Vì P(t) = 0,   0, khi đó phƣơng trình vi phân của dao động là:

(4.13)

Với điều kiện hạn chế  <  (lực cản không quá lớn), nghiệm có dạng:

(4.14)

Dao động là hàm tắt dần theo thời gian với tần số góc:

Chu kỳ dao động:

Hình 4.9:Đồ thị dao động tự do có cản

Dạng dao động đƣợc biểu diễn trên hình 4.9, biên độ dao động giảm dần theo thời

gian, bởi vậy ta gọi là dao động tự do tắt dần. Khi lực cản càng lớn, tức là hệ số  càng

lớn thì sự tắt dần càng nhanh.

Sau mỗi chu kỳ T1, biên độ dao động giảm với tỉ số:

Tức là giảm theo cấp số nhân 4.5. BÀI TOÁN VA CHẠM

4.5.1. Va chạm theo phƣơng thẳng đứng Xét một dầm, bỏ qua trọng lƣợng bản thân, mang vật nặng P và chịu va chạm

bởi vật nặng Q rơi theo phƣơng thẳng đứng vào dầm tại tiết diện đặt vật nặng P với

Hình 4.10: Va chạm thẳng đứng trên hệ một bậc tự do

vận tốc lúc va chạm v0 nhƣ trên hình vẽ 4.10.

Ở trạng thái ban đầu, khi chƣa va chạm, do trọng lƣợng P tiết diện đặt vật có

chuyển vị y0.

Sau va chạm, ta giả thiết cả hai vật P, Q cùng chuyển động xuống dƣới, đạt chuyển vị lớn nhất yd rồi sau đó thực hiện dao động tự do tắt dần quanh vị trí cân bằng ban đầu.

Gọi trạng thái 1 là trạng thái khi vật Q chạm vật P và cả hai cùng di chuyển xuống dƣới với vận tốc v1. Trạng thái 2 là trạng thái khi vật Q và P đạt tới chuyển vị lớn nhất yd xuống phía dƣới.

Áp dụng nguyên lý bảo toàn năng lƣợng cho quá trình hệ chuyển từ trạng thái 1

sang trạng thái 2

Biến thiên của động năng: , với v2 = 0.

Theo định lý bảo toàn động lƣợng thì động lƣợng trƣớc khi va chạm, là sẽ

bằng động lƣợng sau va chạm, là: .Ta có:

Vậy:

Thế năng biến dạng đàn hồi của hệ đƣợc tính trên cơ sở đồ thị quan hệ tuyến

tính giữa lực – chuyển vị nhƣ trên hình (4.5), biểu đồ này đúng khi thanh chịu tải trọng

tĩnh cũng nhƣ khi thanh chịu tải trọng động theo các giả thiết đã nêu.

Hình 4.11: Đồ thị tính thế năng biến dạng

Ở trạng thái 1, do lực tĩnh P thanh có chuyển vị y0, thế năng biến dạng đàn hồi

tƣơng ứng:

Sử dụng ký hiệu chuyển vị đơn vị là , chuyển vị do một lực có trị số bằng 1

đặt theo phƣơng va chạm gây ra nhƣ trên hình (4.4b), ta có thể viết:

Ở trạng thái 2, thanh có chuyển vị (y0+yd). Do giả thiết tính chất vật liệu khi tải trọng tĩnh cũng nhƣ khi tải chịu tải trọng động, ta có thể viết biểu thức tƣơng tự nhƣ

của thế năng biến dạng đàn hồi:

;

Công của ngoại lực trong di chuyển từ trạng thái 1 tới trạng thái 2 là công của

các trọng lƣợng Q + P không đổi trong đoạn chuyển dời yd. Vậy:

Từ nguyên lý bảo toàn năng lƣợng , ta có:

Hay: (4.15)

Lƣợng là chuyển vị theo phƣơng va chạm của tiết diện va chạm do một

lực bằng trọng lƣợng P đặt tĩnh theo phƣơng va chạm gây ra.

Lƣợng , ký hiệu yt, là chuyển vị theo phƣơng va chạm của tiết diện va chạm

do một lực bằng trọng lƣợng P và đặt tĩnh theo phƣơng va chạm gây ra, sơ đồ xác định yt nhƣ trên hình 4.10c.

Phƣơng trình (4.15) đƣợc viết gọn dƣới dạng nhƣ sau:

(4.16)

Nghiệm dƣơng của phƣơng trình là:

(4.17)

Trong đó, hệ số động của bài toán va chạm theo phƣơng thẳng đứng là:

(4.18)

Trƣờng hợp đặc biệt, khi vật nặng Q rơi từ độ cao H xuống dầm,

(4.19)

Khi H=0 thì kd = 2, nghĩa là khi đặt đột ngột toàn bộ trị số tải trọng lên hệ thì

nội lực,biến dạng, chuyển vị sẽ lớn gấp đôi trƣờng hợp đặt tải tĩnh.

Ví dụ 4.2 Xác định ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện một cột chịu va chạm theo

phƣơng thẳng đứng cho trên hình 4.12. Bỏ qua trọng lƣợng cột.

Cho biết: Q = 600 kN; H = 6 cm; E = 103 kN/cm2. Bài giải Chuyển vị tĩnh yt bằng biến dạng dài của cột do trọng lƣợng Q đặt tĩnh

trên cột là:

Hình 4.12

Hệ số động:

Ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện:

4.5.2. Va chạm theo phƣơng nằm ngang Xét hệ có một bậc tự do chịu va chạm bởi vật nặng Q chuyển động theo phƣơng

ngang với vận tốc v0 vào trọng lƣợng đặt sẵn P (hình 4.13a).

Ở trạng thái ban đầu, khi chƣa va chạm, tiết diện đặt tại vật P không có chuyển vị theo phƣơng ngang. Sau va chạm, ta giả thiết cả hai vật P, Q cùng chuyển động sang phải đạt chuyển vị lớn nhất yd rồi sau đó thực hiện dao động tự do tắt dần quanh vị trí cân bằng ban đầu.

Tiến hành những bƣớc tƣơng tự nhƣ đối với trƣờng hợp va chạm theo phƣơng

thẳng đứng, ta sẽ tìm đƣợc chuyển vị yd. Trong trƣờng hợp đang xét:

;

( dầm chƣa có chuyển vị ngang theo phƣơng va chạm)

( ở trạng thái 2 dầm có chuyển vị yd)

Hình 4.13: Va chạm theo phương ngang

Công ngoại lực T=0 (chuyển vị theo phƣơng vuông góc với trọng lƣợng Q

và P).

Áp dụng nguyên lý bảo toàn năng lƣợng , ta có:

Đặt: : Chuyển vị theo phƣơng ngang do một lực bằng trọng lƣợng

của vật gây va chạm Q đặt tĩnh theo phƣơng va chạm, xác định theo sơ đồ hình 4.9c.

- Chuyển vị do một lực có trị số bằng 1 đặt theo phƣơng va chạm, xác định

theo sơ đồ trên hình 4.9b.

Nghiệm dƣơng của phƣơng trình:

(4.20)

Hệ số động của bài toán va chạm theo phƣơng ngang là:

(4.21)

Ví dụ 4.3 Xác định hệ số động của dầm thép chữ I N014 ( Hình 4.14) chịu va chạm bởi vật có trọng lƣợng 100 N chuyển động theo phƣơng ngang với vận tốc v0 = 20 km/h khi không kể và khi có kể đến trọng lƣợng của dầm.

Bài giải: Từ bảng thép định hình, với I N014 ta có các đặc trƣng: - Trọng lƣợng trên 1 mét dài 137N;

- Mômen quán tính Ix = 572 cm4; - Môđun đàn hồi E = 2,1.104 kN/cm2 - Chiều dài dầm: l=400 cm

Hình 4.14

Chuyển vị tĩnh:

Vận tốc chuyển động: v0 = 20 km/h = 555,5 cm/s. Khi không kể đến trọng lƣợng bản thân của dầm

Khi kể đến trọng lƣợng bản thân của dầm, ta thu gọn trọng lƣợng về tiết diện va

chạm ở chĩnh giữa dầm với hệ số thu gọn là 17/35 và có trọng lƣợng thu gọn là:

Nhƣ thế, trọng lƣợng bản thân làm giảm ảnh hƣởng va chạm. Việc không kể

trọng lƣợng bản thân khiến phép tính thiên về an toàn.

4.5.3. Kết luận chung về bài toán va chạm 1. Công thức tính các đại lượng: Trên cơ sở biểu thức tính chuyển vị toàn phần

Và quan hệ định luật Hooke, ta có thể viết biểu thức tính đại lƣợng S bất kỳ

trong bài toán va chạm:

Trong đó: S0 - đại lƣợng cần tính do vật nặng đặt sẵn trên hệ gây ra;

St - đại lƣợng cần tính do một lực bằng trọng lƣợng vật gây va chạm Q đặt theo

phƣơng va chạm gây ra;

Kd - hệ số động của bài toán va chạm, tính theo (4.18) khi va chạm theo phƣơng

thẳng đứng và tính theo (4.21) khi va chạm theo phƣơng nằm ngang.

Trong cả hai trƣờng hợp yt là chuyển vị tĩnh theo phƣơng va chạm do một lực bằng trọng lƣợng của vật gây va chạm Q đặt tĩnh theo phƣơng va chạm gây ra nhƣ đã

chỉ trên hình 4.10c hoặc 4.13c.

2. Trường hợp kể tới khối lượng của kết cấu: khi này có thể thu gọn khối lƣợng

về tiết diện chịu va chạm bằng cách sử dụng các hệ số thu gọn khối lƣợng.

3. Giảm ảnh hưởng của va chạm: Ta giảm hệ số động bằng cách: - Tăng thêm khối lƣợng đặt sẵn P. Biện pháp này làm tăng trị số của S0 - Làm mềm kết cấu để tăng thêm trị số chuyển vị yt. Biện pháp này có thể đạt

đƣợc khi đặt thêm các tấm đệm, lò xo ở tiết diện va chạm hoặc ở các gối tựa.

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 4

1. Tại sao ta có thể nói: việc phân loại tải trọng tĩnh và tải trọng động chỉ mang tính

ƣớc lệ.

2. Nêu và giải thích các giả thiết về vật liệu khi tính thanh chịu tải trọng động.

3. Ta dùng nguyên lý nào để đƣa bài toán động về bài toán tĩnh tƣơng đƣơng khi

biết gia tốc của chuyển động.

4. Giải thích những lực tác động lên khối lƣợng m trong bài toán dao động hệ một

bậc tự do.

5. Thế nào là lực cản nhớt. Giải thích nguyên nhân của lực cản nhớt. 1. Nêu các giả thiết khi tính thanh chịu tải trọng va chạm theo SBVL

3. Giải thích các biện pháp làm giảm ảnh hƣởng của tải trọng va chạm lên một hệ

kết cấu.

4. Giải thích vì sao tính toán va chạm không kể đến khối lƣợng

kết cấu sẽ thiên về an toàn hơn so với tính toán có kể đến khối

lƣợng kết cấu.

9. Một vật nặng trọng lƣợng Q = 300 N rơi tự do từ độ cao h =

1m xuống một đĩa cứng gắn ở đầu một thanh thép tròn đƣờng kính

d = 2cm, chiều dài l=3m. (hình 4.15)

Tính độ dãn dài và ứng suất trong thanh. Bỏ qua trọng

lƣợng của thanh. E = 103 kN/cm2

Hình 4.15 10. Một vật nặng có trọng lƣợng Q = 100kN rơi tự

do từ độ cao h = 2m xuống va chạm vào dầm AB có

chiều dài 4m, mặt cắt ngang tròn đƣờng kính 30cm, vật liệu dầm bằng thép có E = 2.105 MN/m2. Bỏ qua trọng lƣợng của dầm. (hình 4.16)

Tính độ dịch chuyển theo phƣơng thẳng đứng

của mặt cắt C khi va chạm.

Hình 4.16 11. Một vật nặng trọng lƣợng Q = 300 N chuyển

động đều với vận tốc v = 8,94 m/s đến va chạm vào một đĩa cứng gắn ở đầu một thanh

Hình 4.17

thép tròn đƣờng kính d = 2cm, chiều dài l=3m.(hình 4.17)

Tính độ dãn dài và ứng suất trong thanh. Bỏ qua trọng lƣợng của thanh. E = 103

kN/cm2.

12. Một dầm cầu trục dài 5m ghép bằng hai thanh thép chữ I số 30 (hình

4.18). Tời B đặt chính giữa dầm có trọng lƣợng 20kN và nâng một vật có trọng

lƣợng P = 60kN.

Xác định lực căng trong dây cáp của tời và ứng suất pháp lớn nhất trong dầm. Biết

P đƣợc nâng lên với gia tốc không đổi và sau giây thứ nhất nó đi đƣợc 2,5m.

Hình 4.18

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Đặng Việt Cƣơng- Tuyển tập các bài toán giải sẵn môn sức bền vật liệu, Tập 1-

NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2008

[2]. Đặng Việt Cƣơng- Tuyển tập các bài toán giải sẵn môn sức bền vật liệu, Tập 2-

NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2008

[3]. Thái Thế Hùng (Chủ biên) và các tác giả- Bài tập sức bền vật liệu- NXB Khoa

học kỹ thuật, Hà Nội 2005.

[4]. PGS. TS Lê Ngọc Hồng – Sức bền vật liệu – NXB Khoa học kỹ thuật 2002

[5]. Hoàng Xuân Lƣợng (chủ biên) và các tác giả- Olympic cơ học toàn quốc, Sức bền vật liệu- Đề thi- Đáp án 1989- 1997 và bài tập chọn lọc- NXB Khoa học kỹ thuật,

Hà Nôi 1994.

[6]. Bùi Trọng Lựu – Sức bền vật liệu tập 1 – NXB Đại học và trung học chuyên

nghiệp

[7]. Bùi Trọng Lựu – Sức bền vật liệu tập 2 – NXB Đại học và trung học chuyên

nghiệp

[8]. Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vƣợng – Bài tập Sức bền vật liệu – NXB Giáo

dục 2004

[9]. Nguyễn Xuân Lựu (chủ biên) và các tác giả- Bài tập sức bền vật liệu- NXB

Giao thông vận tải, Hà Nội 2000.

[10]. Lê Quang Vinh, Nguyễn Văn Vƣợng – Sức bền vật liệu Tập 1 – NXB Giáo

dục 2004

[11]. Lê Quang Vinh, Nguyễn Văn Vƣợng – Sức bền vật liệu Tập 2 – NXB Giáo