TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG PHI TUYẾN BẬC HAI NHIỀU ĐẦU VÀO - NHIỀU ĐẦU RA VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY CÔNG NGHIỆP
DESIGN OF ROBUST PID CONROLLERS FOR MIMO SECOND-ORDER NONLINEAR SYSTEMS AND APPLICATIONS IN CONTROL OF INDUSRIAL MANIPULATORS
Nguyễn Văn Minh Trí Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng
Lê Văn Mạnh Trường Đại học Công nghiệp TP. Hồ Chí Minh
TÓM TẮT
Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều khiển các hệ phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào – nhiều đầu ra (MIMO) có các tham số và nhiễu không xác định. Các tham số của bộ điều khiển PID được xác định bằng công thức mới sử dụng ngưỡng thay đổi của các thành phần không xác định và nhiễu bên ngoài. Sự hội tụ của hệ thống được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Kết quả mô phỏng trên tay máy hai bậc tự do chứng tỏ tín hiệu điều khiển không còn hiện tượng rung và sai lệch tĩnh của hệ thống hội tụ về không.
ABSTRACT
This paper presents a design method of the robust PID controller for MIMO second- order nonlinear systems with bounded uncertainties and disturbances. PID controller parameters are obtained by proposed equations using the boundary of uncertainties and external disturbances. The system convergence is proven to be based on the Lyapunov Stability Theory. Simulation results for the two DOF robotic manipulators show that the chattering of control signals disappear and system tracking errors turn to zero.
1. Đặt vấn đề
Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng điều khiển vì tính đơn giản và hiệu quả của nó. Ba thông số của bộ điều khiển là: hệ số tỉ lệ KP, hệ số tích phân KI và hệ số vi phân KD, việc chọn các thông số này cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển là khó khăn. Trong những năm gần đây, đã có sự quan tâm sâu rộng trong tự điều chỉnh ba thông số của bộ điều khiển. Các phương pháp tự điều chỉnh PID thường dựa trên các kỹ thuật phản hồi thông tin [1, 2]. Bộ điều khiển PID bền vững là một trong những chiến lược để giải quyết vấn đề điều khiển với hệ thống không xác định. Tính năng chính của PID bền vững là giúp hệ thống ổn định nhanh với sự biến đổi các tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Ứng dụng khác nhau của PID bền vững này có thể được áp dụng điều khiển cho các hệ thống như: hoạt động của robot, máy bay, hệ thống sản xuất công nghiệp,...
263
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
Trong bài báo này, bộ điều khiển PID bền vững được thiết kế ra cho hệ thống phi tuyến không xác định MIMO. Mục đích là để hệ thống đạt được sự ổn định nhanh với sự biến đổi tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra sẽ giảm được việc tính toán phức tạp của thành phần tín hiệu điều khiển tương đương trong bộ điều khiển trượt trước đây [3]. Thêm vào đó các hệ số bộ điều khiển PID thông thường [4] chỉ xác định tường minh khi đối tượng điều khiển là tuyến tính. Trong phần II, lý thuyết về bộ điều khiển PID bền vững áp dụng cho đối tượng phi tuyến được đưa ra. Các kết quả lý thuyết sau đó được áp dụng cho việc điều khiển một tay máy công nghiệp hai bậc tự do, được trình bày ở phần III. Các kết luận được nêu lên ở phần IV.
2. Thiết kế bộ điều khiển
(cid:5)
(cid:5)
,
,
,
(1)
(cid:5)(cid:5) duqqBqqaq +
+
=
Xét một hệ thống phi tuyến bậc hai MIMO biểu diễn phương trình trạng thái sau: ( )t
(
)
(
)
trong đó
vectơ các tín hiệu điều khiển,
là vectơ các biến trạng thái hệ
nR∈q
nR∈u
nR∈)q
nnR ×∈)qB(q, (cid:5)
thống, là véc tơ phi tuyến, là ma trận điều khiển, khả
nghịch, là vectơ nhiễu bên ngoài. a(q, (cid:5) nR∈d
nRu ∈
là vectơ các tín hiệu điều khiển tỉ lệ với các lực tổng
quát, là vectơ các biến khớp, B(q) là ma trận nghịch đảo của ma trận môment Đối với tay máy, nR∈q
T
1 −
(cid:5)(cid:5)
nnR ×∈
>
=
+
( )
với
( ) qH0,
( ) qHqH = là vectơ lực coriolis và lực ly tâm,
) (cid:5)(cid:5) là vectơ lực trọng trường,
]qgqqq,CHqq,a [ ( ) ( ) ( , ( ) nR∈qg
a
là vectơ nhiễu không xác định. quán tính tay máy ( ) nR∈qqq,C (cid:5)(cid:5) nR∈d
≤
m
1 −
a
=
≤
h m
d
Giả thuyết rằng: , (2) B H
≤
m
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
d
là vectơ quỹ đạo mong muốn và
(cid:5) q
là vectơ sai Gọi qe = −
(cid:5) (cid:5) qeq; =
nR∈dq
−
d
d
lệch bám và đạo hàm của chúng.
(cid:5)+ e
i
i
i
diag
CR;
0;
i
1,...,
n
σ , Chọn hàm lọc bậc 1: = eC i
=C
∈
>
=
( C,C 1
2
i
i
trong đó
) C;C,..., n ( )σ sgn
diag
K
0;
i
1,...,
n
, (3) Chọn
=K
=
>
=
trong đó
Ku = ( K,K 1
) K;K,..., n
i
2
( ) sgn,σ
[ sgn
1
n
sgn sgn
( σ 2 (cid:5) (cid:5)(cid:5) (cid:5) qeCσ
) ,..., =
+
]T ) (cid:5)(cid:5) q −
( ) ( =σ σ Chứng minh: Đạo hàm của σ là:
d
264
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
(cid:5)(cid:5)
(cid:5) (cid:5)(cid:5) (cid:5) qeCσ
sgn d − = + +
) ( KqBqq,a −
( )
( ) σ
( )t
d
T
T
(cid:5)
σσT
0
=
≥
=
(cid:5) eCσσ.σ =
+
,
Chọn một hàm Lyapunov
(
)e (cid:5)(cid:5)
V 3
(cid:5) V3
1 2
T
(cid:5)
(cid:5)(cid:5)
sgn
=
−
+
T
K
=
+
+
−
T
(cid:5)
d
≤
+
− )
] ( ) ( ) σ d t + ] ( ) σ sgn ) ( ) t −
d
(cid:5) V 3 (cid:5) V 3 (cid:5) V 3
[ ) ( ) ( T (cid:5)(cid:5) (cid:5) qeCσσ.σ KqBqq,a = − d [ ( ) ( ) ( ) ) ( 1 − (cid:5) (cid:5)(cid:5) (cid:5)(cid:5) qeCBqBσ qq,a d t d [ ( ( ) ( ( ) (cid:5)(cid:5) (cid:5)(cid:5) qeCHσ qq,a qBσ sgn − +
]K
K
d
Rõ ràng
0
nếu
≥
+
η ++
với η là hằng số dương nhỏ
( ah m
m
m
3 ≤V(cid:5)
bất kỳ. Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì:
0
có
σσT
0
, sẽ đảm bảo hệ
=
≥
3 ≤V(cid:5)
V 3
,...,1
)dqeC (cid:5) + (cid:5)(cid:5) 1 2 (cid:5)+ tương đương với
;0 = i
=
. Với Ci > 0
+ (cid:5) e i
n eC i i
thống có σ → 0. Khi σ = 0 = eCe thì ei → 0 khi t → ∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị của Ci.
và
có giới hạn vì tính chất vật
0→e(cid:5)
Theo chứng minh trên, rằng e → 0 khi
dq(cid:5)(cid:5)
(4)
lý của hệ thống. Nên có thể tìm được một hằng số Em sao cho:
(cid:5) (cid:5)(cid:5) + dqeC
mE≤
Từ đó ta có thể chọn
là hằng số.
=
+
++ η
( a
m
m
) m hE m
Ta có định lý sau với chứng minh ở trên:
K d
Định lý 1: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), trong đó:
(5)
,
=
+
++ η
=
( a
m
m
) hE m m
const
thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0.
K d K
Nhận xét 1: Từ luật điều khiển (3), ta có thể xây dựng một luật điều khiển PID như sau:
T
,...,
u
] ,
[ 1=u u,u
2
n
khi
σ
φ
K
−<
−
i
i
const
t
K
const
i
i
u
e.
(cid:5) e.
khi
φ
σ
φ
(6)
=
+
+
−
≤
≤
i
i
i
dte i
i
i
i
∫
IC. + i φ
I.C i φ
K const φ
i
i
0
σ
φ
K
khi
i
1,...,
n
i >
=
i
i
const
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
Giả thiết rằng: Với mọi
q
q
(cid:5) q
d
d
=
=
,
.
( ) t
( ) 0 t =
( ) t
d
const
d
const
lim t ∞→
lim, t ∞→
lim t ∞→
Cho mỗi cặp (qconst, dconst), luôn tồn tại một điểm cân bằng [qconst,0]T và một tín (7).
0 ,
0
+
=
hiệu điều khiển tĩnh u sao cho đảm bảo ổn định:
) du +
( qB
( qa
)
const
const
const
qq,
0,
, là ổn định
] T =(cid:5)
[ q
]T
const
Định lý 2: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) và (7) thỏa mãn và một luật khiển (6) với K chọn như (5) thì điểm cần bằng của hệ thống kín, [ toàn cục.
Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh bằng 2 phần. Phần 1 sẽ chứng minh rằng với tham số bộ điều khiển được chọn sẽ mang quỹ đạo hệ thống vào một vùng lân cận nhỏ
265
qq,
0,
. Phần tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tham
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 ]T
] T =(cid:5)
[ q
const
bất kỳ quanh điểm cân bằng[ số của bộ điều khiển được chọn sẽ đảm bảo sự ổn định toàn cục của điểm cân bằng.
* Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i
- Khi
i sẽ được đẩy vào bên trong một lớp biên
.
i φσ > thì ui = Kconst.sign(σi), do đó theo hệ quả 2 thì trạng thái hệ thống φσ ≤
i
= L i
}i
- Khi
=>
i φσ ≤ ,
i
(cid:5)+ e i
=σ i eC i i
{ q i −=(cid:5) e eC i i i
.
Tồn tại một số Mi sao cho Mi.(-Ci) + (-Ci).Mi = - 1 => Mi =
1 iC2
2
.2
.2
+
Chọn V4 = Mi.ei
−=(cid:5) 2 ⇒ V 4
. eCM . i i
i
. eM i i
σ. i
2
2
2
σ+ i
i
0 ; Nếu thì −= + + −≤(cid:5) V 4 e i e i e i σ. i (cid:5) V 4 φ i e ≥ i C 1 C i ⎞ ≤⎟⎟ ⎠
i
Kết quả trạng thái hệ thống sẽ hội tụ trong vùng có ⎛ φ ⎜⎜ i C ⎝ i φ i e ≤ i C
2=
+
≤(cid:5) ie
φφφ i i
i
Suy ra ⇔ −≤(cid:5) e i eC i i σ+ i
i
,...,1
n
≤∩≤
∩
≤
=
e i
(cid:5) e i
2 φσφ i i
i
φ i C i
⎧ ⎨ ⎩
bao Hệ thống sẽ hội tụ về vùng Ω=
qq,
⎫ , ⎬ ⎭ 0,
(cid:5) ,0 = = e
..
)0
, hay là điểm cân bằng [
] T =(cid:5)
[ q
]T
const
quanh điểm cân bằng( e * Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i
σ i
i
σ i
∫+ I
dt = Đặt (8) , tính hiệu điều khiển (6) trở thành: ui = Kconst.sat(si/φi) s i
i φσ ≤ , có 4 khả năng xảy ra:
i
(cid:99) Nếu
Khi
σσ(cid:5) + i
i
I = 0= , σi sẽ tiến về 0 với tốc độ hội tụ là Ii, và ei → 0 khi t → ∞ (cid:5) s i
(cid:100) Nếu
như chứng minh ở định lý 1.
σσ(cid:5) I + i
i
i
σσ(cid:5) I + i
i
i
2
2
I
I
0
khi khi = 0< = 0> (cid:5)
s
i 0>iσ hoặc (cid:5)
s
i 0 0
⇔< −< ≤ (cid:5)
σσσ
+
i
i i i (cid:5)
σσ
i
i σ
i
i 2 I 0 = −< 2
−= ≤ nhân hai vế của bất đẳng thức để được: (cid:5)
V
i σσ (cid:5)
i
i σ
i
i VI
i
i (cid:101) Nếu ⇔ , do đó ei→0 khi t→∞ như chứng minh ở định lý 1. σσ(cid:5)
I
+
i i i khi = 0< (cid:5)
s
i 3 ≤V(cid:5) (cid:102) Nếu 0 0 i i khi 0> = si<0. Do đó, sau một thời gian xác định, si<-φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo
→ 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1.
σσ(cid:5)
I
+
i (cid:5)
s
i 3 ≤V(cid:5) 0>iσ , điều này đồng nghĩa là hàm si luôn tăng khi
, 0 ,0 ,0 u ,0 si>0. Do đó, sau một thời gian xác định, si >φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo
ei→ 0 khi t→ ∞ như chứng minh ở định lý 1.
rằng Giả cân suy tồn (7) có ra bằng = = = = = e
i (cid:5)
e
i i ,
su
i
i s
i i i i di 266 với: ; Trong đó s q const = − = điểm
)
dt CI
i thiết
(cid:5)(cid:5)
e
i tại
(
∫∞→
lim
q
t TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 2 iV5 , ta được: 2 2 Đặt và một hàm Lyapunov : ; Đạo hàm − =~
s
i s
i s
i ~
s
i V =
i
5 1
2 σ
i i σ
i (
s
i )i
(cid:5)+−
s
s
i ∫+
I 2 2 dt = = với − s
i (cid:5)
V
5 =
i .~
(cid:5)
ss
i
i ~
s
i ,
=σ
i eC
i
i (cid:5)+
e
i ~
s
i )
dt i i i i i i i i i (
eCI
i i i i (cid:5)
e (cid:5)
e (cid:5)
e + + −= + + − + + + (cid:5)
V
5 ~
s
i (cid:5)
eCs
+
i (cid:5)(cid:5)
e
i 2 2 )
dt ) i i i i i i i i (
eCI
i i i i i (cid:5)
e (cid:5)
e + + −= + − + + + + (cid:5)
V
5 ~
s
i (cid:5)
eCs
+
i (cid:5)(cid:5)
e
i 2 (
1
++ )
dt i (
∫
eCI
i
(
∫
eCI
i
)
eCI
i
i i i i )
(cid:5)
eCI
i i i i i (
∫
eCI
i 2 I I q s + + −≤ + + + + − − (
1
++ )
dt i i i ~
s
i i i i (cid:5)(cid:5)
e
i i di (cid:5)
V
5 I s + + −= + + + + − (cid:5)
V
5 ~
s
i (cid:5)(cid:5)
e
i eI
i
)i +
(
~
eCs
i
(
~
eCs
i
(
~
(
2
Cs
i
(
~
(
2
Cs
i (
∫
qCI
i
i
t )
dt i di i i )
(cid:5)
eC
i
)
→−
i )
eCI
i
i
(
(
∫
qCI
i
i (cid:5)
,0 =
= e q s 0 khi , bất đẳng Vì e ,0 (cid:5)
e ,0 ,0 − ∞→ → → → (cid:5)(cid:5)
e
i )0 )0 0, = . Tổng quát hoá cho cả hệ thống, ta có điểm cân bằng (
e (cid:5)
e
i là ổn định toàn cục. thức trên chỉ ra rằng các trạng thái của hệ thống thứ i sẽ tiến về điểm cân bằng
(
, hay
e
i
[
qq, ,0
=
]
T
=(cid:5) ]T const Xét hình chiếu bằng tay máy như hình 1, gọi q là véc-tơ vị trí của hai khớp, khi đó: q = [q1 q2]T. = − (
(cid:5)
,
qqL ) ) ( )qP (
(cid:5)
,
qqK
trong đó, K, P là tổng động năng và tổng thế năng của hệ thống. Hàm Lagrange của cánh tay robot được xác định bởi: (9), ) ) Phương trình Lagrange-Euler chính là lực tổng quát tác động lên khâu thứ i được τ
i (
(cid:5)
qqL
,
∂
(cid:5)
q
∂ (
(cid:5)
qqL
,
∂
(cid:5)
q
∂ cos 2 + + + + + 2
C 2
lm
12 2 2 xác định bởi: ; i 21 = ÷= d
dt ⎡
⎢
⎣ ⎤
−⎥
⎦ )
sin cos sin 2
2 2
1
C
+ C
− − + lm
2
(
q ) 2
C C C C ]
(cid:5)(cid:5)
I
qI
+
1
2
1
)
(
(cid:5)(cid:5)
llmqqq
1
2
12 [
lm
=τ
1
1
[
lm
+
2 llm
12
]
(cid:5)(cid:5)
qI
2
2 ) 2
(
(cid:5)
qq
2 llm
12 2 2 2 2 2 2 2 267 (11) Phương trình động lực học nhận được bằng cách áp dụng phương trình Lagrange:
(
q
llm
12 (
q ) 2
C 2
C C C TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
[
[
) 2
(
(cid:5)
lm
lm
qq
2
2
1
2 ]
(cid:5)(cid:5)
qI
1
2 ]
(cid:5)(cid:5)
2 2 2 2 2 2 cos sin (12) + + + + llmqI
+
12
2 llm
12 =τ
2 p g q q 50 1.5 40 u13
u12
u11 e13
e12
e11 30 1 20 10 0 0.5 -10 e
h
c
e
l
ai
S n
e
hi
k
u
e
di
u -20 0 -30 -40 -0.5 -50 0.5 1 2 2.5 3 0 0.5 1 2 2.5 0 3 1.5
Thoi gian [s] 1.5
Thoi gian [s] 0.4 50 40 0.35 e23
e22
e21 u23
u22
u21 30 0.3 20 0.25 10 0.2 0 0.15 e
h
c
e
l
ai
S -10 0.1 -20 n
e
hi
k
u
e
di
u 0.05 -30 0 -40 -50 -0.05 0.5 1 2 2.5 3 0 0.5 1 2 2.5 3 0 1.5
Thoi gian [s] 1.5
Thoi gian [s] Hình 2. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u1i, u2i và e1i, e2i (i = 1÷3)}
* Nhận xét: Ta thấy Ci nhỏ sai lệch bám ei của các khâu bám chậm tiến về 0 so với Ci
lớn hơn. Nếu Ci lớn thì sai lệch bám ei của các khâu nhanh tiến về 0 nhưng hệ có sự quá
điều chỉnh. Tóm lại giá trị Ci quyết định chất lượng điều khiển của hệ thống. 1.6 50 40 1.4 u13
u12
u11 e13
e12
e11 30 1.2 20 1 10 0.8 0 0.6 e
h
c
e
l
ai
S -10 n
e
hi
k
u
e
di
u 0.4 -20 0.2 -30 0 -40 -0.2 -50 0.5 1 2 2.5 0.5 1 2 2.5 3 0 3 0 1.5
Thoi gian [s] 1.5
Thoi gian [s]
q
g q
p 50 0.4 40 0.35 u23
u22
u21 e23
e22
e21 30 0.3 20 0.25 10 0.2 0 0.15 l -10 e
h
c
e
ai
S 0.1 n
e
hi
k
u
e
di
u -20 0.05 -30 0 -40 -0.05 -50 -0.1 0.5 1 2 2.5 3 0 0.5 1 2 2.5 3 0 1.5
Thoi gian [s] 1.5
Thoi gian [s] b) Với Ci, Ii, φI (i = 1÷3) là hằng số và Kconsti lần lượt là Kconst1 = 0,1; Kconst2 = 0,6;
Kconst3 = 1500 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3 268 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 * Nhận xét: Ta thấy: Kconsti nhỏ hệ có sự dao động so với Kconsti lớn. Khi Kconsti lớn tín
hiệu điều khiển có sự thay đổi của u rất nhanh. Tóm lại Kconsti phụ thuộc vào hệ và ảnh
hưởng đến sự ổn định của hệ. 20 d1
d2 15 10 5 0 u
e
hi
n -5 -10 -15 -20 0 0.5 1 2 2.5 3 1.5
Thoi gian [s] g 1.6 50 40 1.4 e1(d1)
e1(d2) u1(d1)
u1(d2) 30 1.2 20 1 10 0.8 0 0.6 e
h
c
e
l
ai
S -10 n
e
hi
k
u
e
di
u 0.4 -20 0.2 -30 0 -40 -0.2 -50 0 0.5 1 2 2.5 3 0 3 0.5 1 2 2.5 1.5
Thoi gian [s] 1.5
Thoi gian [s] 0.4 50 0.35 e2(d1)
e2(d2) u2(d1)
u2(d2) 40 0.3 30 0.25 20 0.2 10 0.15 e
h
c
e
l
ai
S 0 n
e
hi
k
u
e
di
u 0.1 -10 0.05 -20 0 -0.05 -30 0 0.5 1 2 2.5 3 0 0.5 1 2 2.5 3 1.5
Thoi gian [s] 1.5
Thoi gian [s] * Nhận xét: Khi chọn tham số tối ưu là Ci = 15, Kconsti = 10, Ii = 0,1, φi = 0,5 (i = 1÷2) và tăng nguồn nhiễu lên 50 lần (d1 = 0,1 và d2 = 5) như trên ta thấy: sai lệch bám ei của các khâu nhanh tiến về 0, khi nguồn nhiễu bên ngoài lớn (d2 = 5) tác động đến tay máy làm cho khớp 1 có sự quá điều chỉnh (≈4,5%) nhưng không làm cho hệ thống tay máy tính mất ổn định. Hoạt động các khớp của tay máy dường như không bị ảnh hưởng khi 269 có nhiễu bên ngoài tác động. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 Kết quả mô phỏng cho thấy, sự hội tụ và sai lệch bám của hệ thống sẽ thay đổi K I K + consti i i i khi các thông số Kconsti, Ii, φi, Ci (i = 1÷3) thay đổi và được xác định bằng công thức: K K K = = = Pi Ii Di .
C
φ
i .
IC
i
φ
i consti
φ
i Từ kết quả mô phỏng trên và việc xác định các thông số của bộ điều khiển ta
tính được các hệ số KPi, KIi, KDi dễ dàng, kết quả này có được nhờ vào việc chứng minh
bộ điều khiển PID bền vững ở mục II. Đây là kết quả mang tính khoa học cao khi mà
các hệ số của bộ điều khiển PID cho đối tượng phi tuyến MIMO được xác định bằng
công thức rõ ràng. Bài báo đã nêu được phương pháp xây dựng bộ điều khiển PID bền vững và áp
dụng để điều khiển một hệ phi tuyến MIMO như tay máy công nghiệp. Các kết quả mô
phỏng tay máy 2 bậc tự do cho thấy độ chính xác của quỹ đạo có thể khống chế được
theo yêu cầu cho trước. Các hệ số của bộ điều khiển PID được xác định bằng các công thức tường minh,
phụ thuộc vào các thông số Kconsti, Ii, φi, Ci. Sự ổn định của hệ thống kín đã được chứng
minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, sau đó bộ điều khiển PID bền vững này
được áp dụng để điều khiển tay máy 2 bậc tự do. Ảnh hưởng của sự thay đổi các thông
số Kconsti, di, Ci đến chất lượng đầu ra của hệ thống cũng được phân tích và trình bày.
Các kết quả mô phỏng cho thấy tín hiệu điều khiển không còn sự thay đổi nhanh và sai
lệch bám của hệ thống đảm bảo tiến về không. Những kết quả này một lần nữa chứng
minh lý thuyết và thể hiện tính khả thi của bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra
trong bài báo. [1] A. Leva, “PID autotuning algorithm based on relay feedback,”IEE Porc-Control Theory Appl., vol. 140, 1993, pp. 328-337. [2] Q. G. Wang, B. Zou, T. H. Lee, and Q. Bi, “Auto-tuning of multivariable PID
controller from decentralized relay feedback,” Automatica, vol. 33, 1997, pp. 319-
330. [3] Lê Tấn Duy, Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2003. [4] Vũ Tú Anh, Bộ điều khiển PID số cho động cơ DC ứng dụng ASIC, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2008. [5] Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar, Robot Modeling and 270 Control, 2004.)
)
)
)i
[
q
3. Kết quả mô phỏng
3.1. Mô hình toán học tay máy 2 bậc tự do [5]
Hình 1. Hình chiếu bằng của tay máy
3.2. Mô phỏng và kết quả
a) Với Kconsti, Ii, φi (i = 1÷3) là hằng số và Ci lần lượt là C1 = 3; C2 = 10; C3 = 30 và
quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3
Hình 3. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u1i, u2i và e1i, e2i (i = 1÷3)}
c) Kết quả trên cho phép chọn tham số tối ưu là Ci = 15, Kconsti = 10, Ii = 0,1 và
φI = 0,5 với quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3, nguồn nhiễu bên ngoài d1 = 0,1
và d2 = 5.
Hình 4. Nguồn nhiễu bên ngoài d1 và d2 lần lượt tác động đến tay máy
Hình 5. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u1(di), u2(di) và
e1(di), e2(di) (i = 1÷2)}
d) Nhận xét chung
;
;
4. KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
