TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
263
THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG
PHI TUYẾN BẬC HAI NHIỀU ĐẦU VÀO - NHIỀU ĐẦU RA VÀ
ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY CÔNG NGHIỆP
DESIGN OF ROBUST PID CONROLLERS FOR MIMO SECOND-ORDER
NONLINEAR SYSTEMS AND APPLICATIONS IN CONTROL
OF INDUSRIAL MANIPULATORS
Nguyễn Văn Minh Trí
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng
Lê Văn Mạnh
Trường Đại học Công nghiệp
TP. Hồ Chí Minh
TÓM TẮT
Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều
khiển các hệ phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào – nhiều đầu ra (MIMO) có các tham số và nhiễu
không xác định. Các tham số của bộ điều khiển PID được xác định bằng công thức mới sử
dụng ngưỡng thay đổi của các thành phần không xác định và nhiễu bên ngoài. Sự hội tụ của hệ
thống được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Kết quả mô phỏng trên tay máy
hai bậc tự do chứng tỏ tín hiệu điều khiển không còn hiện tượng rung và sai lệch tĩnh của hệ
thống hội tụ về không.
ABSTRACT
This paper presents a design method of the robust PID controller for MIMO second-
order nonlinear systems with bounded uncertainties and disturbances. PID controller
parameters are obtained by proposed equations using the boundary of uncertainties and
external disturbances. The system convergence is proven to be based on the Lyapunov Stability
Theory. Simulation results for the two DOF robotic manipulators show that the chattering of
control signals disappear and system tracking errors turn to zero.
1. Đặt vấn đề
Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) được sử dụng rộng rãi
trong nhiều ứng dụng điều khiển vì tính đơn giản và hiệu quả của nó. Ba thông số của
bộ điều khiển là: hệ số tỉ lệ KP, hệ số tích phân KI và hệ số vi phân KD, việc chọn các
thông số này cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển là khó khăn. Trong những năm
gần đây, đã có sự quan tâm sâu rộng trong tự điều chỉnh ba thông số của bộ điều khiển.
Các phương pháp tự điều chỉnh PID thường dựa trên các kỹ thuật phản hồi thông tin [1,
2]. Bộ điều khiển PID bền vững là một trong những chiến lược để giải quyết vấn đề
điều khiển với hệ thống không xác định. Tính năng chính của PID bền vững là giúp hệ
thống ổn định nhanh với sự biến đổi các tham số và những nhiễu bên ngoài tác động.
Ứng dụng khác nhau của PID bền vững này có thể được áp dụng điều khiển cho các hệ
thống như: hoạt động của robot, máy bay, hệ thống sản xuất công nghiệp,...
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
264
Trong bài báo này, bộ điều khiển PID bền vững được thiết kế ra cho hệ thống
phi tuyến không xác định MIMO. Mục đích là để hệ thống đạt được sự ổn định nhanh
với sự biến đổi tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Bộ điều khiển PID bền
vững được đưa ra sẽ giảm được việc tính toán phức tạp của thành phần tín hiệu điều
khiển tương đương trong bộ điều khiển trượt trước đây [3]. Thêm vào đó các hệ số bộ
điều khiển PID thông thường [4] chỉ xác định tường minh khi đối tượng điều khiển là
tuyến tính. Trong phần II, lý thuyết về bộ điều khiển PID bền vững áp dụng cho đối
tượng phi tuyến được đưa ra. Các kết quả lý thuyết sau đó được áp dụng cho việc điều
khiển một tay máy công nghiệp hai bậc tự do, được trình bày ở phần III. Các kết luận
được nêu lên ở phần IV.
2. Thiết kế bộ điều khiển
Xét một hệ thống phi tuyến bậc hai MIMO biểu diễn phương trình trạng thái sau:
()
(
)
(
)
t,, duqqBqqaq
+
+
= , (1)
trong đó n
R∈u vectơ các tín hiệu điều khiển, n
R∈qlà vectơ các biến trạng thái hệ
thống, n
R∈)qa(q, là véc tơ phi tuyến, nn
R×
∈)qB(q, là ma trận điều khiển, khả
nghịch, n
R∈dlà vectơ nhiễu bên ngoài.
Đối với tay máy, n
Ru ∈là vectơ các tín hiệu điều khiển tỉ lệ với các lực tổng
quát, n
R∈qlà vectơ các biến khớp, B(q) là ma trận nghịch đảo của ma trận môment
quán tính tay máy
() ()
(
)
nn
R×
∈>= qH0,qHqH T,
(
)()()
[
]
qgqqq,CHqq,a 1+= − với
()
n
R∈qqq,C là vectơ lực coriolis và lực ly tâm,
(
)
n
R∈qg là vectơ lực trọng trường,
n
R∈dlà vectơ nhiễu không xác định.
Giả thuyết rằng:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤=
≤
−
m
m
m
d
h
a
d
HB
a
1, (2)
Gọi n
R∈
d
qlà vectơ quỹ đạo mong muốn và qqeq;qe dd −
=
−
=
là vectơ sai
lệch bám và đạo hàm của chúng.
Chọn hàm lọc bậc 1: iiii eeCσ
+
=,
trong đó
()
n1,...,i0;CR;C;C,...,C,Cdiag iin21
=
>
∈
=C
Chọn
()
σKu sgn=, (3)
trong đó
()
n1,...,i0;KK;K,...,K,Kdiag in21
=
>
=
=
K
(
)()
(
)
(
)
[]
T
n21 σsgn,...,σsgn,σsgnsgn =σ
Chứng minh: Đạo hàm của σ là: qqeCσ
−
+
=
d
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
265
()
(
)
(
)
(
)
t
ddσKqBqq,aqeCσ
+
−
+−= sgn
Chọn một hàm Lyapunov 0
2
1
3≥= σσT
V,
(
)
eeCσσ.σ
+== TT
V3
(
)
(
)
(
)
(
)
[]
() ( ) ()()()
[]
() () () ()
()
[]
KtV
tV
tV
d
T
d
T
d
TT
−++−≤
−++−=
+−+−==
−
dqq,aqeCHσqBσ
σKdqq,aqeCBqBσ
dσKqBqq,aqeCσσ.σ
sgn
sgn
sgn
3
1
3
3
Rõ ràng 0
3≤V
nếu
(
)
d
qeC ++++≥ ηKmmm dah với η là hằng số dương nhỏ
bất kỳ. Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì: 0
2
1
3≥= σσT
V có 0
3≤V
, sẽ đảm bảo hệ
thống có σ → 0. Khi σ = 0 = eCe
+ tương đương với nieeC iii ,...,1;0
=
=
+
. Với Ci > 0
thì ei → 0 khi t → ∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị của Ci.
Theo chứng minh trên, rằng e → 0 khi 0→e
và d
q
có giới hạn vì tính chất vật
lý của hệ thống. Nên có thể tìm được một hằng số Em sao cho: m
E≤+ d
qeC (4)
Từ đó ta có thể chọn
()
mmmm hEdaK
+
+
+
=
η
là hằng số.
Ta có định lý sau với chứng minh ở trên:
Định lý 1: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), trong đó:
()
constmmmm KhEdaK
=
+++=
η
, (5)
thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0.
Nhận xét 1: Từ luật điều khiển (3), ta có thể xây dựng một luật điều khiển PID như sau:
[]
,u,...,u,u T
n21
=u
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=>
≤≤−++
+
−<−
=∫
n1,...,iφσkhiK
φσφkhidte
φ
I.C
e.
φ
K
e.
φ
IC.K
φσkhiK
u
iiconst
iii
t
0
i
i
ii
i
i
const
i
i
iiconst
iiconst
i (6)
Giả thiết rằng: Với mọi
(
)
(
)
0lim,lim
=
=
∞→∞→ tt d
t
constd
tqqq ,
()
const
ttdd =
∞→
lim .
Cho mỗi cặp (qconst, dconst), luôn tồn tại một điểm cân bằng [qconst,0]T và một tín
hiệu điều khiển tĩnh u sao cho đảm bảo ổn định:
(
)
(
)
constconstconst duqB,qa +
+
=
00(7).
Định lý 2: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) và (7) thỏa mãn và một luật khiển (6)
với K chọn như (5) thì điểm cần bằng của hệ thống kín,
[
]
[
]
T
const
T0,qqq, =
, là ổn định
toàn cục.
Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh bằng 2 phần. Phần 1 sẽ chứng minh rằng với
tham số bộ điều khiển được chọn sẽ mang quỹ đạo hệ thống vào một vùng lân cận nhỏ
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
266
bất kỳ quanh điểm cân bằng
[]
[
]
T
const
T0,qqq, =
. Phần tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tham
số của bộ điều khiển được chọn sẽ đảm bảo sự ổn định toàn cục của điểm cân bằng.
* Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i
- Khi ii
φσ
> thì ui = Kconst.sign(σi), do đó theo hệ quả 2 thì trạng thái hệ thống
sẽ được đẩy vào bên trong một lớp biên
{
}
i
iii qL
φσ
≤= .
- Khi ii
φσ
≤, iiii eeC
+=
=> iiii eCe
+
−
=
Tồn tại một số Mi sao cho Mi.(-Ci) + (-Ci).Mi = - 1 => Mi =
i
C2
1.
Chọn V4 = Mi.ei2 ⇒ iiiiii eMeCMV
σ
...2...2 2
4+−=
ii
i
ie
C
eV
σ
.
1
2
4+−≤
; Nếu
i
i
iC
e
φ
≥ thì 0
2
2
4≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
i
i
iC
eV
φ
Kết quả trạng thái hệ thống sẽ hội tụ trong vùng có
i
i
iC
e
φ
≤
Suy ra iiii eCe
σ
+−≤
⇔iiii
e
φφφ
2=+≤
Hệ thống sẽ hội tụ về vùng Ω=nie
C
eiiii
i
i
i,...,1,2 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧≤∩≤∩≤
φσφ
φ
bao
quanh điểm cân bằng
()
0,0 == ee , hay là điểm cân bằng
[
]
[
]
T
const
T0,qqq, =
..
* Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i
Đặt ∫
+= dtIs iiii
σσ
, tính hiệu điều khiển (6) trở thành: ui = Kconst.sat(si/φi) (8)
Khi ii
φσ
≤, có 4 khả năng xảy ra:
c Nếu 0=+= iii Is
, σi sẽ tiến về 0 với tốc độ hội tụ là Ii, và ei → 0 khi t → ∞
như chứng minh ở định lý 1.
d Nếu 0<
+
=iiii Is
khi 0>
i
hoặc 0>
+
=
iiii Is
khi 0<
i
, ta cho thể
nhân hai vế của bất đẳng thức để được: 00 22 ≤−<⇔<+ iiiiiiii II
σσσσσσ
⇔02
2≤−=−<= iiiiiii VIIV
σσσ
, do đó ei→0 khi t→∞ như chứng minh ở định lý 1.
e Nếu 0<+= iiii Is
khi 0
<
i
, điều này đồng nghĩa là hàm si luôn giảm khi
si<0. Do đó, sau một thời gian xác định, si<-φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo 0
3≤V
, ei
→ 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1.
f Nếu 0>
+
=iiii Is
khi 0>
i
, điều này đồng nghĩa là hàm si luôn tăng khi
si>0. Do đó, sau một thời gian xác định, si >φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo 0
3≤V
,
ei→ 0 khi t→ ∞ như chứng minh ở định lý 1.
Giả thiết (7) suy ra rằng có tồn tại điểm cân bằng
với: iiiiiii ssuueee ===== ,,0,0,0 ; Trong đó
(
)
constdtqqCIs idi
t
iii =−= ∫
∞→
lim
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
267
Đặt iii sss −=
~
và một hàm Lyapunov : 2
5~
2
1
ii sV =; Đạo hàm i
V5, ta được:
iii ssV
.
~
5==
()
iiiii sssss
+−+− 22 ~~ với
∫
+= dtIs iiii
σσ
, iiii eeC
+
=
() ()
()
() ()
()
()()()
()
iiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiii
sdteCIeeCIeCIICssV
eIeeCIeeCsdteCIeeCssV
eeCIeeCsdteeCIeeCssV
−++++++++−=
+++++−+++−=
++++−++++−=
∫
∫
∫
1
~~
~~
~~
22
5
22
5
22
5
()() ()
()
iidiiiiiiiiiiiiiii sdtqqCIeeCIeCIICssV −−++++++++−≤ ∫
1
~~ 22
5
Vì
(
)
(
)
∞→→−−→→→
∫
tkhisdtqqCIeee iidiiiiii 0,0,0,0 , bất đẳng
thức trên chỉ ra rằng các trạng thái của hệ thống thứ i sẽ tiến về điểm cân bằng
()
0,0 == ii ee . Tổng quát hoá cho cả hệ thống, ta có điểm cân bằng
()
0,0 == ee , hay
[][ ]
T
const
T0,qqq, =
là ổn định toàn cục.
3. Kết quả mô phỏng
3.1. Mô hình toán học tay máy 2 bậc tự do [5]
Xét hình chiếu bằng tay máy như hình 1, gọi q là véc-tơ vị trí của hai khớp, khi
đó: q = [q1 q2]T.
Hình 1. Hình chiếu bằng của tay máy
Hàm Lagrange của cánh tay robot được xác định bởi:
(
)()()
qPqqKqqL −
=
,, (9),
trong đó, K, P là tổng động năng và tổng thế năng của hệ thống.
Phương trình Lagrange-Euler chính là lực tổng quát tác động lên khâu thứ i được
xác định bởi:
()
(
)
21;
,, ÷=
∂
∂
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=i
q
qqL
q
qqL
dt
d
i
τ
Phương trình động lực học nhận được bằng cách áp dụng phương trình Lagrange:
(
)
[
]
()
[]
() ()
2
22212212212222212
2
22
1212212
2
22
2
12
2
111
sinsin2cos
cos2
qqllmqqqllmqIqllmlm
qIIqllmlmlmlm
CCCC
CCC
−−+++
++++++=
τ
(11)