Một số tính chất của trường hữu hạn đa thức trên trường hữu hạn

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƢỜNG HỮU HẠN

ĐA THỨC TRÊN TRƢỜNG HỮU HẠN

Phạm Bá Đức, Nguyễn Thị Ngọc Anh, Lớp K61CLC, Khoa Toán – Tin

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Kiên

Tóm tắt: Trường hữu hạn là một vấn đề hay của Đại số hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong hình

học hữu hạn, trong đại số tổ hợp, hay trong lí thuyết mật mã... Do đó đề tài báo cáo lần này chủ yếu

xoay quanh một số tính chất của trường hữu hạn và của đa thức trên trường hữu hạn. Đây là những

kiến thức cơ sở và cơ bản nhất để chúng ta có thể tiếp tục tìm hiểu về ứng dụng của trường hữu hạn

trong Toán học. Các kết quả chính bao gồm cấu trúc một trường hữu hạn, phân tích một đa thức

thành các nhân tử bất khả quy.

Từ khóa: Trường hữu hạn, đa thức trên trường hữu hạn, phân tích đa thức thành nhân tử trên trường

hữu hạn.

I. MỞ ĐẦU

Cho

là một trƣờng có hữu hạn phần tử. Khi đó

char F

là số nguyên tố và số

lƣợng phần tử của

là

. Ngƣợc lại, với

,pn

cố định thì luôn tồn tại một trƣờng hữu

hạn có

phần tử (sai khác một đẳng cấu). Kí hiệu trƣờng hữu hạn có

qp

phần tử là

. Khi đó ta xét các đa thức trên

Đề tài đặt ra vấn đề tìm hiểu phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy,

đánh giá về định lƣợng và định tính của phân tích. Trƣớc hết là định lƣợng thông qua đánh

giá số nghiệm phƣơng trình

XX

trên

[ ]/ ( ( ))

F x f x

. Tiếp theo ta đi tìm biểu diễn các

nhân tử của phân tích thông qua các nghiệm của phƣơng trình

XX

trên

[ ]/ ( ( ))

F x f x

. Từ đó mô tả các nhân tử và bậc lũy thừa của các nhân tử trong phân tích.

Các kết quả đƣợc trình bày là các kết quả đã biết về tính chất chung của trƣờng hữu

hạn và đa thức trên trƣờng hữu hạn. Mục đích các tác giả là chứng minh các kết quả một

cách độc lập sơ cấp và ngắn gọn, chỉ sử dụng các kết quả đã học trong học phần ĐSĐC và

lí thuyết Galois. Các kết quả sâu hơn về đề tài đòi hỏi thời gian nghiên cứu dài hơn và các

công cụ mạnh hơn.

Đề tài đƣợc chia thành 3 mục nhỏ. Mục 1 trình bày một số kiến thức về đại số đại

cƣơng. Mục 2 trình bày về những kết quả, tính chất và cấu trúc của trƣờng hữu hạn. Mục 3

dành cho việc phân tích một đa thức bất khả quy trên trƣờng phân rã và phân tích một đa

thức thành các nhân tử bất khả quy. Sau đó tiến hành xem xét 1 đa thức, đặc biệt là đa thức

cyclotomic và việc phân tích đa thức này thành nhân tử bất khả quy.

II. NỘI DUNG

1. Nhắc lại kiến thức về đại số đại cƣơng

Phần này đề tài chủ yếu đƣa ra những kiến thức cơ bản và những tính chất cần thiết sử

dụng đến trong các chứng minh ở các phần tiếp theo về: nhóm, vành, trường.

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

Ở đây khi nhắc đến vành ta chỉ xét vành có đơn vị 1.

Ngoài ra ta còn nghiên cứu các tính chất của đa thức nhƣ nghiệm của đa thức, đa

thức bất khả quy và lí thuyết Galois về các mở rộng trƣờng.

Trong đề tài sử dụng kí hiệu đa thức tối thiểu bậc

của

trên trƣờng

là:

( ) ( , , ), deg ( )p x min n K c n p x

để phân biệt với đa thức bất quả quy bậc

trên

là

( ) ( , )f x irr m F

2. Một số vấn đề về trƣờng hữu hạn

Ta xem xét các đặc trƣng cần dùng đến của trƣờng hữu hạn qua các định lí sau:

Định lí 2.1: Nếu

là trƣờng hữu hạn thì

char F

là một số nguyên tố.

Từ đây nếu không nói gì thêm, ta gọi đặc số của các trƣờng hữu hạn là

,pp

nguyên tố.

*\{0}FF

là nhóm các phần tử khả nghịch trong trƣờng hữu hạn

* * *

{ | , }

F x x F r  

Nhận xét 2.2

,| |

a F a a F q    

Bổ đề 2.3: Cho

là trƣờng hữu hạn chứa trƣờng con

, [ : ]charK q n F K

thì

|| n

Fq

Định lí 2.4: Cho

$,$

là trƣờng con của

. Khi đó, đa thức

( ) [ ]

f x x x K x  

thì

( ), [ ]

i i q

x x x a x a F x



    



và

là trƣờng phân rã

của đa thức

()fx

trên

Định lí 2.5:

||n

Fp

nN

Định lí 2.6: Cho

, ( ) ( , [ ])

F p x irr n F x

thì

[ ]/ ( ( ))

F x f x

là trƣờng hữu hạn có

phần tử.

Định lí 2.7: Với mỗi số nguyên tố

và mỗi số nguyên dƣơng

đều tồn tại trƣờng

hữu hạn cấp

. Mọi trƣờng hữu hạn có

qp

phần tử thì đẳng cấu với trƣờng phân rã

của đa thức

xx

trên

Định lí 2.8: Mọi trƣờng con của trƣờng có

phần tử đều có

phần tử với

|mn

Ngƣợc lại, nếu

|mn

thì

có duy nhất 1 trƣờng con chứa

phần tử.

Định lí 2.9:

là cyclic.

Định lí 2.10:

**r

FF

và

|| ( , 1)

Fgcd r q





. Nếu

( , 1)d gcd r q

thì

* * * *

r d d

q q q q

F F F F d

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

3. Đa thức trên trƣờng hữu hạn

3.1. Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn

Ta xem xét đa thức bất khả quy

( ) [ ]

f x F x

. Vì không thể phân tích đa thức này

thành nhân tử thực sự trên

[]

, ta đi tìm trƣờng phân rã của nó và biểu diễn các nghiệm

của nó trên trƣờng phân rã này.

Bổ đề 3.1: Cho

( ) [ ], ( ) ( , )

f x F x f x irr m F

và

n

. Khi đó

()fx

chia hết

xx

nếu và chỉ nếu

chia hết

Định lí 3.2: Cho

( ) [ ], ( ) ( , )

f x F x f x irr m F

. Khi đó

()fx

phân rã trên

và

tách đƣợc trên

. Hơn nữa nếu



là nghiệm của

()fx

thì

{ , , , , }

q q q

   



là tập hợp

tất cả các nghiệm của

()fx

Hệ quả 3.3: Trƣờng phân rã của đa thức bất khả quy

[]

f F x

là

Định nghĩa 3.4: Cho





. Khi đó các phần tử

, , , , m

q q q

   



đƣợc gọi là

các phần tử liên hợp với



trên

Định lí 3.5: Cho trƣờng hữu hạn





. Khi đó các phần tử liên hợp với



trên

trƣờng con bất kì của

có cùng cấp trong nhóm

Hệ quả 3.6: Nếu



là phần tử nguyên thủy của

thì mọi phần tử liên hợp với



trên một trƣờng con bất kì của

cũng là phần tử nguyên thủy của

Định lí 3.7: Cho





. Khi đó nếu

là số nguyên dƣơng nhỏ nhất thỏa mãn





thì đa thức

( ) ( )( )( ) ( )

q q q

f x x x x x

   



    

bất khả quy trên

3.2. Phân tích đa thức thành nhân tử

Xét đa thức

( ) [ ]

f x F x

bất kì. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là phân tích đa thức này

thành nhân tử bất khả quy thì định lƣợng và định tính nhƣ thế nào? Tức số lƣợng các nhân

tử bất khả quy, biểu diễn các nhân tử bất khả quy đó cũng nhƣ lũy thừa của mỗi nhân tử

trong phân tích của đa thức

()fx

là bao nhiêu? Mục này của bài viết sẽ trình bày tƣơng

đối trọn vẹn câu hỏi này.

Bổ đề 3.8: Cho

( ) [ ]

g x F x

và

,ss

là 2 phần tử khác nhau của

. Khi đó

( ( ) , ( ) ) 1gcd g x s g x s  

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

Bổ đề 3.9: Cho

()fx

là một đa thức có hệ tử của bậc cao nhất là 1 trong

[]

và

( ) [ ]

g x F x

. Khi đó

()gx

thỏa mãn

( ) ( )( ( ))

g x g x mod f x

nếu và chỉ nếu

( ) ( ( ) )|

f x g x s







nếu và chỉ nếu

( ) ( ( ), ( ) )|

f x gcd f x g x s







Định lí 3.10: Cho

()fx

là đa thức có hệ tử của bậc cao nhất là 1 trong

[]

và

( ) [ ]

g x F x

sao cho

( ) ( )( ( ))

g x g x mod f x

. Khi đó

( ) ( ( ), ( ) ).

f x gcd f x g x s







Ta đánh giá định lƣợng số lƣợng nhân tử bất khả quy trong khai triển.

Định lí 3.11: Cho

()fx

là đa thức bậc dƣơng trên

. Khi đó số nghiệm của phƣơng

trình

XX

trên vành

[ ]/ ( ( )

F x f x

là

khi và chỉ khi

()fx

phân tích thành tích lũy

thừa của

đa thức bất khả quy trên

[]

Nhận xét 3.12:

()fx

là đa thức bậc n trên

. Khi đó

[ ]/ ( ( ))

F x f x

là không gian

véc tơ với cơ sở

1, , ,..., n

x x x

Đặt

{ ( ) [ ]/ ( ( ))

V g x F x f x

sao cho

( ) ( )( ( ))}

g x g x modf x

thì

là không

gian con của

[ ]/ ( ( ))

F x f x

chứa mọi nghiệm của

X X dim V r  

số nghiệm của

XX

là

Ta đánh giá định tính qua việc xây dựng các nhân tử.

Bây giờ ta đi chứng minh 1 tập các nghiệm độc lập tuyến tính của

XX

trong

[ ]/ ( ( ))

F x f x

xác định tất cả các nhân tử của

()fx

Gọi

( ) 1, ( ),..., ( )

g x g x g x

là tập nghiệm độc lập tuyến tính của

XX

Rõ ràng ta có

( ) ( ( ), ( ) )

f x gcd f x g x s







Khi đó sau khi loại đi các nhân tử có tích bằng 1 thì ta thu đƣợc

( ) ( )

f x f x





trong

đó

()

là biểu thức có dạng

( ( ), ( ) )gcd f x g x s

trong đó

nguyên tố cùng nhau.

Nếu

mr

, thì bài toán đã đƣợc giải quyết.

Nếu

mr

ta chứng minh bổ đề sau.

Bổ đề 3.13: Giả sử

mr

. Chứng minh

3, , 1,i r j m   

sao cho

( ) ( ( ( ))

i j q

g x s mod f x s F  

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

Khi đó với việc khai triển một nhân tử chƣa bất khả quy, ta thu đƣợc phân hoạch mịn

hơn với

m

phần tử.

Bổ đề 3.14: Giả sử



thì

4, , 1,i r j m

  

sao cho

( ) ( )

i j q

g x s mod f s F  



Tiếp tục quá trình ta thu đƣợc

()fx

có thể phân tích thành tích lũy thừa các đa thức

bất khả quy trên

Bây giờ ta đánh giá nhân tử và lũy thừa của nó qua định lí sau:

Định lí 3.15: Cho

()fx

là lũy thừa của một đa thức bất khả quy trên

và giả sử

rằng

( ) 0fx



i) Nếu

( ( ), ( )) 1gcd f x f x



thì

()fx

là đa thức bất khả quy.

ii) Nếu

( ( ), ( )) 1gcd f x f x



thì

()

() ( ( ), ( ))

px gcd f x f x



là đa thức bất khả quy.

Khi đó

( ) ( )m

f x p x

với

deg ( )

mpx



3.3. Đa thức chia đường tròn

Cho

là trƣờng

charK p

(p có thể bằng 0) và

n

. Ta gọi trƣờng phân rã

trên

của đa thức

1 [ ]

x K x

là trƣờng n-cyclotomic trên

. Kí hiệu

()n

Mỗi nghiệm trong

()n

của đa thức

x

đƣợc gọi là một căn bậc n của đơn vị

trên

. Kí hiệu

()n

là tập hợp tất cả các căn bậc

trên

của đơn vị.

Cho

là trƣờng

,char K p n



không chia hết cho

. Ta gọi mỗi phần tử

sinh của nhóm cyclic

()n

là một căn nguyên thủy bậc n trên

của đơn vị.

Cho

là 1 trƣờng có đặc số

*,, p n N





là căn nguyên thủy của đơn vị. Khi đó ta

có đa thức

( ) ( )

Q X x









với

( , ) 1sn 

. Đa thức

đƣợc gọi là đa thức chia

đƣờng tròn trên

Định lí 3.16: Cho

là trƣờng

char K p

(p có thể bằng 0) và

n

. Khi đó

()n

là một nhóm cyclic có cấp không chia hết cho

. Cụ thể: \\

(i) Nếu

thì

()n

là nhóm cyclic cấp n\\

(ii) Nếu

và

n mp p m

thì

( ) ( ) ( ) ( )

m n n m

K K E E

là nhóm cyclic cấp

Nhận xét 3.17: Có tất cả

()n



căn nguyên thủy bậc

trên

của đơn vị.

Định lí 3.18: Cho

là một trƣờng đặc số

và

nN

sao cho

( , ) 1np 

. Khi đó

Một số tính chất của trường hữu hạn đa thức trên trường hữu hạn

Chủ đề:

Đại số hiện đại

Tài liệu liên quan

Phương pháp biến đổi đại số giải phương trình bậc cao trong trường Galoa mở rộng

Một hệ mật khóa bí mật dựa trên các thặng dư bậc hai và các phần tử liên hợp trong vành đa thức chẵn