i
LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là Cao Trần Tứ Hải, tác giả của luận án tiến sĩ: “Tính toán đối đồng điều
và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương” dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS. Lê Anh Vũ và TS. Dương Minh Thành. Bằng danh dự của mình, tôi xin cam
đoan đây là công trình do chính tôi nghiên cứu và thực hiện, không có phần sao chép
bất hợp pháp nào từ các công trình nghiên cứu của các tác giả khác. Những kết quả
trong luận án này mà không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được.
Tất cả những sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận án đã được cảm ơn và các thông tin
trích dẫn trong luận án đã được ghi rõ nguồn gốc.
Người cam đoan
Cao Trần Tứ Hải
ii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................... i
MỤC LỤC ...................................... i
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ............................ v
MỞ ĐẦU ....................................... 1
Chương 0 Một số kiến thức và kết quả cơ bản 12
0.1 Nhóm Lie và đại số Lie - Đối đồng điều của đại số Lie .......... 12
0.1.1 Nhóm Lie và Đại số Lie ...................... 12
0.1.2 Các kiểu đại số Lie ......................... 13
0.1.3 Đối đồng điều của đại số Lie .................... 15
0.2 Đại số Lie toàn phương và đối đồng điều ................. 17
0.2.1 Khái niệm đại số Lie toàn phương ................. 17
0.2.2 Tích super-Poisson và tính toán đối đồng điều đại của số Lie toàn
phương ................................ 19
0.3 Siêu đại số Lie toàn phương và đối đồng điều ............... 19
0.3.1 Khái niệm siêu đại số Lie và siêu đại số Lie toàn phương . . . . 19
0.3.2 Tích super Z×Z2−Poisson trên siêu đại số ngoài và đối đồng
điều của siêu đại số Lie toàn phương ............... 21
Chương 1 Các lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất số chiều
hoặc đối chiều thấp và tính toán đối đồng điều 23
1.1 Phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 1 . . . 24
1.1.1 Mở rộng đại số Lie bởi một đạo hàm và đồng dạng tỉ lệ ..... 24
1.1.2 Mô tả lớp Lie(n+ 1, n)....................... 25
1.1.3 Bài toán phân loại Lie(n+ 1, n).................. 28
1.2 Bài toán phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 2 32
iii
1.2.1 Bài toán wild ............................ 32
1.2.2 Mô tả lớp Lie(n+ 2, n)....................... 33
1.2.3 Bài toán phân loại Lie(n+ 2, n).................. 35
1.2.4 Một lớp con đặc biệt của Lie(n+ 2, n).............. 38
1.3 Tính toán đối đồng điều của đại số Lie có đại số dẫn xuất thấp chiều
hoặc đối chiều thấp ............................. 46
1.3.1 Số Betti của các lớp đại số Lie giải được có ideal dẫn xuất 1 chiều 46
1.3.2 Số Betti của một lớp đại số Lie Kim cương tổng quát ...... 51
1.4 Kết luận Chương 1 ............................. 55
Chương 2 Vài lớp các đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối
đồng điều 56
2.1 Mở rộng kép, mở rộng T∗và bài toán phân loại đại số Lie toàn phương
giải được theo số chiều ........................... 56
2.1.1 Mở rộng kép và mở rộng T∗.................... 56
2.1.2 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều . . 58
2.2 Phân loại các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giải
được có số chiều ≤7............................ 62
2.3 Mô tả đối đồng điều của đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều . 66
2.4 Số Betti thứ hai của các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan . 69
2.4.1 Đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan ........... 69
2.4.2 Tính toán số Betti thứ hai của các đại số Lie toàn phương lũy
linh kiểu Jordan ........................... 70
2.5 Kết luận Chương 2 ............................. 82
Chương 3 Vài lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được và tính toán
đối đồng điều 83
3.1 Một số công cụ và phương pháp cần thiết cho bài toán phân loại siêu
đại số Lie toàn phương và tính toán đối đồng điều ............ 84
3.1.1 Quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie symplectic sp(2n)........ 84
iv
3.1.2 Mở rộng kép và mở rộng kép tổng quát của siêu đại số Lie toàn
phương ................................ 88
3.2 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều bất khả phân . 91
3.3 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều bất khả phân
với phần chẵn 6 chiều ............................ 94
3.4 Đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của siêu đại số Lie toàn phương cơ bản106
3.5 Kết luận Chương 3 ............................. 111
KẾT LUẬN ...................................... 112
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ ....... 115
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................. 116
v
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
⊕: Tổng trực tiếp.
⊗,∧: Tích tenxơ và tích ngoài.
ad,ad∗: Biểu diễn phụ hợp và biểu diễn đối phụ hợp.
I⊥: Thành phần trực giao của I.
⊥
⊕: Tổng trực tiếp trực giao.
End(g): Không gian các biến đổi tuyến tính của g.
C,R: Trường số phức, trường số thực.
T∗
θ(g): Mở rộng T∗.
X∗: Phần tử đối ngẫu của X.
Der(g): Không gian các đạo hàm của g.
Dera(g, B): Không gian các đạo hàm phản xứng của (g, B).
adg: Không gian các đạo hàm trong của g.
Ck(g, V ): Không gian các ánh xạ k-tuyến tính phản xứng lấy giá trị trên V.
δ: Toán tử đối bờ (hay Toán tử vi phân).
Zk(g, V ): Không gian các k-đối chu trình.
Bk(g, V ): Không gian các k-đối bờ.
Hk(g, V ): Nhóm đối đồng điều thứ k.
i
∼
=: Đẳng cấu đẳng cự.
g0: Phần chẵn của siêu đại số Lie g=g0⊕g1.
g1: Phần lẻ của siêu đại số Lie g=g0⊕g1.
Alt(g0,C): Không gian các dạng đa tuyến tính phản xứng trên g0.
Sym(g1,C): Không gian các dạng đa tuyến tính đối xứng trên g1.
C(g,C): Siêu đại số ngoài.
{., .}: Tích super-Poisson.
I: 3-dạng liên kết.