Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
08. XỬ LÍ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
+ - =
Ví dụ 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM
( 4;1),
;12
y 5 0
M
17 5
- và phân giác trong BD. Biết H và BD có phương trình x . Tìm tọa độ đỉnh A
của tam giác ABC.
⇒
I (0;5)
D ˙ Lời giải : - + = y 5 0 = BD I qua H và vuông góc với BD có PT: x D ˙ Đường thẳng D = Giả sử AB H ' . . D BHH ' cân tại B ⇒ I là trung điểm của HH .
= 29 0
+ - y
'(4;9)
- =
+
+
- ;25 Phương trình AB: x 5 . B = AB ˙ BD ⇒ B(6; 1) ⇒ A 4 5 ⇒ H'
= 10 0
- 5 0 13 y2 y Ví dụ 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình . Tìm toạ độ đỉnh B. đường phân giác trong (AD): x
+
+ = . 5 0
+ 2 y = - + 1 2 = 25 0
, đường trung tuyến (AM): x 4 Lời giải : Ta có A = AD ˙ AM ⇒ A(9; –2). Gọi C¢ là điểm đối xứng của C qua AD ⇒ C¢ ˛ AB. - y7 Ta tìm được: C¢ (2; –1). Suy ra phương trình (AB): x (cid:219) - -
- -
+ + = . Tìm toạ độ đỉnh C.
, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; 1) 1 0 9 x 2 9 + Viết phương trình đường thẳng Cx // AB ⇒ (Cx): x y7 Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình M( 1;2) 2 y x
=
- ) : ( 3 0
(3; 3)
- + = y
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) PT đường thẳng AB qua M và nhận MI
Lời giải : làm VTPT: AB x .
⇒ A . Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: - x y 4 5 ; 3 3 - + = 3 0 y x + + = 1 0 2
2
x
t
=
- M( 1;2) là trung điểm của AB nên B . - 2 7 ; 3 3
(cid:2) Đường thẳng BC qua B và nhận n
y
t
2 = - + 3 = +
7 3
(2;1) làm VTCP nên có PT:
2
2
2
2
˛ ( ) 2 ; t t BC Giả sử C . 2 - + 3 7 + 3
=
+
” ) loaïi vì C B (cid:219) - (cid:219) 2 t t Ta có: IB IC 8 + 3 10 = 3 8 + 3 10 3 = t = t 0 ( 4 5
+
+
Vậy: C . 14 47 ; 15 15
= . Tìm toạ độ điểm A.
= , phân giác trong góc C có phương trình d2: x
27 0 3 – 4 y2 – 5 0 y Ví dụ 4: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho D ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d1: x
+ y
=
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT Quốc gia!
Lời giải : - 2 x - ⇒ Toạ độ điểm C( 1;3) Phương trình BC: - 3 1 4
Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 +) Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2. 1
2
+ y
x
=
2
5 0
x
- = y
1
2
- (cid:219) - ⇒ phương trình BB’:
⇒
(3;1)
I
x +
- =
5 0 5 0
2
3 1
2 x
- = y y
= x = y
- (cid:219) +) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:
'
B
I
(4;3)
¢⇒ B
= =
2 2
4 3
x y
x y
x y
'
B
I
= B = B
- +) Vì I là trung điểm BB’ nên: -
5
+) Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0.
( 5;3)
⇒ - A
= 27 0
3
- = 3 0 + 4 y x
= - x = y
y 3
+ - =
+ =
(cid:219) +) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: -
y 2 0
y2
- , x
AM2=
Ví dụ 5: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường . Điểm M(3; 0) thuộc đoạn AC thoả mãn cao CH lần lượt có phương trình x AB
5 0 . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Lời giải :
) : 2
3 0
x
+ - = y
-
x
+
- =
) :
(
2
3 0
y
Gọi E là điểm đối xứng của M qua AD ⇒ E(2; 1) . Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH ⇒ AB ( .
3 0 2 0
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: ⇒ A(1;1) ⇒ PT AM x
AM2=
- . Do AB
3 0 5 0
2 2
- = y + = y
+ - = 2 y + - = y x nên E là trung điểm của AB ⇒ B(3; 3) + x - x
- Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: ⇒ C( 1;2)
- - , C( 1;2) .
2 0
: 3
- và phương trình của cạnh huyền là d .
Vậy: A(1;1) , B(3; 3) Ví dụ 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết - + = đỉnh C(3; 1) y x Lời giải :
+ y3 Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên D ABC vuông cân tại C. Gọi I là trung điểm của AB . Phương trình đường thẳng CI: x = . 0
-
x
- + = y
= = ˙ = I CI AB ⇒ I = ⇒ AI BI CI 72 5 3 1 ; 5 5
=
=
,
A B d
;
x
y
2 0 2
19 5
3 5
˛
=
+
+
2 =
= AI BI
y
x
;
= - y
72 5
3 5
1 5
72 5
3
= - x
9 5
17 5
Ta có: (cid:219) (cid:219) -
;
3 19 ; 5 5
9 5
17 5
,
D
- - Vậy toạ độ 2 đỉnh cần tìm là: .
+ - =
+
- =
7 0
y 2 0
y8
+
1
b
b
, với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân Ví dụ 7: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC giác trong BD: x và phương trình đường trung tuyến CE: x . Tìm toạ độ các đỉnh B, C.
⇒
3= -
( ;2
)
;
BD
E
b
CE
2
- ˛ - ˛ Gọi E là trung điểm của AB. Giả sử B b ⇒ b
⇒ B( 3;5)
+
- =
=
-
⇒
7 0
(7; 0)
:
y2
C CE BC
C
⇒ Phương trình BC: x
2 BC. Tìm được A¢ (5; 1) - = - =
7 0 7 0
5 0
1 0
: 2
- + = y
y
˙ . ; Lời giải : + 1 . Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua BD ⇒ A¢ ˛ 8 y 2 y
, phân giác trong BN x
+ x + x Ví dụ 8: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao + + = . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác : CH x ABC.
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
4
Lời giải : ^ Do AB CH nên phương trình AB: x + + = . y 1 0
⇒ B( 4;3)
= - x = 3 y
5 0 1 0
x x
+ + = y + + = y
' ˛
BC
˙ - +) B = AB BN ⇒ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: (cid:219) .
- =
5 0
y2
2
x
=
. - +) Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x .
⇒ -
( ) d
BN
A '( 3; 4)
5 0 5 0
2
x
+ + = y - = y
˙ - Gọi I . Giải hệ: . Suy ra: I(–1; 3) -
25 0
;
+ + y
⇒ C
13 4
9 4
= 25 0 1 0
= . Giải hệ: BC x : 7 : CH x
+ + y - + = y
+ - + 7.1 1( 2) 25
=
2 +
2 =
=
=
- + 4
+ 3
- - +) Phương trình BC: x 7 .
2
+
2 1
=
=
=
.3 2.
( ;
).
.
d A BC BC
450 4
45 4
1 2
1 2
) 3 2 +) BC ( ; , d A BC . 13 4 9 4 450 4 7
Suy ra: ABCS Ví dụ 9: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối B - 2010)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có C(–4; 1) phân giác trong góc A có
phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình BC biết diện tích tam giác là 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Đ/s: B(4; 7), BC: 3x – 4y – 16 = 0
Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có M(1; –2) là trung điểm AB, trục Ox là phân giác góc A, đỉnh B, C
thuộc đường thẳng đi qua N(–3; 0) và P(0; 2). Tìm tọa độ ba đỉnh A, B, C và diện tích tam giác ABC.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD: x – y = 0, đường cao CH: 2x + y + 3 = 0, cạnh AC
qua M(0; –1),
AB = 2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 2: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ B và phân giác góc A là x – 2y – 2 = 0 , x – y – 1 = 0,
điểm M(0; 2) thuộc AB và AB = 2AC. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác
Đ/s: B(0; 1), C(3; 1)
Tìm toạ độ các đỉnh tam giác
+ + = x
+ - = y
1 0; 2
3 0;
1 0.
x
y
Bài 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác từ A, trung tuyến từ B, đường - + = y x cao từ C có phương trình lần lượt là
A
,
B
,
C
.
12 39 ; 17 17
32 49 ; 17 17
8 16 ; 17 17
- Đ/s:
7y – 20 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 4: [ĐVH]. Tam giác ABC có A(7; 9), trung tuyến CM: 3x + y – 15 = 0, đường phân giác trong BD: x +
kẻ từ A lần lượt có phương trình x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0.
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT Quốc gia!
Bài 5: [ĐVH]. Xác định toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết C(4; 3) và đường phân giác trong, trung tuyến
Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+
Bài 6: [ĐVH]. Tam giác ABC có B(–4; 3), đường cao kẻ từ A và phân giác trong qua C có phương trình,
= 15 0
:
x
3
.
:
x
y - + = y
3 0
h A ℓ
C
- Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 7: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A(2; –1) và các đường phân giác trong góc B và C lần lượt có phương
trình x – 2y + 1= 0 ; x + y + 3 = 0.
Lập phương trình đường thẳng BC.
Bài 8: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A(–1; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x, phân giác trong
và đường phân giác trong góc A có
góc C nằm trên đường thẳng x + 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
G
1 2 ; 3 3
+
- =
x
2
y
5 0
. Viết pt cạnh BC.
phương trình là
Bài 9: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có B(–12; 1), trọng tâm
BC x :
+ y
8
= 20 0
- Đ/s:
Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác từ A, trung tuyến từ B, đường
cao từ C có phương trình lần lượt là
x
- = y
1 0;
- = y
1 0; 4
+ - x
= y
11 0.
Tìm toạ độ các đỉnh tam giác
ABC.
-
- -
(
(
(
Đ/s:
A
) 4;3 ,
B
) 4;1 ,
C
) 3; 1 .
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT Quốc gia!
