Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số luật số lớn đối với mảng nhiều chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận án "Một số luật số lớn đối với mảng nhiều chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị" là thiết lập một số luật mạnh số lớn đối với mảng nhiều chiều và mảng tam giác của các biến ngẫu nhiên đa trị với các giả thiết khác nhau.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số luật số lớn đối với mảng nhiều chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH --------⋆-------- BÙI NGUYÊN TRÂM NGỌC MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG NHIỀU CHIỀU VÀ MẢNG TAM GIÁC CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Mã số: 9.46.01.06 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2022
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TS. Nguyễn Văn Quảng 2. TS. Dương Xuân Giáp Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học Vinh Vào hồi ... ngày ... tháng ... năm ... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh.
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Các định lý giới hạn đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của lý thuyết xác suất, thống kê toán học và có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như y học, toán kinh tế, ... Đây luôn là vấn đề thời sự được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. 1.2. Trong khoảng 40 đến 50 năm trở lại đây, một hướng nghiên cứu các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất là mở rộng các kết quả đối với các biến ngẫu nhiên đơn trị sang cho các biến ngẫu nhiên đa trị. Hướng nghiên cứu này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết trò chơi, toán kinh tế, tối ưu ngẫu nhiên, thống kê và các lĩnh vực liên quan. Tuy nhiên, không gian các tập con khác rỗng của một không gian Banach không có cấu trúc của một không gian vectơ nên việc nghiên cứu, thiết lập các định lý giới hạn có nhiều bất thường. Do đó, nghiên cứu các định lý giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị có nhiều ý nghĩa. 1.3. Đối với cấu trúc mảng nhiều chỉ số, các quan hệ thứ tự thông thường trên tập các chỉ số không có tính chất tuyến tính; các dạng hội tụ có thể được xét khi max hoặc min các chỉ số tiến ra vô cùng. Vì vậy, khi mở rộng các định lý giới hạn từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng nhiều chỉ số, chúng ta sẽ gặp nhiều khó khăn và các kết quả thu được có nhiều giá trị. 1.4. Trong nước, việc nghiên cứu các định lý giới hạn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên đơn trị được nhiều nhà khoa học quan tâm với nhiều kết quả có giá trị đã được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín trong danh mục ISI. Đối với trường hợp các biến ngẫu nhiên đa trị, trong 10 năm trở lại đây có một số kết quả có giá trị đã được công bố bởi các tác giả Nguyễn Văn Quảng, Dương Xuân Giáp, Nguyễn Trần Thuận, Hoàng Thị Duyên,...Tuy nhiên, còn nhiều kết quả đối với các biến ngẫu nhiên
2 đơn trị chưa được xem xét giải quyết đối với các biến ngẫu nhiên đa trị. Vì vậy, việc mở rộng các kết quả đối với mảng các biến ngẫu nhiên đơn trị sang cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị sẽ có nhiều vấn đề để khai thác, tìm cách giải quyết. Với các lý do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Một số định lý giới hạn đối với các biến ngẫu nhiên đa trị” làm đề tài nghiên cứu cho luận án tiến sĩ của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận án là thiết lập một số luật mạnh số lớn đối với mảng nhiều chiều và mảng tam giác của các biến ngẫu nhiên đa trị với các giả thiết khác nhau. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các biến ngẫu nhiên đa trị, các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên và một số tính phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên đa trị như: độc lập đôi một, compact khả tích đều, phụ thuộc âm, liên kết âm. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu luật số lớn đối với mảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap. Bên cạnh đó, luận án còn thiết lập một số luật số lớn cho mảng d-chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên phụ thuộc . 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu lý thuyết thuộc chuyên ngành lý thuyết xác suất, giải tích lồi và giải tích hàm như: kỹ thuật lồi hóa, kỹ thuật phân tích theo khối,... 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án góp phần bổ sung, mở rộng vào hướng nghiên cứu các định lý giới hạn của các biến ngẫu nhiên đa trị. Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án
3 7.1. Tổng quan về luận án Trong luận án này, chúng tôi mở rộng kết quả của P. Terán cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị; kết hợp phương pháp của P. Terán với kỹ thuật xây dựng mảng các hàm chọn của Nguyễn Văn Quảng và các cộng sự để chứng minh phần “liminf” của sự hội tụ Painlevé-Kuratowski. Từ đó, chúng tôi thiết lập một số luật số lớn ứng với hội tụ theo tôpô gap đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị cho trường hợp m ∨ n → ∞. Đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị, chúng tôi thiết lập luật số lớn ứng với sự hội tụ theo tôpô gap cho các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, compact khả tích đều và thỏa mãn thêm một số điều kiện kèm theo. Để thu được các kết quả trên, chúng tôi thiết lập một số luật số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đơn trị rồi từ đó chứng minh phần “liminf” của sự hội tụ Painlevé-Kuratowski với các giả thiết khác nhau. Luật số lớn ứng với sự hội tụ theo tôpô gap cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Rademacher dạng p cũng được chúng tôi thiết lập dựa trên sự mở rộng kết quả đã được Nguyễn Văn Quảng và Dương Xuân Giáp giới thiệu vào năm 2013. Mở rộng các kết quả được giới thiệu vào năm 2016 của Nguyễn Trần Thuận và Nguyễn Văn Quảng cho mảng nhiều chiều, chúng tôi thiết lập một số luật số lớn đối với các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm và phụ thuộc âm với các giả thiết khác nhau. Để chứng minh các định lý giới hạn này, chúng tôi cũng thiết lập bất đẳng thức cực đại dạng Hájek-Rényi cho mảng nhiều chiều các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm và luật số lớn cho mảng nhiều chiều các biến ngẫu nhiên thực phụ thuộc âm đôi một. 7.2. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần: Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án, nội dung chính của luận án được trình bày trong ba chương và phụ lục. Chương 1 được dành để giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị.
4 Chương 2 trình bày các luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap. Chương 3 thiết lập một số luật mạnh số lớn ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng. Phần Phụ lục được dành để giới thiệu bất đẳng thức cực đại dạng Hajek-Rényi cho mảng các hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên liên kết âm và thiết lập một số luật số lớn cho mảng d-chiều các hàm ngẫu nhiên liên kết âm và phụ thuộc âm đôi một.
5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số dạng hội tụ thường gặp trên không gian các tập con đóng của không gian Banach, một số kiến thức cơ bản về các biến ngẫu nhiên đa trị và trình bày các ký hiệu, các định nghĩa liên quan đến hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên. 1.1 Sự hội tụ trên không gian các tập con đóng của không gian Banach Giả sử t là một tôpô của X, {An : n ∈ Nd } là một mảng trên không gian các tập con đóng, khác rỗng c(X) của X. Ta đặt t- lim inf An = {x ∈ X : x = t- lim xn , xn ∈ An , n ∈ Nd }, |n|→∞ |n|→∞ t- lim sup An = {x ∈ X : x = t- lim xk , xk ∈ Ank , k ∈ Nd }, |n|→∞ |k|→∞ trong đó {Ank : k ∈ Nd } là một mảng con của mảng {An : n ∈ Nd }. Các tập t- lim inf An và t- lim sup An tương ứng gọi là giới hạn dưới và giới |n|→∞ |n|→∞ hạn trên của mảng {An : n ∈ Nd } ứng với tôpô t khi |n| → ∞. Định nghĩa 1.1.6. Giả sử A ∈ c(X). Mảng {An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) được gọi là (M) (1) hội tụ Mosco tới A khi |n| → ∞, ký hiệu bởi An −→ A khi − |n| → ∞ hay (M)- lim An = A, nếu w- lim sup An = s- lim inf An = A. |n|→∞ |n|→∞ |n|→∞ (2) hội tụ Painlevé - Kuratowski tới A ứng với tôpô mạnh s của X khi (K) |n| → ∞ và được ký hiệu là An −→ A khi |n| → ∞ hay (K)- lim An = − |n|→∞ A, nếu s- lim sup An = s- lim inf An = A. |n|→∞ |n|→∞
6 (W) (3) hội tụ Wijsman tới A khi |n| → ∞ và được ký hiệu là An −→ A − khi |n| → ∞ hay (W)- lim An = A, nếu lim d(x, An ) = d(x, A) với |n|→∞ |n|→∞ mọi x ∈ X. ¯ Một slice của hình cầu là giao giữa hình cầu đóng B(x, r) (trong đó x ∈ X, r > 0) và nửa không gian đóng F (x∗ , α) = {x ∈ X : ⟨x∗ , x⟩ ≥ α} (trong đó x∗ ∈ X∗ , x∗ ̸= 0 và α ∈ R). (S) (4) hội tụ theo tôpô slice tới A khi |n| → ∞ và được ký hiệu là An −→ A khi |n| → ∞ hay (S)- lim An = A, nếu lim D(An , C) = D(A, C) |n|→∞ |n|→∞ với mọi slice khác rỗng C của các hình cầu trên X. (G) (5) hội tụ theo tôpô gap tới A khi |n| → ∞ và được ký hiệu là An −→ − A khi |n| → ∞ hay (G)- lim An = A, nếu lim D(An , C) = D(A, C) |n|→∞ |n|→∞ với mọi tập con lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng C của X. Nhận xét 1.1.7. (1) (K)- lim An = A nếu và chỉ nếu s- lim sup An ⊂ |n|→∞ |n|→∞ A ⊂ s- lim inf An . |n|→∞ (M)- lim An = A nếu và chỉ nếu w- lim sup An ⊂ A ⊂ s- lim inf An . |n|→∞ |n|→∞ |n|→∞ (2) Trên không gian các tập con lồi, compact và khác rỗng, hội tụ Wijsman kéo theo hội tụ Painlevé - Kuratowski. Trên không gian các tập con lồi, đóng và khác rỗng, các loại hội tụ: hội tụ Wijsman, hội tụ theo tôpô slice và hội tụ theo tôpô gap là tương đương. 1.2 Biến ngẫu nhiên đa trị Trong mục này, chúng tôi trình bày về biến ngẫu nhiên đa trị và một số khái niệm, tính chất liên quan đến biến ngẫu nhiên đa trị. Ký hiệu là Bc(X) là σ -đại số trên c(X) sinh bởi các tập U − := {C ∈ c(X) : C ∩ U ̸= ∅}, với U là tập con mở của X. Khi đó, Bc(X) được gọi là σ -đại số Effr¨s. o Định nghĩa 1.2.1. Ánh xạ X : Ω → c(X) được gọi là ánh xạ F -đo
7 được nếu với mọi B ∈ Bc(X) , X −1 (B) ∈ F . Ánh xạ F -đo được X còn được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị F -đo được. Nếu F = A thì ta nói gọn X là ánh xạ đo được hoặc biến ngẫu nhiên đa trị. Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị X , ta ký hiệu AX = {X −1 (B), B ∈ Bc(X) }. Khi đó AX là σ -đại số con bé nhất của A mà X đo được. Phân phối xác suất của X là độ đo xác suất PX trên Bc(X) được xác định bởi PX (B) = P X −1 (B) , B ∈ Bc(X) . Định nghĩa 1.2.2. Một họ các biến ngẫu nhiên đa trị {Xi , i ∈ I} được gọi là độc lập (tương ứng, độc lập đôi một) nếu họ các σ -đại số sinh bởi chúng {AXi , i ∈ I} là độc lập (tương ứng, độc lập đôi một), và được gọi là cùng phân phối nếu tất cả các phân phối xác suất PXi , i ∈ I đều bằng nhau. Định nghĩa 1.2.3. Phần tử ngẫu nhiên f : Ω → X được gọi là lát cắt (hay, hàm chọn) của biến ngẫu nhiên đa trị X nếu f (ω) ∈ X(ω) h.c.c. Với mỗi p ≥ 1, kí hiệu Lp (F, X) là không gian Banach các phần tử 1/p ngẫu nhiên F -đo được f : Ω → X sao cho ∥f ∥p = E∥f ∥p < ∞. Nếu p p F = A thì L (F, X) được viết gọn là L (X). Nếu X = R thì ta viết gọn Lp thay cho Lp (R). Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo được X và với mỗi p ≥ 1, ta ký p hiệu SX (F) = {f ∈ Lp (F, X) : f (ω) ∈ X(ω) h.c.c.}. Trong trường hợp p p F = A thì SX (A) được viết gọn là SX . Định nghĩa 1.2.4. Biến ngẫu nhiên đa trị X : Ω → c(X) được gọi là 1 khả tích nếu SX khác rỗng. Định nghĩa 2.1.5. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đa trị khả tích X , ký hiệu EX , được định nghĩa bởi 1 EX := {Ef : f ∈ SX } với Ef là tích phân Bochner thông thường. Trong Định nghĩa 1.1.6, nếu ta thay An bởi Xn (ω) và A bởi X(ω) với ω thuộc vào một tập có xác suất 1, trong đó X , Xn , n ∈ Nd là các biến ngẫu nhiên đa trị, thì ta có khái niệm hội tụ hầu chắc chắn cho các biến ngẫu nhiên đa trị.
8 1.3 Tính compact khả tích đều và tính bị chặn ngẫu nhiên đều của mảng các biến ngẫu nhiên đa trị Ở mục này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, compact khả tích đều và khái niệm bị chặn ngẫu nhiên đều cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị. Định nghĩa 1.3.1. (1) Mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên {fmn : m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu m n −1 lim sup (mn) E ∥fij ∥.I(∥fij (.)∥>x) = 0. x→∞ m,n≥1 i=1 j=1 (2) Mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên {fmn : m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của X sao cho m n −1 sup (mn) E ∥fij ∥.I(fij (.)∈K) < ε. / m,n≥1 i=1 j=1 Giả sử A là một tập con của Ω, phần bù của tập A trên Ω được kí hiệu là Ac . (3) Mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị {Xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của X sao cho m n −1 sup (mn) E ∥Xij ∥.I(Xij (.)⊂K)c < ε. m,n≥1 i=1 j=1 Định nghĩa 1.3.2. (1) Mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên {fni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} được gọi là compact khả tích đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của X sao cho sup E ∥fni ∥.I(fni (.)∈K) < ε. / n,i (2) Mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị {Xni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} được gọi là compact khả tích đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con
9 compact K của X sao cho sup E ∥Xni ∥.I(Xni (.)⊂K)c < ε. n,i Định nghĩa 1.3.3. (1) Mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên {fni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} bị chặn ngẫu nhiên đều bởi một biến ngẫu nhiên thực ξ nếu với mọi n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n và với mọi số thực t > 0, P (∥fni ∥ > t) ≤ P (|ξ| > t). (2) Mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị {Xni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} bị chặn ngẫu nhiên đều bởi một biến ngẫu nhiên thực ξ nếu với mọi n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n và với mọi số thực t > 0, P (∥Xni ∥ > t) ≤ P (|ξ| > t). 1.4 Hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản và một số tính chất của hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên. Giả sử K là tập hợp gồm các đoạn của R. Nếu x là một phần tử của K, thì nó sẽ được ký hiệu bởi x = [x(1) ; x(2) ], trong đó x(1) , x(2) là hai điểm đầu mút của đoạn. Khoảng cách Hausdorff dH trên K được định nghĩa dH (x, y) = max{|x(1) − y (1) |; |x(2) − y (2) |}, x, y ∈ K. Cho hàm số u : R → [0; 1], tập α-mức của u được định nghĩa bởi [u]α = {x ∈ R : u(x) ≥ α} với mỗi α ∈ (0; 1]. Với mỗi α ∈ [0; 1), [u]α+ ký hiệu là bao đóng của {x ∈ R : u(x) > α}. Đặc biệt, [u]0+ được gọi là giá của u và được ký hiệu là supp(u). Hàm u : R → [0; 1] gọi là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu [u]α là tập đóng với mọi α ∈ (0, 1]. Một hàm nửa liên tục trên u : R → [0; 1] được gọi là hàm tựa lõm nếu u(λx + (1 − λ)y) ≥ min{u(x), u(y)} với mọi x, y ∈ R, và điều kiện này tương đương với điều kiện [u]α là một tập con lồi của R với mọi α ∈ (0; 1]. Gọi U là họ bao gồm tất cả các hàm nửa liên tục trên u : R → [0; 1] thỏa mãn các điều kiện sau: (1) supp(u) là một tập compact;
10 (2) [u]1 ̸= ∅; (3) u là hàm tựa lõm. Vì vậy, nếu u ∈ U thì với mỗi α ∈ (0; 1], [u]α là một đoạn của R và được (1) (2) (1) (2) kí hiệu là [u]α = [u]α ; [u]α , trong đó [u]α và [u]α là hai điểm đầu mút của đoạn. Định nghĩa 1.4.2. Ánh xạ X : Ω → K được gọi là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên K nếu X −1 (B) ∈ A với mọi B ∈ B(K), trong đó B(K) là σ -đại số Borel của không gian mê tric (K, dH ). Định nghĩa 1.4.3. Ánh xạ X : Ω → U được gọi là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên U (hoặc hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên) nếu [X]α là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên K với mọi α ∈ (0; 1]. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu các khái niệm liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi một cho trường hợp mảng nhiều chiều như sau. Định nghĩa 1.4.9. (1) Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên thực {X1 , X2 , . . . , Xn } được gọi là liên kết âm nếu với hai tập con rời nhau A1 , A2 của tập các chỉ số {1, 2, . . . , n}, thì Cov f1 (Xi , i ∈ A1 ), f2 (Xj , j ∈ A2 ) ≤ 0, trong đó covariance là tồn tại; f1 , f2 là các hàm đo được không giảm theo tọa độ f1 : R|A1 | → R, f2 : R|A2 | → R và |A| là ký hiệu lực lượng của tập A. Một họ vô hạn các biến ngẫu nhiên thực được gọi là liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của nó đều là liên kết âm. (2) Cho {Xn , n ∈ Nd } là mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên (1) K. Khi đó, {Xn , n ∈ Nd } được gọi là mảng liên kết âm nếu {Xn , n ∈ Nd } (2) và {Xn , n ∈ Nd } là các mảng biến ngẫu nhiên thực liên kết âm. (3) Cho {Xn , n ∈ Nd } là một mảng của các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên U . Khi đó, {Xn , n ∈ Nd } được gọi là mảng liên kết âm theo mức nếu các mảng {[Xn ]α , n ∈ Nd } của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên K là liên kết âm với mọi α ∈ (0; 1]. Định nghĩa 1.4.10. (1) Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên thực {X1 , X2 , . . . , Xn } được gọi là phụ thuộc âm nếu thỏa mãn hai bất đẳng
11 thức sau n P X1 > x1 , . . . , Xn > xn ≤ P(Xi > xi ), i=1 n P X1 ≤ x1 , . . . , Xn ≤ xn ≤ P(Xi ≤ xi ), i=1 với mọi xi ∈ R, i = 1, . . . , n. Một họ vô hạn các biến ngẫu nhiên thực được gọi là phụ thuộc âm nếu mọi họ con hữu hạn của nó đều là phụ thuộc âm. Họ các biến ngẫu nhiên thực {Xi , i ∈ I} được gọi là phụ thuộc âm đôi một nếu P Xi > x, Xj > y ≤ P(Xi > x)P(Xj > y) (hoặc tương đương, P Xi ≤ x, Xj ≤ y ≤ P(Xi ≤ x)P(Xj ≤ y)), với mọi i ̸= j và mọi x, y ∈ R. (2) Cho {Xn , n ∈ Nd } là một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên K. Khi đó, {Xn , n ∈ Nd } được gọi là phụ thuộc âm, (tương (1) (2) ứng, phụ thuộc âm đôi một) nếu {Xn , n ∈ Nd } và {Xn , n ∈ Nd } là các biến ngẫu nhiên thực phụ thuộc âm, (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một). (3) Cho {Xn , n ∈ Nd } là một mảng của các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên U . Khi đó, {Xn , n ∈ Nd } được gọi là mảng phụ thuộc âm theo mức (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một theo mức) nếu các mảng {[Xn ]α , n ∈ Nd } là các mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên K là phụ thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một) với mọi α ∈ (0; 1]. Kết luận của Chương 1 Trong chương này, luận án đã đạt được những kết quả sau: - Giới thiệu các dạng hội tụ thường gặp trên không gian các tập con đóng của không gian Banach và mối liên hệ giữa chúng. - Trình bày về biến ngẫu nhiên đa trị và các khái niệm liên quan. - Trình bày một số vấn đề về hàm ngẫu nhiên nửa liên tục trên và một số tính chất liên quan.
12 CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO MẢNG HAI CHIỀU CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ THEO TÔPÔ GAP Trong chương này, chúng tôi thiết lập một số luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập hoặc độc lập đôi một. 2.1 Luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro Ở mục này, chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một, compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro và dạng hội tụ xét ở đây là hội tụ theo tôpô gap. Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu một bổ đề cần thiết để chứng minh các kết quả chính. Bổ đề 2.1.1. Giả sử {Xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro. Khi đó (1) {fmn : m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên 0 compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, trong đó fmn ∈ SXmn , với mọi m ≥ 1, n ≥ 1. (2) {s(x∗ , Xmn ) : m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên thực khả tích đều theo nghĩa Cesàro, với mọi x∗ ∈ S∗ . Bổ đề 2.1.2. Giả sử A là một tập con của X, B là hình cầu đơn vị đóng ứng với chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu trên X và r > 0. Khi đó, nếu A là một tập compact thì coA + r.B = co(A + r.B). Tiếp theo, chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn ứng với sự hội tụ theo tôpô gap cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một, compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro.
13 Định lý 2.1.5. Cho 1 ≤ p ≤ 2 và {Xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một, compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro. Khi đó, nếu các điều kiện sau được thỏa ∞ ∞ E∥Xmn ∥p (1) (mn)p < ∞, m=1 n=1 (2) tồn tại X ∈ k(X) sao cho X ⊂ s- lim inf (clE(Xmn , AXmn )), (2.3) m∨n→∞ lim sup s(x∗ , clEXmn ) ≤ s(x∗ , X), x∗ ∈ X∗ , (2.4) m∨n→∞ thì m n 1 cl Xij (ω) → coX h.c.c. theo tôpô gap khi m ∨ n → ∞. mn i=1 j=1 2.2 Luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Banach Trong mục này, chúng tôi thiết lập các luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên độc lập, độc lập đôi một nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Banach. Định lý 2.2.2. Giả sử X là một không gian Banach Rademacher dạng p, trong đó 1 ≤ p ≤ 2. Cho {Xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập thỏa mãn các điều kiện sau: ∞ ∞ E∥Xmn ∥p (1) (mn)p < ∞, m=1 n=1 (2) tồn tại X ∈ k(X) thỏa mãn (2.3) và (2.4). Khi đó m n 1 cl Xij (ω) → coX h.c.c. theo tôpô gap khi m ∨ n → ∞. mn i=1 j=1
14 Định lý 2.2.4. Cho {Xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một và có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên đa trị X nhận giá trị trên k(X) thỏa mãn E(∥X∥ log+ ∥X∥) < ∞. Khi đó, m n 1 cl Xij (ω) → coEX h.c.c. theo tôpô gap khi m ∨ n → ∞. mn i=1 j=1 Kết luận của Chương 2 Trong chương này, luận án đã đạt được những kết quả sau: - Thiết lập một số luật mạnh số lớn ứng với sự hội tụ theo tôpô gap đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị cho các trường hợp sau: độc lập đôi một và compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, hoặc độc lập đôi một cùng phân phối, hoặc độc lập và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Rademacher dạng p.
15 CHƯƠNG 3 LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO MẢNG TAM GIÁC CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ THEO TÔPÔ GAP Trong chương này, chúng tôi thiết lập một số luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng. Từ đó, chúng tôi thiết lập các luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap. 3.1 Luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một số luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên với các giả thiết khác nhau và các kết quả này sẽ được sử dụng để thiết lập các luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị. Định lý 3.1.1. Cho {fni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach khả ly, độc lập theo hàng, compact khả tích đều. Cho ψ(t) là hàm liên tục, lồi, chẵn, dương sao cho ψ(|t|) ψ(|t|) ↑ và r+1 ↓ khi |t| ↑ ∞, (3.1) |t|r |t| với r là một số nguyên không âm và tồn tại một hằng số dương C1 sao cho ψ(t) thỏa ψ(a + b) ≤ C1 (ψ(a) + ψ(b)) với mọi số thực a, b. (3.2) Khi đó, nếu các điều kiện sau được thỏa ∞ n ∞ n E(ψ(∥fni ∥)) fni 2 2.k < ∞; E < ∞, n=1 i=1 ψ(n) n=1 i=1 n với k là một số nguyên dương, thì n 1 (fni − Efni ) → 0 h.c.c. khi n → ∞. n i=1
16 Định lý 3.1.4. Cho {fni , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach khả ly, độc lập theo hàng và compact khả tích đều. Nếu {fni } bị chặn ngẫu nhiên đều bởi biến ngẫu nhiên f với Ef 2 < ∞, thì với mọi ε > 0 ∞ n 1 P (fni − Efni ) > ε < ∞. n=1 n i=1 3.2 Luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị Trong phần này, ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap, đầu tiên chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng, compact khả tích đều. Định lý 3.2.2. Giả sử {Xni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng và compact khả tích đều trên không gian Banach khả ly. Cho ψ(t) là hàm số liên tục, lồi, dương, chẵn và thỏa mãn các điều kiện (3.1) và (3.2) với r là số nguyên không âm. Khi đó, nếu các điều kiện sau được thỏa ∞ n ∞ n 2.k E ψ(∥Xni ∥) Xni 2 < ∞; E < ∞, n=1 i=1 ψ(n) n=1 i=1 n với k là số nguyên dương và tồn tại X ∈ k(X) sao cho X ⊂ s- lim inf (clE(Xni |AXni )); (3.11) n→∞ lim sup s(x∗ , clEXni ) ≤ s(x∗ , X) với mọi x∗ ∈ X∗ , (3.12) n→∞ 1 n thì cl Xni (ω) → coX h.c.c. theo tôpô gap khi n → ∞. n i=1 Khi thay điều kiện Chung trong Định lý 3.2.2 bởi điều kiện bị chặn đều, chúng tôi thiết lập được luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng nêu trong định lý dưới đây. Định lý 3.2.4. Cho {Xni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng và compact khả tích đều trong không
17 gian Banach khả ly. Nếu mảng tam giác {∥Xni ∥ : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} bị chặn đều bởi biến ngẫu nhiên ξ với Eξ 2 < ∞ và tồn tại X ∈ k(X) thỏa mãn (3.11) và (3.12), thì n 1 cl Xni (ω) → coX h.c.c. theo tôpô gap khi n → ∞. n i=1 Tiếp theo, chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng nhận giá trị trên không gian Rademacher dạng p (1 < p ≤ 2) ứng với dạng hội tụ theo tôpô gap. Định lý 3.2.5. Giả sử X là một không gian Rademacher dạng p (1 < p ≤ 2) và {Xni : n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng, có kì vọng bị chặn. Giả sử {an } là dãy các số thực dương sao cho an+1 > an và lim an = +∞. Cho ψ(t) là hàm liên n→∞ ψ(|t|) ψ(|t|) tục, lồi, chẵn, dương sao cho là hàm đơn điệu tăng của |t|; |t|r+p−1 |t|r là hàm đơn điệu giảm của |t| với r là một số nguyên không âm và tồn tại hằng số dương C1 sao cho ψ(t) thỏa mãn (3.2). Khi đó, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∞ n ∞ n p.k E ψ(∥Fni ∥) Fni p < ∞; E < ∞, n=1 i=1 ψ(n) n=1 i=1 n với k là một số nguyên dương và tồn tại X ∈ k(X) thỏa mãn (3.11) và (3.12), thì ta thu được luật số lớn ứng với sự hội tụ theo tôpô gap n 1 cl Xni (ω) → coX h.c.c. khi n → ∞. n i=1 Kết luận của Chương 3 Trong chương này, luận án đã đạt được những kết quả sau: - Thiết lập một số luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng và compact khả tích đều. - Thiết lập một số luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng cho các trường hợp: compact khả tích đều hoặc bị chặn đều và nhận giá trị trên không gian các tập con
18 đóng của không gian Banach khả ly, hoặc có kì vọng bị chặn và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Rademacher dạng p.