Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu bài toán Polaron bằng phương pháp tích phân phiếm hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn đã phát triển nghiên cứu của Feynman, tính năng lượng trạng thái cơ bản, và bổ chính năng lượng bậc nhất của nó, khối lượng hiệu dụng của Polaron bằng phương pháp tích phân phiến hàm. Các tích phân phiếm hàm được tính toán nhờ phương pháp gần đúng quỹ đạo thẳng hay còn gọi là gần đúng eikonal trong lý thuyết tán xạ lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu bài toán Polaron bằng phương pháp tích phân phiếm hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Mai Thị Minh Ánh NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Mai Thị Minh Ánh NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2014
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 2 Chương 1 – Bài toán Polaron trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông thường 6 1.1. Khái niệm Polaron ……...……………………………………………… 6 1.1.1. Polaron bán kính lớn .................................................................. 8 1.1.2. Polaron bán kính nhỏ ................................................................. 9 1.2. Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể …………………...…… 11 1.3. Bài toán Polaron trong lý thuyết nhiễu loạn thông thường ………...…. 15 1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc nhất ……………………...…… 17 1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc hai …..…………………...…… 17 1.3.3 Năng lượng trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron …………………………………………………………………………… 19 Chương 2 – Bài toán Polaron trong khuôn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm22 Chương 3 – Năng lượng trạng thái cơ bản và các bổ chính bậc nhất. Khối lượng hiệu dụng của Polaron 30 3.1. Giá trị trung bình hàm Green trong trạng thái chân không ………...…..30 3.2. Năng lương trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron …..35 3.3. Gần đúng bậc nhất cho phổ năng lượng ………………………………..39 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 1
MỞ ĐẦU Khái niệm polaron đầu tiên được L.D. Landau giới thiệu trong một bài báo rất ngắn /16/, sau đó được phát triển bởi S.I. Pekar/20/, ông đã nghiên cứu các tính chất cơ bản nhất của polaron tĩnh trong trường hợp giới hạn của tương tác electron- phonon rất mạnh, để hành vi của polaron có thể được phân tích trong gần đúng đoạn nhiệt. Nhiều nhà nghiên cứu nổi tiếng khác, trong đó có H. Fro¨hlich/14/, R. Feynman/11/ và N.N. Bogolyubov /8/, đã đóng góp cho sự phát triển của lý thuyết polaron sau này. Khái niệm polaron tiếp tục thu hút nhiều sự quan tâm trong thực nghiệm cũng như lý thuyết: nó mô tả các tính chất vật lý của các hạt mang điện trong các tinh thể có cực và các bán dẫn ion và, cùng lúc đó, nó biểu hiện một mô hình đơn giản nhưng hiệu quả trong mô hình lý thuyết trường của một hạt tương tác với trường boson vô hướng. Mô hình Polaron mô tả tương tác của hạt phi tương đối tính với trường lượng tử vô hướng là một trong những mô hình cơ bản đơn giản, quan trọng trong việc vận dụng các phương pháp của lý thuyết trường lượng tử vào chất rắn /11, 15, 17/. Có rất nhiều phương pháp đã được phát triển để nghiên cứu mô hình Polaron. Bằng phương pháp nhiễu loạn thông thường ta tính được năng lượng trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron/12, 14, 16/, tuy nhiên việc tính toán các bổ chính bậc cao gặp khó khăn. Trong rất nhiều phương pháp của lý thuyết trường lượng tử cho bài toán này, phương pháp tích phân phiếm hàm tỏ ra là phương pháp hữu hiệu. Einstein và Smolykhovski là những người đầu tiên đã đưa khái niệm tích phân phiếm hàm (trong vật lý người ta gọi là tích phân đường hay tích phân theo quỹ đạo) vào nghiên cứu lý thuyết chuyển động của hạt Brown, song cơ sở toán học chặt chẽ của khái niệm này lại dựa vào các công trình nghiên cứu của Weiner (trong toán học người ta gọi là tích phân liên tục hay tích phân phiếm hàm)/7/. 2
Khái niệm tích phân qũy đạo là công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các vấn đề vật lý lý thuyết. Feynman là người đầu tiên đã sử dụng nó để xây dựng một cách phát biểu mới cho cơ học lượng tử /3, 9/. Nền tảng chủ yếu của phương pháp này là dựa vào nguyên lý: “Biên độ xác suất của phép dời chuyển lượng tử của hệ từ trạng thái đầu |i đến trạng thái cuối |f được xác định bởi tổng hay tích phân) theo tất cả các quỹ đạo khả dĩ trong không gian pha của biểu thức exp  S[ x(t )] i   trong đó S[ x(t )] là hàm tác dụng cổ điển”. Feynman cũng là người đầu tiên áp dụng phương pháp này vào lý thuyết trường lượng tử tương đối tính. Thành tựu to lớn của phương pháp tích phân phiếm hàm là phát triển kỹ thuật giản đồ Feynman được sử dụng trong Điện động lực học lượng tử (QED) trước đây và việc lượng tử hóa các lý thuyết trường chuẩn sau này. Bài toán Polaron đã được Feynman nghiên cứu đầu tiên /11/ bằng phương pháp biến phân, trong đó mức năng lượng của trạng thái cơ bản đã được đánh giá cho trường hợp liên kết yếu. Mục đích của bản luận văn là phát triển nghiên cứu của Feynman, tính năng lượng trạng thái cơ bản, và bổ chính năng lượng bậc nhất của nó, khối lượng hiệu dụng của Polaron bằng phương pháp tích phân phiến hàm. Các tích phân phiếm hàm được tính toán nhờ phương pháp gần đúng quỹ đạo thẳng hay còn gọi là gần đúng eikonal trong lý thuyết tán xạ lượng tử. Nội dung của luận văn bao gồm ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Bài toán Polaron trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông thƣờng Mô hình Polaron trong mạng tinh thể được trình bày trong mục (1.1). Từ mô hình đó chúng tôi xây dựng biểu thức cho Hamiltonian của hệ electron - phonon trong mạng tinh thể (1.2). Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường ta tính được 3
năng lượng cơ bản, bổ chính của nó, và khối lượng hiệu dụng của Polaron trong trường hợp liên kết yếu (1.3). Chương 2: Bài toán Polaron trong khuôn khổ phƣơng pháp tích phân phiếm hàm. Tích phân phiếm hàm trong luận văn được đưa vào giải bài toán Polaron khi tuyến tính hóa toán tử Laplace : ∞ 𝜏 1 1 = − 2 = −𝑖 𝑑𝜏 𝑒𝑥𝑝 𝑖 𝑑𝑠 ∇2𝑠 ∆ ∇ 0 0 Biến số s trong hàm mũ, được coi như chỉ số trật tự ( như thời gian trong T – tích ). 𝜏 Thừa số mũ exp 𝑖 0 𝑑𝑠 ∇2𝑠 được coi như T – tích hay Ts exponent. Việc chuyển từ T- tích sang N - tích không thể thực hiện được nêu không khai triển thành chuỗi của lý thuyết nhiễu loạn, lý do trong thừa số hàm số mũ chứa toán tử phi tuyến ∇2𝑠 . Ta chỉ có thể thực hiện phép biến đổi 𝜏 𝜏∗ exp 𝑖 0 𝑑𝑠 ∇2𝑠 = 𝐶𝑠 𝑥 0 =𝑟 𝐷𝑥(𝑠) 𝑒 −𝑖 0 𝑥 𝑑𝑠 … Phương trình cho hàm Green tổng quát của mô hình Polaron (cụ thể xét mô hình tương tác của hạt vô hướng phi tương đối tính ( electron ) với trường ngoài – (nếu trường ngoài lượng tử hóa, sẽ là tập hợp các phonon) được dẫn ra ở chương 2. Chương 3: Năng lƣợng và bổ chính bậc nhất cho trạng thái cơ bản, và khối lƣợng hiệu dụng của Polaron. Sử dụng hàm Green thu được ở chương 2, ta tìm giá trị trung bình của hàm Green trong trạng thái chân không trong gần đúng quỹ đạo thẳng ở mục (3.1). Sử dụng kết quả này để tìm năng lượng trạng thái cơ bản và tính khối lượng hiệu dụng 4
của Polaron trong mục (3.2). Các bổ chính bậc nhất cho năng lượng trạng thái cơ bản được trình bày trong mục (3.3). Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả chung thu được trong luận văn và thảo luận. 5
Chƣơng 1 BÀI TOÁN POLARON TRONG KHUÔN KHỔ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN THÔNG THƢỜNG 1.1. Khái niệm Polaron Electron trong vật rắn là chuẩn hạt và chiế m các tr ạng thái đơn electron trong mô hình vùng năng lượng. Phonon cũng là một chuẩn hạt mô tả các dao động  mạng. Số các Phonon của các trạng thái riêng biệt được đặc trưng bởi véctơ sóng q  và nhánh j của phổ tán sắc  j q  . Tương tác electron – Phonon thể hiện qua việc sinh (phát) hoặc huỷ (hấp thụ) Phonon với sự biến đổi đồng thời trạng thái lượng tử k , sang trạng thái k  q,  . Trong mạng tinh thể phức tạp, các nguyên tử cơ sở có các điện tích khác nhau như các tinh thể Ion thì sự phân cực sẽ liên kết với các dao động quang của mạng và sự phân cực này dẫn đến tương tác mạnh của electron với các Phonon quang. Trong tinh thể Ion do sự tương tác Coulomb mà electron phân cực môi trường xung quanh mình. Sự phân cực này làm biến dạng mạng, nghĩa là kích thích các Phonon quang. Trong các tinh thể Ion, một số nguyên tử mang điện tích dương trong khi một số khác lại mang điện tích âm. Một Phonon quang có các Ion khác nhau dao động khác pha. Khi các Ion âm và các Ion dương dao động theo hướng ngược nhau, chúng thiết lập một trường lưỡng cực phân cực. Sự phân cực hoá gây ra trường điện làm tán xạ các electron. Trường điện đó là nguồn liên kết có cực, electron và sự phân cực mạng (biến dạng mạng) liên kết với nhau tạo thành một chuẩn hạt được gọi là Polaron. Mô hình mô tả Polaron phụ thuộc vào sự biến dạng mạng truyền trong môi trường hoặc trực tiếp bao quanh electron với một khoảng vài hằng số mạng (Polaron bán kính nhỏ) hay trên một số lớn hằng số mạng (Polaron bán kính lớn) . Khi có electron chen thêm vào giữa các nút mạng thì các Ion nằm ở các nút mạng bị lệch khỏi vị trí cân bằng của mình do lực hút hoặc lực đẩy tĩnh điện. Từ 6
đây thấy rằng khi electron thêm vào này chuyển động thì các Ion nằm ở các nút mạng cũng phải dao động theo một cách tương ứng làm xuất hiện các Phonon. Polaron là khái niệm để chỉ electron nằm giữa các nút mạng cộng với đám mây phonon (có thể gồm 1,2,3 hoặc nhiều Phonon) bao bọc xung quanh nó. Như vậy có thể nói một cách đơn giản rằng Polaron là electron “Mặc áo” Phonon và các tính chất của một electron khoác thêm áo như vậy trong nhiều trường hợp khác hẳn với các tính chất của electron “Trần trụi” cụ thể là: (1) Polaron được sinh ra do tương tác tĩnh điện giữa electron và mạng tinh thể, do đó tinh thể phải là tinh thể Ion thì Polaron ở đó mới khác nhiều so với electron vì tương tác này lúc đó ma ̣nh hơn nhi ều so với tinh thể đồng hoá trị hoặc các loại tinh thể khác. (2) Polaron xảy ra chủ yếu trong tinh thể Ion mà tinh thể Ion là chất cách điện, do đó về cơ bản Polaron chỉ có mặt trong các tinh thể cách điện. (3) Polaron xảy ra không phải chỉ với electron mà còn có thể xảy ra với cả lỗ trống. (4) Để có Polaron xuất hiện các Ion của mạng tinh thể phải bị dịch chuyển, do đó so với electron thì Polaron có độ ì (quán tính) hay nói cách khác là khối lượng hiệu dụng lớn hơn nhiều. Polaron thậm chí có thể nặng đến mức bị bắt giữ (định xứ tại một vị trí nào đó trong tinh thể) không chuyển động được. Về sự bắt giữ của Polaron có thể nói thêm như sau: - Sự bắt giữ Polaron thường xảy ra trong các tinh thể Ion phân cực mạnh, ví dụ như các tinh thể kiềm – halogen, hoặc bạc – halogen. - Lỗ trống hay bị bắt giữ hơn electron, hầu như trong tất cả các tinh thể kiềm - halogen và bạc - halogen lỗ trống đều bị bắt giữ. 7
ÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Nguyễn Quang Báu (2004), Vật lý thống kê, ĐHQG Hà Nội 2. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội. 3. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội 4. Nguyễn Xuân Hãn (2002), Các bài giảng về tích phân quỹ đạo trong lý thuyết trường lượng tử 5. Nguyễn Văn Hiệu (2000), Phương pháp lý thuyết trường lượng tử trong vật lý chất rắn và vật lý thống kê, ĐHQG Hà Nội 6. Nguyễn Văn Hùng (2002), Lý thuyết chất rắn, ĐHQG Hà Nội 7. Nguyễn Như Xuân (2008), Một số vấn đề tái chuẩn hóa, tán xạ năng lượng cao trong lý thuyết trường lượng tử và phương pháp tích phân phiếm hàm, Luận văn thạc sỹ toán lý ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh 8. Bogoliubov H.H.(1957), Introduction to Quantized Field Theory, Moscow. 9. Bogolubov N.N (1950), Ukrainian Math. J., 2. 10. Charles Kittel, “ Introduction to Solid State Physics” ; pp.99-112, 198-200, pp.393-412.(xuất bản lần thứ 8) 11. Feynman R.P.(1948), “ Space – time Approach to non – relativistic Quantum Mechanics” 12. Feynman R.P.(1951), “ An Operato Calculus Having Applications in Quantum” 8
13. Feynman R.P.(1955), “ Slow Electron in a Polar Crystal”, Phys.Rev.,97(3),pp. 660-665 14. Feynman R.P.(1972), “ Statistical Mechannics”, (Aset of lestures), pp. 252-267 15. Fro¨hlich H., Pelzer H., Zienau S., Philos. Mag (1950), 41, 419. 16. Kuleshov S.P and Smondyres M. A.(1977). “ Quantum Fluctuations and Structure of Paticles”, Preprint, Dubna R2-10467 17. Landau L.D., Phys. Z. Sowietunion (1933), 3, 664. [English translation: Collected Papers. Gordon and Breach, New York, p. 67- 68, 1965]. 18. Lee T.D., Low F.E., and Pines D.(1953), “ Interation of a Nonrelativistic Praticle with a Scalar Field with Application to slow Electron in Polar Crystal”, Phys. Res., 92(4), pp.883-889. 19. Lee T.D, Low FE. ,and Pines D.(1953), “ Ther Motion of Slow Electron in a Polar Crystal”, Phys. Rev., 90(2), pp(297-302). 20. Pekar S.I., Sov. Phys. JETP (1946), 16, 341; Pekar S.I. Research in Electron Theory of Crystals.Gostekhizdat, Moscow, 1951. [English translation: Research in Electron Theory of Crystals. US AECReport AEC-tr-5575]. 9