https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Bu i 1.ổ
CH Đ 1+2. TÍNH ĐN ĐI U VÀ C C TR C A HÀM SỦ Ề Ơ Ệ Ự Ị Ủ Ố
I. KI N TH C C B NẾ Ứ Ơ Ả
A. Tính đn đi u c a hàm sơ ệ ủ ố
1. Đnh nghĩa:ị Cho hàm s ố
( )y f x=
xác đnh trên ị
K
, v i ớ
K
là m t kho ng, n a kho ng ho c m tộ ả ử ả ặ ộ
đo n.ạ
Hàm s ố
( )y f x=
đng bi n (tăng) trên ồ ế
K
n u ế
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, ,x x K x x f x f x∀ < <� �
.
Hàm s ố
( )y f x=
ngh ch bi n (gi m) trên ị ế ả
K
n u ế
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, ,x x K x x f x f x∀ < >� �
.
2. Đi u ki n c n đ hàm s đn đi u:ề ệ ầ ể ố ơ ệ Gi s hàm s ả ử ố
( )y f x=
có đo hàm trên kho ng ạ ả
K
.
N u hàm s đng bi n trên kho ng ế ố ồ ế ả
K
thì
( )
0,f x x K
∀
.
N u hàm s ngh ch bi n trên kho ng ế ố ị ế ả
K
thì
( )
0,f x x K
∀
.
3. Đi u ki n đ đ hàm s đn đi u:ề ệ ủ ể ố ơ ệ Gi s hàm s ả ử ố
( )y f x=
có đo hàm trên kho ng ạ ả
K
.
N u ế
( )
0,f x x K
> ∀
thì hàm s đng bi n trên kho ng ố ồ ế ả
K
.
N u ế
( )
0,f x x K
< ∀
thì hàm s ngh ch bi n trên kho ng ố ị ế ả
K
.
N u ế
( )
0,f x x K
= ∀
thì hàm s không đi trên kho ng ố ổ ả
K
.
Chú ý.
N u ế
K
là m t đo n ho c n a kho ng thì ph i b sung gi thi t “ Hàm s ộ ạ ặ ử ả ả ổ ả ế ố
( )y f x=
liên t c trênụ
đo n ho c n a kho ng đó”. Ch ng h n: N u hàm s ạ ặ ử ả ẳ ạ ế ố
( )y f x=
liên t c trên đo n ụ ạ
[ ]
;a b
và có đoạ
hàm
( )
0,f x x K
> ∀
trên kho ng ả
( )
;a b
thì hàm s đng bi n trên đo n ố ồ ế ạ
[ ]
;a b
.
N u ế
( )
0,f x x K
∀
( ho c ặ
( )
0,f x x K
∀
) và
ch t i m t s đi m h u h n c aỉ ạ ộ ố ể ữ ạ ủ
K
thì hàm s đng bi n trên kho ng ố ồ ế ả
K
( ho c ngh ch bi n trên kho ng ặ ị ế ả
K
).
4. Kĩ năng c b nơ ả
4.1. L p b ng xét d u c a m t bi u th c ậ ả ấ ủ ộ ể ứ
( )P x
B c 1. ướ Tìm nghi m c a bi u th c ệ ủ ể ứ
( )P x
, ho c giá tr c a ặ ị ủ x làm bi u th c ể ứ
( )P x
không xác đnh. ị
B c 2. ướ S p x p các giá tr c a ắ ế ị ủ x tìm đc theo th t t nh đn l n.ượ ứ ự ừ ỏ ế ớ
B c 3.ướ S d ng máy tính tìm d u c a ử ụ ấ ủ
( )P x
trên t ng kho ng c a b ng xét d u.ừ ả ủ ả ấ
4.2 . Xét tính đn đi u c a hàm s ơ ệ ủ ố
trên t p xác đnhậ ị
B c 1.ướ Tìm t p xác đnh ậ ị D.
B c 2. ướ Tính đo hàm ạ
( )y f x
=
.
B c 3.ướ Tìm nghi m c a ệ ủ
( )f x
ho c nh ng giá tr ặ ữ ị x làm cho
( )f x
không xác đnh.ị
B c 4.ướ L p b ng bi n thiên.ậ ả ế
B c 5.ướ K t lu n.ế ậ
4.3. Tìm đi u ki n c a tham s m đ hàm s ề ệ ủ ố ể ố
đng bi n, ngh ch bi n trên ồ ế ị ế
kho ng ả
( )
;a b
cho tr c.ướ
1
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Cho hàm s ố
( , )=y f x m
có t p xác đnh ậ ị D, kho ng ả
( ; ) a b D
:
Hàm s ngh ch bi n trên ố ị ế
( ; )a b
' 0, ( ; )∀�y x a b
Hàm s đng bi n trên ố ồ ế
( ; )a b
' 0, ( ; )∀۳ �y x a b
Chú ý: Riêng hàm số
1 1
a x b
ycx d
+
=+
thì :
Hàm s ngh ch bi n trên ố ị ế
( ; )a b
' 0, ( ; )< ∀� �y x a b
Hàm s đng bi n trên ố ồ ế
( ; )a b
' 0, ( ; )> ∀� �y x a b
* Nh c l i m t s ki n th c liên quanắ ạ ộ ố ế ứ :
Cho tam th c ứ
2
( ) ( 0)= + + g x ax bx c a
a)
0
( ) 0, 0
>
∀� � � ∆
ﾡa
g x x
b)
0
( ) 0, 0
<
> ∀ �� ∆ >
ﾡa
g x x
c)
0
( ) 0, 0
<
∀� � � ∆
ﾡa
g x x
d)
0
( ) 0, 0
<
< ∀ �� ∆ <
ﾡa
g x x
Chú ý: N u g p bài toán tìm ế ặ m đ hàm s đng bi n (ể ố ồ ế ho c ngh ch bi nặ ị ế ) trên kho ng ả
( ; )a b
:
B c 1ướ :Đa b t ph ng trình ư ấ ươ
( ) 0
f x
(ho cặ
( ) 0
f x
),
( ; )∀ x a b
v d ng ề ạ
( ) ( )g x h m
(ho c ặ
( ) ( )g x h m
),
( ; )∀ x a b
.
B c 2ướ : L p b ng bi n thiên c a hàm s ậ ả ế ủ ố
( )g x
trên
( ; )a b
.
B c 3ướ : T b ng bi n thiên và các đi u ki n thích h p ta suy ra các giá tr c n tìm c a tham sừ ả ế ề ệ ợ ị ầ ủ ố
m.
B. C c tr c a hàm sự ị ủ ố
1. Đnh nghĩa:ị Cho hàm s ố
( )y f x=
xác đnh và liên t c trên kho ng ị ụ ả
( ; )a b
(có th ể
a
là
−
;
b
là
+
) và đi m ể
0
( ; )x a b
.
N u t n t i s ế ồ ạ ố
0h>
sao cho
( ) ( )
0
f x f x<
v i m i ớ ọ
0 0
( ; )x x h x h− +�
và
0
x x
thì ta nói hàm
s ố
( )f x
đt ạc c điự ạ t i ạ
0
x
.
N u t n t i s ế ồ ạ ố
0h>
sao cho
( ) ( )
0
f x f x>
v i m i ớ ọ
0 0
( ; )x x h x h− +�
và
0
x x
thì ta nói hàm
s ố
( )f x
đt ạc c ti u ự ể t i ạ
0
x
.
2. Đi u ki n đ đ hàm s có c c tr :ề ệ ủ ể ố ự ị Gi s hàm s ả ử ố
( )y f x=
liên t c trên ụ
0 0
( ; )K x h x h= − +
và có
đo hàm trên ạ
K
ho c trên ặ
0
\{ }K x
, v i ớ
0h>
.
N u ế
( )
' 0f x >
trên kho ng ả
0 0
( ; )x h x−
và
'( ) 0f x <
trên
0 0
( ; )x x h+
thì
0
x
là m t đi m c c điộ ể ự ạ
c a hàm s ủ ố
( )f x
.
N u ế
trên kho ng ả
0 0
( ; )x h x−
và
( ) 0f x
>
trên
0 0
( ; )x x h+
thì
0
x
là m t đi m c c ti uộ ể ự ể
c a hàm s ủ ố
( )f x
.
Minh h a b ng b ng bi n thiênọ ằ ả ế
2
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Chú ý.
N u hàm sế ố
( )y f x=
đt c c đi (c c ti u) t i ạ ự ạ ự ể ạ
0
x
thì
0
x
đc g i là ượ ọ đi m c c đi ể ự ạ (đi mể
c c ti uự ể ) c a hàm s ; ủ ố
0
( )f x
đc g i là ượ ọ giá tr c c đi ị ự ạ (giá tr c c ti uị ự ể ) c a hàm s , kíủ ố
hi u là ệ
( )
CT
f f
C?
, còn đi m ể
0 0
( ; ( ))M x f x
đc g i là ượ ọ đi m c c đi ể ự ạ (đi m c c ti uể ự ể ) c a đủ ồ
th hàm s .ị ố
Các đi m c c đi và c c ti u đc g i chung là ể ự ạ ự ể ượ ọ đi m c c trể ự ị. Giá tr c c đi (giá tr c cị ự ạ ị ự
ti u) còn g i là ể ọ c c đi ự ạ (c c ti uự ể ) và đc g i chung là ượ ọ c c tr ự ị c a hàm s .ủ ố
3. Kĩ năng c b nơ ả
3.1. Quy t c tìm c c tr c a hàm sắ ự ị ủ ố
Quy t c 1: ắ
B c 1.ướ Tìm t p xác đnhậ ị c a hàm s .ủ ố
B c 2.ướ Tính
( )
f x
. Tìm các đi m t i đó ể ạ
( )
f x
b ng 0 ho cằ ặ
( )
f x
không xác đnh.ị
B c 3.ướ L p b ng bi n thiên.ậ ả ế
B c 4.ướ T b ng bi n thiên suy ra các đi m c c tr .ừ ả ế ể ự ị
Quy t c 2:ắ
B c 1.ướ Tìm t p xác đnh c a hàm s .ậ ị ủ ố
B c 2.ướ Tính
( )
f x
. Gi i ph ng trình ả ươ
( )
f x
và ký hi uệ
i
x
( )
1, 2,3,...i=
là các nghi m c a ệ ủ
nó.
B c 3.ướ Tính
( )
f x
và
( )
i
f x
.
B c 4.ướ D a vào d u c aự ấ ủ
( )
i
f x
suy ra tính ch t c c tr c a đi m ấ ự ị ủ ể
i
x
.
3.2. K năng gi i nhanh các bài toán c c tr hàm s b c baỹ ả ự ị ố ậ
( )
3 2
0y ax bx cx d a= + + +
Ta có
2
3 2y ax bx c
= + +
Đ th hàm s có hai đi m c c tr khi ph ng trình ồ ị ố ể ự ị ươ
0y=
có hai nghi m phân bi tệ ệ
2
3 0b ac− >�
. Khi đó đng th ng qua hai đi m c c tr đó là : ườ ẳ ể ự ị
2
2 2
3 9 9
c b bc
y x d
a a
� �
= − + −
� �
� �
.
B m máy tính tìm ra đng th ng đi qua hai đi m c c tr :ấ ườ ẳ ể ự ị
( )
3 2 2
3 2 3 9
x i
x b
ax bx cx d ax bx c Ai B y Ax B
a
=
� �
+ + + − + + + + = +��� �
� �
� �
Ho c s d ng công th c ặ ử ụ ứ
.
18
y y
ya
−
.
Kho ng cách gi a hai đi m c c tr c a đ th hàm s b c ba là: ả ữ ể ự ị ủ ồ ị ố ậ
3
4 16e e
AB a
+
=
v i ớ
2
3
9
b ac
ea
−
=
3
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
3.3. K năng gi i nhanh các bài toán c c tr hàm trùng ph ngỹ ả ự ị ươ .
Cho hàm s : ố
( )
4 2
0y ax bx c a= + +
có đ th là ồ ị
( )
C
.
3
2
0
4 2 ; 0
2
x
y ax bx y b
xa
=
= + = = −
( )
C
có ba đi m c c tr ể ự ị
0y=
có 3 nghi m phân bi tệ ệ
0
2
b
a
− >�
.
Khi đó ba đi m c c tr là: ể ự ị
( )
0; , ; , ;
2 4 2 4
b b
A c B C
a a a a
� � � �
∆ ∆
− − − − −
� � � �
� � � �
� � � �
v i ớ
2
4b ac∆ = −
Đ dài các đo n th ng: ộ ạ ẳ
4
2
, 2
16 2 2
b b b
AB AC BC
a a a
= = − = −
.
Các k t qu c n ghi nh :ế ả ầ ớ
ABC∆
vuông cân
2 2 2
BC AB AC= +�
4 4 3 3
2 2
22 0 1 0 1 0
16 2 16 2 2 8 8
b b b b b b b b
a a a a a a a a
� � � �
− = − + = + = + =� � � �
� � � �
� � � �
ABC∆
đu ề
2 2
BC AB=�
4 4 3 3
2 2
2 3 0 3 0 3 0
16 2 16 2 2 8 8
b b b b b b b b
a a a a a a a a
� �
− = − + = + = + =� � � �
� �
� �
ﾡ
BAC
α
=
, ta có:
3
3 3
8 8
cos tan
8 2
b a a
b a b
α
α
+
= = −�
−
2
4 2
ABC
b b
Sa a
∆
= −
Bán kính đng tròn ngo i ti p ườ ạ ế
ABC
∆
là
3
8
8
b a
Ra b
−
=
Bán kính đng tròn n i ti p ườ ộ ế
ABC∆
là
2
2
4 2 3
2
4 2
4 16 2
16 2 2
b b
a a b
r
b b b a a ab
a a a
−
= = + −
− + −
Ph ng trình đng tròn ngo i ti p ươ ườ ạ ế
ABC
∆
là:
2 2 2 2 0
4 4
x y c y c
b a b a
∆ ∆
� � � �
+ − − + + − =
� � � �
� � � �
II. LUY N T PỆ Ậ
A. Tính đn đi u c a hàm sơ ệ ủ ố
Bài 1: Xét s đng bi n, ngh ch bi n c a hàm s :ự ồ ế ị ế ủ ố
1/
4 2
8 5y x x= + +
; 2/
2 3
4
x
yx
−
=−
3/
2
1
2
x x
yx
+ −
=−
; 4/
2
25y x= −
Bài 2: Cho hàm s ố
y m x mx m x
3 2
1( 1) (3 2)
3
= − + + −
(1)
4
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Tìm t t c các giá tr c a tham s ấ ả ị ủ ố m đ hàm s (1) đng bi n trên t p xác đnh c a nó.ể ố ồ ế ậ ị ủ
HD gi i. ảT p xác đnh: D = R. ậ ị
y m x mx m
2
( 1) 2 3 2
= − + + −
.
(1) đng bi n trên R ồ ế
y x0,
∀
m2
Bài 3: Cho hàm s ố
y x x mx
3 2
3 4= + − −
(1)
Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm s (1) đng bi n trên kho ng ấ ả ị ủ ố ể ố ồ ế ả
( ;0)−
.
HD gi i. ảT p xác đnh: D = R. ậ ị
y x x m
2
3 6
= + −
. y
có
m3( 3)
∆
= +
.
+ N u ế
m3 −
thì
0
∆
y x0,
∀
hàm s đng bi n trên R ố ồ ế
m3 −
tho YCBT.ả
+ N u ế
m3> −
thì
0
∆
>
PT
y0
=
có 2 nghi m phân bi t ệ ệ
x x x x
1 2 1 2
, ( )<
. Khi đó hàm s đngố ồ
bi n trên các kho ng ế ả
x x
1 2
( ; ),( ; )− +
.
Do đó hàm s đng bi n trên kho ng ố ồ ế ả
( ;0)−
x x
1 2
0 <
P
S
0
0
0
∆
>
>
m
m
3
0
2 0
> −
−
− >
(VN)
V y: ậ
m3 −
.
Bài 4: Cho hàm s ố
y x mx
3 2
2 3 1= − + −
(1).
Tìm các giá tr c a ị ủ m đ hàm s (1) đng bi n trong kho ng ể ố ồ ế ả
x x
1 2
( ; )
v i ớ
.
HD gi i. ả
y x mx
2
' 6 6= − +
,
y x x m' 0 0= = =� �
.
+ N u m = 0 ế
y x0,
∀ �
ﾡ
hàm s ngh ch bi n trên ố ị ế
ﾡ
m = 0 không tho YCBT.ả
+ N u ế
m0
,
y x m khi m0, (0; ) 0
∀ >� �
ho c ặ
y x m khi m0, ( ;0) 0
∀ <� �
.
V y hàm s đng bi n trong kho ng ậ ố ồ ế ả
x x
1 2
( ; )
v i ớ
.
=
=
x x m
x x m
1 2
1 2
( ; ) (0; )
( ; ) ( ;0)
và
− =
− = =�� �
− =
m
x x m
m
2 1
0 1
1 1
0 1
B. C c tr c a hàm sự ị ủ ố
Bài 1: Tìm c c tr c a các hàm s :ự ị ủ ố
1) y =
3
14
3x x−
2) y =
4 2 1
14
4x x −−
3) y =
23
1
−
+
x x
x
4) y =
2 7
4 3
+
+
x
x
5)
22 2
1
x x
yx
− +
=−
6)
Bài 2: Tìm m đ hàm s :ể ố
1) y =
mx
mxx
1
2
đt c c đi t i x = 2 ạ ự ạ ạ
2) y =
1
1
2
x
mmxx
đt c c ti u t i x = 1ạ ự ể ạ
3)
2
2
1
x x m
yx
+ +
=+
đt c c ti u t i x = 2 ạ ự ể ạ
4)
3 2
3 5y mx x x m= + + +
đt c c ti u t i x = 2 ạ ự ể ạ
5)
2)2()2(
3
1
23
xmxmmxy
đt c c đi t i x = –1ạ ự ạ ạ
5