Tuyển tập các câu hỏi hàm số thi đại học qua các năm

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

167
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập các câu hỏi hàm số thi đại học qua các năm', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập các câu hỏi hàm số thi đại học qua các năm

1. Ch ng minh r ng hàm s y = x3 − 3x2 + 3x không có c c tr . 2. Ch ng minh r ng hàm s y = x2 + |x| có c c ti u t i x = 1, m c dù nó không có đ o hàm ngay t i đi m đó. 3. Xác đ nh các h s a, b, c, d c a hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d, bi t r ng đ th c a nó có hai đi m c c tr là (0; 0) và (1; 1). 4. Cho hàm s y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + 1. Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u. ĐS. m = 1. 5. (A, 2002) Cho hàm s y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 . Vi t phương trình đư ng th ng đi qua hai di m c c tr c a đ th hàm s . ĐS. y = 2x − m2 + m. 6. (B, 2002) Cho hàm s y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10. Tìm đ m hàm s có ba đi m c c tr . ĐS. m < −3; 0 < m < 3. 7. (D b 2002) Cho hàm s y = (x − m)3 − 3x. Xác đ nh m đ hàm s đ t c c ti u t i đi m có hoành đ x = 0. ĐS. m = −1. x2 + mx 8. (D b 2002) Cho hàm s y = . 1−x Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u. V i giá tr nào c a m thì kho ng cách gi a hai đi m c c tr c a đ th hàm s b ng 10? ĐS. m = 4. 1 9. (A, 2005) G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = mx + (m là tham s ). x Tìm m đ hàm s có c c tr và kho ng cách t đi m c c ti u c a (Cm ) đ n ti m c n xiên c a 1 (Cm ) b ng √ . 2 ĐS. m = 1. x2 + (m + 1)x + m + 1 10. (ĐH, CĐ, kh i B, 2005) G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = (m là tham x+1 s ). Ch ng minh r ng v i m b t kỳ, đ th (Cm ) luôn luôn có đi m c c đ i, đi m c c ti u và kho ng √ cách gi a hai đi m đó b ng 20. x2 + 2mx + 1 − 3m2 11. (D b 2005) G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = (m là tham s ). x−m Tìm m đ đ th (Cm ) có hai đi m c c tr n m v hai phía c a tr c tung. ĐS. −1 < m < 1. 1
x2 + mx + 3 12. Cho hàm s y = . x+1 Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u đ ng th i hai đi m c c đ i và c c ti u c a đ th hàm s v hai phía c a đư ng th ng (d) : 2x + y − 1 = 0. √ √ ĐS. −3 − 4 3 < m < −3 + 4 3. x2 − 2mx + 2 13. (D b 2004) Cho hàm s y = . x−1 Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m c c tr A, B. Ch ng minh r ng khi đó đư ng th ng AB song song v i đư ng th ng 2x − y − 10 = 0. 3 ĐS. m < . 2 14. (D b 2006) Cho hàm s y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m − 2. Tìm các giá tr c a m đ đ th hàm s có đi m c c đ i và c c ti u, đ ng th i hoành đ c a đi m c c ti u nh hơn 1. 5 7 ĐS. m < −1; < m < . 4 5 15. Cho hàm s y = x4 − 2mx2 + m − 1. Tìm m đ đ th c a hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác đ u. √ ĐS. m = 3 3. 16. (D b 2004) Cho hàm s y = x4 − 2mx2 + 1. Tìm m đ đ th c a hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác vuông cân. 17. (D b 2004) Cho hàm s y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x + 1. Ch ng minh r ng hàm s luôn có c c đ i và c c ti u. Xác đ nh các giá tr c a m đ hàm s đ t c c đ i và c c ti u t i các đi m có hoành đ dương. ĐS. m > 0. x2 − (m + 3)x + 3m + 1 18. Cho hàm s y = . x−1 Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u và các giá tr c c đ i và c c ti u c a hàm s cùng âm. 1 ĐS. < m < 1; m > 5. 2 19. (A, 2007) Cho hàm s x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m y= , m là tham s . (1) x+2 Tìm m đ hàm s (5) có c c đ i và c c ti u, đ ng th i các đi m c c tr c a đ th hàm s cùng v i g c to đ O t o thành m t tam giác vuông t i O. √ ĐS. m = 0, m = −4 ± 24. 20. (B, 2007) Cho hàm s y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (m là tham s ). (2) 2
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (6). b) Tìm m đ hàm s (6) có c c đ i và c c ti u và các đi m c c tr c a hàm s (6) cách đ u g c to đ . 1 ĐS. b) m = ± . 2 m 21. (D b A, 2007) Cho hàm s y = x + m + có đ th là (Cm ). x−2 (a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s v i m = 1. (b) Tìm m đ đ th (Cm ) có các đi m c c tr A, B sao cho đư ng th ng AB đi qua g c to đ O. m 22. (D b B, 2007) Cho hàm s y = −x + 1 + có đ th là (Cm ). 2−x (a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s v i m = 1. (b) Tìm m đ đ th (Cm ) có đi m c c đ i và đi m c c ti u. G i A là đi m c c đ i c a (Cm ), tìm m đ ti p tuy n c a (Cm ) t i A c t tr c tung Oy t i đi m B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân. 23. Gi i các phương trình sau √ √ √ a) x2 − 6x + 6 = 2x − 1; f) 2x2 + 5x + 2 − 2 2x2 + 5x − 6 = 1; √ b) (Kh i D, 2006) 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0; √ g) (Kh i D, 2004) c) (x + 5)(2 − x) = 3 x2 + 3x; √ √ √ √ √ 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4; d) (D b 2005) 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4; √ √ √ √ x+3 e) 7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2 ; h) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = . 2 √ 24. Tìm m đ phương trình 2x2 + mx = 3 − x có nghi m duy nh t. 25. (Kh i B, 2004) Tìm m đ phương trình sau có nghi m √ √ √ √ √ m( 1 + x2 − 1 − x2 + 2) = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 . √ √ √ 26. (A, 2007) Tìm m đ phương trình sau có nghi m th c: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1. √ √ √ 27. Gi i phương trình 3 x + 1 − 3 x − 1 = 6 x2 − 1. √ 28. (Kh i B, 2006) Tìm m đ phương trình x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghi m phân bi t. 29. (Kh i B, 2007) Ch ng minh r ng v i m i giá tr dương c a m, phương trình sau có hai nghi m th c phân bi t: x2 + 2x − 8 = m(x − 2). 30. Tìm m đ phương trình sau có nghi m 3
√ √ (a) x+3+ 6−x− (x + 3)(6 − x) = m; √ √ (b) x + 1 + 3 − x − (x + 1)(3 − x) = m; √ (c) x2 − 4 − x2 + m = 0; √ √ 31. (D b D, 2007) Tìm m đ phương trình x−3−2 x−4+ x − 6 x − 4 + 5 = m có đúng hai nghi m. √ 4 √ 32. (D b B, 2007) Tìm m đ phương trình x2 + 1 − x = m có nghi m. √ 4 33. (D b B, 2007) Tìm m đ phương trình x4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng m t nghi m. √ √ √ 34. (D b 2, kh i D, 2006) Gi i phương trình x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1. √ √ √ 35. (D b , kh i B, 2006) Gi i phương trình 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2. 36. (D b 1, kh i D, 2006) Gi i phương trình 4x − 2x+1 + 2(2x − 1) sin(2x + y − 1) + 2 = 0. 37. Gi i b t phương trình √ √ a) x2 − 2x − 15 < x − 2; h) x2 + 2x2 + 4x + 3 6 − 2x; √ √ b) −x2 + 6x − 5 8 − 2x; i) 2x2 + x2 − 5x − 6 > 10x + 15; √ √ √ √ c) 8x2 − 6x + 1 − 4x + 1 0; j) (A, 2005) 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4; √ √ √ √ d) x2 − 4x + 5 + 2x 3; k) 2x + 7 − 5 − x 3x − 2; 2x−1 + 4x − 16 e) (x + 5)(3x + 4) > 4(x − 1); l) > 4. x−2 √ 2(x2 − 16) √ 7−x m) x2 + 2x2 + 4x + 3 6 − 2x; f) (A, 2004) √ + x−3> √ x−3 x−3 2x−x2 √ 2 1 g) (x + 1)(x + 4) < 5 x 2 + 5x + 28; n) 9x −2x − 2 3; 3 √ 38. (D b A, 2007) Tìm m đ b t phương trình m x2 − 2x + 2 + 1 + x(2 − x) 0 có nghi m √ x ∈ [0; 1 + 3]. 39. Gi i các phương trình sau a) 3.16x + 37.36x = 26.81x . g) 8.41/x + 8.4−1/x − 54.21/x − 54.2−1/x = −101. 2 +6x−9 2 +3x−5 2 +6x−9 b) 32x + 4.15x = 3.52x . h) 53x + 9.5x + 27(5−3x + 5−x ) = 64. c) 27x + 12x = 2.8x . i) 1 + 3x/2 = 2x . d) 5.23x−3 − 3.25−3x + 7 = 0. √ x √ x 2 −x e) 5+2 6 + 5−2 6 = 10. j) 2x−1 − 2x = (x − 1)2 . √ x √ x √ f) 4 − 15 + 4 + 15 = (2 2)x . k) 3log2 x = x2 − 1. 1 40. (D, 2007) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2 = 0. 4.2x − 3 4
41. (D b D, 2007) Gi i phương trình 23x+1 − 7.22x + 7.2x − 2 = 0. 42. (D b B, 2007) Gi i phương trình log3 (x − 1)2 + log√3 (2x − 1) = 2. 4 43. (D b B, 2007) Gi i phương trình (2 − log3 x). log9x 3 − = 1. 1 − log3 x 1 1 √ 44. (D b A, 2007) Gi i phương trình log4 (x − 1) + = + log2 x + 2. log2x+1 4 2 45. (D b D, 2006) log3 (3x − 1) log3 (3x+1 − 3) = 6. √ 46. (D b B, 2006) log√2 x + 1 − log 1 (3 − x) − log8 (x − 1)3 = 0. 2 √ 47. (BKHN, 2000) log4 (x + 1)2 + 2 = log√2 4 − x + log8 (4 + x)3 . 1 1 48. (D b , 2002) log√2 (x + 3) + log4 (x − 1)8 = log2 (4x). 2 4 49. (Phân vi n Báo chí Tuyên truy n, 2002) 1 x−1 log27 (x2 − 5x + 6)3 = log√3 + log9 (x − 3)2 . 2 2 1 50. (D b D, 2006) 2(log2 x + 1) log4 x + log2 = 0. 4 51. (D b A, 2006) logx 2 + 2 log2x 4 = log√2x 8. 52. (A, 2007) 2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) 2. 3 √ 53. (D b A, 2007) Gi i b t phương trình (logx 8 + log4 x2 ) log2 2x 0. √ 1 1 54. (D b D, 2007) Gi i b t phương trình log1/2 2x2 − 3x + 1 + log2 (x − 1)2 . 2 2 55. (CĐSP Qu ng Bình) log1/2 (x − 1) + log1/2 (x + 1) − log1/√2 (7 − x) = 1. 56. (B, 2006) log5 (4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5 (5x−2 + 1). 57. (CĐTCKT 2006) 3 log1/2 x + log4 x2 − 2 > 0. 58. (D b B, 2003) log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6 0. 2 4 59. (D b , 2006) logx+1 (−2x) > 2. √ √ 60. (CĐ Y t Thanh Hoá, 2006) log2 x + 4 log2 0,5 x 2(4 − log16 x4 ). 2x−x2 x2 −2x 1 61. (D b , 2005) 9 −2 3. 3 62. (D b , 2002) log 1 (4x + 4) log 1 (22x+1 − 3.2x ). 2 2 x2 +x x2 −x 63. (D, 2006) 2 − 4.2 − 22x + 4 = 0. 5
64. (A, 2006) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0. √ √ √ 65. (B, 2007) ( 2 − 1)x + ( 2 + 1)x − 2 2 = 0. 2 −x 2 66. (D, 2003) 2x − 22+x−x = 3. 2 +x−1 2 +x−2 67. (D b B, 2006) 9x − 10.3x + 1 = 0. √ √ x2 −5 x2 −5 68. (CĐSPHN, A, 2002) 4x− − 12.2x−1− + 8 = 0. 2 +2x+1 2 +x 69. (Cao đ ng kh i A, D, 2006) 32x − 28.3x + 9 = 0. 2 70. (ĐHSPHCM, 2002) 4log2 2x − xlog2 6 = 2.3log2 4x . √ 71. (D b , 2004) log π log2 (x + 2x2 − x) < 0. 4 √ 72. (CĐKT, 2005) Tìm t p xác đ nh c a hàm s y = log√5 (x2 − 5x + 2). √ 73. 2.[log121 (x − 2)]2 log 1 ( 2x − 3 − 1) . log 1 (x − 2) . 11 11 74. (CĐSPHN, A, D b , 2002) log1/3 (x − 1) + log1/3 (2x + 2) + log√3 (4 − x) < 0. 3x − 1 x 3 75. (CĐSP Vĩnh Phúc, 2002) log4 (3 − 1). log 1 . 16 4 4 2x−1 + 4x − 16 76. (D b , 2004) > 4. x−2 1 3 77. (D b , 2004) 2x 2 log2 x 2 2 log2 x . 2 78. (CĐSP Hà Tĩnh, 2002) 2(log2 x) + xlog2 x 4. 79. (Cao đ ng kh i A, B, 2005) 32x+4 + 45.6x − 9.22x+2 0. 80. (CĐKTĐN, 2007) 5.4x + 2.25x 7.10x . √ √ 1−t2 1−t2 81. (D b 2002) Tìm a đ phương trình sau có nghi m 91+ − (a + 2)31+ + 2a + 1 = 0. √ 82. (D b 1, B, 2003) Tìm m đ phương trình 4(log2 x)2 − log 1 x + m = 0 có nghi m thu c kho ng 2 (0; 1). 2 2 83. (Cao đ ng Giao thông, 2003) Tìm m đ phương trình 34−2x − 2.32−x + 2m − 3 = 0 có nghi m. 84. (A, 2002) Cho phương trình log2 x + 3 log2 x + 1 − 2m − 1 = 0. 3 (3) (a) Gi i phương trình (3) khi m = 2. √ (b) Tìm m đ phương trình (3) có ít nh t m t nghi m thu c đo n [1; 3 3 ]. 85. Tìm a đ phương trình sau có nghi m: √ √ 1−x2 1−x2 91+ − (a + 2).31+ + 2a + 1 = 0. 6
1 H đ i x ng lo i m t, h ph n x ng 1. Gi i các h phương trình sau: √ √ √ x + y + xy = 11, 3( x + y) = 4 xy, a) e) x2 + y 2 + 3(x + y) = 28; xy = 9; x + y = 4, √ b) x + y − xy = 3, (x2 + y 2 ) (x3 + y 3 ) = 280; f) (A, 2006) √ √ x + 1 + y + 1 = 4; √ √ x2 + y 2 + 2xy = 8 2, c) √ √ x2 + y 2 − x + y = 2, x + y = 4; g)  xy + x − y = −1; x y 5 + = , d) y x 2 x − xy − y = 1,  2 h) 2 x + y + xy = 21; x2 y + xy 2 = 6. 2. Tìm m đ h phương trình sau có nghi m √ √ x + y = 1, x + y + xy = m, a) (D, 2004) √ √ b) x x + y y = 1 − 3m; x2 + y 2 = m. x + y + xy = m + 2, 3. Tìm m đ h phương trình sau có nghi m duy nh t x2 y + xy 2 = m + 1. 2 H đ i x ng lo i hai 1. Gi i các h phương trình sau: √ √ xy + x2 = 1 + y, x + 5 + y − 2 = 7, a) d) √ √ xy + y 2 = 1 + x; y + 5 + x − 2 = 7; 3 x3 = 3x + 8y, 2x + y = x2 , b) e) 3 y 3 = 3y + 8x; 2y + x = y2 ; y 2 +2 x3 + 1 = 2y, 3y = x2 , c) f) (B, 2003) x2 +2 y 3 + 1 = 2x; 3x = y2 . 2. Gi i các phương trình sau: √ a) x3 − 3 3 2 + 3x = 2; √ b) x3 − 6 = 3 x + 6.   x − 1 = y − 1, 3. (A, 2003) x y  2y = x3 + 1. √ √ 3 x − y = x − y, 4. (B, 2002) √ x + y = x + y + 2. 7
5. (ĐHSP kh i D, E, 2001) Cho h phương trình √ √ √ x + 1 + y − 2 = m, √ √ √ (4) y + 1 + y − 2 = m. a) Gi i h (5) khi m = 9; b) Tìm m đ h phương trình (5) có nghi m.  x + √x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1, 6. (D b A, 2007) Gi i h phương trình y + y 2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1.  x + √ 2xy  = x2 + y,  3 2 − 2x + 9 7. (D b B, 2007) Gi i h phương trình x y + 2xy   = y 2 + x. 3 y 2 − 2y + 9  y ex = 2007 −  , 8. (D b B, 2007) Ch ng minh r ng h phương trình y2 − 1 ey = 2007 − √ x  x2 − 1 có đúng hai nghi m (x; y) tho mãn x > 1, y > 1. 3 Phương pháp đ t n ph 1. Gi i các h phương trình sau:  x(x + 2)(2x + y) = 9,  x + y + 1 + 1 = 5,  a) x y x2 + 4x + y = 6; d)  x2 + y 2 + 1 + 1 = 9;  √ √ x2 y 2 2x + y + 1 − x − y = 1, b) 3x + 2y = 4; x + y + x2 + y 2 = 8, e)  x xy(x + 1)(y + 1) = 12;  x + y + = 5, c) y 1 + x3 y 3 = 19x3 , x  (x + y) = 6; f) y y + xy 2 = −6x2 . 4 H đ ng c p 1. Gi i các h phương trình sau: x2 + xy = 6, (x − y)2 y = 2, a) c) x2 + y 2 = 5; x3 − y 3 = 19; 2x2 + 3xy + y 2 = 12, x2 − 5xy + 6y 2 = 0, b) d) x2 − xy + 3y 2 = 11; 4x2 + 2xy + 6x − 27 = 0; 86. Gi i các h phương trình sau: 8
a) (D, 2007) Tìm giá tr c a tham s m đ h phương trình sau có nghi m th c:  x + 1 + y + 1 = 5,  x y . x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10.  x3 y3 √ √ 2x + y + 1 − x+y =1 b) (D b kh i D, 2005) 3x + 2y = 4 x2 + y 2 + x + y = 4 c) (D b kh i D, 2005) x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2 √ x + y − xy = 3 d) (Kh i A, 2006) √ √ (x, y ∈ R) x+1+ y+1=4 x2 + 1 + y(y + x) = 4y e) (D b Kh i A, 2006) (x, y ∈ R) (x2 + 1)(y + x − 2) = y x3 − 8x = y 3 + 2y f) (D b Kh i A, 2006) (x, y ∈ R) x3 − 3 = 3(y 2 + 1) g) (Kh i D, 2006) Ch ng minh r ng v i m i a > 0, h phương trình sau có nghi m duy nh t ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y), y − x = a. x2 − xy + y 2 = 3(x − y), h) (D b Kh i D, 2006) (x, y ∈ R) x2 + xy + y 2 = 7(x − y)2 ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y, i) (D b Kh i D, 2006) x2 − 12xy + 20y 2 = 0. (x − y)(x2 + y 2 ) = 13, j) (D b Kh i B, 2006) (x, y ∈ R). (x + y)(x2 − y 2 ) = 25 x2 + y = y 2 + x, k) (D b , 2005) 2x+y − 2x−1 = x − y x − 4|x| + 3 = 0, l) (D b 2002) log4 x − log2 y = 0. 87. Gi i các phương trình sau: 2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x 1) (A, 2006) √ = 0. 2 − 2 sin x 2) (A, 2007) (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x. 3) (D, 2006) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0. x x 2 √ 4) (D, 2007) sin + cos + 3 cos x = 2. 2 2 9
5) (B, 2007) 2 sin2 x + sin 7x − 1 = sin x. 1 1 6) (D b A, 2007) Gi i phương trình sin 2x + sin x − − = 2 cot 2x. 2 sin x sin 2x √ √ 7) (D b A, 2007) Gi i phương trình 2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x). 5x π x π √ 3x 8) (D b B, 2007) Gi i phương trình sin − − cos − = 2 cos . 2 4 2 4 2 sin 2x cos 2x 9) (D b B, 2007) Gi i phương trình + = tan x − cot x. cos x sin x √ π 10) (D b D, 2007) Gi i phương trình 2 2 sin x − cos x = 1. 12 11) (D b D, 2007) Gi i phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x 12) (D b B, 2006) (2 sin2 x − 1) tan2 2x + 3(cos2 x − 1) = 0. 13) (D b B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0. 14) (D b D, 2006) cos3 x + sin3 x + 2 sin2 x = 1. 15) (D b D, 2006) 4 sin3 x + 4 sin2 x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0. 16) 2 cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = 2(sin x + cos x). 17) 3 − 4 sin2 2x = 2 cos 2x(1 + 2 sin x). 1 8 π 1 18) 2 cos x + cos2 (x + π) = + sin 2x + 3 cos x + + sin2 x. 3 3 2 3 π 2π 1 19) cos2 x + + cos2 x + = (sin x + 1). 3 3 2 π π 20) sin 3x + = sin 2x. sin x + . 4 4 √ 3 3 2+3 2 21) (D b A, 2006) cos 3x. cos x − sin 3x sin x = . 8 π 22) (D b A, 2006) 2 cos 2x − + 4 sin x + 1 = 0. 6 x 23) (B, 2006) cot x + sin x 1 + tan x tan = 4. 2 24) (A, 2005) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0. 25) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. π π 3 26) (D, 2005) cos4 x + sin4 x + cos x − sin 3x − − = 0. 4 4 2 √ π 27) (D b 2005) 2 2 cos3 x − − 3 cos x − sin x = 0. 4 x √ 3π 28) (D b 2005) 4 sin2 − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 x − . 2 4 29) (D b 2005) sin x cos 2x + cos2 x(tan2 x − 1) + 2 sin3 x = 0. 30) (D b 2004) 4(sin3 x + cos3 x) = cos x + 3 sin x. 31) sin x. sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x. 1 1 √ π 32) (D b 2004) − = 2 2 cos x + . cos x sin x 4 10
√ 33) (D b 2004) sin 2x − 2 2(sin x + cos x) − 5 = 0. 3 34) 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x. 1 √ 35) cos 3x − sin 2x = 3(cos 2x − sin 3x). √ 36) sin x + sin 2x = 3(cos x + cos 2x). √ 37) 4(sin4 x + cos4 x) + 3 sin 4x = 2. 88. (A, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, m t bên SAD là tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh SB, BC, CD. Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t di n CM N P . 89. (B, 2007) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. G i E là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m c a SA, M là trung đi m c a AE, N là trung đi m c a BC. Ch ng minh M N vuông góc v i BD và tính (theo a) kho ng cách gi a hai đư ng th ng M N và AC. √ 90. (D b A, 2007) Cho hình lăng tr đ ng ABC.A1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 120◦ . G i M là trung đi m c a c nh CC1 . Ch ng minh r ng M B ⊥ M A1 và tính kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (A1 BM ). 91. (D b A, 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc t o b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60◦ , các tam giác ABC và SBC là các tam giác đ u c nh b ng a. Tính theo a kho ng cách t đi m B đ n m t ph ng (SAC). 92. (D b B, 2007) Trong m t ph ng (P ) cho n a đư ng tròn đư ng kính AB = 2R và đi m C thu c n a đư ng tròn đó sao cho AC = R. Trên đư ng th ng vuông góc v i m t ph ng (P ) t i A, l y đi m S sao cho góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC) b ng 60◦ . G i H, K l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các c nh SB, SC. Ch ng minh r ng tam giác AHK là tam giác vuông và tính th tích c a kh i chóp S.ABC. 93. (D b B, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc √ v i đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2. G i H, K l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các c nh SB, SD. Ch ng minh r ng SC ⊥ (AHK) và tính th tích c a kh i chóp O.AHK. 94. (D b D, 2007) Cho lăng tr đ ng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = √ a, AA1 = a 2. G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh AA1 và BC. Ch ng minh r ng M N là đư ng vuông góc chung c a các đư ng th ng AA1 và BC1 . Tính th tích c a kh i chóp M.A1 BC1 . 95. (D b D, 2007) Cho lăng tr đ ng ABC.A1 B1 C1 có t t c các c nh đ u b ng a. G i M là trung đi m c a đo n AA1 . Ch ng minh BM ⊥ B1 C và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng BM và B1 C. 11
96. Cho t di n OABC có ba c nh OA, OB, OC đôi m t vuông góc nhau, OA = a, OB = b, OC = c. G i α, β, γ l n lư t là góc gi a OA, OB, OC v i m t ph ng (ABC). Ch ng minh r ng sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1. 97. Cho t di n OABC có ba c nh OA, OB, OC đôi m t vuông góc nhau. G i α, β, γ l n lư t là các góc gi a m t ph ng (ABC) v i các m t ph ng (OBC), (OAC), (OAB). Ch ng minh r ng √ cos α + cos β + cos γ 3. 98. (Kh i B, 2002) Cho hình l p phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có c nh b ng a. a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng A1 B và B1 D; b) G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh B1 B, CD, A1 D1 . Tính góc gi a hai đư ng th ng M P và C1 N . 99. (ĐH Ngo i thương HCM, 2002) Cho hình l p phương ABCD.A B C D có c nh b ng a. Gi s M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh BC và DD . a) Ch ng minh r ng M N//(A BD) b) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng BD và M N. 100. (H c vi n quan h qu c t , kh i D, 2001) Cho hình h p ch nh t ABCD.A B C D v i AB = a, BC = b, AA = c. a) Tính di n tích tam giác ACD theo a, b, c. b) Gi s M, N l n lư t là trung đi m c a AB và BC. Hãy tính th tích t di n D DM N theo a, b, c. 101. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a và c nh bên SA vuông góc v i √ t m a. 6 ph ng đáy (ABC). Tính kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (SBC) theo a, bi t SA = . 2 102. (D b 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t ph ng đáy (ABCD) và SA = a. G i E là trung đi m c a c nh CD. Tính theo A kho ng cách t đi m S đ n đư ng th ng BE. 103. (D b 2002) Cho tam giác vuông cân ABC có c nh huy n BC = a. Trên đư ng th ng vuông góc v i m t ph ng (ABC) t i đi m A l y đi m S sao cho góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (SBC) b ng 60◦ . Tính đ dài đo n th ng SA theo a. 104. (Kh i B, 2004) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a, góc gi a c nh bên và m t đáy b ng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦ ). Tính tang c a góc gi a hai m t ph ng (ABCD) và (SAB) theo ϕ. Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a và ϕ. 105. (Kh i A, 2006) Cho hình tr có các đáy là hai hình tròn tâm O và O , bán kính đáy b ng chi u cao và b ng a. Trên đư ng tròn đáy tâm O l y đi m A, trên đư ng tròn đáy tâm O l y đi m B sao cho AB = 2a. Tính th tích c a kh i t di n OO AB. 12
106. (D b , Kh i A, 2006) Cho hình h p đ ng ABCD.A B C D có các c nh AB = AD = a, AA = √ a 3 và BAD = 60◦ . G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh A D và A B . Ch ng minh 2 r ng AC vuông góc v i m t ph ng (BDM N ). Tính th tích kh i chóp A.BDM N . 107. (D b , Kh i A, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a, c nh SA vuông góc v i đáy, c nh SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 60◦ . Trên √ a 3 c nh SA l y đi m M sao cho AM = . M t ph ng BCM c t SD t i đi m N . Tính th tích 3 kh i chóp S.BCM N . 108. (Kh i A, 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, SA = 2a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M và N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các đư ng th ng SB và SC. Tính th tích c a kh i chóp A.BCN M . 109. (D b , Kh i D, 2006) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a. G i SH là đư ng cao c a hình chóp. Kho ng cách t trung đi m I c a SH đ n m t bên (SBC) b ng b. Tính th tích kh i chóp S.ABCD. 110. (D b , Kh i D, 2006) Cho hình l p phương ABCD.A B C D có c nh b ng a và đi m K thu c 2 c nh CC sao cho CK = a. M t ph ng (α) đi qua A, K và song song v i BD chia kh i l p 3 phương thành hai kh i đa di n. Tính th tích c a hai kh i đa di n đó. 111. (Kh i B, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = √ a 2, SA = a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i M, N l n lư t là trung đi m c a AD và SC, I là giao đi m c a BM và AC. Ch ng minh r ng m t ph ng (SAC) vuông góc v i m t ph ng (SM B). Tính th tích kh i t di n AN IB. 112. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a, BAD = 60◦ , SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD), SA = a. G i C là trung đi m c a SC. M t ph ng (P ) đi qua AC và song song v i BD, c t các c nh SB, SD c a hình chóp l n lư t t i B và D . Tính th tích kh i chóp S.AB C D . 113. Cho hình lăng tr ABC.A B C có A .ABC là hình chóp tam giác đ u, c nh đáy AB = a, c nh bên A A = b. G i α là góc xen gi a hai m t ph ng (ABC) và (A BC). Tính tan α và th tích c a kh i chóp A .BB C C. 114. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). Tam giác ABC có AB = BC = 2a, ABC = 120◦ . Tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (ABC). 115. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông t i B, c nh SA vuông góc v i đáy ACB = √ 60◦ , BC = a, SA = a 3. G i M là trung đi m c a c nh SB. Ch ng minh m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng (SBC). Tính th tích c a kh i t di n M ABC. 116. (Cao đ ng Tài chánh K toán, 2006) Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng a và góc ASB = 60◦ . Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo a. 13
117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD) và SA = a. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng BD và SC. 118. (Kh i B, 2003) Cho hình lăng tr đ ng ABCD.A B C D có đáy ABCD là m t hình thoi c nh a, góc BAD = 60◦ . G i M là trung đi m c a c nh CC . Ch ng minh r ng b n đi m B , M, D, N cùng n m trên m t m t ph ng. Hãy tính đ dài c nh AA theo a đ t giác B M DN là hình vuông. √ 119. Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có đư ng cao SO = 1 và đáy ABC có c nh b ng 2 6. Các đi m M, N theo th t là trung đi m c a các c nh AC, AB. Tính th tích hình chóp S.AM N và bán kính m t c u n i ti p hình chóp đó. 120. Trong không gian cho hai đư ng th ng x y+1 z 3x − z + 1 = 0, d1 : = = và d2 : 1 2 1 2x + y − 1 = 0. a) Ch ng minh r ng d1 , d2 chéo nhau và vuông góc v i nhau; b) Vi t phương trình t ng quát c a đư ng th ng c t c hai đư ng th ng d1 , d2 và song song v i đư ng th ng x−4 y−7 z−3 ∆: = = . 1 4 −2 121. Cho hai đi m A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và m t ph ng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0. a) L p phương trình đư ng th ng (d) tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau: (d) n m trong m t ph ng (P ), (d) vuông góc v i đư ng th ng AB và (d) đi qua giao đi m c a đư ng th ng AB v i m t ph ng (P ). b) Tìm to đ đi m C trong m t ph ng (P ) sao cho CA = CB và m t ph ng ABC vuông góc v i m t ph ng (P ). x−1 y−2 122. Cho tam giác ABC có đi m B(2; 3; −4), đư ng cao CH có phương trình ∆1 : = = 5 5 z x−5 y−3 z+1 và đư ng phân giác trong góc A là AI có phương trình ∆2 : = = .L p −5 7 1 2 phương trình chính t c c nh AC. 123. Cho tam giác ABC có đi m A(−1; −1; 2), đư ng cao BK và đư ng trung tuy n CM l n lư t có phương trình x+1 y−1 z−4 x−1 y+2 z−5 d1 : = = , d2 : = = . 2 3 4 2 −3 1 L p phương trình đư ng th ng ch a các c nh AB, AC c a tam giác ABC. 124. (A, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho hai đư ng th ng   x = −1 + 2t,  x y−1 z+2 d1 : = = và d2 : y = 1 + t, 2 −1 1   z = 3. 14
(a) Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau. (b) Vi t phương trình đư ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (P ) : 7x + y − 4z = 0 và c t c hai đư ng th ng d1 , d2 . 125. (D, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho hai đi m A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đư ng th ng x−1 y+2 z ∆: = = . −1 1 2 (a) Vi t phương trình đư ng th ng d đi qua tr ng tâm G c a tam giác OAB và vuông góc v i m t ph ng (OAB). (b) Tìm to đ M thu c đư ng th ng ∆ sao cho M A2 + M B 2 nh nh t. 126. (B, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho m t c u (S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và m t ph ng (P) : 2x − y + 2z − 14 = 0. (a) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a tr c Ox và c t (S ) theo m t đư ng tròn có bán kính b ng 3. (b) Tìm to đ đi m M thu c m t c u (S ) sao cho kho ng cách t M đ n m t ph ng (P) l n nh t. 127. (D b A, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho hai đi m A(−1; 3; −2), B(−3; 7; −18) và m t ph ng (P ) : 2x − y + z + 1 = 0. (a) Vi t phương trình m t ph ng ch a đư ng th ng AB và vuông góc v i (P ). (b) Tìm to đ đi m M thu c m t ph ng (P ) sao cho M A + M B nh nh t. 128. (D b A, 2007) Trong không gian v to đ Oxyz, cho các đi m A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6) i 6x − 3y + 2z = 0, và đư ng th ng (d) có phương trình 6x + 3y + 2z − 24 = 0 (a) Ch ng minh r ng các đư ng th ng AB và OC chéo nhau. (b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ song song v i (d) và c t các đư ng th ng AB và OC. 129. (D b B, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho hai đi m A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7) và m t ph ng (P ) : x + y + z = 0. (a) Tìm to đ giao đi m I c a đư ng th ng AB và m t ph ng (P ). (b) Tìm to đ đi m M thu c m t ph ng (P ) sao cho M A2 + M B 2 nh nh t. 130. (D b B, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho các đi m A(2; 0; 0), M (0; −3; 6) và m t ph ng (P ) có phương trình x + 2y − 9 = 0. 15
(a) G i (S ) là m t c u có tâm là đi m M và có bán kính OM . Ch ng minh r ng (P ) ti p xúc v i (S ). Tìm to đ ti p đi m c a (P ) và (S ). (b) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a các đi m A và M , đ ng th i, (Q) c t các tr c Oy, Oz t i các đi m tương ng B, C sao cho th tích c a kh i t di n OABC b ng 3 (đ.v.t.t.) x−3 y+2 z+1 131. (D b D, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho đư ng th ng (d) : = = 2 1 −1 và m t ph ng (P ) có phương trình x + y + z + 2 = 0. (a) Tìm to đ giao đi m M c a (P ) và (d). (b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ thu c (P ) sao cho ∆ vuông góc v i (d) và kho ng cách √ t M đ n ∆ b ng 42. 132. (D b D, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho m t ph ng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đư ng th ng x−1 y−3 z x−5 y z+5 (d1 ) : = = , (d2 ) : = = . 2 −3 1 6 4 −5 (a) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a (d1 ) và vuông góc v i (P ). (b) Tìm các đi m M thu c (d1 ) và N thu c (d2 ) sao cho đư ng th ng M N song song v i (P ) và đư ng th ng M N cách (P ) m t kho ng b ng 2. 133. (A, 2006) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho hình l p phương ABCD.A B C D v i A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A (0; 0; 1). G i M và N l n lư t là trung đi m c a AB và CD. (a) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng A C và M N . (b) Vi t phương trình m t ph ng ch a A C và t o v i m t ph ng 0xy m t góc α bi t cos α = 1 √ . 6 134. (B, 2006) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đi m A(0; 1; 2) và hai đư ng th ng:  x = 1 + t,    x y−1 z+1 d1 : = = , d2 : y = −1 − 2t, 2 1 −1    z = 2 + t. (a) Vi t phương trình m t ph ng (P ) qua A đ ng th i song song v i d1 và d2 . (b) Tìm to đ các đi m M thu c d1 và N thu c d2 sao cho ba đi m A, M, N th ng hàng. 135. (D, 2006) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho đi m A(1; 2; 3) và hai đư ng th ng x−2 y+2 z−3 x−1 y−1 z+1 d1 : = = ; d2 : = = . 2 −1 1 −1 2 1 (a) Tìm to đ đi m A đ i x ng v i đi m A qua đư ng th ng d1 . 16
(b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua A, vuông góc v i d1 và c t d2 . 136. (D b , A, 2006, d b 1) Trong không gian Oxyz cho hình lăng tr đ ng ABC.A B C có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A (0; 0; 2).. (a) Ch ng minh A C vuông góc v i BC . Vi t phương trình m t ph ng (ABC ). (b) Vi t phương trình hình chi u vuông góc c a đư ng th ng B C trên m t ph ng (ABC ). 137. (D b , A,√2006, d b 2) Cho hình h p đ ng ABCD.A B C D có các c nh AB = AD = a 3 a, AA = và góc BAD = 60◦ . G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh A D và A B . 2 Ch ng minh AC vuông góc v i m t ph ng (BDM N ). Tính th tích c a kh i chóp A.BDM N. 138. (D b , A, 2006, d b 2) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t ph ng (α) : 3x + 2y − z + 4 = 0 và hai đi m A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). G i I là trung đi m c a đo n th ng AB (a) Tìm to đ giao đi m c a đư ng th ng AB và m t ph ng (α). (b) Xác đ nh to đ đi m K sao cho KI vuông góc v i m t ph ng (α), đ ng th i K cách đ u g c to đ O và mph (α). 139. (D b , D, 2006, d b 2) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t ph ng (P ) : 4x − 3y + 11z − 26 = 0 và hai đư ng th ng x y−3 z+1 x−4 y z−3 d1 : = = , = = . −1 2 3 1 1 2 (a) Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau. (b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ n m trên m t ph ng (P ) đ ng th i ∆ c t c d1 và d2 . 140. (D b B, 2006) Cho hai đi m A(0; 0; 4), B(2; 2; 0) và m t ph ng (P ) có phương trình 2x + y − z + 5 = 0. (a) Vi t phương trình hình chi u vuông góc c a đư ng th ng AB trên m t ph ng (P ). (b) Vi t phương trình m t c u đi qua O, A, B và ti p xúc v i m t ph ng (P ). 141. Cho hai đi m A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và m t ph ng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0. a) L p phương trình đư ng th ng (d) tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau: (d) n m trong m t ph ng (P ), (d) vuông góc v i đư ng th ng AB và (d) đi qua giao đi m c a đư ng th ng AB v i m t ph ng (P ). b) Tìm to đ đi m C trong m t ph ng (P ) sao cho CA = CB và m t ph ng ABC vuông góc v i m t ph ng (P ). 17
142. Cho đi m A(1; −1; 1) và hai đư ng th ng (d1 ), (d2 ) có phương trình   x = −t,  3x + y − z + 3 = 0, d1 : y = −1 + 2t, và d2 :   2x − y + 1 = 0. z = 3t Ch ng minh r ng (d1 ), (d2 ) và A cùng n m trong m t m t ph ng. 143. Cho tam giác ABC có đi m A(−1; −1; 2), đư ng cao BK và đư ng trung tuy n CM l n lư t có phương trình x+1 y−1 z−4 x−1 y+2 z−5 d1 : = = , d2 : = = . 2 3 4 2 −3 1 L p phương trình đư ng th ng ch a các c nh AB, AC c a tam giác ABC. 144. (D b kh i A, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A thu c đư ng th ng d : x − 4y − 2 = 0, c nh BC song song v i d, phương trình đư ng cao BH : x + y + 3 = 0 và trung đi m c a c nh AC là M (1; 1). Tìm to đ c a các đ nh A, B, C. 145. (Kh i D, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đư ng th ng d : x − y + 3 = 0. Tìm to đ đi m M n m trên d sao cho đư ng tròn tâm M , có bán kính g p đôi bán kính đư ng tròn (C ) , ti p xúc ngoài v i đư ng tròn (C ). √ 146. (D b kh i D, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng th ng d : x−y +1− 2 = 0 và đi m A(−1; 1). Vi t phương trình đư ng tròn (C ) đi qua A, g c to đ O và ti p xúc v i đư ng th ng d. 147. (Kh i B, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 − 2x − 6y + 6 = 0 và đi m M (−3; 1). G i T1 , T2 là các ti p đi m c a các ti p tuy n k t M đ n (C ). Vi t phương trình đư ng th ng T1 T2 . 148. (D b kh i B, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC cân t i B v i A(1; −1), C(3; 5). Đ nh B n m trên đư ng th ng d : 2x − y = 0. Vi t phương trình các đư ng th ng AB, BC. 149. (D b kh i B, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(2; 1), đư ng cao qua đ nh B có phương trình là x − 3y − 7 = 0 và đư ng trung tuy n qua đ nh C có phương trình là x + y + 1 = 0. Xác đ nh to đ B và C c a tam giác. 150. (D b A, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 = 1. G i (C ) là đư ng tròn có tâm I(2; 2) và c t (C ) t i hai đi m A, B sao cho đ dài √ đo n th ng AB b ng 2. Vi t phương trình c a đư ng th ng AB. 151. (D b A, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có tr ng tâm G(−2; 0). Bi t phương trình các c nh AB, AC l n lư t là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y − 2 = 0. Tìm to đ các đ nh A, B, C. 18
152. (D b B, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 − 8x + 6y + 21 = 0 và đư ng th ng d có phương trình x + y − 1 = 0. Xác đ nh to đ các đ nh c a hình vuông ABCD ngo i ti p (C ), bi t r ng đ nh A thu c d. 153. (D b B, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 − 2x + 4y + 2 = 0. G i (C ) là đư ng tròn có tâm M (5; 1), (C ) c t (C ) t i hai đi m √ A, B sao cho đ dài đo n th ng AB b ng 3. Vi t phương trình c a đư ng tròn (C ). 154. (D b D, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đi m A(2; 1). L y đi m B thu c tr c Ox có hoành đ không âm và đi m C thu c tr c Oy có tung đ không âm sao cho tam giác ABC vuông t i A. Tìm to đ các đi m B, C sao cho di n tích tam giác ABC l n nh t. 155. (D b D, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho các đi m A(2; 1), B(2; −1) và các đư ng th ng d1 : (m − 1)x + (m − 2)y + 2 − m = 0, d2 : (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − 5 = 0. Ch ng minh r ng d1 luôn c t d2 . G i P là giao đi m c a d1 và d2 , tìm m sao cho t ng kho ng cách P A + P B l n nh t. 156. (D b , 2004) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đi m A(0; 2) và đư ng th ng d : x − 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai đi m B, C sao cho tam giác ABC vuông B và AB = 2BC. 157. (D b , 2005) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác cân ABC có tr ng tâm 4 1 G ; , phương trình đư ng th ng BC là x − 2y − 4 = 0 và phương trình đư ng th ng BG 3 3 là 7x − 4y − 8 = 0. Tìm to đ các đ nh A, B, C. 158. (D b , 2005) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho hai đi m A(0; 5), B(2; 3). Vi t phương √ trình đư ng tròn đi qua hai đi m A, B và có bán kính R b ng 10. 159. (D b , 2005) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đư ng tròn (C ) : x2 +y 2 −4x−6y −12 = 0. Tìm to đ đi m M thu c đư ng th ng d : 2x − y + 3 = 0 sao cho M I = 2R, trong đó I là tâm và R là bán kính c a đư ng tròn (C ). 160. (D b , 2005) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho tam giác ABC vuông A. Bi t 1 A(−1; 4), B(1; −4) và đư ng th ng BC đi qua đi m M 2; . Tìm to đ đ nh C. 2 161. (D b , 2004) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho hai đư ng th ng d1 : x + y + 5 = 0, d2 : x + 2y − 7 = 0 và đi m A(2; 3). Tìm đi m B thu c d1 và đi m C thu c d2 sao cho tam giác ABC có tr ng tâm là đi m G(2; 0). 162. (D b , 2004) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đi m I(−2; 0) và hai đư ng th ng d1 : 2x − y + 5 = 0, d2 : x + y − 3 = 0. Vi te phương trình đư ng th ng d đi qua đi m I và c t #» #» hai đư ng th ng d1 , d2 l n lư t t i A, B sao cho IA = 2IB. 163. (Cao đ ng Y t 2006) Cho hai đư ng th ng d1 : 2x + y − 1 = 0, d2 : 2x − y + 2 = 0. Vi t phương trình đư ng tròn có tâm n m trên tr c Ox đ ng th i ti p xúc v i d1 và d2 . 19
164. ((Cao đ ng MGTW 3 2006) Cho hai đư ng th ng (d1 ) : x − y + 2 = 0, (d2 ) : 2x + y − 5 = 0 = 0 và đi m M (−1; 4). (a) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ c t (d1 ), (d2 ) l n lư t t i A và B sao cho M là trung đi m c a đo n AB. (b) Vi t phương trình c a đư ng tròn (C ) qua M và ti p xúc v i đư ng th ng (d1 ) t i giao đi m c a (d1 ) và tr c tung. 165. (CĐSP Hà N i, 2006) Cho tam giác ABC có đi m A(1; 2), đư ng trung tuy n BM và đư ng phân giác trong CD tương ng có phương trình 2x + y + 1 = 0, x + y − 1 = 0. Hãy vi t phương trình đư ng th ng BC. 166. Cho đư ng tròn (C ) : x2 + y 2 − 4x + 6y − 21 = 0. a) Vi t phương trình ti p tuy n c a (C ) t i đi m M (5; 2). b) Vi t phương trình ti p tuy n v i (C ) song song v i đư ng th ng 5x + 12y − 1 = 0. c) Vi t phương trình ti p tuy n v i (C ) vuông góc v i đư ng th ng 2x + 5y = 0. 167. Cho h đư ng cong (Cm ) có phương trình x2 + y 2 − 2(m + 1)x − 4(m − 1)y + 5 − m = 0. a) Tìm m đ (Cm ) là đư ng tròn. b) Khi (Cm ) là đư ng tròn, xác đ nh m đ đư ng th ng x − y + 2 = 0 là ti p tuy n c a (Cm ). 168. Gi i các phương trình, b t phương trình sau: n−1 a) A3 + Cx = 14x; x 2 e) A3 + Cn+1 = 14(n + 1); n+1 4 5 6 b) (TN, 2006) Cn + Cn = 3Cn+1 ; 1 2 6 3 f) A − A2 C + 10; c) Px A2 x + 72 = 6(A2 x + 2Px ); 2 2x x x x 2 n−2 2 3 3 n−3 d) Cn Cn + 2Cn Cn + Cn Cn = 100; g) A3 + 2Cn n n−2 9; 169. (D b 2005) Tìm s nguyên n l n hơn 1 tho mãn đ ng th c 2Pn + 6A2 − Pn A2 = 12. n n 170. (D b 2004) Cho t p A g m n ph n t (n 7). Tìm n, bi t r ng s t p con g m 7 ph n t c a t p A b ng hai l n s t p con g m 3 ph n t c a t p A. A4 + 3A3 n+1 n 171. (D, 2005)Tìm giá tr c a bi u th c M = , (n + 1)! 2 2 2 2 bi t r ng Cn+1 + 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149. 172. Tìm t t c các s t nhiên x, y sao cho Ay−1 : Ay : Cx−1 = 21 : 60 : 10. x x−1 y 173. (A, 2005) Tìm s nguyên dương n sao cho C2n+1 − 2.C2n+1 + 3.22 .C2n+1 − 4.23 .C2n+1 + · · · + (2n + 1).22n .C2n+1 = 2005 1 2 3 4 2n+1 k (Cn là s t h p ch p k c a n ph n t ). 20