zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Đề thi - Kiểm tra

Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số

Chia sẻ: Paradise9 Paradise9 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Báo xấu

180
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo tuyển tập một số bài Toán thi học sinh giỏi môn Toán về dãy số giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số

Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 TuyÓn tËp mét sè bµi to¸n d·y sè thi hsg Bµi1) TÝnh tæng: S  1  3 5  3  ...  2n  1  ... 2 22 2 2n gi¶i: 1 3 5 2n  1 3 5 7 2n  1 §Æt Sn   2  3  ...  n  2Sn  1   2  3  ...  n 1  2 2 2 2 2 2 2 2  1  1.1  n 1  1 1 1 2n  1 2  2n  1 2n  3 Sn  1  1   2  ...  n 2  1   3 . 2 2 2 2n 1 1 2n 2n 2 VËy S = lim Sn  3 . n  7 10 13 Bµi 2) Cho d·y (un) víi u 1  ; u 2  ; u 3  ;... Chøng minh r»ng khi n  d·y cã giíi 3 5 7 3 h¹n lµ . 2 Gi¶i. Mçi sè h¹ng cña d·y lµ mét ph©n thøc, c¸c mÉu thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 3, d = 2  sè h¹ng tæng qu¸t wn = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, … c¸c tö thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 7, d = 3  sè h¹ng tæng qu¸t vn = 7 + (n – 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, … v 3n  4 3n  4 3 VËy u n  n  , n = 1, 2, … Limu n  lim  . w n 2n  1 2n  1 2 Bµi 3. Cho CSC a1, a2, … vµ CSN b1, b2, … tháa m·n: a1 = b1; a1 + a2 = 2b2; a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. T×m 2 cÊp sè ®ã. Gi¶i. gt  a1 = b1; a2 = 2b2 – b1; a3 = b1 – b2 + b3 vµ a1 + a3 = 2a2 nªn 2b1 – b2 + b3 = 4b2 – 2b1  4b1 – 5b2 + b3 = 0 (*). MÆt kh¸c: b1, b2, … lµ CSN nªn b2 = qb1, b3 = q2b1, thay vµo (*)  b1(q2 – 5q + 4) = 0  b1 = 0  q = 1  q = 4. Tõ ®ã t×m ®îc c¸c cÊp sè lµ: CSC: b1, b1, …; CSN: b1, b1, … HoÆc CSC: b1, 7b1, 13b1,…; CSN: b1, 4b1, 16b1,… Bµi 4. Cho 2 d·y sè (un) vµ (vn) tháa m·n: 1 2u n v n u1 = 1995, v1 = 1997, u n 1  (u n  v n ), v n 1  , n = 1, 2, … 2 u n  vn
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 n 22 Chøng minh r»ng: u n 1  v n 1  n , n  1. 2 Gi¶i. gt  un > 0, vn > 0 n = 1, 2, … 1 2u n v n (u n  v n ) 2 Ta cã: un + 1 – vn + 1 = (u n  v n )    0 , n = 1, 2, … 2 u n  v n 2(u n  v n ) u  vn  un + 1 > vn + 1 , n = 1, 2, …  0  n  1 , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) (u n  v n ) 2   u n  v n , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) ( u 1  v1 ) 2 4 1  un + 1 – vn + 1 < un – vn < … < u2 – v2 =    1. 2(u 1  v1 ) 2(1995  1997 ) 1996 n 22 MÆt kh¸c, dÔ thÊy n  1 . Tõ ®ã suy ra ®.p.c.m. 2 Bµi5. Cho d·y sè (un) tháa m·n: u0 = 2, u1 = 6, un + 1 = 6un + 2un – 1, n  1. T×m c«ng thøc tÝnh un theo n. Gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña d·y sè lµ: x2 = 6x + 2 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt : x 1  3  11, x 2  3  11 . Ta chøng minh: u n  (3  11) n  (3  11) n , n = 0, 1, 2, … ThËy vËy: Víi n = 0: u 0  (3  11) 0  (3  11) 0  2 ®óng Víi n = 1: u 1  (3  11)1  (3  11)1  6 ®óng. n  1, ta cã: 6un + 2un – 1 = 6(3  11) n  6(3  11) n  2(3  11) n 1  2(3  11) n 1 = = (3  11) n 1 (20  6 11)  (3  11) n 1 (20  6 11) = = (3  11) n 1  (3  11) n 1  u n 1 (®.p.c.m). Bµi 6. D·y sè (un) ®îc x¸c ®Þnh nh sau: a) u1 = a; u2 = b (a, b  R, a < b) 1 b) u n  (u n 1  u n 2 ) . 2 Chøng tá r»ng tån t¹i giíi h¹n cña d·y vµ t×m giíi h¹n ®ã theo a, b. Gi¶i.
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 1 1 u n  (u n 1  u n 2 )  u n  u n 1   (u n 1  u n 2 ) (1). 2 2 §Æt vn – 1 = un – un –1 , n  2  v1 = u2 – u1 = b – a. 1 1 Tõ (1)  v n 1   v n 2  (vn) lµ CSN cã c«ng béi q   . Do ®ã: 2 2 n 1 n 1  1  1 v n  v1     (b  a )   .  2  2 Ta cã: un = (un – un – 1) + (un - 1 – un – 2) + … + (u2 – u1) + u1 =   1  n 1  1      n 1 = vn – 1 + vn – 2 + … + v1 + u1 = v1   2    u  2b  a  2 (b  a )  1  . 1     1  3 3  2  1  2       n 1 V× lim  1     0 nª n lim u n  2b  a .  2 3 Bµi 7. Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi u n  a  a  ...  a víi a > 0. Chøng minh d·y ®· cho cã     n dÊu c¨n giíi h¹n. T×m lim un. Gi¶i. Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh d·y suy ra: u 1  a ; u n  a  u n 1 , n  2. n = 2, 3, … ta cã: u n  a  a  ...  a  a  a  ...  a  u n 1 .         n dÊu c¨n n 1 dÊu c¨n 1  1  4a 1  1  4a MÆt kh¸c: u n  (*) n = 1, 2, … ThËy vËy: u 1  a  . Gi¶ sö (*) ®óng 2 2 1  1  4a 1  1  4a ®Õn n – 1, ta cã: u n  a  u n 1  a   , tøc (*) ®óng n = 1, 2, … 2 2  un t¨ng vµ bÞ chÆn trªn  tån t¹i lim un = L. Khi ®ã: L > 0 vµ L  a  L 1  1  4a 1  1  4a  L . VËy lim un = L  . 2 2 Bµi 8. a) Cho d·y sè u1, u2, …, un, … cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng kh¸c 0 vµ tháa m·n: 1 1 1 k 1   ...   , k  3 (*). u 1u 2 u 2 u 3 u k 1u k u 1u k Chøng minh d·y ®· cho lµ cÊp sè céng.
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 1 b) Cho d·y sè thùc (un) ®îc x¸c ®Þnh u1 = a, u2 = b, u n  (u n 1  u n 2 ) , n  3. Chøng minh tån 2 t¹i lim un vµ tÝnh giíi h¹n ®ã theo a, b. Gi¶i. a) ViÕt (*) díi d¹ng: 1 1 2 1 1 1 3   ;    ;…; u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 2 u 2 u 3 u 3 u 4 u 1u 4 1 1 1 n 1   ...   . u 1u 2 u 2 u 3 u n 1u n u 1u n Hay: 1 1 2 2 1 3   (1) ;   (2) ; … ; u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 3 u 3 u 4 u 1u 4 n2 1 n 1   (n – 2). u 1u n 1 u n 1u n u 1u n Tõ (1)  u1 + u3 = 2u1  u1, u2, u3 lËp thµnh CSC, gäi d lµ c«ng sai cña CSC nµy. Tõ (2)  2u4 + u1 = 3u3  2u4 = 3(u1 + 2d) – u1 = 2(u1 + 3d)  u4 = u1 + 3d. Suy ra u1, u2, u3, u4 lËp thµnh CSC. Gi¶ sö ®· chøng minh ®îc: un-1 = u1 + (n – 2)d (**). Tõ (n – 2)  (n – 2)un + u1 = (n – 1)un – 1, kÕt hîp (**)  (n – 2)un = (n – 1)[u1 + (n – 2)d]  un = u1 + (n – 1)d. VËy theo nguyªn lý qui n¹p suy ra: un = u1 + (n – 1)d n = 2, 3, … §iÒu ®ã chøng tá u1, u2, …, un, …lËp thµnh CSC (®.p.c.m). b) Xem bµi 6 Bµi 9. T×m giíi h¹n cña tæng d·y sè sau: 1 1 1 1 S     ... 1.2 2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 Gi¶i. a) §Æt Sn     ...  . 1.2 2.3 3.4 n (n  1) 1  1  Ta dÔ d¶ng t×m ®îc Sn  1  . Tõ ®ã S  lim Sn  lim1    1. n 1  n  1 Bµi 10. Cho sè thùc  > 2 vµ d·y sè thùc d¬ng a n 1 tháa m·n ®iÒu kiÖn: n a   a 1  a 2  ...  a n 1 , víi mäi n  2. n  a  Chøng minh d·y  n  cã giíi h¹n khi n   vµ t×m giíi h¹n ®ã.  n  n 1 Gi¶i Ta cã: a 1  a 1  a 2  ...  a n  a   a n  a  hay a2 < a3 < a4 < … n n n
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3    a  an  a n n 1  a 1  a 2  ...  a n  a 1  (n  1)a n hay a   a 1  (n  2)a n (*) n +) NÕu a1 < 1 th× a   a 1  1  a 2  1  a n  1 2 Tõ (*)  a n  a n  (n  2)a n  (n  1)a n  a  1  n  1  n 1 1  1 1 1  1  an  n 1 n . V× lim n  0 nª n lim  a n   0 .  0      1   2   n  n   2  n  n n n  n   +) NÕu a1  1 th× an > 1, n  2  1  an  a1 n2 a n2 Tõ (*) suy ra 0      1   1  11   1 .  n  n an n n n  1  a n  2 a  lim  11   1   0 nª n lim n   0. n  n n  n  n    Bµi 11. Cho d·y sè (u n ) ®îc x¸c ®Þnh nh sau:  u1  0   2  u n 1  5u n  24u n  1, n  1, 2...  Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè nguyªn. Gi¶i. 2 Tõ gi¶ thiÕt ta cã: u n 1  5u n  24u n  1 (1) vµ u2 = 1. (1)  u 2 1  25u n 2  10u n .u n 1  24u n  1 n 2 2 2 2  u n 1  u n  10u n 1.u n  1  0 (2) Trong (2) thay n bëi n -1 ta ®îc: u 2  10u n .u n 1  u n 1  1  0  u n 1  10u n .u n 1  u n  1  0 n 2 2 2 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra un+1 vµ un-1 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t 2  10u n t  u 2  1  0 n Theo dông ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã: u n 1  u n 1  10u n hay u n+1  10u n  u n 1 (4) Tõ u1 = 0; u2 = 1 vµ (4) ta suy ra c¸c sè h¹ng cña d·y ®· cho ®Òu lµ sè nguyªn Bµi 12. Cho d·y sè (un) víi un = -n4 + 8n3 – 0,5n2 + 4n, víi n  N*. T×m sè h¹ng lín nhÊt cña d·y sè ®· cho. Gi¶i. a) XÐt hµm sè f(x) = -x4 + 8x3 – 0,5x2 + 4x, x  1. Ta cã: f’(x) = -4x3 + 24x2 – x + 4. NÕu x  6 th× f’(x) = 4x2(6 – x) + (4 – x) < 0;
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 NÕu x  5 th× f’(x) = 4x2(5 – x) + 4x2 – x + 4 > 0 Suy ra b¶ng biÕn thiªn cña f(x): x 1 5 6 + Tõ BBT suy ra un lín nhÊt  n = 5 hoÆc n = 6. Ta cã: u5 = 382,5; u6 = 438. f’(x) + _ VËy sè h¹ng lín nhÊt cña d·y lµ: u6 = 438. f(x) u 1  2 Bµi 13. Cho d·y {un}:   2  un  u n 1  , n  1  1  2u n Chøng minh {un} kh«ng tuÇn hoµn. Gi¶i.  §Æt tg = 2,   (0 ; ). Ta dÔ dµng chøng minh ®îc r»ng un = tgn, n  1. 2 Gi¶ sö {un} tuÇn hoµn chu kú T, tøc lµ: un + T = un n  tg(n + T) = tgn, n  sinT = 0  tgT = 0  uT = 0. 2 tgn 2u n n ta cã: u2n = tg2n =  (*) 1  tg 2 n 1  u 2 n V× vËy nÕu u2n = 0 th× un = 0. ViÕt T díi d¹ng T = 2k(2s + 1), k, s nguyªn  0. V× uT = 0 nªn sö dông (*) k lÇn ta ®i ®Õn u2s + 1 = 0, mµ 2  us u 2s 1  nªn tõ u2s + 1 = 0  u2s = -2. Sö dông (*) suy ra: 1  2u s us 2 2  1  u s  u s  1  0  us lµ sè v« tØ (v× PT X2 – X – 1 = 0 cã nghiÖm v« tØ). 1  us 2  u2 n MÆt kh¸c, do u1 = 2 vµ tõ u n 1  suy ra mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu h÷u tØ. M©u thuÈn. VËy {u n} 1  2u n kh«ng tuÇn hoµn. Bµi 14. Ký hiÖu [x] lµ phÇn nguyªn cña x vµ {x} = x – [x] lµ phÇn thËp ph©n cña x. T×m lim{(2  2 ) n } . x  Gi¶i.
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 n  N, ta cã: (2  2 ) n  x  y 2 , (2  2 ) n  x  y 2 víi x, y  Z (dÔ dµng chøng minh b»ng qui n¹p) Suy ra: (2  2 ) n  (2  2 ) n  Z n N. MÆt kh¸c: §Ó ý nÕu a Z vµ 0 < d < 1 th× [a + d] = a, ta cã: [(2  2 ) n ]  [(2  2 ) n  (2  2 ) n  1  1  (2  2 ) n ] , V× (2  2 ) n  (2  2 ) n  1  Z vµ 0  1  (2  2 ) n  1 (do 0  (2  2 ) n  1 ) nªn [(2  2 ) n ]  (2  2 ) n  (2  2 ) n  1 . Do ®ã: {(2  2 ) n }  (2  2 ) n  [(2  2 ) n ]  1  (2  2 ) n . V× lim (2  2 ) n  0 nªn lim{(2  2 ) n }  1 . n  n  Bài 15 1 1 1 1 Tính: Sn     ...  a a a a 4 cos 2 4 2 cos 2 43 cos 2 4n cos 2 2 22 23 2n Gi¶i: 1 1 sin 2 x  cos 2 x 4 1 4 1 Ta có 2  2  2 2  2  2  2  2 (1) cos x sin x sin x cos x sin 2 x cos x sin 2 x sin x a a a Thay x trong (1) lần lượt bởi ; 2 ;...; n thì ta có: 2 2 2 1 1 1   4 cos 2 a sin 2 a 4sin 2 a 2 2 1 1 1   a a a 4 2 cos 2 2 4sin 2 42 sin 2 2 2 2 2 ... 1 1 1   a a a 4 n cos 2 n 4n 1 sin 2 n 1 4n sin 2 n 2 2 2 1 1  Sn  2  sin a 4n sin 2 a 2n n   Câu 16. Cho dãy số (Un) xác định bởi Un = 2  3 . Chứng minh rằng [Un] là một số lẻ với mọi n (ký hiệu [Un] là phần nguyên của Un).
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 Giải: n n Ta có:  2  3    C 2 ( 3) k 0 k n nk k n n  2  3    (1) C 2 ( k 0 k k n n k 3) k n n n k   2 3    2 3    (1  (1) k )C k 2 n k 3 k 0 n n k   2C n 2 n  k 3  2.m víi m  N k k sè ch¨n, k=0 n Do 0 < 2 - 3 1 0  2  3    1 n  N * n n n n Mặt khác:  2  3    2  3    2  3   1  1   2  3       n Mà 0   1   2  3    1     n n n Suy ra  2  3     2  3    2  3   1  2.m  1 là số lẻ     Bài 17: 1 a Cho dãy số (an) , a1 = 1 và a n 1  a n  . Chứng minh: lim n  2 . an n  n Gi¶i: n n 1 n 1 1 1 a 2 1  a 2  k k 2  2   a i2   a 2   2  2(n  1). j ak i 2 j 1 j1 a j n 1 1  a 2  2n  1   n . V y an > 2n  1 , n  2. j1 a2 j 1 1 1 1 1 1 1  a 2  2k  1 k  2  k 4  2  2     . a k (2k-1) (2k-1)  1 4k(k+1) 4  k  1 k  n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 5  Suy ra:  4  (1  )    4  1  . k 2 a k 4 n 1 4 j1 a j 4 4 n 1 n 1 1 1 5  Suy ra:  2  (n  1) 4  (n  1) (n  2). j1 a j j1 a j 4 5(n  1)  Vậy: a 2  2n  1  n (n  2) . 2
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 5(n-1) 1 a 5(n-1)  Suy ra: n  2; 2n-1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.