Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
TuyÓn tËp mét sè bµi to¸n d·y sè thi hsg
Bµi1) TÝnh tæng: ...
2
1n2
...
2
5
2
3
2
1
Sn32
gi¶i:
§Æt n32
n
2
1n2
...
2
5
2
3
2
1
S
1n32
n
2
1n2
...
2
7
2
5
2
3
1S2
nn
1n
n2n2
n2
3n2
3
2
1n2
2
1
1
2
1
1.1
1
2
1n2
2
1
...
2
1
2
1
11S
.
VËy S = 3Slim n
n
.
Bµi 2) Cho d·y (un) víi ;...
7
13
u;
5
10
u;
3
7
u321 Chøng minh r»ng khi n

d·y cã giíi
h¹n lµ
2
3.
Gi¶i.
Mçi sè h¹ng cña d·y lµ mét ph©n thøc, c¸c mÉu thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 3, d = 2 sè h¹ng
tæng qu¸t wn = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, … c¸c tö thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 7, d = 3
sè h¹ng tæng qu¸t vn = 7 + (n – 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, …
VËy 1n2
4n3
w
v
u
n
n
n
, n = 1, 2, …
2
3
1
n
2
4n3
limLimu n
.
Bµi 3. Cho CSC a1, a2, … vµ CSN b1, b2, … tháa m·n:
a1 = b1; a1 + a2 = 2b2; a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. T×m 2 cÊp sè ®ã.
Gi¶i. gt a1 = b1; a2 = 2b2 – b1; a3 = b1 – b2 + b3 vµ a1 + a3 = 2a2 nªn 2b1 – b2 + b3 = 4b2 – 2b1
4b1 – 5b2 + b3 = 0 (*).
MÆt kh¸c: b1, b2, … lµ CSN nªn b2 = qb1, b3 = q2b1, thay vµo (*)
b1(q2 – 5q + 4) = 0 b1 = 0 q = 1 q = 4. Tõ ®ã t×m ®îc c¸c cÊp sè lµ:
CSC: b1, b1, …; CSN: b1, b1, … HoÆc CSC: b1, 7b1, 13b1,…; CSN: b1, 4b1, 16b1,…
Bµi 4. Cho 2 d·y sè (un) vµ (vn) tháa m·n:
u1 = 1995, v1 = 1997,
nn
nn
1nnn1n vu
vu2
v),vu(
2
1
u
, n = 1, 2, …
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
Chøng minh r»ng: n
2
1n1n
2
2
vu
n
, n 1.
Gi¶i. gt un > 0, vn > 0 n = 1, 2, …
Ta cã: un + 1 – vn + 1 = 0
)vu(2
)vu(
vu
vu2
)vu(
2
1
nn
2
nn
nn
nn
nn
, n = 1, 2, …
un + 1 > vn + 1 , n = 1, 2, … 1
)vu(2
vu
0
nn
nn
, n = 2, 3,…
nn
nn
2
nn vu
)vu(2
)vu(
, n = 2, 3,…
un + 1 – vn + 1 < un – vn < … < u2 – v2 = 1
1996
1
)19971995(2
4
)vu(2
)vu(
11
2
11
.
MÆt kh¸c, dÔ thÊy 1
2
2
n
2n
. Tõ ®ã suy ra ®.p.c.m.
Bµi5. Cho d·y sè (un) tháa m·n:
u0 = 2, u1 = 6, un + 1 = 6un + 2un – 1, n 1.
T×m c«ng thøc tÝnh un theo n.
Gi¶i
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña d·y sè lµ: x2 = 6x + 2 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt :
113x,113x 21 . Ta chøng minh:
nn
n)113()113(u , n = 0, 1, 2, …
ThËy vËy: Víi n = 0: 2)113()113(u 00
0 ®óng
Víi n = 1: 6)113()113(u 11
1 ®óng.
n 1, ta cã:
6un + 2un – 1 = 1n1nnn )113(2)113(2)113(6)113(6 =
= )11620()113()11620()113( 1n1n =
= 1n
1n1n u)113()113(
(®.p.c.m).
Bµi 6. D·y sè (un) ®îc x¸c ®Þnh nh sau:
a) u1 = a; u2 = b (a, b R, a < b)
b) )uu(
2
1
u2n1nn .
Chøng tá r»ng tån t¹i giíi h¹n cña d·y vµ t×m giíi h¹n ®ã theo a, b.
Gi¶i.
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
)uu(
2
1
u2n1nn )uu(
2
1
uu 2n1n1nn (1).
§Æt vn – 1 = un – un –1 , n 2 v1 = u2 – u1 = b – a.
Tõ (1) 2n1n v
2
1
v (vn) lµ CSN cã c«ng béi
2
1
q . Do ®ã:
1n1n
1n 2
1
)ab(
2
1
vv
.
Ta cã: un = (un – un – 1) + (un - 1 – un – 2) + … + (u2 – u1) + u1 =
= vn – 1 + vn – 2
+ … + v1 + u1 =
1n
1
1n
12
1
)ab(
3
2
3
ab2
u
2
1
1
2
1
1
v
.
V× 3
ab2
0
2
1
lim
1n
n
ulimnnª .
Bµi 7. Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi
c¨n dÊu n
na...aau víi a > 0. Chøng minh d·y ®· cho cã
giíi h¹n. T×m lim un.
Gi¶i.
Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh d·y suy ra: 1nn1 uau;au
, n 2.
n = 2, 3, … ta cã: 1n
1nn
nua...aaa...aau
c¨n dÊu c¨n dÊu
.
MÆt kh¸c:
2
a411
un
(*) n = 1, 2, … ThËy vËy:
2
a411
au1
. Gi¶ sö (*) ®óng
®Õn n – 1, ta cã:
2
a411
2
a411
auau 1nn
, tøc (*) ®óng n = 1, 2, …
un t¨ng vµ bÞ chÆn trªn tån t¹i lim un = L. Khi ®ã: L > 0 vµ LaL
2
a411
L
. VËy lim un =
2
a411
L
.
Bµi 8. a) Cho d·y sè u1, u2, …, un, … cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng kh¸c 0 vµ tháa m·n:
k1k1k3221 uu
1k
uu
1
...
uu
1
uu
1
, k 3 (*).
Chøng minh d·y ®· cho lµ cÊp sè céng.
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
b) Cho d·y sè thùc (un) ®îc x¸c ®Þnh u1 = a, u2 = b, )uu(
2
1
u2n1nn , n 3. Chøng minh tån
t¹i lim un vµ tÝnh giíi h¹n ®ã theo a, b.
Gi¶i.
a) ViÕt (*) díi d¹ng:
313221 uu
2
uu
1
uu
1 ;
41433221 uu
3
uu
1
uu
1
uu
1 ; … ;
n1n1n3221 uu
1n
uu
1
...
uu
1
uu
1
.
Hay:
313221 uu
2
uu
1
uu
1 (1) ;
414331 uu
3
uu
1
uu
2 (2) ; … ;
n1n1n1n1 uu
1n
uu
1
uu
2n
(n – 2).
Tõ (1) u1 + u3 = 2u1 u1, u2, u3 lËp thµnh CSC, gäi d lµ c«ng sai cña CSC nµy. Tõ (2) 2u4
+ u1 = 3u3 2u4 = 3(u1 + 2d) – u1 = 2(u1 + 3d) u4 = u1 + 3d. Suy ra u1, u2, u3, u4 lËp thµnh
CSC.
Gi¶ sö ®· chøng minh ®îc: un-1 = u1 + (n – 2)d (**).
Tõ (n – 2) (n – 2)un + u1 = (n – 1)un – 1, kÕt hîp (**) (n – 2)un = (n – 1)[u1 + (n – 2)d] un
= u1 + (n – 1)d. VËy theo nguyªn lý qui n¹p suy ra: un = u1 + (n – 1)d n = 2, 3, … §iÒu ®ã
chøng tá u1, u2, …, un, …lËp thµnh CSC (®.p.c.m).
b) Xem bµi 6
Bµi 9. T×m giíi h¹n cña tæng d·y sè sau:
...
5
.
4
1
4
.
3
1
3
.
2
1
2
.
1
1
S
Gi¶i. a) §Æt )1n(n
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
Sn
.
Ta dÔ d¶ng t×m ®îc
1
n
1
1Sn
. Tõ ®ã 1
1n
1
1limSlimS n
.
Bµi 10. Cho sè thùc > 2 vµ d·y sè thùc d¬ng
1n
n
a tháa m·n ®iÒu kiÖn:
1n21n a...aaa
, víi mäi n 2.
Chøng minh d·y
1n
n
n
a cã giíi h¹n khi n vµ t×m giíi h¹n ®ã.
Gi¶i
Ta cã:
nnnn211n aaaa...aaa hay a2 < a3 < a4 < …
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
n1n1n211nnn a)2n(aa)1n(aa...aaaaa
n
a hay (*)
+) NÕu a1 < 1 th× 1a1a1aa n212
Tõ (*) 1naa)1n(a)2n(aa 1
nnnnn
21
1
n
n
n
1
1
n
1n
n
a
0
. V× 0
n
a
lim0
n
n
1
1
lim
1
n
n
2
n
n nª .
+) NÕu a1 1 th× an > 1, n 2
Tõ (*) suy ra 11
1
1
n
1
1
1
n
n
2n
n
a
n
2n
an
a
n
a
0
.
0
n
a
0
n
2n
n
a
lim
1
n
11
1
n
n
lim n nª .
Bµi 11. Cho d·y sè
n
(u )
®îc x¸c ®Þnh nh sau:
1
2
n 1 n n
u 0
u 5u 24u 1, n 1,2...
Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè nguyªn.
Gi¶i.
Tõ gi¶ thiÕt ta cã: 2
n 1 n n
(1) vµ u2 = 1.
2 2 2 2 2
n 1 n 2 n n 1 n n 1 n n 1 n
(1) u 25u 10u .u 24u 1 u u 10u .u 1 0 (2)
Trong (2) thay n bëi n -1 ta ®îc:
2 2 2 2
n n n 1 n 1 n 1 n n 1 n
u 10u .u u 1 0 u 10u .u u 1 0 (3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra un+1 vµ un-1 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2 2
n n
t 10u t u 1 0
Theo dông ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã:
n 1 n 1 n n+1 n n 1
u u 10u hay u 10u u
(4)
Tõ u1 = 0; u2 = 1 vµ (4) ta suy ra c¸c sè h¹ng cña d·y ®· cho ®Òu lµ sè nguyªn
Bµi 12. Cho d·y sè (un) víi un = -n4 + 8n3 – 0,5n2 + 4n, víi n N*. T×m sè h¹ng lín nhÊt cña d·y sè
®· cho.
Gi¶i.
a) XÐt hµm sè f(x) = -x4 + 8x3 – 0,5x2 + 4x, x 1.
Ta cã: f’(x) = -4x3 + 24x2 – x + 4.
NÕu x 6 th× f’(x) = 4x2(6 – x) + (4 – x) < 0;