1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRẦN THỊ ÁI HOA
ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIETE
VÀO GIẢI TOÁN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2011
2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Phản biện 1: TS. LÊ HẢI TRUNG Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH
Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011
Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Đa thức, phương trình là những khái niệm cơ bản và quan trọng
trong chương trình toán Trung học phổ thông. Bài toán tìm nghiệm của
ña thức, của phương trình ñại số ñã ñược các nhà toán học quan tâm
nghiên cứu trong nhiều thế kỷ. Mặc dù lời giải của các bài toán này cho
ñến nay chỉ mới tìm ñược ñối với các ña thức, phương trình ñại số có
bậc nhỏ hơn 5, nhưng nhiều tính chất về nghiệm của ña thức, của
phương trình ñã ñược phát hiện. Một trong những tính chất ñó là mối
liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của ña thức, của phương trình ñại
số, nó ñược thể hiện bằng một công thức nổi tiếng – Công thức Viète.
Ứng dụng của công thức Viète khá phong phú và hiệu quả.
Trong chương trình toán học phổ thông, học sinh ñã ñược học công
thức Viète ñối với tam thức bậc hai, tuy nhiên với một thời lượng
không nhiều và chỉ ở mức ñộ nhất ñịnh, hơn nữa sách giáo khoa cũng
không chỉ ra việc ñịnh hướng tìm tòi lời giải bằng việc ứng dụng công
thức Viète và cũng chưa chú trọng ñến việc rèn luyện kỹ năng này nên
học sinh thường lúng túng khi vận dụng công thức Viète ñể giải toán.
Bên cạnh ñó, trong các ñề thi tuyển sinh ñại học, thi học sinh giỏi trong
và ngoài nước thường có những bài toán mà lời giải của chúng có thể
tìm ñược thông qua công thức Viète.
Với mục ñích tìm hiểu và hệ thống hóa một cách ñầy ñủ những
ứng dụng của công thức Viète trong chương trình toán ở bậc phổ thông,
tôi chọn ñề tài “ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE VÀO GIẢI TOÁN
2 THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” cho luận
văn thạc sĩ của mình.
Luận văn gồm hai chương. Để thuận tiện cho người ñọc,
chương một nhắc lại một số kiến thức cơ bản về ña thức, ñặc biệt là các
ña thức ñối xứng và công thức Viète ñể làm tiền ñề cho chương sau.
Chương hai là nội dung chính của luận văn: Nghiên cứu, tìm hiểu việc
vận dụng công thức Viète ñể giải một số lớp bài toán trong các lĩnh vực
giải tích, ñại số, ña thức, hình học, lượng giác thuộc chương trình toán
bậc trung học phổ thông.
2. Mục ñích nghiên cứu
- Nghiên cứu các ứng dụng của công thức Viète trong chương trình
toán phổ thông.
- Hệ thống và phân loại một số bài toán có thể ứng dụng công thức
Viète ñể giải.
- Nhằm nâng cao năng lực tư duy cho học sinh cần thiết phải xây
dựng chuỗi bài toán từ bài toán gốc, cũng như xây dựng bài toán tổng
quát nhằm hướng ñến từng ñối tượng học sinh.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Những kiến thức cơ bản về tam giác, các công thức lượng giác,
các bất ñẳng thức quan trọng, các tính chất của ña thức, ña thức ñối
xứng, phương trình ñối xứng.
- Công thức Viète và các ứng dụng trong chương trình toán bậc phổ
thông.
- Các bài toán có thể ứng dụng công thức Viète.
3
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu về công thức Viète và các kiến thức
liên quan, như sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí toán học, cùng
một số tài liệu khác từ Internet.
- Thông qua thực tế giảng dạy ở trường trung học phổ thông ñể
tổng kết rút ra những kết luận cần thiết. Kết hợp những kiến thức ñã ñạt
ñược trong quá trình thu thập thông tin ñể hệ thống và ñưa ra các bài
toán có thể giải ñược bằng công thức Viète.
- Thảo luận, trao ñổi với người hướng dẫn luận văn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài
Công thức Viète và các ứng dụng của nó có vai trò quan trọng,
mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan ñến nghiệm của
phương trình ñại số một cách phong phú, ña dạng như: các bài toán
liên quan ñến hàm số, chứng minh các hệ thức ñại số, tìm giá trị lớn
nhất – giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải phương trình và hệ phương
trình không mẫu mực, chứng minh các bài toán lượng giác, hình học….
Việc dạy công thức Viète và các ứng dụng của nó trong chương
trình toán học phổ thông có ý nghĩa ñặc biệt là: làm cho học sinh hiểu
sâu sắc hơn về các nghiệm của một phương trình ñại số. Nêu ñược quan
hệ ñịnh tính, ñịnh lượng giữa các nghiệm số với các hệ số của một
phương trình ñại số. Giúp học sinh nhìn nhận các bài toán trong mối
liên hệ sinh ñộng của sự ràng buộc giữa biến số và tham số; giữa hằng
và biến, phần nào giúp học sinh nâng cao chất lượng học tập môn toán.
4
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận
văn gồm có các chương như sau :
Chương 1 - ĐA THỨC
Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC
VIÈTE
Chương 1
ĐA THỨC
1.1. VÀNH ĐA THỨC MỘT ẨN
Giả sử A là một vành giao hoán, có ñơn vị ký hiệu là 1. Ta gọi
)
A˛
,...,
,...
P là tập hợp các dãy (
trong ñó
với mọi i ˛ (cid:1)
ia
a a 1, 0
a n
0
và
ia = tất cả trừ một số hữu hạn.
Trên P ta ñịnh nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau
=
+
+
+
+
)
(
)
)
(
a
,...,
,...
,...,
,...
,...,
,...
(1.1)
, a a 0 1
n
, b b 0 1
b n
a 0
, b a 0 1
b 1
a n
b n
( (
)
(
) =
(
)
a
,...,
,...
,...,
,...
,...,
,...
(1.2)
, a a 0 1
n
, b b 0 1
b n
, c c 0 1
c n
=
+
=
=
+ + ...
k
0,1,2,...
với
·
c k
a b 0 k
a b 1 k
1
a b 0 k
a b i
j
∑
+ = j k
i
Vì các
ia và
ib bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn nên các
a i
b+ và i
ic cũng bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, nên (1.1) và
(1.2) xác ñịnh hai phép toán trong P .
-
5
Tập P cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên là một vành ) 0,0,... ,
)
1,0,0...
.
giao hoán có ñơn vị. Phần tử không của phép cộng là dãy ( phần tử ñơn vị của phép nhân này là (
=
(
)
x
0,1,0,...,0,...
P
Xét dãy
Theo quy tắc của phép nhân trong P , ta có
n
x
=
0,0,...,0,1,...,0,... 14243 n
0
)
x =
( 1,0,0,...,0,...
Ta quy ước
˛
Mặt khác, xét ánh xạ : A
)
a
P ( aa
,0,...,0,...
Dễ dàng kiểm chứng ñược ánh xạ này là một ñơn cấu vành, do
)
a
,0,0,...
P˛
ñó ta ñồng nhất phần tử a A˛
với dãy (
và xem A là
)
a ,...
trong ñó các
một vành con của vành P . Vì mỗi phần tử của P là một dãy ( 0ia = tất cả trừ một số hữu hạn, nên mỗi
n
)
,0,...
a
A˛
trong ñó
(không
a 0 ,...,
n
a 0 ,..., n a )
a
, 0, 0,...
và việc ñưa vào
a a 1, ,... 0 phần tử của P có dạng ( nhất thiết khác 0 ). Việc ñồng nhất a với (
=
+
dãy x cho phép ta viết )
(
(
)
(
)
(
)
a
a
,0,...
,...,
,0,...
0,
,0,...
+ + ...
0,...,
,0,...
a 0
n
a 0
a 1
n
=
+
)
(
(
)
(
)(
)
,0,...
)( ,0,... 0,1,0,...
+ + ...
,0,... 0,..., 0,1, 0,...
a 0
a 1
a n
n
0
n
=
+
+
+
=
+
...
+ + ...
a 0
a x 1
a x 0
a x 0
a x n
a x n
fi
6 Định nghĩa 1.1. Vành P ñược ñịnh nghĩa như trên, gọi là vành ña
thức của ẩn x lấy hệ tử trong A , hay vắn tắt là vành ña thức của ẩn x [ ]A x gọi là các ña thức của ẩn
[ ]A x . Các phần tử của
trên A , ký hiệu
( ) ( ) f x g x ,
,...
x lấy hệ tử trong A và thường ký hiệu là
0
n
=
+
( ) f x
+ + ...
Trong một ña thức
, các
a x 0
a x 1
a x n
ia , với
i
=
i
0,1,...,
n
gọi là các hệ tử của ña thức, các
ia x gọi là các hạng tử của
0
a=
ña thức, ñặc biệt
gọi là hạng tử tự do.
a x 0
0
1.2. VÀNH ĐA THỨC NHIỀU ẨN
Định nghĩa 2.1. Giả sử A là một vành giao hoán có ñơn vị. Ta ñặt
=
=
=
]
]
[
]
,
, ….
A 2
[ A x 1 2
A n
A n
1
x n
A 1
[ A x 1
[
]
]
Vành
ñược kí hiệu
và gọi là
A n
-= A n
1
x n
[ A x x 2, 1
x ,...., n
vành ña thức của n ẩn
x lấy hệ tử trong A . Mỗi phần tử của
x 1,...., n
x
( g x
( f x
x lấy hệ tử trong A và thường nA gọi là một ña thức của n ẩn 1,...., n ) ) x …
kí hiệu là
hay
x 1,...., n
1,...., n
-
...
Từ ñịnh nghĩa trên ta có dãy vành:
= (cid:204) A A A 1
0
A 2
A n
1, 2,....
i =
Trong ñó
là vành con của vành
1iA -
iA ,
Từ tính chất của hai phép toán trong một vành và bằng quy nạp
ta chứng minh ñược mọi ña thức
(cid:204) (cid:204) (cid:204)
)
]
ñều có thể viết dưới dạng
[ A x x 2, 1
x ,...., n
( f x x 2, 1
x ,...., n
a 12
a 1
n
a 22
a 2
n
˛
)
( f x x 1 2
a c x 11 1 1
1
2
a m
a mn
a c x 21 2 1 +
= + , ,...., ... .... x n x 2 x n x 2 x n
a c x m 1 m
+ .... .... x 2 x n
7 1, 2,....,
với
,
, là những số tự nhiên và
ic A˛
= i m
(
2ia , …., 1ia , ( )
ina , )
; các
khi i
jn
j
1
ic gọi là các hệ tử,
1
a i
2
a in
)
„ „ ,...., ,....., a a j a i 1 a in
gọi là các hạng tử của ña thức
. Đa
a c x i 1 i
( f x x 2, 1
)
.... x 2 x n x ,...., n
thức
( f x x 2, 1
tất cả.
,...., 0 = khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng không x n
1.3. ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC VIÈTE
1.3.1. Đa thức ñối xứng
Định nghĩa 3.1. Giả sử A là một vành giao hoán có ñơn vị,
)
]
[ A x
( f x
là một ña thức của vành
.
Ta nói
)
( f x
thức ñối xứng của n ẩn nếu
x 1,..., n x 1,...., n
x 1,...., n
)
)
, với mọi phép thế t
là một ña ( f x t
( f x x 1 2
(1)
(2)
n ( )
t
t
t
= , ,...., , x t x ,...., t x n
=
)
1 ( ) 1 .... t .... n ( ) n
trong ñó
có ñược từ
bằng
( f x t
(1)
(2)
n ( )
( f x x 2, 1
2 ( ) 2 ) , x t x ,...., t x ,...., n
)
thay
,
.
cách trong
( f x x 2, 1
ix bởi
( )ixt
]
[ A x
= i 1, 2,..., n x ,...., n
Định lý 3.1. Tập con gồm các ña thức ñối xứng của vành
]
[ A x
là một vành con của vành
.
x 1,..., n
Các ña thức
s
x 1,..., n
1
s
= + + + .... x 1 x 2 x n
2
1
s
= + + + .... - x x 1 2 x x 1 3 x n x n
3
2
1
= + + + .... - - x x x 1 2 3 x x x 1 2 4 x n x n x n
8
…
s
k
∑
< < <
...
i 1
i 2
i k
…
s
= = ... , k 1,2,..., n x x i i 1 2 x i k
n
1
1
2
s
= + + + ... .... ... ... - - - x x 1 2 x n x x 1 2 x n x n x x 2 3 x n
n
là các ña thức ñối xứng và gọi là các ña thức ñối xứng cơ bản ñối với n
= x x 1 2 .... x n
ẩn 1
)
]
( g x
[ A x
Giả sử
là một ña thức của
, phần tử
, ...., x x , 2 x . n
s
1,..., n x )
]
[ A x
( g x
của
có ñược bằng cách trong
,
x 1,...., n
thay 1x bởi
1
s
s
, …,
gọi là một ña thức của các ña thức ñối xứng
2x bởi
2
n
)
s ,...,
cơ bản, kí hiệu là
.
nx bởi ( g s s , 1
2
n
s
s ,...,
Vì
là những ña
thức ñối xứng nên
1
2
n
s , )
s ,...,
cũng là một ña thức ñối xứng theo ñịnh lý 3.1.
n
( g s s , 1
2
x 1,..., n x 1,...., n
1.3.2. Công thức Viète
n
n
1
n k
Cho ña thức bậc n: ( ) f x
(1.3)
lấy hệ tử trong trường T . Giả sử
( ) f x có trong T hoặc trong một mở
rộng nào ñó của T , tức là một trường nào ñó chứa T làm một trường
a , ...,
- - = + + + ... + + ... a x k a n a x 0 a x 1
. Khi
ñó
ta
có
:
a a , 1
2
n
n
a
a
nghiệm )(
(
)
con, ( ) f x
a x
(1.4)
( a x 0
1
) 2 .....
n
Khai triển vế phải và so sánh các hệ tử của các lũy thừa giống
= - - - x
9 nhau trong (1.3) và (1.4) ta sẽ ñược các công thức sau và gọi là
công thức Viète ñối với ña thức bậc n .
a
a
(
)
n
….
( = -
= - + a .... + 1 + 2 a 1 a 0
∑
aa i 1
a i 2
i k
< < <
...
) k 1 . i 1
i 2
i k
….
n
aa
( = -
) 1
... a k a 0
a 1 2
n
Chú ý rằng vế phải của công thức Viète là những ña thức ñối
a , ...,
xứng cơ bản ñối với các biến
a a , 1
2
n
.... a n a 0
Chương 2
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC VIÈTE
2.1. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI
TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ
4
4
6
= - y x + x + 26 x
Bài toán: Cho hàm số
.
Xét tam giác mà các ñỉnh là các ñiểm cực trị của hàm số nói
trên. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ấy là gốc tọa ñộ.
Giải
)
;
1,2,3
Giả sử
là các ñiểm cực trị với
( M x i i
i = y i
10
)
( G x
là trọng tâm của tam giác
;G
1
+
+
x 1
x 3
=
x G
y G M M M 2 3
+
+
y 1
y 3
=
y G
x 2 3 y 2 3
3
=
(cid:219)
y
'
4
x
+ x
6
= 4
0
.
ix là nghiệm của phương trình bậc ba:
Áp dụng công thức Viète, ta có:
+
+
=
0
x 3
= -
x 2 +
+
3
0
x x 3 1
⇒ = x G
x x 2 3 = -
.
1
x 1 x x 1 2 x x x . 1 2 3
=
(
)
:
y
0
Tính
y i
' i
x i
'
2
=
-
(
)
y
3
x
2
x
x
(chia y cho y’)
= -
- - -
)
)
2
⇒ = y i
( 23 x i
x i
y 4 ( y x i
= -
- -
)
)
(
6
Gy
+ 2 x 1
+ 2 x 2
2 x 3
( + x 1
+ x 2
x 3
2
= -
- -
(
)
(
)
2
= 6
0
+ x 1
+ x 2
x 3
+ x x 1 2
+ x x 2 3
x x 3 1
- -
)
( G 0;0
G
O
Vậy
gốc tọa ñộ.
(cid:219) ”
2.2. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI
TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài toán: [Đề tuyển sinh ĐH – CĐ khối A, năm 2006]
Cho hai số
thực
thay ñổi
thỏa mãn
:
x
0,
y
0
2
2
+
=
+
„ „
(
x
) y xy
x
y
xy
-
11
=
+
A
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 3 x
1 3 y
Giải
+
=
Đặt
m
1 3 x
1 3 y
x
0,
y
0
Với
, xét hệ phương trình:
2
2
+
=
+
„ „
(
x
) y xy
x
y
xy
+
=
m
1 3 x
1 3 y
2
2
+
=
+
-
x
x
y
xy
2
2
-
+
)
x
y
y
xy
=
m
3
) y xy )( x (
+ )
xy
( (
2
2
(cid:219) -
(
2
= + - x x y xy
) y xy )
2
+
=
+
(cid:219) = m y 3 + ( xy x ( + ) xy
(
)
(
x
) y xy
x
y
3
xy
2
-
(
) 2.1
x
=
m
xy
+ y
(cid:219)
Đặt
= + x S = P xy
Theo công thức Viète ñể
,x y sẽ là hai nghiệm thực của
2
y
phương trình
thì
,S P phải thỏa mãn ñiều kiện
t
= + St P
0
2
-
4
.
‡ S P
2
12 P
3
= SP S
2
-
(
)2.1
(
)2.2
m
S P
=
(cid:219)
)2.1
0,
0
Hệ (
hệ (
)2.2 có nghiệm
có nghiệm
2
„ „ (cid:219) x y
(
)
4
;S P thỏa mãn:
.
2
2
+
‡ S P
Do
= SP x
y
= xy
0,
x
0,
y
0
x
y
> 2 y
1 2
3 4
2 +
Từ ñó :
- Nếu
thì hệ (
)2.1 vô nghiệm
0m £
- Nếu
0m > thì từ phương trình
2
- - " „ „
m
m
⇒ = S
m P .
=
S P
S = P
Thay vào phương trình ñầu của hệ (
)2.2
Ta ñược:
2
2
=
(cid:219)
( >
)
- (cid:219) - „
(
m P .
m P .
3
P
m
) = m P
3
SP
0,
P
0
Để có P từ phương trình này thì: (
)
m
> 1
m
m
0
m
0
3
=
Vậy
P
⇒ = S
- „ (cid:219) „
3 m
1
( m m
) 1
2
- -
)
S
4
P
)2.2 có nghiệm (
;S P thỏa mãn
khi và chỉ
Hệ (
2
3
12
‡
khi :
m
1
‡ - -
( m m
) 1
13
2
-
(
4
m
) 1
3
(cid:219) ‡ -
(cid:219) ‡ -
( m m (
4
) 1 ) 1
3
m m
4
(cid:219) £ m
(
< 0
m
16
m
) 1
A =
Vậy giá trị lớn nhất max
16.
(cid:219) £ „
2.3. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC
BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài toán: Giải phương trình sau :
2
3
3
3 7
8
1
2
(
)2.3
- - + - 1 - = 2 8 x x - + x x x
Giải
2
2
3
3
3 7
1,
8 ,
8
1
= + = - = - - - - u x v x x w x x
Đặt
=
Đặt
Theo giả thiết, ta có : +
+ + v w + + vw wu a u b = uv = c uvw
⇒ =
2
2
3
3
+ = u v w a
8
3 w
và
3
+ + = u v
) 3
Mặt khác (
2
3
+ + = u v w a
3
2
= (cid:219) + 2 w u
)
3
3 + 2 v w 3
+ 2 v w 3 + 2 (cid:219) - + 2 u v 3 ( + 3 u + 3 u + + 3 3 w v = + 3 3 v w + 2 u w+ 3v u 3 + 2 u v 3 a u w+ 3v u 3 + 2 w v 3 + 2 w u uvw a 6 + 2 w v 3 uvw 9
+ uvw 3
)
)
3 3
( + + vw u v w 3
( + + wu u v w 3
14 ( ) + + uv u v w
(cid:219) - - - + 3 u + 3 v = 3 w a
+ uvw 3
)( +
)
(cid:219) - a u v w uv + + vw wu uvw 3
( + + 3 3 + 3 3 ab
3
(cid:219) - + 3 u + 3 u + 3 v + 3 v = 3 w = 3 w a c 3
⇒
⇒
8
,
,
= - a + ab 3 = c 3 c b 2
Theo công thức Viète thì
3
u v w là ba nghiệm của phương trình
(
)
2.4
0
:
2
- - X = b 2
(
2
0
Ta nhận thấy phương trình (
)2.4 có nghiệm
2X = .
,
,
Do tính chất ñối xứng nên
(cid:219) - bX ) + 22 X )( + X = b X
2
u v w có thể nhận giá trị 2 ñó.
i, Trường hợp
u =
8
1
Ta có : 7
1
(cid:219) + = 1 x = x
Thay giá trị
2
nghiệm ñúng phương trình ñã cho. v =
ii, Trường hợp
0
x = vào phương trình ñầu ta thấy giá trị x = 1
Ta có :
+ + = 2 x 8
x
8
( = x x
) 1
0
1
= x = x
x =
0
x =
0
Thay giá trị
vào phương trình ñầu ta thấy giá trị
nghiệm ñúng phương trình ñã cho.
2w =
iii, Trường hợp
= -
x
1
2
- (cid:219) - (cid:219)
Ta có:
x
x
- = x 1
8
8
- = 2 x 8
9
0
=
x
9
- (cid:219) - (cid:219)
15 x =
x = -
1
9
Thay giá trị
và
vào phương trình ñầu ta thấy
1
x =
9
giá trị
ñều nghiệm ñúng phương trình ñã cho. }
{ S = -
1; 0; 1; 9
x = - và Vậy phương trình (
)2.3 có 4 nghiệm :
.
2.4. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC
BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài toán : Giải hệ phương trình :
=
z
2
-
xy
3 yz
9 = xz
y 6
3
27
(
)2.5
+
=
- -
1
1 x
1 y 2
1 z 3
+ x 2
-
Giải
Hệ phương trình (
)2.5 không phải là hệ ñối xứng theo ,
x y z . ,
=
=
= -
u
x v ,
2 ,
y w
3
z
Tuy nhiên nếu ñặt
, thì ta có hệ ñối xứng
(
)2.6
+ + = 9 u = 27
+ + = 1 uv 1 u v w + + vw wu 1 v 1 w
Đặt
.
= + + = + + = a v w b , u uv vw wu c , uvw
Khi ñó hệ (
)2.6 trở thành
= 9 9 a = (cid:219) 27
27 27 = a = b = c = 1 b b c
16 Áp dụng công thức Viète thì
3
, , u v w là ba nghiệm của phương
(
)3
t
+ 29 t
27
t
= 27
0
= t
3
0
trình :
=
=
= =
3
t
u
v w
= nên
2
3
)
x y z ;
;
Vậy ta có 1 t t Từ ñó ta tìm ñược nghiệm (
= . 3 của hệ (
)2.5 là:
- - (cid:219) -
1;
1; 3;
3 2
3 2
3 2
3 2
- - - - ; 3 , , 3 ; 1; , ; 3 ; 1 ,
3;
; 1
; 1 ; 3
.
3 2
3 2
- -
2.5. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
3
2
+
+
+ =
(
)
ax
bx
cx d
0
a
0
„
Bài toán: Cho phương trình
có ba
,
nghiệm dương
x x , 1 2
x . 3
+
+
Chứng minh rằng
7 x 1
7 x 2
7 x 3
3 2 b c 581 a
‡ -
Giải
Theo công thức Viète ta có :
+
+
= -
0
x 1
x 2
x 3
b > a
+
+
=
>
0
x x 1 2
x x 2 3
x x 3 1
c a
Bất ñẳng thức Bunyakovski cho ta :
+
+
+
+
(
)
< 0
2.7
x x 1 2
x x 2 3
x x 3 1
+ 2 x 1
+ 2 x 2
2 x 3
2 x 1
2 x 2
2 x 3
c a
2
2
+
+
<
+
+
£ (cid:219) £
(
)
(
)
(
)
3
0
2.8
x 1
x 2
x 3
+ 2 x 1
+ 2 x 2
2 x 3
2 x 1
2 x 2
2 x 3
2
b a 3
£ (cid:219) £
2
<
(
)
0
Từ (
)2.7 và (
17 )2.8 ta suy ra:
+ 2 x 1
+ 2 x 2
2 x 3
2 b c 3 a 3
2
+
+
£
Áp dụng bất ñẳng thức Bunyakovski ta lại có : )
(
)
)( ( + + 1 1 1
+ 4 x 1
+ 4 x 2
2 x 3
2 x 2
2 x 1
4 x 3
£
(
)
2.9
+ 4 x 1
+ 4 x 2
4 x 3
2 b c 3 a 9
,
0
x > nên suy ra :
Vì 1
x x , 2
3
2
2
+
+
=
+
+
(
)
4 x 1
4 x 2
4 x 3
1 7 x x . 2 2 1 1
1 7 x x . 2 2 2 2
1 7 x x . 2 2 3 3
£ ⇒ < 0
(
)
)(
)
+ x 1
+ x 2
+ 7 x 1
x 3
+ 7 x 2
7 x 3
)
Từ (
)2.9 và (
£ ( 2.10
2.10 ta ñược :
(
)
+ 7 x 1
+ 7 x 2
7 x 3
b a
4 2 b c 681 a
+
+
£ -
7 x 1
7 x 2
7 x 3
3 2 b c 581 a
+
+
(cid:219) - £
Vậy ta có :
.
7 x 1
7 x 2
7 x 3
3 2 b c 581 a
=
=
= -
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 x
x 2
x 3
b a 3
‡ -
2.6. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG ĐA THỨC
Bài toán: Giả sử một trong các nghiệm của ña thức
3
2
=
+
+
x
ax
bx
c
( ) P x
+ (với
a b c ˛ Z ) bằng tích của hai nghiệm ,
kia.
+
,
(
( ) 1
) 1
( + 2 1
) ( ) 0 .
P
( ) 1P -
P
P
Chứng minh rằng
chia hết cho
- - 2
18
Giải
là ba nghiệm
của ña
thức
Gọi
x 1
x 2
x 3
3
2
=
+
+
( ) P x
x
ax
bx
+ . c
Theo giả thiết của bài toán một trong các nghiệm bằng tích của
x x=
hai nghiệm kia, giả sử
.
x 3
1 2
Áp dụng công thức Viète ta có :
, ,
2 2 x x 1 2
+ = - + + a a + x 2 + = (cid:219) b x 2 ( + 1 b x x x 1 2 1 = - x x 1 2 ) = + x x 2 1 x x 1 2 x x x 2 1 2 = - = - c x 1 x x 1 2 x x x x 1 2 1 2 c + x 1 x x 1 2
) =
)
( 1
Từ ñó
( + + x 1 1
= - - b c a x x 1 2 + x 2 x x 1 2 x x 1 2
i, Với
là số hữu tỉ.
thì 1 2 x x
2
- = a „ 1 - b c a 1
Mà
là số nguyên do ñó 1 2x x cũng là số nguyên.
2x x
2 1
= - c
( + - + - +
) +
)
Ta có ( ) ( 1
) 1
( + 2 1
( 2 1
) ( ( ) = + + + 0 1 = - +
+ - - - P P P a b c c
)
) ( 2 1
+ - 1 ) 2 2 = - a = - a a b c ( + 2 1 + x 1 x 2 x x 1 2
)
( + 2 1
)( + 1
(
) 2.11
Mặt khác
= - „ 0. x 1 x 2
(
)
2
P
) = 1
( - + - + 1 2
a b c
= -
+
-
)
2
1
( 1
x 1
x 1
x 2
2 2 x x 1 2
+ x x 1 2 )
(
)
x 2 )( + 1
x x 1 2 )( + 1
2.12
x 2
x 1
( + = - 2 1 2.11 và ( )
x x 1 2 ) 2.12 ta có:
Từ (
- - - - - -
(
)
(
)
) - = 1
2
P
( + 1
( ) + 1
P
P
) 1
( + 2 1
( ) 0
P
x x 1 2
.
- -
19
=
+
⇒
1
.
x x 1 2
+
-
2 (
)
( ) 1
( P ) 1
) 1 ( + 2 1
( ) 0
P
P
P
1 x x+
Vì 1 2x x là số nguyên nên
1 2
+
- -
(
2
( ) 1P -
cũng là số nguyên. ( + 2 1
( ) 1
) 1
P
P
) ( ) 0 .
P
chia hết cho
Do ñó
+
+
= -
+
+
1
(cid:219) + 1
1
0
ii, Với
a = thì 1 x
x 2
x x 1 2
x 1
x 2
= x x 1 2
- -
)
( + 1
)( + 1
Suy ra
( )P x có một nghiệm bằng -1.
= - 1 (cid:219) (cid:219) x 1 x 2 = - 1 x 1 x 2
(
(
) = ⇒ 0 1
) - = 1
Hay
- P 2 P 0.
(
( ) 1P -
( ) 1
) 1
( + 2 1
) ( ) 0 .
Do ñó
chia hết cho
+ - - 2 P P P
(
)
( ) 1
) 1
( + 2 1
( ) 0
Vậy số
chia hết cho số
( ) 1P -
2
+ - - P P P
với
2
, a b c ˛ Z . ,
. Một ñường thẳng bất kỳ ñi qua
)P :
x= 4 y
2.7. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG HÌNH HỌC Bài toán: Cho Parabol (
tiêu ñiểm của Parabol ñã cho và cắt Parabol tại hai ñiểm phân biệt A
và B . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B ñến trục
hoành là một ñại lượng không ñổi.
Giải
2
) P y :
Parabol (
có tham số tiêu
)
( 1; 0
= 2.2 x 2 p = và tiêu ñiểm
.
)
F
Gọi ñường thẳng ñi qua tiêu ñiểm ( F
của Parabol là (
)d .
1; 0
20
(
):
i, Đường thẳng (
)d song song với trục Oy
⇒ d x = . 1
)
)
( 1;
( 1; 2
Lúc ñó (
)d cắt (
)P tại hai ñiểm
và
.
- A 2 B
AF BF . ii, Đường thẳng (
)d không song song với trục Oy , khi ñó ñường
= = ⇒ 2.2 4.
( k x
)1 ,
)d có phương trình
với
(vì (
)d cắt (
)P
thẳng (
tại hai ñiểm phân biệt).
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (
)P là :
2
2
2
2
2 =
= - y k „ 0
(
(
)d với ( )
) 1
2 k x
= - (cid:219) - k x 4 x + 2 k + 2 x k 0
Ta có
. Do ñó (
)d luôn cắt (
)P tại
hai ñiểm phân biệt.
x lần lượt là hoành ñộ của A và B .
Gọi
,x 1
2
" „ D = ' 4 k + > 2 4 0, k 0
)
)
Như vậy
, với
( A x 1
( B x 2
2
) 1 ) 1
2
( k x 1 ( k x 2
2
- ; , ; y y 1 = - y = y 1
(
(
)
(
) d A Ox d B Ox .
)( 1
) 1
Ta có
2
2
= = - - ; ; k y y . 1 x 1 x 2
(
)
= k + - 1 x x 1 2 + x 1 x 2
2
Theo công thức Viète , ta có :
(
)
2
2
+
(
)
2
k
2
2
=
= -
k
= 4
4.
Nên
y y . 1
2
2
k
+ - 1 1
= 1 x x 1 2 + 2 k 2 + = x 1 x 2 k
21
Vậy tích các khoảng cách từ A và B ñến trục hoành là một
ñại lượng không ñổi.
2.8. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC
BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC
,
Bài toán: Cho
,p r R lần lượt là nửa chu vi, bán kính ñường tròn nội
tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC .
2
p
+ 23 r
12 .
r R
Chứng minh rằng :
.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
B
‡
Giải
P
M
r
r I
r
C
A
=
Xét AMI
N vuông tại M , ta có cot
AM IM
A 2
=
⇒
= AM IM
.cot
r
.cot
A 2
A 2
+
+
D
=
p
= a
Và
+ - b c a 2
+ AN CN AM BM CP BP 2
=
=
- - -
= AM AN BM BP CN CP
,
,
p
= a
= AM r
.cot
Mà
nên
A 2
-
(
)
p
=
(
⇒ = r
p
) tan
a
A 2
cot
a A 2
- -
22
Ta có
(
) 2.13
2
2 tan A 2 = = sin A a R 2 + 1 tan A 2
Thay tan
vào (
) 2.13 :
2
(
)
r - r 2 p = = - p a A 2 a 2 R a 2 r + 1 - p a
)
( r p
2
(
)2 +
2
2
- 2 a (cid:219) - a = R 2 p a r
)
( a p
3
2
2
2
(cid:219) - - + 2 pa + 2 a = ar 4 rRp 4 rRa
( + p
) rR a
(cid:219) - - a + pa 2 + r 4 = rRp 4 0
Tương tự với
3
, , ,b c và ta có a b c là nghiệm của phương
(
) rR x
trình :
+ 2 + 2 + 2 - - x 2 px p r 4 = rRp 4 0
Theo công thức Viète :
2
2
Mặt khác, áp dụng bất ñẳng thức Bunyakovski:
2
2
2
+
+
+
+ + = 2 c + p = + + a b + ab bc ca p r 4 rR
(
)
)
b
ca
2
‡
c )
)
( a ( + + a
b c
3
+ ab bc ( + + ab bc
ca
2
+ 2
+ 2
(cid:219) ‡
)
⇒
4
p
3
r
4
rR
2
( p + 2
‡
⇒
p
r 3
12
rR .
=
=
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b
b c
c a
=
⇒ = a
b
c
hay ABC là tam giác ñều.
‡
23
Các bài toán tương tự
3
3
=
+ 2
y
x
ax 3
4
a
-
1. Cho hàm số
. Xác ñịnh a ñể ñường thẳng
y
x=
cắt ñồ thị hàm số tại ba ñiểm
,A B C với AB BC= ,
.
=
x
y+
4
2. Cho hai số thực không âm
,x y thỏa mãn ñiều kiện
.
Tìm giá
trị nhỏ nhất, giá
trị
lớn nhất của biểu
thức
=
Q
+ + 1
x
y
+ . 9
+
+
=
- -
3. Giải phương trình:
.
++ x
1
8
x
1(
x
8)(
x
)
3
= 4 1 y 1 x
4. Giải hệ phương trình
2
2
+ + + = y x 4 1 2 x 1 2 y + + + x y
,
5.
Gọi
là ba nghiệm của phương trình bậc ba
3
2
,m n p
Chứng minh rằng :
+ + ax bx - = cx a 0.
2
2
+ 2 3 + ‡ + 2 m n p . 2 + m 3 + n p
a > 0 , ,
6. Cho ba số nguyên
a b c , biết rằng
2ax
, còn ña thức )0; 1 . Chứng
+ bx c + có hai nghiệm khác nhau trên khoảng (
minh rằng
Tìm ít nhất một cặp số
0
0
0
a ‡ 5. a = 5. ,b c ñể
6 tan 20
6 tan 40
6 tan 80
+ + = 33273.
7. Chứng minh rằng:
24 KẾT LUẬN
Luận văn “ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE VÀO GIẢI
TOÁN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” ñã
thực hiện ñược các vấn ñề sau:
1. Xây dựng vành ña thức một ẩn, nhiều ẩn lấy hệ tử trong một
trường. Đặc biệt là vành các ña thức ñối xứng, từ ñó giới thiệu công
thức Viète tổng quát.
2. Trên cơ sở các tài liệu toán học, ñặc biệt tài liệu về công thức
Viète, ña thức và ña thức ñối xứng, luận văn ñã sưu tầm, hệ thống và
phân loại ñược một số lớp bài toán giải ñược bằng công thức Viète. Cụ
thể là: các bài toán liên quan ñến hàm số, bài toán tìm giá trị lớn nhất –
giá trị nhỏ nhất, các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng
minh bất ñẳng thức, các bài toán ña thức, các bài toán hình học, lượng
giác.
3. Đối với mỗi lớp bài toán, ngoài những ví dụ minh họa nhằm
làm sáng tỏ khả năng ứng dụng phong phú và linh hoạt của công thức
Viète, còn có các bài toán tương tự từ dễ ñến khó dành cho học sinh các
lớp chọn, lớp chuyên.
Hy vọng rằng nội dung của luận văn còn tiếp tục ñược hoàn
thiện và mở rộng hơn nữa nhằm thể hiện sự ứng dụng ña dạng và hiệu
quả của công thức Viète.
