1
UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA TOÁN
----------
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Tên đề tài:
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP
Sinh viên thực hiện
NGUYỄN THỊ BÍCH HƯƠNG
MSSV: 2113010110
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN HỌC
KHÓA 2013 – 2017
Cán bộ hướng dẫn
ThS. DƯƠNG THỊ THU THÚY
MSCB: T34-15111.26647
Quảng Nam, tháng 05 năm 2017
2
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nguyên lý Dirichlet do nhà toán học Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
(1805 – 1859) đề xuất, tuy đơn giản nhưng có nhiều ứng dụng trong lập luận giải
toán. Nguyên lý Dirichet được phát biểu dưới dạng cơ bản như sau: “Nếu nhốt 1n
con thỏ vào n cái chuồng thì luôn tồn tại một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ”.
Ngoài việc phát biểu dưới dạng cơ bản trên nguyên lý này còn được phát biểu dưới
nhiều dạng như dạng tập hợp, dạng mở rộng…
Trong toán học, có một số bài toán mà ta dùng rất nhiều phương pháp khác
nhau để giải mà chưa có kết quả, nhưng nhờ nguyên lý Dirichlet mà bài toán trở nên
đơn giản hơn và trực quan hơn rất nhiều. Với nguyên lý này giúp ta dễ dàng chứng
minh được sự tồn tại của một đối tượng với tính chất xác định. Đặc biệt nó là công
cụ hữu ích để giải các bài toán tổ hợp, hình học tổ hợp, bài toán bất đẳng thức, bài
toán số học… và trong đề thi của các kỳ thi học sinh giỏi cũng như Olympic toán
quốc tế, nguyên lý này được áp dụng rất nhiều để giải các bài toán khó. Và với việc
sắp trở thành một giáo viên giảng dạy bộ môn toán, tôi mong muốn bản thân mình
có một tài liệu riêng để làm hành trang cho công việc giảng dạy, tôi chọn đề tài:
“Ứng dụng nguyên lý dirichlet giải một số dạng toán sơ cấp” để làm đề tài nghiên
cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Khóa luận được hoàn thành với mục tiêu nghiên cứu ứng dụng của nguyên lý
Dirichlet để giải quyết một số bài toán sơ cấp.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài: ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số
dạng toán sơ cấp.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu trong phạm vi ứng dụng của nguyên lý Dirichlet
để giải bài toán tổ hợp, bài toán hình học tổ hợp, bài toán bất đẳng thức và bài toán
số học.
3
4. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp tài liệu
- Trao đổi với giáo viên hướng dẫn.
5. Đóng góp của đề tài
Đề tài được nghiên cứu nhằm mục đích cung cấp hệ thống một số bài tập từ
khó đến dễ ở các dạng bài tập tổ hợp, hình học tổ hợp, bất đẳng thức và bài toán số
học được giải bằng nguyên lý Dirichlet.
6. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận được chia làm hai
chương.
Chương 1. Giới thiệu các dạng phát biểu của Dirichlet.
Chương 2. Trình bày ứng dụng của nguyên lý Dirichlet giải các bài toán sơ
cấp.
4
PHẦN 2. NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số kiến thức liên quan
1.1.1. Một số kiến thức về tổ hợp.
Định nghĩa 1.1. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1nk
. Khi lấy ra k phần
tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n
phần tử của A.
Định lý 1.1.
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1kn
:
12... 1
k
n
Ann n nk

Chứng minh:
Việc lập một chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được coi như một
công việc gồm k công đoạn. Công đoạn một là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất.
Công đoạn hai là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai,… Công đoạn k là chọn phần
tử xếp vào vị trí thứ k. Vì tập hợp có n phần tử nên công đoạn một có n cách chọn.
Sang công đoạn hai chỉ còn 1n
phần tử nên có 1n
cách chọn. Tương tự công
đoạn ba có 2n phần tử nên có 2n
cách chọn… ở công đoạn cuối (công đoạn thứ
k) có 1nk
cách thực hiện. Theo quy tắc nhân, ta có
1 2 ...nn n
1nk
cách lập ra một chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử.
Định nghĩa 1.2. Tổ hợp
Một tổ hợp chập kcủa n phần tử cho trước là một bộ không có thứ tự gồm k
phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho
kn
.
Định lý 1.2.
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử nk
1 là:
12... 1
!!
k
kn
n
nn n n k
A
Ckk


5
Chứng minh:
Mỗi cách sắp xếp thứ tự các phần tử của một tổ hợp chập k của A cho ta một
chỉnh hợp chập k của A. Nói cách khác, mỗi hoán vị của một tổ hợp chập k của A
cho ta một chỉnh hợp chập k của A. Vậy từ một tổ hợp chập k của A ta lập được !k
chỉnh hợp chập k của A. Vậy ta có:
!kCA k
n
k
n hay
!
1...21
!k
knnn
k
A
C
k
n
k
n
1.1.2. Nguyên lý bù trừ
Cho tập X và n tập con ,...,
12
,n
XX X
. Ta có :
1
12
1
... ( , )
(1)
nk
n
k
XX X Xnk

Trong đó: (,0)Xn X
12
1
1 ...
( , ) ... k
k
ii i
iin
Xnk X X X


Chứng minh.
Với n=2, ta có : 12 1 2 12
XX X X XX .
Giả sử đúng đến n, tức là:
12
1
11
2
1 ...
21
... ...
(1)
12
1
... ... ...
(1) 1
k
k
n
kij
kijn
ii i
iin
XX X X XX
n
kXX X XX X
n


 


Ta chứng minh đúng với n+1, ta có :
12 1
12 1
12 1 12 1
...
( ... )
... ( ... )
nn
nn
nn n n
XX X X
XX X X
XX X X XX X X



Ta có :
12
1
12
1
1 1 ...
...
1
... ... ... ...
(1) (1) 12
k
k
n
nn
kiii
kiin
XX X
k
XXXXXXX
n




