Ứng dụng tâm tỉ cự giải bài toán cực trị Hình học

NG D NG TÂM T C<br /> <br /> GI I BÀI TOÁN C C TR HÌNH H C<br /> Batigoal–mathscope.org<br /> Email: hoangquan9@gmail.com<br /> <br /> B n quy n chuyên<br /> c ng<br /> <br /> thu c v<br /> <br /> Batigoal. Chuyên<br /> <br /> ng các b n yêu toán. N u b n nào mu n s<br /> <br /> thương m i hay dùng cho các cu c thi vi t chuyên<br /> <br /> vi t ra nh m ph c v<br /> d ng cho m c<br /> ph i có s<br /> <br /> ích<br /> <br /> ng ý c a<br /> <br /> tác gi .<br /> <br /> I.CƠ S<br /> <br /> PHƯƠNG PHÁP GI I S<br /> <br /> D NG TÂM T C<br /> <br /> Xu t phát t vi c khai thác bài toán sau:<br /> Cho h n i m A1 , A 2 ,..., A n và n s k1 , k2 ,..., kn mà k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0<br /> <br /> a,Ch ng minh r ng có duy nh t m t i m G sao cho:<br /> uuur<br /> uuuu<br /> r<br /> uuuu r<br /> r<br /> k1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0<br /> <br /> i m G như th g i là tâm t c c a h<br /> <br /> i m Ai , g n v i các h s ki .<br /> <br /> Trong trư ng h p các h s ki b ng nhau (và do ó có th xem các ki<br /> 1), thì G g i là tr ng tâm c a h<br /> <br /> u b ng<br /> <br /> i m Ai .<br /> <br /> b, Ch ng minh r ng n u G là tâm t c nói<br /> <br /> câu a, thì m i i m O b t kì ta có:<br /> <br /> uuur 1 uuur<br /> uuuu<br /> r<br /> uuuu<br /> r<br /> OG = (k1 OA1 + k2 OA2 + ... + kn OAn )<br /> k<br /> <br /> Ch ng minh<br /> <br /> Batigoal<br /> <br /> Email:hoangquan9@gmail.com<br /> <br /> uuur<br /> <br /> uuuu<br /> r<br /> <br /> uuuu<br /> r<br /> <br /> r<br /> <br /> a,Tacó k1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0<br /> uuur<br /> uuur uuuur<br /> uuur uuuur r<br /> ⇔ k1 GA1 + k2 (GA1 + A1 A2 ) + ... + kn (GA1 + A1 An ) = 0<br /> uuur<br /> uuuur<br /> uuuur<br /> uuuur<br /> ⇔ (k1 + k2 + ... + kn )GA1 = k2 A2 A1 + k3 A3 A1 + ... + kn An A1<br /> uuuur<br /> uuuur<br /> uuuur<br /> uuur k A A + k A A + ... + k A A<br /> 2 2 1<br /> 3 3 1<br /> n n 1<br /> vì k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0<br /> ⇔ GA1 =<br /> k1 + k2 + ... + kn<br /> <br /> V y i m G xác<br /> <br /> nh và duy nh t.<br /> <br /> uuur<br /> <br /> uuuu<br /> r<br /> <br /> uuuu<br /> r<br /> <br /> r<br /> <br /> b, V i i m O b t kì , ta có k1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0<br /> uuuur uuur<br /> uuuuu uuur<br /> r<br /> uuuuu uuur r<br /> r<br /> ⇔ k1 (OA1 − OG ) + k2 (OA2 − OG ) + ... + kn (OAn − OG ) = 0<br /> uuur<br /> uuur<br /> uuuu<br /> r<br /> uuuu<br /> r<br /> ⇔ (k1 + k2 + ... + kn )OG = k1 OA1 + k2 OA2 + ... + kn OAn<br /> uuur<br /> uuuu<br /> r<br /> uuuu<br /> r<br /> uuur k OA + k OA + ... + k OA 1 uuur<br /> uuuu<br /> r<br /> uuuu<br /> r<br /> n<br /> n<br /> = (k1 OA1 + k2 OA2 + ... + kn OAn ) ( fcm)<br /> ⇔ OG = 1 1 2 2<br /> k1 + k2 + ... + kn<br /> k<br /> <br /> vì k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0 .<br /> V y t bài toán này ta có hai k t qu quan tr ng sau:<br /> 1. Cho h n i m A1 , A 2 ,..., A n và n s k1 , k2 ,..., kn mà k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0<br /> <br /> Khi ó có duy nh t m t i m G sao cho:<br /> uuur<br /> uuuu<br /> r<br /> uuuu r<br /> r<br /> k1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0<br /> <br /> i m G như th g i là tâm t c c a h<br /> <br /> i m Ai , g n v i các h s ki .<br /> <br /> 2. N u G là tâm t c thì m i i m O b t kì ta có:<br /> uuur 1 uuur<br /> uuuu<br /> r<br /> uuuu<br /> r<br /> OG = (k1 OA1 + k2 OA2 + ... + kn OAn )<br /> k<br /> <br /> Bây gi ta s s d ng hai k t qu này<br /> <br /> gi i các bài toán qu tích và c c tr hình<br /> <br /> h c.<br /> <br /> Batigoal<br /> <br /> Email:hoangquan9@gmail.com<br /> <br /> III.<br /> <br /> NG D NG TÂM T C<br /> <br /> 1. D NG I C c tr<br /> <br /> GI I BÀI TOÁN C C TR HÌNH H C<br /> <br /> dài véc tơ.<br /> <br /> Nh n xét : Áp d ng tâm t c :<br /> k1 , k2 ,..., kn mà k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0 và ư ng<br /> <br /> Cho n i m A1 , A 2 ,..., A n v i n s<br /> <br /> th ng d ( ho c m t ph ng(P)) .Tìm i m M trên ư ng th ng d ( ho c mp(P)) sao<br /> uuuu<br /> r<br /> <br /> uuuur<br /> <br /> uuuur<br /> <br /> cho k1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn nh nh t.<br /> <br /> Cách gi i<br /> uur<br /> <br /> uuu<br /> r<br /> <br /> uuu<br /> r<br /> <br /> r<br /> <br /> Bư c 1: Áp d ng tâm t c . G i I là i m th a mãn k1 IA1 + k2 IA2 + ... + kn IAn = 0<br /> Bư c2: Áp d ng quy t c 3 i m bi n<br /> <br /> i:<br /> <br /> uuuu<br /> r<br /> uuuur<br /> uuuur<br /> uuu<br /> r<br /> uuu<br /> r<br /> k1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn = (k1 + k2 + ... + kn ) MI = k MI<br /> <br /> Bư c 3: Tìm<br /> <br /> dài nh nh t c a véc tơ ã cho x y ra khi M<br /> <br /> v trí nào?<br /> <br /> Ví d 1.1: Cho tam giác ABC và ư ng th ng d . Tìm i m M trên ư ng th ng d<br /> <br /> sao cho<br /> uuur uuur uuuu<br /> r<br /> MA + MB + 2 MC nh nh t<br /> <br /> Gi i<br /> uu uu<br /> r r<br /> <br /> uur<br /> <br /> r<br /> <br /> Ch n i m I th a mãn IA + IB + 2 IC = 0 , khi ó i m I là tâm t c c a A, B, C<br /> g n v i b s (1, 1, 2) nên i m I xác<br /> <br /> nh duy nh t.<br /> <br /> Ta có:<br /> uuur uuur uuuu<br /> r uuu uu<br /> r r<br /> uuu uu<br /> r r<br /> uuu uur<br /> r<br /> uuu uu uu<br /> r r r uur<br /> uuu<br /> r<br /> MA + MB + 2MC = ( MI + IA) + ( MI + IB) + 2( MI + IC ) = 4 MI + IA + IB + 2 IC = 4 MI vì<br /> uu uu<br /> r r uur r<br /> IA + IB + 2 IC = 0<br /> uuur uuur uuuu<br /> r<br /> uuu<br /> r<br /> uuur uuur uuuu<br /> r<br /> V y . MA + MB + 2MC = 4 MI Do ó MA + MB + 2 MC nh nh t khi và ch khi M<br /> <br /> là hình chi u vuông góc c a I lên ư ng th ng d.<br /> <br /> Batigoal<br /> <br /> Email:hoangquan9@gmail.com<br /> <br /> Ví d sau minh h a cho cách dùng tâm t c gi i bài toán c c trong m t ph ng<br /> t a<br /> <br /> Oxy.<br /> <br /> Ví d 1.2<br /> TRong m t ph ng t a<br /> <br /> Oxy cho tam giác ABC có A(-1;0), B(2;3), C(3;-6) và<br /> uuur uuur uuuu<br /> r<br /> <br /> ư ng th ng ∆ : x − 2 y − 3 = 0 . Tìm i m M trên ∆ sao cho MA + MB + MC nh<br /> nh t.<br /> <br /> Gi i<br /> uuu uuu uuur<br /> r<br /> r<br /> <br /> r<br /> <br /> G i G là tr ng tâm tam giác ABC ta có GA + GB + GC = 0 . Và tr ng tâm G có t a<br /> −1 + 2 + 3 0 + 3 − 6<br /> 4<br /> ;<br /> ) = ( ; −1)<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> uuur uuur uuuu<br /> r<br /> uuuu uuu uuu uuur<br /> r<br /> r<br /> r<br /> uuuu<br /> r<br /> uuur uuur uuuu<br /> r<br /> uuuu<br /> r<br /> Ta có MA + MB + MC = 3MG + GA + GB + GC = 3MG nên MA + MB + MC = 3 MG<br /> G=(<br /> <br /> uuuu<br /> r<br /> <br /> V y nh nh t ⇔ MG nh nh t ⇔ M là hình chi u vuông góc c a G lên ư ng<br /> th ng ∆ .<br /> 4<br /> 3<br /> <br /> G i d là ư ng th ng qua G ( ; −1) và vuông góc v i ư ng th ng ∆ : x − 2 y − 3 = 0<br /> uu<br /> r<br /> <br /> nên ư ng th ng d có vec tơ pháp tuy n nd (2;1) .<br /> 4<br /> 3<br /> <br /> Phương trình t ng quát ư ng th ng d : 2( x − ) + ( y + 1) = 0<br /> ⇔ 2x + y −<br /> <br /> 5<br /> = 0.<br /> 3<br /> <br /> T a ô i m M c n tìm là nghi m c a h phương trình:<br /> <br /> x − 2y −3 = 0<br /> 5<br /> 2x + y − = 0<br /> 3<br /> <br /> V y M(<br /> <br /> Batigoal<br /> <br /> 19 −13<br /> ) là i m c n tìm<br /> ;<br /> 15 15<br /> <br /> x=<br /> <br /> 19<br /> 15<br /> <br /> y=<br /> <br /> ⇔<br /> <br /> −13<br /> 15<br /> <br /> uuur uuur uuuu<br /> r<br /> MA + MB + MC nh nh t<br /> <br /> Email:hoangquan9@gmail.com<br /> <br /> M<br /> <br /> R NG : V i vi c n m t t cách gi i trên, sau này lên l p 12 h c sinh cũng có<br /> <br /> th làm t t các bài toán c c tr tương t trong không gian Oxyz. như sau:<br /> <br /> Ví d 1.3 Trong không gian Oxyz cho 2 i m A(3;1;1) và B(7; 3; 9) và m t ph ng<br /> (α ) : x + y + z + 3 = 0<br /> Tìm i m M trên mp( α )<br /> <br /> uuur uuur<br /> MA + MB<br /> <br /> t giá tr nh nh t.<br /> <br /> Gi i<br /> uu uu<br /> r r<br /> <br /> r<br /> <br /> Ch n I(x; y; z) là i m th a mãn IA + IB = 0 , suy ra I là trung i m AB nên I có<br /> t a<br /> <br /> I(5; 2; 5)<br /> uuur uuur<br /> <br /> uuuur uuu uu<br /> r r<br /> <br /> uuuur<br /> <br /> Ta có MA + MB = 2MI + ( IA + IB) = 2 MI<br /> uuur uuur<br /> <br /> uuu<br /> r<br /> <br /> uuur uuur<br /> <br /> uuu<br /> r<br /> <br /> V y MA + MB = 2 MI . Do ó MA + MB nh nh t ⇔ MI nh nh t ⇔ M là hình<br /> chi u vuông góc c a I lên mp( α ).<br /> ư ng th ng MI có phương trình tham s<br /> x = 5+t<br /> y = 2+t<br /> z = 5+t<br /> <br /> Nên M( 5 + t ; 2 + t ;5 + t ). T a<br /> <br /> M th a mãn phương trinh mp( α ) x + y + z + 3 = 0<br /> <br /> Ta có 5 + t + 2 + t + 5 + t + 3 = 0 ⇔ 3t = −15 ⇔ t = −5 .<br /> uuur uuur<br /> <br /> V y M(0; -3 ; 0) thì MA + MB<br /> <br /> t giá tr nh nh t<br /> <br /> Ví d 1.4:Trong không gian Oxyz cho hình t di n ABCD có các<br /> <br /> nh A(3;4;-1),<br /> <br /> B(-5; 3;-2), C(3;-1;2), D(1;1;4)<br /> uuur uuur uuuu uuuu<br /> r<br /> r<br /> <br /> Tìm i m M trong không gian sao cho MA + MB + MC + MD nh nh t.<br /> Gi i<br /> <br /> Batigoal<br /> <br /> Email:hoangquan9@gmail.com<br /> <br />