Vật lí điện tử và bán dẫn - Chương 4

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

754
lượt xem 74
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bán dẫn ở trạng thái cân bằng TỔNG QUAN Chúng ta đã xem xét bán dẫn nói chung và áp dụng những khái niệm cơ học lượng tử để xác định một số đặc tính của electron trong mạng đơn tinh thể. Trong chương này, chúng ta sẽ áp dụng một cách cụ thể những khái niệm này vào vật liệu bán dẫn. Đặc biệt, chúng ta sẽ dùng mật độ trạng thái lượng tử trong vùng dẫn và mật độ trạng thái lượng tử trong vùng hóa trị cùng với hàm phân bố Fermi-Dirac để xác định...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vật lí điện tử và bán dẫn - Chương 4

CHƯƠNG IV Bán dẫn ở trạng thái cân b ằng TỔNG QUAN Chúng ta đ ã xem xét bán d ẫn nói chung và áp d ụng những khái ni ệm cơ học lượng tử để xác định một số đặc tính của electron trong m ạng đơn tinh th ể. Trong chương này, chúng ta s ẽ áp dụng một cách cụ thể những khái ni ệm này vào v ật liệu bán dẫn. Đặc biệt, chúng ta s ẽ dùng mật độ trạng thái lư ợng tử trong vùng d ẫn và mật độ trạng thái lư ợng tử trong vùng hó a trị cùng với hàm phân b ố Fermi-Dirac để xác định mật độ electron và l ỗ trống tương ứng trong vùng d ẫn và vùng hóa tr ị. Chúng ta cũng sẽ áp dụng khái ni ệm năng lư ợng Fermi cho v ật liệu bán dẫn. Chương này kh ảo sát bán d ẫn ở trạng thái cân b ằng. Trạng thái cân bằng, hoặc cân bằng nhiệt là trạng thái không có l ực ngòai [chẳng hạn như đi ện áp, điện trường, từ trường, hoặc Gradient nhi ệt độ] tác động vào bán d ẫn. Trong trư ờng hợp này, tất cả những tính ch ất của bán dẫn sẽ không phụ thuộc vào th ời gian. Cân bằng là điểm khởi đầu của chúng ta trong vi ệc xây dựng vật lí bán d ẫn. Sau đó chúng ta s ẽ có thể xác định những tính ch ất xuất hiện khi có s ự lệch so với trạng thái cân b ằng, chẳng hạn như khi một điện áp được đặt vào thiết bị bán dẫn. Đầu tiên chúng ta s ẽ xem xét tính ch ất của bán d ẫn ròng, ngh ĩa là một tinh thể tinh khiết không có nh ững nguyên t ử tạp chất hoặc sai hỏng. Chúng ta s ẽ thấy rằng những tính ch ất điện của bán d ẫn có thể thay đổi theo ý mu ốn bằng cách thêm vào bán dẫn chủ một lượng có kiểm soát các nguyên t ử tạp chất, còn g ọi là những nguyên t ử kích thích . Tùy thuộc vào lọai tạp chất được đưa vào, h ạt tải điện chiếm ưu thế trong bán d ẫn có thể là electron trong vùng d ẫn hoặc lỗ trống trong vùng hóa trị. Việc thêm nh ững nguyên t ử tạp chất sẽ thay đổi sự phân bố electron vào những trạng thái năng lư ợng sẵn có, vì vậy năng lư ợng Fermi tr ở thành một hàm của nồng độ và loại nguyên t ử pha tạp. Cuối cùng, như m ột phần của việc khảo sát này, chúng ta s ẽ thử tìm hiểu sâu hơn ý nghĩa của năng lư ợng Fermi. 4.1|HẠT TẢI ĐIỆN TRONG BÁN D ẪN
Dòng điện là đại lượng đặc trưng cho m ức độ chuyển động có hướng của các điện tích. Trong bán d ẫn, hai lọai hạt tải điện, electron và l ỗ trống có thể đóng góp vào dòng điện. Bởi vì dòng điện trong bán d ẫn được xác định bằng số electron trong vùng dẫn và số lỗ trống trong vùng hóa tr ị, một tính ch ất quan trọng của bán dẫn là mật độ của những hạt tải điện này. M ật độ electron và l ỗ trống có liên quan đ ến hàm mật độ trạng thái và hàm phân b ố Fermi. Những hàm này đã được chúng ta xem xét ở các chương trư ớc. 4.1.1 Phân b ố electron và l ỗ trống ở trạng thái cân b ằng Phân bố là mật độ electron trong kho ảng năng lư ợng từ E đến E+dE. Phân bố (theo năng lư ợng) của electron trong vùng d ẫn bằng mật độ trạng thái lượng tử nhân với xác suất mà một trạng thái lư ợng tử bị chiếm bởi một electron. Phát biểu này được viết dưới dạng phương tr ình là (4.1) n( E ) gc (E ) fF (E ) ở đây fF(E) là hàm phân b ố Fermi-Dirac và gc(E) là mật độ trạng thái lư ợng tử trong vùng d ẫn. Do đó, n ồng độ electron tổng cộng trên một đơn vị thể tích trong vùng dẫn được tính bằng cách l ấy tích phân phương tr ình (4.1) trên tòan b ộ khoảng năng lượng vùng d ẫn. Tương t ự, phân bố (theo năng lư ợng) của lỗ trống trong vùng hóa tr ị là mật độ trạng thái lư ợng tử trong vùng hóa tr ị nhân với xác su ất mà một trạng thái không b ị chiếm bởi electron. Chúng ta có th ể biểu diễn điều này là (4.2) p(E ) g v ( E )[1 f F ( E )] Nồng độ lỗ trống tổng cộng trên một đơn v ị thể tích được tính bằng cách l ấy tích phân hàm này trên tòan b ộ khỏang năng lư ợng vùng hóa tr ị. Để tìm nồng độ electron và l ỗ trống cân bằng nhiệt, chúng ta c ần xác định vị trí của mức Fermi EF đối với đáy của năng lượng vùng d ẫn Ec và đỉnh của năng lượng vùng hóa tr ị Ev. Để trả lời câu hỏi này, đ ầu tiên chúng ta hãy xem xét bán dẫn ròng. Một bán dẫn ròng lí t ưởng là bán d ẫn tinh khi ết không có nh ững nguyên tử tạp chất và những sai hỏng mạng trong tinh th ể. Trong chương trư ớc, chúng ta đã thống nhất với nhau rằng, đối với một bán dẫn ròng tại T=0K , tất cả những
trạng thái năng lư ợng trong vùng hóa tr ị đầy electron và t ất cả trạng thái năng lượng trong vùng d ẫn hoàn toàn tr ống electron. Do đó, m ức năng lư ợng Fermi ph ải hơi ở giữa Ec và Ev. (Năng lư ợng Fermi không c ần ứng với một mức năng lư ợng cụ thể nào.) Dưới đây là ph ần lập luận để xác định vị trí của mức Fermi trong trư ờng hợp T > 0K. Trong l ập luận này, chúng ta s ẽ giả sử rằng khối lượng hiệu dụng của electron và l ỗ trống gần bằng nhau . Điều này dẫn đến mức Fermi n ằm rất gần năng lượng giữa khe (=1/2[Ec+Ev]). Tuy nhiên, th ực tế thì khối lượng hiệu dụng của electron và l ỗ trống không h ề bằng nhau. Vì v ậy, mức Fermi ph ải dịch chuyển lên trên hoặc dưới so với năng lư ợng giữa khe. Nhưng dù sao đi n ữa, mục đích của chúng ta ch ỉ là muốn chứng minh năng lư ợng Fermi v ẫn còn nằm trong vùng c ấm. Ở phần 4.1.4, chúng ta s ẽ tìm vị trí mức Fermi b ằng một lập luận chặt chẽ hơn. Khi nhiệt độ bắt đầu tăng trên 0 K, những electron hóa trị sẽ thu được nhiệt năng. Một vài electron trong vùng hóa trị có thể thu đủ năng lượng để nhảy lên vùng d ẫn. Khi một electron nh ảy từ vùng hóa trị lên vùng d ẫn, một trạng thái trống, hoặc lỗ trống, được tạo ra trong vùng hóa tr ị. Do đó, trong bán d ẫn ròng, electron và l ỗ trống được tạo ra từng cặp sao cho số electron trong vùng d ẫn bằng số lỗ trống trong vùng hóa tr ị. Hình 4.1 biễu diễn đồ thị hàm mật độ trạng thái trong
vùng dẫn gc(E), mật độ trạng thái trong vùng hóa tr ị gv(E), và hàm phân b ố Fermi- Dirac đối với T > 0 khi EF nằm gần khỏang giữa Ec và Ev. Lúc này, n ếu chúng ta giả sử rằng khối lượng hiệu dụng của electron và l ỗ trống bằng nhau thì gc(E) và gv(E) là những hàm đ ối xứng qua năng lư ợng giữa khe (năng lư ợng ở giữa Ec và Ev). Chúng ta đ ã biết từ trước rằng hàm fF(E) khi E > EF đối xứng với hàm 1 −fF(E) khi E < EF qua giá tr ị năng lượng E=EF. Tích của gc(E) và fF(E) là phân bố của electron n(E) trong vùng d ẫn được cho bởi phương tr ình (4.1).Tích của gv(E) và [1−fF(E)] là phân bố của lỗ trống p(E) trong vùng hóa tr ị được cho bởi phương tr ình (4.2). Hai tích này được chỉ ra trong hình . Do đó diện tích dưới những đường cong này là m ật độ electron t ổng cộng trong vùng d ẫn và mật độ lỗ trống tổng cộng trong vùng hóa tr ị. Từ đây chúng ta th ấy rằng nếu gc(E) và gv(E) đối xứng, năng lư ợng Fermi ph ải là năng lượng giữa khe để thu được nồng độ electron và l ỗ trống bằng nhau. N ếu khối lượng electron và l ỗ trống không b ằng nhau thì hàm m ật độ trạng thái hi ệu dụng gc(E) và gv(E) không đ ối xứng qua năng lư ợng giữa khe. Do đó, m ức Fermi đ ối với bán dẫn ròng sẽ hơi dịch chuyển so với năng lượng giữa khe đ ể có nồng độ electron và l ỗ trống bằng nhau. 4.1.2 Những phương tr ình của n0 và p0 Chúng ta đ ã thừa nhận rằng năng lư ợng Fermi trong bán d ẫn ròng g ần năng lư ợng giữa khe. Sau này chúng ta s ẽ thấy rằng trong trư ờng hợp đặc biệt, năng lư ợng Fermi có th ể lệch so với năng lượng giữa khe. Tuy nhiên, đ ầu tiên chúng ta sẽ giả sử rằng mức Fermi v ẫn còn ở trong khe năng lư ợng. Phương trình nồng độ cân bằng nhiệt của electron có th ể tìm bằng cách l ấy tích phân phương trình (4.1) trên vùng d ẫn, hoặc (4.3) n0 g c ( E ) f E ( E ) dE Giới hạn dưới của tích phân là Ec và giới hạn trên của tích phân có th ể là đỉnh của năng lượng vùng d ẫn. Tuy nhiên , bởi vì hàm phân b ố Fermi ti ến nhanh tới 0 khi năng lượng tăng như được chỉ ra trong hình 4.1 , chúng ta có th ể lấy giới hạn trên của tích phân là vô cùng.
Chúng ta đang gi ả sử rằng năng lư ợng Fermi ở trong khe năng lư ợng. Đối với electron trong vùng d ẫn, chúng ta có E > Ec. Nếu (Ec−EF)>>kT, thì (E−EF)>>kT, vì thế hàm phân b ố Fermi bi ến thành g ần đúng Boltzmann, 1 [ ( E E F )] (4.4) fF (E) exp E EF kT 1 exp kT Áp dụng gần đúng Boltzmann cho phương tr ình (4.3), mật độ electron trong vùng dẫn là 4 ( 2 mn ) 3 / 2 * ( E EF ) n0 E Ec exp dE (4.5) h3 kT Ec Tích phân c ủa phương tr ình (4.5) có th ể được tính d ễ dàng hơn b ằng cách đổi biến. Nếu chúng ta đ ặt E Ec (4.6) kT Thì phương trình (4.5) tr ở thành Hàm dưới dấu tích phân là hàm gamma, tích phân của nó là: 1 1/ 2 (4.8) exp( )d 2 0 Thì phương trình (4.7) tr ở thành 3/ 2 * 2 mn kT ( Ec E F ) (4.9) n0 2 exp h2 kT Chúng ta có th ể định nghĩa một hệ số Nc là 3/ 2 * 2 m n kT (4.10) Nc 2 h2
Vì thế nồng độ electron cân b ằng nhiệt trong vùng d ẫn có thể được viết là ( Ec E F ) (4.11) n0 N c exp kT Hệ số Nc được gọi là mật độ hiệu dụng của hàm trạng thái trong vùng d ẫn. Nếu chúng giả sử rằng mn*=m0, thì giá trị của hàm mật độ trạng thái hi ệu dụng tại T=300K là Nc=2.5×1019cm−3, đó là b ậc độ lớn của Nc cho hầu hết các chất bán dẫn. Nếu khối lượng hiệu dụng của electron l ớn hơn hay nh ỏ hơn m0 thì giá trị của hàm mật độ trạng thái hi ệu dụng sẽ thay đổi tương ứng, nhưng v ẫn còn cùng b ậc độ lớn. VÍ DỤ 4.1 Tính tóan xác su ất để trạng thái năng lư ợng tại E=Ec bị chiếm bởi một electron và tính nồng độ electron cân b ằng nhiệt trong Silic tại T=300K. Giả sử năng lượng Fermi th ấp hơn 0.25 eV so v ới năng lư ợng vùng d ẫn. Giá trị của Nc đối với Silic tại T=300K là Nc=2.8×1019 cm−3. Giải Xác suất mà một trạng thái t ại E=Ec bị chiếm bởi một electron là ( Ec EF ) 1 f F ( Ec ) exp Ec EF kT 1 exp kT Hay 0.25 5 f F ( Ec ) exp 6.43 10 0.0259 Mật độ electron là ( Ec E F ) 0.25 2.8 1019 exp n0 N c exp kT 0.0259 1.8 1015 cm 3 Hay n0 Kết luận
Xác suất mà một trạng thái b ị chiếm rất nhỏ, nhưng v ì có một số lượng lớn các trạng thái nên n ồng độ electron là một giá trị có thể chấp nhận được. Nồng độ lỗ trống ở trạng thái cân b ằng nhiệt trong vùng hóa tr ị được tính bằng cách lấy tích phân phương tr ình (4.2) trên vùng hóa tr ị: (4.12) p0 g v ( E )[1 f E ( E )]dE Chú ý rằng 1 (4.13a) 1 fF (E) EF E 1 exp kT Đối với những trạng thái năng lư ợng trong vùng hóa tr ị, E < Eυ. Nếu (EF−Eυ)>>kT (hàm Fermi v ẫn còn được giả sử là ở trong khe năng lư ợng), thì chúng ta có m ột dạng hơi khác với gần đúng Boltzmann. Phương tr ình (4.13a) có th ể được viết là 1 ( EF E ) (4.13b) 1 fF (E) exp EF E kT 1 exp kT Áp dụng gần đúng Boltzmann c ủa phương tr ình (4.13b) cho ph ương trình (4.12), chúng ta tìm được mật độ lỗ trống ở trạng thái cân b ằng nhiệt trong vùng hóa tr ị là Ev 4 (2m* )3 / 2 (EF E ) p p0 Ev E exp dE (4.14) h3 kT ở đây giới hạn dưới của tích phân đư ợc lấy là −∞ thay v ì đáy của vùng hóa tr ị. Hàm phân b ố Fermi-Dirac giảm đủ nhanh vì th ế sự gần đúng này có th ể áp dụng được. Phương trình (4.14) có th ể được tính tóan d ễ dàng hơn b ằng cách l ại thực hiện phương pháp đ ổi biến. Nếu chúng ta đ ặt Ev E ' (4.15) kT Thì phương trình (4.14) tr ở thành
ở đây dấu trừ là do vi phân dE=−kTdη΄. Chú ý r ằng giới hạn dưới của η΄ là +∞ khi E=−∞. Nếu chúng ta đ ổi cận tích phân, chúng ta ph ải đưa vào một dấu trừ khác. Từ phương tr ình (4.8), ph ương trình (4.16) tr ở thành 3/ 2 2 m* kT ( EF Ev ) p (4.17) p0 2 exp 2 h kT Chúng ta có th ể định nghĩa một hệ số Nυ là 3/ 2 2 m* kT p (4.18) Nv 2 h2 Hệ số này được gọi là hàm mật độ trạng thái hiệu dụng trong vùng hóa tr ị. Lúc này, mật độ lỗ trống cân b ằng nhiệt trong vùng hóa tr ị có thể được viết là ( E F Ev ) (4.19) p0 N v exp kT Độ lớn của Nυ cũng có b ậc cỡ 1019 cm−3 tại T=300K cho đa số các chất bán dẫn. VÍ DỤ 4.2 Tính mật độ lỗ trống ở trạng thái cân b ằng nhiệt của Silic tại T=400K. Giả sử rằng năng lư ợng Fermi cao hơn năng lư ợng vùng hóa tr ị là 0.27 eV. Giá trị của Nυ đối với Silic tại T=300K là Nυ=1.04×10 19 cm−3. Giải Giá trị của Nυ tại T=400K là: Và 400 kT (0.0259) 0.03453eV 300 Do đó n ồng độ lỗ trống là
( E F Ev ) 0.27 (1.60 1019 ) exp p0 N v exp kT 0.03453 Hoặc 6.43 1015 cm 3 p0 Kết luận Giá trị của Nυ tại bất kì nhiệt độ nào có thể tìm bằng cách dùng giá tr ị ở 300K và sự phụ thuộc nhiệt độ. Hàm mật độ trạng thái hiệu dụng, Nc và Nυ của một chất bán dẫn là không đổi ở một nhiệt độ xác định. Bảng 4.1 cho giá trị của hàm mật độ trạng thái và kh ối lượng hiệu dụng của Silic, GaAs, và Germani. Chú ý r ằng đối với GaAs, Nc nhỏ hơn giá trị điễn hình 1019 cm−3. Sự khác nhau này là do kh ối lượng hiệu dụng của electron trong GaAs nhỏ. Nồng độ electron ở trạng thái c ân bằng nhiệt trong vùng d ẫn và lỗ trống trong vùng hóa tr ị có liên h ệ trực tiếp với mật độ trạng thái hiệu dụng và mức năng lượng Fermi. 4.1.3 Nồng độ hạt tải nội tại Đối với bán dẫn ròng, mật độ electron trong vùng d ẫn bằng với mật độ lỗ trống trong vùng hóa trị. Chúng ta có th ể kí hiệu ni và pi tương ứng là nồng độ electron và lỗ trống trong bán d ẫn ròng. Nh ững đại lượng này thư ờng được gọi là nồng độ electron n ội tại và nồng độ lỗ trống nội tại. Tuy nhiên vì ni=pi , vì vậy thông thường chúng ta dùng đ ại lượng ni là nồng độ hạt tải điện nội tại, đại lượng này đề cập đến cả nồng độ electron nội tại và nồng độ lỗ trống nội tại. Mức năng lư ợng Fermi đ ối với bán dẫn ròng được gọi là năng lư ợng Fermi riêng, ho ặc EF≡EFi. Nếu chúng ta áp d ụng phương tr ình (4.11) và (4.19) cho bán dẫn ròng, thì chúng ta có th ể viết
( Ec EFi ) (4.20) n0 ni N c exp kT Và ( EFi Ev ) (4.21) p0 pi ni N v exp kT Nếu chúng ta l ấy tích của phương tr ình (4.20) và (4.21), chúng ta thu được ( Ec E Fi ) ( E Fi Ev ) ni2 (4.22) N c N v exp . exp kT kT Hoặc Eg ( Ec Ev ) ni2 (4.23) N c N v exp N c N v exp kT kT ở đây Eg là năng lư ợng của khe năng lư ợng (hay còn g ọi là năng lư ợng vùng c ấm). Đối với một bán dẫn xác định tại một nhiệt độ không đổi, giá trị của ni là hằng số, và không ph ụ thuộc vào năng lư ợng Fermi. Nồng độ hạt tải điện nội tại của Silic tại T=300K có thể được tính bằng cách dùng giá trị hàm mật độ trạng thái hi ệu dụng từ bảng 4.1. Giá tr ị của ni được tính từ phương trình (4.23) đối với Eg=1.12 eV là ni=6.95×10 9 cm−3. Giá trị được thừa nhận rộng rãi của silic ở T=300K g ần bằng 1.5×1010 cm−3.Giá trị này có th ể sai lệch chút ít trong các tài li ệu khác nhau. Đ ầu tiên, giá tr ị của khối lượng hiệu dụng được xác định tại nhiệt độ thấp bằng cách th ực hiện những thí nghi ệm cộng hưởng xyclotron . Bởi vì khối lượng hiệu dụng được xác đ ịnh bằng thực nghiệm, và bởi vì nó là thướt đo mức độ chuyển động dễ dàng của hạt trong tinh th ể nên đại lượng này có l ẽ là một hàm phụ thuộc một ít vào nhi ệt độ. Kế tiếp, hàm mật độ trạng thái của bán dẫn được tính bằng cách tổng quát hóa mô hình c ủa một electron trong giếng thế vô hạn 3 chiều. Hàm lí thuy ết này có th ể không phù h ợp hòan tòan v ới thực nghiệm. Tuy nhiên s ự khác nhau gi ữa giá trị lí thuyết và giá trị thực nghiệm của ni chỉ là thừa số 2 trong nhi ều trường hợp là không đáng k ể. Bảng 4.2 liệt kê những giá trị được chấp nhận rộng rãi của ni đối với Silic, GaAs, và Ga
tại T=300K. Nồng độ hạt tải điện nội tại là hàm ph ụ thuộc rất mạnh vào nhiệt độ. VÍ DỤ 4.3 Tính nồng độ hạt tải điện nội tại trong GaAs t ại T=300K và tại T=450K. Giá trị của Nc và Nv tại 300K đối với GaAs tương ứng là 4.7×1017 cm−3 và 7.0×1018 cm−3. Cả Nc và Nυ biến đổi theo T3/2. Giả sử rằng khe năng lư ợng có độ rộng là 1.42 eV và biến đổi không đáng k ể theo nhiệt độ trên khỏang này. Giá trị của kT tại 450K là 450 kT (0.0259) 0.3885eV 300 Giải Dùng phương tr ình (4.23), chúng ta tìm được đối với T=300K 1.42 ni2 (4.7 1017 )(7.0 1018 ) exp 5.09 1012 0.0259 Vì thế 2.27 106 cm 3 ni Tại T=450K, chúng ta tìm được 3 450 1.42 2 17 18 1.48 10 21 n ( 4.7 10 )(7.0 10 ) exp i 300 0.03885 Vì thế 3.85 1010 cm 3 ni Kết luận Chúng ta có th ể rút ra từ ví dụ này rằng nồng độ hạt tải điện nội tại tăng 4 bậc về độ lớn khi nhiệt độ tăng 1500C. Hình 4.2 là đồ thị của ni theo phương trình (4.23) c ủa Silic, GaAs, và Ge như một hàm theo nhi ệt độ. Như th ấy trong hình, giá tr ị của ni đối với những bán d ẫn này dễ dàng thay đ ổi vài bậc về độ lớn khi nhiệt độ thay đổi trên một khoảng vừa phải.
4.1.4 Vị trí mức Fermi riêng Chúng ta đ ã thảo luận một cách định tính rằng mức năng lư ợng Fermi ở gần giữa khe năng lư ợng đối với bán dẫn ròng. Chúng ta có th ể tính tóan c ụ thể vị trí của mức Fermi riêng. B ởi vì nồng độ electron và l ỗ trống bằng nhau, cho phương tr ình (4.20) và (4.21) b ằng nhau, chúng ta có
( Ec E Fi ) ( E Fi Ev ) (4.24) N c exp N v exp kT kT Nếu chúng ta l ấy logarit cơ s ố e của phương tr ình này và gi ải tìm EFi , chúng ta thu được N 1 1 (4.25) kT ln v E Fi ( Ec Ev ) 2 2 Nc Từ định nghĩa của Nc và Nυ trong phương tr ình (4.10) và (4.18) , phương tr ình (4.25) có th ể được viết là m* 1 3 p (4.26a) E Fi ( Ec Ev ) kT ln * 2 4 mn Số hạng thứ nhất, ½(Ec+Eυ) chính xác là năng lư ợng giữa Ec và Eυ , hoặc năng lượng giữa khe. Chúng ta có th ể định nghĩa 1 ( Ec Ev ) Emidgap 2 Vì thế m* 3 p (4.26b) E Fi E midgap kT ln * 4 mn Nếu khối lượng hiệu dụng electron và l ỗ trống bằng nhau m* mn * thì mức Fermi p riêng ở ngay giữa dãy. Nếu m* mn , thì mức Fermi riêng hơi ở trên khỏang giữa của khe năng lư ợng, * p Và nếu m* mn , nó hơi ở dưới khỏang giữa của khe năng lư ợng. * p Hàm mật độ trạng thái có liên h ệ trực tiếp với khối lượng hiệu dụng hạt tải điện; do đó khối lượng hiệu dụng lớn hơn có ngh ĩa là hàm mật độ trạng thái lớn hơn. M ức Fermi riêng ph ải dịch chuyển xa vùng có m ật độ trạng thái l ớn hơn để giữ cho số electron và l ỗ trống bằng nhau. VÍ DỤ 4.4
Xác định vị trí của mức Fermi đ ối với khỏang giữa của khe năng lư ợng trong Silic tại T=300K. * Khối lượng hiệu dụng của electron và l ỗ trống lần lượt là mn 1.08m0 và m* 0.56m0 . p Giải Mức Fermi riêng đ ối với khỏang giữa của khe năng lư ợng là m* 3 3 0.56 p E Fi E midgap kT ln * 0.0259 ln 4 mn 4 1.08 Hoặc E Fi Emidgap 0.0128eV 12.8meV Kết luận: Mức Fermi riêng trong S ilic thấp hơn năng lư ợng giữa khe là 12.8 meV. Nếu chúng ta so sánh 12.8 meV v ới 560 meV ( một phần hai độ rộng khe năng lượng của silic) thì chúng ta s ẽ thấy sự chênh lệch này khá nh ỏ. Vì thế, trong nhiều ứng dụng, chúng ta có th ể xem như m ức Fermi riêng ở giữa khe năng lư ợng. KIỂM TRA KI ẾN THỨC E4.6 Xác đ ịnh mức Fermi riêng so v ới khỏang giữa của khe năng lư ợng trong GaAs tại T=300K. 4.2|NGUYÊN T Ử TẠP CHẤT VÀ MỨC NĂNG LƯ ỢNG Bán dẫn ròng có th ể là một bài học lí thú, nhưng s ức mạnh thực sự của bán dẫn có thể thu được bằng cách thêm m ột lượng nhỏ tạp chất có kiểm soát, hoặc những nguyên t ử tạp chất. Quá trình pha t ạp này được mô tả vắn tắt trong chương 1, có thể làm thay đ ổi hòan tòan tính ch ất điện của bán dẫn. Những bán d ẫn được pha tạp được gọi là bán dẫn tạp, là vật liệu dùng đ ể chế tạo những thiết bị bán dẫn khác nhau mà chúng ta s ẽ xem xét trong chương ti ếp theo. 4.2.1 Mô tả định tính Trong chương 3, chúng ta đ ã thảo luận liên kết cộng hóa tr ị của silic và đ ã xem xét biễu diễn 2 chiều đơn gi ản của mạng đơn tinh th ể silic như đư ợc chỉ trong hình 4.3.
Bây giờ hãy xem xét vi ệc thêm vào nh ững nguyên t ố tạp chất thuộc nhóm V, ch ẳng hạn như photpho . Nguên t ố nhóm V có 5 electron hóa tr ị. 4 electron trong số chúng sẽ đóng góp vào liên k ết cộng hóa tr ị với những nguyên t ử silic, còn l ại electron thứ 5 liên k ết lỏng lẻo với nguyên t ử photpho. Hi ệu ứng này đư ợc biễu diễn bằng đồ thị trong hình 4.4. Chúng ta g ọi electron hóa tr ị thứ 5 là electron cho hay electron đono. Nguyên t ử photpho mà không có electron đôno là h ạt mang đi ện dương. T ại nhiệt độ rất thấp, electron đôno liên k ết với nguyên t ử photpho. Tuy nhiên, b ằng trực giác có th ể dễ dàng thấy rằng năng lư ợng cần thiết để đưa electron đono vào trong vùng dẫn nhỏ đáng kể so với năng lượng cần thiết để đưa những electron hóa trị lên vùng d ẫn. Hình 4.5 ch ỉ ra giản đồ năng lượng như chúng ta tiên đóan. M ức năng lượng Ed là trạng thái năng lư ợng của electron đôno.
Nếu một lượng năng lư ợng nhỏ, chẳng hạn như nhiệt năng đư ợc cung cấp cho những electron đono, nó có th ể nhảy lên vùng d ẫn, để lại bên dưới một Ion Photpho mang đi ện dương. Lúc này, electron trong vùng d ẫn có thể di chuyển trong tinh th ể để tạo ra dòng điện, trong khi nh ững hạt mang đi ện dương n ằm cố định trong tinh th ể. Lọai nguyên t ử tạp chất này cho electron vào vùng dẫn và được gọi là nguyên t ử tạp chất đono. Nh ững nguyên t ử tạp chất cho thêm nh ững electron vào vùng d ẫn mà không t ạo ra lỗ trống trong vùng hóa tr ị. Vật liệu cuối cùng được gọi là bán dẫn lọai n (n để chỉ electron mang đi ện âm). Bây giờ, xét trường hợp pha những nguyên t ử tạp chất nhóm III, ch ẳng hạn như Bo vào bán dẫn chủ Silic. Những nguyên t ố nhóm III có 3 electron hóa tr ị, tất cả chúng đ ều tham gia vào liên k ết cộng hóa trị. Như được biễu diễn trong hình 4.6a, một vị trí liên kết cộng hóa tr ị bị trống. Nếu một electron nh ảy vào chi ếm vị trí “trống” này, năng lư ợng của nó sẽ phải lớn hơn năng lư ợng của những electron hóa
trị, bởi vậy trạng thái đi ện tích của nguyên t ử Bo sẽ là âm. Tuy nhiên, electron chiếm vị trí “trống” này không có đ ủ năng lượng để đi vào trong vùng d ẫn, vì năng lượng của nó nhỏ hơn rất nhiều năng lư ợng vùng d ẫn. Hình 4.6b bi ễu diễn cách thức những electron thu m ột lượng nhỏ nhiệt năng và di chuy ển trong tinh th ể. Vị trí trống gắn với nguyên t ử Bo bị chiếm, và nh ững vị trí của electron hóa tr ị khác trở thành trống. Những vị trí electron tr ống này có th ể được xem là l ỗ trống trong vật liệu bán dẫn. Hình 4.7 bi ễu diễn trạng thái năng lư ợng như đã dự đoán của những vị trí “trống” và s ự hình thành l ỗ trống trong vùng hóa tr ị. Lỗ trống có th ể di chuyển trong tinh th ể để tạo ra dòng điện, trong khi nguyên t ử Bo mang đi ện âm nằm cố định trong tinh th ể. Nguyên t ử nhóm III nh ận một electron t ừ vùng hóa tr ị và vì vậy được gọi là nguyên t ử tạp chất acceptor. Nguyên t ử acceptor có th ể tạo ra lỗ trống trong vùng hóa tr ị mà không t ạo ra electron trong vùng d ẫn. Lọai vật liệu bán dẫn này được gọi là bán dẫn lọai p (p dùng để chỉ những lỗ trống mang đi ện dương).
Vật liệu bán d ẫn đơn tinh th ể tinh khiết được gọi là bán d ẫn ròng. Việc thêm một lượng tạp chất có kiểm soát, ho ặc đôno hoặc acceptor, t ạo ra một vật liệu được gọi là bán d ẫn pha tạp. Bán dẫn pha tạp sẽ có số electron trội hơn (bán d ẫn lọai n) hoặc lỗ trống trội hơn (l ọai p). 4.2.2 Năng lư ợng Ion hóa Chúng ta có th ể tính tóan kho ảng cách gần đúng t ừ electron đono đến ion pha t ạp đono, và năng lư ợng cần thiết để đưa electron đono vào vùng d ẫn. Năng lư ợng này được gọi là năng lư ợng ion hóa . Chúng ta có th ể dùng mô hình Bohr cho vi ệc tính tóan này. Lí do dùng mô hình này là h ầu hết những khỏang cách khả dĩ của electron t ừ hạt nhân trong nguyên t ử hidro, đư ợc xác định từ cơ học lượng tử giống với bán kính Bohr. Nh ững mức năng lượng trong nguyên t ử hidro được xác đ ịnh theo cơ h ọc lượng tử cũng giống với kết quả thu được từ lí thuyết Bohr. Trong trư ờng hợp nguyên t ử tạp chất đono (cho), chúng ta có th ể hình dung electron đono chuy ển động xung quanh ion đono , nó được gắn vào v ật liệu bán dẫn. Chúng ta s ẽ cần dùng hằng số điện môi của bán dẫn trong tính tóan chứ không dùng hằng số điện môi của không gian t ự do như đư ợc dùng trong trường hợp của nguyên t ử hidro. Chúng ta s ẽ dùng khối lượng hiệu dụng của electron trong tính tóan. Sự phân tích b ắt đầu bằng cách thi ết lập lực hút Coulomb gi ữa electron và ion bằng với lực hướng tâm do chuy ển động quỹ đạo của electron. Đi ều kiện này sẽ cho một quỹ đạo bền vững. Chúng ta có
e2 2 m* (4.27) 4 rn2 rn ở đây υ là độ lớn vận tốc và rn là bán kính qu ỹ đạo. Nếu chúng ta gi ả sử momen động lượng cũng bị lượng tử hóa, thì chúng ta có th ể viết m*rnυ=nћ (4.28) ở đây n là số nguyên dương. T ìm υ từ phương tr ình (4.28), th ế vào trong phương trình (4.27), và tìm bán kính, chúng ta thu được n2 2 4 (4.29) rn m * e2 Giả thiết momen đ ộng lượng bị lượng tử hóa dẫn đến bán kính b ị lượng tử hóa. Bán kính Bohr đư ợc định nghĩa là 4 02 0.53 A0 (4.30) a0 m0 e 2 Lập tỉ số giữa bán kính orbita l đono và bán kính Bohr: rn m0 n2 (4.31) r a0 m* ở đâu εr là hằng số điện môi tỉ đối của vật liệu bán d ẫn, m0 là khối lượng nghỉ của electron , và m* là khối lượng hiệu dụng dẫn của electron trong bán d ẫn. Nếu chúng ta xét tr ạng thái năng lư ợng thấp nhất n=1, và nếu chúng ta xét Silic có εr=11.7 và khối lượng hiệu dụng dẫn là m*/m0=0.26 thì chúng ta có r1 (4.32) 45 a0 Hoặc r1=23.9 A0. Bán kính này tương ứng gần bằng 4 hằng số mạng trong silic . Cần nhớ rằng một ô đơn vị trong silic th ực tế chứa 8 nguyên t ử, vì vậy bán kính của electron đono ch ứa đựng nhiều nguyên t ử silic. Electron đôno không liên k ết chặt với những nguyên t ử đôno. Năng lượng tòan ph ần của electron do chuyển động quỹ đạo là
E=T+V (4.33) ở đây T là độ năng và V là thế năng của electron. Đ ộng năng là 1 2 (4.34) T m* 2 Dùng vận tốc υ từ phương trình (4.28) và bán kính rn từ phương trình (4.29), động năng trở thành m * e4 (4.35) T 2(n ) 2 (4 ) 2 Thế năng là e2 m * e4 (4.36) V (n ) 2 (4 ) 2 4 rn Năng lượng tòan ph ần là tổng của động năng và th ế năng: m * e4 (4.37) ETV 2(n ) 2 (4 ) 2 Đối với nguyên t ử hidro, m*=m0 và ε=ε0. Năng lư ợng Ion hóa c ủa nguyên t ử hidro ở trạng thái năng lư ợng thấp nhất là E=−13.6 eV . Nếu chúng ta xét silic, năng lượng ion hóa là E= −25.8 meV, nh ỏ hơn rất nhiều độ rộng khe năng lư ợng của silic. Năng lư ợng này g ần bằng năng lư ợng ion hóa c ủa nguyên t ử đôno, ho ặc năng lượng cần thiết để đưa electron đôno vào vùng d ẫn. Đối với những tạp chất đôno bình thường chẳng hạn như photpho ho ặc Arsen, mô hình nguyên t ử hidro này hòan tòan phù hợp và cho bi ết độ lớn của năng lư ợng Ion hóa. Bảng 4.3 li ệt kê năng lư ợng ion hóa đư ợc đo từ thực nghiệm của vài tạp chất trong silic và Germani. Germani và s ilic có hằng số điện môi và khối lượng hiệu dụng khác nhau; vì th ế chúng ta tiên đoán r ằng năng lượng ion hóa s ẽ khác nhau.