Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức

Chia sẻ: thuythanh2430

Tài liệu hướng dẫn cách Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức. Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ Trường Sĩ quan. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Nội dung Text: Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức

 

  1. G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ Trường Sĩ quan Chính trị - Thành phố Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh Số điện thoại: 0987730790 --------------------------------- Đã có rất nhiều phương pháp được đưa ra để giải phương trình bậc 4 trên trường số phức như phương pháp hệ số bất định, công thức Cardano. Sau đây tôi xin đưa ra một phương pháp để giải phương trình bậc 4: x4+ax3+bx2+cx+d=0 a , b, c , d ∈ R trên trường số phức, đó là chúng ta sẽ phân tích vế trái của phương trình đã cho thành nhân tử. Và cách phân tích cụ thể như sau: 1. Phương trình dạng x4+ax2+bx+c=0 (*) Cách giải chung: phân tích x 4 + ax 2 + bx + c = ( x 2 + m ) − p( x + n ) 2 2 = x 4 + ( 2m − p ) x 2 − 2pnx + m 2 − pn 2  2m − p = a (1)  ( 2) sau đó ta đồng nhất hệ số.  − 2 pn = b  m 2 − pn 2 = c ( 3)  −b p+a ; từ (2) ta có n = Từ (1) ta có: m = thế vào (3) ta được : 2p 2 ( p + a)2 b2 − p. 2 = c ( 4) . 4 4p Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm một nghiệm p mà không cần giải cả phương trình (4). Sau đó thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m và giải phương trình ban đầu. Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên trường số phức: z4-24z-32=0 Giải: Tr i ệu Thu Thủy Trang 1
  2. G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i Ta có: z 4 + 24 z − 32 = ( z 2 + m ) − p( z + n ) 2 2 = z 4 + ( 2m − p ) z 2 − 2 pnz + m 2 − pn 2  2m − p = 0 (1)  ( 2) . Để giải hệ (1), (2), (3) ta Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = −24  m 2 − pn 2 = −32 ( 3)  rút hai ẩn m, n theo p từ (1) và (2) sau đó thế vào phương trình (3). 12 p ; từ (2) ta có n = Từ (1) ta có: m = thế vào (3) ta được : p 2 p2 144 − p. 2 = −32 ⇔ p 3 − 20 p 2 + 128 p − 576 = 0 ( 4) . 4 p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=3. Vậy phương trình đã cho trở thành: (z + 2 ) − 4.( z + 3) = 0 2 2 2 ⇔ ( z 2 − 2 z − 4 ) .( z 2 + 2 z + 8) = 0  z 2 − 2z − 4 = 0 ⇔ 2  z + 2z + 8 = 0 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là : z = 1 ± 5 , z = −1 ± i 7 Ví dụ 2 : Giải phương trình sau trên trường số phức : z 4 − 5. z 2 − 18 z − 5 = 0 Giải : Ta có: z 4 − 5 z 2 − 18 z − 5 = ( z 2 + m ) − p( z + n ) 2 2 = z 4 + ( 2m − p ) z 2 − 2 pnz + m 2 − pn 2  2m − p = −5 (1)  ( 2) . Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = −18  m 2 − pn 2 = −5 ( 3)  Tr i ệu Thu Thủy Trang 2
  3. G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i p−5 9 ; từ (2) ta có n = thế vào (3) ta được : Từ (1) ta có: m = p 2 ( p − 5) 2 81 − p. 2 = −5 ⇔ p 3 − 10. p 2 + 45 p − 324 = 0 (4) . 4 p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=9, từ đó m=2, n=1. Vậy phương trình đã cho trở thành: (z + 2 ) − 9.( z + 1) = 0 2 2 2 ⇔ ( z − 3 z − 1) .( z + 3 z + 5) = 0 2 2  z 2 − 3z − 1 = 0 ⇔ 2  z + 3z + 5 = 0 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là : 3 ± 13 − 3 ± i 11 z= ,z = . 2 2 2. Phương trình bậc 4 tổng quát : z4+az3+bz2+cz+d=0 a , b, c , d ∈ R . Chúng ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng phương trình ở phần 1 a bằng cách đặt : z = y − , khi đó hệ số bậc 3 sẽ bị triệt tiêu. 4 Ví dụ 3 : Giải phương trình sau trên trường số phức : z 4 + 8 z 3 + 24 z 2 − 16 z − 220 = 0 (1) Giải : Đặt z=y-2, với ẩn y phương trình (1) trở thành: ( y − 2) + 8.( y − 2) + 24( y − 2 ) − 16( y − 2) − 220 = 0 4 3 2 ⇔ y 4 − 8 y 3 + 24 y 2 − 32 y + 16 + 8 y 3 − 48 y 2 + 96 y − 64 + 24 y 2 − 96 y + 96 − 16 y + 32 − 220 = 0 ( 2) ⇔ y 4 − 48 y − 140 = 0 Ta có : y 4 − 48.y − 140 = ( y 2 + m ) − p ( y + n ) 2 2 = y 4 + ( 2m − p ) y 2 − 2pny + m 2 − pn 2 3 Tr i ệu Thu Thủy Trang
  4. G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i  2m − p = 0 ( 3)  ( 4) . Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = −48  m 2 − pn 2 = −140 ( 5)  24 p ; từ (4) ta có n = Từ (3) ta có: m = thế vào (5) ta được : p 2 p2 576 − p. 2 = −140 ⇔ p 3 − 560 p − 4.576 = 0 ( 6) . 4 p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=6. Vậy phương trình (6) trở thành: (y + 2 ) − 4.( y + 6) = 0 2 2 2 ⇔ ( y + 2 y + 14 ) .( y − 2 y − 10 ) = 0 2 2  y 2 + 2 y + 14 = 0 ⇔ 2  y − 2 y − 10 = 0 Phương trình (6) có 6 nghiệm là : y = 1 ± 11 , y = −1 ± i 13 . Khi đó phương trình đã cho (1) có nghiệm là: z = −1 ± 11 , z = −3 ± i 13 . Ví dụ 4 : Giải phương trình sau trên trường số phức : z 4 + 4 z 3 + 19 z 2 + 48 z + 45 = 0 Giải : Đặt z=y-1. Khi đó phương trình trở thành : ( y − 1) + 4.( y − 1) + 19( y − 1) + 48( y − 1) + 45 = 0 4 3 2 ⇔ y 4 − 4 y 3 + 6 y 2 − 4 y + 1 + 4 y 3 − 12 y 2 + 12 y − 4 + 19 y 2 − 38 y + 19 + 48 y − 48 + 45 = 0 ⇔ y 4 + 13 y 2 + 18 y + 13 = 0 ( * *) Ta có : y 4 + 13.y 2 + 18.y + 13 = ( y 2 + m ) − p ( y + n ) 2 2 = y 4 + ( 2m − p ) y 2 − 2pny + m 2 − pn 2 4 Tr i ệu Thu Thủy Trang
  5. G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức i  2m − p = 13 (1)  ( 2) . Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = 18  m 2 − pn 2 = 13 ( 3)  p + 13 9 ; từ (2) ta có n = − thế vào (3) ta được : Từ (1) ta có: m = p 2 ( p + 13) 2 81 − p. 2 = 13 ⇔ p 3 + 26. p 2 + 117 p − 324 = 0 ( 4) . 4 p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=-9, từ đó m=2, n=1. Vậy phương trình (4) trở thành: (y + 2 ) + 9.( y + 1) = 0 2 2 2 ⇔ ( y + 3iy + 2 + 3i ) .( y − 3iy + 2 − 3i ) = 0 2 2  y 2 + 3iy + 2 + 3i = 0 ⇔ 2  y − 3iy + 2 − 3i = 0 Các bạn hãy giải phương trình trên với ẩn y sau đó thay trở lại để được ẩn z. Một số bài tập tương tự : Giải các phương trình sau trên trường số phức : z 4 + 6 z 2 − 4 z + 14 = 0 a. z 4 − 4z − 1 = 0 b. z 4 − 10 z 2 + 16 z − 7 = 0 c. z 4 − 4 z 3 − 9 z 2 − 10 z − 5 = 0 d. e. z 4 − 8 z 3 + 31 z 2 − 62 z + 63 = 0 5 Tr i ệu Thu Thủy Trang
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản