Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức

Chia sẻ: thuythanh2430

Tài liệu hướng dẫn cách Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức. Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ Trường Sĩ quan. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Nội dung Text: Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức

G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức
i

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ
Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ
Trường Sĩ quan Chính trị - Thành phố Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh
Số điện thoại: 0987730790
---------------------------------
Đã có rất nhiều phương pháp được đưa ra để giải phương trình bậc 4 trên
trường số phức như phương pháp hệ số bất định, công thức Cardano. Sau đây
tôi xin đưa ra một phương pháp để giải phương trình bậc 4: x4+ax3+bx2+cx+d=0
a , b, c , d ∈ R trên trường số phức, đó là chúng ta sẽ phân tích vế trái của phương
trình đã cho thành nhân tử. Và cách phân tích cụ thể như sau:
1. Phương trình dạng x4+ax2+bx+c=0 (*)
Cách giải chung: phân tích
x 4 + ax 2 + bx + c = ( x 2 + m ) − p( x + n )
2 2




= x 4 + ( 2m − p ) x 2 − 2pnx + m 2 − pn 2

 2m − p = a (1)

( 2)
sau đó ta đồng nhất hệ số.  − 2 pn = b
 m 2 − pn 2 = c ( 3)

−b
p+a
; từ (2) ta có n =
Từ (1) ta có: m = thế vào (3) ta được :
2p
2
( p + a)2 b2
− p. 2 = c ( 4) .
4 4p
Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm một nghiệm p mà không cần giải cả
phương trình (4). Sau đó thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m và giải
phương trình ban đầu.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên trường số phức:
z4-24z-32=0
Giải:

Tr i ệu Thu Thủy Trang 1
G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức
i

Ta có: z 4 + 24 z − 32 = ( z 2 + m ) − p( z + n )
2 2




= z 4 + ( 2m − p ) z 2 − 2 pnz + m 2 − pn 2

 2m − p = 0 (1)

( 2) . Để giải hệ (1), (2), (3) ta
Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = −24
 m 2 − pn 2 = −32 ( 3)

rút hai ẩn m, n theo p từ (1) và (2) sau đó thế vào phương trình (3).
12
p
; từ (2) ta có n =
Từ (1) ta có: m = thế vào (3) ta được :
p
2
p2 144
− p. 2 = −32 ⇔ p 3 − 20 p 2 + 128 p − 576 = 0 ( 4) .
4 p
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=3.
Vậy phương trình đã cho trở thành:
(z + 2 ) − 4.( z + 3) = 0
2 2
2



⇔ ( z 2 − 2 z − 4 ) .( z 2 + 2 z + 8) = 0
 z 2 − 2z − 4 = 0
⇔ 2
 z + 2z + 8 = 0
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là : z = 1 ± 5 , z = −1 ± i 7


Ví dụ 2 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
z 4 − 5. z 2 − 18 z − 5 = 0
Giải :
Ta có: z 4 − 5 z 2 − 18 z − 5 = ( z 2 + m ) − p( z + n )
2 2




= z 4 + ( 2m − p ) z 2 − 2 pnz + m 2 − pn 2

 2m − p = −5 (1)

( 2) .
Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = −18
 m 2 − pn 2 = −5 ( 3)




Tr i ệu Thu Thủy Trang 2
G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức
i

p−5 9
; từ (2) ta có n = thế vào (3) ta được :
Từ (1) ta có: m =
p
2
( p − 5) 2 81
− p. 2 = −5 ⇔ p 3 − 10. p 2 + 45 p − 324 = 0 (4) .
4 p
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=9, từ đó m=2, n=1.
Vậy phương trình đã cho trở thành:
(z + 2 ) − 9.( z + 1) = 0
2 2
2



⇔ ( z − 3 z − 1) .( z + 3 z + 5) = 0
2 2



 z 2 − 3z − 1 = 0
⇔ 2
 z + 3z + 5 = 0
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là :
3 ± 13 − 3 ± i 11
z= ,z = .
2 2


2. Phương trình bậc 4 tổng quát : z4+az3+bz2+cz+d=0 a , b, c , d ∈ R .
Chúng ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng phương trình ở phần 1

a
bằng cách đặt : z = y − , khi đó hệ số bậc 3 sẽ bị triệt tiêu.
4
Ví dụ 3 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
z 4 + 8 z 3 + 24 z 2 − 16 z − 220 = 0 (1)
Giải : Đặt z=y-2, với ẩn y phương trình (1) trở thành:
( y − 2) + 8.( y − 2) + 24( y − 2 ) − 16( y − 2) − 220 = 0
4 3 2



⇔ y 4 − 8 y 3 + 24 y 2 − 32 y + 16 + 8 y 3 − 48 y 2 + 96 y − 64 + 24 y 2 − 96 y + 96
− 16 y + 32 − 220 = 0
( 2)
⇔ y 4 − 48 y − 140 = 0

Ta có : y 4 − 48.y − 140 = ( y 2 + m ) − p ( y + n )
2 2




= y 4 + ( 2m − p ) y 2 − 2pny + m 2 − pn 2


3
Tr i ệu Thu Thủy Trang
G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức
i

 2m − p = 0 ( 3)

( 4) .
Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = −48
 m 2 − pn 2 = −140 ( 5)

24
p
; từ (4) ta có n =
Từ (3) ta có: m = thế vào (5) ta được :
p
2
p2 576
− p. 2 = −140 ⇔ p 3 − 560 p − 4.576 = 0 ( 6) .
4 p
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=6.
Vậy phương trình (6) trở thành:
(y + 2 ) − 4.( y + 6) = 0
2 2
2



⇔ ( y + 2 y + 14 ) .( y − 2 y − 10 ) = 0
2 2



 y 2 + 2 y + 14 = 0
⇔ 2
 y − 2 y − 10 = 0
Phương trình (6) có 6 nghiệm là : y = 1 ± 11 , y = −1 ± i 13 .
Khi đó phương trình đã cho (1) có nghiệm là:
z = −1 ± 11 , z = −3 ± i 13 .
Ví dụ 4 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
z 4 + 4 z 3 + 19 z 2 + 48 z + 45 = 0
Giải :
Đặt z=y-1. Khi đó phương trình trở thành :
( y − 1) + 4.( y − 1) + 19( y − 1) + 48( y − 1) + 45 = 0
4 3 2



⇔ y 4 − 4 y 3 + 6 y 2 − 4 y + 1 + 4 y 3 − 12 y 2 + 12 y − 4 + 19 y 2 − 38 y + 19
+ 48 y − 48 + 45 = 0
⇔ y 4 + 13 y 2 + 18 y + 13 = 0 ( * *)

Ta có : y 4 + 13.y 2 + 18.y + 13 = ( y 2 + m ) − p ( y + n )
2 2




= y 4 + ( 2m − p ) y 2 − 2pny + m 2 − pn 2



4
Tr i ệu Thu Thủy Trang
G ải phương trình bậc bốn trên trường số phức
i

 2m − p = 13 (1)

( 2) .
Đồng nhất hệ số ta có:  − 2 pn = 18
 m 2 − pn 2 = 13 ( 3)

p + 13 9
; từ (2) ta có n = − thế vào (3) ta được :
Từ (1) ta có: m =
p
2
( p + 13) 2 81
− p. 2 = 13 ⇔ p 3 + 26. p 2 + 117 p − 324 = 0 ( 4) .
4 p
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=-9, từ đó m=2, n=1.
Vậy phương trình (4) trở thành:
(y + 2 ) + 9.( y + 1) = 0
2 2
2



⇔ ( y + 3iy + 2 + 3i ) .( y − 3iy + 2 − 3i ) = 0
2 2



 y 2 + 3iy + 2 + 3i = 0
⇔ 2
 y − 3iy + 2 − 3i = 0
Các bạn hãy giải phương trình trên với ẩn y sau đó thay trở lại để được ẩn z.
Một số bài tập tương tự :
Giải các phương trình sau trên trường số phức :
z 4 + 6 z 2 − 4 z + 14 = 0
a.
z 4 − 4z − 1 = 0
b.
z 4 − 10 z 2 + 16 z − 7 = 0
c.
z 4 − 4 z 3 − 9 z 2 − 10 z − 5 = 0
d.
e. z 4 − 8 z 3 + 31 z 2 − 62 z + 63 = 0




5
Tr i ệu Thu Thủy Trang
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản