Gi i ph ng trình b c b n trên tr ng s ph cả ươ ậ ố ườ ố ứ
GI I PH NG TRÌNH B C B N TRÊN TR NG S PH CẢ ƯƠ Ậ Ố ƯỜ Ố Ứ
Ng i th c hi nườ ự ệ : Tri u Thu Thuệ ỷ
T : Khoa h c t nhiên- Khoa Văn hoá, Ngo i ngổ ọ ự ạ ữ
Tr ng Sĩ quan Chính tr - Thành ph B c Ninh - T nh B c Ninhườ ị ố ắ ỉ ắ
S đi n tho i: 0987730790ố ệ ạ
---------------------------------
Đã có r t nhi u ph ng pháp đ c đ a ra đ gi i ph ng trình b c 4 trênấ ề ươ ượ ư ể ả ươ ậ
tr ng s ph c nh ph ng pháp h s b t đ nh, công th c Cardano. Sau đâyườ ố ứ ư ươ ệ ố ấ ị ứ
tôi xin đ a ra m t ph ng pháp đ gi i ph ng trình b c 4: xư ộ ươ ể ả ươ ậ 4+ax3+bx2+cx+d=0
Rdcba ∈,,,
trên tr ng s ph c, đó là chúng ta s phân tích v trái c a ph ngườ ố ứ ẽ ế ủ ươ
trình đã cho thành nhân t . Và cách phân tích c th nh sau:ử ụ ể ư
1.Ph ng trình d ng xươ ạ 4+ax2+bx+c=0 (*)
Cách gi i chung: ảphân tích
( )
( )
2
2
224 nxpmxcbxaxx +−+=+++
( )
4 2 2 2
x 2m p x 2pnx m pn= + − − + −
sau đó ta đ ng nh t h s . ồ ấ ệ ố
( )
( )
=−
=−
=−
3
22
)1(2
22 cpnm
bpn
apm
T (1) ta có: ừ
2
ap
m+
=
; t (2) ta có ừ
p
b
n2
−
=
th vào (3) ta đ cế ượ :
)4(
4
.
4
)(
2
22
c
p
b
p
ap =−
+
.
Trong ph ng trình (4) ta ch c n tìm m t nghi m p mà không c n gi i cươ ỉ ầ ộ ệ ầ ả ả
ph ng trình (4). Sau đó thay vào ph ng trình (1), (2) tìm n, m và gi iươ ươ ả
ph ng trình ban đ u.ươ ầ
Ví d 1: ụGi i ph ng trình sau trên tr ng s ph c:ả ươ ườ ố ứ
z4-24z-32=0
Gi i:ả
Tri u Thu Th yệ ủ Trang 1
Gi i ph ng trình b c b n trên tr ng s ph cả ươ ậ ố ườ ố ứ
Ta có:
( )
2224 22 pnmpnzzpmz −+−−+=
Đ ng nh t h s ta có: ồ ấ ệ ố
( )
( )
−=−
−=−
=−
332
2242
)1(02
22 pnm
pn
pm
. Đ gi i h (1), (2), (3) taể ả ệ
rút hai n m, n theo p t (1) và (2) sau đó th vào ph ng trình (3).ẩ ừ ế ươ
T (1) ta có: ừ
2
p
m=
; t (2) ta có ừ
p
n12
=
th vào (3) ta đ cế ượ :
)4(05761282032
144
.
4
23
2
2=−+−⇔−=− ppp
p
p
p
.
D th y ph ng trình (4) có nghi m p=4, t đó m=2, n=3.ễ ấ ươ ệ ừ
V y ph ng trình đã cho tr thành:ậ ươ ở
( )
( )
( ) ( )
=++
=−−
⇔
=++−−
⇔
=+−+
082
042
082.42
03.42
2
2
22
2
2
2
zz
zz
zzzz
zz
V y ph ng trình đã cho có 4 nghi m ph c làậ ươ ệ ứ :
71,51 izz ±−=±=
V í d 2ụ : Gi i ph ng trình sau trên tr ng s ph cả ươ ườ ố ứ :
0518.5 24 =−−− zzz
Gi iả :
Ta có:
( )
( )
2
2
224 5185 nzpmzzzz +−+=−−−
( )
2224 22 pnmpnzzpmz −+−−+=
Đ ng nh t h s ta có: ồ ấ ệ ố
( )
( )
−=−
−=−
−=−
35
2182
)1(52
22 pnm
pn
pm
.
Tri u Thu Th yệ ủ Trang 2
Gi i ph ng trình b c b n trên tr ng s ph cả ươ ậ ố ườ ố ứ
T (1) ta có: ừ
2
5−
=p
m
; t (2) ta có ừ
p
n9
=
th vào (3) ta đ cế ượ :
)4(032445.105
81
.
4
)5( 23
2
2=−+−⇔−=−
−ppp
p
p
p
.
D th y ph ng trình (4) có nghi m p=9, t đó m=2, n=1.ễ ấ ươ ệ ừ
V y ph ng trình đã cho tr thành:ậ ươ ở
( )
( )
( ) ( )
=++
=−−
⇔
=++−−
⇔
=+−+
053
013
053.13
01.92
2
2
22
2
2
2
zz
zz
zzzz
zz
V y ph ng trình đã cho có 4 nghi m ph c làậ ươ ệ ứ :
.
2
113
,
2
133 i
zz ±−
=
±
=
2. Ph ng trình b c 4 t ng quátươ ậ ổ : z4+az3+bz2+cz+d=0
Rdcba ∈,,,
.
Chúng ta có th đ a ph ng trình t ng quát v d ng ph ng trình ph n 1ể ư ươ ổ ề ạ ươ ở ầ
b ng cách đ tằ ặ :
4
a
yz −=
, khi đó h s b c 3 s b tri t tiêu.ệ ố ậ ẽ ị ệ
V í d 3ụ : Gi i ph ng trình sau trên tr ng s ph cả ươ ườ ố ứ :
022016248 234 =−−++ zzzz
(1)
Gi iả : Đ t z=y-2, v i n y ph ng trình (1) tr thành:ặ ớ ẩ ươ ở
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2014048
02203216
96962464964881632248
02202162242.82
4
223234
234
=−−⇔
=−+−
+−+−+−++−+−⇔
=−−−−+−+−
yy
y
yyyyyyyyy
yyyy
Ta có :
( )
( )
22
4 2
y 48.y 140 y m p y n− − = + − +
( )
4 2 2 2
y 2m p y 2pny m pn= + − − + −
Tri u Thu Th yệ ủ Trang 3
Gi i ph ng trình b c b n trên tr ng s ph cả ươ ậ ố ườ ố ứ
Đ ng nh t h s ta có: ồ ấ ệ ố
( )
( )
−=−
−=−
=−
5140
4482
)3(02
22 pnm
pn
pm
.
T ừ(3) ta có:
2
p
m=
; t (4) ta có ừ
p
n24
=
th vào (5) ta đ cế ượ :
)6(0576.4560140
576
.
4
3
2
2=−−⇔−=− pp
p
p
p
.
D th y ph ng trình (4) có nghi m p=4, t đó m=2, n=6.ễ ấ ươ ệ ừ
V y ph ng trình (6) tr thành:ậ ươ ở
( )
( )
( ) ( )
=−−
=++
⇔
=−−++
⇔
=+−+
0102
0142
0102.142
06.42
2
2
22
2
2
2
yy
yy
yyyy
yy
Ph ng trình (6) có 6 nghi m làươ ệ :
.131,111 iyy ±−=±=
Khi đó ph ng trình đã cho (1) có nghi m là: ươ ệ
.133,111 izz ±−=±−=
V í d 4ụ : Gi i ph ng trình sau trên tr ng s ph cả ươ ườ ố ứ :
04548194 234 =++++ zzzz
Gi iả :
Đ t ặz=y-1. Khi đó ph ng trình tr thànhươ ở :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
**0131813
0454848
1938194121241464
0451481191.41
24
223234
234
=+++⇔
=+−+
+−+−+−++−+−⇔
=+−+−+−+−
yyy
y
yyyyyyyyy
yyyy
Ta có :
( )
( )
22
4 2 2
y 13.y 18.y 13 y m p y n+ + + = + − +
( )
4 2 2 2
y 2m p y 2pny m pn= + − − + −
Tri u Thu Th yệ ủ Trang 4
Gi i ph ng trình b c b n trên tr ng s ph cả ươ ậ ố ườ ố ứ
Đ ng nh t h s ta có: ồ ấ ệ ố
( )
( )
=−
=−
=−
313
2182
)1(132
22
pnm
pn
pm
.
T (1) ta có: ừ
2
13+
=p
m
; t (2) ta có ừ
p
n9
−=
th vào (3) ta đ cế ượ :
)4(0324117.2613
81
.
4
)13( 23
2
2=−++⇔=−
+ppp
p
p
p
.
D th y ph ng trình (4) có nghi m p=-9, t đó m=2, n=1.ễ ấ ươ ệ ừ
V y ph ng trình (4) tr thành:ậ ươ ở
( )
( )
( ) ( )
=−+−
=+++
⇔
=−+−+++
⇔
=+++
0323
0323
0323.323
01.92
2
2
22
2
2
2
iiyy
iiyy
iiyyiiyy
yy
Các b n hãy gi i ph ng trình trên v i n y sau đó thay tr l i đ đ c n z.ạ ả ươ ớ ẩ ở ạ ể ượ ẩ
M t s bài t p tộ ố ậ ng tươ ự :
Gi i các ph ng trình sau trên tr ng s ph cả ươ ườ ố ứ :
a.
01446 24 =+−+ zzz
b.
014
4=−− zz
c.
071610 24 =−+− zzz
d.
051094 234 =−−−− zzzz
e.
06362318 234 =+−+− zzzz
Tri u Thu Th yệ ủ Trang 5