Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi
1.1. Ứng suất và phương trình cân bằng
1.1.1. Khái niệm về nội lực, ứng suất, trạng thái ứng suất
Khi vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể xuất hiện nội lực để chống lại sự biến dạng đó.
Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể khi vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực.
Biểu diễn nội lực trên một mặt cắt bất kỳ thuộc vật thể, và là lực phân bố bề mặt. Có thể hiểu rằng ứng suất là cường độ nội
lực và ứng suất tại một điểm là cường độ nội lực tại điểm đang xét. Như vậy ứng suất toàn phần tại một điểm K(x, y, z) trên một
mặt cắt có vec tơ pháp tuyến n được định nghĩa bởi:
0
lim
nA
P
pA



(1.1)
Hình 1.1. Phương pháp mặt cắt xác định nội lực
Ứng suất toàn phần phân tích thành ứng suất pháp và ứng suất tiếp
Qui ước chiều dương của ứng suất khi:
Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều
dương của các trục tương ứng
Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm
của các trục tương ứng
Tập hợp tất cả các thành phần ứng suất trên tất cả các mặt đi qua điểm đang xét gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó.
Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm, ta tách ra phân tố lập phương vô cùng bé chứa điểm đó, biểu diễn các
thành phần ứng suất trên các mặtt của phân tố (hình 1.2.)
Chín thành phần ứng suất trên ba mặt vuông góc với ba trục lập thành ten xơ ứng suất – đặc trưng cho trạng thái ứng suất
tại một điểm.





xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
T
(1.2)
Hình 1.2. Các thành phần ứng suất trên các mặt của phân tố
1.1.2. Phương trình cân bằng
Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:
Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ
*
F
với hình chiếu lên 3 trục toạ độ
,,x y z
:
*
F
(
***
,,
x y z
FFF
)
Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với hình chiếu lên 3 trục tọa độ
,,x y z
là
,,
x y z
FFF
.
Hifnh 1.3. Lực thể tích và lực bề mặt tác dụng lên vật thể
Khi vật thể ở trạng thái cân bằng Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng => Phương trình cân bằng Navier-Cauchy:





2
2
0
yx
xx zx
x
du
F
x y z dt
(1.3)





2
2
0
zy
zx zz
z
dw
F
x y z dt
Trong trường hợp cân bằng động thì vế phải trong (1.3) là lực quán tính (trong ngoặc -
là khối lượng riêng)
1.2. Lý thuyết về biến dạng và chuyển vị
Dưới tác dụng của ngoại lực, vật rắn thay đổi hình dạng kích thước – vật rắn biến dạng. Ví dụ thanh công – xôn bị biến
dạng dưới tác dụng của ngoại lực như hình vẽ 1.1. Quan sát lưới trên bề mặt thanh có thể nhận thấy mỗi phân tố vừa có biến dạng
dài, vừa có biến dạng góc. Một vật thể bị biến dạng thì khoảng cách tương đối giữ hai điểm bất kỳ trong vật thể thay đổi.
Hình 1.4. Biến dạng của thanh công – xôn
1.2.1. Chuyển vị
Sự thay đổi vị trí của điểm vật chất trong vật thể biến dạng gọi là chuyển vị.
Xét vật thể hình dạng bất kỳ, trước biến dạng hai điểm vật chất P và P0 lân cận nhau xác định bởi vec tơ r như hình 1.2, sau
biến dạng hai điểm này có vị trí mới P’ và P0’ xác định bởi vec tơ r’. Như vậy
0
00
'P P u
là chuyển vị của điểm P0 và
'PP u
là
chuyển vị của điểm P. Theo lý thuyết biến dạng hữu hạn hay biến dạng lớn, có hai cách mô tả các chuyển vị này theo Lagrange
hay theo Euler. Tuy nhiên, khi chấp nhận giả thiết biến dạng bé thì hai cách mô tả này là như nhau.
Trong hệ tọa độ vuông góc, do P và P’ lân cận nhau nên có thể khai triển Taylor quanh P0 để biểu diễn các thành phần của
vec tơ chuyển vị u(u, v, w) dưới dạng:
(1.4)
1.2.2. Biến dạng bé
Xét biến dạng của phân tố vật chất chứa điểm M(xi). Phân tố hình hộp có các cạnh
,,dx dy dz
và các mặt song song với các
mặt phẳng toạ độ. Dưới tác dụng của ngoại lực, vật thể biến dạng. Quan sát biến dạng của hình chiếu phân tố trên mặt phẳng toạ
độ Oxy, giả sử phân tố chỉ bị biến dạng thuần túy (không có chuyển động quay quanh các trục - hình 1.2).
Theo định nghĩa, biến dạng dài tỉ đối theo các phương x:
''
xx
A B AB
AB
, và biến dạng góc trong mặt phẳng xy:
xy

.
Với giả thiết biến dạng bé, ta nhận được phương trình hình học mô tả quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng.
Hình 1.5. Biến dạng của phân tố lập phương