Tối ưu hóa thực nghiệm: Bài giảng Chương 10

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

PhÇn IV Tèi u ho¸ thùc nghiÖm

10.1- Kh¸i niÖm vµ ph©n lo¹i c¸c ph ¬ng ph¸p tèi u ho¸:

Cã 4 ph ¬ng ph¸p t×m ®iÒu kiÖn tèi u chÝnh: - Ph ¬ng ph¸p mß ®iÒu kiÖn tèi u b»ng c¸ch lÇn l ît kh¶o s¸t tõng nh©n tè ¶nh h ëng lªn kÕt qu¶ thÝ nghiÖm trong khi cè ®Þnh c¸c yÕu tè kh¸c (h×nh a/).

b/ Ph ¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ® êng dèc nhÊt

a/ Ph ¬ng ph¸p mß

c/ Ph ¬ng ph¸p ®¬n h×nh

d/ Ph ¬ng ph¸p kh¶o s¸t mÆt môc tiªu

- Ph ¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ® êng dèc nhÊt, ® êng cña vect¬ grad y(x) (h×nh b/). - Ph ¬ng ph¸p kh¶o s¸t mÆt môc tiªu (h×nh c/). - Ph ¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ®¬n h×nh (h×nh d/)

H×nh 10.1- Minh ho¹ c¸c ph ¬ng ph¸p tèi u ho¸

10.2.Ph ¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ® êng dèc nhÊt § êng dèc nhÊt lµ ® êng chuyÓn dÞch theo vect¬ grad y(x), vect¬ nµy biÓu thÞ sù biÕn thiªn nhanh nhÊt cña y(x) vÒ phÝa cùc trÞ.

Thùc chÊt cña viÖc thùc nghiÖm theo ® êng dèc nhÊt ®Ó t×m ®iÒu kiÖn tèi u thùc nghiÖm lµ t×m c¸c kho¶ng biÕn thiªn míi i*, j* t ¬ng øng cña c¸c yÕu tè xi, xj... tû lÖ víi

104

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

nhau theo mét tû sè x¸c ®Þnh, ®Ó dÞch chuyÓn ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn thÝ nghiÖm vÒ phÝa cùc trÞ.

Cã thÓ m« t¶ qui ho¹ch thùc nghiÖm theo ® êng dèc nhÊt b»ng b¶ng sau ®©y:

B¶ng 10.1- Ma trËn thùc nghiÖm theo ® ¬ng dèc nhÊt Stt 1 2 3 4 ... ... ... ... ... Møc gèc HÖ sè bi Kho¶ng biÕn thiªn bii x1 01 B1 1 b11 x2 02 b2 2 B 22 x3 03 b3 3 b33 xn 0n bn n bnn b i' = 5 ... 1' 2' 3' n' b  i  max

j Lµm trßn i' thµnh i* Thùc nghiÖm thø 1 theo i' Thùc nghiÖm thø 2 theo i' Thùc nghiÖm thø 3 theo i' ... Thùc nghiÖm thø k theo i' ... Thùc nghiÖm thø m theo i'

6 7 8 9 ... K ... M ... ... ... ... ... ... ... ... y6* y7* y8* ... yk* ... ym* 1* 01+11* 01+21* 01+31* ... 01+k1* ... 01+m1* 2* 02+12* 02+22* 02+32* ... 02+k2* ... 02+m2* 3* 03+13* 03+23* 03+33* ... 03+k3* ... 03+m3* n* 0n+1n* 0n+2n* 0n+3n* ... 0n+kn* ... 0n+mn*

Ghi chó: - Møc gèc 0 i lµ møc dïng ®Ó m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm thu ® îc hµm môc tiªu y(x) phï hîp. - HÖ sè bi lµ hÖ sè cña ph ¬ng tr×nh håi qui phï hîp. - Kho¶ng biÕn thiªn  lµ kho¶ng biÕn thiªn ®· dïng ®Ó m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm cho hµm môc tiªu phï hîp - Lµm trßn 1' thµnh 1* lµ phÐp lµm trßn sè häc. (ThÝ dô: 0.3 thµnh 0.5; 0.8 thµnh 1.0) - 1* lÊy dÊu cña cña hÖ sè bi t ¬ng øng. - Qi + i1* lµ céng ®¹i sè, nÕu 1* < 0 th× lµm gi¶m møc gèc, nÕu 1* > 0 th× lµm t¨ng møc gèc.

Gi¶ thiÕt yk* lµ gi¸ trÞ thùc nghiÖm thu ® îc cùc trÞ, khi ®ã ®iÒu kiÖn thùc nghiÖm ®Ó thu ® îc yk* lµ ®iÒu kiÖn tèi u thùc nghiÖm.

VÝ dô 10.1: Nghiªn cøu sù biÕn tÝnh cña nh«m nguyªn chÊt b»ng m« lÝp ®en. Th«ng sè tèi u hãa y ® îc chän lµ sè h¹t nh«m trªn bÒ mÆt 1cm2.

C¸c yÕu tè ¶nh h ëng ®Õn th«ng sè tèi u hãa lµ:1/ x1: l îng m« lÝp ®en ® a vµo nh«m, tÝnh b»ng %; 2/ x2: nhiÖt ®é nung nãng, 0C; 3/ x3: thêi gian nung nãng, phót; 4/ x4: tèc ®é lµm l¹nh (ñ), trong ®ã x1, x2, x3 lµ nh÷ng yÕu tè ®Þnh l îng, x4 lµ yÕu tè ®Þnh tÝnh, cã hai gi¸ trÞ: lµm l¹nh nhanh (lµm l¹nh b»ng ®¸ graphit), lµm l¹nh chËm (lµm l¹nh b»ng g¹ch chÞu löa).

B¶ng 10.2- C¸c møc cña c¸c yÕu tè ® îc cho ë b¶ng sau : C¸c yÕu tè C¸c møc

nghiÖm gèc

Kho¶ng biÕn thiªn Møc trªn (+) x1 0,4 0,15 0,55 x3 60 60 120 x 4 - - ®¸ graphit x2 840 100 940

105

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

Møc d íi (-) 0,25 740 0 G¹ch chÞu löa

M« h×nh ® îc chän lµ m« h×nh thùc nghiÖm bËc 1 rót gän lµ lo¹i 24 – 1 ph ¬ng tr×nh håi qui thu ® îc cã d¹ng: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x 4

Víi biÓu thøc sinh x4 = x1x2x3. C¸c thÝ nghiÖm kh«ng lµm lÆp l¹i.

Ma trËn qui ho¹ch thùc nghiÖm vµ c¸c kÕt qu¶ ® îc cho ë b¶ng d íi ®©y:

0 (u = 1, 2, 3) vµ c¸c tÝnh to¸n y0 vµ (yu

STT 1 2 3 4 5 6 7 8 X0 + + + + + + + + x1 + - + - + - + - B¶ng 10.3- Ma trËn quy ho¹ch thÝ nghiÖm x2 + + - - + + - - Y 100 81 95 36 130 69 90 64 x3 + + + + - - - - §Ó x¸c ®Þnh ph ¬ng sai t¸i hiÖn sth X4 + - - + - + + - 2 ph¶i lµm thªm 3 thÝ nghiÖm ë t©m ph ¬ng 0 - y 0) ® îc cho ë b¶ng

¸n. C¸c kÕt qu¶ nhËn ® îc yu 10.3 sau :

0 2 )

y 

8 

0 y u

0 u

 (

 y

1 

y0 (yu yu

0 - y0)2 0 4 4

0 – y0 0 2 -2

1  3

STT 1 2 3 B¶ng 10.4- B¶ng kÕt qu¶ vµ c¸ch tÝnh ph ¬ng sai : yu 80 82 78 80 

20 )

y 

0 y u

Ph ¬ng sai lÆp l¹i, chÝnh lµ sai sè thøc nghiÖm:

 (

1 



4 

2 0

1 

C¸c hÖ sè trong m« h×nh ® îc tÝnh theo c«ng thøc:

N  1i 

N  1i  N

;

b0 = 83,1; b1 = 20,0; b2 = 11,9; b3 = -5,1; b4 = -9,4

71,0



KiÓm ®Þnh tÝnh nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui:

t 

b j

2 th N

;

t1 = 28,16; t2 = 16,76; t3 = 7,18; t4 = 13,2; t0 = 117,04

106

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

Tra b¶ng tp (f) víi p = 0,05; f = n0 - 1 = 2; tp (f) = 4,30.

C¸c tj > tp (f) víi j = (0,1, 2, 3, 4) do ®ã c¸c hÖ sè håi quy ®Òu cã ý nghÜa vµ ph ¬ng tr×nh håi quy cã d¹ng: y = 83,1 + 20x1 + 11,9x2 - 5,1x3 - 9,4x 4.

2 ® îc cho ë b¶ng sau :





)yˆ i

N  1i 

Tõ m« h×nh to¸n häc ta thÊy r»ng muèn t¨ng gi¸ trÞ cña th«ng sè tèi u hãa cÇn t¨ng gi¸ trÞ cña c¸c yÕu tè x1 vµ x2 vµ gi¶m gi¸ trÞ cña c¸c yÕu tè x3 vµ x4. KiÓm ®Þnh sù t ¬ng thÝch cña m« h×nh víi thùc nghiÖm ® îc thùc hiÖn theo tiªu chuÈn Fisher.

yˆi 101 79 96 37 130 71 87 66

(



y )ˆ i



1 

0.2



B¶ng 10.5- C¸c sè liÖu dïng ®Ó tÝnh ssk STT 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 100 81 95 36 130 69 90 64 yo - yˆi -1 2 -1 -1 0 -2 3 -2 (yo - yˆi)2 1 4 1 1 0 4 9 4



8 

2 sk



S S

2 sk 2 f

Vµ

Tra b¶ng F1 - p (f1, f2); p = 0,05; f1 = 3; f2 = 2 ® îc : F1 - p (3, 2) = 19,2 F < F1 - p (f1, f2), do ®ã ph ¬ng tr×nh t ¬ng thÝch víi thùc nghiÖm.

Tèi u hãa thùc nghiÖm ® îc thùc hiÖn b»ng ph ¬ng ph¸p ® êng dèc nhÊt, b¾t ®Çu tõ ®iÓm kh«ng, lµ møc c¬ së: x1 = 0,40; x2 = 840; x3 = 60; x4 lµm l¹nh chËm (lµm l¹nh b»ng g¹ch chÞu löa).

B¶ng 10.6- C¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm tèi u hãa ® îc tr×nh bµy ë b¶ng sau : Tªn

y - - - - - -

01- Møc c¬ së 02- HÖ sè bj 03- Kho¶ng biÕn thiªn 04- bj x j 05- B íc j 06- B íc lµm trßn 07- ThÝnghiÖm t ëng t îng 08- ThÝnghiÖm t ëng t îng 09- ThÝ nghiÖm thø 9 10- ThÝnghiÖm t ëng t îng 11- ThÝnghiÖm t ëng t îng 12- ThÝ nghiÖm thø 10 13- ThÝ nghiÖm thø 11 14- ThÝ nghiÖm thø 12 x1 0,40 20 0,15 3 0,0252 0,03 0,43 0,46 0,49 0,52 0,55 0,58 0,61 0,64 x2 840 11,9 100 1190 10 10 850 860 870 880 890 900 910 920 x3 60 -5,1 60 -306 -2,57 -3 57 54 51 48 45 42 39 36 x4 - -9,4 - - - - G¹ch chÞu löa '' " " " " " " - 108 - - 196 366 313

Chän c¸c b íc chuyÓn ®éng cña yÕu tè x2 lµ 2, 2 = 100C. C¸c b íc chuyÓn ®éng cña c¸c yÕu tè x1 vµ x3 trong b¶ng ® îc tÝnh nh sau:

107

.10

0252



.   2

b 1 b

15,0.20 100.9,11

 1  2

.10

57,2





.   2

b 3 b

60).1,5(  100.9,11

 3  2

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

VÝ dô 10.2:

B»ng ph ¬ng ph¸p theo ® êng dèc nhÊt cã thÓ tèi u ho¸ hiÖu suÊt (y, %) cña ph¶n øng A D xÈy ra trong dung dÞch r îu cã chÊt xóc t¸c. Chóng ta chän c¸c nh©n tè sau ®©y ®Ó nghiªn cøu t×m ®iÌu kiÖn tèi u ho¸: 1/ z1 - Nång ®é chÊt [A] g/l, 2/ z2 - NhiÖt ®é ph¶n øng Co, 3/ z3 - Nång ®é chÊt xóc t¸c g/l, 4/ z4 - Thêi gian ph¶n øng, giê.

B¶ng 10.7- §iÒu kiÖn thùc nghiÖm Nh©n tè Møc gèc z0 Møc

Kho¶ng thay ®æi zj Cao xj= +1 ThÊp x j = -1

30 60 10 4,0 10 20 1,5 0,5 40 80 11,5 4,5 20 40 8,5 3,5 z1 z2 z3 z4

Muèn x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cña ph ¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh: yˆ= b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x 4 chóng ta chän ph ¬ng ¸n thùc nghiÖm rót gän tõ kÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm bËc 1 ®Çy ®ñ víi hÖ thøc ph¸t sinh x4 = x1x2x3 (b¶ng III-14) lµm ma trËn thùc nghiÖm. ViÖc chän hÖ thøc ph¸t sinh ® îc quy ®Þnh bëi chóng ta quan t©m tíi sù ®¸nh gi¸ ®èi víi hiÖu øng tuyÕn tÝnh. Mçi thÝ nghiÖm trong ma trËn thiÕt kÕ ® îc lÆp l¹i 2 lÇn.

yˆ

)yˆy(  2

B¶ng 10.8- Ma trËn vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm x1 x2 x 3 x4 y1 Y2 sy yˆy 

+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 40,48 32,68 43,38 29,18 40,12 32,32 43,62 29,42 42,43 31,51 41,82 30,56 42,73 33,97 42,95 28,71 41,41 32,10 42,60 29,87 41,43 33,20 43,29 29,07 41,00 32,23 43,36 29,88 41,00 32,23 43,86 29,88 0,41 0,13 0,76 0,01 0,43 0,97 0,07 0,81 1,73 0,68 1,22 0,95 3,41 1,53 0,22 0,25 10,00 0,16 0,02 0,57 0,00 0,16 0,93 0,00 0,66 2,45 ThÝ nghiÖm sè 1 2 3 4 5 6 7 8 

TÝnh lÆp l¹i ® îc ®¸nh gi¸ theo chuÈn khoren:

s N

41,3 0,10

2 max  2 i



1i 

G = = 0,341

Gi¸ trÞ chuÈn khoren ® îc tra ë b¶ng ®èi víi p = 0,05 vµ sè bËc tù do f1= 1, f2 = 8 b»ng: G1-p (f1, f2) = 0,6798

108

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

2 i

 s

Nh vËy G < G1-p (f1, f2), vµ do ®ã thùc nghiÖm lµ lÆp l¹i. Còng v× thÕ cho nªn ph ¬ng sai lÆp l¹i ® îc x¸c ®Þnh nh lµ ®é ph©n t¸n trung b×nh sè häc.



2 lao

1  N

0,10 8

s = 1,25

yˆ= 36,62 + 5,556x1 - 1,175x2 - 0,24x3 - 0,15x4

Sè bËc tù do cña ph ¬ng sai lÆp b»ng: f = N (m - 1) = 8 (2 - 1) = 8 C¸c hÖ sè ph ¬ng tr×nh håi qui ® îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (III - 78). Ph ¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng:

2 =

Ph ¬ng sai lÆp b»ng:

6,6 4

= 1,65 SlÆp

Víi sè bËc tù do flÆp = 4.

B¶ng 10.9- Nh©n tè HÖ sè bj bjzj Møc gèc z0 Kho¶ng thay ®æi míi Kbjzj

30,0 60,0 10,0 4,0 Kho¶ng thay ®æi cò zj 10,0 20,0 1,5 0,5 5,556 - 1,175 - - 55,56 -23,50 - - 5,56 -2,35 - - Z1 Z2 Z3 Z4

z1 35,56 41,12 46,68 52,24 57,80 63,36 68,92 74,48 80,04 B¶ng 10.10- ThÝ nghiÖm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z2 57,65 55,30 52,95 50,60 48,25 45,90 43,55 41,20 38,85 Z3 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 z4 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 Y 35,67 40,41 43,56 46,97 48,73 52,72 58,00 50,62 47,34

B¶ng 10.11 Nh©n tè Møc Møc gèc z0 j Cao xj = +1 ThÊp xj =-1 Kho¶ng thay ®æi zj

yˆ

68,92 43,55 10,00 20,00 78,92 63,55 68,92 23,55 z1 z2

yˆy  (

yˆy  )2

2 ys

x0 x1 x 2 y1 Y2

B¶ng 10.12- ThÝ nghiÖm 1 2 3 4 +1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 56,48 56,53 62,69 70,50 57,42 68,27 60,21 72,20 56,95 67,40 61,45 71,35 0,41 1,62 3,12 1,45 61,31 71,49 57,09 67,27 4,36 4,09 4,36 4,09 19,03 16,74 19,03 16,74

109

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

_ _ _ _ _ _ 6,6 _ _ 71,5 

yˆ= 64,29 - 2,112x1 - 5,09x2

Ph ¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh mµ hÖ sè cña nã ® îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (III, 78) cã d¹ng:

2 ® îc x¸c ®Þnh theo sè liÖu cét cuèi, b¶ng III - 18;

Chóng ta h·y kiÓm tra sù phï hîp cña ph ¬ng tr×nh nµy víi thùc nghiÖm (b¶ng III - 18). Ph ¬ng sai phï hîp sphï hîp

2 5,71  2 phïhîp 4 3 

= 143



ChuÈn F tÝnh ® îc b»ng:

143 65,1

2 phïhîp 2 s lap

= 86,7 F tÝnh =

Gi¸ trÞ chuÈn F tra b¶ng F 0,05 (1,4) = 7,7; vËy F tÝnh > F0,95 (1,4)

tuyÕn tÝnh kh«ng phï hîp víi thùc nghiÖm. Râ rµng ta Nh vËy ph ¬ng tr×nh håi qui ®· ®¹t ® îc vïng gÇn víi ®iÓm cùc trÞ.

VÝ dô 10.3:

Chóng ta h·y lÊy vÝ dô thùc nghiÖm 4 nh©n tè. CÇn ph¶i tèi u hãa qu¸ tr×nh xö lý nguyªn liÖu d îc phÈm. Ng êi sö dông c¸c nh©n tè sau ®©y coi nh lµ tèi u: Nång ®é dung dÞch am«niac dïng ®Ó chiÕt (X1, %), Thêi gian ng©m trong m¸y khuyÕch t¸n tÝnh b»ng phót (X2), sè m¸y khuyÕch t¸n (X3) vµ tû sè nguyªn liÖu vµ chÊt chiÕt X4. HiÖu suÊt c¸c chÊt tÝnh theo phÇn tr¨m nguyªn liÖu tiªu hao ® îc xem lµ hµm môc tiªu y.

Qua c¸c kÕt qu¶ 16 thÝ nghiÖm ®Çu tiªn (b¶ng 9.13) ta tÝnh ® îc ph ¬ng tr×nh håi qui (bá qua t ¬ng t¸c cña 2 thÝ nghiÖm trªn) d¹ng tæng qu¸t cña nã lµ: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x 4 + b12x1x2 + b13x1x3 + b14x 1x4 + b23x2x3 + b24x2x4 + b34x3x4.

C¸c hÖ sè cña ph ¬ng tr×nh b»ng: b0 = 48,8; b1 = 2,11; b2 = 3,12; b3 = 1,79; b4 = 1,36; b12 = 1,15; b13 = 1,87; b14 = 1,14; b23 = 0,22; b24 = 0,88; b34 = -1,38.

y = 48,8 + 2,11 . x1 + 3,12x2 + 1,79x3 + 1,36x4 + 1,87x1x3 - 1,38x3x4,

ë ma trËn t©m (møc gèc) ng êi ta thùc hiÖn 6 thÝ nghiÖm lÆp (17 - 22). Chóng cho y = 50,0; s2 = 5,00. Theo chuÈn t (khi P = 0,95) c¸c hÖ sè 1,15; 1,14; 0,22; 0,88 lµ kh«ng cã nghÜa vµ ® îc thay b»ng 0, ta thu ® îc ph ¬ng tr×nh:

nã phï hîp víi c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm, bëi v× Fph = 3,0 nhá h¬n F0,05(9,5) = 4,78 tra b¶ng.

Thùc hiÖn theo ph ¬ng ph¸p ® êng dèc nhÊt, cã thÓ kh«ng cÇn tÝnh ®Õn hÖ sè t ¬ng t¸c theo cÆp, v× chØ cÇn c¸c hÖ sè tuyÕn tÝnh vµ hÖ sè ® îc dÉn ra chØ ®Ó minh häa ph ¬ng ph¸p thu ® îc ph ¬ng tr×nh bËc hai rót gän.

Ph ¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh (ph ¬ng tr×nh bËc 1): y = 48,8 + 2,11x1 + 3,12x2 + 1,79x3 + 1,36x4

lµ phï hîp cña 16 thÝ nghiÖm ®Çu tiªn, v× F = 22,8 : 5,0 = 4,56 nhá h¬n F0,05(11,5) = 4,71 theo b¶ng. Bëi vËy, ph ¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh thu ® îc ® îc sö dông ®Ó thùc hiÖn ph ¬ng ph¸p ® êng dèc nhÊt, (b¶ng 9.14).

110

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

B¶ng 10.13.§iÒu kiÖn vµ ma trËn thùc nghiÖm.(ai-Møc gèc, ci-Kho¶ng thay ®æi)

§Æc tr ng

X1 1,5 0,5 X2 60 30 X4 5 1 X3 3 1

ai ci ThÝ nghiÖm y

y 61,0 48,5 42,3 49,1 56,0 40,2 45,3 45,1 44,2 46,2 51,1 46,6 48,4 50,4 46,4 57,1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x1 + + - - + + - - - + - + - + - + x2 + - - + + - - + - - + + + - - + x4 + - + - + - + - - + + - + + - - 63,2 45,6 44,2 47,0 51,0 41,3 41,0 45,4 43,5 51,0 57,5 46,0 45,0 49,0 50,5 60,8 x 3 + + + + - - - - - - - - + + + +

0 0 0 50,0 48,8 0 1722

B¶ng 10.14. Ma trËn th c nghiÖm theo ph ¬ng ph¸p ® êng dèc nhÊt. C¸c ®Æc tr ng Y X4 X2

Møc gèc ai Kho¶ng thay ®æi ci HÖ sè bi cibi X3 3 1 1,79 1,79 1 60 30 3,12 93,6 52 50,7

C¸c thÝ nghiÖm t ëng t îng

Kho¶ng thay ®æi míi 1 2 3 4 5 6 7 8 X1 1,5 0,5 2,11 1,05 0,50 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 3 4 5 6 7 8 9 10 5 1 1,36 1,36 0,76 5 5,8 6,6 7,4 8,2 9,0 9,8 10,6 85,5 92,0 96,4 60 110 160 210 260 310 360 410

Tõ 8 thÝ nghiÖm t ëng t îng ®· ® îc tÝnh to¸n, ta nhí l¹i thÝ nghiÖm 1, 6, 7, 8. ThÝ

nghiÖm 8 thu ® îc gi¸ trÞ y= 96,4%, trong giíi h¹n sai sè thÝ nghiÖm ë ®ã gÇn víi lý thuyÕt (100%).

VÝ dô 10.4:

CÇn ph¶i cùc tiÓu ho¸ thêi gian c« ®Æc kÕt tña khi thªm acid v« c¬ vµo dung dÞch (m«i tr êng pH). Nh ®· biÕt, nhiÖt ®é ¶nh h ëng tíi tèc ®é c« ®Æc. Muèn gi¶i quyÕt nhanh vÊn ®Ò nµy, ng êi ta tiÕn hµnh m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè (b¶ng 9.15). Theo kÕt qu¶ cña 4 thÝ nghiÖm ®Çu tiªn, ta nhËn ® îc ph ¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh cã d¹ng:

111

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

(191) y = b0 + b1x1 + b2x2

TÝnh hÖ sè ph ¬ng tr×nh theo c¸c c«ng thøc (188):

b0 = yu = (45 + 62 + 30 + 45) : 4 = 45,5,

b1 = x1uyu = (45 + 62 - 30 - 45) : 4 = 8,0,

1 4 1 4 1 4

b2 = x2uyu = (45 - 62 + 30 -45) : 4 = -8,0.

Ngoµi ra, cã thÓ tÝnh hÖ sè:

yxx

1 b12 =  4

1n 

= (45 - 62 - 30 + 45) : 4 = -0,5.

B¶ng 10.15. Nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu, ma trËn vµ kÕt qu¶ thÝ nghiÖm. §Æc tr ng Thêi gian c« ®Æc

M«i tr êng, X1 5 1 NhiÖt ®é, X2 40 10 Møc gèc ai Kho¶ng thay ®æi ci

y 45,5 61,5 29,5 45,5 45,5

x1 + + - - 0 x 2 + - + - 0 45,0 62,0 30,0 45,0 46,0 ThÝ nghiÖm 1 2 " 3 " " 4 5 - 10 "

yˆ= 45,5 +8,0 . x1 - 8,0 . x2.

KÕt qu¶ ph ¬ng tr×nh (191) cã d¹ng:

§Ó ®¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè cña ph ¬ng tr×nh håi qui cÇn ph¶i x¸c ®Þnh ® îc ph ¬ng sai ®Æc tr ng cho sai sè thÝ nghiÖm, S2 = 2,0 qua 6 thÝ nghiÖm lÆp l¹i ë trung t©m thùc nghiÖm (c¸c thÝ nghiÖm 5 - 10) cho gi¸ trÞ ë trung b×nh y0=46,0. Tõ ®©y tÝnh ph ¬ng sai ®Æc tr ng cho sai sè cña hÖ sè b»ng (xem c«ng thøc 189): s2 {bi} = s 2 : n = 2 : 4 = 0,5,

5,0

= 0,707. cßn ®é lÖch chuÈn cña hÖ sè: s {bi} =

Gi¸ trÞ t ®· tÝnh theo c«ng thøc (190) b»ng: t0 = 45,5 : 0,707 = 64,4; t 1 = t2= 8,0: 0,707 = 11,3 vµ lín h¬n gi¸ tri t tra b¶ng t0,95(5) = 2,01 (xem b¶ng t ë phô lôc). TÊt c¶ c¸c hÖ sè cña ph ¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh ®Òu cã nghÜa. Chóng ta nhËn thÊy r»ng hÖ sè b12 = -0,5 lµ kh«ng cã nghÜa, bëi v× t12 = 0,5 : 0,707 = 0,707 nhá h¬n 2,01 theo b¶ng.

y1 = 45,5 + 8,0 . 1 - 8,0 . 1 = 45,5, y 2 = 45,5 + 8,0 . 1 - 8,0 . (-1) = 61,5,

Muèn ®¸nh gi¸ sù phï hîp cña ph ¬ng tr×nh b»ng c¸c kÕt qu¶ cña m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè. Ta h·y tÝnh gi¸ trÞ thêi gian c« ®Æc vÒ mÆt lý thuyÕt ®èi víi mçi thÝ nghiÖm:

v.v.... (xem cét cuèi cïng b¶ng 46).

112

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

Sau ®ã, theo c«ng thøc (121) ta tÝnh ® îc gi¸ trÞ lý thuyÕt sai lÖch víi gi¸ trÞ thùc nghiÖm t ¬ng øng, b×nh ph ¬ng ®é lÖch vµ tæng cña chóng (SR):

= 1,00. SR =   i  y y

Khi tÝnh (124) chóng ta cã:

fR = N - (k + 1) = 4 - 3 = 1, 2 Rs = SR : fR = 1,00.

Sau ®ã chóng ta sö dông chuÈn F (xem c«ng thøc 125):

: s2 = 1: 2 = 0,5. FtÝnh = 2 Rs

Khi so s¸nh FtÝnh = 0,5 ®· tÝnh ® îc víi Ftra b¶ng , F0,05 (1 ; 5) = 6,61 (xem b¶ng F ë phô lôc) chóng ta tin r»ng ph ¬ng tr×nh phï hîp víi c¸c kÕt qu¶ cña m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè.

5,45





43,1

Cã thÓ coi ph ¬ng tr×nh lµ mét phÇn cña mÆt môc tiªu, t ¬ng øng víi thùc nghiÖm ®· ® îc tiÕn hµnh, bëi v× gi¸ trÞ lý thuyÕt ë t©m thùc nghiÖm (tøc lµ khi x 1 = 0 vµ x2 = 0) b0 = 45,5 kh¸c víi gi¸ trÞ thùc nghiÖm y = 46 kh«ng cã ý nghÜa. 46 t = = 0,865

nhá h¬n t0,95(5) = 2,01 tra b¶ng.

Thùc chÊt trong tr êng hîp nµy cã thÓ kh«ng cÇn ph¶i quay vÒ víi c¸c tiªu chuÈn bëi v× tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ lý thuyÕt ®Òu kh¸c víi gi¸ trÞ thÝ nghiÖm t ¬ng øng Ýt nhÊt lµ ®« lÖch chuÈn cña thÝ nghiÖm b»ng 1,43.

C¸c gi¸ trÞ ®· ® îc tÝnh to¸n cña hÖ sè ph ¬ng tr×nh håi qui cho phÐp nhËn ®Þnh s¬ bé tÝnh chÊt ¶nh h ëng cña mçi nh©n tè trong vïng thÝ nghiÖm. Gi¸ trÞ kh¸ lín vµ dÊu d ¬ng cña hÖ sè khi x1 cho phÐp kÕt luËn r»ng m«i tr êng pH ¶nh h ëng lín tíi tèc ®é c« ®Æc chÊt kÕt tña. Cã thÓ hy väng tiÕp tôc gi¶m gi¸ trÞ pH (c¸i ®ã t ¬ng ® ¬ng víi t¨ng ®é axit) sÏ lµm gi¶m thêi gian t¹o chÊt kÕt tña ®Æc. Qua ®¸nh gi¸ dÊu vµ gi¸ trÞ cña hÖ sè khi x2 chóng ta ®i ®Õn kÕt luËn r»ng t¨ng nhiÖt ®é còng thóc ®Èy qu¸ tr×nh t¹o chÊt kÕt tña ®Æc.

B¶ng 10.16. T¨ng ®ét ngét trªn bÒ mÆt môc tiªu. C¸c ®Æc tr ng y

Møc gèc Kho¶ng thay ®æi HÖ sè bi cibi TÝnh kho¶ng c¸ch h Kho¶ng c¸ch (b íc) h C¸c thÝ nghiÖm t ëng t îng

X1 5 1 +8 +8 +8:16 +0,5 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X2 40 10 -8 -80 -80:16 -5 45 50 55 60 65 70 75 80 85 14 8 3

§Ó tÝnh to¸n mét lo¹t thÝ nghiÖm theo ® êng dèc nhÊt, sau ®©y chóng ta h·y trÝch ra nh÷ng møc gèc, kho¶ng thay ®æi vµ hÖ sè ph ¬ng tr×nh (b¶ng 47). Sau ®ã nh©n kho¶ng thay ®æi víi c¸c hÖ sè t ¬ng øng:

113

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

1. 8 = 8 ; 10 . (-8) = -80.

Ta chän hÖ sè biÕn thiªn thuËn cña tÝch sè thu ® îc xuÊt ph¸t tõ chç kho¶ng c¸ch theo nh©n tè pH ® îc chän mét c¸ch hîp lý b»ng 0,5. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ tÝch sè thu ® îc +8 vµ - 80 cÇn nh©n víi 1/16. Lóc ®ã kho¶ng c¸ch theo c¸c nh©n tè t ¬ng øng b»ng 8 : 16 = 0,5 vµ -8 : 16 = -5.

X2 80

20 0

Trªn h×nh 32 giíi thiÖu ma tr©n m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè víi thÝ nghiÖm ë t©m vµ h íng t¨ng theo ® êng dèc nhÊt ® îc ghi b»ng nh÷ng dÊu chÊm. Gi¸ trÞ thêi gian t ¬ng øng ® îc ghi gÇn c¸c ®iÓm lµm thÝ nghiÖm. Tõ 10 thÝ nghiÖm t ëng t îng ® îc tÝnh to¸n, ng êi ta ®· thùc hiÖn c¸c thÝ nghiÖm 5, 7, 8, 9. TiÕp tôc dÞch chuyÓn ® îc coi lµ hoµn toµn kh«ng hîp lý bëi v× viÖc t¨ng ®é axit cña m«i tr êng vµ nhiÖt ®é cã thÓ lµm cho chÊt bÞ ph©n hñy.

H×nh 10.2. §å thi m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm hai nh©n tè vµ ph ¬ng ph¸p ® êng dèc nhÊt.

10.3. Ph ¬ng ph¸p kh¶o s¸t mÆt môc tiªu Hµm môc tiªu ® îc biÓu diÔn b»ng mét ph ¬ng tr×nh håi qui d¹ng ®a thøc:





xb i

2 i

 ni0 

 xxb ij nj 

 ni1 

9.1

Ph ¬ng tr×nh håi qui bËc hai m« t¶ mét mÆt môc tiªu trong kh«ng gian n chiÒu, cã låi lâm t ¬ng øng víi c¸c gi¸ trÞ cùc trÞ cña hµm môc tiªu. Kh¶o s¸t mÆt môc tiªu, khi t×m ® îc c¸c gi¸ trÞ cùc trÞ, sÏ t×m ® îc c¸c ®iÒu kiÖn thùc nghiÖm tèi u nh»m tèi u ho¸ thùc nghiÖm. §Ó tËp trung kh¶o s¸t c¸c miÒn cùc trÞ cña hµm môc tiªu, ng êi ta ph¶i ® a hµm môc tiªu bËc 2 vÒ d¹ng chÝnh t¾c:

2 + B22X2

2 + ... + BnnXn

9.2 Y - Ys = B11X1

Trong ®ã: -Y = Gi¸ trÞ cña hµm môc tiªu. -Ys = Gi¸ trÞ cña hµm môc tiªu ë gèc to¹ ®é míi. -X1 ... Xn = C¸c biÕn chuÈn, lµ hµm tuyÕn tÝnh cña c¸c yÕu tè x1,x2 ... xn.

114

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

-B 11, B22 ... Bnn = HÖ sè cña ph ¬ng tr×nh håi qui d¹ng chÝnh t¾c.

Cã thÓ chia viÖc chuyÓn hµm môc tiªu vÒ d¹ng chÝnh t¾c lµm 2 b íc:

- B íc 1: t×m Ys, b»ng c¸ch lÊy ®¹o hµm riªng cña tõng yÕu tè theo hµm môc tiªu, t×m gi¸ trÞ c¸c nh©n tè xi khi cho c¸c ®¹o hµm riªng t ¬ng øng b»ng kh«ng. Thay c¸c gi¸ trÞ t×m ® îc vµo hµm môc tiªu phï hîp ta sÏ t×m ® îc Ys.

- B íc 2: T×m c¸c gi¸ trÞ Bii nhê c¸c ®Þnh thøc ®Æc tr ng:

2 + b22x2

* §èi víi n = 2: 9.3 y = b0 + b1x1 + b2x2+ b12x1x2 + b11x1

2 + B22X2

9.4 Y - Ys = B11X1

Khi ®ã : B11 vµ B22 t×m ® îc nhê ®Þnh thøc:

b11 - B 0.5b12 = = 0 9.5 0.5b12 b22 - B

2 ) = 0

Tøc gi¶i ph ¬ng tr×nh bËc hai sau: 9.6 B2 - ( b11 + b22 ) B + ( b11b22 - 0,25 b12

*§èi víi n = 3:

2 + b22x 2

2 + b3x3

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x 2 + b23x2x3 + b11x1

2 + B22X2

2 + B33X3

9.7 Y- Ys = B11X1

Khi ®ã; B11, B22 vµ B33 t×m ® îc nhê ®Þnh thøc:

(b11 - B) 0.5b 12 0.5b13

9.8 0.5b12 (b22 - B) 0.5b 23 = 0

0.5b13 0.5b23 (b33 - B)

Tøc gi¶i ph ¬ng tr×nh bËc ba:

9.9 B3 - a1 B2 + a2 B - a3 = 0



Trong ®ã:

iib

9.10



1 

25,0





bb ii

2 ij

N  1j,i 

n  b i j 

9.11

115

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

25,0







bb ii

N  b 1i 

n  b 1j,i  i j 

n  1i  i kj 

9.12

KiÓm tra tÝnh ®óng cña phÐp biÕn ®æi b»ng biÓu thøc:

i i





1 

9.13

D¹ng cña mÆt môc tiªu bËc 2, ® îc ph©n lo¹i nh sau:

1. Khi c¸c Bii, Bjj cïng dÊu, ta cã mÆt Paraboloit eliptic. MÆt cã cùc trÞ. Bii < 0 cã cùc ®¹i ë t©m. Bii > 0 cã cùc tiÓu ë t©m. Gi¸ trÞ cùc trÞ n»m trªn biªn cña miÒn nghiªn cøu. T©m cña mÆt

n»m gÇn t©m thùc nghiÖm. H×nh 10.3-

2. Khi c¸c Bii B jj kh¸c dÊu nhau, ta cã mÆt Paraboloit hyperbolic. T©m cña mÆt gÇn t©m thùc nghiÖm. §iÓm S - T©m cña mÆt ® îc gäi lµ ®iÓm yªn ngùa (minimax). Chän trôc nµo ®Ó nghiªn cøu lµ tuú bµi to¸n kh¶o s¸t. Cùc ®¹i n»m trªn trôc cã Bii > 0. Cùc tiÓu n»m trªn trôc cã

10.3 Bjj > 0.

3. Khi mét hoÆc mét sè Bii rÊt nhá, gÇn b»ng kh«ng th× t©m n»m xa miÒn thùc nghiÖm.

116

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

10.4 4. Cã tr êng hîp suy biÕn, mÆt môc tiªu lµ nh÷ng ® êng hoÆc mÆt song song.

10.5

Ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c B¶ng 10.17- B¶ng ph©n lo¹i mÆt môc tiªu ( n = 3 ) D¹ng mÆt B22 B33 H=y-Bo=-/ B 11

2+ B22X2

2+B33X3

I.TÝnh chÊt cña mÆt trung t©m 0 1.C¸c hÖ sè Bii cïng dÊu: a).Bii vµ H cïng dÊu y=B0+B11X1 H>0 H<0 B11>0 B22>0 B33>0 Elipcoid B11<0 B22<0 B33<0

b).Bii vµ H ng îc dÊu Elipcoid H>0 H<0 B11<0 B22<0 B33<0 B11>0 B22>0 B33>0

2=0

2+B22X2

2+B33X3

c).H=0 Elipcoid B11X1 suy biÕn B11>0 B22>0 B33>0 B11<0 B22<0 B33<0

2 = 1

Hyperbonoid 2.C¸c hÖ sè Bii cã dÊu kh¸c nhau B11< B22>0 B33>0 a).H>0

2 + X2 H B22

2 + X 3 H B33

X1 H B11

2 = -1

b).H<0 B11< B22>0 B33>0 Hyperbonoid

2=0

2 + X2 H B22 2+B22X2

2 + X 3 H B33 2+B33X3

c).H=0 B11>0 B22>0 B33>0 X1 H B11 B11X1

II.TÝnh chÊt cña mÆt kh«ng trung t©m =B11B22B 33=0 1.ChØ cã 1 trong c¸c hÖ sè Bii b»ng kh«ng (B33=0): a) Parabonoid eliptic

2+B22X2

2+B33X3

y=B11X1 Parabonoid hyperbonic B11>0 B22>0 B3>0 B11<0 B22<0 B3<0 B11>0 B22<0 B3=0 B11<0 B22>0 B3=0

2+ B22X2

Elip ph¼ng y=B0+B11X1 b).H>0 H<0 B11>0 B22>0 B3=0 B11<0 B22<0 B3=0

117

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

2- B 22X2 2+ B22X2

Hyperbol ph¼ng B11>0 B22<0 B3=0 B11<0 B22>0 B3=0 y=B 0+B11X1 y=B0 -B11X1

Parabol trªn mÆt 2. Hai hÖ sè Bii b»ng kh«ng ( B22=0, B33=0 ) B10 B2=0 B3=0 a). ph¼ng XOY X1= ( y - B0 ):B11 = H: B11

2 + B33X3

b). Parabol trªn mÆt B10 B2=0 B30 ph¼ng X1OX3 y=B11X1 ( y=const )

2 + B33X3

c). B10 B20 B 30

2 + B22X2 {trong ®ã X2= f(x1,x2)}

Parabol trªn mÆt ph¼ng X1O y=B11X1 ( y=const )

2 + 2x2

1 2

1 5 4  





1 0

4   

0 

y  x  1 y  x  2

      

VÝ dô 10..5: ChuyÓn ph ¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y vÒ d¹ng chÝnh t¾c: y = 10 - 15x1 - 10x2 + 4x1x2 + 6x1 TÝnh:

12 4 = 48 - 16 = 32 = 4 4

0 do ®ã mÆt môc tiªu cã t©m.



20  32

5 8

12 4



60  32

15 8

T×m täa ®é x1s víi x2s cña t©m s

0625

Y s

15 8

5 8

 5 15   8 8 

2   15 2   8  

2  ,4  

Thay gi¸ trÞ cña x1s vµ x2s vµo ph ¬ng tr×nh trªn ta tÝnh ® îc Y s:

Sau khi tÞnh tiÕn hÖ trôc täa ®é, ph ¬ng tr×nh trªn cã d¹ng:

118

0625

x~2

,4 



x~x~4 21

x~6 2  1

2 2

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001



1 2

)B(f





1 2

§Ó x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè B11, B22 ta gi¶i hÖ ph ¬ng tr×nh ®Æc tr ng sau:

B6 

4 

1 2

)B(f

8B8



0 

4 

1 2

Sau khi thay c¸c gi¸ trÞ cña b11, b12, b21 vµ b 22 vµo ph ¬ng tr×nh ®Æc tr ng ta nhËn ® îc:

Gi¶i ph ¬ng tr×nh trªn ta nhËn ® îc: B11 = 6,8284; B22 = 1,1716

Cã thÓ kiÓm tra sù ®óng ®¾n trong tÝnh to¸n b»ng c¸ch so s¸nh:

2 + 1,1716X2

bjj = Bjj vµ ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c cã d¹ng: Y + 4,0625 = 6,8284X1

Sau khi x¸c ®Þnh ® îc c¸c hÖ sè Bjj ta x¸c ®Þnh ® îc d¹ng cña mÆt ®¸p øng theo c¸ch ph©n lo¹i c¸c d¹ng hµm môc tiªu ®· tr×nh bÇy ë phÇn trªn..

yˆ= 0,510 + 0,265x1 - 0,547x2 - 0,550x1x2 + 0,968x1

2 + 0,873x2

VÝ dô 10.6: VÝ dô 41: Minh ho¹ viÖc ® a ph ¬ng tr×nh håi qui bËc hai vÒ d¹ng chÝnh t¾c qua vÝ dô sau ®©y:

yˆ = 0,510 + 0,265 (z1 + m1) - 0,547 (z2 + m 2) - 0,550 (z1 + m 1). (z2 + m 2) + 0,968 (z1+ m1)2 + 0,873 (z2 + m2)2

§Ó lo¹i trõ c¸c sè h¹ng bËc mét cña c¸c nh©n tè, chóng ta thùc hiÖn phÐp thÕ xi = zi + mi (i =1;2), khi ®ã ta cã:

2 + 0,873m2

2) + (0,265 - 0,550m2 +

yˆ= (0,510 + 0,265m1 - 0,547m2 - 0,550m1m2 + 0,968m1 0,968 . 2m1) . z1 + (-0,547 - 0,550m1 + 0,873 . 2m2)z2 - 0,550z1z2 + 0,968z1

2 + 0,873z2

Sau khi më ngoÆc vµ rót gän c¸c sè h¹ng t ¬ng tù ta cã :

§Ó lo¹i trõ c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh víi z1 vµ z2 chóng ta coi c¸c hÖ sè cña chóng b»ng kh«ng: 0,265 - 0,550m2 + 0,968 . 2m1 = 0; - 0,547 - 0,550m1 + 0,873 . 2m2 = 0 vµ gi¶i hÖ ph ¬ng tr×nh ta thu ® îc m1 = -0,0526, m2 = 0,2967.

Nh vËy muèn lo¹i c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh cÇn ph¶i lµm phÐp thÕ x1 = z1 - 0,0526, x 2 = z2 + 0,2967.

NÕu thay m1 = -0,0526, vµ m 2 = 0,2967 vµo ph ¬ng tr×nh cuèi cïng, sau khi tÝnh to¸n chóng ta sÏ nhËn ® îc:

119

yˆ = 0,422 - 0,550z1z2 + 0,968z1

2. 2 + 0,873z2

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

z1 M z2

T P

H×nh 10.3: mÆt cùc ®¹i - cùc tiÓu

X mg/ml

Z 2

Z 1

y =1,0

0,46

h c Ý t

Z 2

n © h p

0,44

h c Þ d

y=0,5

Z 1

g n u d

é ®

0,42

g n å N

0,40

X mg/ml

0,032

0,034

0,036

0,038

C¸c sè m1 = -0,0526 vµ m2 = 0,2967 lµ to¹ ®é gèc o1 hÖ z1o1z2 trong hÖ to¹ ®é x1ox2 (h×nh 10.4).

g n å N

Nång ®é dung dÞch kh«ng

H×nh 10.4: nh÷ng vïng mµ trong ®ã sai sè kh«ng v ît qu¸ gi¸ trÞ ®· cho ®èi víi c¸c tr êng hîp yˆ= 0,5 vµ yˆ= 1,0.

120

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

Chóng ta nhËn thÊy r»ng trong ph ¬ng tr×nh míi c¸c hÖ sè trong c¸c sè h¹ng tÝch vµ bËc hai vÉn kh«ng thay ®æi, cßn trong c¸c sè h¹ng bËc mét th× b»ng gi¸ trÞ vÕ ph¶i cña ph ¬ng tr×nh ban ®Çu khi thÕ vµo nã nh÷ng gi¸ trÞ cña c¸c tham sè m1 vµ m2. Ta lo¹i tiÕp sè h¹ng - 0,550 z1z2, nã t ¬ng ® ¬ng víi phÐp quay hÖ to¹ ®é z1o1z2 mét gãc xung quanh gèc o1 vµ nhËn ® îc hÖ Z1O1Z2. ViÖc chuyÓn tõ hÖ z1o1z2 sang hÖ Z1O1Z2 ® îc thùc hiÖn theo c«ng thøc:

b 

(207) z1 = aZ1 - bZ2, z2 = bZ1 + aZ2, a = cos , b = sin,





b a

b b   22  b 

2  1  

968

(208) tg=

1727

172727

0148

, 

1 

,1 

,0  550

tg= Nh vËy, ®èi víi vÝ dô ® îc kh¶o s¸t: 873 

Ta cã tg1 = 1,1875, tg2 = - 0,841. Muèn x¸c ®Þnh gãc quay cã thÓ lÊy gi¸ trÞ bÊt kú, Chóng ta lÊy tg= 1,1875. Theo b¶ng = 49045'. Tõ ®ã tÝnh ® îc a = 0,644, b = 0,765 vµ ®èi víi ph ¬ng tr×nh ® îc kh¶o s¸t, khi ®ã c«ng thøc (207) cã d¹ng: z1 = 0,644 . Z1 - 0,765 . Z2; z2 = 0,765. Z1 + 0,644 . Z2;

C¸c hÖ sè trong c¸c biÕn sè míi cã thÓ tÝnh b»ng phÐp thÕ c¸c biÓu thøc ®èi víi z1 vµ z2

vµo ph ¬ng tr×nh hoÆc theo c¸c c«ng thøc: b'11 = b12ab + b11a2 + b22b2 = = - 0,550 . 0,644 . 0,765 + 0,968 . 0,6442 + 0,837 . 0,7652 = 0,6415,

b'22 = - b12ab + b11b2 + b22a2 = = 0,550 . 0,644 . 0,765 + 0,968 . 0,7652 + 0,837 . 0,6442 = 1,1996

b'12 = b12 (a2 - b2) + 2ab (b22 - b11) 0

yˆ- 0,422 = 0,6415Z1

2 + 1,1996Z2

§ång nhÊt thøc cuèi cïng cã thÓ ® îc sö dông ®Ó kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña phÐp tÝnh a vµ b còng nh a2 + b2 1. Chóng ta nhËn ® îc d¹ng ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c:

V× c¸c hÖ sè ë c¸c biÕn sè míi cïng mét dÊu (c¶ hai ®Òu d ¬ng) cho nªn phÇn bÒ mÆt

môc tiªu ® îc m« t¶ b»ng ph ¬ng tr×nh khi yˆ> 0,422 sÏ cã cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã to¹ ®é:

X1 = 0,034 + 0,002 (- 0,0526) 0,034;

X2 = 0,042 + 0,004 . 0,2967 0,043

2, 2 + 1,1996 . Z2

B¶n th©n bÒ mÆt cã d¹ng elipxoit. Thay cho bÒ mÆt, ng êi ta dùng h×nh chiÕu tiÕt diÖn mÆt ph¼ng cña nã song song víi bÒ mÆt X1O X2 , VÝ dô , ®èi víi yˆ= 1,00% sau khi thÕ vµo ph ¬ng tr×nh cuèi cïng chóng ta nhËn ® îc: 0,578 = 0,6415 . Z1

2 1 

Z 9010

2 Z 2 4818

1 =

121

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

2 1  2

2 2 694

948

vµ 1 =

C¸c sè 0,948 vµ 0,694 lµ b¸n trôc elip trong hÖ Z1O1Z2. NÕu ®Æt mét ®o¹n 0,95 c¶ hai phÝa trªn trôc O1Z2, c¸ch O1 cßn ®o¹n 0,69 trªn trôc O1Z2 , ta sÏ t×m thÊy 4 ®iÓm elip ®èi víi yˆ = 1,0%. Còng t ¬ng tù ta dùng h×nh chiÕu tiÕt diÖn ®èi víi yˆ= 0,5% vµ c¸c gi¸ trÞ yˆkh¸c.

C¸c elip cã yˆ= 1,0% vµ yˆ= 0,5% sÏ h¹n chÕ c¸c vïng mµ trong ®ã sai sè t ¬ng ®èi

kh«ng v ît qu¸ 0,5% vµ 1.

Tõ h×nh 9.4 ta râ r»ng ë nång ®é X1 = 0,034 mg/ml vµ nång ®é X2 dao ®éng trong giíi h¹n tõ 0,042 ®Õn 0,044 mg/ml, sai sè t ¬ng ®èi cña phÐp ph©n tÝch kh«ng v ît qu¸ 0,5%, cßn khi X1 = 0,34 mg/ml vµ 0,040 < X2< 0,046 th× sai sè t ¬ng ®èi kh«ng h¬n 1%.

0,046 th× sai sè t ¬ng ®èi kh«ng lín h¬n 0,5%. NÕu lµm 4 ph©n tÝch song song vµ lÊy gi¸ trÞ trung b×nh sè häc lµm gi¸ trÞ X2 th× sai sè t ¬ng ®èi gi¶m gÇn 2 lÇn (phï hîp víi OX = 0 : n ) vµ lóc ®ã nÕu X1 = 0,034 mg/ml vµ 0,040  2X

VÝ dô 10.7:

Tèi u ho¸ qu¸ tr×nh cã sö dông ph ¬ng ph¸p ® êng dèc nhÊt ® îc b¾t ®Çu tõ ph ¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh. Trong tr êng hîp nµy nhµ nghiªn cøu chñ yÕu quan t©m ®Õn c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh, do ®ã sö dông m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm rót gän lµ hîp lý.

Chóng ta h·y xÐt qu¸ tr×nh ® îc tèi u ho¸ theo 4 nh©n tè. Gi¶ sö ®ã lµ c¸c nh©n tè z1 , z2 , z3 vµ z4. HiÖu suÊt s¶n phÈm thu ® îc sÏ lµ hµm môc tiªu y. §©y lµ bµi to¸n cùc ®¹i cã gi¸ trÞ hµm môc tiªu tèi u giíi h¹n b»ng 100%.

V× sè c¸c hÖ ph ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh khi n = 4 lµ b»ng 5, nªn ta cã thÓ sö dông ma trËn thùc nghiÖm rót gän cã chøa 8 thÝ nghiÖm. §èi víi thÝ nghiÖm ba nh©n tè ®©y sÏ lµ ma trËn thùc nghiÖm ®Çy ®ñ. Do cÇn ph¶i cã hiÖu øng tuyÕn tÝnh kh«ng suy biÕn nªn viÖc sö dông ma trËn thùc nghiÖm rót gän cã biÓu thøc t ¬ng ph¶n I = x1x2x3x4 lµ hîp lý. C¨n cø vµo ®ã ma trËn thiÕt kÕ sÏ cã d¹ng tr×nh bµy ë b¶ng 51b. Gi¸ trÞ thËt cña c¸c nh©n tè zj cho ë b¶ng 51a.

B¶ng 10.18a B¶ng 10.18b ThÝ nghiÖm sè Z1 Z2 z3 z 4 x1 x2 x3 x4

C¸c møc thùc nghiÖm +1 4,0 7,8 12,2 5,3

3,2 6,3 10,2 4,1 0

2,4 4,8 8,2 2,9 -1

0,8 1,5 2,0 1,2 j +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

C¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm ® îc ghi ë b¶ng 52. Muèn íc l îng ph ¬ng sai lÆp l¹i t¹i mçi thÝ nghiÖm ta bè trÝ ba thÝ nghiÖm lÆp. ViÖc xö lÝ c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm theo ph ¬ng ph¸p thèng kª ® îc b¾t nguån tõ tÝnh to¸n ph ¬ng sai lÆp l¹i. Chóng ta h·y tÝnh gi¸ trÞ sè häc trung iy theo c¸c kÕt qu¶ ®èi víi c¸c thÝ nghiÖm lÆp; B×nh ph ¬ng hiÖu gi÷a gi¸ trÞ trung b×nh b×nh

122

2 ® îc ghi ë b¶ng 52.

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

céng vµ c¸c kÕt qu¶ cña tõng thÝ nghiÖm lÆp (y - y )2, ph ¬ng sai lÆp l¹i t¹i mçi thÝ nghiÖm si Gi¸ trÞ (y - y )2 vµ si

is = 22,37



1i 

Sau ®ã chóng ta tÝnh tæng ph ¬ng sai lÆp

18,0



Vµ kiÓm tra tÝnh lÆp l¹i theo chuÈn Khoren

99,3 37,22

2 i

2 s max  s

Gtinh =

y i

2

 y   y

2

 y  y 1

y  y 3

B¶ng 10.19- Stt si C¸c thÝ nghiÖm lÆp y3 y2 y1

1 2 3 4 5 6 7 8 68,15 68,90 61,15 62,12 72,00 71,10 64,90 61,40 66,50 65,90 61,40 61,50 68,85 68,40 65,00 58,80 65,90 66,50 58,30 58,60 70,35 72,30 61,80 61,90 66,85 67,10 60,35 60,74 70,40 70,60 63,90 60,70 1,690 3,240 0,640 1,900 2,560 0,250 1,000 0,490 0,120 1,440 1,100 0,578 2,400 4,840 1,210 3,610 0,903 0,360 4,200 4,580 0,003 2,890 4,410 1,440 1,35 2,52 2,93 3,03 2,48 3,99 3,31 2,77

2 i

V× gi¸ trÞ tíi h¹n ®èi víi møc gi¸ trÞ n¨m nh©n tè b»ng 0,516 (b¶ng phô lôc chuÈn G), 2 cã sè tæng bËc tù

2 =

78,2



1i  m

73,22 8

nªn ®é ph©n t¸n lµ ®ång nhÊt. Chóng ta h·y tÝnh ®é ph©n t¸n trung b×nh Se do fe vµ ®é ph©n t¸n c¸c hÖ sè s2(bj).  , Víi fe = m(n - 1) = 8 (3 - 1) = 16 Se

340



S 2 e m

78,2 8

s2(bj) = vËy s (bj) = 0,58

ViÖc tÝnh c¸c hÖ sè håi qui lµ giai ®o¹n tiÕp theo. Víi môc ®Ých ®ã chóng ta lËp b¶ng 53.

iyˆ

 2 i yˆy 

x 0 x1 x2 x3 x4

)yˆy i  2 =

67,42 67,42 60,10 60,10 70,06 70,06 62,74 62,74 0,325 0,124 0,063 0,410 0,116 0,292 1,346 4,160 B¶ng 10.20- Sè thÝ nghiÖm 1 2 3 4 5 6 7 8 (jy) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 520,64 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 29,26 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 2,36 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -10,56 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 3,54 66,85 67,10 60,35 60,74 70,40 70,60 63,90 60,70 _ _ (

6,836

123

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

yx ij



1 

PhÐp tÝnh c¸c hÖ sè ® îc thùc hiÖn theo c«ng thøc sau:



  iy 8

bj =

Sau khi thÕ c¸c sè liÖu trong b¶ng 53 vµo c«ng thøc trªn, ta ® îc: b0 = 65,08 b1 = 3,66 b2 = 0.29 b3 = - 1,32 b4 = 0,44

KiÓm tra tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui ® îc tiÕn hµnh theo chuÈn t. Chóng ta h·y tÝnh gi¸ tri thÝ nghiÖm cña ®¹i l îng t theo c«ng thøc (4.37)

66,3 58,0

29,0 58,0

= 6,3 = 0,5 t1 = t2 =

44,0 58,0

32,1 58,0

= 2,3 = 0,75 t3 = t4 =

Gi¸ trÞ t ®èi víi møc p = 5% b»ng 2,12.

yˆ= 65,08 + 3,66x1 - 1,32x3

Nh vËy b2 vµ b4 kh¸c 0 kh«ng ®¸ng kÓ. Do ®ã c¸c thµnh phÇn x2 vµ x4 ¶nh h ëng Ýt tíi qu¸ tr×nh vµ cã thÓ lo¹i chóng ra khái ph ¬ng tr×nh sau khi ®· ghi nhËn ®é chÝnh x¸c ë møc ®é nµo ®ã. CÇn ph¶i lµm ®iÒu ®ã mét c¸ch thËn träng v× cã thÓ lµ trong vïng kh«ng gian nh©n tè kh«ng ® îc nghiªn cøu, c¸c biÕn sè cè ®Þnh ® îc ghi nhËn ¶nh h ëng quan träng tíi qu¸ tr×nh. Sau khi lo¹i trõ x2 vµ x4 ra khái ph ¬ng tr×nh (5. 40)

836

2 =

,63  5

phïhîp  s

10,4 78,2

saisè

Chóng ta h·y kiÓm tra tÝnh phï hîp cña ph ¬ng tr×nh håi qui chØ chøa x1 vµ x3. Ta t×m 2 vµ Fph, sau khi ®· sö dông c¸c sè liÖu ë b¶ng 53 vµ c¸c c«ng thøc (3. 34) vµ (3.35); gi¸ trÞ sph = 4,10 = 1,72 sphï hîp FtÝnh =

V× gi¸ trÞ tíi h¹n F0,05 (5;16) = 2,9; Ph ¬ng tr×nh (5.40) m« t¶ mét c¸ch phï hîp víi c¸c sè liÖu thÝ nghiÖm. B¶ng 10.21-

c¸c z1 z2 z3 Z4

6,3 1,5 - - - 10,2 2,0 -1,32 -2,64 -1,77 3,2 0,8 3,66 3,0 2,0 4,1 1,2 - - - Tªn ®¹i l îng z0j j bj jbj Ejbj

Sè thÝ nghiÖ m

1 2 3 4 5 To¹ ®é c¸c ®iÓm t¨ng theo ® êng dèc nhÊt z2 7,8 7,8 7,8 7,8 7,8 Z1 5,2 7,2 9,2 11,2 13,2 z3 8,43 6,66 4,89 3,12 1,35 z 4 5,3 5,3 5,3 5,3 5,3 71,5 _ 85,9 - 75,6

124

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001

NÕu sö dông ph ¬ng tr×nh (5.40) ta lËp ® îc b¶ng thùc nghiÖm (b¶ng 54) trªn. Cã thÓ ghi nhËn c¸c biÕn sè x2 vµ x4 ë møc bÊt kú trong giíi h¹n vïng (lÜnh vùc) nghiªn cøu. Bëi v× b2 vµ b4 ® a vµo ph ¬ng tr×nh håi qui víi dÊu céng, cho nªn râ rµng lµ ghi nhËn x2 vµ x4 ë møc +1 cã lîi h¬n.

125

B¶ng ma trËn thùc nghiÖm th êng ® îc tÝnh tr íc khi cã kho¶ng biªn thiªn x¸c ®Þnh. Trong tr êng hîp nµy thÝ nghiÖm 6 cho gi¸ trÞ ©m z3. Chóng ta coi ®iÒu ®ã kh«ng thùc tÕ. Tõ tÊt c¶ c¸c ®iÓm, cã thÓ lµ rÊt nhiÒu, thùc tÕ ng êi ta chØ thùc hiÖn ® îc mét phÇn. §ång thêi, mçi ®iÓm tiÕp theo trong c¸c ®iÓm ® îc chän ®Ó lµm thÝ nghiÖm ® îc thùc hiÖn hîp lý sau khi nhËn ® îc gi¸ trÞ tham sè tèi u kÕ tiÕp.

Trong tr êng hîp kh¶o s¸t, thÝ nghiÖm øng víi b íc thø 3 lµ tèt nhÊt. Bëi vËy chóng ta chuyÓn träng t©m nghiªn cøu sang nã vµ lËp ma trËn thùc nghiÖm bËc 1 míi chØ víi x1 vµ x3 vµ nhí r»ng x2 vµ x4 lµ cè ®Þnh. Chóng ta lµm thÝ nghiÖm kh«ng cÇn lÆp l¹i bëi v× Ph ¬ng sai lÆp l¹i chóng ta ®· biÕt (mÆc dï ë vïng míi nã cã thÓ kh¸c, do ®ã tÝnh chÝnh x¸c cña thÝ nghiÖm ë c¸c vïng kh«ng gian nh©n tè kh¸c nhau cã thÓ kh¸c nhau):

B¶ng 9.22a z1 z3 z1 z3

C¸c møc cña nh©n tè xij +1,41 -1,41 10,33 8,07 7,71 2,07 C¸c møc cña nh©n tè xÞj 0 +1 -1 9,20 10,00 8,40 4,89 6,89 2,89

yˆ= 87,0 + 3,9x1 - 1,05x3

Gi¸ trÞ thËt cña c¸c nh©n tè ® îc ghi ë b¶ng 55a. V× chØ cã hai nh©n tè thay ®æi, ma trËn chøa 4 ®iÓm (®iÓm 1 - 4 b¶ng 55b). Vµ lµ thÝ nghiÖm ®Çy dñ bËc mét. Theo c¸c sè liÖu nµy chóng ta thu ® îc ph ¬ng tr×nh håi qui sau ®©y: (5, 41)

PhÐp ph©n tÝch ph ¬ng sai trong b¶ng 56 chØ ra tÝnh kh«ng phï hîp cña ph ¬ng tr×nh (5, 41). HÖ sè ®Æc tr ng cho hiÖu øng t ¬ng t¸c gi÷a x1vµ x3 rÊt lín (b13 = 3,0). §iÒu ®ã cã ý nghÜa lµ ®¹t ® îc vïng cã ®é cong cao. Bëi vËy ta bæ sung vµo ma trËn bËc mét mét sè thÝ nghiÖm ®¹t tíi ma trËn bËc hai (b¶ng 55b). Sau khi tiÕn hµnh c¸c thÝ nghiÖm chóng ta tÝnh ® îc hÖ sè håi qui, muèn vËy ph¶i sö dông c¸c kÕt qu¶ cña b¶ng 55. Ta b¾t ®Çu tÝnh tõ c¸c tæng (jy), (iji) vµ (jjy).

B¶ng 9.22b

2 X1

2 x3

yˆy 

2

x1 x3 x1x3 yi

iyˆ  87,44 78,80 88,30 91,66 85,50 95,13 85,60 80,90 85,14 85,14 85,14 85,14 85,14

Sè ®iÓm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 -1 +1 +1 -1,41 +1,41 0 0 0 0 0 0 0 -1 +1 -1 +1 0 0 -1,41 +1,41 0 0 0 0 0 +1 +1 +1 +1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 +1 -1 -1 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 +1 +1 +1 0 0 2,0 2,0 0 0 0 0 0 87,1 79,0 88,9 92,8 85,6 94,0 84,5 80,0 83,7 86,0 85,8 83,9 86,3 0,1156 0,040 0,360 1,2986 0,010 1,3924 1,210 0,810 2,0736 0,7386 0,4356 1,5376 1,3456

(0y) = yi = 1117,60 (1y) = x1yi = 27,444 (3y) = x3yi = -10,545 (13y)=x1x3y1 = 12,00

120

2yi = 707,00 (11y) = x1 2 yi = 676,80 (33y) = x3 (jjy) = 707,00 + 676,80 = 1383,80

iyˆ 84,15 82,05 91,95 88,85

B¶ng 9.23-Ph©n tÝch thèng kª ph ¬ng tr×nh (5, 41)  2 i yˆy  i 15,60 9,18 9,15 15,60 87,1 79,0 88,9 92,8 1 2 3 4

Sau ®ã theo c¸c c«ng thøc (4,72) chóng ta tÝnh c¸c hÖ sè håi qui: b0 = 0,2 (0y) - 0,1(jjy) = 85,14 b1 = 0,125 (1y) = 3,43 b3 = 0,125 (3y) = - 1,32 b13 = 0,25 (13y) = 3,0 b11 = 0,125 (11y) + 0,0187 (jjy) - 0,1 (0y) = 2,60 b33 = 0,125 (33y) + 0,0187 (jjy) - 0,1 (0y) = - 1,19

yˆ= 85,14 + 3,43x1 - 1,32x3 + 2,60x1

2 + 3,00x1x3 - 1,19x3

Tõ ®ã ta thu ® îc ph ¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng: (5,42)

Theo ph ¬ng tr×nh (5,42) chóng ta tÝnh c¸c gi¸ trÞ tham sè tèi u y t¹i c¸c ®iÓm cña ma trËn (b¶ng 55) vµ tiÕn hµnh ph©n tÝch thèng kª.

Theo c¸c c«ng thøc (4.76) - (4.78) chóng ta t×m ® îc c¸c tæng b×nh ph ¬ng sau ®©y: SLF = 5,24; SR = 11,37; fE = 5 - 1 = 4; SE = 6,13; fLF = 13 - 6 - 4 = 3;

TÝnh phï hîp cña ph ¬ng tr×nh lïi ® îc kiÓm tra theo c«ng thøc;

14,1 

)4;3(05,0F

42,5 3 13,6 4

= 6,6 Ftinh =

Nh vËy ph ¬ng tr×nh (5,42) m« t¶ rÊt phï hîp c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm b¶ng 55b.

S 2

e 

= 1,53 Chóng ta tÝnh ph ¬ng sai lÆp l¹i: 13,6 4

Chóng ta t×m ® îc ®é ph©n t¸n c¸c hÖ sè theo c«ng thøc (4.73)

s2(b0) = 0,2. 1,54 = 0,31 s2(bj) = 0,125. 1,54 = 0,193 s2(b13) = 0,25. 1,54 = 0,385 s2(bjj) = 0,144. 1,54 = 0,222 s(b0) = 0,56 s(bj)=0,44 s(b13) = 0,62 s(bjj) = 0,47

Chóng ta kiÓm tra tÝnh cã nghÜa c¸c hÖ sè theo chuÈn t

14,85 56,0

6,2 47,0

= 1,52 = 5,5 t0 = t11 =

121

= 7,8 = 4,8 t1 = t13 =

43,3 44,0 32,1 44,0

0,3 62,0 19,1 47,0

= 3,0 =2,5 t3 = t33 =

2 ¶nh So s¸nh ttÝnh víi tbang chØ ra r»ng sè h¹ng bËc hai cña ph ¬ng tr×nh håi qui b33 x3 h ëng rÊt Ýt tíi hµm môc tiªu y. Tuy nhiªn do cã sù t ¬ng quan gi÷a b0 vµ b33 vµ c¶ gi÷a b11 vµ b33 khi nghiªn cøu mÆt môc tiªu nªn ta vÉn gi÷ nguyªn ph ¬ng tr×nh (5.42), kh«ng cã sù thay ®æi nµo.

t0,05(4) = 2,78

Chóng ta b¾t ®Çu nghiªn cøu mÆt môc tiªu ® îc m« t¶ b»ng ph ¬ng tr×nh (5.42) tõ viÖc

bb 11

1  2 b 4

  

= 0 B2 - (b11 + b33)B + tÝnh to¸n c¸c hÖ sè chÝnh t¾c. Muèn vËy ta sö dông c«ng thøc (5.20).   



11 x

1 

Sau khi thÕ c¸c gi¸ trÞ ph ¬ng tr×nh håi qui vµo ph ¬ng tr×nh nµy B2 - 1,410B - 5,344 = 0 Tõ ®ã tÝnh ® îc hai nghiÖm : B11 = 3,12 B33 = -1,71

  b 

V× c¸c hÖ sè chÝnh t¾c cã dÊu kh¸c nhau, nªn mÆt môc tiªu lµ parab«l«it hypeb«lic. Theo c«ng thøc (5.19) ta t×m ® îc to¹ ®é t©m bÒ mÆt: b2  1  3

x2,5

x0,3

43,3



0 

x0,3

3c x38,2

32,1





0 

  

Sau phÐp thÕ c¸c gi¸ trÞ cña hÖ sè, chóng ta nhËn ® îc hÖ ph ¬ng tr×nh sau:

Tõ ®ã tÝnh ® îc c¸c nghiÖm: xc1 = -0,195 xc3 = -0,8

yˆ- 85,34 = 3,12X1

2 - 1,71X3

Khi biÕt c¸c to¹ ®é cña t©m, chóng ta sÏ tÝnh ® îc gi¸ trÞ tham sè tèi u t ¬ng øng víi chóng [Theo c«ng thøc (5. 42)]. Sau c¸c phÐp tÝnh, gi¸ trÞ ®ã b»ng 85,34. Tõ ®ã ph ¬ng tr×nh (5, 42) cã d¹ng chÝnh t¾c nh sau: (5. 43)

Gãc quay cña hÖ to¹ ®é míi ®èi víi hÖ cò, tÝnh theo c«ng thøc (5.27) b»ng 19,20 §Ó x¸c ®Þnh chÕ ®é tèi u, chóng ta sö dông ph ¬ng ph¸p “ph©n tÝch Rid” Chóng ta tÝnh gi¸ trÞ tham sè Khoren theo c«ng thøc (5. 21)

' = 2(b11 - b33) = 2 (3,12 + 1,19) = 8,62

Tõ ®ã c¸c gi¸ trÞ cho phÐp n»m trong giíi h¹n: 8,62 > > 3,12

Sau ®ã chóng ta ®Æt mét sè gi¸ trÞ tiÕn dÇn ®Õn ®¹i l îng b»ng 3,12 vµ ®iÒu kiÖn tèi u theo c«ng thøc (5.33)

122





)0,4 2

3 b)(

33 b25,0

25,0 6,2(

19,1(43,35,0 25,0

bb25,0 13 b( 

b(b5,0 1 ) 

32,10,3  )(0,4 19,1 )0,4  



 0,3 

)  2 13





= 1,577 Gi¶ sö = 4,0 lóc ®ã: x1 =



)0,4 2

b25,0 b(

b25,0

25,0 6,2(

19,1

 0,3

b 13 1 b)( 

b(b5,0 ) 

43,30,3  )(0,4  

60,2(32,15,0  25,0 )0,4 





)  2 13

=0,324 x3=

Sau khi thÕ c¸c gi¸ trÞ x1 = 1,577 vµ x3 = 0,324 vµo ph ¬ng tr×nh (5. 42) chóng ta thÊy r»ng trong chÕ ®é nµy tham sè tèi u b»ng 96,85%

B»ng c¸ch t ¬ng tù chóng ta tÝnh gi¸ trÞ x1, x 3 vµ yˆ, sau khi cho = 3,95 vµ 3,90.

= 3,95 x1= 1,669 x3 = 0,359 y = 99,28 = 3,90 x1= 1,827 x3 = 0,405 yˆ= 101,60

ViÖc tiÕp tôc gi¶m gi¸ trÞ nh©n tö kh«ng x¸c ®Þnh hÖ sè sÏ lµm t¨ng gi¸ trÞ tham sè tèi u. §ång thêi gi¸ trÞ tham sè tèi u v ît qu¸ 100% kh«ng cßn ý nghÜa, ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ c¸c vïng kh«ng gian nh©n tè øng víi gi¸ trÞ nh©n tö Lagrang x¸c ®Þnh trong giíi h¹n tõ B11 ®Õn 3,90 ® îc m« t¶ rÊt kÐm b»ng ph ¬ng tr×nh (5.42)

Chóng ta sÏ tÝnh ph ¬ng sai cña tham sè tèi u võa nãi ®èi víi ®iÓm øng víi gi¸ trÞ yˆ

2 =

= 99,28% theo c«ng thøc (4.91). Muèn tÝnh ph ¬ng sai c¸c hÖ sè chóng ta sö dông gi¸ trÞ ph ¬ng sai d :

624



37,11 7

S R qN 

Tõ ®ã ®é ph©n t¸n vµ hiÖn biÕn cÇn cho tÝnh to¸n theo c«ng thøc (4.73)

s2(b0) = 0,20.1,624 = 0,325 s2(bj) = 0,125.1,624 = 0,203 s2(bjj) = 0,144.1,624 = 0,234 s2(b0bjj) = - 0,100.1,624 = - 0,162

B¸n kÝnh h×nh cÇu trªn ®ã cã ®Æc ®iÓm 2 = 1,6692 + 0,3592 = 2,914

Ph ¬ng sai tham sè tèi u ®· nªu vµ ®é lÖch b×nh ph ¬ng

s2( yˆ)= 0,325 + 2,203.2,914 + 0,234.2,9142 - 0,162.2,914.2 = 1,96 s2( yˆ)= 1,4

Vµ kho¶ng tin cËy: Theo b¶ng t chóng ta tra thÊy r»ng t0,05(7) = 2,37. Tõ ®ã tÝnh ® îc: = 2,37.1,4 = 3,32 99,28 3,32

Do ®ã giíi h¹n d íi hiÖu suÊt s¶n phÈm sÏ lµ 95,59%

KiÓm tra chÕ ®é tèi u lµ giai ®o¹n nghiªn cøu cuèi cïng. Lóc ®ã cÇn l u ý r»ng phÐp ngo¹i suy n»m ngoµi giíi h¹n vïng nghiªn cøu cã thÓ cho ®é lÖch ®¸ng kÓ so víi gi¸ trÞ tham sè tèi u ®· ® îc tÝnh.

123

Sau khi chän mét hoÆc mét vµi ®iÒu kiÖn tèi u nªn bè trÝ mét d·y thÝ nghiÖm lÆp nh»m x¸c ®Þnh gi¸ trÞ kho¶ng tin cËy ®èi víi gi¸ trÞ tham sè tèi u.

B©y giê chóng ta kh¶o s¸t viÖc t×m chÕ ®é tèi u theo hai tham sè tèi u. Nh»m môc ®Ých nµy, ph ¬ng tr×nh (5.42) m« t¶ hiÖu suÊt s¶n phÈm y1 ® îc chóng ta kh¶o s¸t ®ång thêi víi ph ¬ng tr×nh ®Æc tr ng cho hµm l îng thµnh phÇn (hîp phÇn, cÊu tö) A trong s¶n phÈm ®ã. Mét trong nh÷ng bµi to¸n lo¹i nh vËy cã thÓ ph¸t biÓu nh sau: T×m chÕ ®é trong vïng kh«ng gian nh©n tè ® îc nghiªn cøu mµ sao cho b¶o ®¶m hiÖu suÊt s¶n phÈm tèi ®a ë hµm l îng cÊu tö A ®· cho ë trong vÝ dô lµ 33,0 1,0%

x0,70,15

xx5,1

x0,20

x2,3







yˆ 2

2 1

2 3

(5. 44) Ph ¬ng tr×nh m« t¶ hµm l îng thµnh phÇn A trong s¶n phÈm cã d¹ng x7,4 

= 22,50 To¹ ®é t©m cña hÖ to¹ ®é míi vµ gãc quay cña c¸c trôc: x1C = 1,65 x3C = 2,93

2 - 5,0X2

Ph ¬ng tr×nh (5, 44) ë d¹ng chÝnh t¾c (5.45) y2 - 44,73 = -2,9X21

§Ó gi¶i bµi to¸n ®Æt ra chóng ta sö dông ph ¬ng ph¸p dùng ® êng cong bËc hai ® îc tr×nh bµy trong s¸ch bÊt kú vÒ h×nh häc gi¶i tÝch).

Thø tù dùng nh sau: ®Çu tiªn ta dùng tiÕt diÖn hai chiÒu cña mÆt h ëng øng t ¬ng øng víi hµm l îng thµnh phÇn A lµ 33,0%. Sau ®ã lµ tiÕt diÖn hai chiÒu cña mÆt h ëng øng ® îc m« t¶ b»ng d¹ng chÝnh t¾c (5.43)

V× hiÖu suÊt s¶n phÈm t¨ng däc theo trôc X11 theo h íng xa t©m (hÖ sè chÝnh t¾c cã dÊu céng) cho nªn gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hiÖu suÊt s¶n phÈm sÏ ® îc ph©n bè gÇn giíi h¹n vïng nghiªn cøu. Trªn h×nh 5.8 chØ dÉn tiÕt diÖn hai chiÒu ®èi víi hiÖu suÊt s¶n phÈm lµ 95,0% vµ hµm l îng thµnh phÇn A b»ng 33,0%. C¸c ®iÓm a vµ a' øng víi lêi gi¶i bµi to¸n "tho¶ hiÖp"

x23

y = 33%

x 21

x13

x11

y = 95%

§iÓm a' n»m ngoµi giíi h¹n vïng kh«ng gian nh©n tè vµ phï hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n kh«ng thÓ kh¶o s¸t nh lµ tèi u. Bëi vËy ng êi ta thõa nhËn ®iÓm A cã to¹ ®é x1 = 1,15; x3 = 0,75 øng víi chÕ ®é tèi u.(phï hîp víi)

H×nh 10.8. Lêi gi¶i bµi to¸n "tho¶ hiÖp"

124

VÝ dô 10.8 : Tèi u ho¸ qu¸ tr×nh tæng hîp axit mercaptylic. ViÖc nghiªn cøu tèi u ho¸ gia ®o¹n

hai tæng hîp axit mercaptylic tõ izobutylen vµ nit¬ peoxit (N2O4) (khö hy®ro axit - oxyizomalic). C«ng viÖc nghiªn cøu ® îc tiÕn hµnh b»ng thiÕt bÞ thÝ nghiÖm. § îc chän lµm tham sè tèi u gåm hai gi¸ trÞ hµm môc tiªu: 1/ y1, hiÖu suÊt axit mercaptylic, 2/ y2, ®èi víi axit - oxyizomalic, mol % (c¶ hai tÝnh theo phÇn tr¨m lý thuyÕt).

Qu¸ tr×nh tèi u ho¸ theo ba nh©n tè sau ®©y: 1/ nhiÖt dé khö hy®ro z1, 0C; 2/ nång ®é axit - oxyizomalic ban ®Çu trong dung dÞch n íc z2, %; 3/ tèc ®é cung cÊp dung dÞch trong buång xóc t¸c trong mét giê h, z3 l/l. Ng êi ta t×m c¸c ®iÒu kiÖn tèi u b»ng hai c¸ch: 1/ b»ng thùc nghiÖm theo ® êng dèc nhÊt vµ 2/ b»ng m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc hai.

B¶ng 10.24-

+1 0 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 z1 270 255 240 x1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 z2 30 20 10 x2 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 z3 0,6 0,5 0,4 x3 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 y1 - 82,1 - - 53,0 65,3 76,1 77,0 72,7 56,1 81,0 74,0 y2 - 85,4 - - 61,5 69,0 87,6 84,5 72,7 70,5 82,7 87,0

§Ó thùc hiÖn ma tr©n bËc thùc nghiÖm bËc mét (b¶ng 67), t©m ma trËn ® îc chän trªn c¬ së c¸c thÝ nghiÖm ®· thùc hiÖn th¨m dß hoÆc theo c¸c c«ng bè tr íc ®©y. ViÖc xö lý thèng kª c¸c sè liÖu b¶ng 67 cho phÐp tÝnh ® îc c¸c hÖ sè håi qui sau ®©y:

®èi víi y1 ®èi víi y2

e(y2) = 3,24

b0(1) = 69,41 b1(1) = -1,26 b2(1) = 7,62 b3(1) = 1,56 b12(1) = -0,21 b13(1) = -4,70 b23(1) = -0,94 b123(1) = 2,60 b0(2) = 76,92 b1(2) = 0,81 b2(2) = 8,50 b3(2) = 1,28 b12(2) = -0,51 b13(2) = -0,28 b23(2) = -1,88 b123(2) = 2,13

Muèn tÝnh ph ¬ng sai lÆp l¹i, t¹i mçi ®iÓm ng êi ta lµm hai thÝ nghiÖm lÆp. TÊt c¶ c¸c thÝ nghiÖm ®Òu lµ ngÉu nhiªn. Ph ¬ng sai lÆp l¹i vµ ph ¬ng sai c¸c hÖ sè lµ nh nhau ®èi víi hai tham sè tèi u y1 vµ y2 s2 e(y1) = s2 s2(bj) = 0,405 s(bj) = 0,64 f = 8 Tõ ®ã

0,05(bj) = 2,31.0,64 = 1,48

So s¸nh ®¹i l îng 0,05(bj) víi c¸c gi¸ trÞ hÖ sè håi qui chøng tá r»ng cïng víi hiÖu øng tuyÕn tÝnh, c¸c hiÖu øng t ¬ng t¸c vµ hiÖu gi÷a sè h¹ng tù do vµ gi¸ trÞ tham sè tèi u t¹i ma trËn t©m (y1 = 82,1 - 69,4 = 12,7, y2 = 85,4 - 76,9 = 8,5) lµ cã nghÜa. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ thÝ nghiÖm ® îc tiÕn hµnh ë vïng bÒ mÆt kh«ng gian nh©n tè cã ®é cong cao. Dï vËy, c¸c nhµ nghiªn cøu vÉn quyÕt ®Þnh lµm t¨ng thªm gi¸ trÞ tham sè tèi u b»ng ph ¬ng ph¸p ® êng dèc

125

nhÊt. V× hÖ sè b1(1) vµ b1(2) cã dÊu kh¸c nhau, nªn t¨ng theo ® êng dèc nhÊt chØ thùc hiÖn theo hai thµnh phÇn: z2 vµ z3.

x1 -1,68 +1,68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x2 0 0 -1,68 +1,68 0 0 0 0 0 0 0 x3 0 0 0 0 -1,68 +1,68 0 0 0 0 0 y1 70,0 72,1 49,1 74,8 79,7 83,5 82,0 82,9 83,6 82,6 83,1 y2 78,1 79,3 49,2 81,4 81,2 90,6 86,8 86,2 84,9 85,9 86,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 -

Do c¸c hÖ sè tuyÕn tÝnh t ¬ng tù cña hai tham sè tèi u t ¬ng ®èi gÇn nhau, nªn viÖc t¨ng theo ® êng dèc nhÊt ® îc thùc hiÖn theo trung b×nh sè häc. Khi ®ã b2 = 8,0 vµ b3 = 1,42. Do t¨ng theo ® êng dèc nhÊt nªn gi¸ trÞ tham sè tèi u y1 ® îc n©ng lªn ®Õn 89 - 90%, y2 ®Õn 92 - 93%. Kh«ng phô thuéc vµo kÕt qu¶ t¨ng theo ® êng dèc nhÊt, ma trËn bËc mét ® îc bæ sung thµnh ma trËn bËc hai t©m xoay. KÕt qu¶ ® îc dÉn ra trªn b¶ng 68.

1 -

7,60x2 Theo sè liÖu b¶ng 67 vµ 68 ta t×m ® îc ph ¬ng tr×nh håi qui: 1yˆ = 83,70 - 0,49x1 + 7,63x2 + 1,38x3 - 0,21x 1x2 - 4,71x1x3 - 0,94x2x 3 - 4,41x1 2 - 0,50x2

2yˆ = 87,20 + 0,64x1 + 8,25x2 + 1,89x3 - 0,51x1x2 - 0,28x1x3 - 1,88x2x3 - 2,40x 2 2 - 0,24x2

1 - 9,28X2

2 + 0,71X2

7,42x2

1 - 7,66X2

2 - 0,12X2

2yˆ- 93,60 = -2,28X2

D íi d¹ng chÝnh t¾c, ph ¬ng tr×nh nµy cã d¹ng: 1yˆ- 85,15 = -3,94X2

V× chØ cã mét hÖ sè (B33 = 0,71) cã dÊu céng, c¸c t¸c gi¶ muèn lµm tèt h¬n gi¸ trÞ tham sè tèi u khi chuyÓn dÞch däc theo trôc X3. So víi c¸c hÖ sè chÝnh t¾c cßn l¹i, gi¸ trÞ t ¬ng ®èi nhá cña hÖ sè B33 chØ râ ®é cong kh«ng ®¸ng kÓ cña mÆt môc tiªu däc theo trôc X 3. Bëi vËy kh«ng cÇn ph¶i tÝnh ®Õn sù t¨ng ®¸ng kÓ cña tham sè tèi u. ThËt vËy, chuyÓn ®éng däc theo trôc X3 cã thÓ lµm t¨ng hiÖu suÊt cho c¶ hai tham sè tèi u trung b×nh lµ 2 - 3% so víi kÕt qu¶ ®èi víi t©m bÒ mÆt (y1c = 86, 15; y2c = 93,6).

KÕt qu¶ lµ chÕ ®é sau ®©y ® îc chän vµ ® îc kiÓm tra b»ng thùc nghiÖm: (x1 = 0,3 - 0,4) (x2 = 0,02 - 0,08) (x3 = 4 - 6) z1 = 255 - 265oC z2 = 20,2 - 20,8% z3 = 0,9 - 1,1 l/l

ë chÕ ®é nµy: y1 = 87 - 89% y2 = 95 - 97%

126

Nhµ nghiªn cøu nhËn thÊy r»ng tiÕp tôc t¨ng vËn tèc khèi (z1 > 1,1) sÏ lµm gi¶m hai tham sè tèi u y1 vµ y2 do tiÒn chÊt axit -oxyizomalic xuÊt hiÖn vµ nhê gi¶m thêi gian cã mÆt cña nã ë trong vïng chÊt xóc t¸c.

10.4.Ph ¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ®¬n h×nh.

Trong kh«ng gian nh©n tè n chiÒu, §¬n h×nh lµ mét h×nh låi cã n+1 ®Ønh, mçi ®Ønh lµ mét tæ hîp n ®iÒu kiÖn øng víi n nh©n tè ¶nh h ëng lªn kÕt qu¶ thùc nghiÖm. Ph ¬ng ph¸p thùc nghiÖm theo ®¬n h×nh ®Ó t×m ®iÒu kiÖn tèi u cho thÝ nghiÖm ® îc tiÕn hµnh theo c¸c b íc sau ®©y:

1. LËp ®¬n h×nh S0.

R1 = r1

§¬n h×nh S0 - §¬n h×nh gèc,lËp ® îc tuú theo vÞ trÝ t ¬ng ®èi trong kh«ng gian nh©n tè. Phæ biÕn nhÊt lµ 2 vÞ trÝ: 1/ §Æt 1 trong c¸c ®Ønh trïng víi gèc hÖ trôc to¹ ®é, ( vÞ trÝ 1/)



VÞ trÝ 1/ VÝ trÝ 2/





1 i(i2



1 2.n

(



1 

9.15



R i

i i(i2



9.16

B¶ng 10.26-Theo vÞ trÝ 1, lËp ® îc ma trËn t ¬ng øng lµ:

2 0 q p 3 0 Q Q P

§Ønh 1 2 3 . . N+1 1 0 p q . . . . . . q Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , n 0 q q . . . . . . p q

127

B¶ng 10.27-Tuú theo n, p vµ q cã gi¸ trÞ nh sau: ...

2 N P 0,9659 Q 0,2588 3 0,9428 0,2357 4 0,9256 0,2185 5 0,9124 0,2050 6 0,9011 0,1940 7 0,8918 0,1847 8 0,8839 0,1768

B¶ng 10.28- Theo vÞ trÝ 2, lËp ® îc ma trËn t ¬ng øng lµ:

2 - r2 - r2 R2 3 - r3 - r3 - r3 R3

§Ønh 1 2 3 . . N+1 1 - r1 R1 . . . . . . . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , n - rn - rn - rn . . . . . . - rn

B¶ng 10.29- Tuú theo vÞ trÝ ri vµ Ri, cã thÓ lÊy c¸c gi¸ trÞ nh sau:

2 0,5 -0,5 3 0,289 -0,587 4 0,158 -0,612 5 0,129 -0,645 6 0,109 -0,655 . . . . . . . . . N ri Rn

2. LËp qui ho¹ch thùc nghiÖm theo ®¬n h×nh S0 vµ thùc hiÖn thùc nghiÖm: Quan hÖ gi÷a c¸c gi¸ trÞ m· ho¸ víi gi¸ trÞ thùc hiÖn thùc nghiÖm biÓu diÔn theo c«ng thøc: Xthùc - Xgèc (Gi¸ trÞ m· ho¸) = 9.17 

3. LËp ®¬n h×nh S1.

{

}

x 

§¬n h×nh S1 lµ ®¬n h×nh S0 ®· bá ®i ®Ønh cho gi¸ trÞ hµm môc tiªu kh«ng mong muèn nhÊt trong c¸c ®Ønh cña S0 (nhá nhÊt trong tr êng hîp t×m ®iÒu kiÖn cùc ®¹i, thay vµo ®ã lµ ®Ønh míi, ®èi xøng víi ®Ønh cò qua c¸c ®Ønh cßn l¹i. C«ng thøc ®Ó tÝnh to¹ ®é ®Ønh míi nh sau:

2 n

1n   x x iu 1u 

9.18 xi míi =

4. LËp ®¬n h×nh S2.

C¨n cø vµo kÕt qu¶ thùc nghiÖm theo c¸c ®Ønh cña ®¬n h×nh S1, ta lËp ®¬n h×nh S2 tõ ®¬n h×nh S1 b»ng c¸ch bá ®i ®Ønh cho gi¸ trÞ hµm môc tiªu nhá nhÊt trong c¸c ®Ønh cña S1 vµ thay vµo ®ã lµ ®Ønh míi, ®èi xøng víi ®Ønh cò qua c¸c ®Ønh cßn l¹i. 5. T×m ®iÒu kiÖn thùc nghiÖm tèi u. Thùc hiÖn liªn tiÕp c¸c ®¬n h×nh S0, S1, S2, ....Sk, khi c¸c ®¬n h×nh xoay quanh 1 ®Ønh th× ®Ønh ®ã lµ tæ hîp c¸c ®iÒu kiÖn thùc nghiÖm tèi u.



R i

r i

(



i(2



VÝ dô 10.9 : Tèi u ho¸ theo ph ¬ng ph¸p ®¬n h×nh . 1- NÕu chän ®¬n h×nh S0 theo hÖ to¹ ®é sau:

128

0,289

-0,5

0,5

-0,578

1 2 3 x1 0,5 0,5 0 x2 0,289 0,289 0,578

V(x1)

( Chó ý : ®Ønh 3 ng îc víi S0 trong phÇn lý thuyÕt nªn ri vµ -Ri chø kh«ng ph¶i - ri vµ Ri )

2- Bµi to¸n : Kh¶o s¸t ®iÒu kiÖn tèi u ®Ó cung cÊp Oxy cho nåi lªn men phô thuéc vµo tèc ®é khuÊy V(x1)( Vßng/phót ) vµ chiÒu s©u cña c¸nh khuÊy ngËp vµo dung dÞch ( xem h×nh bªn ) h(x2) ( cm ) cña hµm môc tiªu y ( l îng Oxy hoµ tan)

h(x2)

- §iÒu kiÖn gèc : B¶ng 10.31-

V( x1) ( vßng/phót ) 130 10 h (x2) ( cm ) 7 2 Møc gèc 

1 3 0



 1 0

 2

- M· ho¸ :

130

5,0 

C¨n cø vµo gi¸ trÞ cña x1 vµ x2 trong ma trËn S0 ®Ó t×m ra c¸c gi¸ trÞ thùc cÇn lµm thÝ nghiÖm t¹i c¸c ®Ønh cña S0 :

 10

tÝnh ra : V11 = 135 Vßng / phót .



2 phïhîp

 4

5,71 3 

130



nt h21 = 7,57 cm





nt V12 = 125 Vßng / phót



1 3 0



1 3

h22 = 7,58 cm nt



1 3

1 0

nt V13 = 130 Vßng / phót

129



2 3



2 3

nt h23 = 5,84 cm



- C¸ch tÝnh ®Ønh míi :

2 n

 1 n   x  iu   u

   

xiu ( míi ) =

125

130

125

140



 135



58,7

84,5

58,7

84,5



 58,7

 58,7 

2  2 2  2

ThÝ dô :

- KÕt qu¶ thùc nghiÖm ® îc ghi l¹i trong b¶ng sau:

B¶ng10.32-

§Ønh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 V(x1) 135 125 130 140 145 140 150 145 155 150 160 155 145 140 h(x2) 7,58 7,58 5,84 5,84 7,58 9,31 9,31 11,04 11,04 12,77 12,77 14,50 14,50 12,77 y 2,52 1,43 1,71 1,92 2,94 3,16 3,45 3,80 4,35 4,55 4,47 4,50 4,10 4,39 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11

- §å thÞ :

130

VÝ dô 10.10:

C«ng tr×nh nghiªn cøu t×m c¸c ®iÒu kiÖn ph©n tÝch Tifen (C6H5)2CH C(O)  S(CH2)2N(C2H5)2 . HCl) [5] tèi u lµ mét minh häa tèt nhÊt cho ph ¬ng ph¸p ®¬n h×nh. Sai sè t ¬ng ®èi y cña ph ¬ng ph¸p ph©n tÝch vi sai ® îc lÊy lµm hµm môc tiªu, cßn nång ®é dung dÞch sè kh«ng (X1) vµ nång ®é dung dÞch Tifen ®· ® îc ph©n tÝch (X2) biÓu thÞ b»ng miligam/1ml lµ nh÷ng nh©n tè ®éc lËp ¶nh h ëng tíi hµm môc tiªu y.

X 2

Si-1

S i

D 1

K=2

X2 0,11 0,10 0,10 X1 ®Ønh 1 0,09 ®Ønh 2 0,09 ®Ønh 3 0,08

H×nh 10.11. C¸c ®¬n h×nh ®èi víi tr êng hîp 2 vµ 3 nh©n tè. X1, X2 – nh©n tè ; n - sè nh©n tè, S - ®¬n h×nh; A, B, C - ®Ønh.

KÕt qu¶ thÝ nghiÖm ë c¸c ®Ønh ®¬n h×nh S0 vµ ë c¸c ®¬n h×nh tiÕp theo ® îc ghi trong b¶ng 41, ë ®©y ®Ó ghi ng¾n gän ë c¸c ®¬n h×nh tiÕp theo ng êi ta chØ nªu täa ®é c¸c ®Ønh míi, cßn c¸c ®Ønh cßn l¹i cña ®¬n h×nh ® îc ®Æt trong ngoÆc.

§Ønh y §Ønh y X1 X2 X1 X2 §¬n h×nh §¬n h×nh

3(4,5) 7(5,6) 8(5,7) 6(5,7) 9(5,8) 0,08 0,06 0,06 0,07 0,07 0,10 0,08 0,09 0,08 0,10  0,83 1,45  0,96 S4S2 S5 S6 S7 S8 1 2 3 4(2,3) 5(3,4) 6(4,5) 0,09 0,09 0,08 0,08 0,07 0,07 0,11 0,10 0,10 0,09 0,09 0,08 1,99 1,24 0,89 0,73 0,49 0,88 S1 S2 S3

Trong ®¬n h×nh S0 sai sè t ¬ng ®èi lín nhÊt lµ y = 1,99 ë ®Ønh 1, nªn cã thÓ dùng ®¬n h×nh S1 cã c¸c ®Ønh 2, 3, 4. §Ó lµm vÝ dô chóng ta h·y tÝnh täa ®é cña ®Ønh míi lµ ®Ønh 4 theo c«ng thøc (170):

131

X1, bá ®i = 0,09, X2, bá ®i = 0,11 (cña ®Ønh 1), n = 2,

[(0,09 + 0,09 + 0,08) - 0,09] - 0,09 = 0,08, X1, n =

2 2 2 2

[(0,11 + 0,10 + 0,10) - 0,11] - 0,11 = 0,09. X2, n =

X (mg/ml)

0,11

n e f i

h c Ý t

0,10

T h c Þ d

n © h p

g n u d

0,09

é ®

c î ®

0,08

g n å N

0,07 0,08

0,09

X (mg/ml)

7 0,06 Nång ®é dung dÞch Tifen sè kh«ng.

Nh vËy ®Ønh 4 cã täa ®é X1 = 0,08 vµ X 2 = 0,09.

H×nh 10.12. DÞch chuyÓn tíi vïng tèi u b»ng ph ¬ng ph¸p ®¬n h×nh.

TÊt nhiªn, trong tr êng hîp hai nh©n tè ®éc lËp, ®Ó ®¬n gi¶n ng êi ta kh«ng sö dông c«ng thøc mµ cã thÓ sö dông phÐp dùng h×nh. ThÝ nghiÖm ® îc thùc hiÖn chØ ë ®Ønh 4 cho y = 0,73. Trong ®¬n h×nh nµy sai sè lín nhÊt lµ y=1,24. TiÕp theo ta dùng ®¬n h×nh S2 cã c¸c ®Ønh 3, 4, 5 vµ thÝ nghiÖm ® îc thùc hiÖn t¹i ®iÓm 5 cho y = 0,49. T ¬ng tù ta thùc hiÖn tiÕp S3 vµ S4.

VÒ mÆt h×nh häc, sù chuyÓn dÞch liªn tôc tíi c¸c ®iÒu kiÖn tèi u ® îc tr×nh bµy ë h×nh 30, ë ®©y c¸c ®Ønh cña ®¬n h×nh ® îc ®¸nh sè øng víi b¶ng 41.

§¬n h×nh S4 trïng víi ®¬n h×nh S2, ®ã lµ dÊu hiÖu b¸o gÇn ®Õn miÒn tèi u. Muèn thay ®æi h íng dÞch chuyÓn th× t¹i ®¬n h×nh S3, ng êi ta bá kh«ng ph¶i ®Ønh cã sai sè lín nhÊt mµ lµ ®Ønh cã sai sè nhá h¬n y=0,73 vµ dùng ®¬n h×nh S5. Sau ®ã nh th êng lÖ lµ ®¬n h×nh S6. Cuèi cïng chuyÓn tíi S7 trïng víi S 5.

Sau khi ®· lµm t ¬ng tù nh ®· lµm víi ®¬n h×nh S3, ta nhËn ® îc ®¬n h×nh S8. Tõ h×nh vÏ 30, ta thÊy râ r»ng xung quanh ®Ønh 5, sai sè t ¬ng ®èi lín h¬n xoay quanh ®Ønh 5. Cã nghÜa lµ viÖc t×m vïng mµ trong ®ã cã ®iÒu kiÖn ph©n tÝch tèi u theo quan ®iÓm cùc tiÓu cña sai sè t ¬ng ®èi y ®· kÕt thóc.

VÝ dô 10.11 :

Tèi u ho¸ qu¸ tr×nh t¸ch Gecmani tõ tro than. Tro than lµ mét trong nh÷ng nguån nguyªn liÖu ®Ó s¶n xuÊt Gecmani vµ c¸c hîp chÊt cña nã. Giai ®o¹n ®Çu xö lý tro than lµ chuyÓn Gecmani thµnh dung dÞch.

C«ng tr×nh nµy vÒ tèi u ho¸ qu¸ tr×nh chiÕt gecmani tõ tro than b»ng dung dÞch axit sunfuric. ViÖc t×m m« h×nh to¸n häc m« t¶ vïng kh«ng gian nh©n tè víi viÖc chiÕt gecmani vµo dung dÞch ® îc chän lµm tham sè tèi u y. Qu¸ tr×nh ® îc tèi u ho¸ b»ng n¨m nh©n tè:

132

nång ®é axit sunfuric (z1, x1), thêi gian ng©m chiÕt (z2, x2), nhiÖt ®é (z3, x3), l îng dung dÞch øng víi ®¬n vÞ träng l îng tro (z4, x4) vµ l îng tiªu thô chÊt oxy ho¸ (z5, x5). Gi¸ trÞ thùc vµ gi¸ trÞ m· ho¸ c¸c thµnh phÇn ® îc ghi ë b¶ng 69.

Z1, % 1,50 1,15 0,80 0,45 0,10 z2, phót 60,0 48,0 36,0 24,0 12,0 z3, oC 92,0 74,0 56,0 38,0 20,0 z4, ml/g 26,0 21,0 16,0 11,0 6,0 z5, % 20,0 15,5 11,0 6,5 2,0 B¶ng 10.34- Xi + +1 0 -1 -

yˆ= 61,663,+,2,308x1 + 5,850x2 + 14,183x3 +2,392x4 - 1,125x5 -

2 -

2 - 1,575x1x2 - 1,412x1x3 + 1,537x1x4 +0,737x1x5 - 3,253x2

2 -

Sau khi thiÕt lËp c¸c thÝ nghiÖm theo ma tr©n nh©n tè vµ thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh t ¬ng øng, chóng ta nhËn ® îc ph ¬ng tr×nh sau ®©y m« t¶ phï hîp c¸c sè liÖu thÝ nghiÖm ë møc cã nghÜa 5%:

2 - 0,70x4x5 - 1,088x5

2 = 21,69

2 = 59,65

- - - (6.3) 0,876x1 4,437x2x3 - 0,887x 2x4 - 0,887x2x5 - 3,751x3 1,125x3x4 - 0,275x 3x5 - 1,213x4

se slf

yˆ-82,79 = 0,02X 1

2 - 1,37X2

2 - 2,17X4

2 - 0,65X5

(6.4) D¹ng chÝnh t¾c ph ¬ng tr×nh (6.3) cã d¹ng 2 - 6,03X3

V× hÖ sè B11 b»ng 0,02 rÊt nhá so víi c¸c hÖ sè chÝnh t¾c cßn l¹i nªn cã thÓ thõa nhËn:

ph ¬ng tr×nh (6.3) m« t¶ paraboloit elip cã täa ®é cùc trÞ sau ®©y: x4c = - 3,01 x1c = - 4,89 x2c = - 0,15 x3c = 3,43 x5c = - 2,21

2, x5

Gi¸ trÞ c¸c cña ¸c nh©n tè t¹i ®iÓm cùc trÞ ®i ra xa ngoµi giíi h¹n vïng nghiªn cøu; ®èi víi z1 vµ z3 chóng kh«ng thùc hiÖn ® îc. KiÓm tra tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui theo chuÈn t chØ ra r»ng ë møc cã nghÜa 5% c¸c biÕn sè x1x2, x1x3, x1x4, x1x5, x2x4, x2x5, x3x4, x3x5, 2 ¶nh h ëng kh«ng ®¸ng kÓ ®Õn qu¸ tr×nh ng©m chiÕt. §¹i l îng tt«i u ®èi víi c¸c hÖ sè B1 x4 vµ B4 n»m ë møc cã nghÜa. HiÖu øng t ¬ng t¸c nµy lµ hÖ qu¶ ¶nh h ëng cña nh©n tè nhiÖt ®é vµ thêi gian vµ cã thÓ gi¶i thÝch nh sau: t¨ng nhiÖt ®é lµm t¨ng tèc ®é ng©m chiÕt, do ®ã ë gi¸ trÞ tham sè tèi u ®· cho, thêi gian cña qu¸ tr×nh ph¶i rót ng¾n. DÊu trõ (-) cña hÖ sè b23 thÓ hiÖn tÝnh chÊt ¶nh h ëng tiªu cùc ®ång thêi cña c¸c nh©n tè x1 vµ x3 tíi qu¸ tr×nh. Bªn c¹nh hÖ sè nµy, b2 vµ b3 lµ d ¬ng. §iÒu ®ã lµ ® ¬ng nhiªn v× nhiÖt ®é dung dÞch vµ thêi gian ng©m chiÕt t¨ng sÏ lµm t¨ng qu¸ tr×nh chuyÓn gecmani vµo dung dÞch.

Do ¶nh h ëng tíi tham sè tèi u y cña c¸c nh©n tè x1, x4 vµ x5 t ¬ng ®èi nhá, nªn viÖc t×m chÕ ®é tèi u dÉn ®Õn viÖc chän gi¸ trÞ c¸c thµnh phÇn x2 vµ x3. Thµnh phÇn x1, x4 vµ x5 ® îc cè ®Þnh ë møc phï hîp víi dÊu cña c¸c hÖ sè håi qui. Nhê ph ¬ng ph¸p nµy ta thu ® îc bèn ph ¬ng tr×nh håi qui hai nh©n tè x2 vµ x3:

yˆ= 65,8 + 2,49x2 + 11,89x3 -3,26x2 yˆ= 68,8 + 0,02x2 + 9,35x3 - 3,26x2 yˆ= 65,9 + 3,39x2 + 11,65x3 - 3,26x2 yˆ= 65,1 + 1,25x2 + 9,90x3 - 3,26x2

2 - 4,44x2x3 - 3,75x3 2 - 4,44x2x3 - 3,75x3 2 + 4,44x2x3 - 3,75x3 2 - 4,44x2x3 - 3,75x3

(6.5) (6.6) (6.7) (6.8)

133

Ph ¬ng tr×nh (6.8) cã ® îc nhê cè ®Þnh x5 ë møc trõ (-) 2,44, nã øng víi sù v¾ng mÆt chÊt oxy ho¸ trong dung dÞch ®Ó ng©m chiÕt.

ë c¸c ®iÓm cùc trÞ bÒ mÆt môc tiªu ® îc m« t¶ b»ng c¸c ph ¬ng tr×nh (6.5) - (6.8) cã c¸c thÝ nghiÖm, kÕt qu¶ cña nã ® îc dÉn ra ë b¶ng 70.

KiÓm tra b»ng thùc nghiÖm c¸c chÕ ®é ®· chän (b¶ng 70) chøng minh r»ng trong kho¶ng thÝ nghiÖm x¸c ®Þnh, tÊt c¶ c¸c chÕ ®é cã thÓ kh¶o s¸t nh nhau. Thó vÞ nhÊt lµ chÕ ®é t×m theo ph ¬ng tr×nh (6.8) v× trong tr êng hîp nµy kh«ng ®ßi hái ® a chÊt oxy hãa vµo dung dÞch ng©m chiÕt.

yˆ

B¶ng 10.35- ph ¬ng

Gi¸ trÞ c¸c ®Ønh tèi u x2 -1,15 -1,4 -0,9 -1,8 X3 2,25 2,0 2,4 2,4 x4 1 2 1 2 x 5 -1 -1 0 -2,44 78,0 78,5 79,1 80,0 y* y1 81,7 82,0 79,5 82,0 x1 1 2 1 2 y2 81,2 81,4 80,7 82,0 Sè tr×nh 6,5 6,6 6,7 6,8

B¶ng 10.36- KÕt qu¶ t×m vïng tèi u

Sè 1

Sè thÝ nghiÖm 1 2 3 4 1 2 3 5 1 3 5 6 1 5 6 7 5 6 7 8 x1 0,500 -0,500 0,0 0,0 0,500 -0,500 0,0 0,0 0,500 0,0 0,0 0,833 0,500 0,0 0,833 0,888 0,0 0,833 0,888 0,640 x4 0,204 0,204 0,204 -0,612 0,204 0,204 0,204 1,020 0,204 0,204 1,020 0,748 0,204 1,020 0,748 1,110 1,020 0,748 1,110 1,714 y 71,3 65,7 66,1 54,6 71,3 65,7 66,1 74,7 71,3 66,1 74,7 81,0 71,3 74,7 81,0 78,7 74,7 81,0 78,7 85,1

8 6 7 8 9 6 8 9 10 8 9 0,833 0,888 0,640 1,574 0,833 0,640 1,574 1,143 0,640 1,574 X2 0,289 0,289 -0,518 0 0,289 0,289 -0,578 0 0,289 -0,578 0,0 -0,48 0,289 0,0 -0,482 -0,128 0,0 -0,482 -0,128 -0,690 -0,482 -0,128 -0,690 -0,866 -0,482 -0,690 -0,866 -1,231 -0,690 -0,866 0,748 1,110 1,714 1,350 0,748 1,714 1,350 1,430 1,714 1,350 81,0 78,7 85,1 84,6 81,0 85,1 84,6 81,7 85,1 84,6

134

10 11 1,143 1,405 -1,231 -1,376 1,430 2,248 81,7 85,6

Ph©n tÝch c¸c sè liÖu thu ® îc nhê t×m ®iÓm cùc trÞ bÒ mÆt môc tiªu m« t¶ b»ng ph ¬ng tr×nh (6.3) ®· gîi ý cho c¸c t¸c gi¶ vÒ viÖc chuyÓn sang dung dÞch kiÒm ®Ó ng©m chiÕt gecmani gi¸ trÞ thùc cña nh©n tè z1 t¹i ®iÓm cùc trÞ b»ng trõ - 0,95.

V× chuyÓn tõ axit tíi kiÒm (NaOH) lµm thay ®æi qu¸ tr×nh ho¸ häc, cho nªn c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu b¾t ®Çu tõ viÖc t×m vïng tèi u. Nh»m môc ®Ých ®ã c¸c t¸c gi¶ sö dông ph ¬ng ph¸p ®¬n h×nh. T×m vïng tèi u ® îc thùc hiÖn theo ba nh©n tè z1, z2 vµ z3. Sau khi ®· cè ®Þnh nhiÖt ®é z3 ë møc 900C.

Gi¸ trÞ thËt cña c¸c nh©n tè ë t©m hÖ to¹ ®é ®· ® îc m· ho¸ vµ kho¶ng thay ®æi ®Òu ® îc chän trªn c¬ së nh÷ng thÝ nghiÖm ®Çu tiªn

z01 = 8% 1 = 4 z02= 30 phót 2 = 15 z04 = 5 ml/g 4 = 4

KÕt qu¶ thÝ nghiÖm ë giai ®o¹n t×m vïng tèi u ® îc dÉn ra ë b¶ng 71.

Sè liÖu b¶ng 71 dïng ®Ó chän ma trËn bËc hai t©m xoay, ®ång thêi nhiÖt ®é ® îc ® a vµo sè nh©n tè nghiªn cøu. Gi¸ trÞ c¸c nh©n tè t¹i c¸c ®iÓm ma trËn thùc nghiÖm bËc hai ghi ë b¶ng 72. ë b¶ng 73 lµ ma trËn vµ kÕt qu¶ thÝ nghiÖm.

B¶ng 10.37-

x i +2 +1 0 -1 -2 z1 19 15 11 7 3 z2 43 33 23 13 3 z3 92 74 56 38 20 z4 18 14 10 6 2

2 + 0,47x2

Sau khi xö lý thèng kª c¸c sè liÖu b¶ng 73 ta cã ph ¬ng tr×nh håi qui sau ®©y m« t¶ kÕt qu¶ thÝ nghiÖm ë møc cã nghÜa 5%.

yˆ= 77,20 + 4,13x1 + 0,68x2 + 4,32x3 + 4,05x4 - 1,51x1x2 - 0,88x2x3 - 0,74x1 2 - 1,42x4

2 + 1,94x1x3x4

2 = 3,55

2 = 10,74

(6.9) - 2,32x3

se sLF

2 +

yˆ= 79,70 + 4,13x1 + 0,68x3 + 4,05x4 - 1,51x1x4 - 0,74x 1

2 - 2,32x 3

2 - 1,42x4

V× c¸c hÖ sè ph ¬ng tr×nh (6.9) ®Æc tr ng cho vai trß cña nh©n tè x2 kh«ng lín so víi c¸c hÖ sè cßn l¹i, nªn nh©n tè x2 trªn c¬ së tÝnh to¸n c«ng nghÖ ® îc cè ®Þnh ë møc trõ - 2. Nhê quy tr×nh nµy ph ¬ng tr×nh (6.9) cã d¹ng sau:

(6.10) 1,94x1x3x4

yˆ

Y x1 x2 x4 x 3

B¶ng 10.38- Sè thÝ nghiÖm 1 +1 +1 +1 85,7 87,2 +1

135

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +2 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 0 0 +2 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 +2 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 +2 -2 0 0 0 0 0 0 0 75,3 86,8 74,2 78,6 74,9 72,9 72,2 80,8 70,7 80,4 71,0 75,6 62,5 75,6 56,7 80,8 70,7 81,1 80,1 81,4 57,5 85,5 60,6 79,3 80,1 78,5 78,4 79,6 74,9 80,6 78,8 88,8 77,7 77,1 75,4 74,8 72,7 79,0 71,6 79,3 71,9 76,0 60,8 72,8 57,7 84,5 68,0 82,4 79,7 78,6 61,3 81,3 65,4 79,2 79,2 79,2 79,2 79,2 79,2 79,2

B¶ng. 10.39- To¹ ®é c¸c ®Ønh ®¬n h×nh vµ gi¸ trÞ tham sè tèi u Sè Y x1 X3 x4

Sè thÝ nghiÖm 1 2 3 4 1 2 4 5 1 2 5 6 1 5 6 7 1 6 7 0,50 -0,50 0,0 0,0 0,50 -0,50 0,0 0,0 0,50 -0,50 0,0 0,0 0,50 0,0 0,0 0,830 0,50 0,0 0,830 0,289 0,289 -0,578 0 0,289 0,289 0,0 0,962 0,289 0,289 0,962 1,030 0,289 0,962 1,030 1,210 0,289 1,030 1,210 0,204 0,204 0,204 -0,612 0,204 0,204 -0,612 -0,068 0,204 0,204 -0,068 0,842 0,204 -0,068 0,842 0,448 0,204 0,842 0,448 83,7 79,8 69,2 76,6 83,7 79,8 76,6 83,1 83,7 79,5 83,1 85,9 83,7 83,1 85,9 88,4 83,7 85,9 88,4

136

8 6 7 8 9 7 8 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12 10 11 12 13 10 12 13 14 10 12 13 15 11 12 13 16 12 13 16 17 13 16 17 18 16 17 18 19 0,887 0,0 0,830 0,887 0,645 0,830 0,887 0,645 1,570 0,887 0,645 1,570 1,240 0,645 1,570 1,240 1,420 1,570 1,240 1,420 2,170 1,570 1,420 2,170 2,200 1,570 1,420 2,170 1,240 1,240 1,420 2,170 1,650 1,420 2,170 1,650 2,250 2,170 1,650 2,250 2,630 1,650 2,250 2,630 2,180 0,720 1,030 1,210 0,720 1,680 1,210 0,720 1,680 1,380 0,720 1,680 1,380 1,310 1,680 1,380 1,310 2,200 1,380 1,310 2,200 1,580 1,380 2,200 1,580 2,130 1,380 2,200 1,580 1,310 1,310 2,200 1,580 1,980 2,200 1,580 1,980 2,530 1,580 1,980 2,530 1,860 1,980 2,530 1,860 2,670 1,060 0,842 0,448 1,060 1,370 0,448 1,060 1,370 1,080 1,060 1,370 1,080 1,890 1,370 1,080 1,890 1,170 1,080 1,890 1,170 1,390 1,080 1,170 1,390 0,540 1,080 1,170 1,390 1,890 1,890 1,170 1,390 1,890 1,170 1,390 1,890 1,080 1,390 1,890 1,080 1,740 1,890 1,080 1,740 1,750 90,1 85,9 88,4 90,1 90,8 88,4 90,1 90,8 93,0 90,1 90,8 93,0 92,6 90,8 93,0 92,6 93,6 93,0 92,6 93,6 96,6 93,0 93,6 96,6 92,5 93,0 93,6 96,6 92,6 92,6 93,6 96,6 97,5 93,6 96,6 97,5 96,6 96,6 97,5 96,8 100,9 97,5 96,8 100,9 101,7

16 18 19 20 18 19 20 1,650 2,630 2,180 2,060 2,630 2,180 2,060 1,980 1,860 2,670 1,830 1,860 2,670 1,830 1,890 1,740 1,750 2,510 1,740 1,750 2,510 97,5 100,9 101,7 100,1 100,9 101,7 100,1

137

yˆ- 60,4 = 1,63x1

2 - 3,79x4

21 2,930 2,260 2,110 106,4

x 1

-5

x 1

-5

víi x 3 = -2

vïng nghiªn cøu ® îc ký hiÖu b»ng ® êng chÊm chÊm

PhÐp ph©n tÝch ph ¬ng tr×nh (6.10) cã sö dông c«ng thøc (5.38a) chøng minh r»ng kho¶ng thay ®æi nhiÖt ®é cã thÓ chia lµm 3 vïng:

1/ ®Õn 510C (x3 = -0,28); 2/ tõ 51 ®Õn 760C; 3/ cao h¬n 760C (x3 = 1,06)

yˆ- 85,4 = - 0,25x1

2 - 1,91x4

víi x 3 = 0

138

x4

x1

-5

yˆ- 288 = 0,15x1

2 - 2,31x2

b H×nh 10.12

80 90

-5

víi x 3 = +2

H×nh 10.5-

Khi cè ®Þnh nh©n tè x3 ë c¸c møc t ¬ng øng víi vïng 1 vµ vïng 3 th× ph ¬ng tr×nh håi qui hai thµnh phÇn sÏ m« t¶ parab«loit hypecb«n. NÕu ë nhiÖt ®é tõ 510C ®Õn 760C th× lµ parab«loit ªlip. NÕu cè ®Þnh nh©n tè x3 ë møc v ît qu¸ 0,78 th× hÖ sè B14 thay ®æi dÊu ng îc l¹i. Sù thay ®æi nµy lµ hÖ qu¶ tån t¹i hiÖu øng t ¬ng t¸c gÊp ba vµ liªn quan tíi sù thay ®æi c¬ cÊu qu¸ tr×nh.

Trªn h×nh vÏ 6.3 tr×nh bµy tiÕt diÖn hai chiÒu mÆt h ëng øng øng víi ba vïng nhiÖt ®é. Do c¬ hiÖu øng t ¬ng t¸c gÊp ba nªn c¸c ph ¬ng ph¸p nghiªn cøu mÆt môc tiªu bËc hai kh«ng thÓ ¸p dông ®Ó chän ®iÒu kiÖn tèi u. Bëi vËy muèn t×m vïng tèi u c¸c t¸c gi¶ ph¶i

139

sö dông ph ¬ng ph¸p ®¬n h×nh, sau khi thay thÝ nghiÖm b»ng phÐp tÝnh theo ph ¬ng tr×nh (6.10). KÕt qu¶ t×m chÕ ®é tèi u cã sö dông ph ¬ng ph¸p ®¬n h×nh ® îc nªu ë b¶ng 74.

Khi ®¬n h×nh chuyÓn ®éng trong kh«ng gian nh©n tè ë giai ®o¹n øng víi ®¬n h×nh 12 th× râ rµng lµ ®iÓm 15 tr¶ ®¬n h×nh vÒ ®iÓm 11 ®¬n h×nh 10, tøc lµ c¸c to¹ ®é trïng víi ®iÓm 15 (®¬n h×nh 12) vµ 11 (®¬n h×nh 10). Bëi vËy ta chän ® îc h íng thuËn lîi míi ®ång thêi ®iÓm 10 ® îc coi lµ ®iÓm tåi nhÊt. ViÖc t×m chÕ ®é tèi u ®· kÕt thóc sau khi t¸ch ® îc 100%. §iÓm 13, 16 - 21 ®· ® îc kiÓm tra b»ng thùc nghiÖm. KÕt qu¶ thÝ nghiÖm dÉn ë b¶ng 75. Ngoµi gi¸ trÞ c¸c nh©n tè vµ gi¸ trÞ hµm môc tèi u qua thùc nghiÖm vµ tÝnh to¸n, trªn b¶ng 75 cßn cho kho¶ng tin cËy 95% chøng minh kho¶ng Ayˆlµ gi¸ trÞ tham sè tèi u. §Ó tÝnh A yˆng êi ta sö 2 vµ dông c¸c c«ng thøc (1.19, 3.41, 4.91) vµ ®é ph©n t¸n S2 = 8,5 tÝnh theo sè liÖu ®èi víi Se SLF

KÕt qu¶ kiÓm tra b»ng thÝ nghiÖm (b¶ng 10.39) chøng minh r»ng tÊt c¶ 7 chÕ ®é cïng

cã ý nghÜa vµ gi¸ trÞ y n»m trong kho¶ng Ayˆ.

Thay dung dÞch axit sunfuric b»ng dung dÞch kiÓm cã thÓ t¨ng qu¸ tr×nh chiÕt t¸ch lªn 5- 6%.

yˆ

B¶ng 10.39 y A yˆ* Sè thÝ nghiÖm x1

x2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 2,17 1,65 2,25 2,61 2,18 2,06 2,93 x 3 1,59 1,98 2,53 1,86 2,67 1,83 2,26 x4 1,39 1,89 1,08 1,74 1,75 2,51 2,11 13 16 17 18 19 20 21 91,9 - 100 81,5 - 100 77,4 - 100 86,1 - 100 85,2 - 100 85,7 - 100 85,9 - 100 87,5 87,9 87,6 87,2 87,8 88,7 87,9 96,6 14,7 97,5 16,0 96,8 19,4 100,2 14,8 101,7 16,5 100,1 15,3 106,4 20,5

140

Tµi liÖu tham kh¶o :

1- A.G.Bondri, G.A.Stachiukha

Planhirovanhie Ecsperimenta V¬ Chimichecsk«i Tecskhologhi NXB “Visa sk«la”- 1976 2- V.G.Belik«v, V.§.Pan«mariev, N.I.K«k«vkinserbak

Primenhenhie Matematichesk«v« Planhir«vanhia I Obrabotka Rezultatov Ecsperimenta V¬ Pharmasia NXB. “Me®ixina-1973 3- S.L.Akhnazar«va, V.V.Kaphar«v

Optimizasia Ecsperimenta V¬ Chimii I Chimichecsk«i Tecskhologhi NXB. “B saia Sk«la” – 1978 4- A.P.Ruzin«v

Statischichecskie Met«® Optimizasii Chimicheskic Prosecsov NXB. “Chimie”- 1972 5- V.V.Kaphar«v

Meto® Kibernheticki V¬ Chimii I Chimichecsk«i Tecskhologhi NXB. “Chimie”- 1985 6- Gary D.Christtan

Analytical Chemistry. 5th Ed. NXB. Johnwiley & Sons. Inc. – 1994 7- Paul Moore and John Cobby

Introductory Statistics for Enviromentalists NXB. Prentice Hall Europe-1998 8- Ed Morgan

Chemometrics: Experimental Design NXB. Johnwiley & Sons. Inc. – 1995 9- Douglas C.Montgomery

Design and Analysis of Experiments. 4th.Ed. NXB. Johnwiley & Sons. Inc. – 1997