C
B
A
b
c
a
C
B
A
b
c
a
CHUYÊN ĐỀ CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
Giáo viên: Phạm Nguyên Hoàng
A. KIẾN THỨC TOÁN HỌC BỔ TRỢ
I. HÌNH HỌC
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
+
CA
AB
sin
(1)
+
CA
CB
cos
(2)
+
CB
AB
tan
(3)
+
AB
CB
an
cot
(4)
2. Công thức hình chiếu
Hình chiếu của véc tơ
AB
trên trục Ox
là
''BA
được xác định theo công thức:
''BA
=|
AB
|.cosα =|
AB
|.sin (5)
3. Định lý hàm số cosin
Trong tam giác A, B, C cạnh a, b, c ta luôn có:
+ a2 = b2 + c2 - 2b.c.cos A (6)
+ b2 = a2 + c2 - 2a.c.cos B (7)
+ c2 = a2 + b2 - 2a.b.cos C (8)
4. Định lý hàm số sin
Trong tam giác bên ta có:
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
(9)
5. Phép cộng hai véc tơ
Cho hai véc tơ
ba
,
gọi:
c
=
ba
(10)
c
là véc tơ tổng của hai véc tơ đó thì
c
được xác định
theo quy tắc hình bình hành. Gọi α là góc giữa hai véc tơ
ba
,
thì theo định lí hàm số cosin ta có:
|
c
|2 = |
a
|2 + |
b
|2 -2|
a
||
b
|cos (11)
Hay |
c
|2 = |
a
|2 + |
b
|2 +2|
a
||
b
|cos (12)
Suy ra:
+ Nếu
ba
,
cùng hướng thì:
|
c
| = |
a
| + |
b
| (13)
+ Nếu
ba
,
ngược hướng thì:
O
x
A
B
A’
B’
α
A
B
C
α
|
c
| = ||
a
| - |
b
|| (14)
+ Nếu
ba
,
vuông góc thì:
|
c
|2 = |
a
|2 + |
b
|2 (15)
6. Bất đẳng thức Cô si
2a b ab
( a, b dương). (16)
3
3a b c abc
( a, b, c dương). (17)
- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
7. Bất đẳng thức Bunhiacôpski
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )a b a b a a b b
(18)
Dấu bằng xảy ra khi
11
22
ab
ab
II. ĐẠO HÀM. NGUYÊN HÀM. VI PHÂN. TÍCH PHÂN
1. Đạo hàm
Định nghĩa:
.
x
y
lim )(x 'y 0 x
0
Trong đó
).f(x - x) f(x y ; x- x x 000
Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:
Bước 1: Cho x một số gia x rồi tính y = f(x0 + x) – f(x0).
Bước 2: Tìm giới hạn
.
x
y
lim0 x
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 là hệ số
góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
điểm M0(x0; f(x0)) có phương trình y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm: v(t0) = s’(t0).
Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
+ Hàm số f(x) gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f ’(x) tại x J.
+ Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên J thì hàm số f ’(x) xác định bởi
R J :'f (x)' f x
gọi là
đạo hàm của hàm số f(x).
Đạo hàm của vài hàm số thường gặp:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
(x)’ = 1
(xn)’ = nxn-1
.u'n.u u 1-n'n
2
'
x
1
-
x
1
2
'
u
'u
-
u
1
x2
1
x '
u2
'u
u '
' v u' vu '
(uv)’ = u’v + uv’
(ku)’ = ku’ (k là hằng số)
2
v
'uv - v'u
v
u'
2
v
'kv
-
v
k'
(k là hằng số)
'
x
'
u
'
xu.y y
Đạo hàm của các hàm số lượng giác
(sinx)’ = cosx; (sinu)’ = u’cosu
(cosx)’ = - sinx; (cosu)’ = - u’sinu
'
2
1
tanx ;
cos x
'
2
u'
tanu cos u
'
2
1
cotx - ;
sin x
'
2
u'
cotu - sin u
2. Vi phân
Vi phân của hàm số tại một điểm ứng với số gia x: df(x0) = f ’(x0)x. Vi phân
của hàm số: df(x) = f ’(x)x hay dy = y’x.
Ứng dụng của vi phân: f(x0 + x) f(x0) + f ’(x0).x
3. Bảng các nguyên hàm
dx x C
1
1
1
x
x dx C
ln 0
dx x C x
x
xx
e dx e C
01
ln
x
xa
a dx C a
a
cos sinxdx x C
sin cosxdx x C
2
1tan
cos dx x C
x
2
1cot
sin dx x C
x
tan ln cosxdx x c
cot ln sinxdx x c
kdx kx C
1
11
1
ax b
ax b dx C
a
1ln 0
dx ax b C x
ax b a
1
ax b ax b
e dx e C
a


1
cos sinax b dx ax b C
a
2
11
tan
cos dx ax b C
ax b a
01a
2
11
cot
sin dx ax b C
ax b a
dt t C
1
1
1
t
t du C
ln 0
du t C t
t
tt
e dt e C
ln
t
ta
a dt C
a

cos sintdt t C
sin costdt t C
2
1tan
cos dt t C
t
2
1cot
sin dt t C
t
4. Các tính chất tích phân
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]
( ) 0
a
a
f x dx
( ) ( )
ba
ab
f x dx f x dx

. ( )
b
a
k f x dx
()
b
a
k f x dx
( k là hằng số)
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f c dx f x dx
5. Phương pháp đổi biến số
Cần tính I =
()
b
a
f x dx
Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: t = t(x) rồi suy ra dt = t’(x)dx
+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là
và
thì
= t(a);
= t(b).
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới.
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Lưu ý về cách đặt:
()fx
có chứa
Cách đặt
22
x
a
Đặt
sinx a t
(với
22
t

) hoặc
cosx a t
(với
0t

)
22
ax
hoặc
22
1
ax
Đặt
tanx a t
(với
22
t

) hoặc
cotx a t
(với
0t

)
22
xa
Đặt
sin
a
xt
(với
; \ 0
22
t





hoặc
cos
a
xt
(với
0; \ 2
t



6. Phương pháp tích phân từng phần
Công thức:
bb
b
a
aa
udv uv vdu

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính
( ). ( )
b
a
I P x Q x dx
Dạng
hàm
P(x): Đa thức
Q(x): sinkx
hay coskx
P(x): Đa thức
Q(x):ekx
P(x): Đa thức
Q(x):ln(ax+b)
P(x): Đa thức
Q(x):
2
1
sin x
hay
2
1
cos x
Cách đặt
* u = P(x)
* dv là Phần
còn lại của
biểu thức
dưới dấu tích
phân
* u = P(x)
* dv là Phần
còn lại của
biểu thức
dưới dấu tích
phân
* u = ln(ax + b)
* dv = P(x)dx
* u = P(x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích phân
7. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích
a) Diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục)
S =
()
b
a
f x dx
(1)