Bài giảng Cơ học lượng tử - Đinh Phan Khôi

Chia sẻ: Lê Văn Vương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:131

Thêm vào BST

Báo xấu

391
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học lượng tử này được biên soạn nhằm phục vụ cho việc giảng dạy và học tập chuyên đề Cơ học lượng tử I thuộc chương trình cao học chuyên ngành Quang học và chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học Vật lý. Nội dung bài giảng được chia thành 9 chương với một số nội dung cơ bản như: các tiên đề của cơ học lượng tử, toán tử, hàm riêng và trị riêng; hạt chuyển động trong hố thế; dao động tử điều hoà; bài toán trị ban đầu; hàm của toán tử;… Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học lượng tử - Đinh Phan Khôi

®inh phan kh«i Bµi gi¶ng C¬ häc l−îng tö (dïng cho cao häc) N¨m 2009
2 Lêi nãi ®Çu TËp B i gi¶ng C¬ häc l−îng tö n y ®−îc biªn so¹n nh»m phôc vô cho viÖc gi¶ng d¹y v häc tËp chuyªn ®Ò C¬ häc l−îng tö I thuéc ch−¬ng tr×nh cao häc chuyªn ng nh Quang häc v chuyªn ng nh LÝ luËn v ph−¬ng ph¸p d¹y häc VËt lÝ. C¸c vÊn ®Ò trong tËp b i gi¶ng ® ®−îc chän läc ®Ó gi¶ng d¹y trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y cho häc viªn cao häc ë Tr−êng §¹i häc Vinh, Tr−êng §¹i häc §ång Th¸p, Tr−êng §¹i häc S i gßn v Tr−êng dù bÞ ®¹i häc SÇm S¬n. Khi biªn so¹n, chóng t«i ® tham kh¶o tõ c¸c s¸ch lÝ thuyÕt v b i tËp cña c¸c t¸c gi¶ trong v ngo i n−íc còng nh− tõ mét v i luËn v¨n cao häc do t¸c gi¶ h−íng dÉn. T¸c gi¶ xin ch©n th nh c¸m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o, c¸c ®ång nghiÖp v c¸c häc viªn cao häc ® ®ãng gãp nhiÒu ý kiÕn quý b¸u cho tËp b i gi¶ng. LÇn ®Çu biªn so¹n, tËp b i gi¶ng n y khã tr¸nh khái h¹n chÕ. T¸c gi¶ mong tiÕp tôc nhËn ®−îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña ®éc gi¶ ®Ó tËp b i gi¶ng ®−îc ho n thiÖn. Vinh, ng y 31 th¸ng 12 n¨m 2009 T¸c gi¶
3 Ch−¬ng I: Më ®Çu 1.1. C¬ häc l−îng tö l g×? C¬ häc l−îng tö l lÝ thuyÕt vÒ c¸c hiÖn t−îng v qu¸ tr×nh vËt lÝ trong thÕ giíi vi m«. ThÕ giíi vi m« l thÕ giíi cña c¸c h¹t v hÖ h¹t cã kÝch th−íc bÐ h¬n hoÆc b»ng 10 - 10 m. Khi ®i v o thÕ giíi vi m«, c¸c quy luËt vËt lÝ cæ ®iÓn ph¶i ®−îc thay thÕ b»ng c¸c quy luËt l−îng tö. C¸c quy luËt l−îng tö tæng qu¸t h¬n v bao c¸c quy luËt cæ ®iÓn nh− c¸c tr−êng hîp riªng. Nh vËt lÝ Sidney Coleman tõng nãi r»ng: nÕu mét ng n nh triÕt häc bá ra mét ng n n¨m ®Ó t×m kiÕm nh÷ng ®iÒu kú l¹ nhÊt cã thÓ th× hä còng kh«ng bao giê t×m thÊy thø g× kú l¹ nh− C¬ häc l−îng tö. C¬ häc l−îng tö khã hiÓu v× c¸c hÖ qu¶ cña nã qu¸ kh¸c th−êng v g©y ng¹c nhiªn. Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n cña nã ®èi lËp víi nh÷ng ý t−ëng l m nÒn t¶ng cho tÊt c¶ vËt lÝ häc ® biÕt tr−íc ®ã v ng−îc víi kinh nghiÖm cña chóng ta. Muèn hiÓu ®−îc vËt lÝ hiÖn ®¹i, cÇn ph¶i thay ®æi nh÷ng quan niÖm cò, ph¶i hiÓu thÕ giíi vi m« ®óng nh− thùc tÕ kh¸ch quan, dï nã cã kh¸c víi c¸ch suy nghÜ th«ng th−êng cña chóng ta. 1.2. VËt lÝ häc cæ ®iÓn VËt lÝ häc cæ ®iÓn l vËt lÝ häc kh«ng kÓ ®Õn thuyÕt l−îng tö v thuyÕt t−¬ng ®èi.
4 Hai c¬ së cña vËt lÝ häc cæ ®iÓn l c¬ häc Newton v lÝ thuyÕt ®iÖn tõ Maxwell. C¸c ®Þnh luËt Newton l c¬ së cña to n bé c¬ häc. NÕu thªm v o ph−¬ng ph¸p thèng kª th× ®ã cßn l c¬ së cña nhiÖt häc. HÖ ph−¬ng tr×nh Maxwell vÒ ®iÖn tõ tr−êng biÓu diÔn lÝ thuyÕt tæng qu¸t cho tÊt c¶ c¸c hiÖn t−îng ®iÖn tõ v quang häc. 1.3. Nh÷ng quan niÖm c¬ së cña VËt lÝ häc cæ ®iÓn VËt lÝ häc cæ ®iÓn ®−îc x©y dùng dùa trªn 3 quan niÖm c¬ së: 1) Sù biÕn ®æi liªn tôc cña c¸c ®¹i l−îng vËt lÝ; 2) Nguyªn lÝ quyÕt ®Þnh luËn cæ ®iÓn; 3) Ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch t¸ch nhá ®Ó nghiªn cøu c¸c ®èi t−îng vËt lÝ. 1.4. Hai ý t−ëng c¬ b¶n cña C¬ häc l−îng tö C¬ häc l−îng tö ®−îc x©y dùng dùa trªn 2 ý t−ëng c¬ b¶n: 1) ý t−ëng l−îng tö ho¸ (cßn gäi l tÝnh gi¸n ®o¹n hay tÝnh nguyªn tö): Mét sè ®¹i l−îng vËt lÝ liªn quan ®Õn viÖc m« t¶ c¸c ®èi t−îng vi m« trong nh÷ng ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh cã thÓ chØ nhËn c¸c gi¸ trÞ rêi r¹c x¸c ®Þnh. Ta nãi chóng bÞ l−îng tö ho¸. N¨ng l−îng cña vi h¹t ë tr¹ng th¸i liªn kÕt (vÝ dô electron trong nguyªn tö) bÞ l−îng tö ho¸. NÕu electron chuyÓn ®éng tù do th× n¨ng l−îng kh«ng bÞ l−îng tö ho¸.
5 ý t−ëng l−îng tö ho¸ ®−îc Planck nªu lªn lÇn ®Çu tiªn v o n¨m 1900 khi nghiªn cøu bøc x¹ cña vËt ®en tuyÖt ®èi. N¨m 1913, Bohr ¸p dông ý t−ëng l−îng tö ho¸ n¨ng l−îng ®Ó xÐt cÊu t¹o quang phæ v¹ch cña nguyªn tö hi®r« cho mÉu h nh tinh nguyªn tö Rutheford nh»m x©y dùng lÝ thuyÕt l−îng tö cò (b¸n cæ ®iÓn). 2) ý t−ëng l−ìng tÝnh sãng h¹t: N¨m 1905, ý t−ëng n y ®−îc Einstein ¸p dông cho bøc x¹ ®iÖn tõ ®Ó nghiªn cøu hiÖn t−îng quang ®iÖn. N¨m 1924, De Broglie më réng cho mäi ®èi t−îng vi m«. 1.5. Nh÷ng mèc thêi gian ®¸ng ghi nhí N¨m T¸c gi¶ HiÖn t−îng vËt lÝ 1901 Planck Bøc x¹ cña vËt ®en 1905 Einstein HiÖn t−îng quang ®iÖn 1913 Bohr LÝ thuyÕt l−îng tö vÒ phæ 1922 Compton T¸n x¹ cña photon trªn electron 1924 Pauli Nguyªn lÝ lo¹i trõ 1925 De Broglie Sãng vËt chÊt 1926 Schrodinger Ph−¬ng tr×nh sãng Heisenberg Nguyªn lÝ bÊt ®Þnh 1927 Davisson v ThÝ nghiÖm vÒ tÝnh chÊt sãng cña Germer electron Born Gi¶i thÝch ý nghÜa vËt lÝ cña h m sãng
6 1.6. C¸ch m« t¶ c¸c hiÖn t−îng 1) VËt lÝ häc cæ ®iÓn gi¶ thiÕt sù ®éc lËp cña c¸c qu¸ tr×nh vËt lÝ víi c¸c ®iÒu kiÖn quan s¸t, coi t¸c ®éng cña quan s¸t kh«ng l m nhiÔu lo¹n ®¸ng kÓ ®Õn tr¹ng th¸i cña hÖ. VËt lÝ häc cæ ®iÓn cho ta kh¶ n¨ng m« t¶ tuyÖt ®èi, cÆn kÏ tr¹ng th¸i chuyÓn ®éng cña hÖ vËt lÝ. 2) Theo C¬ häc l−îng tö, khi m« t¶ l−îng tö c¸c hiÖn t−îng, cÇn ph¶i tÝnh ®Õn kh¶ n¨ng hiÖn thùc cña phÐp ®o g¾n liÒn víi c¸c tÝnh chÊt cña ®èi t−îng vi m«, ®ång thêi ph¶i tÝnh tíi nhiÔu lo¹n cña phÐp ®o ®èi víi tr¹ng th¸i cña nã. Sù kh¸c nhau vÒ mÆt ®Þnh tÝnh cña c¸c ®Þnh luËt v hiÖn t−îng vi m« so víi vÜ m« ®−îc biÓu thÞ mét c¸ch to¸n häc ë chç ta dïng c¸c to¸n tö (chø kh«ng ph¶i c¸c con sè!) ®Ó m« t¶ c¸c biÕn sè ®éng lùc. C¸c to¸n tö kh«ng tu©n theo quy luËt giao ho¸n cña phÐp nh©n c¸c sè. 3) TÝnh thèng kª cña C¬ häc l−îng tö Trong c¸c ®iÒu kiÖn bªn ngo i cho tr−íc, kÕt qu¶ cña sù t−¬ng t¸c gi÷a ®èi t−îng vi m« víi dông cô ®o, tøc l kÕt qu¶ cña phÐp ®o, nãi chung kh«ng thÓ tiªn ®o¸n mét c¸ch ®¬n trÞ ®−îc, m chØ víi mét x¸c suÊt n o ®ã. TËp hîp c¸c kÕt qu¶ nh− vËy ®−a ®Õn thèng kª t−¬ng øng víi ph©n bè nhÊt ®Þnh cña x¸c suÊt. Do ®ã, ph¶i ®−a yÕu tè x¸c suÊt v o c¸ch m« t¶ ®èi t−îng vi m« v tr¹ng th¸i, d¸ng ®iÖu cña chóng. Chó ý r»ng trong VËt lÝ häc cæ ®iÓn, x¸c suÊt ®−îc ®−a v o chØ khi ®iÒu kiÖn cña b i to¸n kh«ng ®−îc biÕt ®Çy ®ñ v khi ph¶i lÊy trung b×nh theo tham sè ch−a biÕt, song ë ®ã ta ® gi¶ thiÕt r»ng vÒ nguyªn t¾c th× sù trung b×nh ho¸ l kh«ng cÇn thiÕt v lu«n cã thÓ chÝnh x¸c ho¸ c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó kh¼ng ®Þnh l mét trong sè c¸c kÕt
7 qu¶ kh¶ dÜ ®−îc x¶y ra ho n to n, cßn c¸c kÕt qu¶ kh¸c sÏ kh«ng x¶y ra. Nguyªn t¾c quyÕt ®Þnh luËn Laplace ® lo¹i yÕu tè ngÉu nhiªn khi m« t¶ d¸ng ®iÖu cña tõng ®èi t−îng riªng biÖt. Trong C¬ häc l−îng tö, yÕu tè ngÉu nhiªn cã mÆt trong d¸ng ®iÖu cña tõng ®èi t−îng vi h¹t riªng biÖt. C¬ häc l−îng tö l mét lÝ thuyÕt thèng kª vÒ mÆt nguyªn t¾c v x¸c suÊt l mét trong nh÷ng ®Æc ®iÓm cña nã. 1.7. Gi¶ thuyÕt De Broglie r Mét h¹t tù do cã n¨ng l−îng ε v xung l−îng p t−¬ng øng víi r mét sãng ph¼ng cã tÇn sè gãc ω v vÐct¬ sãng k , tho¶ m n hÖ thøc r r ε = hω ; p = hk . (1) Theo gi¶ thuyÕt De Broglie th× c¸c h¹t vi m« cã tÝnh chÊt sãng. 1.8. Gi¶ thuyÕt vÒ photon r Mét chïm ¸nh s¸ng cã tÇn sè gãc ω v vÐct¬ sãng k cã thÓ coi r nh− mét dßng photon, mçi photon cã n¨ng l−îng ε v xung l−îng p , tho¶ m n hÖ thøc r r ε = hω ; p = hk . Theo gi¶ thuyÕt vÒ photon th× bøc x¹ ®iÖn tõ (sãng) cã tÝnh chÊt nh− nh÷ng dßng h¹t. KÕt hîp gi¶ thuyÕt De Broglie v gi¶ thuyÕt vÒ photon, ta suy ra r»ng ¸nh s¸ng còng nh− c¸c h¹t vi m« võa cã tÝnh chÊt sãng l¹i võa cã tÝnh chÊt h¹t. Ta nãi chóng cã l−ìng tÝnh sãng h¹t.
8 Theo quan niÖm cña VËt lÝ häc cæ ®iÓn th× ®iÒu n y kh«ng thÓ hiÓu ®−îc v× nã tr¸i víi nhËn xÐt th«ng th−êng trªn c¸c vËt vÜ m« xung quanh ta. Muèn hiÓu ®−îc vËt lÝ hiÖn ®¹i, cÇn ph¶i thay ®æi nh÷ng quan niÖm cò, ph¶i hiÓu thÕ giíi vi m« ®óng nh− thùc tÕ kh¸ch quan, dï nã cã kh¸c víi c¸ch suy nghÜ th«ng th−êng cña chóng ta. 1.9. H m sãng cña h¹t vËt chÊt a) BiÓu diÔn tr¹ng th¸i cña h¹t b»ng h m sãng XÐt h¹t tù do cã khèi l−îng nghØ m t−¬ng øng víi sãng ph¼ng r De Broglie cã tÇn sè gãc ω v vÐct¬ sãng k r r p E ω= ; k= . (2) h h r Ta ® biÕt r»ng sãng ph¼ng cã tÇn sè gãc ω v vÐct¬ sãng k cã thÓ ®−îc biÓu diÔn bëi h m phøc ψ (r , t ) = ψ 0 exp[− i (ωt − k r )]. r rr Do ®ã, tr¹ng th¸i cña h¹t tù do m ta xÐt cã thÓ ®−îc biÓu diÔn r bëi h m ψ (r , t ) gäi l h m sãng cña h¹t  i r ψ (r , t ) = ψ 0 exp − (Et − pr ) = ϕ (r ). f (t ) . rr  r (3)  h  Ta suy réng c¸ch biÓu diÔn tr¹ng th¸i cña h¹t tù do b»ng h m sãng v thõa nhËn r»ng tr¹ng th¸i bÊt k× cña mét h¹t vi m« v o thêi r ®iÓm t cã thÓ biÓu diÔn bëi h m sãng ψ (r , t ) . C¸c th«ng tin vÒ tr¹ng th¸i cña h¹t chøa ®ùng trong h m sãng. H m sãng nãi chung l mét sè phøc. b) ý nghÜa vËt lÝ cña h m sãng Theo Born, b×nh ph−¬ng m«®un cña h m sãng tØ lÖ víi mËt ®é x¸c suÊt t×m thÊy h¹t
9 r r ρ (r , t ) ∝ ψ (r , t ) . (4) 2 C¸ch gi¶ thÝch n y ®−îc thõa nhËn v× kh«ng chøa m©u thuÉn vÒ l«gic v dÉn tíi c¸c kÕt qu¶ phï hîp víi thùc nghiÖm. c) ChuÈn ho¸ h m sãng r H m sãng ψ (r , t ) ®−îc x¸c ®Þnh sai kh¸c mét h»ng sè ψ 0 r [ ( rr ψ (r , t ) = ψ 0 exp − i ωt − k r . )] B×nh ph−¬ng m«®un cña h m sãng tØ lÖ víi mËt ®é x¸c suÊt t×m thÊy h¹t r r ρ (r , t ) ∝ ψ (r , t ) . 2 r ρ (r , t ) l mét ®¹i l−îng vËt lÝ cã ý nghÜa x¸c ®Þnh. Víi mét gi¸ trÞ cña ψ 0 , ta cã mét hÖ sè tØ lÖ A : r r ρ (r , t ) = A ψ (r , t ) . 2 §Ó ®¬n gi¶n, cã thÓ chän ψ 0 ®Ó A = 1 . Khi ®ã, ψ 0 tho¶ m n ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ r ∫ ρdV = ∫ ψ (r , t ) dV = 1 . (5) 2 ý nghÜa vËt lÝ cña ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸: X¸c suÊt t×m thÊy h¹t trong to n bé miÒn kh«ng gian m h¹t cã thÓ tån t¹i b»ng 1 (tøc 100%).
10 Ch−¬ng II: C¸c tiªn ®Ò cña C¬ häc l−îng tö. To¸n tö, h m riªng v trÞ riªng 2.1. C¸c ®¹i l−îng quan s¸t ®−îc v c¸c to¸n tö a) Tiªn ®Ò 1 Néi dung: Mçi ®¹i l−îng quan s¸t ®−îc hay biÕn sè ®éng lùc A trong C¬ häc l−îng tö t−¬ng øng víi mét to¸n tö A sao cho phÐp ®o ˆ A thu ®−îc c¸c gi¸ trÞ ®o ®−îc a l c¸c trÞ riªng cña A , nghÜa l c¸c ˆ gi¸ trÞ a l nh÷ng gi¸ trÞ m ph−¬ng tr×nh trÞ riªng Aϕ = aϕ cã ˆ nghiÖm ϕ . Ta nãi ϕ l h m riªng cña to¸n tö A t−¬ng øng víi trÞ ˆ riªng a . b) To¸n tö xung l−îng Ta h y t×m h m riªng v trÞ riªng cña to¸n tö xung l−îng r r p = −ih∇ . ˆ XÐt h¹t chuyÓn ®éng mét chiÒu trªn trôc x . Khi ®ã ta cã ∂ p x = −ih ˆ v ph−¬ng tr×nh trÞ riªng cña to¸n tö xung l−îng l ∂x ∂ − ih ϕ = p xϕ , (1) ∂x trong ®ã px l c¸c gi¸ trÞ kh¶ dÜ m ta sÏ thu ®−îc khi ®o th nh phÇn trªn trôc x cña xung l−îng; h m sãng ϕ (x ) t−¬ng øng víi mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña xung l−îng ( p x ) l h m m ϕ ( x ) dx l x¸c suÊt t×m thÊy 2 h¹t (víi xung l−îng p x ) trong kho¶ng [x, x + dx].
11 Gi¶ sö h¹t tù do (kh«ng cã ®iÒu kiÖn biªn). Khi ®ã ta cã nghiÖm  ip x x  p ϕ ( x ) = A exp  = Ae , trong ®ã sè sãng k = . Nh− vËy ϕ ( x ) l ikx  h  h h m tuÇn ho n theo x . Ta h y t×m b−íc sãng λ : cos kλ = 1 eikx = e ik ( x+λ ) = cos kλ + i sin kλ ⇒ ⇒ kλ = 2π , tøc l sin kλ = 0 p 2πh h λ = 2π ⇒ p = = (hÖ thøc De Broglie). h λ λ Ta thÊy r»ng h m riªng cña to¸n tö xung l−îng t−¬ng øng víi h trÞ riªng p cã b−íc sãng l b−íc sãng De Broglie . λ VËy h m riªng v trÞ riªng cña to¸n tö xung l−îng l ϕ k ( x ) = Ae ikx ; p = hk . (2) c) To¸n tö n¨ng l−îng H ˆ To¸n tö t−¬ng øng víi n¨ng l−îng l to¸n tö n¨ng l−îng hay r r to¸n tö Hamilton H , trong ®ã p ®−îc thay bëi p . ˆ ˆ To¸n tö n¨ng l−îng cña h¹t cã khèi l−îng m trong tr−êng thÕ r V (r ) l ˆ2 r 2 r ˆ p + V (r ) = − h ∇ 2 + V (r ) . H= (3) 2m 2m Ph−¬ng tr×nh trÞ riªng cã d¹ng ˆ r r Hϕ (r ) = Eϕ (r ) . (4) §©y chÝnh l ph−¬ng tr×nh Schrodinger kh«ng phô thuéc thêi gian.
12 p2 ˆ h2 2 XÐt h¹t tù do: H = ˆ =− ∇ . (5) 2m 2m §èi víi h¹t tù do mét chiÒu, ta cã ph−¬ng tr×nh trÞ riªng h2 ∂2 − ϕ ( x ) = Eϕ ( x ) . 2m ∂x 2 2mE §Æt k 2 = ( k ®−îc gäi l sè sãng), ta cã ph−¬ng tr×nh h2 ϕ xx + k 2ϕ = 0 . Do kh«ng cã ®iÒu kiÖn biªn nªn ϕ ( x ) = Ae ikx + Be − ikx . (6) ϕ (x ) l h m riªng cña to¸n tö H t−¬ng øng víi trÞ riªng n¨ng ˆ h2k 2 l−îng E = . 2m (hk ) chÝnh l xung l−îng cña h¹t tù do v× víi h¹t tù do th× n¨ng p2 h2k 2 l−îng E = = . 2m 2m Ta nhËn thÊy r»ng h m ϕ (x ) = Ae ikx + Be − ikx øng víi B = 0 còng l r h m riªng cña to¸n tö xung l−îng p . ˆ r ViÖc 2 to¸n tö H v ˆ p cña mét h¹t tù do cã chung h m riªng l ˆ mét tr−êng hîp ®Æc biÖt cña mét ®Þnh lÝ tæng qu¸t h¬n. r TiÕp theo, ta h y chøng minh r»ng nÕu ϕ l h m riªng cña p ˆ th× ϕ còng l h m riªng cña H . ˆ r ThËt vËy, do ϕ l h m riªng cña p nªn ta cã ˆ r pϕ = h k ϕ . ˆ r r ˆ ϕ = p pϕ = p (hkϕ ) = hk pϕ = (hk ) ϕ , ( ) ( ) ˆ r ˆ r 2 Do ®ã H ˆ ˆ 2m 2m 2m 2m
13 tøc l ϕ còng l h m riªng cña H . ˆ C¶ n¨ng l−îng v xung l−îng cña h¹t tù do cã c¸c gi¸ trÞ liªn tôc: h2k 2 E= ; p = hk ; (7) 2m nghÜa l chóng l trÞ riªng cña bÊt cø sè sãng k n o. H m riªng t−¬ng øng l ϕ k ( x ) = Aeikx . NÕu h¹t tù do ë tr¹ng th¸i n y th× phÐp ®o xung l−îng ch¾c ch¾n ®−îc gi¸ trÞ hk , phÐp ®o n¨ng l−îng ch¾c ch¾n ®−îc gi¸ trÞ h2k 2 . 2m Gi¶ sö ta ®o vÞ trÝ x cña h¹t. H¹t sÏ ë ®©u? Theo Born, khi h¹t ë tr¹ng th¸i ®−îc m« t¶ bëi h m sãng ϕ k ( x ) = Aeikx th× mËt ®é x¸c suÊt liªn quan tíi x¸c suÊt t×m thÊy h¹t trong kho¶ng [x, x + dx] l ϕ k = A = const . MËt ®é x¸c suÊt cïng b»ng 2 2 mét h»ng sè cho mäi x . VËy x¸c suÊt t×m thÊy h¹t ë bÊt cø vÞ trÝ n o, tõ x = −∞ tíi x = +∞ l nh− nhau. Chó ý r»ng E v t l c¸c biÕn bæ sung: ∆E.∆t ≥ h ; nghÜa l nÕu n¨ng l−îng bÊt ®Þnh mét l−îng ∆E th× thêi gian cÇn ®Ó ®o E sÏ bÊt h h2k 2 ®Þnh bëi ∆t ≥ . Trong tr−êng hîp n y E = ; suy ra ∆E = 0 . ∆E 2m §Ó ®o E , ta ph¶i cho h¹t t−¬ng t¸c víi mét dông cô ®o n¨ng l−îng, vÝ dô mét tÊm nèi víi mét lß xo, ®Ó ®o xung l−îng truyÒn v o tÊm khi h¹t va v o. NÕu ®Æt tÊm trªn h−íng ®i cña h¹t th× chóng ta ph¶i ®îi bao l©u ®Ó ph¸t hiÖn ®−îc h¹t? C©u tr¶ lêi ®óng l : kh«ng
14 biÕt! Cã thÓ chóng ta chØ ph¶i ®îi trong 10 - 8 s. Còng cã thÓ chóng ta ph¶i ®îi trong 10 1 0 n¨m. 2.2. PhÐp ®o trong C¬ häc l−îng tö (Tiªn ®Ò 2) Néi dung: PhÐp ®o biÕn sè ®éng lùc A thu ®−îc gi¸ trÞ a ®−a hÖ vÒ tr¹ng th¸i ϕ a , trong ®ã ϕ a l h m riªng cña to¸n tö A t−¬ng ˆ øng víi trÞ riªng a . VÝ dô: h¹t tù do chuyÓn ®éng mét chiÒu. Ta kh«ng biÕt h¹t ë trong tr¹ng th¸i n o. ë mét thêi ®iÓm bÊt k×, ta ®o xung l−îng cña h¹t v ®−îc gi¸ trÞ p = hk . PhÐp ®o n y ®−a hÖ vÒ tr¹ng th¸i ϕ k . PhÐp ®o xung l−îng ngay sau ®ã ch¾c ch¾n thu ®−îc gi¸ trÞ p = hk . Gi¶ sö ta ®o vÞ trÝ cña mét h¹t tù do v ®o ®−îc vÞ trÝ x = x ' . Tõ 2 tiªn ®Ò ta suy ra 1) Cã mét to¸n tö x t−¬ng øng víi phÐp ®o ®−îc vÞ trÝ x ; ˆ 2) §o x ®−îc gi¸ trÞ x' ®−a h¹t vÒ h m riªng cña to¸n tö x ˆ t−¬ng øng víi trÞ riªng x ' . Ta cã ph−¬ng tr×nh trÞ riªng ( ) ( ) xδ x − x ' = x 'δ x − x ' (trong bÓu diÔn to¹ ®é). ˆ Trong ®ã δ (x − x ' ) l h m delta Dirac. 2.3. Tiªn ®Ò 3 (ThiÕt lËp sù tån t¹i cña h m tr¹ng th¸i v mèi liªn hÖ cña nã víi c¸c tÝnh chÊt cña mét hÖ)
15 Néi dung: Tr¹ng th¸i cña hÖ ë mét thêi ®iÓm bÊt kú ®−îc biÓu diÔn bëi mét h m tr¹ng th¸i hay h m sãng ψ liªn tôc v kh¶ tÝch. TÊt c¶ th«ng tin liªn quan ®Õn tr¹ng th¸i cña hÖ ®−îc chøa ®ùng trong h m sãng. r Cô thÓ, nÕu hÖ ë tr¹ng th¸i ψ (r , t ) th× gi¸ trÞ trung b×nh cña biÕn sè ®éng lùc C bÊt k× liªn quan víi hÖ ë thêi ®iÓm t l ˆ r C = ∫ψ *Cψdr , (8) r trong ®ã dr l vi ph©n thÓ tÝch. C cßn ®−îc gäi l gi¸ trÞ k× väng cña biÕn sè ®éng lùc C . ý nghÜa vËt lÝ cña gi¸ trÞ trung b×nh cña biÕn sè ®éng lùc C : BiÕn sè ®éng lùc C ®−îc ®o trong mét thÝ nghiÖm x¸c ®Þnh X . Ng−êi ta chuÈn bÞ mét sè l−îng N rÊt lín c¸c phÐp lÆp cña X . C¸c r tr¹ng th¸i ®Çu ψ (r ,0) cña mäi phÐp lÆp ®Òu nh− nhau. ë thêi ®iÓm t , ®o C trong tÊt c¶ c¸c thÝ nghiÖm lÆp v thu ®−îc tËp gi¸ trÞ C1 , C2 ,... C N . Suy ra N 1 C = N ∑C i =1 i . Tiªn ®Ò 3 nãi r»ng gi¸ trÞ trung b×nh tÝnh ®−îc trong thÝ nghiÖm b»ng gi¸ trÞ trng b×nh cho bëi tÝch ph©n. C cßn ®−îc gäi l gi¸ trÞ k× väng cña biÕn sè ®éng lùc C v× ®ã l gi¸ trÞ m ta k× väng thu ®−îc trong bÊt cø phÐp ®o n o cña C . 2.4. Sù tiÕn triÓn theo thêi gian cña h m tr¹ng th¸i (Tiªn ®Ò 4)
16 r Néi dung: H m tr¹ng th¸i ψ (r , t ) cña mét hÖ tiÕn triÓn theo thêi gian theo ph−¬ng tr×nh ∂ r ˆ r ih ψ (r , t ) = Hψ (r , t ) . (9) ∂t §©y chÝnh l ph−¬ng tr×nh Schrodinger phô thuéc thêi gian. ˆ H l to¸n tö n¨ng l−îng hay to¸n tö Hamilton. To¸n tö n¨ng l−îng cña h¹t cã khèi l−îng m trong tr−êng thÕ r V (r ) l ˆ2 r 2 r ˆ p + V (r ) = − h ∇ 2 + V (r ) . H= 2m 2m ˆ ˆ ˆ r Gi¶ sö H kh«ng phô thuéc t : H = H (r ) . Trong tr−êng hîp n y ta cã thÓ t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Schrodinger phô thuéc thêi gian nhê kü thuËt t¸ch biÕn: r r ψ (r , t ) = ϕ (r )T (t ) . KÕt qu¶, ta t×m ®−îc phÇn phô thuéc thêi gian  − iEt  T (t ) = A exp .  h  Gi¶ sö ta gi¶i ph−¬ng tr×nh Schrodinger kh«ng phô thuéc thêi gian, thu ®−îc c¸c h m riªng ϕ n v trÞ riªng E n : Hϕ n = E n ϕ n . ˆ Víi mçi nghiÖm riªng nh− thÕ, cã mét nghiÖm riªng t−¬ng øng víi ph−¬ng tr×nh Schrodinger phô thuéc thêi gian. r r  iE n t  ψ n (r , t ) = Aϕ n (r ) exp − , n = 1,2,3... . (10)  h  §iÒu n y phï hîp khi {ϕ n } gi¸n ®o¹n.
17 Trong tr−êng hîp {ϕ n } liªn tôc, vÝ dô h¹t tù do chuyÓn ®éng mét chiÒu, tõ ph−¬ng tr×nh ph−¬ng tr×nh Schrodinger kh«ng phô thuéc thêi gian Hϕ k = E k ϕ k ˆ h2k 2 ta ® thu ®−îc h m riªng ϕ k (x ) = Ae ikx v trÞ riªng E k = . 2m Víi mçi nghiÖm kh«ng phô thuéc thêi gian ta cã mét nghiÖm phô thuéc thêi gian t−¬ng øng ψ k (x, t ) = Ae i (kx −ωt ) , trong ®ã hω = E k .
18 Ch−¬ng III: H¹t chuyÓn ®éng trong hè thÕ 3.1. H¹t chuyÓn ®éng trong hè thÕ a) H m riªng v trÞ riªng Ta ® biÕt r»ng ®èi víi h¹t chuyÓn ®éng tù do th× phæ trÞ riªng h2k 2 cña to¸n tö n¨ng l−îng l liªn tôc E = v c¸c h m riªng t−¬ng 2m øng l ϕ k (x ) = Ae ikx . B©y giê ta h y xÐt tr−êng hîp h¹t chuyÓn ®éng trong hè thÕ mét chiÒu V ( x) = ∞ khi x ≤ 0 hoÆc x ≥ L (miÒn 1); V ( x ) = 0 khi 0 < x < L (miÒn 2). Trong miÒn 1: Víi E h÷u h¹n: H 1ϕ = Eϕ ˆ Do E , ϕ h÷u h¹n nªn vÕ ph¶i h÷u h¹n, suy ra ϕ = 0 ; ϕ = 0 ë miÒn 1. 2 Trong miÒn 2: h2 ∂2 − ϕ n ( x ) = Enϕ n ( x ) . 2m ∂x 2 §iÒu kiÖn biªn: ϕ n (0) = ϕ n (L ) = 0 . 2mE n §Æt k n 2 = , ta cã nghiÖm h2 ϕ n (x ) = A sin k n x + B cos k n x . Tõ ®iÒu kiÖn biªn suy ra
19 B = 0; A sin k n L = 0 hay k n L = nπ ; n = 0, 1, 2 . VËy phæ trÞ riªng v h m riªng rêi r¹c. L 2 Tõ ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ ∫ ϕ (x ) dx = 1 ta cã A = . 2 n 0 L VËy h m riªng v trÞ riªng cña h¹t chuyÓn ®éng trong hè thÕ ® nªu l  nπx  h 2π 2 2 2 h 2 k1 ϕ n (x ) = sin   ; E n = n E1 ; E1 = 2 = . L  L  2m 2mL2 Ta thÊy r»ng khi n = 0 th× ϕ = 0 , do ®ã ϕ = 0 , h¹t kh«ng tån t¹i 2 ë tr¹ng th¸i n = 0 . b) Thõa sè pha tuú ý Ta ® biÕt r»ng h m sãng ψ cho th«ng tin vÒ hÖ: C = ∫ψ *Cψdx . ˆ §iÒu kiÖn chuÈn ho¸ cña h m sãng l ∫ψ ψdx = 1 . * Gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc nãi trªn kh«ng thay ®æi d−íi t¸c dông cña phÐp biÕn ®æi ψ → e iαψ , trong ®ã α l sè thùc. Nh− vËy h m sãng ®−îc x¸c ®Þnh chÝnh x¸c ®Õn mét thõa sè pha e iα . §¹i l−îng tuú ý n y kh«ng ¶nh h−ëng tíi bÊt cø kÕt qu¶ vËt lÝ n o. 3.2. KÝ hiÖu Dirac
20 Trong C¬ häc l−îng tö, ngo i kÝ hiÖu tÝch ph©n th«ng th−êng, ta cßn dïng kÝ hiÖu Dirac. Khi gÆp kÝ hiÖu ψ ϕ , ta ph¶i hiÓu nh− sau 1) lÊy liªn hîp phøc cña ®èi t−îng trong khe thø nhÊt: ψ → ψ * ; 2) lÊy tÝch ph©n cña tÝch ψ *ψ . C¸c tÝnh chÊt: NÕu a l sè phøc, ψ v ϕ l 2 h m sao cho +∞ ∫ψ −∞ ϕdx < ∞ th× a) ψ aϕ = a ψ ϕ ; b) aψ ϕ = a* ψ ϕ ; c) ψ ϕ = ϕ ψ ; * d) ( ψ 1 + ψ 2 )( ϕ1 + ϕ 2 ) = ψ 1 ϕ1 + ψ 1 ϕ 2 + ψ 2 ϕ1 + ψ 2 ϕ 2 . 3.3. Nguyªn lÝ chång chËp Trë l¹i b i to¸n hè thÕ mét chiÒu. Ta h y t−ëng t−îng mét sè lín c¸c phÐp lÆp ®ång nhÊt cña hÖ. TÊt c¶ c¸c hè thÕ ë cïng tr¹ng th¸i ban ®Çu ψ (x,0) . Sau kho¶ng thêi gian t , tÊt c¶ c¸c hè thÕ ë cïng tr¹ng th¸i ψ ( x, t ) . N¨ng l−îng cña h¹t trong mçi hè thÕ ë thêi ®iÓm t b»ng bao nhiªu?