Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm Klein bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Vật lý "Nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm Klein bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên" được nghiên cứu với mục tiêu: Tổng quan về soliton và mô phỏng các hiệu ứng lượng tử bằng hệ ống dẫn sóng; Hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch qua bậc thế năng; Hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm Klein bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM TRẦN CÔNG MINH NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG XUYÊN HẦM KLEIN BẰNG HỆ ỐNG DẪN SÓNG NHỊ NGUYÊN TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 9.44.01.03 TP. Hồ Chí Minh – 2024
Công trình được hoàn thành tại: Trung tâm Đào tạo Hạt nhân, Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Trần Xuân Trường - Học Viện Kỹ Thuật Quân sự 2. TS. Đỗ Công Cương - Viện Khoa học và Kỹ thuật hạt nhân Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Viện chấm luận án tiến sĩ họp tại Trung tâm Đào tạo Hạt nhân, Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam vào lúc ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 2024. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trung tâm Đào tạo hạt nhân
Mục lục Mục lục 1 Mở đầu 2 Chương 1: Tổng quan về soliton và mô phỏng các hiệu ứng lượng tử bằng hệ ống dẫn sóng 3 1.1 Hệ ống dẫn sóng đồng nhất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tổng quan về các loại soliton và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Mô phỏng một số hiệu ứng lượng tử bằng hệ ống dẫn sóng đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Hiệu ứng dao động Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Hiệu ứng xuyên hầm Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Hạt chuyển động qua bậc thế năng theo quan điểm Cơ học lượng tử phi tương đối tính . 6 1.4.2 Hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên . . . . . . 7 Chương 2: Hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch qua bậc thế năng 10 2.1 Cơ sở lý thuyết hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên . . . . . . . 10 2.2 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Điều kiện mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Ảnh hưởng của độ cao bậc thế đến hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch . . . . . . . . . . . 12 2.2.3 Ảnh hưởng của số sóng đến hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch qua bậc thế năng . . . . . 13 Chương 3: Hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật 15 3.1 Hạt chuyển động qua rào thế hình chữ nhật theo Cơ học lượng tử phi tương đối tính . . . . . . . 15 3.2 Cơ sở lý thuyết hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3.1 Ảnh hưởng độ cao rào thế hình chữ nhật đến hiệu ứng xuyên hầm Klein . . . . . . . . . . 17 3.3.2 Ảnh hưởng của tính phi tuyến đến hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật 19 Kết luận 20 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 22 Danh mục các công trình đã công bố 23 Tài liệu tham khảo 24 1
Mở đầu Trong quá trình truyền tải thông tin liên lạc và nghiên cứu lĩnh vực quang học hiện đại, người ta thường dùng một thiết bị quan trọng và có độ ổn định cao, giúp tín hiệu truyền đi xa mà ít bị ảnh hưởng bởi các tác động của môi trường, đó chính là sợi quang (optical fiber) nói riêng và các ống dẫn sóng (waveguide) nói chung. Trong nhiều ứng dụng về xử lý tín hiệu quang, các ống dẫn sóng này thường được ghép với nhau một cách tuần hoàn tạo nên hệ ống dẫn sóng (waveguide arrays - WA) sao cho mode của mỗi ống dẫn sóng có phần chồng lấn lên mode của hai ống dẫn sóng liền kề [1]. Đặc biệt, nếu sắp xếp xen kẽ và tuần hoàn hai loại ống khác nhau sẽ tạo nên một loại WA đặc biệt có tên gọi là hệ ống dẫn sóng nhị nguyên (binary waveguide arrays - BWA). Hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận (Klein Tunneling effect - KT) lần đầu được dự đoán bởi Oskar Klein [2] vào năm 1930 khi ông cho rằng các fermion tương đối tính như các electron có thể xuyên hầm qua các rào thế (có thế năng cao hơn tổng năng lượng của hạt) mà biên độ hàm sóng của electron không bị giảm theo quy luật hàm mũ thông thường trong hiệu ứng xuyên hầm lượng tử phi tương đối tính được mô tả rộng rãi bởi phương trình Schr¨dinger [1]. Hiện tượng này bắt nguồn từ sự tồn tại của các nghiệm năng lượng âm của phương trình o Dirac [3]. Tuy nhiên, do yêu cầu trường thế rất cao, KT của các electron tương đối tính vẫn chưa được chứng minh bằng thực nghiệm. Hơn nữa, thế năng phải có độ dốc rất lớn để quan sát KT [4, 5], và điều đó có nghĩa là vùng chuyển đổi của bậc thế từ vùng thế năng thấp sang vùng thế năng cao phải xảy ra ở một vùng rất hẹp, bằng hoặc ngắn hơn bước sóng Compton [5]. Bởi vì hiệu ứng xuyên hầm Klein được mô tả bởi phương trình Dirac, vì vậy ta có thể quan sát hiệu ứng tương tự với KT trong các hệ thống có hệ thức tán sắc giống với hệ thức tán sắc của electron tương đối tính được mô tả bởi phương trình Dirac [2, 5–7]. Trước đây, hiệu ứng xuyên hầm Klein trong BWA mới chỉ được mô phỏng khi electron xuyên hầm qua một bậc thế thuận, nghĩa là hạt truyền vào vùng có thế năng cao từ vùng thế năng thấp [5, 6, 8] với năng lượng của electron tới nhỏ hơn độ cao của rào thế năng. Trong công trình [5] đã tính toán giải tích và đưa ra tường minh hệ số truyền qua của một electron xuyên hầm qua một rào thế bậc thang thuận và so sánh với kết quả tính toán từ phương trình Dirac. Sau đó, trong công trình [8] đã so sánh kết quả tính toán giải tích hệ số truyền qua khi thay đổi số sóng đầu vào bằng cách mô phỏng với kết quả thực nghiệm. Công trình [6] đã so sánh kết quả tính toán lý thuyết và kết quả mô phỏng KT bằng cách cho một DS lan truyền trong mô hình tương tự như một bậc thế năng thuận được thiết lập bằng BWA. Sau đó, các tác giả thay đổi các thông số đầu vào để khảo sát sự ảnh hưởng của độ cao rào thế, số sóng đầu vào và sự phi tuyến tính đến KT. Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến hiệu ứng xuyên hầm Klein. Đầu tiên, chúng tôi khảo sát hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch (Inverse Klein Tunneling effect - IKT). Trong hiệu ứng này, electron xuyên hầm qua bậc thế nghịch đảo, tức là, hạt mang năng lượng sẽ chuyển động từ vùng có thế năng cao sang vùng có thế năng thấp và sau đó được chúng tôi mô phỏng bằng Dirac soliton (DS) khi lan truyền qua hai môi trường trong BWA. Nối tiếp bài toán trên, chúng tôi tiếp tục khảo sát hiệu ứng kết hợp của các hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận và nghịch khi khảo sát xác suất xuyên hầm của electron trong hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật (potential barrier) và mô phỏng chúng bằng sự lan truyền DS trong BWA. Bố cục của luận án được chúng tôi phân chia thành ba chương, không kể phần mở đầu và phần kết luận. 2
Chương 1 Tổng quan về soliton và mô phỏng các hiệu ứng lượng tử bằng hệ ống dẫn sóng 1.1 Hệ ống dẫn sóng đồng nhất tuyến tính Trong Vật lý cổ điển, ánh sáng nói riêng và trường điện từ nói chung là một hàm liên tục cả trong không gian và thời gian. Với mong muốn ánh sáng được rời rạc trong không gian, chúng ta cần phải sử dụng đến những thiết bị quang học có thể giới hạn ánh sáng tại những khu vực nhất định. Trong các ứng dụng xử lý tín hiệu, ống dẫn sóng quang học (optical waveguide) được sử dụng rộng rãi. Khi ghép nối từng ống dẫn sóng với nhau chúng ta sẽ được hệ ống dẫn sóng mà lõi của mỗi ống dẫn sóng được đặt liền kề với nhau một cách tuần hoàn [9]. Trong WA, mỗi ống dẫn sóng thường chỉ tương tác với hai ống dẫn sóng liền kề với nó mà bỏ qua sự tương tác tác với những ống xa hơn. Chẳng hạn, ống dẫn sóng tại vị trí n chỉ tương tác với ống tại vị trí n + 1 và n − 1 như trên Hình 1.1. z n-1 n n+1 x d Hình 1.1. Một mảng các ống dẫn sóng được ghép nối [10]. Giống với sự giới hạn ánh sáng bên trong sợi quang, phần lớn năng lượng trong mỗi ống dẫn sóng của WA được giới hạn trong từng ống vì chiết suất của môi trường bên ngoài luôn nhỏ hơn chiết suất bên trong của lõi. Điều này dẫn đến sự chồng lấn mode trong không gian giữa hai ống dẫn sóng liền kề, khiến cho toàn hệ ống dẫn sóng được liên kết với nhau và được mô tả thông qua hệ phương trình liên kết mode dưới đây cho chùm sáng ở chế độ liên tục với WA một chiều [11]: dAn (z) i = −βAn (z) − κ [An+1 (z) + An−1 (z)] , (1.1) dz trong đó z là tọa độ theo trục dọc của WA, An là cường độ điện trường của chùm sáng trong ống dẫn sóng với 2π số thứ tự n, β là hằng số truyền (tương đương đại lượng số sóng trong môi trường liên tục) của mode tương λ ứng trong mỗi ống dẫn sóng, κ là hệ số liên kết giữa hai ống dẫn sóng liền kề trong WA và xuất hiện do có sự chồng lấn mode của hai ống dẫn sóng kề cận tại vị trí thứ n với n + 1 và tại vị trí thứ n với n − 1 và được thể hiện trên Hình 1.2. Tiếp theo, nếu giả sử chùm sóng phẳng truyền xiên trong WA sao cho trục của chùm tia tới từ bên ngoài hợp với trục dọc z của WA một góc nghiêng θ. Hiệu số pha giữa tín hiệu sáng có bước sóng λ tại hai ống dẫn 3
Hình 1.2. Một dãy các ống dẫn sóng quang học và sự chồng lấn các mode lên nhau trong WA [12]. sóng liền kề cách nhau một khoảng d là [1]: 2π Q= ns d sin θ, (1.2) λ trong đó ns là chiết suất của môi trường xung quanh. Như vậy, từ biểu thức (1.2), nếu hiệu số pha Q = π/2, khi đó góc nghiêng θ (còn được gọi là góc Bragg θB ) có giá trị [12]: λ θB ≈ , (1.3) 4ns d góc nghiêng Bragg này có giá trị đặc biệt quan trọng trong WA và thường có giá trị khá nhỏ (cỡ một vài độ) khi bước sóng λ trong vùng nhìn thấy. 1.2 Tổng quan về các loại soliton và ứng dụng Lịch sử của soliton bắt nguồn từ năm 1834, năm mà James Scott Russell quan sát thấy một bó sóng nước trong một con kênh lan truyền không bị biến dạng trong vài km trong báo cáo của ông được xuất bản vào năm 1844 [13]. Sóng như vậy thời điểm đó gọi là sóng đơn. Tuy nhiên, các tính chất của chúng không được hiểu hoàn toàn cho đến khi các mô hình toán học thích hợp được đưa ra và phương pháp tán xạ ngược được phát triển vào những năm 1960 [14]. Thuật ngữ soliton được đặt ra vào năm 1965 để phản ánh bản chất giống như hạt của các sóng đơn vẫn còn nguyên vẹn ngay cả sau khi va chạm lẫn nhau [15]. Soliton bao gồm rất nhiều loại khác nhau như soliton không gian, soliton thời gian, DS, soliton tối,... . Soliton không gian trong môi trường liên tục lần đầu tiên được khám phá năm 1964 do hiện tượng tự bẫy phi tuyến của các chùm sáng liên tục trong môi trường phi tuyến [16]. Soliton thời gian có liên quan đến việc phát hiện ra hiện tượng phi tuyến tính trong suốt tự gây ra trong môi trường phi tuyến cộng hưởng [17]. Vào năm 1973, soliton có cường độ giảm ở vùng trung tâm được gọi là soliton tối [18]. Để phân biệt rõ ràng, các soliton dạng xung tiêu chuẩn với cường độ cao ở vùng trung tâm và giảm dần ra vùng biên được gọi là các soliton sáng. Solitons tối tạm thời đã thu hút sự chú ý đáng kể trong những năm 1980 [19, 20]. Các soliton tối không gian cũng có thể hình thành trong hệ các ống dẫn sóng quang học khi chỉ số khúc xạ thấp hơn ở vùng cường độ cao (sự phi tuyến tự phân kỳ) và chúng đã được nghiên cứu rộng rãi [21–25]. Trong những năm 1990, nhiều loại soliton quang học khác đã được phát hiện. Đó chính là soliton không gian - thời gian (còn gọi là viên đạn ánh sáng), Bragg soliton, soliton xoáy, soliton vector và soliton bậc hai [13]. 4
1.3 Mô phỏng một số hiệu ứng lượng tử bằng hệ ống dẫn sóng đồng nhất 1.3.1 Hiệu ứng dao động Bloch Hiệu ứng dao động Bloch (Bloch oscillations – BO) đầu tiên được thảo luận trong bài báo của nhà vật lý người Mỹ gốc Thụy Sỹ Felix Bloch vào năm 1929 khi nghiên cứu sự dịch chuyển của electron trong mạng tinh thể [26]. Xét bài toán cổ điển khi một electron tự do đi vào vùng điện trường đều được thiết lập giữa hai bản tụ điện với hai cực âm và dương. Lúc đó, do tác dụng của điện trường E hướng từ bản có điện tích dương sang bản có điện tích âm mà electron sẽ bị đẩy về phía bản dương. Điều đó thể hiện rằng, một điện tử tự do dưới tác động của một điện trường đều (hay một điện thế tuyến tính) sẽ bị điện trường đều này đẩy đi vô hạn trong không gian của điện trường đều đó. Và Zener đã đặt vấn đề rằng liệu điện tử sẽ chuyển động như thế nào trong mạng tinh thể tuần hoàn dưới tác động của một điện trường ngoài đều. Khi đó, hạt electron sẽ chịu tác động từ cả hai điện trường sau, bao gồm (i) trường tĩnh điện trong mạng tinh thể có điện thế tuần hoàn trong không gian và (ii) điện thế tuyến tính của điện trường ngoài đồng nhất áp lên mạng tinh thể [1]. Zener dự đoán sự xuất hiện những dao động tuần hoàn của điện tử, sau này được gọi là dao động Bloch, dẫn đến sự định xứ trong không gian mạng tinh thể của electron thay vì bị điện trường ngoài đồng nhất đẩy đi vô hạn [27]. Quan sát bằng thực nghiệm mô phỏng hiện tượng này trong WA được thực hiện vào cuối thế kỷ 20 do nhóm Pertsch tiến hành [11]. 1.3.2 Hiệu ứng xuyên hầm Zener Hiệu ứng xuyên hầm Zener (Zener Tunneling effect - ZT) được chính Zener dự đoán vào năm 1934 rằng dao động Bloch không tồn tại mãi mãi mà sẽ suy yếu dần do sự truyền năng lượng giữa các mode thuộc các dải liền kề. Sự suy yếu của các BO dự kiến sẽ xảy ra khi chênh lệch năng lượng do điện thế tuyến tính áp đặt lên mạng có giá trị cùng bậc với vùng cấm năng lượng ngăn cách với dải tiếp theo dẫn đến electron sẽ chuyển mức năng lượng sang các dải tiếp theo và tạo nên ZT. Theo thực nghiệm, ZT có nhiều ứng dụng trong thực tế, bởi vì trái ngược với BO lý tưởng, nó tạo ra dòng hạt một chiều. Một số ví dụ như hiệu ứng đánh thủng điện (electrical breakdown) trong chất điện môi [27] hoặc điốt Zener [28], dẫn điện dọc theo ống nano [29] và trong các siêu mạng [30], tạo cặp đường hầm qua các mối nối Josephson [31]. Trong công trình [32], các tác giả đã cố gắng tạo ra một môi trường cho các photon giống như môi trường mà các electron gặp phải trong siêu mạng bán dẫn. Các nhóm thực nghiệm đã được thúc đẩy mạnh mẽ nhằm quan sát trực tiếp BO và ZT. Điều này đã được xác minh trong các thí nghiệm gần đây về BO quang tử [11, 33] trong WA. Ở đó mạng tinh thể được hình thành bởi một dãy các ống dẫn sóng được kết hợp biến thiên, trong đó điện thế bên ngoài được giả lập bằng một biến thiên tuyến tính của các giá trị chiết suất hiệu dụng của các ống dẫn sóng đạt được bằng gradient nhiệt độ trên vật liệu quang nhiệt [11] hoặc bằng cách thay đổi hình dạng hình học của ống dẫn sóng [33]. 5
1.4 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên 1.4.1 Hạt chuyển động qua bậc thế năng theo quan điểm Cơ học lượng tử phi tương đối tính Ta xét một hạt mang năng lượng E và khối lượng m chuyển động một chiều qua bậc thế vuông góc có dạng được cho như sau và được thể hiện trên Hình 1.3 [34, 35]:   0, x < 0, miền I, V (x) = (1.4)  V , x ≥ 0, miền II. 0 Để đặc trưng cho quá trình phản xạ hoặc truyền qua rào thế người ta đưa ra hai hệ số sau với tên gọi lần lượt là hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T [34, 35]: 2 1−k2 /k1 R= 1+k2 /k1 , (1.5) 4k2 /k1 T = (1+k2 /k1 )2 , √ trong đó k1 = 2mE/ℏ và k2 = 2m(E − V0 )/ℏ, dễ dàng nhận thấy T + R = 1 với mọi giá trị của k1 và k2 . Đồng thời khi năng lượng E tiến tới giá trị bằng độ cao bậc thế thì hệ số truyền qua tiến đến không, hạt phản xạ hoàn toàn do T tiến đến không, R tiến đến 1, ngoài ra, khi chiều cao bậc thế năng rất nhỏ so với năng lượng, tức là V0 /E → 0 thì hạt có khả năng truyền qua hoàn toàn và xác suất hạt bị phản xạ rất thấp. Hình 1.3. Bậc thế năng có bề rộng vô hạn. 1.4.2 Hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận Với độ cao thế năng V0 là hằng số, electron tự do mang năng lượng (E/c)2 = p2 + m2 c2 trong miền I, trong 0 đó c là vận tốc ánh sáng truyền trong chân không, m0 là khối lượng của vi hạt và động lượng của hạt truyền qua trong miền II là p. Trong miền II ta có [2, 13]: ¯ 2 E − V0 = p2 + m2 c2 . ¯ 0 (1.6) c Hệ số phản xạ được tính như sau [13]: (1 − r)2 R= , (1.7) (1 + r)2 6
với p E + m0 c2 ¯ r= . (1.8) p E − V0 + m0 c2 Sau quá trình tính toán, phần tương ứng của các electron di chuyển qua bề mặt ranh giới của bậc thế là [13]: 2p ς= , (1.9) E/c + p trong đó ς là hệ số truyền qua. Phần trình bày KT ở trên áp dụng cho trường hợp vùng chuyển tiếp của bậc thế năng thẳng đứng. Các tính toán của F. Sauter [13] sử dụng các bậc thế có cạnh không thẳng đứng cho thấy hiệu ứng xuyên hầm Klein sẽ không xảy ra nếu độ rộng d của vùng chuyển tiếp tăng từ V = 0 đến V = V0 lớn hơn hoặc bằng bước sóng Compton, tức là [13]: ℏ d≥ . (1.10) m0 c 1.4.3 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên Quá trình truyền một chùm sáng ở chế độ phát liên tục trong BWA sở hữu phi tuyến Kerr dạng tự hội tụ được mô tả bởi hệ phương trình liên kết mode không thứ nguyên như sau [6–8, 36, 37]: dan (z) i = −βn an − κ [an+1 + an−1 ] + (−1)n σan − γ|an |2 an , (1.11) dz trong đó an là điện trường trong ống dẫn sóng thứ n, z là biến không gian theo trục dọc của BWA, κ và 2σ lần lượt là hệ số liên kết và độ lệch hằng số truyền giữa hai mode trong hai ống dẫn sóng liền kề, và γ là hệ số phi tuyến (để đơn giản ta coi γ của mỗi ống dẫn sóng như nhau trong BWA). Ở đây, đại lượng βn được đưa vào để mô tả sự chênh lệch (offset) hằng số truyền của các mode cơ bản giữa vùng I và vùng II trong BWA (xem Hình 1.4(b)). Đại lượng βn được định nghĩa như sau: βn = 0 với mọi ống dẫn sóng trong vùng I với n < 0, và βn = β0 là hằng số với mọi ống dẫn sóng trong vùng II với n ≥ 0. Nếu không có sự chênh lệch giữa vùng I và vùng II, khi đó β0 = 0. Như vậy, từ hệ (1.11) ta thấy đại lượng [βn − (−1)n σ] đặc trưng cho hằng số truyền của ống dẫn sóng thứ n trong BWA. Đồng thời, Hình 1.4(c) cũng minh họa sự phân bố của hệ số chiết xuất hiệu dụng với mode cơ bản của các ống dẫn sóng trong BWA. Trong trường hợp phi tuyến dạng tự hội tụ, ta luôn có thể biến đổi hệ không thứ nguyên (1.11) sao cho cả γ và κ đều bằng một. Hình 1.4. Mô hình mô phỏng KT với BWA [1, 6]. Ta chiếu chùm sáng phân bố Gauss vào BWA dưới góc nghiêng lân cận góc Bragg θB tính từ công thức 7
π (1.3). Khi đó độ lệch pha giữa hai ống dẫn sóng liền kề tại đầu vào sẽ có giá trị lân cận ± , điều này có nghĩa là 2 tia tới truyền vào BWA gần với góc Bragg với số sóng QB = ±π/2. Tiếp theo, với mục đích chuyển từ phương trình rời rạc (1.11) thành phương trình liên tục, chúng ta đưa vào hai hàm Ψ1 , Ψ2 có dạng như sau [6, 7, 38]:   Ψ1 (n) = (−1)n a2n , (1.12)  Ψ (n) = i (−1)n a 2 2n−1 . Chúng ta có thể biến đổi hệ phương trình liên kết mode (1.11) trong BWA thành phương trình sau [1, 6]: ∂Ψ ∂Ψ m0 c2 i = V (x)Ψ − icσx + σz Ψ − γG, (1.13) ∂t ∂x ℏ trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không, m0 là khối lượng nghỉ của điện tử hoặc hạt fermion, ℏ là hằng T số Planck, t là biến thời gian, số hạng phi tuyến bậc ba G ≡ |Ψ1 |2 Ψ1 , |Ψ2 |2 Ψ2 có dạng véc-tơ cột và hai ma trận Pauli σx và σz . Hệ số truyền qua T của KT trong mô hình rời rạc xuất phát từ phương trình (1.11) khi một sóng phẳng truyền trong BWA [5, 6]. Ở đây, chúng ta sử dụng biến βn độc lập với n và βn = β = −Φ, sau đó, dùng hàm sóng phẳng trong mặt phẳng (n, z) như sau [1, 6]: an (Q) ∼ exp [i (Qn − ωz)] . (1.14) Thay phương trình (1.14) vào phương trình (1.11) ta thu được hai dải năng lượng sau [1, 6]: ω± (Q, Φ) = Φ ± σ 2 + 4κ2 cos2 Q, (1.15) trong đó Q là số sóng chuẩn hóa của sóng phẳng và bằng với số sóng qa trong phương trình (3) trong [5], với a là khoảng cách giữa hai ống dẫn sóng liên tiếp trong BWA và q là số sóng phẳng. Số sóng chuẩn hóa Q được xem là sự khác biệt pha giữa hai ống dẫn sóng liền kề. Chúng ta thực hiện sự biến đổi n → ξ → x và z → t. Tương tự, khi ta dùng phép biến đổi Ψ ≈ exp [i (kξ − ϵz)] cho trường hợp liên tục với phương trình (1.12) ở chế độ tuyến tính (tức là, khi γ = 0), chúng ta tìm được hai nhánh năng lượng dương và âm cho electron tương đối tính (xem phương trình (6) trong [5]): ϵ± (k, Φ) = Φ ± σ 2 + κ2 k 2 . (1.16) Do các phép biến đổi đã trình bày ở phần trên để thu được phương trình Dirac (1.13) từ phương trình liên kết mode (1.11) trong BWA, ta có thể coi ω± trong công thức (1.15) va ϵ± trong công thức (1.16) như năng lượng E của vi hạt trong mô hình rời rạc và liên tục. Độ lệch pha giữa hai ống dẫn sóng liền kề được tính bằng công thức sau [1, 6]: π k Q=± + , (1.17) 2 2 trong đó k nhận giá trị đủ nhỏ sao cho k ≈ 0, khi đó, phương trình (1.15) sẽ trở thành phương trình (1.16). Rõ 8
ràng là, khi chùm sáng truyền trong BWA lân cận góc Bragg θB , thì hệ phương trình rời rạc (1.11) sẽ chuyển thành hệ phương trình liên tục (1.13). Chúng tôi muốn đặc biệt nhấn mạnh rằng tại lân cận Q0 = π/2 (còn được biết đến rộng rãi với tên gọi là điểm Dirac (Dirac point)), hai nhánh đường cong tán sắc (1.15) sẽ có dạng hyperbol giống như hai nhánh (1.16). Đây chính là cơ sở Vật lý quan trọng giúp chúng ta sử dụng các chùm sáng chiếu vào BWA tại lân cận điểm Dirac để mô phỏng các hiệu ứng lượng tử tương đối tính được mô tả bởi phương trình Dirac. quan hệ tán sắc w + (Q,F) 6 quan hệ tán sắc e + (k) 4 4 F0 F0 2 A B 2 A B 0 2s 0 2s -2 (a) (b) -2 0 1 Q0 0 Q1 1 2 -2 0 k0 2 -2 k1 0 2 số sóng Q/(p/2) số sóng k Hình 1.5. (a) Đường cong tán sắc ω± (Q, Φ) khi Φ = 0 (đường nét liền) và Φ = Φ0 (đường nét đứt) dựa trên phương trình (1.15) trong trường hợp KT trong BWA ở chế độ tuyến tính khi sử dụng mô hình rời rạc. (b) Đường cong tán sắc ϵ± (k, Φ) khi Φ = 0 (đường nét liền) và Φ = Φ0 (đường nét đứt) dựa trên phương trình (1.16) trong mô hình liên tục của KT ở chế độ tuyến tính [1, 6, 7]. Giả sử chùm ánh sáng tới có dạng sóng phẳng nằm trong vùng I và thuộc nhánh tán sắc ω+ với số sóng ban đầu Q0 = π/2 + k0 /2 khi 0 < k0 < π/2. Chùm sáng này tiếp tục đập vào ranh giới giữa vùng I và vùng II. Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có [1, 6]: ω− (Q1 , Φ0 ) = ω+ (Q0 , 0) ≡ ω0 , (1.18) với điều kiện 0 < Q1 < π/2 nhằm mục đích sóng truyền trong vùng II sẽ truyền về phía bên phải như Hình 1.5. Khi đó, hệ số truyền qua được tính theo công thức sau [1, 6]: (ω0 − σ) (ω0 − σ − Φ0 ) sin (2Q0 ) sin (2Q1 ) T = . (1.19) (Φ0 cos Q0 cos Q1 )2 + [(ω0 − σ) sin Q0 cos Q1 + (ω0 − σ − Φ0 ) sin Q1 cos Q0 ]2 Giá trị T được tính bằng tỉ số của cường độ chùm đầu ra trong vùng II và cường độ chùm sáng tới trong vùng I ở chế độ tuyến tính. Kết quả T được tính theo phương trình (1.19) trong trường hợp hệ phương trình liên kết mode rời rạc được đề cập trong (1.11) ở chế độ tuyến tính khi γ = 0. Trong mô hình liên tục ở chế độ tuyến tính, dựa vào phương trình Dirac liên tục (1.13) hệ số truyền qua TD có dạng như sau [1, 6]: 2 −k1 (ϵ0 − σ) + k0 (ϵ0 − σ − Φ0 ) TD = 1 − , (1.20) k1 (ϵ0 − σ) + k0 (ϵ0 − σ − Φ0 ) trong đó k0 và k1 lần lượt là số sóng của sóng tới (trong vùng I) và sóng truyền qua (trong vùng II) và có liên quan với nhau theo định luật bảo toàn năng lượng như sau, với điều kiện là k0 dương và k1 âm để đảm bảo rằng sóng tới và sóng truyền qua đều có vận tốc dương và hướng về bên phải [1, 6]: ϵ− (k1 , Φ0 ) = ϵ+ (k0 , 0) ≡ ϵ0 . (1.21) 9
Chương 2 Hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch qua bậc thế năng 2.1 Cơ sở lý thuyết hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên Khi một vi hạt truyền qua một vùng có thế năng cao sang vùng có thế năng thấp được gọi là hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch (Inverse Klein Tunneling effect - IKT) [7]. Khi đó, độ cao bậc thế có dạng V (ξ) = Φ0 = −β0 > 0 khi ξ < 0 và V (ξ) = 0 khi ξ ≥ 0. Bậc thế năng trong trường hợp này được mô phỏng bởi hệ số β trong phương trình (1.11) và được minh họa trên Hình 2.1. Lúc này, βn = β0 < 0 cho các ống dẫn sóng với n < 0 ở vùng I và βn = 0 cho các ống n ≥ 0 ở vùng II (Hình 2.1(b)). Mô hình các ống dẫn sóng được thể hiện trên Hình 2.1(c). Hình 2.1. Mô hình BWA mô phỏng hiệu ứng IKT [7]. Như vậy, Hình 2.1(a) thể hiện bài toán IKT với mô hình liên tục được mô tả bởi phương trình (1.13), còn Hình 2.1(b,c) thể hiện bài toán IKT với mô hình rời rạc trong BWA được mô tả bởi phương trình (1.11). Bắt đầu từ đây, chúng tôi sẽ sẽ dụng chỉ số trên i (inverse) để mô tả các đại lượng liên quan đến IKT để phân biệt với các đại lượng tương ứng trong KT như trong công trình [7]. Trong trường hợp sóng truyền qua sẽ thuộc nhánh năng lượng trên ω+ của BWA trong vùng II với biên độ không đổi (thay vì suy giảm theo quy luật hàm mũ do phương trình Schr¨dinger chi phối) với số sóng truyền qua được ký hiệu là Qi thỏa mãn định o 1 luật bảo toàn năng lượng [7]: ω+ Qi , 0 = ω− Qi , Φ0 ≡ ω0 , 1 0 i (2.1) Trong mô hình liên tục, theo định luật bảo toàn năng lượng, IKT được quan sát khi [7]: ϵi ≡ ϵ− k0 , Φ0 = ϵ+ k1 , 0 , 0 i i (2.2) i i với k0 là số âm và k1 là số dương để đảm bảo vận tốc dương cho cả khi sóng tới và sóng truyền qua. Bằng việc biến đổi tương tự như trường hợp tính hệ số truyền qua trong KT, chúng tôi tính hệ số truyền qua của IKT với mô hình rời rạc như sau [7]: 10
i ω0 − σ − Φ0 ω0 − σ sin 2Qi sin 2Qi i 0 1 T i Qi , Φ0 = 0 2 2. (2.3) Φ0 cos Qi cos Qi 0 1 + ω0 − σ − Φ0 sin Qi cos Qi + ω0 − σ sin Qi cos Qi i 0 1 i 1 0 Công thức (2.3) tính hệ số truyền qua T i cho IKT trong mô hình rời rạc với BWA ở chế độ tuyến tính. Hệ số truyền qua trong mô hình liên tục ở chế độ tuyến được tính theo công thức dưới đây [7]: 2 i i −k1 ϵi − σ − Φ0 + k0 ϵi − σ i 0 i 0 TD k0 , Φ0 =1− . (2.4) k1 ϵi − σ − Φ0 + k0 ϵi − σ i 0 i 0 2.2 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên 2.2.1 Điều kiện mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch DS phát sinh từ phương trình liên kết mode khi sử dụng nguồn laser có công suất đủ mạnh chiếu vào BWA có tính chất phi tuyến dạng Kerr như sau [1, 38]: dan (z) i = −κ [an+1 + an−1 ] + (−1)n σan − γ |an |2 an . (2.5) dz Hệ phương trình (2.5) cũng chính là hệ phương trình (1.11) và được viết lại ở đây để tiện theo dõi. Trong trường hợp đặc biệt khi ba tham số γ, κ và σ là số dương, nghiệm DS của phương trình (2.5) có dạng như sau [1, 38]:   2κ2   iz −σ n2 σ a2n (z)  i2n n02κσγ sech √ 2n n0 e 0   = , (2.6) 2κ2 iz −σ   a2n−1 (z) 2κ2 2n−1 2n−1 n2 σ i2n √ sech n2 σγ n0 tanh n0 e 0 0 Ta thu được nghiệm (2.6) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) chùm tia phải đủ lớn để giới hạn liên tục có thể áp dụng được trong trường hợp hệ rời rạc, và (ii) giá trị tích của n0 |σ| ≫ 2κ. Tuy nhiên, điều kiện (ii) sẽ thỏa mãn nếu như (i) đúng và nếu σ cùng bậc với κ [38]. Nghiệm giải tích trong phương trình (2.6) là họ nghiệm một tham số của soliton rời rạc trong BWA trong đó độ rộng chùm tia n0 có thể là một số bất kỳ, với điều kiện n0 ≳ 4. Nếu dùng chùm sáng có phân bố Gaussian để mô phỏng IKT trong BWA, chùm đầu vào cần truyền xiên vào hệ lân cận góc Bragg và có dạng như sau [1, 6, 7]: n2 π k0 i an ∼ exp − exp i + n , (2.7) n2 0 2 2 i trong đó k0 có giá trị âm nhỏ gần bằng không, và n0 là tham số thể hiện độ rộng của chùm tia. Chúng tôi nhấn mạnh rằng để khảo sát KT và IKT, sóng tới với phân bố Gaussian phải truyền vào BWA dưới góc tới lân cận góc Bragg. Điều này rất quan trọng, như đã trình bày ở phần trên, nếu chiếu thẳng chùm Gauss vào BWA (khi đó an đều đồng pha) thì không thể biến đổi phương trình liên kết mode (1.11) thành phương trình Dirac (1.13), 11
nhưng nếu chiếu vào BWA dưới góc lân cận Bragg (khi tín hiệu đầu vào các ống liền kề lệch pha nhau một giá trị lân cận π/2) ta có thể biến đổi phương trình (1.11) để chuyển thành phương trình Dirac (1.13). Ngược lại, để nghiên cứu IKT với DS đầu vào, chúng tôi sử dụng điều kiện [1, 6]: aini = an (0) exp ink0 /2 , n i (2.8) trong đó an (0) trong phương trình (2.8) là nghiệm của DS tính ở khoảng cách z = 0 từ phương trình (2.6), và i k0 có giá trị âm đủ nhỏ gần bằng không. 2.2.2 Ảnh hưởng của độ cao bậc thế đến hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch Chúng tôi tính hệ số truyền qua trong hai mô hình liên tục và rời rạc khi cố định số sóng tới là Qi = 0.7π/2 0 (khi đó k0 = −0.3π) và thay đổi độ cao bậc thế Φ0 . Trong Hình 2.2(a) chúng tôi biểu diễn hệ số truyền qua T i i được tính khi thay đổi độ cao bậc thế Φ0 . Chú ý rằng, hai đường cong lý thuyết (đường cong chấm màu xanh lá và đường nét đứt màu xanh dương) trong Hình 2.2(a) có cùng điểm chung khi Φ0 < 2.5, nhưng chúng khác nhau hoàn toàn nếu tăng độ cao bậc thế nghịch Φ0 . Hình 2.2. (a) Hệ số truyền qua của các DS trong BWA khi thay đổi độ cao bậc thế năng trong IKT: đường cong chấm màu xanh lá được tính theo phương trình (2.4) theo mô hình liên tục, đường nét đứt màu xanh dương được tính theo phương trình (2.3) theo mô hình rời rạc, trong đó đường nét liền màu đỏ và màu xanh lá cây (ẩn dưới đường màu đỏ) được tính bằng cách mô phỏng chùm tia khi DS truyền trong BWA ở chế độ tuyến tính (γ = 0) và chế độ phi tuyến (γ = 1). (b), (c), (d) Quá trình truyền một DS ở chế độ phi tuyến với γ = 1, và Φ0 = 2.8, 2.0, và 4.0. Một số thông số i khác: k0 = −0.3π, σ = 1, κ = 1 và n0 = 18 [7]. Tương tự trường hợp KT, trong quá trình IKT chúng tôi cũng khảo sát quá trình mô phỏng DS theo phương trình (2.6) lan truyền vào BWA ở chế độ phi tuyến (tức là, γ = 1) cho các độ cao bậc thế Φ0 = 2, Φ0 = 2.8 và i Φ0 = 4 và được thể hiện trên Hình 2.2(b)-(d). Số sóng đầu vào được cố định tại k0 = −0.3π. Sau khi truyền DS vào BWA, chùm tia tách thành hai tia được đánh số "1" và "4" trong Hình 2.2(b)-(d). Chùm 1 sau đó đập vào mặt phân cách giữa hai môi trường I và II của bậc thế nghịch tại vị trí ống dẫn sóng ứng với n = 0 được thể hiện bằng đường nằm ngang màu đỏ. IKT cũng chỉ xảy ra trong khoảng giá trị độ cao bậc thế Φ0 phù hợp với điều kiện đầu vào của DS, hoàn toàn giống với sự ảnh hưởng của độ cao bậc thế đối với KT. 12
2.2.3 Ảnh hưởng của số sóng đến hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch qua bậc thế năng Tiếp theo, chúng tôi khảo sát sự ảnh hưởng của số sóng đến IKT qua bậc thế năng. Ở đây, chúng tôi khảo sát sự ảnh hưởng của số sóng tới Qi của IKT trong khi giữ nguyên độ cao bậc thế là Φ0 = 2.8. Phía bên trái 0 của Hình 2.3(a) chúng tôi vẽ hệ số truyền qua T i của IKT theo số sóng đầu vào Qi trong đó đường chấm màu 0 xanh lá và đường nét đứt màu xanh dương biểu diễn giá trị lý thuyết của T i dựa vào phương trình (2.4) và phương trình (2.3) lần lượt cho mô hình liên tục và mô hình rời rạc. Tương tự, trong phần bên phải của Hình 2.3(a) chúng tôi vẽ hệ số truyền qua T của KT khi thay đổi số sóng đầu vào Q0 , trong đó đường cong nét chấm màu xanh lá cây và đường cong màu xanh dương nét đứt mô tả hệ số truyền qua lý thuyết tính từ phương trình (1.20) theo mô hình liên tục và phương trình (1.19) theo mô hình rời rạc trong trường hợp tuyến tính. Hình 2.3. (a) Hệ số truyền qua của DS trong BWA khi thay đổi số sóng tới Q0 : đường cong chấm màu xanh lá dựa trên các phương trình (2.4) và phương trình (1.20) đối với mô hình liên tục, đường cong đứt nét màu xanh dương dựa trên các phương trình (2.3) và (1.19) đối với mô hình rời rạc và đường cong liên tục màu đỏ thu được bằng mô phỏng chùm tia khi một DS có độ rộng lớn được chiếu vào BWA với γ = 0. (b) Sự lan truyền của chùm tia khi một DS được chiếu vào i BWA ở chế độ tuyến tính với γ = 0 và k0 = −1.4. (c) Sự phát triển của phổ trong mặt phẳng (Q, z). Các tham số khác: σ = 1, κ = 1, n0 = 18, Φ0 = 2, 8 và hệ BWA bao gồm 1601 ống dẫn sóng [7]. Từ Hình 2.3(a) chúng ta thấy rằng đường thẳng đứng màu đen tại Q0 = π/2 là một trục đối xứng nằm giữa hai đường kết quả lý thuyết (đường chấm màu xanh lá cây và đường nét đứt màu xanh dương) với phần bên trái được trình bày cho IKT và phần bên phải cho KT. Đường màu xanh dương nét đứt bên trái Hình 2.3(a) biểu diễn IKT trong mô hình rời rạc với BWA có T i xấp xỉ bằng không tại Qi ≃ 0.46π/2. Đường cong màu 0 xanh dương nét đứt bên phải Hình 2.3(a) biểu diễn cho KT có T bằng 0 tại Q0 ≃ 1.54π/2, thu được từ phương trình (1.19). Tương tự, đường cong màu xanh lá bên trái Hình 2.3(a) (biểu diễn hiệu ứng IKT trong mô hình liên tục) có giá trị T i xấp xỉ 0 tại Qi xấp xỉ 0.52π/2 và thu được từ phương trình (2.4). Đường cong màu xanh 0 lá bên phải Hình 2.3(a) (biểu diễn KT trong mô hình liên tục) có giá trị T xấp xỉ 0 tại Q0 ≃ 1.48π/2, và thu được từ phương trình (1.20). Để kiểm tra độ chính xác của đường cong lý thuyết màu xanh dương nét đứt đối với KT và IKT trong mô hình rời rạc với BWA, chúng tôi vẽ đường cong màu đỏ trong Hình 2.3(a) được tính toán từ phương pháp mô phỏng một DS có độ rộng là n0 = 18 lan truyền trong BWA với độ cao bậc thế Φ0 = 2.8 và ở chế độ tuyến tính với γ = 0. Như được thể hiện trên Hình 2.3(a), tính toán số của đường cong màu đỏ phù hợp với đường cong 13
màu xanh dương nét đứt. Sự sai lệch đáng kể duy nhất giữa hai đường cong này trong Hình 2.3(a) là đường cong liên tục màu đỏ dựa trên phương pháp mô phỏng chùm tia trực tiếp giảm dần về 0 tại Qi ≃ 0.46π/2 và 0 tại Qi ≃ 1.54π/2 một cách khá trơn, trong khi theo lý thuyết đường cong đứt đoạn màu xanh dương đột ngột 0 về 0 tại hai điểm này. Độ lệch này là do đường cong lý thuyết màu xanh dương thu được đối với sóng phẳng có chiều rộng vô hạn trong BWA, trong khi đường cong liên tục màu đỏ thu được đối với BWA có chiều rộng chùm hữu hạn. Vì vậy, nếu chúng ta tăng giá trị tham số chiều rộng chùm tia n0 đối với DS tới, hai đường cong này sẽ ngày càng gần nhau hơn như đã chỉ ra trong [6] về KT trong BWA. Như một ví dụ minh họa, trong Hình 2.3(b), chúng tôi biểu diễn sự biến đổi của |an (z)| khi một DS được chiếu vào BWA ở chế độ tuyến tính (tức là γ = 0) với k0 = −1.4 (do đó, số sóng tới Qi = π/2+k0 /2 ≃ 0.55π/2), i 0 i trong đó đường màu đỏ một lần nữa cho biết vị trí chuyển tiếp của bậc thế năng nghịch đảo tại n = 0. Hệ số truyền qua T i = 0.3125 nhận được trực tiếp từ mô phỏng bằng cách tính tỷ số giữa cường độ truyền qua (lấy từ chùm truyền qua 3) với cường độ đầu vào (lấy từ chùm tia tới 1). Sự phát triển của phổ từ phép biến đổi Fourier đối với an dọc theo z được thể hiện trên Hình 2.3(c). Mỗi chùm trên Hình 2.3(b) tạo ra hai dải quang phổ với khoảng cách giữa chúng bằng π (xem thêm Hình 5 trong [6]). 14
Chương 3 Hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật 3.1 Hạt chuyển động qua rào thế hình chữ nhật theo Cơ học lượng tử phi tương đối tính Rào thế hình chữ nhật có dạng như sau (xem Hình 3.1) [34, 35]:   0, khi |x| > a, V (x) = (3.1)  V , khi − a ≤ x ≤ a. 0 Hệ số truyền qua trong trường hợp này như sau [34]: 2 −1 1 k1 + τ 2 2 2 T = 1+ sinh 2τ a . (3.2) 4 k1 τ Phương trình trên thể hiện hệ số truyền qua T ̸= 0 và T < 1. Điều này thể hiện xác suất hạt truyền qua rào thế khác 0 khi miền II có độ cao rào thế lớn hơn năng lượng của hạt - hiệu ứng xuyên hầm lượng tử thể hiện tính chất sóng của hạt vi mô. Chúng tôi nhấn mạnh rằng hệ số truyền qua T trong phương trình (3.2) giảm khi V0 tăng và tham số a tăng. Điều này rất quan trọng và khác biệt khi nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm Klein. Hình 3.1. Rào thế hình chữ nhật có bề rộng hữu hạn. 3.2 Cơ sở lý thuyết hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật Hệ phương trình liên kết mode [1, 39]: dan i = −βn an − κ [an+1 + an−1 ] + (−1)n σan − γ |an |2 an , (3.3) dz giống hệ phương trình (1.11) và được viết lại ở đây để tiện theo dõi. Trong trường hợp rào thế hình chữ nhật, chúng tôi thiết lập rào thế có dạng trên Hình 3.2 để nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm Klein. 15
Hình 3.2. (a) Mô hình liên tục trong không gian tự do (free space) nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm Klein của hạt có năng lượng E qua rào thế hình chữ nhật có thế năng V (ξ) với độ cao bậc thế Φ0 > E. (b) Chênh lệch tham số hằng số truyền βn trong BWA để mô phỏng thế năng của rào thế hình chữ nhật V (ξ). (c) Mô hình chiết suất của các ống dẫn sóng trong BWA mô phỏng quá trình xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật [39]. Trong mô hình rời rạc với BWA, mối liên hệ giữa số sóng Q0 và Q1 bắt nguồn từ định luật bảo toàn năng lượng [39]: ω− (Q1 , Φ0 ) = ω+ (Q0 , 0) ≡ ω0 . (3.4) Hệ số truyền qua T1 giữa vùng I và vùng II trong BWA ở chế độ tuyến tính chính là hệ số truyền qua bậc thế thuận được cho bởi công thức (1.19) và được viết lại ở đây cho tiện theo dõi: (ω0 − σ) (ω0 − σ − Φ0 ) sin (2Q0 ) sin (2Q1 ) T1 (Q0 , Φ0 ) = . (3.5) [Φ0 cos Q0 cos Q1 ]2 + [(ω0 − σ) sin Q0 cos Q1 + (ω0 − σ − Φ0 ) sin Q1 cos Q0 ]2 Chúng tôi tính được hệ số truyền qua T2 từ vùng II sang vùng III trong BWA ở chế độ tuyến tính như sau [39]: (ω0 − σ − Φ0 ) (ω0 − σ) sin (2Q1 ) sin (2Q0 ) T2 (Q1 , Φ0 ) = . (3.6) [Φ0 cos Q1 cos Q0 ]2 + [(ω0 − σ − Φ0 ) sin Q1 cos Q0 + (ω0 − σ) sin Q0 cos Q1 ]2 So sánh phương trình (3.5) và phương trình (3.6), chúng tôi thấy rằng hệ số truyền qua cạnh trước và cạnh sau rào thế bằng nhau, tức [39]: T1 (Q0 , Φ0 ) = T2 (Q1 , Φ0 ) (3.7) Do đó, hệ số truyền qua rào thế hình chữ nhật trong BWA được tính bằng công thức sau [39]: 2 T (Q0 , Φ0 ) = T1 (Q0 , Φ0 ) T2 (Q1 , Φ0 ) = T1 (Q0 , Φ0 ) . (3.8) với T1 và T2 tương ứng được cho bởi phương trình (3.5) và phương trình (3.6). Tương tự, trong mô hình liên tục, mối quan hệ giữa các số sóng k0 và k1 như sau [5, 6, 39]: ϵ0 ≡ ϵ+ (k0 , 0) = ϵ− (k1 , Φ0 ) . (3.9) 16
Giá trị T1 giữa vùng I và vùng II khi sử dụng mô hình liên tục được ký hiệu là T1D (chữ D để thể hiện cho phương trình Dirac trong chân không), và ở chế độ tuyến tính được cho như sau (xem công thức (1.20) trong Chương 1) [5, 6, 13, 39]: 2 −k1 (ϵ0 − σ) + k0 (ϵ0 − σ − Φ0 ) T1D (k0 , Φ0 ) = 1 − . (3.10) k1 (ϵ0 − σ) + k0 (ϵ0 − σ − Φ0 ) Chúng tôi tính hệ số truyền qua T2 giữa vùng II và vùng III trong mô hình liên tục ở chế độ tuyến tính [39]: 2 −k0 (ϵ0 − σ − Φ0 ) + k1 (ϵ0 − σ) T2D (k1 , Φ0 ) = 1 − = T1D (k0 , Φ0 ) . (3.11) k0 (ϵ0 − σ − Φ0 ) + k1 (ϵ0 − σ) Do đó, hệ số truyền qua rào thế có dạng hình chữ nhật trong mô hình liên tục được tính như sau [39]: 2 TD (k0 , Φ0 ) = T1D (k0 , Φ0 ) T2D (k1 , Φ0 ) = T1D (k0 , Φ0 ) , (3.12) với T1D và T2D được tính tương ứng từ phương trình (3.10) và phương trình (3.11). 3.3 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật 3.3.1 Ảnh hưởng độ cao rào thế hình chữ nhật đến hiệu ứng xuyên hầm Klein Chúng tôi khảo sát hệ số truyền qua rào thế trong mô hình liên tục. Chúng tôi vẽ hai đường cong thể hiện trên Hình 3.3(c) dựa trên phương trình (3.12) cho mô hình liên tục qua rào thế hình chữ nhật: đường nét đứt màu đỏ và đường nét liền màu xanh lá tương ứng với số sóng Q0 = 1.12π/2 (hoặc k0 = 0.12π) và Q0 = 1.3π/2 (hoặc k0 = 0.3π). Dựa vào Hình 3.3 chúng tôi nhận thấy rằng đường cong T được tính dựa trên phương trình (3.8) và phương trình (3.12) phù hợp nếu đồng thời số sóng Q0 và Q1 gần bằng π/2, tức là, khi các chùm tia truyền lân cận điểm Dirac như đã được đề cập ở Chương 2. Để mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế, chúng tôi biểu diễn quá trình truyền của một DS trong BWA trên Hình 3.3(d) khi một DS có dạng như trong phương trình (2.8) được dùng làm tín hiệu đầu vào của BWA ở chế độ phi tuyến (γ = 1) với số sóng tới là Q0 = 1.3π/2, độ cao rào thế là Φ0 = 2.9. Tỉ số cường độ giữa tia 5 và tia 1 chính là hệ số truyền qua T của DS qua rào thế hình chữ nhật trong BWA. Trong trường hợp trên Hình 3.3(d), T = 0.137. Trong khi đó, từ phương trình (3.4) chúng tôi có thể tính được số sóng Q1 ≃ 0.6π/2 của DS khi nó lan truyền trong vùng II, do đó kết quả lý thuyết của hệ số truyền qua thông qua phương trình (3.8) là T = 0.138 xác nhận lại tính chính xác rất cao của phương trình (3.8) khi so sánh với kết quả mô phỏng chùm tia (có thể xem Hình 3.3(b)). Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc hệ số truyền qua T của một DS qua rào thế hình chữ nhật trong BWA vào số sóng đầu vào Q0 trong khi giữ nguyên độ cao rào thế là Φ0 = 3.0. Trên Hình 3.4(a) chúng tôi tính hệ số truyền qua của quá trình xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật theo số sóng Q0 . Trên Hình 3.4(b,c), chúng tôi mô tả quá trình truyền của một DS trong BWA ở chế độ phi tuyến (γ = 1) tương ứng với Q0 = 1.4π/2 và 1.16π/2 khi độ cao rào thế là Φ0 = 3.0. Kết quả tính hệ số truyền qua dựa trên mô phỏng chùm tia là T = 0.145 trong Hình 3.4(b) và T = 0.061 trong Hình 3.4(c). Trong khi đó, kết quả tính hệ số truyền qua 17
từ phương trình (3.8) lần lượt là T = 0.146 và 0.062. Điều đó giúp cho chúng tôi thêm một lần nữa xác nhận tính đúng đắn của phương trình lý thuyết (3.8) cho mô hình rời rạc với BWA mà chúng tôi đã tìm ra. Sự phát triển của phổ chùm tia từ Hình 3.4(c) được thể hiện trên Hình 3.4(d). Hình 3.3. (a,b) So sánh giữa kết quả lý thuyết và kết quả mô phỏng khi tính hệ số truyền qua của DS qua rào thế hình chữ nhật trong BWA như một hàm số phụ thuộc vào độ cao rào thế với số sóng tới tương ứng là Q0 = 1.12π/2 và 1.3π/2 theo mô hình rời rạc. (c) Hệ số truyền qua của sóng phẳng trong mô hình liên tục qua rào thế hình chữ nhật: đường màu đỏ nét đứt và đường màu xanh lá nét liền tương ứng với số sóng tới lần lượt là Q0 = 1.12π/2 và 1.3π/2 theo mô hình liên tục. (d) Quá trình truyền một DS trong BWA ở chế độ phi tuyến với γ = 1, Φ0 = 2.9 và Q0 = 1.3π/2. Một số thông số khác: σ = 1, κ = 1 [39]. Hình 3.4. (a) Hệ số truyền qua T khi thay đổi số sóng tới Q0 : đường cong chấm màu xanh lá được tính dựa vào phương trình (3.12) cho mô hình liên tục, đường cong màu xanh dương nét liền được tính dựa vào phương trình (3.8) cho mô hình rời rạc trong BWA và đường nét đứt màu đỏ được tính khi mô phỏng một DS có độ rộng lớn lan truyền trong BWA với γ = 1 và Φ0 = 3.0. (b,c) Quá trình truyền chùm DS trong BWA với rào thế hình chữ nhật ở chế độ phi tuyến với γ = 1 và tương ứng Q0 = 1.4π/2 và 1.16π/2. (d) Quá trình tiến hóa của phổ trên mặt phẳng (Q, z) với dữ liệu trên (c). Các thông số khác: σ = 1, κ = 1, n0 = 30, Φ0 = 3.0 [39]. 18