zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 13

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:29

Báo xấu

111
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử. Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 13

Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 13 MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG QUAN TRỌNG CỦA TRƯỜNG XUYÊN TÂM
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học llượng tử là Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học ượng tử là phảii giảii thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên phả giả thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử tử Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử Phần cuốii bài này dành riêng cho trường hợp đơn giản Phần cuố bài này dành riêng cho trường hợp đơn giản nhất: Nguyên tử hydrogen. nhất: Nguyên tử hydrogen.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của điện tích khác. 2. Các số lượng tử và hàm trạng thái 3. Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ 4. Nguyên tử hydrogen
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của điện tích khác. Như đã thấy, nếu hàm riêng của toán tử năng lượng trong trường xuyên tâm U(r) là ψ = R(r )Ylm (θ , ϕ ) thì chỉ có R(r) mới phụ thuộc vào biểu thức cụ thể của U(r). Vì vậy, phương trình chuyển động trong trường xuyên tâm cụ thể thực chất quy về phương trình cho R(r). Xét trường hợp đặc biệt: Chuyển động của electron (với điện tích –e) trong trường Coulomb của điện tích hạt nhân (với điện tích +Ze) đặt cố định tại gốc tọa độ
Ho ng Duc Unive rs ity 1 d ρ l (l + 1) 2 2µ 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City,2 Thanh hoa, Viet nam [ E − U ( r )] ρ = 0 − 3 ρ+ 2 r dr r  r Hàm thế năng trong trường hợp này là: Ze 2 U (r ) = − (13.1) r và phương trình cho ρ = rR sẽ là: d 2 ρ  2 µE 2 µZe 2 l (l + 1)  + 2 + 2 −   ρ = 0 (13.2) dr 2   r r  2  Ở đây ta chỉ quan tâm đến trường hợp E < 0 µe 4 Đặt E = − 2 .ε ; khi đó ε > 0.  µe 2 Tiếp theo, đặt ξ = 2 r , ta có:  d 2 ρ µ 2e4 d 2 ρ = 4 dr 2  dξ 2
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City,µE 2hoa, Vietlnam 1)  d ρ  2 Thanh µZe (l + 2 2 + 2 + 2 −   2 2 ρ = 0  (13.2) dr   r r  và (13.2) trở thành d 2ρ  2 Z l (l + 1)  +  − 2ε +  − ρ = 0  (13.3) dξ 2  ξ ξ  2 Xuất phát từ việc ρ có dạng tiệm cận ρ ~ r ~ ξ khi ξ nhỏ và l +1 l +1 r − − 2 mE ρ~e  = e −ξ 2ε Khi ξ nhỏ ta tìm nghiệm của (13.3) dưới dạng (a ) ∞ ρ = ξ l +1e −ξ 2ε 0 + a1ξ + a2ξ 2 + ... = e −ξ 2ε ∑ anξ n +l +1 n =0 (13.4)
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó: d 2ρ ∞ ∞ dξ 2 = 2εe −ξ 2ε ∑a ξ n =0 n n + l +1 − 2 2ε e −ξ 2ε ∑ ( n + l + 1) a ξ n =0 n n +l + 2ερ ∞ +e −ξ 2ε ∑ ( n + l + 1)( n + l ) a ξ n =0 n n + l −1 d 2ρ Do đó, thay vào (13.3) và chia 2 vế cho e −ξ 2ε , ta được: dξ 2 ∞ ∞ − 2 2ε ∑ ( n + l + 1) anξ n +l + ∑ ( n + l + 1)( n + l ) anξ n +l −1 + n =0 n =0 ∞ ∞ + 2 Z ∑ anξ n +l − l (l + 1)∑ anξ n +l −1 = 0 n =0 n =0
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cho tổng các hệ số của các số hạng cùng bậc bằng 0, ta được − 2 2ε ( n + l + 1) a n + ( n + l + 1)( n + l ) a n +1 + 2 Za n − l (l + 1)a n +1 = 0 an +1 = [ 2 ( n + l + 1) 2ε − Z ] an (13.5) ( n + l + 1)( n + l + 2) − l (l + 1) Bây giờ ta sẽ dùng công thức (13.5) để chứng minh rằng ε phải nhận một trong các giá trị: Z2 ε nl = (13.6) 2(n + l + 1) 2 Thật vậy, giả sử ε không có dạng (13.6).
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó mọi an đều khác 0, và n đủ lớn thì (13.5) có dạng gần đúng là: 2 2ε an +1 = an (13.6') n do đó, các hệ số an cùng dấu, giảm dần về giá trị tuyệt đối giống như1 n! ∞ Vì vậy, ta có thể coi ∑ a nξ n =0 n biến thiên giống như e2 2ε ξ 2ε ξ do đó ρ biến thiên giống như ξ e l +1 tức là ρ → +∞ khi ξ → +∞ Điều này rõ ràng là phi lý về mặt vật lý Từ đó suy ra rằng ε phải có dạng (13.6)
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nói một cách khác, E phải nhận một trong các giá trị: Z 2 µe 4 Enl = − (13.7) 2 ( n + l + 1) 2 2 nên phổ năng lượng là rời rạc Tương ứng, từ (13.5) ta có, a n +1 = a n + 2 = ... = 0 (nếu E = Enl). n Như vậy: ρ = ρ nl = ξ e l +1 −ξ 2ε nl ∑ ak ξ k n =0 n Hay: R = Rnl = ξ l e −ξ 2ε nl ∑ ak ξ k k =0 (13.8) Ngoài điều kiện (13.5), các hệ số ak được lựa chọn (mà suy cho cùng là chỉ cần chọn a0) sao cho R thoã mãn điều kiện chuẩn hoá sau +∞ ∫ 0 Rnl (r )r 2 dr = 1 (13.9)
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Các số lượng tử và hàm trạng thái Để cho tiện, ta sẽ thay đổi cách ký hiệu các số trong (13.7) như sau: Trước hết, n được thay đổi bởi nr để nhẫn mạnh vào mối liên quan của nó với phương trình dành cho hàm bán kính. Như vậy, (13.7) trở thành: Z 2 µe 4 E nr l =− 2 (13.7') 2 ( nr + l + 1) 2 Tương ứng, (13.8) trở thành nr R = Rnr l = ξ e l −ξ 2ε nr l ∑ ak ξ k k =0 (13.8') Tiếp theo, vì E nr l thực chất chỉ phụ thuộc n = nr+l+1 nên (13.7’) trở thành:
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Z 2 µe 4 E nr l =− 2 2 (13.10) 2 n và tương ứng (13.8’) trở thành nr Rnl = ξ l e −ξ 2 ε n ∑ ak ξ k k =0 (13.11) trong đó, Rnl thay cho R nr l với n = nr+l+1 (thực chất đáng lẽ phải ký hiệu là Rn-l-1;l). Chú ý rằng mỗi mức năng lượng En không phải chỉ ứng với một trạng thái mà ứng với nhiều nhiều trạng thái khác nhau
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Các trạng thái này được phân biệt với nhau bởi giá trị của l và ˆ m (l ứng với trị riêng  l (l + 1)) của M 2, còn m ứng với trị riêng  m ˆ của M z Dễ chứng tỏ rằng có tất cả n2 trạng thái như vậy; chúng được cho bởi các hàm trạng thái: ψ nlm ( r , θ , ϕ ) = Rnl ( r )Ylm (θ , ϕ ) (13.12) Theo thông lệ, các số n, l, nr và m được gọi là các số lượng tử, trong đó n là số lượng tử chính, l là số lượng tử phương vị, nr là số lượng tử bán kính và m là số lượng tử từ, (chú ý phân biệt số lượng tử (quantum number) với số lượng các lượng tử (number of quanta)).
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trạng thái ứng với các số lượng tử n, l, m, thường ký hiệu ngắn gọn là nlm Như vậy, trong biểu diễn toạ độ thì: nlm = Rnl ( r )Ylm (θ , ϕ ) (10.13) Còn một cách khác để ký hiệu trạng thái (của điện tích –e): dùng một chữ số và một chữ cái; chữ số là giá trị của n, chữ cái là s, p, d, f, hoặc g ứng với l = 0,1, 2, 3, 4. Như vậy 2s là trạng thái 20 (chưa có giá trị của m); 3d là trạng thái 32 Các trạng thái này cố nhiên suy biến, tức là chưa hoàn toàn xác định, vì chưa có giá trị của m.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3. Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ Xác suất để hạt có mặt trong vùng có thể tích V bằng Rnl ( r )Ylm (θ , ϕ ) r 2 sin θ .drdϕdθ = 2 2 ∫ V ∫ψ∫nlm dv = ∫ V ∫∫ 2 1 ~m = ∫ ∫ Rnl ( r ) . . Pl ( cos θ ) r 2 sin θ .drdϕdθ ∫ 2 Từ đó suy ra: V 4π a. Mật độ xác suất tìm thấy hạt ở khoảng cách r kể từ gốc toạ độ bằng: Pnl ( r ) = Rnl ( r ) .r 2 2 (13.14) b. Mật độ xác suất tìm thấy hạt ở vĩ độ θ là: 1 ~m qnl (θ ) = Pl ( cos θ ) . sin θ 2 (13.15) 2 c. Kinh độ ϕ phân bố đều, tức là mật độ xác suất ở kinh độ bằng ϕ không phụ thuộc vào ϕ (và luôn bằng 1 ). 2π
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 4. Nguyên tử hydrogen Bây giờ ta nghiên cứu kỹ hơn trường hợp đơn giảm nhất; đó là nguyên tử hydrogen. Mục đích quan trọng của việc làm này là xác nhận lại những ý tưởng của N. Bohr về cấu tạo nguyên tử và đối chiếu với các tính toán lý thuyết về phổ của nguyên tử hydrogen với các quan sát thực nghiệm. Công thức (12.10) cho electron trong nguyên tử hydrogen sẽ là: µe 4 En = − 2 2 (13.16) 2 n
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Mỗi lần electron chuyển từ trạng thái với năng lượng En sang trạng thái với năng lượng En’, biến thiên năng lượng của nguyên tử sẽ bằng En’ - En Việc này kèm theo sự hấp thụ lượng tử năng lượng điện từ µe 4  1 1   ω = En' − En = 2  2 − 2 nếu n' > n 2 n n'  hoặc phát xạ lượng tử năng lượng µe 4  1 1  ω = 2  2 − 2  nếu n' < n 2  n' n  2πc (bước sóng tương ứng là λ = ) ω
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú ý rằng đại lượng µe 4 R= = 3,27.1015 s −1 4π 3 được gọi là hằng số Rydberg – Ritz. Như vậy các mức năng lượng của nguyên tử hydrogen sẽ là 2π R En = − 2 n Sơ đồ phổ của nguyên tử hydrogen cho ở hình vẽ dưới đây.
Ho ng Duc Unive rs ity Các đường nằm ngangHoacác mức năng lVietng 307 Le Lai Str. Thanh là City, Thanh hoa, ượ nam Volt n 13,53 0 6 Dãy Pfund 13 5 II 4 3 12 Dãy Brecket I 11 20000 Dãy Ritz-Paschen 2 10,15 10 Hα Hβ Hγ Hδ Hε Hξ Hη Hυ Hι 9 Dãy Balmer 40000 8 7 Các đường thẳng đứng là các “bước nhảy” chuyển mức 6 Dãy Lyman 60000 5 4 80000 Những con số ghi trên các đường thẳng đứng là các bước sóng (thu 3 hoặc phát); các bước sóng đó được chia thành 5dãy 2 1 100000 1 0 Sơ đồ này hoàn toàn phù hợp với các số liệu thực

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.