Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 10 - Huỳnh Vinh

Chia sẻ: Bánh Bèo Xinh Gái | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:111

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 10 Các định lý của động lực học đối với cơ hệ, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định lý động lượng; Định lý mômen động lượng; Định lý động năng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 10 - Huỳnh Vinh

Chương 10 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 708
4 Mối quan hệ giữa véc tơ mômen lực chính với véc tơ mômen Động lượng, Mômen động lượng, Động năng động lượng chính đối với cùng một điểm– Định lý Mômen động lượng 1 Hai đặc trưng của hệ lực trên hệ chất điểm Từ: mk a k = F k ⇒ rk ∧ mk a k = rk ∧ F k ⇒ rk ∧ mk a k = mO ( F k ) * Véc tơ lực chính n Fk m1 R = ∑Fk mk m2 d ( rk ∧ mk vk ) dvk drk mà: = ( rk ∧ mk ) + ( mk vk ∧ ) k =1 m3 dt dt dt * Véc tơ mômen lực chính đối với O vk m4 n n rk dvk M O = ∑ mO ( F k ) = ∑ ( rk ∧ F k ) mk vk = ( rk ∧ mk ) + (0) = ( rk ∧ mk a k ) O m5 dt k =1 k =1 mn  n  2 Hai đặc trưng động học của hệ chất điểm Cố định d  ∑ ( rk ∧ mk vk )  d ( rk ∧ mk vk ) n * Véc tơ động lượng chính Từ: = mO ( F k ) ⇒  k =1 = ∑ mO (F k ) n Chất điểm k bấtkỳ dt dt k =1 Q = ∑ ( mk vk ) - Xác định bởi rk với O là điểm tùy chọn d K O k =1 - Khối lượng mk Do đó: =MO * Véc tơ mômen động lượng chính đối với O - Chịu lực tác dụng F k dt n n Trong một hệ chất điểm, đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ mômen K O = ∑ mO ( mk vk ) = ∑ ( rk ∧ mk vk ) k =1 k =1 động lượng chính tại điểm nào thì bằng véc tơ mômen lực chính tại điểm đó. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 709 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 711 3 Mối quan hệ giữa véc tơ lực chính với véc tơ động lượng chính 5 Mối quan hệ giữa công suất của hệ lực với động năng của hệ – Định lý Động lượng chất điểm dvk d ( mk vk ) Từ: mk a k = F k ⇒ mk a k .vk = F k .vk Từ: mk a k = F k ⇒ mk = Fk ⇒ = Fk dt dt 1 n d ( mk vk ) n d ( mk vk2 ) d (Tk ) ⇒∑ = ∑Fk ⇒ 2 = F k .vk ⇒ = Wk k =1 dt k =1 dt dt n n d ( ∑ mk vk ) n d ( ∑ Tk ) n = ∑Fk dT ⇒ = ∑ Wk ⇒ k =1 ⇒ k =1 =W dt k =1 dt k =1 dt d Q 1 2 1 ⇒ =R Tk = mk vk = mk vk2 : động năng của chất điểm thứ k dt 2 2 Trong một hệ chất điểm, đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ động Wk = F k vk : công suất của lực F k lượng chính thì bằng véc tơ lực chính. Trong một hệ chất điểm, đạo hàm bậc nhất theo thời gian của tổng động năng của hệ thì bằng tổng công suất của lực trong hệ. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 710 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 712
6 Lưu ý áp dụng định lý cho hệ vật rắn Các chất điểm về vị trí và động học liên hệ theo công thức sau: Khi áp dụng định lý cho vật rắn thì cần lưu ý những điều sau: n n n e i i ∑ R = n i e F k =0 ∑ mk .rk k =1 ∑ mk .vk k =1 ∑ m .a k =1 k k R = R + R  k  =1 → R = R rC = , vC = , aC = i n i M M M e i M O = ∑ mO ( F k ) = 0 e M O = M O + M O  k =1  →MO = MO Thật vậy, xét hai chất điểm bất kỳ M và N trong cùng một vật rắn, Mỗi định lý thể hiện nội dung định lý dưới những dạng công chúng tương tác nhau bởi các nội lực như hình vẽ. thức khác nhau. Các bài sau, mỗi bài trình bày mỗi định lý. i i F NM N Rõ ràng: i i F MN F MN + F NM = 0 M i rM rN i rM ∧ F MN + rN ∧ F NM = 0 i i FNM = FMN = Fi O Véc tơ lực chính và mômen lực chính do nội lực là bằng 0, nên nội lực không làm phát sinh động lượng và mômen động lượng trong hệ. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 713 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 715 Vật rắn tuyệt đối W = W e +W i W =We i W =0 Nội lực trong vật rắn biến dạng có sinh công, trong vật tuyệt đối cứng không sinh công. i dAi Công suất do nội lực: W = i i i i dt i i i §1. Định lý động lượng Ta có: dA ( F MN , F NM ) = F MN .drM + F NM .drN = F MN .drM − F MN .drN i i i = F MN ( drM − drN ) = F MN .d ( NM ) = − F NM .d ( NM ) Trong phần này sẽ khảo sát mối quan hệ giữa động lượng của hệ i với véc tơ chính của ngoại lực tác dụng trên hệ. Có thể biểu diễn F NM = α 2 . NM (α là hằng số nào đó) Do đó: i i α 2 2 α2 dAi ( F MN , F NM ) = −α 2 . NM .d ( NM ) = − d ( NM ) = − d ( MN ) 2 2 2 +Vật rắn biến dạng, có thể MN thay đổi nên nội lực sinh công +Vật rắn tuyệt đối cứng, M N không đổi nên nội lực không sinh công GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 714 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 716
Fn c. Động lượng của vật rắn: Q = M .vC F1 Một vài kết quả từ định lý 10.3 F3 Q = M .vC dQ e C vC k i =R mk vk dt M e e idQ = R dt = d S F2 e iQ 2 − Q1 = S 1−2 * Chứng minh: Q = ∑ mk vk = ∑ mk rɺk Véc tơ động lượng của hệ: ... Mà: ∑ mk rk = MrC nên Q = MrɺC = MvC Q = ∑ mk .vk Nội dung định lý này được k làm rõ chi tiết trong phần Véc tơ lực chính của hệ ngoại lực: tiếp sau. e R = ∑Fi i GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 717 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 719 1. Động lượng d. Động lượng của hệ vật rắn: Q = M 1 .vC1 + M 2 .vC2 + ... + M n .vCn a. Động lượng của một chất điểm: Q = m.v 10.1 10.4 m v Q = m.v vC3 = 0 C3 n vC4 b. Động lượng của hệ chất điểm: Q = ∑ mk vk 10.2 M 1 .vC1 Q M3 k =1 C2 M 2 M4 C4 Q1 = m1 .v1 α vC2 M 2 .vC2 M 4 .vC4 v1 Q 2 = m2 .v2 C m1 M1 1 m2 mn vC1 Q Q n = mn .vn vn v2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 718 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 720
Trong hệ trục tọa độ Descartes cố định thì: 3. Định lý động lượng n * Khi các véc tơ vCk ( k = 1, n ) đã xác định, thì: dQ e a. Dạng động học: = ∑Fk 10.7  n dt ∑ k =1  Q x = M k .v xC k  k =1 * Chứng minh:  n e i e dvk  y ∑ M k .v yC k ⇒ Q = Q 2 Q +Q +Q 2 2 = x y z Ta có: ∑ mk ak = ∑ F k + ∑ F k ⇔ ∑ mk = ∑Fk +0  k =1 dt  n d e dQ e  z ∑ M k .v zC k Q = ⇔ ∑ mk vk = ∑ F k ⇔ = ∑Fk dt dt  k =1 * Khi biết phương trình chuyển động của C k ( k = 1, n ) , thì: b. Phương trình vi phân của chuyển động khối tâm:  Q x = M 1 . xɺ C1 + M 2 . xɺ C 2 + ... + M n . xɺ C n n e n e 10.8   Q y = M 1 . yɺ C1 + M 2 . yɺ C 2 + ... + M n . yɺ C n ⇒ Q = 2 Q +Q +Q x 2 y 2 z MaC = ∑ F k ⇒ MrɺɺC = ∑ F k  k =1 k =1  Q z = M 1 . zɺC1 + M 2 . zɺC 2 + ... + M n . zɺC n GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 721 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 723 2. Lực tác dụng - Đối với hệ một vật rắn khối lượng M, khối tâm C:  n a. Véc tơ chính của ngoại lực  M .a xC = ∑ X ke e n e  k =1 R = ∑Fk 10.5  n k =1  M .a yC = ∑ Yke  k =1 10.9a b. Xung lượng của lực: biểu thị tác dụng của lực theo thời gian  n  M .a zC = ∑ Z k e  k =1 e + Xung lượng nguyên tố: biểu thị tác dụng của lực trong dt Lưu ý: C ( xC yC zC ) F k = ( Fkx , Fky , Fkx ) = ( X k , Yk , Z k ) e e e e e e a = a , a , a , d S = Fdt - Đối với hệ p vật rắn; vật rắn thứ k có khối lượng Mk, khối tâm Ck:  p n  ∑ k xCk ∑ X k e + Xung lượng hữu hạn: biểu thị tác dụng của lực từ t1 đến t2 M .a = t2  k =1 k =1 t2  p n S 1− 2 = ∫ d S = ∫ Fdt  ∑ M k .a yCk = ∑ Yk 10.6 e 10.9b t1 t1  k =1 k =1  p n  ∑ k zCk ∑ Z k e Nếu F = const thì S 1− 2 = F (t 2 − t1 ) M .a =  k =1 k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 722 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 724
c. Dạng bảo toàn: Ví dụ 1: Đĩa tròn mảnh đồng chất, khối lượng M, khối tâm C. Đĩa lăn tự n e do không trượt trên mặt phẳng nghiêng nhanh dần đều theo chiều hướng Nếu ∑ F k = 0 ⇔ Q = const 10.10 xuống. Hãy viết công thức dạng đạo hàm của định lý động lượng? k =1 F ms N  vC = const + Đối với hệ một vật rắn: MvC = const ⇔  C C a a  C = 0 C q q + Đối với hệ gồm q vật rắn: ∑ M k vCk = const ⇔ ∑ M k aCk = 0 k =1 k =1 α α α n P Nếu ∑ X ke = 0 ⇔ Qx = const 10.11 k =1 Theo định lý Động lượng: P + N + F ms = MaC  v xC = const Từ công thức trên, tính được lực ma sát và phản lực pháp + Đối với hệ một vật rắn: Mv xC = const ⇔   a xC = 0 i P.sin α − Fms = MaC ⇒ Fms = P.sin α − MaC q q + Đối với hệ gồm q vật rắn:∑ M k v xCk = const ⇔ ∑M k a xCk = 0 i N − P.cos α = 0 ⇒ N = P.cos α k =1 k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 725 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 727 e c. Dạng biến thiên: Q 2 − Q1 = S 1− 2 10.12 Ví dụ 2: Vật phẳng đồng chất có khối lượng M, khối tâm C trượt tự do không vận tốc đầu trên mặt nghiêng không ma sát. Hãy viết công thức * Chứng minh: dạng đạo hàm của định lý động lượng? e t2 t2 e e e N Ta có: d Q = ∑ F k dt ⇒ ∫ d Q = ∫ ∑ F k dt ⇒ Q (t 2 ) − Q (t1 ) = S 1− 2 ⇒ Q 2 − Q1 = S 1− 2 t1 t1 C C aC vC α α α Theo định lý Động lượng: P + N = MaC P Từ công thức trên, ta tính được phản lực pháp và tìm được phương trình vận tốc, phương trình chuyển động. i N − P.cos α = 0 ⇒ N = P.cos α  vC (t ) = g .sin α .t + v0  i P.sin α = MaC ⇒ aC = g .sin α ⇒  1 2  sC (t ) = ( 2 g .sin α )t + v0 t + s0 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 726 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 728
Ví dụ 3: Thanh thẳng mảnh đồng chất, khối lượng M, khối tâm C quay Ví dụ 5: Vật đồng chất có khối lượng M, khối tâm C rơi tự do không tự do quanh đầu thanh. Hãy viết công thức dạng đạo hàm của định lý vận tốc đầu, không chịu cản. Viết công thức dạng biến thiên của định lý động lượng? động lượng, thời điểm đầu lúc vật bắt đầu chuyển động, thời điểm cuối YA là thời điểm t2. A A XA C t = 0, v (0) = 0, s (0) = 0 ϕ ϕ Theo định lý Động lượng: s (t ) t2 C aCn C ( 2) (0) M  vC (t ) − vC  = ∫ Pdt t , v (t ), s (t ) C S 0 vC (t ) ( 2) B aCτ B ⇒ M .vC = Pt 2 P ⇒ M .vC( 2) = Mgt 2 ⇒ vC( 2) = gt 2 t 2 , v2 Theo định lý Động lượng: P + X A + Y A = M ( aCτ + aCn ) P Nếu t2=t thì: g 2 Từ công thức trên, ta tính được phản lực liên kết tại A từ 2 phương trình vC (t ) = gt ⇒ s (t ) = t + s0 2 chiếu khi biết gia tốc tại C. (0) = 0⇒ s0 = 0 g s   → s (t ) = t 2 2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 729 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 731 Ví dụ 4: Vật phẳng đồng chất có khối lượng M, khối tâm C trượt tự do Nhìn lại định lý động lượng không vận tốc đầu trên mặt nghiêng không ma sát. Hãy viết công thức dQ n e dạng biến thiên của định lý động lượng, thời điểm đầu lúc vật bắt đầu 1. Từ công thức dạng đạo hàm: = ∑Fk dt k =1 chuyển động, thời điểm cuối là thời điểm t tổng quát. - Đây là phương trình véc tơ tổng quát. - Trong hệ trục Oxyz, có thể triển khai thành 3 phương trình chiếu N0 t=0 - Khi véc tơ động lượng đã biết thì dùng phương trình trên tìm ngoại C C t lực – xác định được nhiều nhất 3 ẩn số. vC(0) - Nếu biết tất cả ngoại lực thì dùng phương trình trên định véc tơ động lượng. Từ đó, tìm các đặc trưng chuyển động. N (t ) 2. Đối với hệ tĩnh, cân bằng thì:  n e ∑ X k = 0 Theo định lý Động lượng: P C  k =1 aC ( t ) n e  n t Q = 0 ⇒ ∑ F k = 0 ⇔  ∑ Yke = 0 M  vC (t ) − vC(0)  = ∫  N (t ) + P  dt vC (t ) k =1  k =1 0  n e P ∑ Z k = 0 t ⇒ MvC (t ) = ∫  N (t ) + P  dt  k =1 0 Đây là phương trình cân bằng lực theo 3 phương trong bài toán tĩnh GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 730 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 732
Bài giải: ω0 O C1 A P 45 0 ω AB vC1 vA vC 2 3r C2 n a BBA≡ C3 BÀI TẬP CHƯƠNG 10 SINH VIÊN CẦN GIẢI QUYẾT r v B = vC3 R Các dạng bài toán áp dụng các định lý tổng quát - Bài toán thứ nhất: Dùng định lý bảo toàn động lượng để tìm chuyển dịch một vài bộ phận trong hệ. I - Bài toán thứ hai: Dùng định lý bảo toàn động lượng để xác định phản lực liên kết trong hệ. Véc tơ động lượng của hệ là một véc tơ tự do: Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 733 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 735 Bài tập 10.1 Xác định véc tơ động lượng của hệ sau, các thanh là mảnh đồng chất, y y bánh xe đồng chất với khối tâm là B. ω0 O A Q 3 = m3 .vC3 H x H x 45 0 45 0 Q1 Q Q 2 = m2 .vC2 Thanh OA : OA = a = 2 r , m1 , ω 0 3r Q 1 = m1 .vC1 450 Q2 Q3 Thanh AB : AB = l , m2 ï h xe: R , r , m3 Ban n a BA B Bánh xe lăn không trượt r Cho: m3 = 2 m2 = 4 m1 = 4 m R I GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 734 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 736
Động lượng của hệ là: Q = m1 .vC1 + m2 .vC2 + m3 .vC3 (1) * Vận tốc góc của thanh OA khi t = 2(s) aω 0 Trong đó: vC1 = = rω 0 ,vC2 = v A .c os450 = rω0 2 π2 π 3π 2 2 ωOA = ϕɺ t =2( s ) = − sin( t ) =− (rad/ s) = ω0 < 0 18 6 t = 2( s ) 36 vC3 = v B = 2 rω 0 , v A = aω 0 = 2 rω 0 * Gọi C1 là khối tâm của OA. Gọi C2 là khối tâm của AB. B là khối tâm Chiếu véc tơ động lượng Q lên các trục của hệ trục tọa độ (x,y), ta có: của bánh xe Qx = m2 .vC2 .cos 45 0 + m3 .vC3 = 10 mrω 0 * Tọa độ của các khối tâm: Q y = − m1 .vC1 − m2 .vC2 .cos 45 0 = −3mrω 0  a  a  yC1 = 2 .cos ϕ  yC2 = 3 2 .cos ϕ  y = 2 a.cos ϕ 2 Độ lớn động lượng của hệ: Q = Q + Q = 109.mrω 0 2 C1 :  C2 :  B: B x y  z = a .sin ϕ  z = a .sin ϕ  zB = 0 Véc tơ động lượng là một véc tơ tự do, phương được xác định như sau:  C1 2  C2 2 cos α x = 10 mrω 0 / 109.mrω 0 = 10 / 109 cos α y = − 3mrω 0 / 109.mrω 0 = −3 / 109 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 737 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 739 Bài tập 10.1* * Các thành phần vận tốc của các khối tâm: Cho cơ cấu như hình vẽ. Hai thanh OA, AB là các thanh mảnh đồng chất có cùng khối lượng m, OA = AB = a. Bánh xe được xem như đĩa mảnh đồng chất  a  a  yɺ C1 = −ω 2 .sin ϕ  yɺ C2 = −3ω 2 .sin ϕ  yɺ = −ω 2 a.sin ϕ có bán kính r = a/2, khối lượng 2m, lăn không trượt. Hệ chuyển động trong mặt C1 :  C2 :  B: B π π  zɺ = ω a .cos ϕ  zɺ = ω a .cos ϕ  zɺ B = 0 phẳng (Oyz) thẳng đứng. Phương trình quay của OA: ϕ = cos( t ) .  C1 2  C2 2 3 6 Khi t = 2 (s): 1. Tính vận tốc khối tâm của: thanh OA, thanh AB, bánh xe theo ω0, (ω0 = ωOA). 2. Tính động lượng của hệ theo ω0, (ω0 = ωOA). * Các giá trị thành phần vận tốc của các khối tâm khi t = 2(s): z A Với ωOA t = 2( s ) = ω0 thì:  1  3 ϕ  yɺ C1 = − 4 aω0  2y ɺ C = − 4 aω0  yɺ B = − aω0 B C1 :  C2 :  B: y O r  zɺ = 3 aω  zɺ = 3 aω  zɺ B = 0  C1 4 0  C2 4 0 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 738 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 740
* Động lượng của hệ khi t = 2(s): Bài tập 10.2 Xác định véc tơ động lượng của hệ sau, các thanh và đĩa là những vật Q y = mOA . yɺ C1 + m AB . yɺ C2 + mbx . yɺ B mảnh đồng chất:  O ωOA A Qz = mOA . zɺC1 + m AB .zɺC2 + mbx .zɺ B 450  1 3  Q y = − maω 0 − maω0 − 2 m.aω0 Q y = −3m.aω0 > 0 4 4  ⇒ ⇒ 3 ωOA = ω0 Q = 3 maω + 3 maω + 2 m.0 Qz = maω0 < 0 B  z 0 0  2 OA = a 4 4 Thanh OA Khối lượng m AB = 2 a R Thanh AB Không khối lượng Đĩa tròn Bán kính R = a Khối lượng m GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 741 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 743 * Các giá trị thành phần vận tốc của các khối tâm khi t = 2(s): Hướng dẫn: Q y = −3m.aω0  39  v1 → Q OA ⇒ ⇒ Q = Q y2 + Qz2 = ma ω0 ωOA →  3 2 Qz = maω0 v  A → v → Q  2 B B * Xác định chiều véc tơ Q: O A z P 450 Q ωOA v1 α vA vB y R α = 16 0 6 '7, 61'' GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 742 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 744
Bài tập 10.3 Bài tập 10.4 Xác định véc tơ động lượng của hệ sau, các thanh là mảnh đồng chất: Vật nặng trọng lượng P trượt trên mặt nghiêng có hệ số ma sát trượt là f, vận tốc ban đầu là v0. Sau khoảng thời gian bao lâu thì vật có vận tốc 2v0. 60 0 60 0 v B A α Bài giải: ωOA = ω0 * Gọi mốc thời gian là t1 khi vật có vận tốc v1= v0, là t2 khi vật có vận tốc v2= 2v0. OA = a Thanh OA O ωOA Khối lượng m C v1 AB = 2 a C Quỹ đạo của C Thanh AB t1 Không khối lượng C α v2 Con trượt B có khối lượng m t2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 745 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 747 Hướng dẫn: * Phân tích ngoại lực tác dụng lên vật:  v1 → Q OA N ωOA →  v  v A → vB → Q B C n F ms aC Quỹ đạo của C vB τ α 0 0 P 60 A 60 B + Trọng lượng P có chiều và độ lớn đã biết. vA + Phản lực N có chiều như hình và độ lớn được xác định như sau: • Định lý chuyển động khối tâm C v1 P P + N + F ms = M .aC = ( aτ + an ) (*) O ωOA g • Chiếu (*) lên phương n: N = P.cos α (Do an = 0) + Lực ma sát F ms có chiều như hình vẽ và độ lớn Fms = Nf = Pf .cos α GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 746 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 748
* Áp dụng định lý động lượng dạng biến thiên: Bài tập 10.5 t2 t P P 2 Cho cơ hệ gồm vật (1) có trọng lượng P1 đặt trên mặt nghiêng của lăng Q 2 − Q1 = ∫ ( P + N + F ms ) dt ⇒ v2 − v1 = ∫ ( P + N + F ms ) dt g g trụ có trọng lượng là P2. Góc nghiêng của mặt lăng trụ với mặt ngang là t1 t1 α. Lăng trụ đặt trên được đặt trên 2 con lăn song song nhau và đặt trên  P = const  mặt ngang nhẵn trơn. Ban đầu vật (1) nằm yên tương đối trên mặt trụ Khi vật chuyển động:  N = const ⇒ P + N + F ms = const còn lăng trụ thì trượt sang phải với vận tốc v0. Sau đó cho vật 1 trượt  xuôi xuống theo mặt nghiêng với vận tốc tương đối u = a.t. Tìm vận tốc  F ms = const của lăng trụ tại thời điểm t. P P Do đó: v2 − v1 = ( P + N + F ms )(t 2 − t1 ) g g P P ⇒ v2 − v1 = ( P + N + F ms ) ∆t (**) u g g v0 Chiếu (**) lên phương chuyển động, ta có: v? P P v0 .2 v0 − .v0 = ( P.sin α − Fms ).∆ t ⇒ ∆t = g g g (sin α − f .cos α ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 749 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 751 Có thể giải bài toán bằng phương trình chuyển động C1 Phương trình vi phân chuyển động của khối tâm C theo phương trượt u x ( P.sin α − f .P.cos α ) P1 v? N2 dv (t ) = dt N1 m C2 ( P.sin α − f .P.cos α ) P2 ⇒ v (t ) = t+A m Điều kiện ban đầu: v (0) = v0 ⇒ A = v0 Ngoại lực tác dụng lên hệ (gồm 2 vật): P1 , P 2 , N 1 , N 2 ( P.sin α − f .P.cos α ) Tại thời điểm t Vận tốc tại thời điểm t là: v (t ) = t + v0 m Giả sử lăng trụ chuyển động sang phải, vận tốc tuyệt đối của vật (1): Thời điểm vật có vận tốc 2v0: U (t ) = u ( t ) + v (t ) ( P.sin α − f .P.cos α ) v0 2 v0 = t + v0 ⇒ t = m g (sin α − f .cos α ) P P Véc tơ động lượng của hệ: Q (t ) = 1 U (t ) + 2 v (t ) v0 g g Khoảng thời gian cần tìm: ∆ t = t = g (sin α − f .cos α ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 750 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 752
Áp dụng định lý động lượng Bài tập 10.6 Trọng tâm phần quay của động cơ điện đặt lệch tâm so với trục quay A P1 P aC1 (t ) + 2 aC2 (t ) = P1 + P 2 + N 1 + N 2 (*) một đoạn AB = a. Trọng lượng của phần quay là P1, trọng lượng của vỏ g g động cơ (phần không quay) là P2. Tìm quy luật chuyển động của phần Chiếu phương trình véc tơ (*) lên trục x vỏ động cơ trên sàn nằm ngang. Cho biết vận tốc góc của phần quay P1 C1 P P P không đổi. Nếu ta cố định vỏ động cơ trên sàn bằng bulông D thì lực cắt a x (t ) + 2 a xC2 (t ) = 0 ⇒ 1 v xC1 (t ) + 2 v xC2 (t ) = const lên bulông được xác định như thế nào. Coi ma sát giữa nền và động cơ g g g g không đáng kể. P1 C1 P P P ⇒ U x (t ) + 2 v xC2 (t ) = 1 U xC1 (0) + 2 v xC2 (0) g g g g m m ω0 B ω0 B Với điều kiện ban đầu, ta có: P1 U xC1 (t ) + P2 v xC2 (t ) = P1 v0 + P2 v0 A A g g g g P2 P1 P2 P1 P1 C1 P P P ⇒ U x ( t ) + 2 v ( t ) = 1 v0 + 2 v0 g g g g D N N m1 m1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 753 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 755 P1 P P P Bài giải: [v (t ) + u (t ).c osα ] + 2 v (t ) = 1 v0 + 2 v0 g g g g 1. Quy luật chuyển động của phần vỏ. x0C x ω0t ⇒ P1 [ v (t ) + u (t ).c osα ] + P2 v (t ) = Pv 1 0 + P2 v0 ∑X =0⇒v Cx = const m ω0 B ⇒ ( P1 + P2 ) v (t ) = ( P1 + P2 ) v0 − u (t ) P1 .c osα Giả sử lúc đầu đứng yên: A P1 P1 P2 P1 ⇒ v ( t ) = v0 − u (t ).c osα = v0 − a.c osα t v0 xC = 0 ⇒ x0 C = const ( P1 + P2 ) P1 + P2 Xét tại thời điểm t Nếu v > 0 thì lăng trụ chuyển động sang phải N xA = x m1 Nếu v < 0 thì lăng trụ chuyển động sang trái xB = x + a.sin ω 0 t P2 ( x + xoC ) + P1 ( x + xoC + a.sin ω 0 t ) xC = P1 + P2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 754 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 756
Do tổng ngoại lực theo phương x bằng 0 nên hoành độ khối tâm không ∆ Fn Một vài kết quả từ định lý đổi. Vì vậy: F3 P ( x + xoC ) + P1 ( x + xoC + a.sin ω 0 t ) F1 xC = 2 = xoC d K O e P1 + P2 dn i = MO ω0t dt ⇒ P2 x + P1 ( x + a.sin ω 0 t ) = 0 d1 k vk d3 mk vk dK∆ e P1a sin ω 0 t m mk i =M∆ ⇒x=− ω0 rk dt P1 + P2 B A ... O d2 2. Khi cố định động cơ trên sàn P2 P1 bằng bu lông D. F2 P a.sin ω 0 t ) Véc tơ mômen động lượng tại O của hệ: xC = 1 N D Nội dung định lý này được P1 + P2 m1 R xD K O = ∑ ( rk ∧ mk vk ) k làm rõ chi tiết trong phần d 2 xC tiếp sau. M = RxD Véc tơ mômen chính tại O của hệ ngoại dt 2 x lực: e ω 2 P a.sin ω 0 t ) ω 2 P a.sin ω 0 t ) M O = ∑ di ∧ F i ( ) RxD = − M . 0 1 =− 0 1 P1 + P2 g i GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 757 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 759 1. Mômen động lượng a. Chất điểm đối với điểm O b. Chất điểm đối với trục ∆ ∆ mv //∆ KO K∆ mv d2 v mv1 d v m §2. Định lý mômen động lượng r mv2 KO m O O r Trong phần này sẽ khảo sát mối quan hệ giữa mômen động lượng của hệ với mômen chính của ngoại lực. mv1 / / ∆ + Véc tơ: K O = mO ( mv ) = r ∧ ( mv ) + Phân tích: mv = mv1 + mv2 mv2 ⊥ ∆ 10.13 - Điểm đặt tại O + Mômen động lượng 10.14 - Vuông góc với mp (O, mv ) - Thứ tự r , mv , K O theo - Độ lớn: K ∆ (mv ) = mv2 .d 2 chiều tam diện thuận - Chiều quay: cùng chiều quay - Độ lớn K O = mvd của mv2 đối với ∆. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 758 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 760
Định lý: Khi O thuộc ∆, thì K ∆ = K O .cos ϕ = mvd .cos ϕ 10.15 * Mômen động lượng đại số: Giá trị đại số của mômen động + Mômen động lượng đại số đối lượng theo một hướng nhìn được ∆ K∆ với điểm O quy ước như sau: KO Nhìn một chiều nào đó theo phương mv K O = + mv.d v véc tơ mômen động lượng, nếu I d m ϕ mômen động lượng quay ngược chiều K∆ KO quay của kim đồng hồ (véc tơ mômen r động lượng hướng vào mắt nhìn) thì KO O O ∈ (∆ ) d mv mômen động lượng đại số là dương, O r vm nếu mômen động lượng quay thuận KO chiều quay của kim đồng hồ (véc tơ Cách xác định chiều quay của K ∆ ( mv ) sau khi biết hình chiếu: mômen động lượng hướng ra xa mắt Nhìn theo một chiều của trục ∆, nếu chiều từ O đến I mà: nhìn) thì mômen động lượng đại số là - hướng vào mắt thì theo hướng nhìn của mắt, mômen của trục xoay ngược chiều âm đối với hướng nhìn đó. quay kim đồng hồ đối với trục. K O = − mv.d - hướng ra xa mắt thì theo hướng nhìn của mắt, mômen của trục xoay theo chiều quay kim đồng hồ đối với trục. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 761 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 763 Chứng minh: + Mômen động lượng đại số đối với trục ∆ Phân tích: mv = mv1 + mv2 K ∆ = + mv2 .d 2 Giá trị đại số của mômen động lượng đối với trục theo Ta có: K O (mv ) = K O (mv1 ) + K O (mv2 ) (*) một hướng nhìn được quy ∆ Chiếu (*) lên trục ∆: mv //∆ ước như sau: mp ( β ) K ∆ (mv ) K O (mv ).cos ϕ = mv2 d 2 = K ∆ ( mv ) mv Nhìn theo một chiều trục, nếu ∆ d2 mv1 mômen động lượng quay mv2 v ( ∆ ) ⊥ mp (α ) mv1 O m ngược chiều quay của kim mp (α ) ⊥ mp ( β ) v r đồng hồ thì mômen động {O} = ( ∆ ) ∩ mp (α ) K O ( mv2 ) d2 mv2 v1 lượng đại số là dương, nếu v ∈ mp ( β ) mômen động lượng quay v = v1 + v2 K O ( mv ) v2 v1 ⊥ mp (α ) ϕ m thuận chiều quay của kim r K ∆ = −mv2 .d 2 ( ) d 2 , r , v2 , K O ( mv1 ) ∈ mp (α ) đồng hồ thì mômen đại số là âm đối với hướng nhìn đó. K O ( mv2 ) O mp (α ) K O ( mv1 ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 762 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 764
c. Hệ chất điểm đối với điểm O d. Hệ chất điểm đối với trục ∆ n n K O = ∑ mO ( mk vk ) 10.16 K ∆ = ∑ K ∆ ( mk vk ) 10.17 k =1 k =1 Các bước xác định: m1v1 KO - Xác định mômen đại số động lượng theo một hướng nhìn m v1 1 m 2 v2 - Suy ra chiều quay của mômen động lượng theo hướng nhìn đó - Độ lớn mômen động lượng cần tìm bằng trị tuyệt đối mômen đại số. m2 r1 v2 KO r2 O rn mn mp (α ) mn vn vn K O ⊥ mp (α ) Nếu các véc tơ động lượng đồng phẳng thì xác định véc tơ mômen động lượng từ mômen động lượng đại số. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 765 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 767 Ví dụ: Cho 2 chất điểm chuyển động trong cùng mặt phẳng, xác định Ví dụ: Cho các chất điểm nằm ở các đỉnh của hình lập phương cạnh a có mômen động lượng đối với O của hai chất điểm đó. khối lượng bằng nhau và bằng m. Vận tốc các chất điểm có chiều và có Biết m1= 2m2 = 2m, v1=3v2=3v, d1 = 2d2= 2d. độ lớn như hình vẽ. Xác định mômen động lượng của các chất điểm đối với trục ∆. d1 K ∆ = −4mva + 3mva v2 d2 r1 v1 = − mva < 0 O m1 K O = + m1v1.d1 − m2 v2 .d 2 ∆ ∆ m2 r2 = +11mvd > 0 5mv 5v m1 K ∆ = mva m KO 1 m2 v2 d1 3 2v d2 m1v1 3mv v2 O 4v 4mv r1 v1 m1 m3 m3 m2 K O = 11mvd 3mv m2 m2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 766 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 768
Mômen động lượng trong hệ trục tọa độ cố định Oxyz * Mômen động lượng đối với các trục tọa độ Xét hệ chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu cố định Oxyz. • Đối với trục x: z n K x = ∑ mk [ yk zɺk − z k yɺ k ] k =1 zk • Đối với trục y: n mk K y = ∑ mk [ z k xɺ k − xk zɺk ] k =1 rk • Đối với trục z: k n j yk O y K z = ∑ mk [ xk yɺ k − y k xɺ k ] i k =1 xk x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 769 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 771 * Mômen động lượng đối với gốc tọa độ O + Khi vật quay quanh trục cố định z i j k z n n i z k = const ⇒ zɺk = 0 ⇒ ɺɺ zk = 0 K O = ∑ ( rk ∧ mk vk ) = ∑ ( mk . xk yk z k ) k =1 k =1 xɺ k yɺ k zɺk i xk = d k .cos ϕ zk dk ⇒ xɺ k = − d k .sin ϕ .ω n y zk n x zk n x yk ε = i .∑ ( mk . k ) − j .∑ ( mk . k ) + k .∑ ( mk . k ) y mk k =1 yɺ k zɺk k =1 xɺk zɺk k =1 xɺ k yɺ k ⇒ xɺ k = − d k . k .ω = − y k ω dk ω rk n n n ⇒ ɺɺ xk = − yɺ k ω − y k ε = i .∑ mk [ yk zɺk − z k yɺ k ] + j .∑ mk [ z k xɺk − xk zɺk ] + k .∑ mk [ xk yɺ k − y k xɺk ] k j yk y k =1 k =1 k =1 i y k = d k .sin ϕ O ⇒ y k = d k .cos ϕ .ω i dk xk ϕ xk ⇒ yɺ k = d k . .ω = xk ω dk ⇒ ɺɺ y k = xɺ k ω + xk ε x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 770 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 772
• Đối với trục x: e. Mômen động lượng của vật chuyển động tịnh tiến đối với điểm cố n n định, trục cố định. K x = − ∑ mk . z k yɺ k = − ∑ mk .z k xk ω = −ω . J xz ∆' k =1 k =1 ∆ K∆' • Đối với trục y: n n K∆ K y = ∑ mk z k xɺ k = −ω ∑ mk z k yk = −ω . J yz KO k =1 k =1 α • Đối với trục z: K∆ dC KO MvC n n vC K z = ∑ mk [ xk yɺ k − y k xɺ k ] = ∑ mk [ xk xk .ω + yk yk .ω ] O rC k =1 k =1 C n = ω ∑ mk d k2 = ω . J z k =1 K O = ( rC ∧ MvC ) = mO ( MvC ) → K O = MvC d C • Đối với gốc O: K O = −ω . J xz .i − ω . J yz . j + ω .J z .k K ∆ = K O .cos α 10.18 Chuyển động tịnh tiến K∆' = KO GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 773 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 775 + Khi vật chuyển động tịnh tiến Chứng minh:  xɺk = v x   yɺ k = v y , ∀k K O = ∑ ( rk ∧ mk vk ) = ∑ ( mk rk ∧ vk )  zɺ = v  k z + Do chuyển động tịnh tiến, nên: rɺk = rɺC • Đối với trục x: n + Vì vậy: K O = ( ∑ mk rk ) ∧ rɺC K x = ∑ mk [ yk zɺk − z k yɺ k ] = v z .M . yC − v y .M .zC = M ( v z . yC − v y .zC ) + Mặt khác: ∑ mk rk = MrC k =1 + Cuối cùng ta được: K O = MrC ∧ rɺC = rC ∧ MrɺC = mO ( MvC ) • Đối với trục y: n K y = ∑ mk [ z k xɺk − xk zɺk ] = v x .M . zC − v z .M . xC = M (v x .zC − v z . xC ) K ∆ = hc ∆ K O = K O .cos α k =1 K ∆ ' = hc ∆ ' K O = K O • Đối với trục z: n K z = ∑ mk [ xk yɺ k − y k xɺk ] = v y .M . xC − v x .M . yC = M (v y .xC − v x . yC ) k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 774 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 776
f. Mômen động lượng của vật chuyển động quanh trục cố định ∆ * Khi trục quay cố định là trục trung tâm ∆ (//Cz ) + Mômen động lượng đối với trục quay ∆: + Mômen động lượng đối với trục quay K∆ K Cz K ∆ = J ∆ .ω 10.19 K Cz = J Cz .ω 10.20a K ∆ = K Cz + Mômen động lượng đối với trục cố định ∆ song song với trục quay. C Chứng minh: K ∆ = J Cz .ω 10.20b z K ∆ = ∑ ( mk rk2ω ) = ω ∑ mk rk2 = J ∆ω (∆ ) ω ω GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 777 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 779 Trường hợp vật phẳng – quay quanh O cố định trong mặt phẳng Chứng minh tổng quát như sau: Z z chứa vật Xét vật quay quanh trục cố định Kz K O = J O .ω là z. Gán các hệ trục cố định như KZ ∆ hình vẽ Nếu trục ∆ đi qua O vuông góc với mặt quay K∆ = KO  X = a + xk  Xɺ k = xɺk K ∆ = J ∆ .ω = J O .ω Ta có:  k ⇒ Yk = b + y k Yɺk = yɺ k KO O ω a Y k ω b O j y i ϕ X x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 778 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 780
• Đối với trục Z song song với trục z: g. Mômen động lượng của vật rắn chuyển động song phẳng đối với n n trục cố định ∆ bất kỳ vuông góc với mặt phẳng quy chiếu: K Z = ∑ mk  X k Yɺk − Yk Xɺ k  = ∑ mk [ ( xk + a ) yɺ k − ( yk + b ) xɺ k ] * Vật hình khối chuyển động song phẳng: ∆ k =1 k =1 z n Trục ∆ bất kỳ vuông góc với mp quy MvC d C = ∑ mk [ ( xk + a ) xk .ω + ( y k + b ) yk .ω ] chiếu k =1 n K ∆ = m∆ ( MvC ) + J Cz .ω sp = ω ∑ mk  ( x + y ) + ( axk + yk b )  2 2 MvC k k vC dc k =1 = ± MvC d C ± J Cz .ω sp C n n n = ω ∑ mk  ( xk2 + y k2 )  + ω a ∑ mk xk + ω b ∑ mk y k 10.21 k =1 k =1 k =1 O = ω J z + ω a.MxC + ω b.MyC ω sp J Cz .ω sp Mặt quy chiếu cố định (π0) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 781 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 783 Trường hợp trục z là trục trung tâm thì: Trường hợp ∆ là trục vận tốc tức thời, thì MvC và ω sp ∆ quay quanh ∆ theo cùng một chiều, do đó:  xC = 0 Z z  → K Z = J zω = K z  K ∆ = ± ( MvC d C + J Cz .ω sp ) z  yC = 0 10.22a Hoặc Xây dựng công thức với chiều trục Z ω sp cùng chiều với chiều trục z nên: K ∆ = ± J ∆ .ω sp 10.22b C KZ = Kz Chứng minh: vC C dc rC K ∆ = ± ( MvC d C + J Cz .ω sp ) O = ± ( M .ω sp .OC .OC + J Cz .ω sp ) MvC ω b Y = ± ( M .OC 2 + J Cz )ω sp = ± J ∆ .ω sp k K∆ a O j y i ϕ Mặt quy chiếu X cố định (π0) x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 782 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 784