Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 8 - Huỳnh Vinh

Chia sẻ: Bánh Bèo Xinh Gái | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 8 Động lực học chất điểm, cung cấp cho người học những kiến thức như: Các định luật Newton; Phương trình vi phân của chuyển động điểm; Hai bài toán cơ bản của động lực học. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 8 - Huỳnh Vinh

Động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của các vật thể dưới tác dụng của lực. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 628
1. Định luật 1 (Định luật cơ bản của động lực học) Dưới tác dụng của lực, chất điểm sẽ chuyển động với gia tốc cùng giá cùng chiều với lực tác dụng. F = m.a 8.1 F Chương 8 m Quỹ đạo chuyển động của v chất điểm a Với: m là khối lượng của chất điểm – độ đo quán tính. F , a , v cùng thuộc mặt phẳng mật tiếp của quỹ đạo tại vị trí chất điểm GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 629 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 631 * Nếu lực là trọng lượng, thì P = m. g 8.2 Trong đó: g là gia tốc trọng trường. P §1. Các định luật Newton g Mặt đất v C Tâm trái đất Khối lượng m quan hệ với trọng lượng P: P P = m. g ⇒ m = 8.3 g GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 630 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 632
2. Định luật 2 (Định luật quán tính) Tham khảo cách tính gia tốc trọng trường g Chất điểm có khối lượng m không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. m2 m .m F =0 v =0 F F =G 1 2 2 d Đứng yên F F m m G: hằng số hấp dẫn m1 F =0 v = const d G = 6,67.10−11 ( N .m² / kg ²) Chuyển động thẳng đều m - Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là chuyển động theo quán tính. - Hệ quy chiếu trong đó thỏa mãn định luật quán tính gọi là hệ quy chiếu quán tính. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 633 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 635 * Khi h
4. Định luật 4 (Định luật về tác dụng và phản tác dụng) Hai lực mà hai chất điểm tác dụng lên nhau bằng nhau về trị số, cùng đường tác dụng nhưng ngược chiều. Chú ý: Các lực tác dụng tương hỗ này không tạo thành một hệ lực cân bằng vì chúng đặt vào hai chất điểm khác nhau. §2. Phương trình vi phân của chuyển động điểm C F 21 F 12 (1) (2) Xét vật (1): F 12 : lực tác dụng F 21 : lực phản tác dụng GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 637 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 639 Xét hệ vật: 1. Dạng véc tơ P1 n Pn Xét chuyển động của chất điểm chịu tác dụng bởi ∑ F k: k =1 C Véc tơ định vị: r = r (t ) F 21 ɺɺ d 2 r z F1 P2 F 12 Gia tốc chuyển động: a = r = 2 (1) dt F2 (2) m Phương trình vi phân của chuyển động: Fn P3 n d 2r n Phân loại lực: P4 mr = ∑ F k ⇔ m 2 = ∑ F k ɺɺ 8.6 dt e k =1 k =1 a Ngoại lực F k : các vật ngoài tác dụng lên hệ vật e r F k ∼ ( P1 , P 2 ,..., P n ) Lưu ý: F k = F k (t , r , rɺ ) i O y Nội lực F k : các vật bên trong hệ tương tác nhau i F k ∼ ( F 12 , F 21 ) ∼ 0 x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 638 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 640
2. Dạng tọa độ Descartes: Chiếu phương trình 8.6 lên các trục của hệ trục tọa độ z  n  d x2 n mx ɺɺ = ∑ F  m dt 2 = ∑ Fkx   k =1 kx  k = 1 z (t ) F1 §3. Hai bài toán cơ bản của động F2  d y lực học 2  n n m  myɺɺ = ∑ Fky ⇔  m 2 = ∑ Fky  k =1  dt k =1  n  d z2 n Fn   mz ɺɺ = ∑ Fkz  m dt 2 = ∑ Fkz a k =1  k = 1 r 8.7 O y (t ) y x (t ) x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 641 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 643 3. Dạng tọa độ tự nhiên: 1. Bài toán thuận – Bài toán tìm lực (Trùng pháp tuyến) Định vị s = s (t ) b Biết chuyển động của chất điểm ( r , v , a ) , tìm lực tác dụng lên chất điểm. − n (Pháp tuyến) n O + * Cách giải quyết: Phép đạo hàm ∑F τ k =1 k an b n O' Mặt phẳng mật tiếp Ví dụ: Cho chất điểm khối lượng m, chuyển động trên đường a Quỹ đạo n chuyển động cong phẳng. Tìm phản lực theo ϕ , biết ϕ = ϕ (t ), ϕ (0) = 0, ϕɺ (0) = 0. ∑Fk k =1 m τ aτ n ∑F τ kn (Tiếp tuyến) ϕ R k =1  n  n  maτ = ∑ Fkτ s,  aτ = ɺɺ  msɺɺ = ∑ Fkτ  k =1   k =1  n  sɺ 2  sɺ 2 n  n ∑ Fkn ma = Vì  an = nên  m = ∑ Fkn  ρ 8.8  k =1  ρ k =1  n  ab = 0  n  mab = ∑ Fkb  0 = ∑ Fkb  k =1  k = 1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 642 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 644
Bài giải: 2. Bài toán ngược – tìm chuyển động n + Phân tích lực tác dụng lên chất điểm ( P , N ) Biết lực tác dụng lên chất điểm, tìm chuyển động ( r , v , a ). + Viết phương trình vi phân chuyển động ϕ R * Cách giải quyết: Giải phương trình vi phân chuyển động. ma = P + N (1) an N ⇒ m ( an + aτ ) = P + N Ví dụ: Cho con lắc đơn dao động bé như hình vẽ. Tìm phương trình aτ( gt ) chuyển động của con lắc. Biết thời điểm khi t = 0, ϕ (0) = ϕ 0 , v (0) = v0 . Chiếu (1) lên các phương tiếp tuyến và bán kính : O P τ  maτ = P.cos ϕ = mg .cos ϕ   man = N − P.sin ϕ = N − mg .sin ϕ l ϕ  a = R.ϕɺɺ  mR.ϕɺɺ = mg .cos ϕ (a) Mà  τ 2 nên  2  an = R.ϕɺ  mR.ϕɺ = N − mg .sin ϕ (b) m GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 645 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 647 Giải phương trình (a): Bài giải: g mR.ϕɺɺ = mg .cos ϕ ⇒ ϕɺɺ = .cos ϕ + Phân tích lực tác dụng lên chất điểm ( P , T ) R + Viết phương trình vi phân chuyển động O dω g dω g ⇒ = .cos ϕ ⇒ d ϕ = .cos ϕ d ϕ ma = P + T (1) dt R dt R dϕ g g Chiếu (1) lên các phương tiếp tuyến: l ⇒ d ω = .cos ϕ d ϕ ⇒ ω d ω = .cos ϕ d ϕ ϕ an dt R R maτ = − P.sin ϕ = − mg .sin ϕ g 2g ⇒ ∫ ω d ω = ∫ cos ϕ d ϕ ⇒ ω 2 = sin ϕ + A T aτ( gt ) R R Mà aτ = l .ϕɺɺ và sin ϕ ≈ ϕ nên: m ϕ (0) = 0 2 2g g Với điều kiện biên  ⇒ A = 0. Do đó:ϕɺ = .sin ϕ ϕɺɺ +.ϕ = 0 ⇒ ϕɺɺ + k 2 .ϕ = 0 (a) ϕɺ (0) = 0 R l P Giải phương trình (b): N = 3mg .sin ϕ g Trong đó: k = l * Nếu bài toán yêu cầu viết mối quan hệ giữa ϕ và t – phương trình chuyển động thì: t ϕ Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (a) 2g 2g dϕ 2g dϕ dϕ ϕɺ 2 = .sin ϕ ⇒ ϕɺ = .sin ϕ ⇒ = .sin ϕ ⇒ dt = ⇒ ∫ dt = ∫ R R dt R 2g .sin ϕ 0 0 2g .sin ϕ ϕ (t ) = A.cos kt + B.sin kt R R GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 646 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 648
Bài 8.1 Xác định A, B từ điều kiện ban đầu của chuyển động: Kéo vật nặng có trọng lượng P đi lên theo phương thẳng đứng bởi ϕ (0) = ϕ 0 (b)  một sợi dây mềm không trọng lượng với gia tốc là a = const. Hãy xác  v (0) = v0 (c) định lực căng trong dây. Xem vật như là chất điểm. Giải điều kiện (b): ϕ (0) = ϕ 0 ⇒ A = ϕ 0 Vận tốc của con lắc: v (t ) = ω (t ).l = ϕɺ (t ).l = − klA.sin kt + klB.cos kt v Giải điều kiện (c): v (0) = v0 ⇒ Bkl = v0 ⇒ B = v0 / kl Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: v0 v m ϕ (t ) = ϕ 0 .cos kt + .sin kt = (ϕ 0 ) 2 + ( 0 ) 2 .sin( kt + γ ) kl kl ϕ 0 kl Với: γ = arctan v0 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 649 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 651 Kéo lên nhanh dần đều, gia tốc Kéo lên chậm dần đều, gia tốc có chiều hướng lên có chiều hướng xuống T + mg = ma T + mg = ma ⇒ T − mg = ma Kéo đều: a =0 ⇒ T − mg = − ma ⇒ T = m( g + a ) T = mg ⇒ T = m( g − a) T T BÀI TẬP CHƯƠNG 8 SINH VIÊN CẦN GIẢI QUYẾT a Hai bài toán cơ bản của động lực học m m a mg mg GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 650 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 652
Bài 8.2 z Trong mặt phẳng Oxy, lực tác dụng lên Một đoàn tàu chạy trên một đường ray thẳng đặt trên mặt phẳng chất điểm là: ngang. Lúc tàu đang có vận tốc là v0 thì tàu tắt máy đồng thời tiến hành hãm phanh. Biết rằng tổng lực hãm phanh và cản khác là hằng số bằng Q = ( Fx , Fy ) 1/12 trọng lượng đoàn tàu. Yêu cầu, kể từ khi tàu tắt máy hãy xác định: R 1. Phương trình chuyển động của tàu Q = mRk 2 y Q N 2. Mất bao lâu để tàu dừng kt 3. Quãng đường đi được đến lúc dừng A * Hướng dẫn: N Vị trí và thời điểm tắt x P x (t ) m máy (x = 0, t = 0, v = v0) x O Fc Theo phương z, lực chưa biết tác dụng g mxɺɺ(t ) = − Fc ⇒ ɺɺx (t ) = − 12 P lên chất điểm là lực hướng lên có độ  g  g lớn bằng trọng lượng của vật ( N = P).  xɺ (t ) = − 12 t + A1  x (0) = 0  A2 = 0  v (t ) = xɺ (t ) = − 12 t + v0 ⇒  ⇒ →  x (t ) = − g t 2 + A t + A  xɺ (0) = v0  A1 = v0  x (t ) = − g t 2 + v t  24 1 2  24 0 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 653 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 655 Bài 8.3 Bài 8.4 Một chất điểm A có khối lượng m chuyển động trong mặt phẳng Một quả cầu nhỏ có khối lượng m buộc vào một đầu mút của lò xo nằm ngang có phương trình: có độ cứng là k, đầu kia cố định. Người ta kéo quả cầu khỏi vị trí cân  x A (t ) = R.cos kt bằng theo phương trục lò xo một đoạn là a rồi thả cho nó chuyển động.  Bỏ qua ma sát giữa quả cầu và mặt phẳng tựa, lò xo làm việc hoàn toàn  y A (t ) = R.sin kt đàn hồi. Yêu cầu lập phương trình chuyển động của quả cầu trong hai Hãy tìm những lực chưa biết tác dụng lên chất điểm. trường hợp: 1. Không kể đến cản của môi trường * Hướng dẫn: 2. Chịu cản từ môi trường có hệ số cản nhớt c, c < 4 mk . + Quỹ đạo chuyển động là đường tròn tâm O bán kính R trong hệ trục Oxy. N N + Các lực tác dụng lên chất điểm O m Fc F lx m Fc  Fx = − mRk 2 .cos kt x O x  m.ɺɺ x A (t ) = Fx   y A (t ) = Fy ⇒  Fy = − mRk 2 .sin kt  m. ɺɺ P P  Flx = kx x (t ) x (t )  ɺɺ    m. z A (t ) = Fz  Fz = 0  Fc = cxɺ GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 654 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 656
Bài 8.5 Bài 8.6 Một chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của một lực theo Một vật nhỏ được xem như chất điểm có khối lượng m được ném phương ngang x là F = Qsin(kt) + Q. Tìm phương trình chuyển động ngang từ độ cao h. Vận tốc ngay khi vật rời tay là v0. Yêu cầu: của chất điểm biết khi t= 0(s) thì chất điểm ở vị trí x0 và có vận tốc v0. 1. Viết phương trình chuyển động của vật. 2. Mất bao lâu thì vật tiếp đất? 3. Vật được ném xa bao nhiêu theo phương ngang? m F 4. Ngay khi vật tiếp đất thì vật có vận tốc và gia tốc bao nhiêu? O x 5. Nếu vật được ném trong môi trường có cản với hệ số cản là c rất bé thì phương trình chuyển động của vật thế nào? * Hướng dẫn: y F = ma ⇒ Q.sin kt + Q = mxɺɺ t = 0 v0 v t Q Q Q M ( x, y ) x = .sin kt + ⇒ ∫ dv = ∫ (sin kt + 1) dt ⇒ ɺɺ m m v0 m0 h Q 1 t Q 1 1 mg ⇒ v (t ) − v0 = ( − cos kt + t ) ⇒ v (t ) = ( − cos kt + t + ) + v0 m k 0 m k k x O GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 657 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 659 1. Theo phương trình động lực học Q 1 1  ⇒ dx =  ( − cos kt + t + ) + v0  dt  ∑ Fx = ma x m k k   0 = mxɺɺ(t )  ⇒ x t Q 1 1   ∑ Fy = ma y  − mg = myɺɺ(t ) ⇒ ∫ dx = ∫  ( − cos kt + t + ) + v0  dt x0 0  m k k  x (t ) = 0  ɺɺ ⇒ Q 1 t2 1 t y (t ) = − g  ɺɺ ⇒ x (t ) − x0 =  ( − 2 sin kt + + t) + v0 t  m k 2 k 0 Lấy tích phân, ta có: Q 1 t2 1  v x (t ) = xɺ (t ) = C1 ⇒ x (t ) = ( − 2 sin kt + + t) + v0 t + x0  m k 2 k  v y (t ) = yɺ (t ) = − gt + D1  x (t ) = C1t + C 2   g 2  y (t ) = − 2 t + D1t + D2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 658 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 660
Tìm các hằng số tích phân từ điều kiện ban đầu của chuyển động 1. Khối lượng của hệ  v x (0) = v0 C1 = v0 Chuyển động của một cơ hệ ngoài việc phụ thuộc vào lực tác dụng còn  v (0) = 0  phụ thuộc vào tổng khối lượng và phân bố các khối lượng của hệ đó.  y  D1 = 0  ⇒ Xét cơ hệ gồm n chất điểm có khối lượng tương ứng là m1, m2,..., mn.  x (0) = 0 C 2 = 0 Khối lượng của hệ: bằng tổng khối lượng của tất cả các phần tử hợp  y (0) = h  D2 = h thành hệ đó. Thay tất cả vào phương trình vận tốc và phương trình chuyển động ta có: M = ∑ mk ( k = 1, n ) 9.1 + Phương trình chuyển động:  x ( t ) = v0 t m2  g 2 m1  1 2 ⇒ y = h − 2 x : phương trình quỹ đạo  y (t ) = h − 2 gt 2 v0 m3 m4 + Phương trình vận tốc: m5 mn  v x ( t ) = v0  Sv giải tiếp  v y (t ) = − gt GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 661 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 663 2. Khối tâm của hệ Ký hiệu khối tâm: C a. Đối với hệ chất điểm (vật rắn) z * Dạng véc tơ: m1 Chương 9 n C ∑ mk .rk m2 rC = k =1 9.2 r1 rC M r2 mn * Trong hệ trục Descartes Oxyz: rn  1 n O y  xC = M ∑ mk . xk  k =1 x  1 n  yC = M ∑ m .y k k  k =1 9.3  1 n  zC =  M ∑ m .z k =1 k k GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 662 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 664