Bài giảng Định thức - TS. Lê Xuân Đại

ĐỊNH THỨC Bài giảng điện tử

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TS. Lê Xuân Đại

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

1 / 67

TP. HCM — 2013.

Bài toán thực tế

Bài toán thực tế - Tính diện tích tam giác

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

2 / 67

= S = abs|[ −→ AB, −→ AC ]| = abs 1 2 1 2 5 4 2, 5 1 1 2 1 3 3 1 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Bài toán thực tế

Tính thể tích của hình lăng trụ

−→a = (a1, a2, a3); −→ b = (b1, b2, b3); −→c = (c1, c2, c3)

⇒ V = abs([−→a × −→ b ], −→c ) = abs

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

3 / 67

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

Bài toán thực tế

Nội dung

1 Khái niệm và tính chất của định thức 2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

4 / 67

Khái niệm định thức

Định nghĩa định thức

Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (aij) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|.

Vậy

det : Mn(K ) → K

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

5 / 67

A → detA.

Khái niệm định thức

Định nghĩa định thức

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

6 / 67

Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij. Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A|

Khái niệm định thức

Định nghĩa định thức

a1(j−1) ...

a1j ...

a1(j+1) ...

a1n ...

|A| =

aij

ain

ai(j−1)

ai(j+1)

. . . . . . . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) . . . . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) . . . . . .

. . . . . . . . . a(i−1)n . . . . . . a(i+1)n . . . . . .

a11 ... a(i−1)1 ai1 a(i+1)1 ... an1

... anj

... ann

... an)(j−1)

... an(j+1)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)n×n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

7 / 67

Khái niệm định thức

Định nghĩa định thức

a1(j−1) ...

a1(j+1) ...

a1n ...

. . . . . . . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) . . . . . .

. . . . . . . . . a(i−1)n . . . a(i+1)n . . . . . .

... ann

... an(j−1)

... an(j+1)

Mij = (cid:12) a11 (cid:12) (cid:12) ... (cid:12) (cid:12) (cid:12) a(i−1)1 (cid:12) (cid:12) a(i+1)1 (cid:12) ... (cid:12) (cid:12) (cid:12) an1 (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(n−1)×(n−1)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

8 / 67

Khái niệm định thức

Định nghĩa định thức

Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Aij = (−1)i+jMij là phần bù đại số của phần tử aij.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

9 / 67

a1jA1j = a11A11 + a12A12 + . . . + a1nA1n. Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (aij) là một số bằng n (cid:80) j=1

Khái niệm định thức

Định nghĩa định thức

n (cid:88)

detA = = a1jA1j =

j=1

a11 . . . a1j ... ... . . . ai1 . . . aij ... ... . . . an1 . . . anj . . . a1n ... . . . . . . ain ... . . . . . . ann (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

n (cid:88)

= a1j.(−1)1+jM1j.

j=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

10 / 67

Khái niệm định thức

Định nghĩa định thức

1 n = 1, A = (a11) ⇒ |A| = a11.

(cid:19)

⇒ |A| =

2 n = 2, A =

(cid:18) a11 a12 a21 a22

(−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21.





3 n = 3, A =

 ⇒ |A| =



a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

+

+ (−1)1+2a12

a21 a23 a31 a33

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

.

(−1)1+3a13

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a21 a22 a31 a32

= (−1)1+1a11 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

a22 a23 a32 a33 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

11 / 67

Khái niệm định thức

Định nghĩa định thức

Ví dụ

 

Tính định thức detA với A =  

1 2 3 4 2 1 3 1 5

Giải. Khai triển theo hàng 1: |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13.

= 2.5 − 1.1 = 9,

A11 = (−1)1+1

= −(4.5 − 1.3) = −17,

A12 = (−1)1+2

= 4.1 − 2.3 = −2.

A13 = (−1)1+3

2 1 1 5 4 1 3 5 4 2 3 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

12 / 67

Khái niệm định thức

Tính chất của định thức

n (cid:88)

detA = = aijAij

j=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

13 / 67

a11 . . . a1j ... ... . . . ai1 . . . aij ... ... . . . an1 . . . anj . . . a1n ... . . . . . . ain ... . . . . . . ann Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng bất kỳ. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khái niệm định thức

Tính chất của định thức

Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 cột bất kỳ.

n (cid:88)

detA = = aijAij

i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

14 / 67

Khái niệm định thức

Tính chất của định thức

Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt.

 

Tính định thức detA với A =  

1 2 3 0 2 0 3 1 5

Giải. Khai triển theo hàng 2:

|A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 1 3 3 5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

15 / 67

= 2(1.5 − 3.3) = −8.

Khái niệm định thức

Tính chất của định thức

 

Tính định thức detA với A =  

1 2 3 2 1 0 3 1 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

16 / 67

3.(−1)1+3 = 3(2.1 − 1.3) = −3. Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 2 1 3 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khái niệm định thức

Tính chất của định thức

=

= a11.(−1)1+1.

a11 a12 a22 0 ... ... 0 0

a22 a23 a33 0 ... ... 0 0

. . . a1n . . . a2n ... . . . . . . ann

. . . a2n . . . a3n ... . . . . . . ann

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

17 / 67

Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = . . . = a11.a22. . . . ann.

Khái niệm định thức

Tính chất của định thức

=

= a11.(−1)1+1.

0 a11 a21 a22 ... ... an1 am2

0 0 0 . . . ... . . . . . . ann

0 a22 a32 a33 ... ... an2 an3

0 0 0 . . . ... . . . . . . ann

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

18 / 67

Khai triển định thức theo hàng 1 ta được (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = . . . = a11.a22. . . . ann

Khái niệm định thức

Tính chất của định thức

Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA.

Ví dụ

  

Cho A =    ⇒ AT =   . Khi

1 3 5 2 4 6 2 1 8 1 2 2 3 4 1 5 6 8

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

19 / 67

đó detAT = detA = −16

Khái niệm định thức

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức

1 Nếu A

hi ↔hj (ci ↔cj ) −−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) −−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với

2 Nếu A λ (cid:54)= 0.

3 Nếu A

hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) −−−−−−−−−−−−−→ B thì

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

20 / 67

detB = detA, ∀λ ∈ K

Khái niệm định thức

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức

Hệ quả

1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì

định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do

hi ↔hj (ci ↔cj ) −−−−−−−→ A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột

A giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0.

2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì

định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do

hi →λhi (ci →λci ) −−−−−−−−→ B với λ (cid:54)= 0 là tỉ số đồng dạng, nên

A detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0.

3 Định thức của ma trận sơ cấp khác không.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

21 / 67

Khái niệm định thức

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức

Ví dụ

Tính định thức

2 3 −5 4 5 2 −4

5 3 −4 4 2 3 −2 3 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

3 −4

h2→h2−h1 ====== h4→h4+2h1

h1→h1−2h2 ====== h3→h3−5h2

2 3 −5 4 5 2 −4

5 2 6 −1 1 −8 3 −2 4 5 8 −3 13 0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khai triển theo cột 1 ======

1.(−1)2+1.

=

19 −16 44 −27 8 −3

7 3 13

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 19 −16 1 −8 0 44 −27 8 −3 0

7 6 −1 3 13

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

5 3 −4 2 4 3 −2 3 5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

22 / 67

= −2858. ĐỊNH THỨC

Khái niệm định thức

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức

Ví dụ

Tính định thức

a a a x a a a x a a x a a a a x

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

c1→c1+c2+c3+c4 ======

cột 1 ======

a a a x a a a x a a a x a a a x

x + 3a a a a a a x + 3a x a x + 3a a x x + 3a a a x

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

a

(x+3a)

h2→h2−h1 h3→h3−h1 h4→h4−h1 ==== (x+3a)

=

1 a a a a a 1 x 1 a x a 1 a a x

1 0 x − a 0 0

0 0

a 0 x − a 0

a 0 0 x − a

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= (x + 3a)(x − a)3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

23 / 67

Khái niệm định thức

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức

Định lý

Giả sử









A =

=

       

       

       

       

A1∗ A2∗ ... λBi∗ + µCi∗ ... An∗

A1∗ A2∗ ... Ai∗ ... An∗

thì









detA = λ.det

+ µ.det

       

       

       

       

A1∗ A2∗ ... Bi∗ ... An∗

A1∗ A2∗ ... Ci∗ ... An∗

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

24 / 67

Khái niệm định thức

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức

Ví dụ

Tính định thức

a + x x x

x b + x x

x x c + x

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

x

0 =

x x b + x x

x

a x b + x x

x

a + x x x

x b + x x

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) + (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 =

+

=

x x x

a x b + x x

x

0 x c + x

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

x x c + x (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

x x c + x (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 x c + x (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 +

=

x x 0 b x x

x 0 c + x

a x b + x x

x

0 x c + x

x x c + x (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

x x 0 b x x (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

x 0 c + x (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

bcx + a(bc + bx + cx) = abc + (ab + bc + ca)x. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

25 / 67

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

và được gọi

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

26 / 67

Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ). Chọn k hàng và k cột tùy ý trong ma trận A i1, i2, . . . , ik và j1, j2, . . . , jk. Định thức của ma trận thu được từ A bởi các phần tử nằm ở phần giao của k hàng và k cột (1 (cid:54) k (cid:54) n) được ký hiệu là mj1j2...jk i1i2...ik là định thức con cấp k của A.

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

Ví dụ

 

. Cho ma trận vuông cấp 5 A =

            1 2 3 0 2 4 2 3 1 1 2 0 5 0 3 4 1 7 2 0 8 0 4 1 6

Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4, lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 4. Lúc này m1,4

2,4 =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

27 / 67

4 1 4 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

và được ký hiệu là

. Định nghĩa Định thức con cấp (n − k) của A nhận được bằng việc xóa đi k hàng và k cột của A được gọi là định thức con bù của mj1j2...jk i1i2...ik M j1j2...jk i1i2...ik

= 36 Theo ví dụ trên thì M 1,4

2,4 =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

28 / 67

2 3 2 0 5 3 0 4 6 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

= (−1)i1+i2+...+ik +j1+j2+...+jk M j1j2...jk i1i2...ik

Định nghĩa Số Aj1j2...jk i1i2...ik được gọi là bù đại số của mj1j2...jk i1i2...ik

Theo ví dụ trên thì

= −36 A1,4 2,4 = (−1)2+4+1+4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

29 / 67

2 3 2 0 5 3 0 4 6 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

Định lý Laplace Định thức của ma trận A bằng tổng các tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (khai triển theo k hàng) (hoặc k cột - khai triển theo k cột) với bù đại số tương ứng của nó.

C k n(cid:88)

detA = mj1j2...jk i1i2...ik .Aj1j2...jk i1i2...ik

1

Chú ý. Khi tính định thức ta nên khai triển định thức theo

k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

30 / 67

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức

1 Chọn k hànghoặc k cột nào đó có càng nhiều

2 Tính tất cả các định thức con cấp k thu được n định thức

số 0 càng tốt để khai triển.

3 Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các

từ k hàng đã chọn. Tổng cộng có C k con theo k hàng đã chọn này.

4 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số tương ứng của chúng.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

31 / 67

định thức con cấp k ở bước 2.

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

Ví dụ

Tính định thức D =

2 1 3 5 0 2 0 4 3 1 5 0 6 3 0 6 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4. Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 2.Lúc này m1,2

, A1,2

2,4 =

2,4 = (−1)2+4+1+2

0 2 6 3

3 5 5 0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 3. Lúc này m1,3

, A1,3

2,4 = (−1)2+4+1+3

2,4 =

1 5 1 0

0 0 6 0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

32 / 67

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

, , A1,4

2,4 =

2,4 = (−1)2+4+1+4

, m2,3 , A2,3

2,4 =

2,4 = (−1)2+4+2+3

, , A2,4 m2,4

2,4 =

2,4 = (−1)2+4+2+4

, A3,4 m3,4

2,4 = (−1)2+4+3+4

2,4 =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

33 / 67

Làm tương tự ta được 0 4 m1,4 6 6 2 0 3 0 2 4 3 6 0 4 0 6 1 3 1 5 2 5 3 0 2 3 3 5 2 1 3 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

2,4.A1,2

2,4 + m1,3

2,4 +

2,4 + m2,4

2,4 + m2,3

2,4.A2,4

2,4.A2,3

2,4.A1,4

2,4.A1,3 2,4 =

2,4.A3,4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

34 / 67

Như vậy, ta được detA = m1,2 m1,4 2,4 + m3,4 −12.25 + (−24).(−2) + 0.1 = −252.

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

Ví dụ

Tính định thức D =

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 0 1 3 0 2 0 2 0 4 0 2 0 1 0 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 1

Ta thấy hàng 1, 3, 4 có nhiều số 0 nên khai triển định thức theo 3

hàng này. Tồn tại C 3

1 định thức con cấp 3 khác không m1,3,5

= 1.

1,3,4 =

1 1 1 3 2 2 4 2 1

6 định thức con cấp 3 từ 3 hàng này nhưng chỉ có (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

35 / 67

Khái niệm định thức

Định lý Laplace

.(−1)1+3+4+1+3+5. = 6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

36 / 67

Do đó D (cid:12) 1 1 1 (cid:12) (cid:12) 3 2 2 (cid:12) (cid:12) 4 2 1 (cid:12) Khai triển theo hàng 1, 3, 4 =============== (cid:12) 3 1 1 (cid:12) (cid:12) 2 3 2 (cid:12) (cid:12) 1 3 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khái niệm định thức

Định thức của tích 2 ma trận vuông

Định lý Cho A, B ∈ Mn(K ) thì khi đó

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

37 / 67

det(AB) = detA.detB.

Khái niệm định thức

Định thức của tích 2 ma trận vuông

Ví dụ

   

A =  , B =   

9 8 7 4 −3 6 −1 3 2



AB =  

3 2 1 4 −2 6 9 8 2  12 8 30 14 50 42 37 10 93

Ta có

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

38 / 67

det(A).det(B) = (−6).(−246) = det(AB) = 1476

Khái niệm định thức

Định thức của tích 2 ma trận vuông

Hệ quả Cho A, B ∈ Mn(K ) 1 det(Ak) = (detA)k. Thật vậy,

) = det(Ak) = det(A.A . . . A (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) k lần

= (detA)k.

2 det(αAB) = αn.detA.detB.

detA.detA . . . detA (cid:125) (cid:123)(cid:122) (cid:124) k lần

detA.detB

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

39 / 67

Thật vậy, det(αAB) = det(αA).detB = α.α . . . α (cid:125) (cid:123)(cid:122) (cid:124) n lần

Khái niệm định thức

Định thức của tích 2 ma trận vuông

Ví dụ Tính định thức của ma trận X thỏa mãn    

  X =  

1 1 1 1 2 −1 2 3 5

⇒ Ta có .detX =

1 2 1 0 1 4 0 0 1 1 1 1 1 2 −1 2 3 5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 2 1 0 1 4 0 0 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

40 / 67

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1.detX = 3 ⇒ detX = 3.

Khái niệm định thức

Định thức của tích 2 ma trận vuông

Ví dụ



Cho A =    . Tính det(A2011).

−1 0 0 1 0 2 3 1 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

41 / 67

Ta có det(A2011) = (detA)2011 = (−1)2011 = −1.

Khái niệm định thức

Định thức của tích 2 ma trận vuông

Ví dụ

   

Cho A =   , B =   .

3 −2 6 4 1 0 1 0 0 0 −1 0 5 2 0 1 −2 7

Tính det(2AB).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

42 / 67

Ta có det(2AB) = 23.detA.detB = 8.3.(−2) = −48.

Khái niệm định thức

Định thức của tích 2 ma trận vuông

Ví dụ

   

Cho A =   , B =   .

1 1 2 0 2 −1 3 0 0 2 3 −1 0 3 1 0 0 −1

Tính det(A + B).  

Ta có A + B =   ⇒ det(A + B) = 30.

3 5 0 0 5 0 0 0 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

43 / 67

Chú ý. Nói chung det(A + B) (cid:54)= detA + detB. Vì detA = 6, detB = −6 ⇒ detA + detB = 0.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Ma trận phụ hợp

Ma trận phụ hợp

Định nghĩa

Cho A = (aij ) ∈ Mn(K ), Aij là bù đại số của aij . Khi đó ta gọi ma trận





=

PA =

     

     

A11 ... A1j ... A1n

. . . Ai1 ... . . . . . . Aij ... . . . . . . Ain

. . . An1 ... . . . . . . Anj ... . . . . . . Ann

A11 ... Ai1 ... An1

. . . A1j ... . . . . . . Aij ... . . . . . . Anj

. . . A1n ... . . . . . . Ain ... . . . . . . Ann

là ma trận phụ hợp của ma trận A.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

44 / 67

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Ma trận phụ hợp

Ví dụ

 

Cho ma trận A =  . Tìm PA. 

1 2 3 3 4 2 5 3 −1

,

A11 = (−1)1+1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

,

A13 = (−1)1+3

, A12 = (−1)1+2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

,

A22 = (−1)2+2

, A23 = (−1)2+3

4 2 3 −1 (cid:12) 3 4 (cid:12) (cid:12) 5 3 (cid:12) 1 2 5 −1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

, A21 = (−1)2+1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) 3 2 (cid:12) (cid:12) 5 −1 (cid:12) (cid:12) 3 1 (cid:12) (cid:12) 3 −1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 5 3 (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

45 / 67

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Ma trận phụ hợp

, A31 = (−1)3+1 , A32 = (−1)3+2 2 1 3 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

. A33 = (−1)3+3 3 1 4 2 2 3 3 4 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Vậy



T 

  −10 13 −11

= PA =     .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

46 / 67

6 −7 9 2 −1 −1 −10 2 6 13 −7 −1 9 −1 −11

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Định lý Cho A là ma trận vuông. det(A) (cid:54)= 0 ⇔ A khả nghịch và

A−1 = .PA. 1 detA





1 detA.

     

     

a11 ... ai1 ... an1

. . . a1j ... . . . . . . aij ... . . . . . . anj

. . . a1n ... . . . . . . ain ... . . . . . . ann

1 detA.PA.A =  A11 ... A1j ... A1n

. . . Ai1 ... . . . . . . Aij ... . . . . . . Ain

. . . An1 ... . . . . . . Anj ... . . . . . . Ann

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

47 / 67

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

... ... = 0

... ...

a12 a12 . . . a1j a22 a22 . . . a2j ... . . . ai2 ai2 . . . aij ... . . . an2 an2 . . . anj (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

48 / 67

Xét ma trận tích thu được tại hàng thứ nhất. A11a11 + . . . + Ai1ai1 + . . . + An1an1 = det(A) A11a12 + . . . + Ai1ai2 + . . . + An1an2 = 0 vì (cid:12) . . . a1n (cid:12) (cid:12) (cid:12) . . . a2n (cid:12) ... (cid:12) (cid:12) (cid:12) . . . ain (cid:12) ... (cid:12) (cid:12) (cid:12) . . . ann (cid:12) Xét tương tự tại những hàng còn lại của ma trận tích thu được.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Vậy 

1 detA.PA.A = 

. = 1 detA 0 ... 0 ...             ... 0 ... 0

 . . . detA . . . 0 ... . . . . . . . . . detA . . . ... . . . . . . . . . . . . detA 0 

. . . . . .

ĐỊNH THỨC

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

49 / 67

. . . . . .             1 . . . 0 . . . 0 ... ... ... 0 . . . 1 . . . 0 ... ... ... 0 . . . 0 . . . 1

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Các bước tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức

 

3 Bước 3. A−1 =

PA = , 

1 Bước 1. Tính detA : kiểm tra tính khả nghịch. 2 Bước 2. Tìm ma trận phụ hợp A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 với Aij = (−1)i+jMij. 1 detA

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

50 / 67

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Ví dụ

 

Tìm ma trận nghịch đảo của A =  

7 5 2 6 4 3 5 −2 −3

Ta có detA = −1 (cid:54)= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là

  

T 

= PA =   .  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

51 / 67

−1 38 −41 −27 1 −1 34 29 −24 −1 1 −41 −1 38 −27 29 34 −24

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Vậy  

A−1 = .PA = (−1).   = 1 detA −1 38 −41 −27 1 −1 34 29 −24

  1 −1 1

=  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

52 / 67

−38 27 −29 41 −34 24

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Tính chất của ma trận khả nghịch

Định lý Nếu ma trận A khả nghịch có nghĩa là tồn tại B sao cho BA = I thì AB = I

Nếu BA = I thì det(B)det(A) = 1 ⇒ det(B) (cid:54)= 0 nên tồn tại B −1. Vì BA = I ⇒ B −1.BA.B = B −1.I .B = = (B −1.I ).B = B −1.B = I .

Mặt khác

B −1.BA.B = (B −1.B)A.B = AB

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

53 / 67

Vậy AB = I

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Tính chất của ma trận khả nghịch

Định lý Nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo là duy nhất.

Giả sử A có 2 ma trận nghịch đảo B, C . Khi đó

BAC = (BA)C = IC = C

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

54 / 67

BAC = B(AC ) = BI = B

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Tính chất của ma trận khả nghịch

1 det(A−1) =

. Thật vậy, 1 detA

2 det(PA) = (detA)n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1) = (detA)n−1.

3 Nếu A không suy biến thì A−1, AT cũng không (AT )−1 = (A−1)T .

A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

55 / 67

suy biến và (A−1)−1 = A, Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I .

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Tính chất của ma trận khả nghịch

1 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy

biến và (AB)−1 = B −1A−1. Thật vậy, (AB).(B −1A−1) = A(B.B −1)A−1 = A.A−1 = I (B −1A−1).(AB) = B −1(A−1.A)B = B −1B = I

=

.

(AB)−1 = B −1A−1 ⇒

2 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB.PA. Thật vậy, PAB detAB

PB detB

A−1.

1 α

PA detA 3 Nếu A không suy biến, α (cid:54)= 0 thì (αA)−1 = (cid:19)

(cid:19)

= I =

.(αA)

A−1

Thật vậy, (αA).

(cid:18) 1 α

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

56 / 67

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Phương trình ở dạng ma trận

1 Cho A ∈ Mn(K ), detA (cid:54)= 0 và B ∈ Mn×p(K ). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B.

2 Cho A ∈ Mn(K ), detA (cid:54)= 0 và B ∈ Mp×n(K ). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1.

3 A ∈ Mn(K ), detA (cid:54)= 0, B ∈ Mm(K ), detB (cid:54)= 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

57 / 67

và C ∈ Mn×m(K ). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB −1.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Phương trình ở dạng ma trận

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

58 / 67

Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA (cid:54)= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB (cid:54)= 0 thì A = 0.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Phương trình ở dạng ma trận

Ví dụ Giải phương trình ma trận    

  X =  

−1

0 −8 3 1 −5 9 8 3 2 −25 23 −30 −36 −2 −26 −16 −26 7









X =

.







 =

0 −8 3 1 −5 9 8 3 2

−25 23 −30 −36 −2 −26 −16 −26

7 



=





7 5 1 2 −4 3 −3 −3 −2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

59 / 67

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Phương trình ở dạng ma trận

(cid:19)

X . = Ví dụ Giải phương trình ma trận (cid:18) −1 2 (cid:19) −5 6 (cid:18) 3 −2 5 −4

Giải.

(cid:19) (cid:19) (cid:19)−1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

60 / 67

. X = = (cid:18) 3 −2 5 −4 (cid:18) −1 2 −5 6 (cid:18) 3 −2 5 −4

Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Phương trình ở dạng ma trận

(cid:19) (cid:19) (cid:19)

.X . = Ví dụ Giải phương trình ma trận (cid:18) 3 −1 5 −2 (cid:18) 5 6 7 8 (cid:18) 14 16 9 10

Giải.

(cid:19)−1 (cid:19) (cid:19)−1

. . X = = (cid:18) 3 −1 5 −2 (cid:18) 14 16 9 10 (cid:18) 5 6 7 8

(cid:19)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

61 / 67

= (cid:18) 1 2 3 4

Thực hành MatLab

Các lệnh cơ bản

Thực hành MatLab

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

62 / 67

Tính định thức: det(A) Ma trận nghịch đảo: Aˆ(−1) hoặc inv (A) Chia phải: A/B ⇔ A.inv (B) Chia trái: A\B ⇔ inv (A).B

Thực hành MatLab

Truy xuất các phần tử của ma trận

1 Truy xuất phần tử tại dòng i, cột j của ma trận

2 Truy xuất đường chéo chính của ma trận vuông

A: A(i, j)

3 Truy xuất tất cả các phần tử tại dòng i của ma

A: diag (A)

4 Truy xuất tất cả các phần tử tại cột j của ma

trận A: A(i, :)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

63 / 67

trận A: A(:, j)

Thực hành MatLab

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

Nhập vào ma trận A và ma trận đơn vị I

   

A = , I =

                4 1 2 3 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

64 / 67

>> B = [A I ]

Thực hành MatLab

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

 

B =

        4 1 0 0 0 1 2 3 2 5 4 7 0 1 0 0 3 7 8 12 0 0 1 0 4 8 14 19 0 0 0 1

>> C =rref(B) ⇒   7 −9

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

65 / 67

        1 0 0 0 10 0 1 0 0 −2 −3 1 −3 0 0 1 0 0 0 0 1 −2 1 4 −1 3 −1 1 2 −2

Thực hành MatLab

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

>> [C (:, 5) C (:, 6) C (:, 7) C (:, 8)]

  7 −9

⇒

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

66 / 67

        10 −2 −3 1 −3 −2 1 4 −1 3 −1 1 2 −2

Thực hành MatLab

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỊNH THỨC

TP. HCM — 2013.

67 / 67

THANK YOU FOR ATTENTION

Bài giảng Định thức - TS. Lê Xuân Đại

Bài giảng "Định thức" do TS. Lê Xuân Đại biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm định thức, tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức, thực hành MatLab. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Thực hành hóa học cơ bản

ĐỊNH THỨC Bài giảng điện tử

Bài toán thực tế - Tính diện tích tam giác

Tính thể tích của hình lăng trụ

Nội dung

Định nghĩa định thức

a1(j−1) ...

a1j ...

a1(j+1) ...

a1n ...

|A| =

aij

ain

ai(j−1)

ai(j+1)

. . . . . . . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) . . . . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) . . . . . .

. . . . . . . . . a(i−1)n . . . . . . a(i+1)n . . . . . .

a11 ... a(i−1)1 ai1 a(i+1)1 ... an1

... anj

... ann

... an)(j−1)

... an(j+1)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)n×n

a1(j−1) ...

a1(j+1) ...

a1n ...

. . . . . . . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) . . . . . .

. . . . . . . . . a(i−1)n . . . a(i+1)n . . . . . .

... ann

... an(j−1)

... an(j+1)

Mij = (cid:12) a11 (cid:12) (cid:12) ... (cid:12) (cid:12) (cid:12) a(i−1)1 (cid:12) (cid:12) a(i+1)1 (cid:12) ... (cid:12) (cid:12) (cid:12) an1 (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(n−1)×(n−1)

n (cid:88)

j=1

n (cid:88)

j=1

(cid:19)

⇒ |A| =

(cid:18) a11 a12 a21 a22

(−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21.





 ⇒ |A| =



a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

+

+ (−1)1+2a12

a21 a23 a31 a33

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

.

(−1)1+3a13

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a21 a22 a31 a32

= (−1)1+1a11 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

a22 a23 a32 a33 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Giải. Khai triển theo hàng 1: |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13.

= 2.5 − 1.1 = 9,

A11 = (−1)1+1

= −(4.5 − 1.3) = −17,

A12 = (−1)1+2

= 4.1 − 2.3 = −2.

A13 = (−1)1+3

2 1 1 5 4 1 3 5 4 2 3 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31.

Tính chất của định thức

n (cid:88)

j=1

n (cid:88)

i=1

=

= a11.(−1)1+1.

a11 a12 a22 0 ... ... 0 0

a22 a23 a33 0 ... ... 0 0

. . . a1n . . . a2n ... . . . . . . ann