CH NG IV: TÍCH PHÂN M TƯƠ Ặ
§1. TÍCH PHÂN M T LO I 1Ặ Ạ
§1. TÍCH PHÂN M T LO I 2Ặ Ạ
Tích phân m t lo i 1ặ ạ
Đ nh nghĩaị : Cho hàm f(x,y,z) trên m t S. Chia S ặ
thành n ph n tùy ý không d m lên nhau.ầ ẫ G i tên và ọ
di n tích c a m i m t đó là ệ ủ ỗ ặ ΔSk, k=1, 2, .. , n . Trên
m i m nh đó ta l y 1 đi m ỗ ả ấ ể Mk tùy ý và l p t ng ậ ổ
1
( )
n
n k k
k
S f M S
=
=D
￥
Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đ ng kính c a ườ ủ
m nh Sảk), n u t ng trên d n đ n 1 gi i h n h u ế ổ ầ ế ớ ạ ử
h n thì ta g i đó là tp m t lo i 1 c a hàm f(x,y,z) ạ ọ ặ ạ ủ
trên m t S, kí hi u là ặ ệ
max( ) 0 1
( , , ) lim ( )
k
n
k k
d S k
S
f x y z ds f M S
￥D=
=D
￥
��
Tích phân m t lo i 1ặ ạ
Tính ch tấ :
Di n tích m t S đ c tính b i ệ ặ ượ ở
S
S ds=��
( )
S S S
f g ds fds gds
l m l m
+ = +
�� �� ��
N u m t S đ c chia thành 2 m t không d m lên ế ặ ượ ặ ẫ
nhau là S1 và S2 thì
1 2
S S S
fds fds fds= +
�� �� ��
Tích phân m t lo i 1ặ ạ
Cách tính:
2 2
( , , ) ( , , ( , )) 1
xy
x y
S D
f x y z ds f x y z x y z z dxdy
￥ ￥
= + +
�� ��
Trong đó :
Dxy là hình chi u c a S xu ng m t ph ng Oxy (ế ủ ố ặ ẳ z=0)
T pt m t S là F(x,y,z)=0 ta rút ra ừ ặ z theo x, y đ ể
đ c z=z(x,y)ượ
Bi u th c ể ứ 2 2
1x y
z z dxdy ds
￥ ￥
+ + = đ c g i là vi ượ ọ
phân c a m t Sủ ặ
Tích phân m t lo i 1ặ ạ
Ví d 1: Tính tích phân Iụ1 trên m t S là ph n m t nón ặ ầ ặ
z2=x2+y2 v i 0≤z≤1 c a hàm f(x,y,z)=x+y+zớ ủ
Hình chi u c a S xu ng mp z=0 là ế ủ ố Dxy : 0≤x2+y2≤1
Pt m t S (z d ng)ặ ươ 2 2
z x y= +
2 2
2 2
x
y
x
z
x y
y
z
x y
￥
￥￥
￥=
￥
￥+
￥
￥
￥
￥
￥￥=
￥
￥+
￥
￥
￥
→
Suy ra: 2ds dxdy=V y: ậ
2 2
1( ) ( ) 2
xy
S D
I x y z ds x y x y dxdy= + + = + + +
�� ��
