KHẢO SÁT HÀM SỐ
HÀM SỐ y = f(x)
1. Khảo sát sự biến thiên, cực trị.
2. Khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn.
3. Khảo sát tiệm cận.
4. Vẽ đồ thị.
SỰ BiẾN THIÊN
(cid:0) (cid:0) (cid:0) f(x) tăng (giảm) trong (a,b)
f(x1) (cid:0) (a,b), x1 Bỏ dấu “ = “ : tăng (tăng chặt) f khả vi trong (a,b): •f tăng trong (a,b) (cid:0) f’(x) (cid:0) 0, (cid:0) x (cid:0) (a,b) •f tăng chặt trong (a,b) (cid:0) f’(x) > 0, (cid:0) x (cid:0) (a,b) (Giảm được thay bởi (cid:0) và <.) CỰC TRỊ x0 là điểm cực đại của f (cid:0) Tương tự
cho cực tiểu (a,b) (cid:0) (a,b)(cid:0) x0: f(x) (cid:0) f(x0), (cid:0) x (cid:0) Điều kiện cần: f ñaït cöïc trò taïi x0 , neáu f coù ñaïo
haøm taïi x0 thì f’(x0) = 0. (ñieåm cöïc trò laø ñieåm
tôùi haïn).
Điều kiện đủ: f lieân tuïc taïi x0 , khaû vi trong laân
caän x0 (khoâng caàn kvi taïi x0), neáu khi ñi qua x0 •f’ ñoåi daáu töø (+) sang () thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0. •f’ ñoåi daáu töø () sang (+) thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. TÌM CỰC TRỊ NHỜ ĐẠO HÀM CẤP CAO f đạt cực tiểu chặt x0 f’(x0) = 0: f’’(x0) > 0 (cid:0)
f’’(x0) < 0 (cid:0) f đạt cực đại chặt tại x0. (cid:0) 0 f’(x0) = f’’(x0) = … = f(n-1)(x0) = 0, f(n)(x0) (cid:0) f(n)(x0) > 0 : CT Nếu n chẵn thì f đạt cực trị tại x0: f(n)(x0) < 0 : CĐ Nếu n lẻ thì f không đạt cực trị tại x0 2 3 = + Vídụ x x f x
( ) ( 1)( 2) +
2 - Tìm cực trị: x +
x 2) 2( 1)( 2) = f x
'( ) 1 (
3 3 + - - x 1)( 2) x
22
�
� - �
x
(
�
x
x
( 2) = - 3 – 1 và x (cid:0) + 22
� x 1)( 2) �
(cid:0) x
( (Với x (cid:0)
2) - = g x
( ) x x
( 2) - f’ cùng dấu tử số : 2 3 = + x x f x
( ) ( 1)( 2) = - g x
( ) x x
( 2) +(cid:0) - Bảng xét dấu + + + - (cid:0) - x
g x
( ) 1
| 0
0 2
0 - (cid:0) f’ cũng đổi dấu khi đi qua 0 và 2 f đạt cực đại tại x0 = 0 Kết luận: f đạt cực tiểu tại x1 = 2 Khoâng caàn xaùc ñònh f’(1), f’(2) (chæ caàn f
lieân tuïc taïi 2) +(cid:0) Nếu để bảng xét dấu cho f’ - (cid:0) - + + + x
f x
( ) 1
|| 0
0 2
|| (cid:0) - (cid:0) f liên tục tại 0, 2 và f’ đổi dấu khi đi qua 0 và 2 nên f đạt cực trị tại đây 2 = x x f x
( ) .ln Tìm cực trị: 0,+(cid:0) = + = + (cid:0) Miền xác định:
) x x f x 2ln 2ln x x ln ln 2 = = = - (cid:0) � x f x x 0 ln �
0 ln 2 = � �
x e =
1x - 2
f (cid:0) = >
(1) 2 0 x (cid:0) Cực tiểu = + (cid:0) (cid:0) x f 2ln
x 2
x 2 = < f e ( ) 0 2
2 e - - (cid:0) (cid:0) Cực đại - Hoặc: lập bảng xét dấu = + (cid:0) x f x x ln ln 2 2 +(cid:0) x e 0 1 - + + f x
( ) 0 0 (cid:0) - CĐ CT 3 = + - ( x +
x f x
( ) 2 2 3 ) 2
1 Tìm cực trị: Miền xác định: R + 1 1/3 - = (cid:0) 2 x f = -
2 1/3 2
+ x
( x x �
�
�
� +(cid:0) x 1 0 TS - (cid:0) - MS
f (cid:0) 3 = + - ( x +
x f x
( ) 2 2 3 ) 2
1 Tìm cực trị: + 1 1/3 - = (cid:0) 2 x f = -
2 1/3 x
( Miền xác định: R
2
+ x x �
�
�
� +(cid:0) - (cid:0) - 1
| 0
+
0 x
TS
MS - - f (cid:0) 3 = + - ( x +
x f x
( ) 2 2 3 ) 2
1 Tìm cực trị: + 1 1/3 - = (cid:0) 2 x f = -
2 1/3 x
( Miền xác định: R
2
+ x x �
�
�
� +(cid:0) - (cid:0) - x
TS 1
| 0
+
0 + + - - MS 0 | - f (cid:0) 3 = + - ( x +
x f x
( ) 2 2 3 ) 2
1 Tìm cực trị: + 1 1/3 - = (cid:0) 2 x f = -
2 1/3 x
( Miền xác định: R
2
+ x x �
�
�
� +(cid:0) - (cid:0) - x
TS 1
| 0
+
0 + + - - MS 0 | - + + f || 0 (cid:0) - 3 x = f x
( ) Tìm cực trị: x 2 - Miền xác định: (cid:0) -(cid:0) < x (cid:0) 0, 2 < x < + 2 (cid:0) x 3)
2 - (
x x
( = = - y x ' ( 3) 2)
3 3
x
� �
� �-� �
x
2 x 2 - x 2 - Kết luận: đi qua x = 3, y’ đổi dấu từ (-) sang (+) nên y đạt cực tiểu tại x = 3. 1
2 - (cid:0) 0 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x
( ) Tìm cực trị: = x
,
x xxe
0, 0 (cid:0) (cid:0) 1
2
x - = + > f x
'( ) 0 (x (cid:0) 0) 2
� �
e
1
� �
2
x
� � f’ không đổi dấu khi qua bất kỳ điểm nào trên
toàn bộ MXĐ nên không có cực trị. = (cid:0) TiỆM CẬN y = f(x) f x
lim ( )
x x 0 = (cid:0) Tiệm cận đứng x = x0 (cid:0) a x f x
lim ( )
( ) = (cid:0) = Tiệm cận ngang y = a (cid:0) (cid:0) (cid:0) , ax b a
, =
] - x f x
lim ( )
( ) x x lim
(
) f x
lim [ ( )
( ) f x
( )
x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Tiệm cận xiên y = ax + b (cid:0) (x), (cid:0) (cid:0) (x) là VCB khi (cid:0) Nếu viết được f(x) = ax + b + (cid:0)
x(cid:0)
thì TCX là y = ax + b Các bước tìm tiệm cận: 1.Tìm miền xác định của hàm số. 2.Tìm TC đứng tại các điểm ngoài MXĐ nhưng dính vào MXĐ 3.Nếu MXĐ có (±)(cid:0) , xét limf(x) từng trường hợp để xét TC ngang và TC xiên + x ) + = x 2 1 f x
( ) ln(1
x - Tìm tiệm cận hàm số: Miền xác định: (cid:0) ((cid:0) 1, + (cid:0) )\ {0} x(cid:0) – 1+ : f(x) (cid:0) +(cid:0) : TCĐ x = -1 : f(x) (cid:0) + (cid:0) +(cid:0) x ) x a = x(cid:0) +(cid:0) +(cid:0) : có thể có TCX x
( ) 0 ln(1
x = a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x f x
( ) 2 - +
1 x
( ) (cid:0) TCX : y =2x – 1 3 x = f x
( ) Tìm tiệm cận hàm số: - x
2
0, 2 < x < + (cid:0) Miền xác định: (cid:0) -(cid:0) < x (cid:0) x(cid:0) 2 + : f(x) (cid:0) +(cid:0) : TCĐ x = 2 : f(x) (cid:0) 3 x = (cid:0) x(cid:0) (cid:0) +(cid:0) : có thể có TCX 1 (cid:0) (cid:0) 1
x x 2 (cid:0)
x f x
( )
x (cid:0) (cid:0) - {a = 1, x(cid:0) +(cid:0) }, {a = -1, x(cid:0) -(cid:0) } 3 x x(cid:0) +(cid:0) (a = 1) - = x x - lim
(cid:0) +(cid:0)
x x 2 �
�
�
� �
�
�
� x 2 = - + x 1 x 1 1 - - lim
(cid:0) +(cid:0)
x lim
(cid:0) +(cid:0)
x x 2 x 2 �
�
� �
=
�
� �
�
� �
�
� = = x 1 - - lim
(cid:0) +(cid:0)
x 1 2
x
2 2 - TCX y = x + 1 3 x + x(cid:0) – (cid:0) (a = (cid:0) (cid:0) 1) = + x x (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) lim
x x 2 �
�
�
� �
�
�
� x 2 = - x 1 x +
1 1 - - lim
x lim
x x +
2 x +
2 �
�
� �
=
�
� �
�
� �
�
� = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - - x 1 - lim
x 2 1 2
�
�
= -
�-�
�
x
2
� (cid:0) - (cid:0) TCX y = – x – 1 3 x x 2 Có thể tìm tiệm cận xiên bằng khai triển Taylor = = = + x x f x
( ) 1 x(cid:0) +(cid:0) x x x 2 2 2 1 = + x 0( ) - - - x 1 2
x
2 2 2 �
+
1
�
� �
�
� x 1 = +
x + (cid:0)
x 0( ) - - x x 2 2 - - Khai triển đến khi f(x) xuất hiện VCB (khi x→(cid:0) ) x 1 = +
x + (cid:0)
x 0( ) x x 2 2 2 1 = + + x + (cid:0)
x 1 0( ) - - x x 2 2 = + + a x 1 x
( ), 2 1 = - - + (cid:0)
x x
( ) 0( ) 0 a
��
v i (cid:0) +(cid:0) (cid:0) x x x 2 2 - - (cid:0) TCX: y = x+1 1 = x x
e -
x f x
( ) ( 1) - Tìm tiệm cận hàm số: 1
x 1
x 1 = =
1 x +
1
e e ( 1) e x
( 1) - - - - MXÑ: R\{1} 1 x(cid:0) 1- : (cid:0) - (cid:0) 1
-x
f x
( ) 0 +(cid:0) (cid:0) không có tiệm cận đứng 1 +(cid:0) (cid:0) x(cid:0) 1+ : 1
-x
f x (cid:0)
( ) TCÑ x = 1 1
x 1 = e f x
( ) e x
( 1) - - (cid:0) (cid:0) x(cid:0) (cid:0) : f(x) (cid:0) (cid:0) : có thể có TCX. x 1 1
x 1 = a= e e e - - (cid:0) x f x
( )
x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1
x 1 = e x e x e ex f x
( ) ( )
1 x - - - - 1
x x 1 1 = b= - =
e e e 0 ex e
( 1) - - (cid:0) - - x (cid:0) (cid:0) (cid:0) TCX: y = ex Tìm TCX bằng khai triển Taylor 1
x 1 = e f x
( ) e x
( 1) 1 = - - o e x
( - x �
+
1) 1
�
� = a - - o +
ex x 1
�� �
+ � �
�
-� �
x
1
1
�
1
� �
=
� �-� �
x
1 TCX: y = ex 3 Vẽ đồ thị x = = y f x
( ) < x (cid:0) = MXĐ: (cid:0) -(cid:0)
0, 2 < x < + (cid:0) - y x ' ( 3) - x
2
3
x
� �
� �-� �
x
2
+(cid:0) Tiệm cận: x(cid:0) 2 + : f(x) (cid:0) : TCĐ x = 2 x(cid:0) +(cid:0) : TCX y = x + 1 x(cid:0) -(cid:0) : TCX y = -x - 1 = y x ' ( 3) +(cid:0) - 0 2 3
x
� �
� �-� �
x
2
3 + - (cid:0) ' 0 0 +(cid:0) +(cid:0) ] ] Z y 0 ||
+(cid:0)
|| 27 TCĐ
x=2 TCX
y=-x-1 TCX
y=x+1 - - Baûng bieán
thieân
x
y +(cid:0) + - (cid:0) x
y 0
0 ' 3
0 +(cid:0) +(cid:0) ] ] Z y 0 2 7 TCX
y=x+1 2
|
|
+(cid:0)
||
TCĐ
x=2 TCX
y=-x-1 - - +(cid:0) + - (cid:0) x
y 0
0 ' 3
0 +(cid:0) +(cid:0) ] ] Z y 0 2 7 TCX
y=x+1 2
|
|
+(cid:0)
||
TCĐ
x=2 TCX
y=-x-1 - - +(cid:0) + - (cid:0) x
y 0
0 ' 3
0 +(cid:0) +(cid:0) ] ] Z y 0 2 7 TCX
y=x+1 2
|
|
+(cid:0)
||
TCĐ
x=2 TCX
y=-x-1 - - +(cid:0) + - (cid:0) x
y 0
0 ' 3
0 +(cid:0) +(cid:0) ] ] Z y 0 2 7 TCX
y=x+1 2
|
|
+(cid:0)
||
TCĐ
x=2 TCX
y=-x-1 - - 2 3 = + x x f x
( ) ( 1)( 2) - Vẽ đồ thị hàm số x x
( 2) = f x
'( ) - 3 + TCX : y = x – 1, x(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1)( 2) �
x
(
� 22
�
� +(cid:0) - x 1 0 2 + + + - (cid:0) - y ' || 0 || 3 +(cid:0) - ] Z Z Z y 0 4 0 TT//oy TT//ox TT//oy TCX
y=x–1 TCX
y=x–1 - (cid:0) +(cid:0) - (cid:0) - x 1 0 2 3 + + + - y ' || 0 || +(cid:0) - (cid:0) ] Z Z Z y 0 4 0 +(cid:0) - (cid:0) - x 1 0 2 3 + + + - y ' || 0 || +(cid:0) - (cid:0) ] Z Z Z y 0 4 0 +(cid:0) - (cid:0) - x 1 0 2 3 + + + - y ' || 0 || +(cid:0) - (cid:0) ] Z Z Z y 0 4 0 +(cid:0) - (cid:0) - x 1 0 2 3 + + + - y ' || 0 || +(cid:0) - (cid:0) ] Z Z Z y 0 4 0 +(cid:0) - (cid:0) - x 1 0 2 3 + + + - y ' || 0 || +(cid:0) - (cid:0) ] Z Z Z y 0 4 0 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT Loại 1: tìm gtln, gtnn trên toàn miền xác đỊnh (cid:0) khảo sát hàm số Loại 2: tìm gtln, gtnn trên [a, b] B1: Tìm các điểm tới hạn trong (a, b) B2: so sánh giá trị của f tại các điểm tới hạn và f(a), f(b) để rút ra min, max. x VÍ DỤ x= f x
( ) 1/ Tìm gtln, gtnn MXĐ: (0, +(cid:0) ). e 0 + f’(x) = xx (lnx + 1)
+(cid:0) x
f x
'( ) - e 1 /
0
1/ +(cid:0) ] Z e f x
( ) 1 - Kết luận: gtln không có, gtnn là f(1/e) = e-1/e = f x
( ) arctan x
� �
� �+� �
2
x
1 2 2/ Tìm gtln, gtnn trên [0, 2]: = = (cid:0) - 0 f x
'( ) 2 4 1
+ + (cid:0) =�
x 1 x
x 3 1 (cid:0) (cid:0) < <
x 0 x
2 (cid:0) (1 điểm tới hạn) f(0) = 0, f(1) = arctan(1/2), f(2) = arctan (2/5) (cid:0) fmax = f(1) =arctan (1/2), fmin = f(0) = 0 + x x f x
( ) =
| | ( 2) 3/ Tìm gtln, gtnn trên [-3, 2]: x 0 = (cid:0) f x
( ) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) +
x x
(
+
x x
( 2 (cid:0) 0 = (cid:0) f x
'( ) x
+ - - (cid:0) 2
x 2), 3
< (cid:0)
x
2),0
- < <
x
2, 3
< <
x 2 2,0 2 (cid:0) Điểm phân chia biểu thức được xem là 1 điểm tới
hạn khi tìm min, max, không cần tính đạo hàm
f’(x) = 0 (cid:0) x = -1 (cid:0) (-3, 2) So sánh f(-3), f(-1), f(0), f(2) để tìm min, max = = x x t y
( ), y t
( ) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM THAM SỐ Tìm MXĐ và liên tục của x(t), y(t) •Xét tính tuần hoàn, đối xứng (khác y = f(x)) •Tính x’(t), y’(t) và lập bảng biến thiên. •Tìm tiệm cận(nếu có) •Vẽ đồ thị. CỰC TRỊ HÀM THAM SỐ x = x(t), y = y(t) •Bước 1: tính x’(t), y’(t) (cid:0) các giá trị đặc biệt t t
0 t
1 2 •Bước 2 : lập bảng biến thiên x x x ] ] ] Z Z 0 x
1 2 3 y y + + + Đi qua xj , y’(x)
đổi dấu thì y đạt
cực trị (theo x) tại
xj . Giá trị cực trị
là yj
t
3 t
x t
'( )
x t
( )
y t
'( )
y t
( )
y x
'( ) 0
|
CĐ y
1
|
K 2
|
K y
3
|
CT - - t = = x te ,t
te y - t = - Tìm cực trị t x t
'( ) t e
) 1 0 (cid:0) t y t
'( ) = +
(1
= -
(1 t e
) 1 =
t
1 - (cid:0) +(cid:0) - (cid:0) - t 1 1 + + - | x t
'( ) - 0
1 ] ZZ e x t
( ) e + + - y đạt cực đại
tại x = e (t=1),
ycđ = 1/e | 0 y t
'( ) - 1 ] Z Z e y t
( ) + - - || e
0 y x
'( ) 2 3 = x t t t 2 =
2
t y
, 2 - - Tìm cực trị t x 1 =
t
0 2 (cid:0) t y t = -
' 2 2
=
' 4 0, 4 / 3 =
2 - (cid:0) +(cid:0) - (cid:0) t
3
0
| =
t
1
1
0 + + - - 4 / 3
| ] Z 0 1 8 / 9 Z
+ ]
+ - - 0 | t
x t
'( )
x t
( )
y t
'( ) 0 32 ] ] ZZ 0 1 y t
( ) + + - - 0 || y x
'( ) 27
0 CT CÑ TiỆM CẬN HÀM THAM SỐ x = x(t), y = y(t) •Bước 1: tìm tìm tất cả các giá trị t0 sao cho
x(t)(cid:0)
) hay y(t) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (t0 có thể là (cid:0) •Bước 2: xác định loại TC x(t)(cid:0) a, y(t)(cid:0) (cid:0) : TC đứng x = a Khi t(cid:0) t0 x(t)(cid:0) (cid:0) , y(t)(cid:0) a: TC ngang y = a (cid:0) a TC xiên x(t)(cid:0) (cid:0) , y(t)(cid:0) (cid:0) , : y = ax + b - (cid:0) b y t
( )
x t
( )
y y
( ) ax t
( ) t = = - x te ,t
te y Tìm tiệm cận hs x(t) (cid:0) (cid:0) khi t (cid:0) +(cid:0) Bước 1: y(t) (cid:0) (cid:0) khi t (cid:0) -(cid:0) Bước 2: t(cid:0) + (cid:0) , x(t)(cid:0) + (cid:0) , y(t) (cid:0) 0: TCN :y = 0 t(cid:0) - (cid:0) , x(t)(cid:0) 0, y(t) (cid:0) - (cid:0) : TCĐ : x = 0 2 t t = = x t
( ) y t
, ( ) 2 Tìm tiệm cận hs t 1 t 1 - - (cid:0) x(t) (cid:0) (cid:0) khi t (cid:0) (cid:0) hay t (cid:0) 1 y(t) (cid:0) (cid:0) khi t (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) t (cid:0) (cid:0) : x(t) (cid:0) (cid:0) , y(t) (cid:0) 0 : TCN y = 0 t (cid:0) -1 : x(t) (cid:0) -1/2 , y(t) (cid:0) (cid:0) : TCĐ x = -1/2 2 t t = = x t
( ) y t
, ( ) 2 t 1 t
1
, y(t) (cid:0) - - t (cid:0) 1 : x(t) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t = - 2 2 (cid:0) * lim
t
1 lim
t
1 y t
( )
x t
( ) 1 1
=
2 t t 1 2 t (cid:0) (cid:0) - x t
( ) - - t t
t 1
2 2( 1) 1 �
y t
* lim ( )
�
�
1 �
�
=
lim
�
�
2
t
� �
t
1 �
�
� (cid:0) (cid:0) - - t 2 = - - t + -
t ( =
2) 2 (cid:0) lim
t
1 3
4 t 2( 1) (cid:0) - y 1
x=
2 3
4 - TCX VỀ TÍNH ĐỐI XỨNG TRONG ĐƯỜNG CONG THAM SỐ 1. x(t) chẵn, y(t) lẻ: đt đối xứng qua ox 2. x(t) lẻ, y(t) chẵn: đt đối xứng qua oy Chỉ ks
phần t (cid:0) 0 y(-t)=y(t) y(t) y(t) x(-t)= -x(t) x(t)=x(-t) x(t) x(-t)= -x(t) x(t) y(-t)= -y(t) y(-t)= -y(t) (2) (3) (1) 3. x(t) lẻ, y(t) lẻ: đt đối xứng qua gốc tđ VỀ TÍNH TUẦN HOÀN TRONG ĐC THAM SỐ 1. x(t) TH chu kyø T1, y(t) TH chu kyø T2 (cid:0) Chæ khaûo saùt vaø veõ trong 1 chu kyø T
=bscnn(T1,T2) 2. x(t + T) = x(t) + A, y(t) TH chu kyø T
(cid:0) Ñc y = y(x) TH vôùi chu kyø A
(cid:0) Chæ khaûo saùt trong 1 chu kyø T(veõ laäp laïi theo tính TH cuûa haøm soá y = f(x)) t = = - x te ,t
te y t = - Vẽ dồ thị hs t x t
'( ) t e
) 1 0 (cid:0) t - y t
'( ) t e
) 1 (cid:0) = +
(1
= -
(1
1 =
t
1
1 +(cid:0) - (cid:0) - t + + - | x t
'( ) +(cid:0) - 0
1 ] ZZ e 0 x t
( ) e + + - | 0 y t
'( ) - (cid:0) - 1 ] Z Z e 0 y t
( ) TCN
y=0 TCĐ
x=0 + + (cid:0) - y x '( ) TTÑ
(// oy) e
0
TTN
(// ox) 1/e 1/e e e Veõ ñoà thò hs: 2 2 2 t t = = x t
( ) y t
, ( ) - - t 1 t - +(cid:0) Veõ ñoà thò
hs:
= = = = - " � t t t x t
'( ) 0, 2; y t
'( ) 0 , ��
1 t
2 <
2 - - 1
+
2
t
2
t t
t
( 2
1) 1
1) ( t 1 2 1 0 + + + - (cid:0) - || 0 | 0 x t
'( ) +(cid:0) +(cid:0) - - ] ] Z Z Z || 4 0 x t
( ) - (cid:0) - - (cid:0) || | 1
2
|| | y t
'( ) +(cid:0) +(cid:0) ] ] ] ] ] - - - - - || 0 || 0 y t
( ) 0 2
3 + - (cid:0) - (cid:0) y x
'( ) +
TTÑ TTÑ TCN
y=0 TCÑ
x= 1/2 TCX
y=1/2x3/4 TCN
y=0 - - (cid:0) (cid:0) - 3 = = > x a t a 3
sin , 0 2/3 2 a
cos
+
2/3 t y
,
= y x a ( ) Veõ ñoà thò •x(t), y(t) xác định liên tục trên R. •x(t), y(t) tuần hoàn với chu kỳ 2(cid:0) nên chỉ khảo sát
và vẽ trong 1 chu kỳ (t(cid:0) [-(cid:0) , (cid:0) ]) đt đối xứng qua ox (cid:0)
chỉ khảo
[0, (cid:0) ])(nửa chu kỳ còn lại vẽ đối 2 = - p •x(t) chẵn, y(t) lẻ (cid:0)
sát nửa chu kỳ (t(cid:0)
xứng qua ox). t t x t
'( ) a
3 cos sin 0, [0, ] t
p 2 = y t t t =�
t a
'( ) 3 sin cos 2 (cid:0) " (cid:0) 2 p = - (cid:0) " (cid:0) t t x t
'( ) a
3 cos sin 0, [0, ] 2 Baûng bieán thieân t
p y t t t a
'( ) 3 sin cos 2 =
p t 0 + =�
t
p x t 2
0 '( ) - ] 0
a 0
a 0 ]
+ - Z 0
a x t
( )
y t
y t 0
0 0
0 ]
+ - '( )
( )
y x 0 '( ) 0 TTN TTÑ TTN - (cid:0) x((cid:0) -t)= -x(t), y((cid:0) -t)= y(t) (cid:0) đx qua Oy p p t 0 + x t '( ) 2
0 - ] 0
a 0
a 0 ]
+ - x t
( )
y t '( ) 0 0 Z 0
a 0 0 ]
+ - y t
( )
y x '( ) 0 0 TTN TTÑ TTN - (cid:0) p p t 0 + x t '( ) 2
0 - ] 0
a 0
a 0 ]
+ - x t
( )
y t '( ) 0 0 Z 0
a 0 0 ]
+ - y t
( )
y x '( ) 0 0 TTN TTÑ TTN - (cid:0) p p t 0 + x t '( ) 2
0 - ] 0
a 0
a 0 ]
+ - x t
( )
y t '( ) 0 0 Z 0
a 0 0 ]
+ - y t
( )
y x '( ) 0 0 TTN TTÑ TTN - (cid:0) p p t 0 + x t '( ) 2
0 - ] 0
a 0
a 0 ]
+ - x t
( )
y t '( ) 0 0 Z 0
a 0 0 ]
+ - y t
( )
y x '( ) 0 0 TTN TTÑ TTN - (cid:0) = - - x =
t y >
t a a a t
( sin ), (1 cos ), 0 Veõ ñoà thò
Cycloid:
x(t), y(t) xaùc ñònh lieân tuïc treân R. ) = x(t) +2(cid:0) a (cid:0) khaûo saùt 1chu kyø (t(cid:0) y(t) tuaàn hoaøn vôùi chu kyø 2(cid:0)
x(t+2 (cid:0)
y =y(x) tuaàn hoaøn vôùi chu
kyø 2(cid:0) a (cid:0)
, (cid:0) ]) vaø veõ y
[(cid:0)
tuaàn hoaøn theo x vôùi chu kyø 2(cid:0) a. chæ khaûo saùt nöûa chu kyø (t(cid:0) ñöôøng cong ñoái xöùng qua
[0, (cid:0) ])(nöûa x(t) leû, y(t) chaün (cid:0)
oy (cid:0)
chu kyø coøn laïi veõ ñoái xöùng qua oy). theo Cycloid: x = 2(t – sint), y = 2(1cost)
(y tuaàn hoaøn chu kyø 4(cid:0)
x) p t 0 + x t '( ) 0 x t 0 |
p
2 Z
+ ( )
y t '( ) 0 0 y t 0 4 Z
+ (cid:0) x’(t) = 2(1cost)(cid:0) 0, y’(t) = 2sint (cid:0) 0, (cid:0) t(cid:0) [0, (cid:0) ] ( )
y x '( ) TTÑ 0
TTN (cid:0) Cycloid: x = 2(t – sint), y = 2(1-cost) t(cid:0) [0, (cid:0) ] Cycloid: x = 2(t – sint), y = 2(1-cost) t(cid:0) [ (cid:0) , (cid:0) ] Cycloid: x = 2(t – sint), y = 2(1-cost) t(cid:0) [ (cid:0) , 3(cid:0) ](
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
1
+
(
)
1
)1/3
1
(
�
�
�
�
(
)
)
1
+
(
)
1
)1/3
1
(
�
�
�
�
(
)
)
1
+
(
)
1
)1/3
1
(
�
�
�
�
(
)
)
1
+
(
)
1
)1/3
1
(
�
�
�
�
]
[
f x
lim ( )
(cid:0) +(cid:0)
x
]
[
f x
lim ( )
x
(
)
(
e x
(
e x
)
- + +
e
1
)
1
![Bài giảng Giải tích II Chương 6 Đại học Thăng Long [Tài liệu đầy đủ]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251230/vitobirama/135x160/15491773823922.jpg)
![Tài liệu giảng dạy Vi tích phân A2 [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260323/hoatudang2026/135x160/54651774420904.jpg)
![Tài liệu giảng dạy Hình học Affine và Euclide [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260323/hoatudang2026/135x160/52531774414221.jpg)
