BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM
1. Không gian tuyến tính định chuẩn
Bài 1. Kiểm tra các tập hợp cho dưới đây là không gian định chuẩn:
a) X=Rnvới chuẩn ∥x∥=Pn
i= 1 |xi|,x= (x1,x2,...,xn).
b) X=cgồm các dãy số thực hoặc phức hội tụ với chuẩn ∥x∥= supn∈N∗|ξn|,
x={ξn}.
c) X=C[a,b]gồm các hàm số liên tục trên [a,b]với chuẩn ∥x∥=Rb
a|x(t)|2dt,
x∈X.
Bài 2. Giả sử Xlà không gian tuyến tính định chuẩn thực, A1, A2:X→Rlà
các ánh xạ tuyến tính thỏa mãn A1(x)A2(x) = 0 với mọi x∈X. Chứng minh rằng
A1≡0hoặc A2≡0.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu không gian tuyến tính định chuẩn Xđồng phôi với
không gian Banach Ythì Xlà một không gian Banach.
Bài 4. Xét các không gian tuyến tính định chuẩn C[0,1] và C1[0,1] với chuẩn lần
lượt là ∥x∥0= maxt∈[0,1] |x(t)|và ∥x∥1=|x(0)|+ maxt∈[0,1] |x′(t)|. Chứng minh các
ánh xạ sau đây là toán tử tuyến tính liên tục và tính chuẩn của chúng:
a) A:C[0,1] →C[0,1],Ax(t) = Rt
0x(s)ds.
b) A:C1[0,1] →C[0,1],Ax(t) = x′(t).
2. Các nguyên lí cơ bản của giải tích hàm
Bài 5. Giả sử X , Y,Z là các không gian Banach, An∈ L(X , Y),Bn∈ L(Y, Z),
n= 1,2,.... Chứng minh rằng nếu dãy {An}hội tụ điểm đến A∈ L(X,Y),{Bn}
hội tụ điểm đến B∈ L(Y, Z)thì dãy {Bn◦An}hội điểm đến B◦A.
Bài 6. Giả sử Lvà Mlà hai không gian con tuyến tính đóng của không gian Banach
X. Chứng minh rằng nếu mỗi phần tử x∈Xđều được biểu diễn một cách duy nhất
dưới dạng x=y+z, trong đó y∈L,z∈Mthì tồn tại một số thực k > 0sao cho
∥y∥ ≤ k∥x∥và ∥z∥ ≤ k∥x∥.
Bài 7. Giả sử X,Y là hai không gian Banach và A:X→Ylà một toán tử tuyến
1
tính. Chứng minh rằng nếu với mọi y∗∈Y∗, ánh xạ hợp y∗◦Ađều là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên Xthì Aliên tục trên X.
Bài 8. Giả sử Llà một không gian con đóng tuyến tính của không gian tuyến tính
định chuẩn X,x0∈Xsao cho d=dist(x0,L) := infx∈L∥x−x0∥>0. Chứng
minh rằng tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗trên Xsao cho x∗(x0) = d,
x∗(x) = 0 với mọi x∈Lvà ∥x∗∥= 1.
3. Các không gian Lp(Ω ,µ)
Bài 9. Chứng minh rằng nếu limn→∞ fn=ftrong không gian Lp(Ω ,µ)với 1< p <
∞thì dãy {fn}hội tụ theo độ đo đến f.
Bài 10. Cho 1≤p < ∞,f∈Lp(Ω ,µ)và {fn}là một dãy hàm trong Lp(Ω ,µ).
Chứng minh rằng nếu fn→fhầu khắp nơi trên Ωthì
∥f∥Lp(Ω ,µ) ≤lim
n→∞ ∥fn∥Lp(Ω ,µ).
Bài 11. Giả sử 1≤p < ∞,g∈Lp(Ω ,µ)và f,f1,f 2,...,f nlà các hàm đo được
trên Ωsao cho |fn(x)| ≤ g(x)hầu khắp nơi trên Ωvới mọi n= 1,2,... Chứng minh
rằng nếu fn→fhầu khắp nơi trên Ωthì f∈Lp(Ω ,µ)và ∥fn−f∥Lp(Ω ,µ) →0khi
n→ ∞.
4. Phổ của toán tử và toán tử compact
Bài 12. Cho ánh xạ A;L2[0,1] →L2[0,1] xác định bởi công thức (Ax)(t) = tx(t)
với x∈L2[0,1] và t∈[0,1].
a) Chứng minh rằng Alà toán tử tuyến tính liên tục.
b) Tìm phổ và các giá trị riêng của toán tử A.
Bài 13. Giả sử X ,Y là hai không gian Banach, A∈ L(X,Y)là một toán tử compact.
Chứng minh rằng ảnh của mỗi dãy phần tử hội tụ yếu trong không gian Xqua ánh
xạ Alà một dãy hội tụ mạnh trong không gian Y.
Bài 14. Giả sử Xlà một không gian Banach, A∈ L(X)là một phép đồng phôi.
Chứng minh rằng nếu λ∈σ(A)và λ= 0 thì λ−1∈σ(A−1).
5. Không gian Hilbert
Bài 15. Giả sử {xn}và {yn}là hai dãy phần tử của hình cầu đóng đơn vị trong
2
không gian Hilbert Hthỏa mãn ⟨xn,yn⟩= 1. Chứng minh rằng limn→∞ ∥xn∥=
limn→∞ ∥yn∥= 1 và limn→∞ ∥xn−yn∥= 0.
Bài 16. Giả sử Hlà một không gian Hilbert, A:H→Hlà một toán tử tuyến tính
thỏa mãn ⟨Ax, y⟩=⟨x,Ay⟩với mọi x,y ∈H. Chứng minh rằng Aliên tục.
Bài 17. Chứng minh rằng trong không gian Hilbert H, nếu dãy {xn}hội tụ yếu đến
x0và ∥xn∥ → ∥x0∥thì dãy {xn}hội tụ mạnh đến x0.
Bài 18. Giả sử Hlà một không gian Hilbert và A∈ L(H)là một toán tử tự liên
hợp. Chứng minh rằng ∥A2∥=∥A∥2.
———————————— Hết ————————————
3
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM
1. Không gian tuyến tính định chuẩn
Bài 1. Kiểm tra các tập hợp cho dưới đây là không gian định chuẩn:
a) X=Rnvới chuẩn ∥x∥=Pn
i= 1 |xi|,x= (x1,x2,...,xn).
b) X=cgồm các dãy số thực hoặc phức hội tụ với chuẩn ∥x∥= supn∈N|ξn|,
x={ξn}.
c) X=C[a, b]gồm các hàm số liên tục trên [a,b]với chuẩn ∥x∥=Rb
a|x(t)|2dt1
2,
x∈X.
Lời giải. a) Rõ ràng X=Rnlà một không gian tuyến tính với các phép toán
cộng và nhân vô hướng. Ta có ∥x∥=Pn
i= 1 |xi| ≥ 0với mọi x= (x1,x2,...,xn). Hơn
nữa, nếu ∥x∥= 0 thì 0≤ |xi| ≤ ∥x∥= 0 kéo theo xi= 0 với mọi i= 1,2,...,n, suy
ra x= 0 ∈X.
Với mọi λ∈Rvà với mọi x= (x1, x2,...,xn), ta có
∥λ·x∥=n
X
i= 1 |λxi|=λn
X
i= 1 |xi|=λ∥x∥.
Cuối cùng, để kiểm tra quy tắc tam giác, với mọi x= (x1,x2,...,xn),y=
(y1,y2,...,yn)∈X, ta có
∥x+y∥=n
X
i= 1 |xi+yi|
≤n
X
i= 1
(|xi|+|yi|)
≤n
X
i= 1 |xi|+n
X
i= 1 |yi|=∥x∥+∥y∥.
b) Ta thấy X=clà một không gian tuyến tính với các phép toán cộng và nhân
vô hướng: x+y={xn+yn}và λ·x={λxn}với mọi λ∈Kvà x={xn}và
y={yn}.
Ta có ∥x∥= supn∈N∗|xn| ≥ 0với mọi x={xn}. Hơn nữa, nếu ∥x∥= 0 thì
0≤ |xn|≤∥x∥= 0 kéo theo xn= 0 với mọi n= 1,2,..., suy ra x= 0 ∈X.
4
Với mọi λ∈Rvà với mọi x={xn} ∈ X, ta có ∥λ·x∥= supn∈N∗|λxn|=
λsupn∈N∗|xn|=λ∥x∥.
Với mọi x={xn}và y={yn}trong X, ta có ∥x+y∥= supn∈N∗|xn+yn| ≤
supn∈N∗
(|xn|+|yn|)≤supn∈N∗|xn|+ supn∈N∗|yn|=∥x∥+∥y∥.
c) Rõ ràng với mọi x∈X=C[a,b], ta có ∥x∥ ≥ 0. Nếu ∥x∥= 0 thì ∥x∥=
Rb
a|x(t)|2dt = 0. Ta chứng minh x≡0bằng phản chứng. Vì |x(t)|là một hàm số
liên tục trên [0,1] nên nếu có t0∈[0,1] sao cho |x(t0)|>0thì sẽ có một khoảng
[α,β]⊂[0,1] sao cho |x(t)|>0với mọi t∈[α,β], tức là mint∈[α,β] |x(t)|=m > 0.
Khi đó ∥x∥2=Zb
a|x(t)|2dt ≥Zβ
α|x(t)|2dt ≥m(β−α)>0,
suy ra ∥x∥>0, mâu thuẫn.
Với mọi λ∈Rvà x∈X, ta có
∥λx∥=
Zb
a|λx(t)|2dt
1
2=|λ|Zb
a|x(t)|2dt
1
2=λ∥x∥.
Để kiểm tra quy tắc tam giác, chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức Bunhiakopxki
dạng tích phân, tức là với mọi x,y ∈X, ta có
Zb
ax(t)y(t)dt ≤Zb
a|x(t)|2dt
1
2.
Zb
a|y(t)|2dt
1
2.(1)
Thật vậy, nếu Rb
a|x(t)|2dt = 0 thì theo chứng minh trên x(t) = 0 với mọi t∈[a,b],
do đó đẳng thức thỏa mãn.
Nếu Rb
a|x(t)|2dt > 0, ta xét tam thức bậc hai
f(λ) = λ2Zb
a|x(t)|2dt + 2λZb
ax(t)y(t)dt +Zb
a|y(t)|2dt,
có
f(λ) = Zb
a(λx(t) + y(t))2dt ≥0,∀λ∈R,
suy ra ∆′≤0, tức là ta có (1).
5