2 ng d ng hình h c c a tích phân képỨ ụ ọ ủ
1 1
: ( , )S z f x y
=
1. Di n tích hình ph ngệ ẳ : Di n tích mi n D trong m t ệ ề ặ
ph ng Oxy đ c tính b i ẳ ượ ở
2. Th tích v t thể ậ ể Ω gi i h n trên b i m t ớ ạ ở ặ
gi i h n d i b i m t ớ ạ ướ ở ặ
2 2
: ( , )S z f x y
=
và gi i h n xung quanh b i m t tr song song v i tr c ớ ạ ở ặ ụ ớ ụ
Oz có đ ng chu n là biên mi n D đ c tính b i: ườ ẩ ề ượ ở
2 1
( ( , ) ( , ), ( , ) )f x y f x y x y D
∀
( )
D
S D dxdy=��
1 2
( ) ( ( , ) ( , ))
D
V f x y f x y dxdy
Ω = −
��
§1: Tích phân kép – D hình h cƯ ọ
C. Di n tích m t congệ ặ : Di n tích ph n m t cong S có ệ ầ ặ
ph ng trình z = f(x,y) và có hình chi u xu ng m t ươ ế ố ặ
ph ng Oxy là mi n D đ c tính b iẳ ề ượ ở
Nh v y, đ tính th tích v t th ho c tính di n tích 1 ư ậ ể ể ậ ể ặ ệ
ph n m t cong thì tr c tiên ta ph i xác đ nh đ c ầ ặ ướ ả ị ượ
hình chi u D c a v t th ho c ph n m t cong c n ế ủ ậ ể ặ ầ ặ ầ
tính xu ng 1 trong 3 m t t a đố ặ ọ ộ Oxy, Oyz, Ozx
V i v t th c n tính th tích, sau đó ta ph i xác ớ ậ ể ầ ể ả
đ nh trong v t th đó thì ị ậ ể m t nào gi i h n trên, ặ ớ ạ
m t nào gi i h n d i v t thặ ớ ạ ướ ậ ể.
2 2
1
x y
D
S f f dxdy
= + +
��
§1: Tích phân kép – D hình h cƯ ọ
Ví d 1ụ: Tính di n tích mi n ph ng D gi i h n b i ệ ề ẳ ớ ạ ở
y2+2y-3x+1=0, 3x-3y-7=0
2
3 2 1
3 3 7
x y y
x y
= + +
= +
Ta tìm giao đi m 2 đ ng cong b ng cách kh x t 2 ptể ườ ằ ử ừ
2
(1) 6 0 3, 2y y y y
− − = = = −� �
T c là chi u mi n D xu ng tr c Oy đ c đo n [-2,3]ứ ế ề ố ụ ượ ạ
Khi -2 ≤ y ≤ 3, suy ng c l i ph ng trình (1) ta ượ ạ ươ
s đ c ẽ ượ y2 + 2y + 1 ≤ 3y + 7
2
1(3 7)
33
1
2( 2 1)
3
( )
y
y y
S D dy dx
+
−+ +
=� �
V y :ậ
§1: Tích phân kép – D hình h cƯ ọ
22 1 3 7y y y
+ + = +�
(1)
§1: Tích phân kép – D hình h cƯ ọ
Ví d 2: Tính di n tích ph n m t ph ng n m ngoài ụ ệ ầ ặ ẳ ằ
đ ng tròn r = 1 và trong đ ng tròn ườ ườ
2cos
3
r
j
=
Tr c tiên, ta tìm giao đi m ướ ể
cosφ = √3/2 ↔ φ = π/6 , φ = -π/6
π/6
-π/6
V y : ậ
2cos
3
6
1
6
( )S D d rdr
j
p
p
j
-
=� �
3 3
( ) 18
S D
p
-
=
2 2
1x y
+ =�
Khi v t th gi i h n ch b i 2 ậ ể ớ ạ ỉ ở
m t thì ta tìm hình chi u D ặ ế
c a nó xu ng m t ph ng ủ ố ặ ẳ z=0
b ng cách kh z t 2 ph ng ằ ử ừ ươ
trình 2 m tặ
2 2 2 2
2x y x y
+ = − −
§1: Tích phân kép – D hình h cƯ ọ
Ví d 3ụ: Tính th tích v t th ể ậ ể Ώ gi i h n b i ớ ạ ở
2 2 2 2
, 2z x y z x y
= + = − −
Hình chi u c a giao tuy n là ế ủ ế
đ ng tròn thì hình chi u c a ườ ế ủ
v t th là hình trònậ ể
2 2
1x y
+
x2+y2=1, z=1