TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
ĐỊNH NGHĨA
F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b)(cid:0)
F’(x) = f(x)
(cid:0)
f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định
(cid:0)
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
=
=
+
+ x C
C
1 /
arctan
2 /
arctan
2
2
1 a
� a
dx � + x 1 dx
=
+
=
+ x C
C
3 /
arcsin
4 /
arcsin
2
dx + 2 x dx 2
2
x a x a
� a
x
2
=
+
+
x
x
+ k C
5 /
ln
- -
� x 1 dx + 2
x
k
2
2
2
(cid:0)
a
= 2 x dx
a
+ 2 x
C
6 /
x + arcsin a
a 2
2
2
2
+
=
+
+
x
kdx
x
+ + k
x
x
+ k C
ln
7 /
- - (cid:0)
x 2 x 2
k 2
(cid:0)
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
=
+ shx C
8 /
chx dx
=
+ chx C
9 /
shx dx
(cid:0)
=
+ thx C
10 /
(cid:0)
= -
+ cothx C
11 /
(cid:0)
=
+
C
ln tan
12 /
(cid:0)
x 2
=
C
13 /
ln tan
(cid:0)
dx 2 ch x dx 2 sh x dx x sin dx x cos
x 2
p � � + + � � 4 � �
(cid:0)
Ví dụ
2
= + (cid:0) arcsin C
x 2 dx x- 4
= + (cid:0) arctan C
x
dx 2 x + 4 1 2 x 2
x e dx 3
= = + ) ( ( ) C 3x xe dx e 3 (cid:0) (cid:0)
ln 1 + 3 1
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Đổi biến:
f(x) dx = (cid:0)
f(u(x))u’(x) dx = (cid:0)
f(t)
Đổi biến 1: x = (cid:0) u(t) (cid:0) dx = u’(t) dt (cid:0) f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t(cid:0) u’(x) dx = dt (cid:0) dt
2. Tích phân từng phần:
(cid:0) u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) (cid:0) u’(x)v(x) dx
Ví dụ
3
3
3 2 x x e dx
3 xe d x (
xe
+ = ) C (cid:0)
1 = (cid:0) 3 1 3
arctan
= dx arctan (cid:0) (cid:0) x 2 2 1 2 x 2 x 2 d � arctan � � � � � x+ 4
Một số lưu ý khi dùng tp từng phần
là đa thức bậc n. a .ln(
) x dx
nP x ( ) P n
u là phần còn lại
= dv P dx
,
n
.arctan
xdx
(cid:0)
P n
.arcsin
xdx
(cid:0)
P n
x
a P e dx
.
(cid:0)
n
=
u P x
( ),
dv là phần còn lại
n
.sin
xdx
(cid:0)
P n
(cid:0)
Ví dụ
2
dx = u x =� du arcsin
=
=
- I xdx arcsin = (cid:0) x
dv dx chon v ,
&
2
1 x
xdx
=
I
x
x
arcsin
2
- x - = + x x (cid:0) arcsin (cid:0)
x
1
) 2 - - x d (1 1 2 2 1
2 +
= + - x x x C arcsin 1
1 2
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản
,
+ Ax B dx dx ( ) � � + + )m 2 px q x x a (
Trong đó: * m là các số tự nhiên,
-
* Các tam thức bậc 2 có(cid:0)
= p2 4q< 0
(cid:0)
Tích phân các phân thức cơ bản
= - + x a C ln (cid:0) - dx x a
= +
(m > 1)
m
m
1
C (cid:0) - - - 1 m dx x a 1 ( ) 1 x a - ) (
Tích phân các phân thức cơ bản
Đạo hàm của MS (lấy hết Ax)
2
)+ (cid:0) Ax B dx ( + + px q x +
=
dx
2
2
x 2 +
+
A 2
p + px q
x
p A 2
dx px
q
� +� B �
� � + x �
=
=
dx
+ u C
ln
- (cid:0) (cid:0)
2
2 + x +
du u
p + px q
x
(cid:0) (cid:0)
Tích phân các phân thức cơ bản
2
2 +
= (cid:0) (cid:0)
dx + px q x
+ - q
p 4 dx 2 p � �+ x � � 2 � �
2
2
= = + C arctan (cid:0)
1 a v a dv + a v
Ví dụ
- x 1
2
dx
x - + x 1
- x 1 dx
= dx
2
2
2 2 1 2 x - + x 1 � � 1 + - 1 � � - + 2 x x 1
- = ln( x - + x 1)
1 2 1 2
dx 2 � � 1 - + x � � 2
2
3 4 - x
1 2 = - + - + ln( x 1) x arctan2. C
1 2 3 1 2 . 2 3
Tích phân các phân thức cơ bản
+
=
+
B
(
)
n
n
n
2
+
x +
+
A 2
Ap 2
dx + px q
( � x (
+ Ax B dx ) + 2 px q )
(2 � 2 x (
p dx ) + px q )
� x (
)
=
du � n u
+ p dx x ) (2 +� + )n 2 px q x (
=
=
I
n
n
n
2
2
2
+
dx + px q
dv + a
� x (
)
� v (
)
=
+
-
I
n
I
(2
1)
n
n
+ 1
n
2
2
2
1 na
a
2
)
� v � +� v (
� � �
-
Chứng minh quy nạp In
n
n
2
2
2
1
=
+
= -
+ 2
=
u
x
a
a
dx
2
nx x (
)
I
- - -
n
n
2
2
dx + a
x
)
(
( =
dv
� du ) = x�
dx chon v
,
(cid:0)
n
n
2
2
2
2
2
1
=
+
+
+
a
n x
x
a
dx
x x (
)
2
(
)
- - -
nI
(cid:0)
n
n
2
2
2
2
2
2
1
=
+
+
+
+ 2
I
a
a
a
x
a
dx
x x (
)
2
n x (
)(
)
- - - - (cid:0)
n
n
n
2
2
2
2
2
2
1
n =
+
+
+
+ 2
a
a
dx
na
a
dx
x x (
)
2
)
2
)
� n x (
� x (
- - - - -
n
2
2
=
+
+
a
I
nI
2 na I
x x (
)
2
2
n
n
n
+ 1
=
+
- -
�
I
n
I
(2
1)
n
n
+ 1
2
2
1 na
a
2
2 2 )
� x � +� x (
� � �
-
ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH
=
Hàm hữu tỷ:
f x ( )
m
r
x a
x b
+ px q
(
)
(
)
p x ( ) + n 2 x ) (
Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu có (cid:0)
< 0, sẽ được phân tích ở dạng
=
+
+
f x ( )
+ + ...
+ + ...
m
n
2
- -
A 1 x a
B 1 x b
B n x b
)
)
)
+
+
+ + ...
r
2
1 +
2 +
r +
A 2 x a ( + C x D 1 + 2 px q
x
A m x a ( + C x D 2 + 2 px q
x
( + C x D r + 2 px q
x
)
(
)
(
- - - - -
MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH
2
- - A B = = = f x ( )
- - - x 1 + x 1 x x 3) 1 x 2 1)( 3 x 2 + 2 3
+ + x x ( Tính A: nhân 2 vế với (x1), sau đó thay x bởi 1
=
+
-
A
x
(
1)
B +
x 2 + x
x
1 3
3
1 4
-
Để tính nhanh, trong biểu thức
-
(
= x 1 =� A x 2 1)(
3)
1 + x
x Che (x1) rồi cho x = 1 ta tìm được A
Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3 (hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu)(cid:0)
B = 7/4
-
A
B
=
=
+
+
f x ( )
2
-
x
C + x
1 + x
x
x
1
3
x 2 2 1) (
3)
(
1)
(
Tính B: vế trái che (x1)2, sau đó thay x bởi 1
- - -
A
=
=
+
+
f x ( )
2
-
x
C + x
1 + x
x
1
3
x 2 2 1) (
3)
1 / 4 x 1)
(
(
Tính B: vế trái che (x1)2, sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi 3
- - -
A
=
=
+
+
f x ( )
2
- -
x
7 + x
1 + x
x
1
/ 16 3
x 2 2 1) (
3)
1 / 4 x 1)
(
(
Tính B: vế trái che (x1)2, sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi 3
Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x(cid:0)
(cid:0)
- - -
A
=
=
+
+
f x ( )
2
- -
x
7 + x
1 + x
x
1
/ 16 3
x 2 2 1) (
3)
1 / 4 x 1)
(
(
Tính B: vế trái che (x1)2, sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi 3
Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x(cid:0)
(cid:0)
- - -
A
=
=
+
+
x
x
x
x
f x ( )
2
- -
+
x
1 x
1 / x
x
1
7 / 1 6 + x 3
x 2 2 1) (
3)
4 ) 1
(
(
Tính B: vế trái che (x1)2, sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi 3
Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x(cid:0)
(cid:0)
- - -
A=
+ - 0
0
A =�
7 16
7 16
Sử dụng nguyên tắc chung
Quy đồng mẫu số và đồng nhất tử số 2 vế
-
2
= = + f x ( )
A + + x x 2 + + x x x + Bx C + + 2 x x 3 1 1)( ( 3) 1
+ x 2 - = 1 A x ( + Bx C x (
- = + + + 2 x 1) + 2 3) + + x + A B x + A � 2 1 ( ) )( + B C x A C 3 3 ) (
= (cid:0) (cid:0) 1
(cid:0) (cid:0)
+ A B + = A � (cid:0) 2
(cid:0) (cid:0)
= - A =� (cid:0) B = C (cid:0) (cid:0) 0 + B C 3 = - + A C 3 1 1 0
Ví dụ tính tích phân
-
dx (cid:0)
- 1 + x x x 2 2 1) ( 3) (
-
2
= + + dx dx
- - 7 / 16 dx � x 1 7 / 16 � + x 3 1 / 4 � x 1) (
= - - - x C ln 1 + + x ln 3
- 7 16 1 1 x 4 7 1 16
- -
2
2
= dx (cid:0)
+ x 2 + + x x x 1 1)( ( 3) xdx + + x dx + � � + x x 3 1
= -
ln
+ 3x
dx + - (cid:0) (cid:0)
+ x 1 (2 1) + + 2 x x 2 dx 1 1 2
2 1 � �+ + x � � 2 � �
2
= -
3 4
ln
+ 3x
+ x + + x ln( 1)
1 2
+ x - C arctan
1 2 2 3 1 / 2 + 3 / 2
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
,
+ ax b + cx d
+ ax b + cx d
� � �
m 1 � � n 1 , � � � �
m 2 � n 2 � �
� � R x � �
� � � �
trong đó m1, n1, m2, n2 là các số nguyên.
Phương pháp chung: đặt
n
=
t
n là BSCNN(n1, n2)
+ ax b + cx d
(cid:0)
Ví dụ
2
+
+
x
x
3 (
=
=
=
I
dx
,
2 3
1 2
1) + x
1
m 1 n 1
m 2 n 2
6
t
x= +
1
=� dx
56 t dt
4
6
+
(cid:0)
t
1
6
8
=
+
-
t
-
) 2 t dt
I
( 6 t
5 t dt 6
= (cid:0)
t 3 t
(cid:0)
+
dx
=
3
=
I
2
(cid:0) (cid:0)
x x
dx + x
1 1
1
x
+ x
3 (
1)(
1)
3
+
+
- -
3
=
t
=� x
=� dx
3
-
x x
1 1
t t
1 1
t
2 t dt 6 3 2 1)
(
= -
I
6
3
3
= - 2
- - -
t
dt � 3 t
(
2 t dt 3 1)
1
+
1
3
- -
-
� t t t
1 + 1 1
dt
= -
= -
I
3
(cid:0) (cid:0)
dt + + 2 t t
t
33 t
1)
(
1)(
1
= -
dt
2
- -
+ t dt 2 + � � + + t 1 t t
1
-
Các trường hợp riêng của tích phân Eurler
+
+
2ax
bx
cdx
2
dx +
+
ax
bx
c
(
)
2
+
+
+
(cid:0) (cid:0)
Ax B ax
bx
cdx
(
)
2
+ Ax B dx + +
bx
ax
c
Nguyên tắc chung: đưa về bình phương đúng của
các tam thức dưới căn và áp dụng tp bảng.
2
+
+
ax
bx
+ = c
a
2
c + - a
b a 2
b a 4
2 � � �
� � x � � � �
� � �
(cid:0) (cid:0)
(
)
(
)
2
=
2
+ Ax B dx + +
+ ax b dx + 2
+
A a 2
bx
ax
c
bx
c
ax
+
(cid:0) (cid:0)
� -� B
� �
2
(cid:0)
dx +
+
b A a 2
ax
bx
c
Tương tự cho trường hợp còn lại.
(cid:0) (cid:0)
Ví dụ
=
(cid:0) (cid:0)
+ x
1 3
dx + 23 x
2
1
+ 2
-
x
+ x
dx 2 3
1 3
dx
=
=
-
1 3
1 3
2
(cid:0) (cid:0)
u
4 9
2 1 � � -� � x 3 � �
du 2 2 � �-� � 3 � �
-
=
I
1 3
2
u
du 2 2 � �-� � 3 � �
=
+u C
arcsin
3 2
1 3
=
(cid:0)
C
arcsin
3 2
1 � � +� � x 3 � �
1 3
-
Ví dụ
+ x ( 1)
(cid:0)
+ 2 - x dx + x 3 2 1
�
�
- - 2) = +
+ x ( 6 + 2 - - 1 6 4 3 x dx + x dx + 2 x 3 2 1 3 + x 2 1
= - - - + 2 x C 3 + + x 2 1 arcsin
1 3 3 2 1 � � +� � x 3 � � 4 1 3 3
TỔNG QUÁT
2
+
+
)
(
ax
bx
c dx
,R x
Sau khi đưa tam thức bậc 2 về bình phương đúng, có thể rơi vào các TH sau:
2
(cid:0)
Đặt u = Asint, t(cid:0)
[(cid:0) /2, (cid:0) /2]
R u A ( ,
2 u du )
2
- (cid:0) (cid:0)
Đặt u = A/sint, t(cid:0)
[(cid:0) /2, (cid:0) /2]
u
R u ( ,
2 A du )
2
+
- (cid:0) (cid:0)
Đặt u = Atant, t(cid:0)
((cid:0) /2, (cid:0) /2)
u
R u ( ,
2 A du )
(cid:0) (cid:0)
Lưu ý
dx 2
+
+
ax
x
k-
bx
c
(
)
Đặt x – k = 1/u sẽ đưa về dạng
(cid:0)
2
du +
+ b u c
a u '
'
'
(cid:0)
Ví dụ
2
3
2
=
+
+
=
+
+
I
x
x
dx
dx
4
5)
2)
� x ( �
3 � 1 �
� (
�
2
3
=
+
I
du
u (
1)
Đặt u = tant
2
3
=
+
I
t
(tan
1)
(cid:0)
t
dt 2 cos
=
=
3
(cid:0)
dv v
dt = � � 5 t cos
tdt cos 2 t (1 sin )
� (1
2 3 )
- -
TÍCH PHÂN TREBUSEV
n
+
m,n, p là các sô hữu tỷ
m x ax (
p b dx )
TH 1: p là số nguyên : Đặt x = tk,
k là BSCNN mẫu số của m, n.
Đặt axn +b = tk , k là
TH 2: là số nguyên:
1+m n
mẫu số của p
m
+
Đặt bx(cid:0) n +a = tk , k
p TH 2: là số nguyên:
1+ n
là mẫu số của p
(cid:0)
VÍ DỤ
2
= - = m = n = - p 1, 1, I (cid:0)
3 (
2 3 dx + x x 1)
3
+ 1 = x t � 0 + = 1
2
m n
3
2
t 3 = I dt (cid:0)
- t ( t 1)
dt = = - 3
� t (
- - + t ( 2) � � + + 2 t t t 1 dt + + 2 t t 1)( dt 1 1)
Ví dụ
= - m = n = - p 4, 2,
2
4
= I (cid:0)
dx + + - + x x 1 1
+ = p � 2
Đặt x2 +1 = t2 (cid:0)
2x3dx = 2tdt
m n 1 2 4 1 1 - = - 2 2
2
-
2
3 2 x x
= - I dt (cid:0) 1) = = - dx 2 2 dt 1) x 1 t t 2 ( � t � 2 ( t + 2
x
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
m
n
I
x
sin
cos
x dx
= (cid:0)
k
n
2
* m =2k + 1
m
k
2
* n =2k + 1
= - I x sin cos x (cos ) x d (cid:0)
=
x
x sin cos
x sin 2 ,
I x sin cos x (sin ) x d = (cid:0)
x
x
2
2
=
=
x
x
sin
, cos
* m, n chẵn: dùng công thức hạ bậc 1 2 1 cos 2 2
+ 1 cos 2 2
-
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi
x
=� t
cos
R x dx x (cos ,sin ) (cid:0)
x sin
Thay x bởi (cid:0) –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi =� t Thay x bởi (cid:0) +x, biểu thức dưới dấu tp không đổi =� t
Tổng quát:
x tan
t =� tan
x 2
VÍ DỤ
3
4
2
4
= -
I
x
x
sin
cos
x dx
= (cid:0)
(1 cos
)cos
x (cos )
x d
4
6
= -
- (cid:0)
x
(cos
cos
x (cos )
x d )
5
7
- (cid:0)
= - x + x + C
cos 5 cos 7
3
I = (cid:0)
x dx x cos sin
3
2
= I dx (cid:0)
Thay x bởi (cid:0) x trong biểu thức dưới dấu tp
cos + x x x 2sin cos
- x - d x p ( )
3
- - x p 3 cos ( ) + p x ) 2sin( p 2 cos ( )
-
2
= - dx ( )
3
cos + x x x 2sin cos
2
= dx
cos + x x x 2sin cos
3
Đặt x = sint
2
= I dx (cid:0)
2
cos + x x x 2sin cos
-
2
= (cid:0)
2
- x )cos + x (1 sin 1 sin x dx x 2sin
-
= dt (cid:0)
t + 2 - 1 t 1 t 2
= (cid:0)
- t 2 + 2 t 1 t 2 � -� 1 � � dt � �
2
= I (cid:0) + x x dx + sin 2 cos
t =
tan
2
= = dt dx dt � � + (1 tan dx )
x 2
2 + t 1 2 x 2 1
2
= = I
� + 2 t
2
2
- dt 2 + 2 t 1 dt + t 2 3 + + 2
� t 2 + t
+ t t 1 1 1 1
Một dạng đặc biệt của tp hàm lượng giác
dx
+ +
+ x b + x b
x x
c c
a sin a 'sin
cos 'cos
'
Biểu diễn
TỬ SỐ = A(cid:0)
(MẪU SỐ)
(đạo hàm mẫu số) + B(cid:0) +C
Tìm A, B, C bằng đồng nhất thức.
(cid:0)
Ví dụ
+ -
= I dx (cid:0) - x x x + x sin sin 2cos 2cos 3 3
+ - x
- - x sin = A 2cos x B x C (sin 3 + x 2cos + 3)' (sin + x 2cos + 3)
+ - x �
- x sin = A 2cos + x x + x C 3 + x B 2sin ) (cos (sin 2cos + 3)
= = - � A = - C , , B
4 5 3 5 6 5
-
= - - I x
d � - - x 4 5 x (sin x sin + x 2cos + x 2cos 3) 3 5 3 6 � 5 sin dx + x 2cos 3
x
+ x
ln sin
2cos
3
t =
tan
4 5
x 2
-
![Bài giảng Giải tích II Chương 6 Đại học Thăng Long [Tài liệu đầy đủ]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251230/vitobirama/135x160/15491773823922.jpg)
![Tài liệu giảng dạy Vi tích phân A2 [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260323/hoatudang2026/135x160/54651774420904.jpg)
![Tài liệu giảng dạy Hình học Affine và Euclide [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260323/hoatudang2026/135x160/52531774414221.jpg)
