5/30/2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Website: http://www.nuce.edu.vn Bộ môn Cầu và Công trình ngầm Website: http://bomoncau.tk/
PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU
TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: http://phuongphapso.tk/
Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau
Hà Nội, 5‐2015
CHƯƠNG IV
Phần tử hai chiều chịu kéo và nén trong mặt phẳng phần tử
202
1
5/30/2015
Nội dung chương 4
• 4.1. Phần tử dạng tam giác chỉ chịu kéo nén trong mặt
phẳng phần tử
• 4.2. Phần tử dạng chữ nhật chỉ chịu kéo nén trong mặt
phẳng phần tử
203
4.1. Phần tử dạng tam giác
• Chọn đa thức xấp xỉ và ma trận hàm dạng
i
k j vk = q6 uk = q6 k
– Xét phần tử dạng tam giác như hình vẽ. Phần tử có 3 nút i, j, k là các đỉnh của tam giác. Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị theo phương x và y
– Véc tơ chuyển vị nút của
phần tử là tập hợp các bậc tự do của cả 3 nút thuộc phần tử:
T
T
u
v
u
q
v i
j
j
k
v k
q 1
q 2
q 3
q 4
q 5
q 6
u i
e
204
2
v(x,y) vj = q4 u(x,y) vi = q2 (x,y) j ui = q3 i ui = q1 y x
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
– Do véc tơ {q}e chỉ có 6 thành phần, véc tơ tham số {a} của đa
thức xấp xỉ cũng bao gồm 6 thành phần
T
a
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
a 6
e
– Khi đó theo tam giác Pascal, trường chuyển vị chỉ có thể là
tuyến tính.
• Véc tơ chuyển vị của một điểm bất kỳ có tọa độ (x,y) thuộc phần tử sẽ
gồm 2 thành phần u và v được viết như sau:
3
d
e
0 0 0 x y
a 1 a 4
a x a y 2 a x a y 5
6
1 x y 0 0 0 1
, u x y v x y ,
e
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
205
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
• Tam giác Pascal cho bài toán 2 chiều
206
3
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
(*)
– Viết lại {d}e gọn hơn như sau: {d}e = [F(x,y)] {a}
,
F x y
trong đó:
0 P x y ,
P x y , 0
x y
P x y ,
1
với [P(x,y)] là ma trận các đơn thức:
– Thực hiện đồng nhất chuyển vị nút với giá trị của hàm chuyển vị tại các nút. Ví dụ thực hiện đồng nhất tại nút i như sau:
,i F x y i
a
u v
nút i
207
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
– Tương tự thực hiện đồng nhất cho các nút j và k ta sẽ tìm
được véc tơ chuyển vị nút {q}e như sau:
u v
nút i
,
,
a
q
j
e
nút j
,
F x y i i F x y j F x y k
k
u v
nút k
u v
trong đó: (xi,yi) ; (xj,yj) và (xk,yk) lần lượt là các tọa độ các nút i, j và k của phần tử đang xét.
208
4
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
0 0 0
x y i i 0 0 0 1
u v
nút i
x
y
x y i i 0 0 0
j
q
e
y
x
j 0 0 0 1
j
nút j
y
j 0 0 0
k
y
x k 0 0 0 1
q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
x k
k
1 1 1
u v
nút k
– Viết lại {q}e như sau: u v
Hoặc viết gọn lại như sau:
q
H a
e
209
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
– Từ phương trình của véc tơ chuyển vị nút {q}e :
q
H a
e
=> Có thể tìm được véc tơ tham số {a} như sau:
1
H
a
q
e
Với: [H]‐1 là ma trận nghịch đảo của ma trận [H]
210
5
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
có :
0
0
0
x y j
j
k
x y i
x y k y
k y
0
x y i k y
0
x y j i y
0
k
j
x y i y i
j
j y i
x
0
0
x
0
x k
j
k x i
x k
x i
H
1
0
0
j 0
1 A 2
x y j
j
k
x y i
x y k y
k y
x y i k y
x y j i y
0
0
0
k
j
x y i y i
j
j y i
x
x
0
0
0
k
x k
j
x k
x i
j
x i
trong đó A là diện tích của phần tử (diện tích tam giác có 3 đỉnh là i, j, k):
A
x i x
y i y
j
j
x y j
k
x y k
j
x y k i
x y i
k
x y i
j
x y j i
1 2
1 2
y
x k
k
1 det 1 1
211
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
có thể viết lại [H]‐1 ngắn gọn hơn như sau:
0
a
0
a
0
k
a i y
0
j y
0
0
jk
ki
y ij
0
0
x
0
x kj
H
1
a
a
0
x ik 0
ji 0
1 A 2
a i
j
k
y
y
0
0
0
y ij
0
0
0
x
jk x kj
ki x ik
ji
trong đó:
y
y
y
x
j
k
jk
j
j
y
y
a i a
k
y i
ki
j
y
x kj x ik x
x k x i x
y ij
y i
j
a
ji
j
x k x i
k
x y j k x y k i x y i
j
x y k x y i k x y j i
212
6
i x i y k k j j
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
– Sau khi tìm được véc tơ tham số {a} => thay {a} vào phương
trình (*) để tìm chuyển vị {d}
1
,
F x y H
,
,
d
F x y
N x y
q
e
e
e
a
q
(**)
,N x y
trong đó: ma trận các hàm dạng
,
,
N x y
1 F x y H
k
Với:
j y
jk
ki
N x y
ji 0
j
jk x kj
ki x ik
ji
213
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
,
,
,
i
j
k
,
N x y
Hay:
N x y 0
,
N x y 0
,
N x y 0
,
0 N x y
0 N x y
0 N x y
i
j
k
y
x
y
y
,
N x y
i
jk
x k
x kj
k
y
x
y
,
N x y
j
ki
x i
x ik
y i
trong đó:
,
x
x
x
y
y
N x y
k
y ij
j
ji
j
1 A 2 1 A 2 1 2 A
,
N x y
i
a i
y x jk
x y kj
a
,
N x y
j
y x ki
x y ik
j
hoặc viết gọn hơn nữa:
,
N x y
a k
k
y x ij
x y ji
1 A 2 1 A 2 1 2 A
214
7
0 a 0 a 0 a i y 0 0 0 y ij 0 0 x 0 x y , 0 0 0 x y a 0 0 0 1 x kj 0 x ik 0 1 A 2 a i a k 1 y y 0 0 0 y ij x 0 0 0
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
• Một số nhận xét: – (1) Nhận xét #1
• Hàm dạng Ni(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút i và bằng 0 tại
các nút j, k.
tương tự:
• Hàm dạng Nj(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút j và bằng 0 tại
các nút k, i.
• Hàm dạng Nk(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút k và bằng 0 tại
các nút i, j.
215
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
• Do chuyển vị của các điểm trong phần tử là tuyến tính nên đồ thị các hàm dạng có dạng mặt phẳng và được biểu diễn như sau:
k
1 Nk(x,y) k 1
j i Ni(x,y)
k j i
1
216
8
j i Nj(x,y)
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
• Chứng minh hàm dạng Ni(x,y) có giá trị bằng 1 tại nút i và
bằng 0 tại các nút j, k như sau:
,
N x y i i
i
a i
y x jk i
x y kj i
1 A 2
y
y
x
x y j
k
x y k
j
j
k
x i
x k
j
y i
1 A 2
1
x y j
k
x y k
j
x y i
j
y x i
j
y x i k
x y i
k
A A
1 A 2
2 2
,
a i
j
i
j
y x jk
j
x y kj
j
N x y
1 A 2
y
y
x
x
y
x y j
k
x y k
j
j
k
j
x k
j
j
1 A 2
0
x y j
k
x y k
j
x y j
j
x y j
k
y x j k
y x j
j
1 A 2
217
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
– (2) Nhận xét #2
,
,
,
,
1
• Tổng các hàm dạng bằng 1 N x y N x y
N x y
N x y
i
j
k
• Chứng minh như sau:
a
,
N x y
a i
y x jk
x y kj
j
y x ki
x y ik
a k
y x ij
x y ji
1 A 2
1 A 2
1 A 2
a
y
y
x
x
y
a i
j
a k
jk
ki
y ij
x kj
x ik
ji
1 A 2
y
y
y
y
y
y
0
jk
ki
y ij
j
k
k
y i
y i
j
,
1
x
x
x
0
Do
nên
N x y
x kj
x ik
x k
j
x i
x k
j
x i
ji
2 2
A A
a
a
2
A
a i
j
k
218
9
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
– (3) Nhận xét #3
• Từ phương trình (**), các thành phần chuyển vị theo các phương x, y của các điểm thuộc phần tử được biểu diễn như sau:
,
,
,
i
j
k
,
d
N x y
e
e
q
N x y 0
,
N x y 0
,
N x y 0
,
0 N x y
0 N x y
0 N x y
i
j
k
q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6
,
,
,
,
,
,
hoặc: u x y , v x y ,
q N x y 1 i q N x y i
2
q N x y 3 j q N x y 4 j
q N x y 5 k q N x y 6 k
uk=q5 u
k
,
,
,
j
k
,
,
,
u N x y i i v N x y i i
u N x y j v N x y j
j
u N x y k v N x y k k
hoặc: u x y , v x y ,
219
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
– Chuyển vị = ma trận hàm dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử
,
d
N x y
e
e
q
– Tương tự,
Biến dạng = ma trận biến dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử
B x y ,
e
e
q
Ma trận biến dạng [B] được xác định bằng cách lấy đạo hàm của ma trận hàm dạng [N] như sau:
B
,
3 6
3 2
N x y 2 6
220
10
ui=q1 uj=q3 j i u(x,y)
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
0
Ma trận lấy đạo hàm [∂] có dạng:
x
x 0
y y
Thực hiện đạo hàm để lấy được ma trận biến dạng [B]
y
0
y
0
0
ki
y ij
B
x
jk 0
0
0
ji
1 A 2
x kj y
x ik y
x
x kj
jk
x ik
ki
ji
y ij
i x k j
Chú ý: các thành phần của ma trận [B] là hằng số => biến dạng cũng như ứng suất trong phạm vi phần tử cũng là hằng số.
221
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
• Xác định ma trận độ cứng phần tử
– Ma trận độ cứng phần tử được xác định như sau
T
K
B D B dV
e
V
Vì độ dày của phần tử là t không đổi, các thành phần của ma trận [B] và [D] cũng là các hằng số do đó:
T
T
K
B D B tdA
B D B t dA
e
A
A
Vậy:
K
T tA B D B
e
222
11
i y k j
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
Các giá trị C1 và C2 là các tham số phụ thuộc vào tấm phần tử của bài toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2)
– Thực hiện các phép nhân ma trận ta được ma trận độ cứng
của phần tử tam giác như sau:
k 11
k 12 k
22
23
24
25
26
k 13 k k
33
34
35
36
K
e
k 14 k k k
k 15 k k k
k 16 k k k
C t 1 4 A
44
45
46
k
55
56
k k
66
1
2
Nếu đặt
thì các số hạng trong ma trận [K]e như sau:
C 2
223
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
y
k
y
k 11
2 jk
2 x kj
33
2 ki
2 x ik
:
k
k 12
C x y 2 kj
jk
y x jk kj
34
C x y 2 ik
ki
x y ik
ki
k
35
y y ki ij
x x ik
ji
k 13
y y ki
jk
x x kj ik
k
36
C x y 2 ji
ki
x y ik ij
k 14
C x y 2 ik
jk
y x ki kj
Đối xứng
k
y
44
2 x ik
2 ki
k 15
y y jk ij
x x kj
ji
C y x
k
k 16
jk
2
ji
x y kj ij
45
C x y 2 ik ij
y x ki
ji
k
k
y
46
x x ik
ji
y y ki ij
22
2 x kj
2 jk
i x k j
k
k
x
23
C x y 2 kj
ki
x y ik
jk
55
2 y ij
2 ji
k
k
34
C x y 2 ji ij
x y ji ij
24
x x kj ik
y y jk
ki
k
k
x
25
C x y 2 kj ij
y x jk
ji
66
2 ji
2 y ij
k
26
x x ji kj
y y jk ij
224
12
i y k j
5/30/2015
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
– Khi vật liệu là đẳng hướng và có các đặc trưng vật liệu là: mô đun đàn hồi E, và hệ số Poatxong v thì các tham số C1 và C2 được tính như sau:
• (1) Bài toán ứng suất phẳng
C 1
2C
1
E 2
• (2) Bài toán biến dạng phẳng
C 1
C
2
1 E 1 2
1
1
225
Phần tử dạng tam giác (t.theo)
• Ví dụ 4.1.
Xét bài toán ứng suất phẳng gồm 2 phần tử tấm có kích thước như hình vẽ. Biết vật liệu của các phần tử là đẳng hướng và có mô đun đàn hồi Eo, hệ số Poisson vo ; chiều dày của các tấm phần tử là to.
y 4 3
2 b w 1
Eo = 200000MPa vo = 0.3 to = 5 mm a = 1800 mm b = 1600 mm w = 400N/mm
– Tìm chuyển vị tại các nút và ứng suất trong các tấm khi các
tấm chịu tải trọng phân bố đều w.
226
13
x 2 1 a
5/30/2015
227
228
14
5/30/2015
229
230
15
5/30/2015
231
232
16
5/30/2015
233
234
17
5/30/2015
235
236
18
5/30/2015
237
238
19
5/30/2015
239
240
20
5/30/2015
4.2. Phần tử dạng tứ giác
i
• Chọn đa thức xấp xỉ và ma trận hàm dạng
j
l
k
y vl = q8 l vk = q6 k ul = q7 uk = q5
– Xét phần tử dạng tứ giác trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. Phần tử có 4 điểm nút i, j, k, và l là các đỉnh của hình chữ nhật. Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị theo phương x và y. – Véc tơ chuyển vị nút của
phần tử là tập hợp các bậc tự do của cả 4 nút thuộc phần tử:
T
T
q
q q q q q q q q 1 4 8
5
6
7
2
3
k
k
j
i
l
u v u v u v u v i j l
e
241
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Do véc tơ {q}e có 8 thành phần, véc tơ tham số {a} của đa thức
xấp xỉ cũng bao gồm 8 thành phần
T
a
a a a a a a a a 1 4 8
2
6
5
7
3
e
– Véc tơ chuyển vị của một điểm bất kỳ có tọa độ (x,y) thuộc phần tử sẽ gồm 2 thành phần u và v được viết như sau:
0 0 0 0
x y xy
4
d
e
0 0 0 0 1
x y xy
a 1 a 5
a x a y a xy 2 3 a x a y a xy 6 7
8
1
u x y , , v x y
e
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8
242
21
b e vi = q2 vj = q4 x i j ui = q1 uj = q3 a
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
(*)
– Viết lại {d}e gọn hơn như sau: {d}e = [F(x,y)] {a}
,
F x y
trong đó:
0 , P x y
P x y , 0
x y xy T
với [P(x,y)] là ma trận các đơn thức: và {a} là véc tơ tham số:
a
1 P x y , a a a a a a a a 1 4 8
2
3
5
6
7
– Thực hiện đồng nhất chuyển vị nút với giá trị của hàm chuyển vị tại các nút. Ví dụ thực hiện đồng nhất tại nút i như sau:
F x y ,i i
a
u v
nút i
243
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Tương tự thực hiện đồng nhất cho các nút j và k ta sẽ tìm
được véc tơ chuyển vị nút {q}e như sau:
u v
nút i
,
,
u v
j
nút j
a
q
e
,
k
u v
nút k
,
F x y i i F x y j F x y k F x y l l
u v
nút l
trong đó: (xi,yi) ; (xj,yj) ; (xk,yk) và (xl,yl) lần lượt là các tọa độ các nút i, j, k và l của phần tử đang xét.
244
22
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Viết lại {q}e như sau:
u v
nút i
a
0 0
0 0 0
u v
a
0
nút j
q
e
u v
nút k
0 0 0 0 0 a b ab 0
0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0
b
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 a b ab 1 0 0 0 0 1 b 1 0
q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8
u v
nút l
Hoặc viết gọn lại như sau:
q
H a
e
245
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Từ phương trình của véc tơ chuyển vị nút {q}e :
q
H a
e
1
H
a
q
e
=> Có thể tìm được véc tơ tham số {a} như sau: Với: [H]‐1 là ma trận nghịch đảo của ma trận [H]
0
0
0
0
0
0
b
0 b
0
0
0
0
0
0 a
a
0
0
0
0
0
0
1 0
1
0
1
0
H
1
0 ab
0
0
0
0
0
0
1 ab
0 b
b
0
0
0
0
0
a
0 a
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1 0 1
0
1
ab 1
246
23
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Sau khi tìm được véc tơ tham số {a} => thay {a} vào phương
trình (*) để tìm chuyển vị {d}
1
,
F x y H
,
,
d
F x y
N x y
q
e
e
e
a
q
(**)
,N x y
trong đó: ma trận các hàm dạng
,
,
N x y
1 F x y H
0
0
0
0
0
0
0
Với:
0
0
0
0
0
0
b
b
0
0
0
0
0
0
a
a
0 0 0 0
1 0
1
0
1
0
0
x y xy
,
N x y
0 0 0 0 1
0
x y xy
ab
1 ab
1
0 0
0 0 0 0
b a 1
0 0 0 0
0 0 0 0 b 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0
a 1
ab 1
247
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
N
0
N
N
0
0
N
0
i
j
,
N x y
Hay:
0
N
0
l 0
N
N
k 0
N
i
l
k
j
k l
N
1
1
i
y b
x a
1
N
j
y b
trong đó:
N
k
N
l
1 Ni l k i j Nj 1 j i 1 l k Nk 1 k i j
x a
x a xy ab y 1 b
248
24
l Nl i j
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
• Một số nhận xét: – (1) Nhận xét #1
• Hàm dạng Ni(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút i và bằng 0 tại
các nút j, k, l.
tương tự:
• Hàm dạng Nj(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút j và bằng 0 tại
các nút k, i, l.
• Hàm dạng Nk(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút k và bằng 0 tại
các nút i, j, l.
• Hàm dạng Nl(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút l và bằng 0 tại
các nút i, j, k.
249
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
i
– (2) Nhận xét #2
j
l
• Tổng các hàm dạng bằng 1
k
,
,
,
,
,
1
N x y N x y
N x y
N x y
N x y
i
j
k
l
– (3) Nhận xét #3
,
N x y
d
• Từ phương trình (**), các thành phần chuyển vị theo các phương x, y của các điểm thuộc phần tử được biểu diễn như sau:
e
e
q
N
N
N
N
0
0
0
0
i
j
d
e
0
0
k 0
l 0
N
N
N
N
i
j
k
l
q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8
250
25
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
,
,
,
,
hoặc:
,
,
,
,
u x y , v x y ,
q N x y 1 i q N x y i
q N x y 3 j q N x y j
2
4
q N x y 5 k q N x y 6 k
q N x y 7 l q N x y 8 l
,
,
,
,
j
k
hoặc:
,
,
,
,
u N x y i i v N x y i i
u N x y j v N x y j
j
u N x y k v N x y k k
u N x y l l v N x y l l
u x y , v x y ,
l
l
k
vl=q8 ul=q7 u vk=q6 v uk=q5 k
i
i
j
251
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Chuyển vị = ma trận hàm dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử
,
d
N x y
e
e
q
– Tương tự,
Biến dạng = ma trận biến dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử
B x y ,
e
e
q
Ma trận biến dạng [B] được xác định bằng cách lấy đạo hàm của ma trận hàm dạng [N] như sau:
B
,
3 8
3 2
N x y 2 8
252
26
ui=q1 vi=q2 vj=q4 uj=q3 j u(x,y) v(x,y)
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
0
Ma trận lấy đạo hàm [∂] có dạng:
x
x 0
y y
Thực hiện đạo hàm để lấy được ma trận biến dạng [B]
0
0
0
0
y
y
b y
b y
B
x
x
0
0
0
0
a x
a x
1 ab
x
x
y
y
a x
b y
a x
b y
253
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
• Xác định ma trận độ cứng phần tử
– Ma trận độ cứng phần tử được xác định như sau
T
K
B D B dV
e
V
B
,
,
N x y
Do
1 F x y H
B
Hoặc:
1 B H '
0
B
,
0 0 0 0 x y xy
3 2
Trong đó:
' 3 8
F x y 2 8
x
y y
x 0
x y xy 1 0 0 0 0 1
254
27
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
Thực hiện đạo hàm để lấy được ma trận [B’] như sau:
0
1
0
0
0
0
0
y
'
0
0
0
0
0
0
1
B
x
0
0
1
0
1
0
x
y
T
T
T
1
1
H
K
B
'
D B H dV '
B D B dV
e
– Do vậy, ma trận độ cứng phần tử có thể được viết lại như sau:
V
V
– Có thể đưa các ma trận [H]‐1 và ([H]‐1)T ra ngoài dấu tích phân
do các ma trận này không chứa biến x và y. Do đó:
b a
T
T
T
1
1
K
H
B
'
D B t dxdy H
B D B dV
'
e
0 0
V
255
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Thực hiện phép nhân ma trận dưới dấu tích phân ta được:
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
y
0
0
C
2
0
0
x
2
2
y
x C y
xy
C
0
x
T
C x 2 y
2
B
'
D B
'
C 1
0
0
2 0
0
0 1
y x
2
2
x
y
1
2
Trong đó:
C 2
• Các giá trị C1 và C2 là các tham số phụ thuộc vào tấm phần tử của bài
toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2)
256
28
Đối xứng
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Tiếp tục thực hiện tích phân
b a
b a
T
T
M
B
'
B
t
D B t dxdy '
'
D B dxdy '
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
Ta được:
1
0
0
0
C
2
0
0
2
2
b
0 C a 2 2 b 2
2
0
ab
b 2 a 2 a 3
C 4
M C tab
1
0
a 2 0
C b 2 2 0
0
1
2
2
a
0 b 2 a 2 b 2
257
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Thực hiện các phép nhân ma trận ta được ma trận độ cứng
của phần tử tứ giác như sau:
T
1
1
K
H
M H
e
Đối xứng
k 11
k 12 k
k 15 k
k 16 k
k 17 k
k 18 k
k 13 k
k 14 k
22
25
26
27
28
23 k 33
24 k 34 k
k 35 k
k 36 k
k 37 k
k 38 k
44
47
48
K
e
C t 1 ab
45 k 55
46 k 56 k 66
k 57 k 67 k 77
k 58 k 68 k 78 k 88
258
29
Đối xứng
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
2
2
2
b
b 2
2
2
ab
ab
k 12
k 14
k 11
k 13
a 3
C 4
C 4
2 a 6
2
2
2
b
b
2
2
ab
ab
k 16
k 18
k 15
k 17
2 a 6
C 4
C 4
2 a 6
2
2
2
2
a
a
k
k
k
k
k
25
16
k
23
18
24
22
2
2
2
a
a
k
k
k
k
k
27
14
33
11
k
28
26
b 2 6 2 b 6
b 3 2 b 6
k
k
k
k
k
k
k
k
34
16
35
17
36
14
37
15
k
k
k
k
k
k
k
k
38
12
44
22
45
18
46
28
k
k
k
k
k
k
k
k
47
12
48
26
55
11
56
12
k
k
k
k
k
k
k
k
57
13
58
14
66
22
67
18
k
k
k
k
k
k
k
68
24
77
11
78
16
k 88
22
259
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
– Khi vật liệu là đẳng hướng và có các đặc trưng vật liệu là: mô đun đàn hồi E, và hệ số Poatxong v thì các tham số C1 và C2 được tính như sau:
• (1) Bài toán ứng suất phẳng
C 1
2C
1
E 2
• (2) Bài toán biến dạng phẳng
C 1
C
2
1 E 1 2
1
1
260
30
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
• Ví dụ 4.2.
Xét bài toán ứng suất phẳng gồm 2 phần tử tấm có kích thước như hình vẽ. Biết vật liệu của các phần tử là đẳng hướng và có mô đun đàn hồi Eo, hệ số Poisson vo ; chiều dày của các tấm phần tử là to.
y 5 6 4
b w 1 2
Eo = 200000MPa vo = 0.3 to = 5 mm a = 1800 mm b = 1600 mm w = 400N/mm
– Tìm chuyển vị tại các nút dưới tác dụng của tải trọng phân bố
đều w.
261
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
262
31
1 2 x 3 a/2 a/2
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
263
264
32
5/30/2015
265
266
33
5/30/2015
267
268
34
5/30/2015
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
269
270
35
5/30/2015
271
Phần tử dạng tứ giác (t.theo)
272
36
5/30/2015
273
274
37
