PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PHNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYT CHUI
BÀI 13
§2. Phép bin i ca bài toán vi giá tr ban u
• Phép bin i ca o hàm
• Nghim ca bài toán giá tr ban u
• H phng trình vi phân tuyn tính
• Nhng k thut bin i b sung
1. t vn 
• Vn dng phép bin i Laplace  gii phng trình vi phân tuyn tính vi h s hng
′′ ′
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )
ax t bx t cx t f t
v
i
i
u ki
n
(
)
(
)
′ ′
= =
0 , 0
x x x x
• So sánh v
i các ph

ng pháp gi
i
ã h
c
• Gi
i h
ph

ng trình vi phân tuy
n tính
2. Phép bin i ca o hàm
nh lý 1.
Cho
(
)
f t
liên t
c và tr
n t
ng khúc v
i
≥
0
t và là b
c m
khi
→ + ∞
t
(
t
c
t
n t
i h
ng s
không âm
,
c M
và
T
tho
mãn:
≤ ≥
( ) ,
ct
f t Me t T
(2.1)
Khi
ó t
n t
i
(
)
{
}
′
f t
v
i
>
s c
và có
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
′= −
0
f t s f t f
(
)
(
)
= −
0
sF s f
Chng minh.
+)
( )
{ }
( ) ( )
∞ ∞
− −
′ ′
= =
0 0
st st
f s e f t dt e df t
+)
( ) ( )
∞
∞
− −
= +
0
0
st st
e f t s e f t dt
Do
( )
≤ ≥
,
ct
f t Me t T
( )
→∞
−
→
0
t
st
e f t khi
>
s c
+) T

nh lí 2 (bài 1)
( )
∞
−
0
st
e f t dt
h
i t
v
i
>
s c
+) T
ó ta có
{
}
(
)
{
}
(
)
(
)
′= −
0
f s s f s f
nh ngha.
Hàm
f

c g
i là tr
n t
ng khúc trên
[
]
;
a b
⇔
nó kh
vi trên
[
]
;
a b
tr
ra h
u h
n
i
m và
(
)
′
f t
liên t
c t
ng khúc trên
[
]
;
a b
3. Nghim ca bài toán giá tr ban u
H qu. Phép bin i ca o hàm bc cao
Gi
s
r
ng các hàm s
(
)
−
′
1
, , ,
n
f f f liên t
c và tr
n t
ng khúc v
i
≥
0
t và là b
c m
khi
→ +∞
t. Khi
ó t
n t
i
( )
( )
{
}
n
f t
v
i
>
s c
và có
( )
( )
{
}
( )
{ }
( ) ( )
( )
( )
− − −
′
= − − − −
1 2 1
0 0 0
n n n n n
f t s f t s f s f f
( ) ( ) ( )
(
)
( )
− − −
′
= − − − −
1 2 1
0 0 0
n n n n
s F s s f s f f
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Ví d.
S
d
ng

nh lí 1, ch
ng minh r
ng
a)
{ }
( )
+
= =
−
1
!
, 1,2,3,
n at
n
n
t e n
s a
Chng minh bng qui np
+) n = 1:
{ } { }
( )
= = =
− − − −
2
1 1 1 1
.
at at
te e
s a s a s a
s a
+) n = k:
{ }
( )
+
=
−
1
!
k at
k
k
t e
s a
+)
{ } { }
+
+
=
−
1
1
k at k at
k
t e t e
s a
( )
+
+
=−−
1
1 !
.
k
k k
s a s a
(
)
( )
+
+
=
−
2
1 !
k
k
s a
b)
{ }
=
−
2 2
2
sinh
sk
t kt
s k
+) f(t) = t.sinhkt
f(0) = 0 và có
+) f'(t) = sinhkt + kt
coshkt, f'(0) = 0
f''(t) = 2kcoshkt + k
2
t sinhkt
+)
{
}
( )
{
}
( ) ( )
′
+ = − −
2 2
2 cosh sin 0 0
k kt k t kt s f t sf f
+)
( )
( ) ( )
+ =
−
2 2
2
2 2
2s
k k F s s F s
s k
, ó
(
)
{
}
=
sinh
F s t kt
+)
( )
( )
=
−
2
2 2
2ks
F s
s k
Hình 4. 2. 4.
S
d
ng bi
n

i Laplace

gi
i m
t ph

ng trình vi phân
th
a mãn
i
u ki
n ban

u.
Ví d 1.
Gi
i ph

ng trình
a)
′′ ′
− − =
6 0
x x x v
i
i
u ki
n
(
)
(
)
′
= = −
0 2, 0 1
x x
• Ta có:
(
)
{
}
(
)
′
= −
2
x t sX s
•
( )
{
}
( )
( ) ( )
′′ ′
= − −
2
0 0
x t s X x sx x
( )
= − +
2
2 1
s X s s
• Thay vào ph

ng trình
ã cho có
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
( )
(
)
( )
(
)
( )
− + − − − =
2
2 1 2 6 0
s X s s sX s X s
(
)
( )
⇔ − − − + =
2
6 2 3 0
s s X s s
•
− −
= = = +
− + − +
− −
2
2 3 2 3 3 1 7 1
( ) . .
( 3)( 2) 5 3 5 2
6
s s
X s s s s s
s s .
• Do
{
}
−
=
−
1
1
at
e
s a
nên có
−
= +
3 2
3 7
( ) 5 5
t t
x t e e
là nghi
m c
a bài toán giá tr
ban

u.
Ví d 2.
Gi
i bài toán giá tr
ban

u
a)
(
)
(
)
′′ ′
+ = = =
4 sin3 , 0 0 0
x x t x x
Bài toán này g
n li
n v
i quá trình chuy
n

ng c
a m
t h
v
t – lò xo v
i tác

ng c
a
l
!
c bên ngoài)
Hình 4. 2. 2
. H
v
t – lò xo th
a mãn bài toán
i
u ki
n

u trong Ví d
2.
i
u ki
n

u c
a v
t là v
trí cân b
ng c
a nó.
• T
i
u ki
n ban

u có:
( )
{
}
( ) ( ) ( ) ( )
′′ ′
= − − =
2 2
0 0
x t s X s sx x s X s
• T
b
ng 4.1.2 có
{ }
=
+
2 2
3
sin3
3
t
s
.
• Thay vào ta có
( ) ( )
+ =
+
2
2
3
4
9
s X s X s
s
( )
⇔ =
+ +
2 2
3
( 9)( 4)
X s s s
+ +
= +
+ +
2 2
( 4) ( 9)
As B Cs D
s s
•

ng nh
"
t ta có
= = = = −
3 3
0, ,
5 5
A C B D
, do
ó
( )
= −
+ +
2 2
3 2 1 3
. .
10 5
4 9
X s
s s
• Do
{ } { }
= =
+ +
2 2 2
2 3
sin2 , sin3
4 3
t t
s s
nên ta có = −
3 1
( ) sin2 sin3
10 5
x t t t
.
b)
(
)
(
)
′′ ′
+ = = =
9 0, 0 3, 0 4
x x x x
(
( )
= + 4
3cos3 sin3
3
x t t t
)
c)
(
)
(
)
′′ ′ ′
+ + = = = −
8 15 0, 0 2, 0 3
x x x x x
(
( )
( )
− −
= −
3 5
17 3
2
t t
x t e e
)
d)
(
)
(
)
′′ ′
+ = = =
4 cos , 0 0, 0 0
x x t x x
(
( ) ( )
= −
1
cos cos 2
3
x t t t
)
e)
(
)
(
)
′′ ′
+ = = =
9 1, 0 0, 0 0
x x x x
(
( ) ( )
= −
1
1 cos3
9
x t t
)
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Nhn xét.
Nh
v
y ph

ng pháp bi
n

i Laplace cho l
#
i gi
i tr
!
c ti
p tìm nghi
m c
a
bài toán giá tr
ban

u mà không c
n phân bi
t
ó là ph

ng trình vi phân thu
n nh
"
t
hay là không thu
n nh
"
t.
4. H phơng trình vi phân tuyn tính
• Phép bi
n

i Laplace có kh
n
$
ng bi
n

i h
ph

ng trình vi phân tuy
n tính thành
m
t h
ph

ng trình

i s
tuy
n tính
Ví d 3. a)
Gi
i h
ph

ng trình vi phân tuy
n tính
′′ = − +
′′ = − +
2 6 2 ,
2 2 40 sin3
x x y
y x y t
v
i
i
u ki
n ban

u
(
)
(
)
(
)
(
)
′ ′
= = = =
0 0 0 0 0
x x y y
•
ây là bài toán giá tr
ban

u xác

nh hàm d
ch chuy
n
(
)
x t
và
(
)
y t
c
a h
hai v
t
th

c ch
%
ra trong Hình 4.2.5, gi
s
r
ng l
!
c
(
)
=
40 sin3
f t t
là tác

ng b
"
t ng
#
t
i
v
t th
th
hai t
i th
#
i
i
m t = 0 khi c
hai v
t th
ang
tr
ng thái t
nh t
i v
trí cân
b
ng c
a chúng.
Hình 4. 2. 5.
H
v
t th
th
a mãn
i
u ki
n

u trong Ví d
3.
C
hai v
t th
ang
v
trí cân b
ng.
• T
i
u ki
n ban

u có
( )
{
}
( ) ( ) ( ) ( )
′′ ′
= − − =
2 2
0 0
x t s X s s x x s X s
• T

ng t
!
( )
{
}
( )
′′ =
2
y t s Y s
• Do
{ }
=
+
2
3
sin3
9
t
s
, thay vào h
ph

ng trình có h
ph

ng trình sau:
= − +
= − +
+
2
2
2
2 ( ) 6 ( ) 2 ( )
120
( ) 2 ( ) 2 ( )
9
s X s X s Y s
s Y s X s Y s s
⇔
+ − =
− + + =
+
2
2
2
( 3) ( ) ( ) 0
120
2 ( ) ( 2) ( )
9
s X s Y s
X s s Y s s
•
∆
+ −
=
− +
2
2
( 3) 1
2 ( 2)
s
s
= + +
2 2
( 1)( 4)
s s
∆
−
=
+
+
12
2
0 1
120
2
9s
s
=
+
2
120
9
s
;
∆
+
=−
+
2
2
2
3 0
120
2
9
s
s
(
)
+
=
+
2
2
120 3
9
s
s
• Do
ó
( )
=
+ + +
2 2 2
120
( 4)( 9)( 1)
X s s s s = − +
+ + +
2 2 2
5 8 3
1 4 9
s s s
• Do
ó
(
)
= − +
5sin 4sin2 sin3
x t t t t
• T

ng t
!
có
( )
+
=
+ + +
2
2 2 2
120( 3)
( 4)( 9)( 1)
s
Y s s s s = + −
+ + +
2 2 2
10 8 18
( 1) 4 9
s s s
• nên có
(
)
= + −
10 sin 4 sin2 6sin3
y t t t t
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Hình 4. 2. 6.
Các hàm

nh v
(
)
x t
và
(
)
y t
trong Ví d
3 a).
b)
(
)
( )
′ ′
+ + = =
′ ′
− + = =
2 0, 0 0
0, 0 1
x y x x
x y y y
Tác

ng toán t
Laplace, s
d
ng
i
u ki
n ban

u có
( ) ( )
[
]
( )
( ) ( )
[ ]
( )
+ − + =
− − + =
2 1 0
1 0
sX s sY s X s
sX s sY s Y s ⇔
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
+ + =
+ − = −
1 2 2
1 1
s X s sY s
sX s s Y s
Gi
i h
2 ph

ng trình tuy
n tính c
"
p 1 ta có
+)
( )
( )
= − = −
−−
2 2
2
2 2 1/ 3
.
3
3 1
1/ 3
X s ss
= −
2sinh
3 3
t
( )
( )
+ +
= = =
− − −
2 2 2
2
3 1 1/ 3
3 1 1/ 3
1/ 3
s s s
Y s s s s
( )
+
−
2
2
1 1/ 3
.
3
1/ 3
s
= +
1
cosh sinh
3 3 3
t t
+)
( )
= − 2sinh
3 3
t
x t ,
( )
= + 1
cosh sinh
3 3 3
t t
y t
c)
( ) ( )
−
′
= +
′= + = =
2
, 0 0 0
t
x x y
y x e x y (
( )
( )
( )
( )
− − − −
= − − = − +
2 2
2 1
3 , 6
9 9
t t t t t t
x t e e te y t e e te
)
d)
(
)
(
)
( ) ( )
′′
+ + = = =
′′ ′ ′
+ + = = = −
2 4 0, 0 0 0
2 0, 0 0 1
x x y x y
y x y x y (
( ) ( ) ( ) ( )
= − = − +
1 1
2 3sin2 , 2 3 sin2
4 8
x t t t y t t t
5. Nhng k thut bin i b sung
Ví d 4.
Ch
ng minh r
ng
{ }
=−
2
1
( )
at
te
s a
.
•
&
t
( )
=
at
f t te
thì có
( ) ( )
′
= = +0 0,
at at
f f t e ate
. Do
ó có
{
}
( )
{
}
( )
{
}
{
}
′
+ = = =
at at at
e ate f t s f t s te
• Do phép bi
n

i tuy
n tính nên có:
{
}
{
}
{
}
+ =
at at at
e a te s te
• Do
ó
{ }
{
}
( )
= =
−−
2
1
at
at
e
te s a
s a
(Do
{ }
=
−
1
at
e
s a
)
Ví d 5.
Tìm
{
}
sin
t kt
&
t
(
)
=
sin
f t t kt
thì có
(
)
(
)
(
)
′ ′
= = + =
0 0, sin cos , 0 0
f f t kt kt kt f